Xử lý số liệu thực nghiệm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
KHOA SAU ĐẠI HỌC
.
BÁO CÁO TIỂU LUẬN
XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM
Giảng viên: TS. MAI XUÂN TRUNG
Lớp: VLKT K22A
Thực hiện: PHẠM VĂN ĐẠO
NGUYỄN XUÂN TÂN
TRẦN THANH MINH
Lâm Đồng, tháng 10/2014
MỤC LỤC
I. BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TUYẾN TÍNH 1
Bài tập 1: Cho nguồn chuẩn gamma Eu -152 với các thông tin sau T1/2
=13,522 năm, hoạt độ ban đầu A0 (Bq) = 407600. .......................................... 1
a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 dữ liệu trên: 2
b) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số xác định đường
chuẩn hiệu suất ở bậc 2 và 3 tương ứng. Bậc nào thích hợp với các số liệu
thực nghiệm.................................................................................................... 3
c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong
trên ................................................................................................................. 8
d) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dùng đa thức trực giao có
trọng số xác định đường cong hiệu suất với x = lnE, y = lnε với bậc 2 và bậc
3. .................................................................................................................... 9
e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong
trên ............................................................................................................... 13
Bài tập 2: Cho các số liệu thực nghiệm, sử dụng phương pháp bình phương
tối thiểu dùng các đa thức trực giao khớp một đa thức thích hợp đáp ứng các
dữ liệu trên. .................................................................................................. 15
II. BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU PHI TUYẾN 24
Bài tập 1: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định
các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm ............................................................ 26
Bài tập 2: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định
các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm ............................................................ 29
Bài tập 3: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định
các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm ............................................................ 32
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
I. BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TUYẾN TÍNH
Bài tập 1: Cho nguồn chuẩn gamma Eu -152 với các thông tin sau T1/2 =13,522 năm,
hoạt độ ban đầu A0 (Bq) = 407600.
Ngày sản xuất: 01/01/1982 12:00:00
Ngày giờ đo: 03/07/2012 16:31:24
Thời gian đo (s) 57737,036
Số liệu phân tích cho:
STT Năng lượng E Hiệu suất SS hiệu DT Đỉnh SS DT Đỉnh
(KeV) phát suất phát
1 121,7824 0,2837 0,0013 718272 52,176
2 244,6989 0,0753 0,0004 185801 743,204
3 344,2811 0,2657 0,0011 539855 1619,565
4 411,126 0,02238 0,00010 42348 254,088
5 443,965 0,03125 0,00014 56523 282,615
6 778,903 0,1297 0,0006 168106 1344,848
7 867,39 0,04214 0,00025 51747 465,723
8 964,055 0,1463 0,0006 167756 503,268
9 1085,542 0,1013 0,0005 111718 446,872
10 1089,767 0,01731 0,00009 19025 285,375
11 1112,087 0,1354 0,0006 144406 1155,248
12 1212,97 0,01412 0,00008 14282 185,666
13 1299,152 0,01626 0,00011 15716 204,308
14 1408,022 0,2085 0,0009 192679 770,716
a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 điểm dữ liệu trên.
b) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số xác định đường chuẩn hiệu
suất
P
ln    b j ln( E ) 
j
j0
ở bậc 2 và 3 tương ứng. Bậc nào thích hợp với các số liệu thực nghiệm.
c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên
1
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
d) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dung đa thức trực giao có trọng số xác
định đường cong hiệu suất với x = lnE, y = lnε với bậc 2 và bậc 3.
e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên và so sánh
với kết quả câu c.
Bài giải:
Thời gian từ lúc sản xuất nguồn đến lúc thực hiện đo là t = 962512284 giây tương
đương 30,5 năm. Chu kỳ bán rã của nguồn Eu152 là T1/2 = 13,522 năm = 426429792 giây.
Do đó, hoạt độ của nguồn ở thời điểm đo là:
 (ln 2 ) t
T1  (ln 2 ) 962512284
t 426429792
A  A0 e  A0 e 2
 407600 e  85264 , 24433 ( Bq )
a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 dữ liệu trên:
Hiệu suất được xác định theo công thức:
N

t d AI 
Trong đó: N là diện tích đỉnh, td = 57737,036 giây là thời gian đo, Iγ là hiệu suất phát của
tia bức xạ gamma ở năng lượng tương ứng, A hoạt độ nguồn γ.
Sai số hiệu suất:
2 2
 N   I  
     
