Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân đơn điệu

  • 47 trang
  • file .pdf
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ THU THỦY
TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2009
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ THU THỦY
TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN - 2009
none
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn1
Môc lôc
Më ®Çu 4
Ch­¬ng 1. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu vµ bµi to¸n ®Æt kh«ng
chØnh 8
1.1. Mét sè kiÕn thøc bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1. Kh«ng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. PhiÕm hµm låi nöa liªn tôc d­íi . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3. To¸n tö ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . 17
1.2.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . 18
1.3. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Sù tån t¹i nghiÖm vµ tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm . . . . . . 24
Ch­¬ng 2. NghiÖm hiÖu chØnh cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n
®iÖu 27
2.1. NghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Bµi to¸n hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn2
2.1.2. Sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . 31
2.2. XÊp xØ h÷u h¹n chiÒu nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . 34
2.2.1. XÊp xØ h÷u h¹n chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Tèc ®é héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3. KÕt qu¶ tÝnh to¸n thö nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
KÕt luËn 43
Tµi liÖu tham kh¶o 44
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn3
Më ®Çu

Cho X lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, X lµ kh«ng gian liªn

hîp cña X , c¶ hai cã chuÈn ®Òu ®­îc kÝ hiÖu lµ k.k, A : X → X lµ to¸n

tö ®¬n ®iÖu ®¬n trÞ vµ K lµ mét tËp con låi ®ãng trong X . Víi f ∈ X , h·y
t×m x0 ∈ K sao cho
hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ K, (0.1)
∗ ∗
ë ®©y hx , xi kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc x ∈ X ∗ t¹i
x ∈ X . Bµi to¸n ®­îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (variational
inequality). NÕu K ≡ X th× bµi to¸n (0.1) cã d¹ng ph­¬ng tr×nh to¸n tö
A(x) = f. (0.2)
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu lµ líp bµi to¸n n¶y sinh ra tõ nhiÒu
vÊn ®Ò cña to¸n häc øng dông nh­ ph­¬ng tr×nh vi ph©n, c¸c bµi to¸n vËt lý
to¸n, tèi ­u ho¸. Ngoµi ra nhiÒu vÊn ®Ò thùc tÕ nh­ c¸c bµi to¸n c©n b»ng
m¹ng giao th«ng ®« thÞ, c¸c m« h×nh c©n b»ng kinh tÕ.... ®Òu cã thÓ m« t¶
®­îc d­íi d¹ng cña mét bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. RÊt tiÕc lµ bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, nãi chung, l¹i lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè
cña nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n
cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. V× thÕ n¶y sinh vÊn ®Ò t×m
c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh cho c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, sao cho
khi sai sè cña d÷ kiÖn ®Çu vµo cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®­îc cµng
gÇn víi nghiÖm ®óng cña bµi to¸n ban ®Çu.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn4
N¨m 1963, A. N. Tikhonov ®­a ra ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh næi tiÕng vµ
kÓ tõ ®ã lý thuyÕt c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ®­îc ph¸t triÓn hÕt søc s«i
®éng vµ cã mÆt ë hÇu hÕt c¸c bµi to¸n thùc tÕ.
Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn v¨n nh»m nghiªn cøu mét ph­¬ng ph¸p gi¶i
æn ®Þnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu trªn c¬ së x©y dùng nghiÖm hiÖu
chØnh h÷u h¹n chiÒu cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . Nghiªn cøu sù héi tô vµ
®¸nh gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh víi to¸n tö ng­îc ®¬n ®iÖu
m¹nh trong kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc dùa trªn viÖc chän tham sè
hiÖu chØnh tiªn nghiÖm.
Néi dung cña luËn v¨n ®­îc tr×nh bµy trong hai ch­¬ng. Ch­¬ng 1 tr×nh
bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bµi to¸n ®Æt kh«ng
chØnh vµ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
Trong ch­¬ng 2 sÏ tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov cho bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. KÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng nµy lµ ®¸nh gi¸
