Tuyển tập các phương pháp, kỹ năng chứng minh bất đẳng thức tập 3
- 620 trang
- file .pdf
Tập ba : Các tuyển tập của tác giả nước
ngoài
Tuyển tập các phương pháp, kĩ
thuật chứng minh
Bất Đẳng Thức
Tập ba : Các tuyển tập của tác giả nước ngoài
Lời nói đầu
Nguồn tài nguyên toán trên Internet là vô cùng phong phú. Tài liệu về
Bất đẳng thức trên Internet rất nhiều và nhiều chuyên đề trong số chúng
là những công cụ mạnh để giải bất đẳng thức. Việc tập hợp chúng lại
thành một ấn bản lớn để tiện nghiên cứu âu có lẽ cũng là nhu cầu của
nhiều người. Qua một thời gian sưu tầm và chọn lọc các tài liệu theo một
vài "tiêu chí", ấn bản lớn "Tuyển tập các chuyên đề, kỹ thuật chứng minh
Bất đẳng thức " đã hoàn thành. Vì dung lượng quá lớn ( khoảng trên 2000
trang ) thế nên ấn bản được chia làm 3 tập. Để cho các bài viết được thống
nhất theo một khối chung, tôi buộc phải can thiệp, chỉnh sửa một chút tài
liệu gốc, rất mong sự bỏ qua của các tác giả tài liệu trên. Một số phương
pháp kinh điển như MV, GLA, ABC, UCT cũng sẽ không xuất hiện trong
ấn bản này, độc giả hãy lượng thứ cho điều đó. Hi vọng ấn bản trên là
một tập hợp tương đối đầy đủ về Bất đẳng thức, một lĩnh vực luôn có sự
quyến rũ, cuốn hút đến không ngờ.
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về
Nguyễn Minh Tuấn
K62CLC Toán- Tin ĐHSPHN
Gmail : [email protected]
Facebook : Popeye Nguyễn
Tài liệu được phát hành trên diễn đàn : www.k2pi.net.vn. Mọi hoạt
động sử dụng tài liệu vì mục đích thương mại đều không được cho phép.
Xin chân thành cảm ơn
Nguyễn Minh Tuấn (Popeye)
Mục Lục
T.Andreescu, V.Cirtoaje, G.Dospinescu, M.Lascu
Old and New Inequalities (Bản dịch của Dương Việt Thông ) 1
Lời nói đầu 3
Chương 1. Các bài toán 4
Chương 2. Các lời giải 24
Từ điển thuật ngữ 138
Tài liệu tham khảo 142
MathLinks Members - Inequalities Marathon 144
MathLinks Members
Inequalities From Around the World 1995-2005 199
Years 2001-2005 205
Years 1996-2000 259
Years 1990-1995 304
Supplementary Problems 320
Classical Inequalities 353
Bibliography and Web Resources 358
Nguyen Manh Dung, Vo Thanh Van
Inequalities from 2008 Mathematical Competition 362
Problems 366
Solutions 372
The inequality from IMO 2008 400
Hojoo Lee, Tom Lovering, Cosmin Pohoata - INFINITY 408
1. Number Theory 412
Fundamental Theorem of Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Fermat’s Infinite Descent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414
Monotone Multiplicative Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
There are Infinitely Many Primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Towards $1 Million Prize Inequalities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .424
2. Symmetries 425
Exploiting Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Breaking Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
Symmetrizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
3. Geometric Inequalities 432
Triangle Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Conway Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Hadwiger-Finsler Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Trigonometry Rocks! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Erdos, Brocard, and Weitzenbock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
From Incenter to Centroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
4. Geometry Revisited 456
Areal Co-ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Concurrencies around Ceva’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461
Tossing onto Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Generalize Ptolemy’s Theorem!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465
5. Three Terrific Techniques (EAT) 472
’T’rigonometric Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472
’A’lgebraic Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
’E’stablishing New Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
6. Homogenizations and Normalizations 480
Homogenizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Schur and Muirhead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Normalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
Cauchy-Schwarz and Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
7. Convexity and Its Applications 491
Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
Power Mean Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Hardy - Littlewood - Polya Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
8. Epsilons 498
9. Appendix 607
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
IMO Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
T. Andreescu, V. Cartoaje, G. Dospinescu, M. Lascu
Biên dịch: Dương Việt Thông
Bất Đẳng Xưa và Nay
1
Mục lục
Lời nói đầu 3
Chương 1. Các bài toán 4
Chương 2. Các lời giải 24
Từ điển thuật ngữ 138
Tài liệu tham khảo 142
2
Lời nói đầu
Quyển sách kết hợp những kết quả kinh điển về bất đẳng thức với những bài toán rất
mới, một số bài toán được nêu chỉ vài ngày trước đây. Làm sao có thể viết được điều gì
đặc biệt khi đã có quá nhiều sách về bất đẳng thức? Chúng tôi tin chắc rằng dù đề tài
này rất tổng quát và thông dụng, quyển sách của chúng tôi vẫn rất khác biệt. Tất nhiên
nói thì rất dễ, vậy chúng tôi nêu vài lý lẽ minh chứng. Quyển sách chứa một số lớn bài
toán về bất đẳng thức, phần lớn là khó, các câu hỏi nổi tiếng trong các cuộc thi tài vì độ
khó và vẻ đẹp của chúng. Và quan trọng hơn, trong cuốn sách chúng tôi đã sử dụng những
lời giải của chính mình và đề xuất một số lớn bài toán độc đáo mới. Trong quyển sách
có những bài toán đáng nhớ và cả những lời giải đáng nhớ. Vì thế quyển sách thích hợp
với những sinh viên sử dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và muốn cải tiến
kỹ thuật và kỹ năng đại số của mình. Họ sẽ tìm thấy ở đây những bài toán khá hóc búa,
những kết quả mới và cả những vấn đề có thể nghiên cứu tiếp. Các sinh viên chưa say
mê trong lĩnh vực này có thể tìm được một số lớn bài toán, ý tưởng, kỹ thuật loại vừa và
dễ để chuẩn bị tốt cho các kỳ thi toán. Một số bài toán chúng tôi chọn là đã biết nhưng
chúng tôi đưa ra những lời giải mới để chứng tỏ sự đa dạng của những ý tưởng liên quan
đến bất đẳng thức. Bất kỳ ai cũng tìm thấy ở đây việc thử thách cho những kỹ năng của
mình. Nếu chúng tôi chưa thuyết phục nổi bạn, xin hãy xem những bài toán cuối cùng và
hy vọng bạn sẽ đồng ý với chúng tôi.
Cuối cùng nhưng không kết thúc, chúng tôi tỏ lòng biết ơn sâu sắc những người đặt
ra các bài toán có trong quyển sách này và xin lỗi vì không đưa ra đầy đủ xuất xứ dù
chúng tôi đã cố gắng hết sức. Chúng tôi cũng xin cảm ơn Marian Tetiva, Dung Tran Nam,
Constantin Tănăsescu, Călin Popa và Valentin Vornicu về những bài toán đẹp mà họ nêu
ra cùng những bình luận quý giá, cảm ơn Cristian Babă, George Lascu và Călin Popa về
việc đánh máy bản thảo và nhiều nhận xét xác đáng của họ.
Các tác giả
3
Chương 1. Các bài toán
4
1. Chứng minh rằng bất đẳng thức
√
p p p 3 2
2 2 2 2 2 2
a + (1 − b) + b + (1 − c) + c + (1 − a) ≥ .
2
đúng với các số thực a, b, c bất kỳ.
Kömal
2. [Dinu Serbănescu] Cho a, b, c ∈ (0, 1), chứng minh rằng
√ p
abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < 1.
Junior TST 2002, Romania
3. [Mircea Lascu] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
b+c c+a a+b √ √ √
√ + √ + √ ≥ a + b + c + 3.
a b c
Gazeta Matematiă
4. Nếu phương trình x4 +ax3 +2x2 +bx+1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực, thì a2 +b2 ≥ 8.
Tournament of the Towns, 1993
5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x3 + y 3 + z 3 − 3xyz với x2 + y 2 + z 2 = 1 và x, y, z
là các số thực.
6. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng
p
ax + by + cz + 2 (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c.
Ukraine, 2001
7. [Darij Grinberg] Nếu a, b, c là các số thực dương, thì
a b c 9
+ + ≥ .
(b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 4(a + b + c)
8. [Hojoo Lee] Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng
√ √ √
a4 + a2 b2 + b4 + b4 + b2 c2 + c4 + c4 + c2 a2 + a4 ≥
√ √ √
≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ac + c 2c2 + ab.