 N   I  
Khi đó ta có bảng kết quả hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính ứng với từng năng
lượng như sau:
2
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Bảng 1: Kết quả tính toán hiệu suất tính và sai số liệu suất tính
Sai số hiệu Trọng số
Năng lượng Hiệu suất tính suất tính 2
 2
E (KeV)    x = ln(E) y = ln(ε)
121,7824 0,00051429 2,35693E-06 47612,70348 4,802235846 -7,572723045
244,6989 0,000501224 3,33298E-06 22615,09825 5,500028475 -7,598457957
344,2811 0,000412728 2,11015E-06 38256,04124 5,841458475 -7,792721298
411,126 0,000384372 2,87549E-06 17868,15613 6,018899737 -7,863900539
443,965 0,000367412 2,4666E-06 22187,51109 6,09574573 -7,909025772
778,903 0,000263282 2,43305E-06 11709,54258 6,65788652 -8,242283389
867,39 0,000249442 2,68884E-06 8606,162363 6,765488703 -8,296284979
964,055 0,000232923 1,18355E-06 38730,37236 6,871148347 -8,364802796
1085,842 0,000224023 1,42325E-06 24775,49756 6,990111002 -8,403762603
1089,767 0,000223258 3,54433E-06 3967,737678 6,993719191 -8,407184496
1112,087 0,000216643 1,98127E-06 11956,4952 7,013993709 -8,437258614
1212,97 0,000205463 2,91366E-06 4972,640282 7,100827177 -8,490246259
1299,152 0,000196336 2,87729E-06 4656,22746 7,169467023 -8,535682833
1408,022 0,000187718 1,10471E-06 28874,54867 7,249941162 -8,58056748
b) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số xác định đường chuẩn
hiệu suất ở bậc 2 và 3 tương ứng. Bậc nào thích hợp với các số liệu thực nghiệm.
P
ln    b j ln( E ) 
j
j0
Xác định đường chuẩn hiệu suất bậc 2:
Đa thức bậc hai có dạng: y = b0 + b1lnE + b2 (lnE)2 = b0 +b1x +b2x2
Đặt g0 = 1; g1 = lnE = x ; g2 = (lnE)2 = x2
Hệ phương trình chuẩn của phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số là:
g  g b  g  Y
T

T
Trình bày dưới dạng hệ các phương trình:
b0 g 0 , g 0   b1 g1 , g 0   b2 g 2 , g 0   Y , g 0 

b0 g 0 , g1   b1 g1 , g1   b2 g 2 , g1   Y , g1 
b g , g   b g , g   b g , g   Y , g 
 0 0 2 1 1 2 2 2 2 2
3
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Sử dụng kết quả trong bảng 1 ta tính được:
n
g 0 , g 0    g 0 i  g 0 i = 286788,734354193
i 1
n
g1 , g 0    g1 i  g 0 i = 1784432,90299963
i 1
n
g 2 , g 0    g 2 i  g 0 i =11301441,1483269
i 1
n
g 0 , g1    g 0 i  g1 i =1784432,90299963
i 1
n
g1 , g1    g1 i  g1 i =11301441,1483269
i 1
n
g 2 , g1    g 2 i  g1 i =72712453,6515179
i 1
n
g 0 , g 2    g 0 i  g 2 i  11301441,1483269
i 1
n
g1 , g 2    g1 i  g 2 i  72712453,6515179
i 1
n
g 2 , g 2    g 2 i  g 2 i  474313129,469633
i 1
n
Y , g 0    y i  g 0 i  -2310563,8073758
i 1
n
Y , g1    y i  g1 i  -14462404,1226573
i 1
n
Y , g 2    y i  g 2 i  -92100781,7581659
i 1
286788,734354193b0  1784432,90299963b1  11301441,1483269b 2  2310563,8073758

