Tuyển tập 100 hệ phương trình luyện thi đại học

  • 52 trang
  • file .pdf
www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015

NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
1) PHẠM VĂN QUÝ
2) NGUYỄN VIẾT THANH
3) DOÃN TIẾN DŨNG
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC
 2
x 12  y  y(12  x )  12 (1)
Bài 1 Giải hệ phương trình:  3 (x, y  R) (ĐH khối A – 2014)
x  8x  1  2 y  2 (2)

Giải
2  y  12 

 2  y  12
Điều kiện :   
12  x 2  0 
2 3  x  2 3
 

Cách 1:
Đặt a  12  y , a  0  y  12  a 2
PT (1)  xa  (12  a 2 )(12  x 2 )  12
 122  12x 2  12a 2  x 2a 2  12  xa
xa  12
 
122  12x 2  12a 2  x 2a 2  122  2.12.xa  x 2a 2

xa  12
  2
12x  2.12xa  12a 2  0

xa  12
 
(x  a )2  0

Ta có (x – a)2 = 0  x = 12  y (*)
Thế (*) vào (2) được : (12  y ) 12  y  8 12  y  1  2 y  2
 (4  y ) 12  y  2 y  2  1
 (3  y ) 12  y  12  y  3  2  2 y  2  0
3 y 2(3  y )
 (3  y ) 12  y   0
12  y  3 1 y 2
y  3

  1 2
 12  y    0(voâ nghieäm)
 12  y  3 1  y  2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
x  3
Vậy 
y  3

Cách 2:
Ta có x 12  y  (12  x 2 )y  x  12  x 12  y  y   12
2 2
x 12  y
Dấu “=” xảy ra    x y  (12  y )(12  x 2 ) (3)
12  y 2 y
Khi đó (1) tương đương với (3)
x  0 x  0 x  0
(3)   2    
x y  144  12x 2  12y  x 2y 12y  144  12x 2 y  12  x 2 (4)
  
Thế (4) vào (2) ta có
(2)  x 3  8x  1  2 10  x 2  x 3  8x  1  2 10  x 2  0

 x 3  8x  3  2 1  10  x 2  0 
1  (10  x 2 )

 x  3 x 2  3x  1  2.  0
1  10  x 2
9  x2

 x  3 x 2  3x  1  2.  2
0
1  10  x
 2(x  3) 
 x  3 x 2  3x  1  0
 1  10  x 2 
x  3

  2 2(x  3)
x  3x  1  2
 0 (voâ nghieäm vì x  0)
 1  10  x
x 3y 3
x  3
Vậy 
y  3

Cách 3:
 

Đặt a  x ; 12  x 2 ;b    12  y ; y 
 
a  b  12
2 2 
(1)  a  b  2a.b
 
 a  b  x  12  y
(2)  x 3  8x  3  2 10  x 2  2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3  x 3  x 
 
 x  3 x 2  3x  1  2
10  x 2  1
x y 3
x  3x  1 10  x  1  2 3  x   0
2 2
 
Đặt f x   x 2  3x  1 10  x 2  1  2 3  x 
f ' x   0 x  0  phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3)
(1  y ) x  y  x  2  (x  y  1) y

Bài 2 Giải hệ phương trình:  2 (ĐH khối B – 2014)
2y  3x  6y  1  2 x  2y  4x  5y  3

Giải

y  0



Điều kiện: x  2y

4x  5y  3


Phương trình thứ nhất viết lại thành
(1  y ) x  y  (1  y )  (x  y  1)  (x  y  1) y
(1  y )(x y 1) y 1 y  1
  (x  y  1)  
x y 1 y 1 x  y  1
TH1 : y  1 thay xuống (2) ta có
9  3x  2 x  2  4x  8  x  3(TM )
TH2 : x  y  1 thay xuống (2) ta có
2y 2  3y  2  2 1  y  1  y
 2y 2  3y  2  1  y  0
 2(y 2  y  1)  (y  1  y )  0
 1 

 (y 2  y  1) 2    0
 y  1  y 
5 1 5 1
y x  (TM )
2 2
5 1 5 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm : (x ; y )  (3;1),( ; ).
2 2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

y(x  2x  2)  x (y 2  6)
2

Bài 3 Giải hệ phương trình: 

(y  1)(x 2  2x  7)  (x  1)(y 2  1)