5
Gazeta Matematiă
9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 2, khi đó
√ √ √
a3 + b3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
JBMO 2002 Shorlist
10. [Ioan Tomescu] Cho x, y, x > 0. Chứng minh rằng
xyz 1
≤ 4.
(1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6) 7
Khi nào ta có đẳng thức?
Gazeta Matematiă
11. [Mihai Piticari, Dan Popescu] Chứng minh rằng
5(a2 + b2 + c2 ≤ 6(a3 + b3 + c3 ) + 1,
với mọi a, b, c > 0 và a + b + c = 1.
12. [Mircea Lascu] Cho x1 , x2 , ..., xn ∈ R, n ≥ 2 và a > 0 thỏa mãn
a2
x1 + x2 + ... + xn = a và x2 1 + x2 2 + ... + x2 n ≤ .
n−1
2a
Chứng minh rằng xi ∈ [0, ], với mọi i ∈ {1, 2, ..., n}.
n
13. [Adrian Zahariuc] Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ (1, 2) bất đẳng thức sau đây đúng
√ √ √
b a c b a c
√ √ + √ √ + √ √ ≥ 1.
4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c
14. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1, chứng minh rằng
a b c
+ + ≥ a + b + c.
b c a
6
15. [Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực sao cho a + x ≥ b + y ≥
c + z và a + b + c = x + y + z. Chứng minh rằng
ay + bx ≥ ac + xz.
16. [Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1. Chứng
minh rằng
3 6
1+ ≥ .
a+b+c ab + ac + bc
Junior TST 2003, Romania
17. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a3 b3 c3 a2 b2 c2
+ + ≥ + + .
b2 c2 a2 b c a
JBMO 2002 Shorlist
Q
n
18. Chứng minh rằng nếu n > 3 và x1 , x2 , ..., xn > 0 thỏa mãn xi = 1, thì
i=1
1 1 1 1
+ + ... + + > 1.
1 + x1 + x1 x2 1 + x2 + x2 x3 1 + xn−1 + xn−1 xn 1 + xn + xn x1
Russia, 2004
19. [Marian Tetiva] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
x2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1.
Chứng minh rằng
1
a) xyz ≤ ;
8
3
b) x + y + z ≤ ;
2
3
c) xy + xz + yz ≤ ≤ x2 + y 2 + z 2 ;
4
1
d) xy + xz + yz ≤ + 2xyz.
2
20. [Marius Olteanu] Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0. Chứng
minh rằng
| cos x1 | + | cos x2 | + | cos x3 | + | cos x4 | + | cos x5 | ≥ 1.
7
Gazeta Matematiă
21. [Florina Cârlan, Marian Tetiva] Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện
x + y + z = xyz thì
√ p √
xy + xz + yz ≥ 3 + x2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 + 1.
22. [Laurentiu Panaitopol] Chứng minh rằng
1 + x2 1 + y2 1 + z2
+ + ≥ 2,
1 + y + z 2 1 + z + x2 1 + x + y 2
với mọi số thực x, y, z > −1.
JBMO, 2003
23. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng
a2 + b b2 + c c2 + a
+ + ≥ 2.
b+c c+a a+b
24. Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a4 + b4 + c4 ≤ 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ). Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca).
Kvant, 1988
25. Cho n ≥ 2 và x1 , x2 , ..., xn là các số thực thỏa mãn
1 1 1 1
+ + ... + = .
x1 + 1998 x2 + 1998 xn + 1998 1998
Chứng minh rằng √
n x1 .x2 ...xn
≥ 1998.
n−1
Vietnam, 1998
26. [Marian Tetiva] Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y 2 + z 2 = xyz. Chứng
minh các bất đẳng thức sau
a) xyz ≥ 27;
b) xy + xz + yz ≥ 27;
8
c) x + y + z ≥ 9;
d) xy + xz + yz ≥ 2(x + y + z) + 9.
27. Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng
√ √ √
x + y + z ≥ xy + yz + zx.