 1784432,90299963b 0  11301441,1483269b1  72712453,6515179b 2  14462404,1226573
11301441,1483269b  72712453,6515179b  474313129,469633b  92100781,7581659
 0 1 2
4
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
b 0  10,60017485

 b1  1,339166404
b  0,1469021206
 2
Xác định SSE, MSE   2 , SSTO, R2
Tổng bình phương các sai số SSE:
n n n n
SSE  Y T Y  bT g T Y   (y 2 ) i  b0  (y) i  b1  ( g1 ) i (y) i  b2  ( g 2 ) i (y) i
i 1 i 1 i 1 i 1
 267,887
Bình phương trung bình sai số MSEω:
SSE 267,8871128
MSE    24,35337389
n 3 14  3
Phương trình: y = – 0,1469x2 +1,3392x – 10,6002
hay : lnε = – 0,1469(lnE)2 + 1,3392lnE – 10,6002
Xác định đường chuẩn hiệu suất bậc 3:
Đa thức bậc ba có dạng: y = b0 + b1lnE + b2 (lnE)2 + b3 (lnE)3 = b0 +b1x +b2x2 + b3x3
Đặt g0 = 1; g1 = lnE = x ; g2 = (lnE)2 = x2, g3 = (lnE)3 = x3.
Hệ phương trình chuẩn của phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số là:
g g b  g Y
T

T
Trình bày dưới dạng hệ các phương trình:
b0 g 0 , g 0   b1 g 1 , g 0   b2 g 2 , g 0   b3 g 3 , g 0   Y , g 0 
b g , g   b g , g   b g , g   b g , g   Y , g 
 0 0 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1

b0 g 0 , g 2   b1 g1 , g 2   b2 g 2 , g 2   b3 g 3 , g 2   Y , g 2 
b0 g 0 , g 3   b1 g1 , g 3   b2 g 2 , g 3   b3 g 3 , g 3   Y , g 3 
Sử dụng kết quả trong bảng 1 ta tính được:
n
g 0 , g 0    g 0 i  g 0 i = 286788,734354193
i 1
5
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
n
g1 , g 0    g1 i  g 0 i = 1784432,90299963
i 1
n
g 2 , g 0    g 2 i  g 0 i =11301441,1483269
i 1
n
g 3 , g 0    g 3 i  g 0 i  72712453,6515179
i 1
n
g 0 , g1    g 0 i  g1 i =1784432,90299963
i 1
n
g1 , g1    g1 i  g1 i =11301441,1483269
i 1
n
g 2 , g1    g 2 i  g1 i =72712453,6515179
i 1
n
g3 , g1    g3 i  g1 i  474313129,469633
i 1
n
g 0 , g 2    g 0 i  g 2 i  11301441,1483269
i 1
n
g1 , g 2    g1 i  g 2 i  72712453,6515179
i 1
n
g 2 , g 2    g 2 i  g 2 i  474313129,469633
i 1
n
g3 , g 2    g3 i  g 2 i  3131019044,85911
i 1
n
g 0 , g 3    g 0 i g 3 i  72712453,6 515179
i 1
n
g1 , g 3    g1 i  g 3 i  474313129,469633
i 1
n
g 2 , g 3    g 2 i g 3 i  3131019044,85911
i 1
6
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
n
g 3 , g 3    g 3 i g 3 i  20879797471,4568
i 1
n
Y , g 0    y i  g 0 i  -2310563,8073758
i 1
n
Y , g1    y i  g1 i  -14462404,1226573
i 1
n
Y , g 2    y i  g 2 i  -92100781,7581659
i 1
n
Y , g 3    y i  g 3 i  -595531546 ,855329
i 1
286788,734354193b0  1784432,90299963b1  11301441,1483269b2  72712453,6515179b3  2310563,8073758
1784432,90299963b  11301441,1483269b  72712453,6515179b  474313129,469633b  14462404,1226573
 0 1 2 3