Giải
ĐK: x , y  R
a  x  1 b(a 2  1)  (a  1)(b 2  6)
  2 2
Đặt  , ta có hệ trở thành:   (a  1)(b  6)  b(a  1) (*)

b  y (b  1)(a 2  6)  a(b 2  1) (b  1)(a 2  6)  a(b 2  1)(**)
 
 
Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có:
a  b
(a  b)(a  b  2ab  7)  0  
a  b  2ab  7  0
 Trường hợp 1: a  b thay vào phương trình (*) ta có:
a  2
(a  1)(a 2  6)  a(a 2  1)  a 2  5a  6  0  
a  3
x  1
   hệ có 2 nghiệm (x; y) là:
 x  2
 Trường hợp 2: a  b  2ab  7  0
2 2
 5  5 1
Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có: a    b   
 2   2  2

a  b  2ab  7  0


Vậy ta có hệ phương trình:  
2
 
2
a  5   b  5   1


 2   2  2
a  2 a  3 a  2 a  3
Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm:  ;  ;  ; 
b  2 b  3 b  3 b  2
   
Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).
Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).

x 3  12x  y 3  6y 2  16  0


Bài 4 Giải hệ phương trình:  2
4x  2 4  x 2  5 4y  y 2  6  0


Giải
ĐK: x  2;2 , y  0; 4
Ta có PT (1)  (x  2)3  6(x  2)  y 3  6y 2
Xét hàm số f (t )  t 3  6t, t  0; 4 ta có f '(t )  3t 2  12t  3t(t  4)  0, t  0; 4  f (t ) nghịch
biến trên  0; 4 . Mà phương trình (1) có dạng: f ( x  2)  f ( y )  y  x  2 thay vào phương trình (2) ta
có: 4x 2  6  3 4  x 2  x  0 từ đó ta có y = 2.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2).
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
x  2 y  1  3

Bài 5 Giải hệ phương trình:  3 .
x  4x 2 y  1  9x  8y  52  4xy

Giải
§K: y  1 .
x  3  2 y  1

HPT   3
x  4x y  1  4xy  4x  13x  8y  52  0
2


x  3  2 y  1
 

 x (x  2 y  1)2  13x  8y  52  0




x  3  2 y  1


 x  2y  13  0




x  3  2 y  1
 

 y 1  5 y


x  3  2 y  1

 y  5
 2
y  11y  24  0




x  3 2 y 1
 
x  7

 y  5 
 y  3
y  3 
 
y  8

x  7
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:  .
y  3

 y  2x  y  x
 1  0
Bài 6 Giải hệ phương trình: 
xy

 1  xy  x 2  y 2  0

ĐK: x  0; y  0; xy  1
1  y  2x  y  x  xy  0   y  x  y  2 x  1  0  y  x  y  x thay vào
2 , ta được: 1  x  0  x  1  y  1
2
KL: hệ pt có tập nghiệm: S  1;1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

 2 x  y


3 3

3 x 2  y2  
 5 x  y   8 xy


Bài 7 Giải hệ phương trình:  xy xy


 5x  y
 5x  1  2  y 


 2
1
ĐK: x  ; 0  y  2
5
Đặt u  x  y, u  0; v  xy , v  0 khi đó
   u  
2
u u u

1  2u 3
3u v 2
uv  2v 2
0  

3
 2 

 2 
  
   v 
  1   0   2  u  2v

v  v  v
   0  x  y thay vào 2 , ta được:
2
 x  y  2 xy  x y
5x  5 1x  5 1 
5x  1  2  x  3x    3x  3  x  1   3  0
5x  1  2 2 x 1  5x  1  2 2 x 1 
x  1  y  1

  5 1 1
   3  0 VN v ì x 2
 5x  1  2 2  x  1 5
KL: tập nghiệm của hệ pt là: S  1;1
 3
x  y
2
 x  x  1  1  x 2
  2x  11    2 3y  1 
Bài 8 Giải hệ phương trình:   y 2
 y  y x y
 x 3  x 2  1 4
  1  0
 y2 y
ĐK: y  0
 
  
x  y  1x  y   1  0
2

x  y   x  y   x  y   1  0
3 2
y  x  1 x  1
Hệ   3        

 x  x 2  1  4y  y 2  0 
 x 3
 x 2
 1  4y  y 2
 0 x  1 y  2
 
  
KL: S  1;2

Bài 9 Giải hệ phương trình: 
 