Russia, 2002
28. [D.Olteanu] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a+b a b+c b c+a c 3
. + . + . ≥ .
b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b 4
Gazeta Matematiă
29. Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng
a b c c+a a+b b+c
+ + ≥ + + .
b c a c+b a+c b+a
India, 2002
30. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a3 b3 c3 3(ab + bc + ca)
2 2
+ 2 2
+ 2 2
≥ .
b − bc + c c − ac + a a − ab + b a+b+c
Đề cử cho kỳ thi Olympic Toán học vùng Balkan
31. [Adrian Zahariuc] Xét các số nguyên x1 , x2 , ..., xn , n ≥ 0 đôi một khác nhau. Chứng
minh rằng
x21 + x22 + ... + x2n ≥ x1 .x2 + x2 .x3 + ... + xn .x1 + 2n − 3.
32. [Murray Klamkin] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x21 x2 + x22 x3 + ... + x2n−1 xn + x2n x1
với x1 , x2 , ..., xn ≥ 0 có tổng bằng 1 và n > 2.
Crux Mathematicorum
9
33. Tìm giá trị lớn nhất của hằng số c sao cho với mọi x1 , x2 , ..., xn , ... > 0 thỏa mãn
xk+1 ≥ x1 + x2 + ... + xk với mọi k, bất đẳng thức
√ √ √ √
xn + xn + ... + xn ≤ c x1 + x2 + ... + xn
đúng với mọi n.
IMO Shorlist, 1986
34. Cho các số thực dương a, b, c và x, y, z thỏa mãn a + x = b + y = c + z = 1. Chứng
minh rằng
1 1 1
(abc + xyz) + + ≥ 3.
ay bz cx
Russia, 2002
35. [Viorel Vâjâitu, Alexandru Zaharescu] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh
rằng
ab bc ca 1
+ + ≤ (a + b + c).
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4
Gazeta Matematiă
36. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a3 (b + c + d) + b3 (c + d + a) + c3 (d + a + b) + d3 (a + b + c)
với a, b, c, d là các số thực mà tổng bình phương của các số bằng 1.
37. [Walther Janous] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
x y z
p + p + p ≤ 1.
x + (x + y)(x + z) y + (y + z)(y + x) z + (z + x)(z + y)
Crux Mathematicorum
38. Giả sử a1 < a2 < ... < an là các số thực, n ≥ 2 là một số nguyên. Chứng minh rằng
a1 a4 2 + a2 a4 3 + ... + an a4 1 ≥ a2 a4 1 + a3 a4 2 + ... + a1 a4 n .
Iran, 1999
10
ngoài
Tuyển tập các phương pháp, kĩ
thuật chứng minh
Bất Đẳng Thức
Tập ba : Các tuyển tập của tác giả nước ngoài
Lời nói đầu
Nguồn tài nguyên toán trên Internet là vô cùng phong phú. Tài liệu về
Bất đẳng thức trên Internet rất nhiều và nhiều chuyên đề trong số chúng
là những công cụ mạnh để giải bất đẳng thức. Việc tập hợp chúng lại
thành một ấn bản lớn để tiện nghiên cứu âu có lẽ cũng là nhu cầu của
nhiều người. Qua một thời gian sưu tầm và chọn lọc các tài liệu theo một
vài "tiêu chí", ấn bản lớn "Tuyển tập các chuyên đề, kỹ thuật chứng minh
Bất đẳng thức " đã hoàn thành. Vì dung lượng quá lớn ( khoảng trên 2000
trang ) thế nên ấn bản được chia làm 3 tập. Để cho các bài viết được thống
nhất theo một khối chung, tôi buộc phải can thiệp, chỉnh sửa một chút tài
liệu gốc, rất mong sự bỏ qua của các tác giả tài liệu trên. Một số phương
pháp kinh điển như MV, GLA, ABC, UCT cũng sẽ không xuất hiện trong
ấn bản này, độc giả hãy lượng thứ cho điều đó. Hi vọng ấn bản trên là
một tập hợp tương đối đầy đủ về Bất đẳng thức, một lĩnh vực luôn có sự
quyến rũ, cuốn hút đến không ngờ.
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về
Nguyễn Minh Tuấn
K62CLC Toán- Tin ĐHSPHN
Gmail : [email protected]
Facebook : Popeye Nguyễn
Tài liệu được phát hành trên diễn đàn : www.k2pi.net.vn. Mọi hoạt
động sử dụng tài liệu vì mục đích thương mại đều không được cho phép.