tèc ®é héi tô cña ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh víi tham sè hiÖu chØnh ®­îc chän
tiªn nghiÖm. §ång thêi x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu vµ ®¸nh
gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh nµy. ë phÇn cuèi cña ch­¬ng lµ kÕt
qu¶ sè cã tÝnh chÊt minh ho¹ cho ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu, ch­¬ng tr×nh
thùc nghiÖm ®­îc viÕt b»ng ng«n ng÷ MATLAB.
KÕt qu¶ vÒ sù héi tô vµ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n
chiÒu cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (0.1) ®­îc ®¨ng t¶i trªn T¹p chÝ Khoa
häc vµ C«ng nghÖ §¹i häc Th¸i Nguyªn, sè 5 n¨m 2009.
Em mong muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi c« gi¸o TiÕn sÜ NguyÔn
ThÞ Thu Thuû, c« ®· rÊt tËn t×nh h­íng dÉn, chØ b¶o em trong suèt thêi gian
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn5
em thùc hiÖn khãa luËn vµ trùc tiÕp h­íng dÉn em hoµn thµnh khãa luËn
nµy.
Em xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh tíi c¸c gi¸o s­ , tiÕn sÜ ë ViÖn To¸n
häc , ViÖn C«ng nghÖ th«ng tin thuéc ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt
nam, c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Tr­êng §¹i häc Khoa häc nãi chung vµ
Khoa To¸n-Tin nãi riªng ®· hÕt lßng gi¶ng d¹y, truyÒn ®¹t cho em nhiÒu
kiÕn thøc khoa häc trong suèt thêi gian em häc tËp t¹i Tr­êng.
Cuèi cïng, t«i xin göi lêi c¶m ¬n tíi nh÷ng ng­êi th©n, nh÷ng ng­êi
b¹n cña t«i ®· ®éng viªn vµ cæ vò t«i rÊt nhiÒu trong suèt thêi gian võa qua.
Do ®iÒu kiÖn, thêi gian vµ tr×nh ®é cã h¹n nªn khãa luËn nµy kh«ng
tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T«i rÊt mong nhËn ®­îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp
quý b¸u cña c¸c quý thÇy c« vµ toµn thÓ c¸c b¹n.
Th¸i Nguyªn, th¸ng 10 n¨m 2009
L­¬ng ThÞ Thu Thuû
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn6
Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t
H kh«ng gian Hilbert thùc
X kh«ng gian Banach thùc
X∗ kh«ng gian liªn hîp cña X
Rn kh«ng gian Euclide n chiÒu
∅ tËp rçng
x := y x ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng y
∀x víi mäi x
∃x tån t¹i x
inf F (x) infimum cña tËp {F (x) : x ∈ X}
x∈X
I ¸nh x¹ ®¬n vÞ
AT ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A
a∼b a t­¬ng ®­¬ng víi b
A∗ to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö A
D(A) miÒn x¸c ®Þnh cña to¸n tö A
R(A) miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö A
xk → x k
d·y {x } héi tô m¹nh tíi x
xk * x k
d·y {x } héi tô yÕu tíi x
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn7
Ch­¬ng 1
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu vµ bµi
to¸n ®Æt kh«ng chØnh
1.1. Mét sè kiÕn thøc bæ trî
Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña gi¶i
tÝch hµm vµ gi¶i tÝch hµm phi tuyÕn cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu
cña ®Ò tµi. C¸c kiÕn thøc nµy ®­îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [2], [3],
[4], [5] vµ [8].
1.1.1. Kh«ng gian Banach
§Þnh nghÜa 1.1.1. Kh«ng gian Banach lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy
®ñ.
VÝ dô 1.1.1. Kh«ng gian Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ víi c¸c phÇn tö lµ c¸c hµm
Rb
x(t) x¸c ®Þnh vµ p-kh¶ tÝch trªn ®o¹n [a, b] sao cho |x(t)|p dt < ∞, lµ mét
a
kh«ng gian Banach víi chuÈn
Z b 1/p
p
kxk = |x(t)| dt .
a

Cho X lµ kh«ng gian Banach thùc, X lµ kh«ng gian liªn hîp cña X .

Kh«ng gian liªn hîp cña X ®­îc gäi lµ kh«ng gian liªn hîp thø hai cña X
∗∗ ∗∗ ∗
vµ kÝ hiÖu lµ X , tøc lµ X = L( X , R).
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn8
§Þnh nghÜa 1.1.2. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn X gäi lµ kh«ng gian ph¶n x¹ nÕu
X = X ∗∗ .
VÝ dô 1.1.2. Lp [0, 1], p > 1 lµ mét kh«ng gian ph¶n x¹. Mäi kh«ng gian
®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu ph¶n x¹.
§Þnh nghÜa 1.1.3. TËp M ⊂ X ®­îc gäi lµ
1) låi nÕu ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0, 1] ta cã λx + (1 − λ)y ∈ M ;
2) compact nÕu mäi d·y {xn } ⊂ M ®Òu chøa d·y con xnk héi tô ®Õn
mét phÇn tö x0 ∈ M ;
3) compact yÕu nÕu mäi d·y {xn } ⊂ M ®Òu chøa mét d·y con xnk héi
tô yÕu ®Õn mét phÇn tö x0 ∈ M ;
4) ®ãng (®ãng yÕu) nÕu {xn } ⊂ M , xn → x (xn * x) th× x ∈ M.
§Þnh nghÜa 1.1.4. D·y c¸c phÇn tö xn trong kh«ng gian Banach X ®­îc
gäi lµ héi tô m¹nh ®Õn phÇn tö x0 khi n → ∞ nÕu k xn − x0 k−→ 0. D·y