 4x  3xy  7y  4 x  5xy  6y  3x  2xy  y
2 2 2 2 2 2

3x 2  10xy  34y 2  47


 2 2
3x  2xy  y  0
ĐK:  2

 4x  3xy  7y 2  0


www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình 1 , ta được:
  x  y n 
 1
 
x 2  5xy  6y 2   4  0  
n 
 4x 2  3xy  7y 2  3x 2  2xy  y 2  x  6y
x  1  y  1
Với x  y thay vào 2 , ta được: x 2  1  
x  1  y  1

y  47  x  6 47

Với x  6y thay vào 2 , ta được: 82y 2  47   82 82

y   47  x  6 47
 82 82

  47 
  47   47 47 
KL: S  1;1, 1; 1,  ; 6  ;  ;6 
  82 82   82 82 
 
www.VNMATH.com



 x 2  3xy  3 x  y   0
Bài 10 Giải hệ phương trình:  4



  
x  9y x 2  y  5x 2  0
x 2  3y  3x  3xy
Hệ   2
 
2
 x  3y  3x y  5x  0
2 2

x  0  y  0

 1
 
Thay 1 vào 2 , ta được: x 9y  15y  4  0  y   x  1
2 2
3

y  4  x 2  x  4  0 VN

 3

  1  
KL: S  0; 0; 1; 

  3 
 

x  2  4 y  1  4xy  13
2 2

Bài 11 Giải hệ phương trình:  x 2  xy  2y 2 2
  x y 
 x y x  y2
2


x y  0



ĐK: x  y  0



x  2y  0

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
x  4xy  4y  4x  8y  5  0
2 2

Hệ  
x  y  x  2y  x  y  x  y  2

x  2y  1
Ta có PT 1  x  2y   4 x  2y   5  0  
2
x  2y  5 l 
Với x  2y  1 thay vào 2 , ta được:
3y  1 y  1  1  3y  9y  6y  13y  0  y  0  x  1 thỏa mãn
3 2
KL: S  1; 0
 2
Bài 12 Giải hệ phương trình: 
 
 x  5 x 2  2y  x 2  3  2y  x  2y  1
2
x 2  3y  6

ĐK: x  2y
Ta có 2  x 2  6  3y thay vào 1 ta được: 1  5y  6  5y  5y  9  y  1  x   3 thỏa
mãn
KL: S   3;1;  3;1

 x2 y

y  1 2
Bài 13 Giải hệ phương trình:   x 2
 1  y  1
 2 




 
x  4y x 2  1  6  5 x 2  1 1 
 x  1y  1
2

x  1  x  1

ĐK: y  1

 x  1  y  1  0
2
 2 b 2 a  b   2

a  x  1, a  0
Đặt:  , ta được:  3
b  y  1,b  0 a  4ab 2  5a 2b  6
 

Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S   10;2; 10;2

20y 3  3y 2  3xy  x  y  0
Bài 14 Giải hệ phương trình:  2

x  y 2  3y  1


www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
20y  y 3y  1  x 3y  1  0
 3
Hệ   2 .
x  y 2  3y  1



Thế 2 vào 1 , ta được phương trình thuần nhất bậc 3

 3 1   3 1
KL: S  ; ;  ; 
 2 2   5 5 

 
 2 2
x  3y  x  3y  0
Bài 15 Giải hệ phương trình: 
 2y  1  2x 2  y 2  3x  1  0

1
ĐK: y 
2

 3y  x
3y  x 

Ta có PT 1  x 2  3y 2  3y  x   2  
y  0 l 
6y  6xy  0 
  x y


Với x  y thay vào 2 , ta được:
y  1  x  1


2y  1  y  3y  1  y  6y  11y  8y  2  0  y  2  2 l 
2 4 3 2

y  2  2  x  2  2

 
KL: S  1;1; 2  2;2  2 

 2
 x y2 
3 x 4  y 4  2x 2y 2 
  
Bài 16 Giải hệ phương trình:  y 2 x 2 x 2
 y 2
2
 



xy 2  3y 2  4x  8


ĐK: x .y  0
 
 x 4  x 2y 2  y 4  
Ta có PT 1  x 2  y 2 
2
   0  x 2  y 2  x  y
 2 2 2 2 x  y
 
 x y x  y 
2

 Với x  y thay vào 2 , ta được: x  1  y  1
 Với x  y thay vào 2 , ta được: y  1  x  1
KL: S  1;1; 1; 1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