 11301441,1483269b0  515179b
72712453,6 1  474313129,
469633b 2  3131019044,85911b3  92100781,7581659
72712453,6515179b0  474313129,469633b1  3131019044,85911b2  20879797471,4568b3  - 595531546,855329
b 0  27,9621683

b1  10,258378

b 2  1,6559689
b3  0,0841414
Xác định SSE, MSE  , SSTO, R2
Tổng bình phương các sai số SSE:
n n n n n
SSE  Y T Y  bT g T Y   (y 2 ) i  b0  (y) i  b1  ( g1 ) i (y) i  b2  ( g 2 ) i (y) i  b3  ( g 3 ) i (y) i
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
 73,8941696
7
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Bình phương trung bình sai số MSE  :
SSE 73,8941696
MSE    6,7176518 s
n3 14  3
Phương trình: y = 0,084x3 -1,656x2 +10,258x -27,962
hay : lnε = 0,084(lnE)3 - 1,656(lnE )2 + 10,258 lnE - 27,962
Bậc 3
-7.4
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
-7.6
-7.8
-8
-8.2
-8.4
y = 0.0844x3 - 1.6583x2 + 10.257x - 27.926
-8.6 R² = 0.9976
-8.8
Hiệu suất tính Poly. (Hiệu suất tính)
Hình 1: Đồ thị đường chuẩn hiệu suất và đường khớp bởi phương trình bậc 3
Kết luận: Đường cong bậc 3 thích hợp với các số liệu thực nghiệm hơn đường cong bậc
2.
c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên
Từ câu b đường cong bậc hai ta có:
 286788,734354193 1784432,90299963 11301441,1483269 
T
 
g g   1784432,90299963 11301441,1483269 72712453,6515179 
 11301441,1483269 72712453,6515179 474313129,469633 
 
 0,0135081  0,0045366 0,0003736 
T 1
 
 ( g g )    0,0045366 0,00153006  0,0001264 
 0,0003736  0,0001264 1,0487  10 5 
 
Sai số tại mỗi điểm chuẩn:
8
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
 0,0135081  0,0045366 0,0003736 
 
 b   ( g g )    0,0045366 0,00153006  0,0001264 
2 T 1
 0,0003736  0,0001264 1,0487  10 5 
 
 b20  0,0135081  b0  0,1162
 2 
  b1  0,00153006   b1  0,0391
 2 5 
 b2  1,0487  10  b2  0,0032
Làm tương tự với đường cong bậc 3:
 286788,734354193 1784432,90299963 11301441,1483269 72712453,6515179 
 
T  1784432,90299963 11301441,1483269 72712453,6515179 474313129,469633 
g g  
11301441,1483269 72712453,6515179 474313129,469633 3131019044,85911
 
 72712453,6515179 474313129,469633 3131019044,85911 20879797471,4568

 1,5674750  0,8028407 0,1354410  0,0075301 
 
T 1   0,8028407 0,4116349  0,0695133 0,0038688 
 ( g g )  
0,1354410  0,0695133 0,0117502  0,0006546 
 
5 
  0,0075310 0,0038688  0,0006546 3,6497435 10 
Sai số tại mỗi điểm chuẩn :
 1,5674750  0,8028407 0,1354410  0,0075301 
 
  0,8028407 0,4116349  0,0695133 0,0038688 
 b   ( g g )  
2 T 1
0,1354410  0,0695133 0,0117502  0,0006546 
 