c¸c phÇn tö xn ®­îc gäi lµ héi tô yÕu ®Õn phÇn tö x0 nÕu víi mäi f ∈ X
ta cã f (xn ) → f (x0 ) , khi n → ∞.
Ta sÏ sö dông kÝ hiÖu → ®Ó chØ sù héi tô m¹nh vµ * ®Ó chØ sù héi tô
yÕu. Víi ®Þnh nghÜa nh­ trªn ta cã (xem [2]):
1) Tõ sù héi tô m¹nh cña d·y {xn } suy ra sù héi tô yÕu cña d·y ®ã.
2) Giíi h¹n yÕu cña mét d·y nÕu cã lµ duy nhÊt.
3) Mäi d·y héi tô yÕu ®Òu giíi néi.
4) NÕu X lµ kh«ng gian ph¶n x¹ th× xn * x khi vµ chØ khi d·y {hf, xn i}

héi tô trong R víi mäi f ∈ X .
5) NÕu xn * x0 th× kx0 k ≤ limn→∞ kxn k.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn9
? NhËn xÐt: Mét sè tr­êng hîp tõ héi tô yÕu cã thÓ suy ra héi tô m¹nh lµ:
1) X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu.
2) {xn } ⊂ M , ë ®©y M lµ mét tËp compact trong X .
§Þnh lý 1.1.1. (Banach-Steinhaus) Cho X lµ kh«ng gian Banach, fn ∈ X ∗
vµ gi¶ sö d·y {hfn , xi} bÞ chÆn víi mäi x ∈ X. Khi ®ã d·y {fn } bÞ chÆn

trong X .
§Þnh lý 1.1.2. Gi¶ sö {fn } ⊂ X ∗ héi tô m¹nh ®Õn f ∈ X ∗ vµ {xn } ⊂ X
∗ ∗
héi tô yÕu ®Õn x ∈ X hoÆc {fn } ⊂ X héi tô yÕu ®Õn f ∈ X vµ {xn } ⊂ X
héi tô m¹nh tíi x ∈ X. Khi ®ã lim hfn , xn i = hf, xi.
n→∞
§Þnh nghÜa 1.1.5. Cho X lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, X ®­îc gäi
lµ kh«ng gian cã tÝnh chÊt Ephimov-Stechkin (hay tÝnh chÊt E-S) nÕu trong
 