10x 2  5y 2  2xy  38x  6y  41  0


Bài 17 Giải hệ phương trình:  3

 x  xy  6y  y 3  x 2  1  2



x 3  xy  6y  0

ĐK:  3

y  x2 1  0


Ta có PT 1  10x 2  2x y  19  5y 2  6y  41  0 .
Tính Δ 'x  49 y  1  0  y  1 thay vào 1 được x  2 thỏa hệ phương trình
2
KL: S  2;1

x 3  y 3  x 2y  xy 2  2xy  x  y  0


Bài 18 Giải hệ phương trình: 



x  y  x 3  2x 2  y  2
ĐK: x  y
y  x  1
Ta có PT 1  x  y  1 x 2  y 2  x  y   0   2 2
x  y  x  y  0
x  0  y  1
 y  x  1 thay vào 2 , ta được: x 3  2x 2  x  0  
x  1  y  0
 x 2  y2  x  y  0  x  y  0 vì x  y  0 thay vào hệ không thỏa
KL: S 1; 0; 0; 1
 2
Bài 19 Giải hệ phương trình: 
2

3 2 3 2
y  8x  3  1  3 y  1 y  1 

 
2
2 3 2 2 2 2
4  3 y  1  2 y  1  12x  y  1  4x
3
1 1
ĐK: x 
2 2
a  3 y 2  1 
a 3  3a 2  2a  3b 2  b  0

Đặt:   , ta có:  3  a  b 2  b thay vào 1 , ta được:
b  1  4x , b  0
2 

2
a  3a  a  2b  02
 

b  b  3 b  b  2 b  b  3b  b  0  b  0  a  0 .
3 2
2 2 2 2
 
 1  4x  0
2
x   1
Khi đó ta có:  2 

 3
y 1  0 y  12
 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
 1   1
  1  1 

KL: S   ;1;  ; 1;  ;1;  ; 1
 2   2


  2   2 

   
3x 6  24y 3  2y  x 2 9x 2  18y  11  0
Bài 20 Giải hệ phương trình: 
1  3 2 2y  1  x  3 x  6y  1

ĐK: y  0
Ta có PT 1  x 2  2y 3x 4  6x 2y  9x 2  12y 2  18y  1  0
Với x 2  2y thay vào 2 , ta được:
 
 1 2
1  2x  1  x  4x  1  x  1
3 3
   0
 x  1 3 2 
 (4x  1)  4x  1 2x  1  (2x  1) 
2 3 3 3
1
x 1y 
2
 
 1 
KL: S  1; 
 
 2 
 

 x  y 2 x  y  2
  xy  
xy
Bài 21 Giải hệ phương trình:  x y xy
 1 1
  x y  4
  y x
ĐK: x  0; y  0
   0  x  y  xy  x  y  x y  2 xy thay vào 2 ta được:
2
Ta có PT 1  y  x  xy 2 2
 xy  1xy xy  xy  xy  4  0  xy  1

 3 5

x  y  3 x 
Khi đó ta có:    2

xy  1 
y  3  5


 2
 
 3  5 3  5 
KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: S   ; 
 2 2 
 

x  2 x  1  4  4  x  1  0

Bài 22 Giải hệ phương trình:  y 1 y 1 y 1
  y 1
y  1x  1 x  1  2 y  1  2
 2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
ĐK: x  1; y  1
a  x  1, a  0 b  2

Đặt:  . Ta có 1  b  2  a 2b 2  2ab  ab 2  0  
2
b  y  1, b  0 a  0
 
 x  1  0 x  1

    thỏa hệ phương trình
 y  1  2 y  5
 

KL: S  1; 5 

 x  3 y
 1
Bài 23 Giải hệ phương trình:   4 y  2x  y
 1 1 1
  
 3 3x  4y  8 y 1 2

y 1



ĐK: 2x  y  0



 3x  4y  8

 2 

Ta có 1  x  4y 1    0  x  4y thay vào 2 , ta được:
 3 y  2x  y 
1 1
1 1 1  1 

 
   a 2  a 2    a  1 2a 2  a  1  0  a  1  a  6 
2 y 1
3
y 1 2 2 2  y  1 
1
 1y 2x 8
6
y 1
KL: S  8;2
 x  1 1  2y  y  2  0
  
Bài 24 Giải hệ phương trình sau:  (x , y  ).
 