  0,0075310 0,0038688  0,0006546 3,6497435 10 5 
 
 b20  1,5674750  b0  1, 252
 2 
 b1  0, 4116349  b  0,642
 2  1
 b2  0,0117502  b2  0,108
 2 5   0,006
 b3  3,6497435  10  b3
d) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dùng đa thức trực giao có trọng số xác
định đường cong hiệu suất với x = lnE, y = lnε với bậc 2 và bậc 3.
Xác định đường cong bậc 2:
Đa thức bậc hai có dạng: y = b0 g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x)
9
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Đặt g0(x) =1
g1(x) = (x-B0)g0(x)
gj+1(x) = (x-Bj)gj(x)-Cjgj-1(x)
vậy g2 = (x-B1)g1(x)-C1g0(x)
n
x i ( xi )
B0  
i 0 S0
n 2
S 0   g 0 , g 0    g 0 ( x i )   ( x i ) = 286788,734354193
i 1
n
x i  ( x i ) 1784432,90 299963
B0     6,22211645 5
i 0 S0 286788,734 354193
g 1  ( x  6,222116455)
n 2
S1  g1 , g1    g1 ( xi )  ( xi )  198491,820564604
i 1
n
 x g ( x )   ( x
2
i 1 i i)
1158531,49976351
B1  i1   5,836671236
S1 198491,820564604
S1 198491,820564604
C1    0,692118611
S 0 286788,734354193
g 2  ( x  5,836671236)( x  6,222116455)  0,692118611
n 2
S 2  g 2 , g 2    g 2 ( xi )  ( xi )  95352,012606033
i 1
n
 y g ( x ) ( x )
i 1
i j i i
Ta có: b j  n
 g ( x )  ( x )
2
j i i
i 1
10
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
n
 y g ( x ) ( x )  y - 2310563,8073758
i 1
i 0 i i
Nên b 
0 n
   -8,056675631
S 286788,734354193
 g ( x )  ( x )
i 1
0 i
2
i
0
n
 y g ( x ) ( x )  y ( x  6,222116455 ) - 85807,0375 38239
i 1
i 1 i i
b 
1 n
   -0,432295080
S 198491,820 564604
 g ( x )  ( x )
2 1
1 i i
i 1
n
 y g ( x ) ( x )  y[( x  5,836671236)( x  6,222116455)  0,692118611]
i 1
i 2 i i
b 
2 n

S
 g ( x )  ( x )
2 2
2 i i
i 1
- 14007,4128 663704
  -0,146902121
95352.0126 060331
Vậy ta được đường cong bậc 2 như sau:
y = b0 g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x)
 y  - 8,056675631 - 0,43229508( x  6,222116455) 
0,146902121(( x  5,836671236)( x  6,222116455)  0,692118611)
 y  0,146902121x 2  1,3391664 x  10,60017486
Bậc 2
-7.4
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
-7.6
-7.8
-8
-8.2
-8.4
y = -0.1341x2 + 1.179x - 10.108
-8.6 R² = 0.9922
-8.8
Hiệu suất tính Poly. (Hiệu suất tính)
Hình 2: Đồ thị đường hiệu suất tính và đường khớp bởi phương trình bậc 2
11
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Phương trình bậc 2:
y  0,1469 x 2  1,3392 x  10,6002
Tương tự xác định đường cong bậc ba:
Đa thức bậc hai có dạng:
y = b0 g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x) +b3g3(x)
Các giá trị b0; b1; b2; g0; g1; g2 đã tính toán ở trên:
Áp dụng công thức gj+1(x) = (x-Bj)gj(x)-Cjgj-1(x), ta có:
g3 = (x-B2)g2(x)-C2g1(x)
n
 x g ( x )  ( x
i 2 i
2
i)
560297,584147278
B2  i 1   5,876096045
S2 95352,012606033
S2 95352,012606033
C2    0,480382579
S 1 198491,820564604
g 3  ( x  5,876096045)[(x  5,836671236)( x  6,222116455)  0,692118611]  0,480382579( x  6,222116455)
n 2
S3  g3 , g3   g3 ( xi )  ( xi )  27399,1852
i 1
n
 y g ( x )( x )  yg  2305,40665
i 1
i 3 i i
3
b 
3 n
   0,08414143
S 27399,1852
 g ( x ) ( x )
2 3
3 i i
i 1
Vậy ta được đường cong bậc 3 như sau:
y = b0 g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x) + b3g3(x)
 y  - 8,056675631 - 0.43229508( x  6,222116455) 
0,146902121(( x  5,836671236)( x  6,222116455)  0,692118611) 
0,084141431 ( x  5,876096045)[( x  5,836671236)( x  6,222116455)  0,692118611]
 0,480382579( x  6,222116455) 
 y  0,084141431x 3  1,655968903x 2  10,25837195x  27,962168941
12
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Phương trình bậc 3:
y  0,084 x 3  1,656 x 2  10,258 x  27,962
Bậc 3
-7.4
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
-7.6
-7.8
-8
-8.2
-8.4
y = 0.0844x3 - 1.6583x2 + 10.257x - 27.926
-8.6 R² = 0.9976
-8.8
Hiệu suất tính Poly. (Hiệu suất tính)
Hình 3: Đồ thị đường hiệu suất tính và đường khớp bởi phương trình bậc 3
e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên
Từ câu d đường cong bậc hai ta có:
 S0 0 0   286788,734 354193 0 0 
   