X sù héi tô yÕu c¸c phÇn tö xn * x vµ sù héi tô chuÈn kxn k → kxk

lu«n kÐo theo sù héi tô m¹nh kxn − xk → 0 .
1.1.2. PhiÕm hµm låi nöa liªn tôc d­íi
Cho X , Y lµ c¸c kh«ng gian Banach, to¸n tö A : X → Y lµ mét to¸n
tö ®¬n trÞ. Chóng ta kÝ hiÖu miÒn x¸c ®Þnh cña A lµ D(A) víi
D(A) = domA = {x ∈ X|Ax 6= ∅}
vµ miÒn gi¸ trÞ lµ
R(A) = {f ∈ Y |f ∈ Ax, x ∈ D(A)}.
§Þnh nghÜa 1.1.6. To¸n tö A gäi lµ tuyÕn tÝnh nÕu
1) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 víi mäi x1 , x2 ∈ X ;
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn10
2) A(αx) = αAx víi mäi x ∈ X , ∀α ∈ R.
NÕu Y ≡ R th× ta cã phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f víi miÒn x¸c ®Þnh cña hµm
f lµ
domf = {x ∈ X|f (x) 6= ∅}.
§Þnh nghÜa 1.1.7. To¸n tö A ®­îc gäi lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc nÕu
nã lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh, ®ång thêi lµ to¸n tö liªn tôc gi÷a hai kh«ng gian
X vµ Y .
VÝ dô 1.1.3. Cho X = Rk , Y = Rm , to¸n tö A ®­îc x¸c ®Þnh bëi
A(x1 , x2 , ..., xk ) = (y1 , y2 , ..., ym )
víi
k
X
yi = aij xj , i = 1, . . . , m (1.1)
j=1
trong ®ã aij lµ c¸c h»ng sè. Ma trËn (aij )k×m gäi lµ ma trËn cña to¸n
tö tuyÕn tÝnh A vµ (1.1) lµ d¹ng tæng qu¸t cña mäi to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ
Rk vµo Rm . Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ Rk vµo Rm bao giê còng liªn tôc.
§Þnh nghÜa 1.1.8. To¸n tö tuyÕn tÝnh A : X → Y ®­îc gäi lµ bÞ chÆn
(giíi néi) nÕu tån t¹i sè K > 0 tháa m·n:
kAxkY ⩽ K.kxkX , ∀x ∈ X.
VÝ dô 1.1.4. Cho A : L2 [a, b] → L2 [a, b] lµ mét to¸n tö x¸c ®Þnh bëi
Zb
(Aϕ)(x) = K(x, s)ϕ(s)ds,
a
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn11
trong ®ã K(x, s) lµ mét hµm hai biÕn cã b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch, nghÜa lµ
Z bZ b
K 2 (x, s)dxds = N 2 < ∞.
a a
Khi ®ã, A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. To¸n tö nµy gäi lµ to¸n tö tÝch
ph©n Fredholm sinh bëi h¹ch K(x, s).
§Þnh nghÜa 1.1.9. Cho A : X → Y lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. Khi
®ã sè
inf{K, K > 0 : kAxk ⩽ K.kxk, ∀x ∈ X}
®­îc gäi lµ chuÈn cña to¸n tö A, kÝ hiÖu lµ kAk.
? NhËn xÐt:
n
1) Ba chuÈn th­êng dïng trong R lµ:
n
X n
X 1/2
2
kxk1 = |xi |, kxk2 = |xi | , kxk∞ = max |xi |,
1≤i≤n
i=1 i=1
n
ë ®©y x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R .
n
2) Trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu R , khi cã mét c¬ së cè ®Þnh, to¸n
n
tö tuyÕn tÝnh A ®­îc cho bëi ma trËn (aij )i,j=1 th× ba chuÈn t­¬ng øng cña
ma trËn A lµ:
n n
1
X X
T
kAk1 = max |aij |, kAk2 = { max λi (A A)} , kAk∞ = max 2 |aij |,
1≤j≤n 1≤i≤n 1≤i≤n
i=1 j=1
T
trong ®ã λi (A A) lµ c¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn ®èi xøng AT A.
Víi to¸n tö r : X → Y tõ kh«ng gian Banach X vµo kh«ng gian Banach
Y , ta sÏ viÕt r(x) = o(kxk) víi x → θX , nÕu r(x)/kxk → 0 khi x → θX .
KÝ hiÖu L(X, Y ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc T : X → Y .
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn12
§Þnh nghÜa 1.1.10. Cho A : X → Y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach
X vµo kh«ng gian Banach Y . To¸n tö A ®­îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm
x ∈ X , nÕu tån t¹i T ∈ L(X, Y ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o(khk),
víi mäi h thuéc mét l©n cËn cña ®iÓm θ . NÕu tån t¹i th× T ®­îc gäi lµ ®¹o
0
hµm FrÐchet cña A t¹i x, vµ ta viÕt A (x) = T .
§Þnh nghÜa 1.1.11. Hµm f : X → R ∪ {+∞} ®­îc gäi lµ låi trªn X nÕu
víi mäi x, y ∈ X ta cã
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y), ∀t ∈ [0, 1].
Hµm f låi ngÆt trªn X nÕu bÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng x¶y ra dÊu b»ng víi
x 6= y .
§Þnh nghÜa 1.1.12. Hµm f : X → R ®­îc gäi lµ nöa liªn tôc d­íi trªn X
nÕu víi mäi d·y {xn } : xn → x th×
lim inf f (xn ) ≥ f (x), ∀x ∈ X.
n→∞
§Þnh nghÜa 1.1.13. Hµm f : X → R ®­îc gäi lµ nöa liªn tôc d­íi yÕu trªn
X nÕu víi mäi d·y {xn } : xn * x th×
lim inf f (xn ) ≥ f (x), ∀x ∈ X.
n→∞
§Þnh nghÜa 1.1.14. Hµm f : X → R ®­îc gäi lµ
1) chÝnh th­êng nÕu domf 6= ∅ vµ f (x) > −∞, ∀x ∈ X;
2) h÷u h¹n nÕu |f (x)| < ∞, ∀x ∈ X.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn13
§Þnh nghÜa 1.1.15. Hµm f ®­îc gäi lµ kh¶ vi G©teaux t¹i ®iÓm x ∈ X nÕu