y y  x  1  x  4  0

Giải
Điều kiện: x  1.
Đặt t  x  1, t  0. Khi đó x  t 2  1 và hệ trở thành
t(1  2y )  y  2  0 t  y  2ty  2  0 (t  y )  2ty  2  0
  2  
y(y  t )  t  3  0
2
y  ty  t  3  0
2
(t  y )2  3ty  3  0
  
t  y  0 y  t
 
Suy ra 2(t  y )  3(t  y )  0  
2
3 
t  y   y  t  3 .
 2  2
 Với y  t, ta có 2t 2  2  0  t  1. Suy ra x  2, y  1.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3 3  3 3  13
 Với y  t  , ta có   2t t    2  0  4t 2  6t  1  0  t  .
2 2  2  4
19  3 13 3  13
Suy ra x  ,y .
8 4
Vậy nghiệm (x; y) của hệ là

 (x  2) x 2  4x  7  y y 2  3  x  y  2  0
Bài 25 Giải hệ phương trình sau:  2
 x  y  1  x  y  1

Giải
Điều kiện: x 2  y  1  0
Phương trình (1)  (x  2) (x  2)2  3  x  2  y (y )2  3  y
2 2 t2
Xét hàm số f (t )  t t  3  t Có f '(t )  t  3   1  0 t
t2  3
 Hàm số f(t) đồng biến trên R  Phương trình (1)  x  2  y
Thay vào (2) ta có
 3 

 3
2  x   x 
x  x  1  2x  3   2   2
 2 2 
 2 2
x  x  1  4x  12x  9 x  x  1  4x  12x  9



:   x   3
 3  2
 x   
 2   x   1  x  1  y  1 (tmdk)
 2 
3x  13x  10  0 x   10
 3
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1).
 53  5x 10  x  5y  48 9  y  0
    1
Bài 26 Giải hệ phương trình sau:    x , y   
 2x  y  6  x 2  2x  y  11  2x  66

2
Giải
10  x  0 x  10
 
9  y  0 y  9
ĐK:   
2x  y  6  0 2x  y  6  0
 
2x  y  11  0 2x  y  11  0
Từ PT(1) ta có 5 10  x   3 10  x  5 9  y   3 9  y , 3
   
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
 
Xét hàm số f t   5t  3 t trên khoảng t  0;  có f / t   15t 2  3  0, t  0 hàm số đồng
2
biến .Từ (3) ta có f  10  x   f  9  y   10  x  9  y  y  x  1, 4 Thay (4) vào (2) ta
được x  7  10  x  x 2  2x  66  0 (5) ĐK: x  7;10
Giải (5) ta được
 x  7  4  1  10  x   x  2x  63  0  x x7 9 4  1 x 109 x  x  9x  7  0
2
1 1
x  9[   x  7  ]  0  x  9, y  8
x 7 4 1  10  x
Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x ; y   9; 8
 x 1y

  x y 1
Bài 27 Giải hệ phương trình sau: 1  1  x 1  y

 1  x  4  y  2 2

Giải
ĐK: 0  x ; y  1
x 1y
PT(1)  x   1  y (*)
1 1x 1  1  (1  y )
1 1
(1  1  t )  . t
t 2 1t
xét h/s f (t )   t ; có f (t )  2 t
'
1 0 ,t  (1; )
1  1t (1  1  t )2
vì (*)  f (x )  f (1  y)  x  1  y , thế vào pt(2) ta được :
1  x  5  x  2 2  6  2x  2 5  6x  x 2  8
1 1
 5  6x  x 2  x  1  5  6x  x 2  (x  1)2  x  y  (tmđk)
2 2

x  1
vậy hệ pt có nghiệm là  2
 1
y 
 2

27x 3y 3  7y 3  8
Bài 28 Giải hệ phương trình sau:  2
9x y  y 2  6x


Giải
Nhận xét y  0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được
(3xy )3  7(3xy )2  14(3xy )  8  0
Từ đó tìm được hoặc 3 xy  1 hoặc 3 xy  2 hoặc 3 xy  4
1
Với 3 xy  1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó x 
3
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Với 3 xy  2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại)
2
Với 3 xy  4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x  
3