Xin chân thành cảm ơn
Nguyễn Minh Tuấn (Popeye)
Mục Lục
T.Andreescu, V.Cirtoaje, G.Dospinescu, M.Lascu
Old and New Inequalities (Bản dịch của Dương Việt Thông ) 1
Lời nói đầu 3
Chương 1. Các bài toán 4
Chương 2. Các lời giải 24
Từ điển thuật ngữ 138
Tài liệu tham khảo 142
MathLinks Members - Inequalities Marathon 144
MathLinks Members
Inequalities From Around the World 1995-2005 199
Years 2001-2005 205
Years 1996-2000 259
Years 1990-1995 304
Supplementary Problems 320
Classical Inequalities 353
Bibliography and Web Resources 358
Nguyen Manh Dung, Vo Thanh Van
Inequalities from 2008 Mathematical Competition 362
Problems 366
Solutions 372
The inequality from IMO 2008 400
Hojoo Lee, Tom Lovering, Cosmin Pohoata - INFINITY 408
1. Number Theory 412
Fundamental Theorem of Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Fermat’s Infinite Descent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414
Monotone Multiplicative Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
There are Infinitely Many Primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Towards $1 Million Prize Inequalities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .424
2. Symmetries 425
Exploiting Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Breaking Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
Symmetrizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
3. Geometric Inequalities 432
Triangle Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Conway Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Hadwiger-Finsler Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Trigonometry Rocks! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Erdos, Brocard, and Weitzenbock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
From Incenter to Centroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
4. Geometry Revisited 456
Areal Co-ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Concurrencies around Ceva’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461
Tossing onto Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Generalize Ptolemy’s Theorem!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465
5. Three Terrific Techniques (EAT) 472
’T’rigonometric Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472
’A’lgebraic Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
’E’stablishing New Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
6. Homogenizations and Normalizations 480
Homogenizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Schur and Muirhead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Normalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
Cauchy-Schwarz and Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
7. Convexity and Its Applications 491
Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
Power Mean Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Hardy - Littlewood - Polya Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
8. Epsilons 498
9. Appendix 607
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
IMO Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
T. Andreescu, V. Cartoaje, G. Dospinescu, M. Lascu
Biên dịch: Dương Việt Thông
Bất Đẳng Xưa và Nay
1
Mục lục
Lời nói đầu 3
Chương 1. Các bài toán 4
Chương 2. Các lời giải 24
Từ điển thuật ngữ 138
Tài liệu tham khảo 142
2
Lời nói đầu
Quyển sách kết hợp những kết quả kinh điển về bất đẳng thức với những bài toán rất
mới, một số bài toán được nêu chỉ vài ngày trước đây. Làm sao có thể viết được điều gì
đặc biệt khi đã có quá nhiều sách về bất đẳng thức? Chúng tôi tin chắc rằng dù đề tài
này rất tổng quát và thông dụng, quyển sách của chúng tôi vẫn rất khác biệt. Tất nhiên
nói thì rất dễ, vậy chúng tôi nêu vài lý lẽ minh chứng. Quyển sách chứa một số lớn bài
toán về bất đẳng thức, phần lớn là khó, các câu hỏi nổi tiếng trong các cuộc thi tài vì độ
khó và vẻ đẹp của chúng. Và quan trọng hơn, trong cuốn sách chúng tôi đã sử dụng những
lời giải của chính mình và đề xuất một số lớn bài toán độc đáo mới. Trong quyển sách
có những bài toán đáng nhớ và cả những lời giải đáng nhớ. Vì thế quyển sách thích hợp
với những sinh viên sử dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và muốn cải tiến
kỹ thuật và kỹ năng đại số của mình. Họ sẽ tìm thấy ở đây những bài toán khá hóc búa,
những kết quả mới và cả những vấn đề có thể nghiên cứu tiếp. Các sinh viên chưa say
mê trong lĩnh vực này có thể tìm được một số lớn bài toán, ý tưởng, kỹ thuật loại vừa và
dễ để chuẩn bị tốt cho các kỳ thi toán. Một số bài toán chúng tôi chọn là đã biết nhưng
chúng tôi đưa ra những lời giải mới để chứng tỏ sự đa dạng của những ý tưởng liên quan
đến bất đẳng thức. Bất kỳ ai cũng tìm thấy ở đây việc thử thách cho những kỹ năng của
mình. Nếu chúng tôi chưa thuyết phục nổi bạn, xin hãy xem những bài toán cuối cùng và
hy vọng bạn sẽ đồng ý với chúng tôi.