tån t¹i x ∈ X ∗ sao cho
f (x + λy) − f (x)
lim = hx∗ , yi, ∀y ∈ X.
λ→+0 λ
∗ 0
vµ x ®­îc gäi lµ ®¹o hµm G©teaux cña f t¹i x, kÝ hiÖu lµ f (x).
§Þnh nghÜa 1.1.16. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn X ®­îc gäi lµ låi chÆt nÕu mÆt
cÇu ®¬n vÞ S = {∀x ∈ X : kxk = 1} cña X lµ låi chÆt, tøc lµ tõ x, y ∈ S
kÐo theo kx + yk < 2 (nãi c¸ch kh¸c biªn cña S kh«ng chøa bÊt k× mét
®o¹n th¼ng nµo).
VÝ dô 1.1.5. Kh«ng gian Lp [a, b], 1 < p < ∞ lµ kh«ng gian låi chÆt.
1.1.3. To¸n tö ®¬n ®iÖu

Cho A : X → X lµ to¸n tö ®¬n trÞ tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc
X vµo X ∗ víi miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) ⊆ X (th«ng th­êng ta coi D(A) ≡ X

nÕu kh«ng nãi g× thªm) vµ miÒn gi¸ trÞ (miÒn ¶nh) R(A) n»m trong X .
§Þnh nghÜa 1.1.17. To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu
hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt nÕu dÊu b»ng chØ ®¹t ®­îc khi x = y .
§Þnh nghÜa 1.1.18. NÕu ∀x ∈ X ta cã hAx, xi ≥ 0 th× A ®­îc gäi lµ to¸n
tö x¸c ®Þnh kh«ng ©m, kÝ hiÖu lµ A ≥ 0.
? NhËn xÐt: NÕu A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach X
th× tÝnh ®¬n ®iÖu t­¬ng ®­¬ng víi tÝnh x¸c ®Þnh kh«ng ©m cña to¸n tö.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn14
§Þnh nghÜa 1.1.19. To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ®Òu nÕu tån t¹i mét hµm
kh«ng ©m δ(t), kh«ng gi¶m víi t ≥ 0, δ(0) = 0 vµ
hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ D(A).
2
NÕu δ(t) = cA t víi cA lµ mét h»ng sè d­¬ng th× to¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n
®iÖu m¹nh.
§Þnh nghÜa 1.1.20. To¸n tö A ®­îc gäi lµ h-liªn tôc trªn X nÕu A(x+ty) *
Ax khi t → 0 víi ∀x, y ∈ X vµ d-liªn tôc nÕu xn → x th× suy ra Axn * Ax.
Chó ý r»ng nÕu A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ h-liªn tôc th× A lµ to¸n tö d-liªn
tôc.
§Þnh nghÜa 1.1.21. To¸n tö A ®­îc gäi lµ to¸n tö bøc, nÕu
hA(x), xi
lim = +∞.
kxk→+∞ kxk
§Þnh nghÜa 1.1.22. ¸nh x¹ U s : X → X ∗ (nãi chung ®a trÞ) x¸c ®Þnh bëi
U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ ks−1 .kxk = kxks }, s ≥ 2
®­îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña kh«ng gian X .
s
Khi s = 2 th× U th­êng ®­îc viÕt lµ U vµ ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu
chuÈn t¾c cña X . TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®­îc cho
trong mÖnh ®Ò sau.
MÖnh ®Ò 1.1.1. (xem [5]) Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã,
1) U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mäi λ ∈ R;