 3 3
x  y  4x  2y
Bài 29 Giải hệ phương trình sau:  2

x  3y 2  4


Giải
3 3
Phương trình (1)  2(x  y )  4(2 x  y)
Từ phương trình (2) thay 4  x 2  3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được:
y  0

x 2y  6xy 2  5y 3  0  x  y

x  5y

x 3  4x
TH1 : y  0 thay vào hệ ta được  2  x  2  nghiệm (x; y)  (2; 0)

 x  4


2x 3  2x
TH2 : x  y  y  x thay vào hệ ta được :  2  x  1
4x  4

Hệ có nghiệm (x; y)  (1; 1); (1;1)
5 1 5 1
TH3 : x  5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y)  ( ; ); ( ; )
7 7 7 7
Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm.
www.VNMATH.com
 y  2 . x  2  x . y  0
 
Bài 30 Giải hệ phương trình sau:  (x; y  R).
   
 x  1. y  1  y  3. 1  x 2  y  3x 
Giải
x  1; y  0
ĐK:  2
x  y  3x  0

PT (1)  x  2.y  x . y  2 x  2  0

 y  2x  4
 2 x 2
có y  x 2  8 x  2  x  4  
2
 y  2  0  loai
 4 x 2

2x  4
với y   y  x  2  y  x  2 , thế vào (1) ta được
2 x 2
 
x 1  x  2  1  x  11  x  2x  2   x  1.( x  2  1)  x  1. x  1  1 (*)
2
2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Xét hàm số f (t )  t  
t 2  1  1  t t 2  1  t , có f ' (t )  t 2  1 
t2
2
t 1
 1  0  f (t ) đồng
biến.
x  1

Vì PT (*)  f ( x  1)  f (x  1)  x  1  x  1   2  x  3
x  1  x  1

Với x = 3  y  5 (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5).

x 2  y 2  1  2x  2y
Bài 31 Giải hệ phương trình sau: 


 2x  y  y  1  2y

Giải
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
x  2
x 2  2xy  1  1  2x  4y  x x  2y   2 x  2y   x  2x  2y   0  
x  2y  0
Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y = 1
Trường hợp x+2y = 0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = 1.


 xy y  1  y 2  1  4y

Bài 32 Giải hệ phương trình sau:  2 1

xy x  2  2  y 2  5


 y
Giải
Điều kiện y  0

 1 
 1

 x y  1  y   4 
y x  1   x  4
 y  y
(I )  
 

 1  1
  y 2 x  1  2  5
2

y 2 x 2  2x  1  2  5 



 y 

 y
1
Đặt u  y x  1  ; v  x  1 ta có hệ
y

  u  5 u  3
u  v  5  v  5  u    
u  2v  5
2
u  2u  15  0
2
v  10 v  2
   
 
y x  1  1  5 y x  1  1  3
hay  y  y
 
x  1  10 x  1  2
10y 2  5y  1  0 2y 2  3y  1  0 x  1  y  1
 
   

x 9 x  1 x  1  y  1
   2
Vậy hệ có các nghiệm (1;1) và (1; 1/2 ).
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

 3 2y

  1
 2 2
Bài 33 Giải hệ phương trình sau:  x  y  1 x

 4x
x 2  y2   22


 y
Giải
2 2
Điều kiện: x  0, y  0. và x + y - 1  0.

 3 2 2v 2  13v  21  0
x   1
  
2 2
Đặt u = x + y - 1 và v = Hệ phương trình (I) trở thành u v
y 
 u  21  4v
u  21  4v 


 2
u  7 
u  7 
x  14
u  9  
 u  9 
 x  3 
 x   3  
  hoặc  + Với    hoặc  Với  7   
 53
v  3 v  7 v  3 y  1 y  1 
v  2
  2    
 2 y4

 53


 2

x  14

hoặc  53

 2

y  4

 53
 2 2   2 2 
 
Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14 ;4  và 14 ; 4 .
 53 53   53 53 
 x  1  y  1  x 3

Bài 34 Giải hệ phương trình :  (I) .
x  14  y


x  1  0 
x  1
Điều kiện:   

y  0 y  0

 

 x  1  x  1  1  x 3
2
Ta có (I)  
 x  1 4  y
 
Từ phương trình : x  1  x  1  1  x 3  x  1  x 3  x 2  2x  2 (1)
2
Ta thấy hàm số f (x )  x  1 là hàm đồng biến trên 1; 
Xét hàm số g(x )  x 3  x 2  2x  2 . Miền xác định: D  1; 
Đạo hàm g / (x )  3x 2  2x  2  0 x  D . Suy ra hàm số nghich biến trên D.
Từ (1) ta thấy x  1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm 1; 0 .
 2 x  0
 3x 2 x  3 y 
Bài 35 Giải hệ phương trình :  (II). Điều kiện: 
 3  y 2  2 y  3  x y  0
 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
 2
 3  x  2 x  3  y
Ta có (II)  
3  x  3  y 2  2 y