Cuối cùng nhưng không kết thúc, chúng tôi tỏ lòng biết ơn sâu sắc những người đặt
ra các bài toán có trong quyển sách này và xin lỗi vì không đưa ra đầy đủ xuất xứ dù
chúng tôi đã cố gắng hết sức. Chúng tôi cũng xin cảm ơn Marian Tetiva, Dung Tran Nam,
Constantin Tănăsescu, Călin Popa và Valentin Vornicu về những bài toán đẹp mà họ nêu
ra cùng những bình luận quý giá, cảm ơn Cristian Babă, George Lascu và Călin Popa về
việc đánh máy bản thảo và nhiều nhận xét xác đáng của họ.
Các tác giả
3
Chương 1. Các bài toán
4
1. Chứng minh rằng bất đẳng thức
√
p p p 3 2
2 2 2 2 2 2
a + (1 − b) + b + (1 − c) + c + (1 − a) ≥ .
2
đúng với các số thực a, b, c bất kỳ.
Kömal
2. [Dinu Serbănescu] Cho a, b, c ∈ (0, 1), chứng minh rằng
√ p
abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < 1.
Junior TST 2002, Romania
3. [Mircea Lascu] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
b+c c+a a+b √ √ √
√ + √ + √ ≥ a + b + c + 3.
a b c
Gazeta Matematiă
4. Nếu phương trình x4 +ax3 +2x2 +bx+1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực, thì a2 +b2 ≥ 8.
Tournament of the Towns, 1993
5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x3 + y 3 + z 3 − 3xyz với x2 + y 2 + z 2 = 1 và x, y, z
là các số thực.
6. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng
p
ax + by + cz + 2 (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c.
Ukraine, 2001
7. [Darij Grinberg] Nếu a, b, c là các số thực dương, thì
a b c 9
+ + ≥ .
(b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 4(a + b + c)
8. [Hojoo Lee] Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng
√ √ √
a4 + a2 b2 + b4 + b4 + b2 c2 + c4 + c4 + c2 a2 + a4 ≥
√ √ √
≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ac + c 2c2 + ab.
5
Gazeta Matematiă
9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 2, khi đó
√ √ √
a3 + b3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
JBMO 2002 Shorlist
10. [Ioan Tomescu] Cho x, y, x > 0. Chứng minh rằng
xyz 1
≤ 4.
(1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6) 7
Khi nào ta có đẳng thức?
Gazeta Matematiă
11. [Mihai Piticari, Dan Popescu] Chứng minh rằng
5(a2 + b2 + c2 ≤ 6(a3 + b3 + c3 ) + 1,
với mọi a, b, c > 0 và a + b + c = 1.
12. [Mircea Lascu] Cho x1 , x2 , ..., xn ∈ R, n ≥ 2 và a > 0 thỏa mãn
a2
x1 + x2 + ... + xn = a và x2 1 + x2 2 + ... + x2 n ≤ .
n−1
2a
Chứng minh rằng xi ∈ [0, ], với mọi i ∈ {1, 2, ..., n}.
n
13. [Adrian Zahariuc] Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ (1, 2) bất đẳng thức sau đây đúng
√ √ √
b a c b a c
√ √ + √ √ + √ √ ≥ 1.
4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c
14. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1, chứng minh rằng
a b c
+ + ≥ a + b + c.
b c a
6
15. [Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực sao cho a + x ≥ b + y ≥
c + z và a + b + c = x + y + z. Chứng minh rằng
ay + bx ≥ ac + xz.
16. [Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1. Chứng
minh rằng
3 6
1+ ≥ .
a+b+c ab + ac + bc
Junior TST 2003, Romania
17. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a3 b3 c3 a2 b2 c2
+ + ≥ + + .
b2 c2 a2 b c a
JBMO 2002 Shorlist
Q
n
18. Chứng minh rằng nếu n > 3 và x1 , x2 , ..., xn > 0 thỏa mãn xi = 1, thì
i=1
1 1 1 1
+ + ... + + > 1.
1 + x1 + x1 x2 1 + x2 + x2 x3 1 + xn−1 + xn−1 xn 1 + xn + xn x1
Russia, 2004
19. [Marian Tetiva] Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
x2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1.