g T g   0 S1 0  0 198491,820 564604 0 
0 0  
S2   0 0 95352,0126 06033 

 1 
 0 0 
 286788,734354193 
 1 
 ( g T g ) 1   0 0 
198491,820564604
 
 1 
0 0
 95352,012606033 
 3,4868873 10 6 0 0 
 
 0 5,03799997 10 6 0 
 0 0 5 
1,04874556 10 

Sai số tại mỗi điểm chuẩn:
13
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
 3,4868873 10 6 0 0 
 
 2 b   ( g T g ) 1   0 5,03799097 10 6
0 
 0 0 5 
1,04874556 10 

 b20  3, 4868873 10 6  b0  0,0019
 2 
  b1  5,03799097  10 6   b1  0,0022
 2 5 
 b2  1,04874556 10  b2  0,0032
Làm tương tự với đường cong bậc 3:
 S0 0 0 0   286788,734354193 0 0 0 
   
T  0 S1 0 0   0 198491,820564604 0 0 
g g     
0 0 S2 0 0 0 95352,012606033 0
   
0 0 0 S   0 0 0 27399,185216566
 3 
 3,4868873  10 6 0 0 0 
 6

T 1  0 5,03799097  10 0 0 
 ( g g )   
 0 0 1,04874556  10 6 0 
 0 0 0 3,6497435  10 5 

Sai số tại mỗi điểm chuẩn :
 3,4868873  10 6 0 0 0 
 
 0 5,03799097  10 6 0 0 
 2 b   ( g T g ) 1   
 0 0 1,04874556  10 6 0 
 0 0 0 3,6497435  10 5 