Cộng vế theo vế ta có: 3  x 2  3 x  3  3  y2  3 y  3 (2)
Xét hàm số f (t )  3  t 2  3 t  3 . Miền xác định: D  1; 
t 3
Đạo hàm: f / (t )    1  0 x  D . Suy ra hàm số đồng biến trên D.
3  t2 2 t
Từ (*) ta có f (x )  f (y )  x  y
Lúc đó: 3  x 2  x  3 (3)
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D.
+ VP (3) là hàm hằng trên D.
Ta thấy x  1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)
Suy ra phương trình có nghiệm x  1 là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm 1;1
 3
2y  2.x 1  x  3 1  x  y (1)
Bài 36 Giải hệ phương trình : 
 2
y  1  2x  2xy 1  x (2)
ĐK : 1  x  1
Từ (1) ta có : 2.y 3  2(x  1) 1  x  2 1  x  3 1  x  y (thêm vào vế trái 2 1  x )
 2y 3  y  2( 1  x )3  1  x
Xét hàm số f(t) = 2.t 3 +t có f’(t ) = 6t2 + 1 >0 suy ra hàm số đồng biến
Suy ra y = 1  x thế vào (2), ta có 1  x  1  2x 2  2x 1  x 2 (3)
Vì 1  x  1 nên đặt x = cos(t) với t  [0;  ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả.
 2
x  y 2  1 (1)
Bài 37 Giải hệ phương trình:  5
 2 57
4x  3x   y(3x  1) (2)
 25
Giải
ĐK: x , y  R
Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có:

 2 2
25x  25y  5
Hệ phương trình  

200x 2  150x  114  50y(3x  1)


Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có:
225x 2  25y 2  25  150xy  150x  50y  144
15x  5y  5  12 15x  5y  7
 15x  5y  5  144    
2
15x  5y  5  12 15x  5y  17
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

15x  5y  7


 Với 15x  5y  7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình:  2 1
 2
x  y 

 5

x  11
5y  7  15x  25
 
 
y  2
5y  7  15x 5y  7  15x 
 11 
  
     x  25   25
25x 2  7  15x   5 
2
25x 2  25y 2  5 
   2 x  2

 x  5  5
  1
y 
 5


15x  5y  17
 Với 15x  5y  17 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình:  2
x  y 2  1


 5
5y  17  15x 
 5y  7  15x
 5y  17  15x

 2      hệ vô nghiệm.
25x 2  17  15x   5
2
25x  25y 2  5 x  
 
 
 2  11
x  x 
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là:  5 ;  25 .
 1  2
y  y 
 5  25
 x  y  3x  2y  1 (1)

Bài 38 Giải hệ phương trình: 
 x  y  x  y  0 (2)

Giải
x  y  0
Điều kiện : 
3x  2y  0
Hệ Phương trình tương đương
 
 x  y  1  3x  2y x  y  2 x  y  1  3x  2y
 
 x  y  y  x  x  y  y  x
 
2 x  y  2x  y 2 y  x   2x  y

   
 x  y  y  x  x  y  y  x

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
y  4x  1
 y  4x  1

 
 

 x y  y x 
 5x  1  3x  1

 

y  4x  1 
y  4x  1
 

 1  1
 x  
x 
 3  3
5x  1  9x 2  6x  1 

9x 2  11x  2  0
 









y  4x  1

 x  1
 1

x   

 3 y  3
 x  1 

 

 

 x  2


 9
x  1
Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm 
y  3


2 2x 2  y 2  y 2  2x 2  3 (1)
Bài 39 Giải hệ phương trình: 
 x 3  2y 3  y  2x (2)


Giải
ĐK: 2x 2  y 2  0
Đặt : t  2x 2  y 2 ( t  0)
t  1
1  t  2t  3  0  t  3
2

 t 1  2
2x  y 2  1
 2x 2  y 2  1

 2 2
2x  y  1
Khi đó hệ phương trình tương đương  3

 x  2y 3  y  2x



  2
2x  y  1
2 2
2x  y  1
2
 3  3





x  2y 3  y  2x  2x 2  y 2 5x  2x 2y  2xy 2  y 3  0 ( 3 )


Th 1: y  0
www.VNMATH.com