Chứng minh rằng
1
a) xyz ≤ ;
8
3
b) x + y + z ≤ ;
2
3
c) xy + xz + yz ≤ ≤ x2 + y 2 + z 2 ;
4
1
d) xy + xz + yz ≤ + 2xyz.
2
20. [Marius Olteanu] Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0. Chứng
minh rằng
| cos x1 | + | cos x2 | + | cos x3 | + | cos x4 | + | cos x5 | ≥ 1.
7
Gazeta Matematiă
21. [Florina Cârlan, Marian Tetiva] Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện
x + y + z = xyz thì
√ p √
xy + xz + yz ≥ 3 + x2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 + 1.
22. [Laurentiu Panaitopol] Chứng minh rằng
1 + x2 1 + y2 1 + z2
+ + ≥ 2,
1 + y + z 2 1 + z + x2 1 + x + y 2
với mọi số thực x, y, z > −1.
JBMO, 2003
23. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng
a2 + b b2 + c c2 + a
+ + ≥ 2.
b+c c+a a+b
24. Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a4 + b4 + c4 ≤ 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ). Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca).
Kvant, 1988
25. Cho n ≥ 2 và x1 , x2 , ..., xn là các số thực thỏa mãn
1 1 1 1
+ + ... + = .
x1 + 1998 x2 + 1998 xn + 1998 1998
Chứng minh rằng √
n x1 .x2 ...xn
≥ 1998.
n−1
Vietnam, 1998
26. [Marian Tetiva] Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y 2 + z 2 = xyz. Chứng
minh các bất đẳng thức sau
a) xyz ≥ 27;
b) xy + xz + yz ≥ 27;
8
c) x + y + z ≥ 9;
d) xy + xz + yz ≥ 2(x + y + z) + 9.
27. Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng
√ √ √
x + y + z ≥ xy + yz + zx.
Russia, 2002
28. [D.Olteanu] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a+b a b+c b c+a c 3
. + . + . ≥ .
b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b 4
Gazeta Matematiă
29. Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng
a b c c+a a+b b+c
+ + ≥ + + .
b c a c+b a+c b+a
India, 2002
30. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a3 b3 c3 3(ab + bc + ca)
2 2
+ 2 2
+ 2 2
≥ .
b − bc + c c − ac + a a − ab + b a+b+c
Đề cử cho kỳ thi Olympic Toán học vùng Balkan
31. [Adrian Zahariuc] Xét các số nguyên x1 , x2 , ..., xn , n ≥ 0 đôi một khác nhau. Chứng
minh rằng
x21 + x22 + ... + x2n ≥ x1 .x2 + x2 .x3 + ... + xn .x1 + 2n − 3.
32. [Murray Klamkin] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x21 x2 + x22 x3 + ... + x2n−1 xn + x2n x1
với x1 , x2 , ..., xn ≥ 0 có tổng bằng 1 và n > 2.
Crux Mathematicorum
9
33. Tìm giá trị lớn nhất của hằng số c sao cho với mọi x1 , x2 , ..., xn , ... > 0 thỏa mãn
xk+1 ≥ x1 + x2 + ... + xk với mọi k, bất đẳng thức
√ √ √ √
xn + xn + ... + xn ≤ c x1 + x2 + ... + xn
đúng với mọi n.
IMO Shorlist, 1986
34. Cho các số thực dương a, b, c và x, y, z thỏa mãn a + x = b + y = c + z = 1. Chứng
minh rằng
1 1 1
(abc + xyz) + + ≥ 3.
ay bz cx
Russia, 2002
35. [Viorel Vâjâitu, Alexandru Zaharescu] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh
rằng
ab bc ca 1
+ + ≤ (a + b + c).
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4
Gazeta Matematiă
36. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a3 (b + c + d) + b3 (c + d + a) + c3 (d + a + b) + d3 (a + b + c)
với a, b, c, d là các số thực mà tổng bình phương của các số bằng 1.
37. [Walther Janous] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
x y z
p + p + p ≤ 1.
x + (x + y)(x + z) y + (y + z)(y + x) z + (z + x)(z + y)
Crux Mathematicorum
38. Giả sử a1 < a2 < ... < an là các số thực, n ≥ 2 là một số nguyên. Chứng minh rằng
a1 a4 2 + a2 a4 3 + ... + an a4 1 ≥ a2 a4 1 + a3 a4 2 + ... + a1 a4 n .
Iran, 1999
10