 b20  3, 4868873 10 6  b0  0,002
 2 6 
 b1  5,03799097  10  b1  0,002
 2  
 b2  0,003
5
 b2  1,04874556 10
 2 5   0,006
 b3  3,6497435  10  b3
14
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Bài tập 2: Cho các số liệu thực nghiệm, sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu
dùng các đa thức trực giao khớp một đa thức thích hợp đáp ứng các dữ liệu trên.
x 280 284 292 295 298 305
y 770 800 840 810 735 640
Bài giải:
a) Khớp đa thức bậc nhất:
Đa thức có dạng:
y1=b0 g0(x) + b1g1(x)
Đặt g0(x) = 1, p = 2 tham số mô hình
n
Tính S 0   g 0 , g 0    g 0 ( xi )  n  6
i 1
g1(x) =( x – B0 )g0(x) = x – B0
n n
 xg 0 ( x ), g 0 ( x ) 
xi  xi
i 1 1754
B0    i 1  x   292,3333333
S0 S0 n 6
Vậy g1(x) = (x – 292,3333333)
n n 2
Tính : S1   g1 , g1    g1 ( xi )   x  292,3333333  421,3333333
2
i 1 i 1
n n
y y
 y, g 0  i 1 i
i 1
i
4595
b0    y  765,8333333
S0 S0 n 6
 y, g1   y ( x  292,3333333)  2011,6666670
b1     4,774525318
S1 S1 421,3333333
15
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Tổng bình phương các sai số:
2 2
 n   n 
n
 y, g 0 
2
 y, g1 
2 n
  y i    yi ( xi  292,3333333 
SSE1   y 2 i     y 2 i   i 1    i 1 
i 1 S 0 S 1 i 1 S 0 S 1
(4595) 2 (2011,6666670) 2
 3544425    15816,07991
6 421,3333333
Và
2
 y  2 2
4595  25420,83333
SSTO   y   3544425 
n 6
SSE1 15816,07991
 R2  1 1  0,37783  37,78%
SSTO 25420,83333
n  1SSE1 6  1.15816,07991  0,2222875  22,23%
Ra2  1  1
n  p SSTO 6  2 .25420,83333
Vậy ta có:
y1 = 765,833 – 4,774 (x – 292,333) = 2161,431 – 4,774.x
Vậy có 37,78 % các điểm thực nghiệm diễn biến theo đường mô hình ta khớp. Do
đó đa thức bậc nhất y = 2161,431 - 4,774x không đáp ứng các điểm thực nghiệm.
Bậc 1
900
850
800
750
700 y = -4.7745x + 2161.6
R² = 0.3778
650
600
280 285 290 295 300 305
Thực nghiệm Linear (Thực nghiệm)
Hình 4: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 1
16
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
b) Đa thức bậc hai:
Đa thức bậc hai có dạng:
y2 = b0 g0(x) + b1g1(x) +b2g2(x) = y1(x) + b2.g2(x)
p = 3 số tham số mô hình
Từ trên ta đã có:
b0 = 765,8333333; b1 = -4,774525316; g0(x) = 1; g1(x) = ( x – 292,3333333 );
SSTO = 25420,83333
Tìm b2, g2(x):
Áp dụng công thức đa thức trực giao:
gj+1(x) = (x – Bj)gj(x) – Cjgj-1(x)
 g 2 ( x)  ( x  B1 ) g1 ( x)  C1 g 0 ( x )
2
 xg1 , g1   x( x  292,3333333) 122948,2222
Ta có B1     291,8074895
S1 S1 421,3333333
S1 421,3333333
C1    70,2222222
S0 6
 g 2 ( x)  ( x  291,8074895)( x  292,3333333)  70,2222222
= x 2  584,1408228 x  85234,83387
n
2
S 2   g 2 , g 2    ( xi  584,1408228 xi  85234,83387) 2  25080,97785
i 1
 y , g 2   18908,35608
b1    0,7538923
S2 25080,97785
n
 y, g 0  2  y, g 1  2  y, g 2  2  y, g 2  2
SSE 2   y 2 i     SSE1 
i 1 S0 S1 S2 S2
 15816.07991 
 18908,356082  1561,215845
25080,97785
17
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
SSE 2 1561,215845
 R2  1 1  0,9385852  93,86%
SSTO 25420,83333
n  1SSE 2 6  1.1561,215845  0,897644153  89,76%
Ra2  1  1
n  p SSTO 6  3.25420,83333
 y2 = 765,8333333 – 4,774525316 (x – 292,3333333) - 0,7538923( x2 – 584,1408228x
+ 85234,833387)
 y2 = - 0,753.x2 + 435,605.x – 62096,299
Vậy có 93,86% các điểm thực nghiệm diễn biến theo đường mô hình đã khớp.
Bậc 2
900
850
800
750
700
y = -0.7539x2 + 435.61x - 62096
R² = 0.9386
650
600
280 285 290 295 300 305
Thực nghiệm Poly. (Thực nghiệm)
Hình 5: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 2
c) Đa thức bậc 3:
Đa thức bậc ba có dạng:
y3 = b0g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x) + b3g3(x) = y2 + b3g3(x)
p = 4 số tham số mô hình
Tính g3(x), b3:
Áp dụng công thức đa thức trực giao:
gj+1(x) = (x – Bj)gj(x) – Cjgj-1(x)  g 3 ( x )  ( x  B2 ) g 2 ( x )  C 2 g1 ( x)
18