2) U lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi X lµ kh«ng gian låi chÆt.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn15
? NhËn xÐt:
1) Trong kh«ng gian Hilbert H , ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c chÝnh lµ
to¸n tö ®¬n vÞ I trong H .
2) ¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã
tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach.
p
Víi X = L (Ω), 1 < p < ∞ vµ Ω lµ mét tËp ®o ®­îc cña kh«ng
n
gian R th× ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c U cã d¹ng
(U x)(t) = kxk2−p |x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω.
s
Gi¶ thiÕt r»ng ¸nh x¹ ®èi ngÉu U tháa m·n
hU s (x) − U s (y), x − yi ≥ mU kx − yks , mU > 0, (1.2)
kU s (x) − U s (y)k ≤ C(R)kx − ykν , 0 < ν ≤ 1, (1.3)
ë ®©y C(R) lµ mét hµm d­¬ng vµ ®¬n ®iÖu t¨ng theo R = max{kxk, kyk}
(xem [1] vµ tµi liÖu dÉn). NÕu X lµ kh«ng gian Hilbert H th× mU = 1, ν = 1
vµ C(R) = 1.
§Þnh lý 1.1.3. (xem [5]) NÕu X ∗ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹
®èi ngÉu chuÈn t¾c U : X → X ∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ d-liªn tôc.
H¬n n÷a, nÕu X lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× U lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu
chÆt.
§Þnh nghÜa 1.1.23. Cho X lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹, f : X → R lµ
mét phiÕm hµm låi, chÝnh th­êng trªn X . Ta ®Þnh nghÜa ∂f (x) bëi
∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) ≤ f (y) + hx∗ , x − yi, ∀y ∈ X}.

PhÇn tö x ∈ X ∗ ®­îc gäi lµ d­íi Gradient cña hµm f t¹i x vµ ∂f (x) ®­îc
gäi lµ d­íi vi ph©n cña f t¹i x.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn16
? NhËn xÐt:

1) ∂f (x) lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu (nãi chung ®a trÞ) tõ X vµo X .
2) ∂f (x) lµ mét tËp låi ®ãng.
1.2. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
XÐt mét bµi to¸n ë d¹ng ph­¬ng tr×nh to¸n tö
A(x) = f, (1.4)
ë ®©y A : X → Y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach X vµo kh«ng
gian Banach Y , f lµ phÇn tö thuéc Y . Sau ®©y lµ mét ®Þnh nghÜa cña J.
Hadamard:
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho A lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian X vµo kh«ng gian
Y . Bµi to¸n (1.4) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt chØnh nÕu
1) ph­¬ng tr×nh A(x) = f cã nghiÖm víi mäi f ∈ Y ;
2) nghiÖm duy nhÊt vµ;
3) nghiÖm phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu.
NÕu Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tho¶ m·n th× bµi to¸n
(1.4) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
? NhËn xÐt:
1) Bµi to¸n t×m nghiÖm x phô thuéc vµo d÷ kiÖn f , nghÜa lµ x = R(f ),
®­îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian (X, Y ) nÕu víi mçi ε > 0 cã thÓ t×m
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn17
®­îc mét sè δ(ε) > 0, sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) ta cã ρX (x1 , x2 ) ≤ ε,
ë ®©y
x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X.
2) Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nh­ng l¹i ®Æt
kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c.
Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.4) th­êng ®­îc cho bëi ®o
®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c f ta chØ biÕt xÊp xØ fδ cña nã tho¶
m·n kfδ − f k ≤ δ . Gi¶ sö xδ lµ nghiÖm cña (1.4) víi f thay bëi fδ (gi¶
thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi δ → 0 th× fδ → f nh­ng víi bµi to¸n ®Æt
kh«ng chØnh th× xδ nãi chung kh«ng héi tô ®Õn x.
1.2.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
Sau ®©y ta sÏ chØ ra mét vÝ dô vÒ to¸n tö A mµ (1.4) lµ bµi to¸n ®Æt
kh«ng chØnh.
§Þnh nghÜa 1.2.2. To¸n tö (phi tuyÕn) A ®­îc gäi lµ liªn tôc m¹nh, nÕu nã
¸nh x¹ mäi d·y héi tô yÕu thµnh d·y héi tô m¹nh tøc lµ nÕu xn * x suy ra
Axn → Ax.
MÖnh ®Ò 1.2.1. (xem [4]) Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc.
NÕu A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact th× A liªn tôc m¹nh.
NÕu A lµ to¸n tö liªn tôc m¹nh th× bµi to¸n (1.4) (v« h¹n chiÒu) nãi
chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. ThËt vËy,gi¶ sö {xn } lµ mét d·y chØ héi
tô yÕu ®Õn x, xn * x, xn 6→ x vµ yn = A(xn ), y = A(x). Khi ®ã do tÝnh
liªn tôc m¹nh cña A suy ra yn → y vµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh A(x) = f
kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn18