Toán cao cấp giải tính bài 3

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Toaùn cao caáp : Giaûi tích 101
Chöông VI TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH
I. Nguyeân haøm - tích phaân baát ñònh:
1. Ñònh nghóa: Cho caùc haøm soá f, F xaùc ñònh treân [a, b].
F ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) neáu
F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b).
F goïi laø nguyeân haøm cuûa f treân [a, b] neáu:
F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b)
vaø F’(a+) = f(a), F’(b-) = f(b)
Ví duï:
• (- cosx) laø nguyeân haøm cuûa sinx vì (-cosx)’ = sinx
• (- cosx + 7) cuõng laø nguyeân haøm cuûa sinx.
x3 x3 x3
• , −5, − C laø nhöõng nguyeân haøm cuûa x2 vì:
3 3 3
/ / /
 x3   x 3   x3  2
   = − 5  =  −C = x
3
   3   3 
2. Ñònh lyù: Neáu haøm soá f lieân tuïc treân [a, b] thì f coù nguyeân
haøm treân [a, b].
3. Ñònh lyù: Giaû söû F laø nguyeân haøm cuûa f treân (a, b). Khi ñoù:
i) F + C (C laø haèng soá) cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa f treân
(a, b).
ii) Neáu G laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) thì
G(x) = F (x) + C, ∀x ∈ (a, b).
Chöùng minh:
i) (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b)
⇒ F + C laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b)
ii) [G(x) - F(x)]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, ∀x ∈ (a, b)
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 102
⇒ G(x) - F(x) = C (haèng soá), ∀x ∈ (a, b)
⇒ G(x) = F(x) + C, ∀x ∈ (a, b)
Ghi chuù:
• Ñònh lyù treân vaãn ñuùng neáu thay (a, b) baèng [a, b].
• Neáu f coù moät nguyeân haøm thì f coù voâ soá nguyeân haøm vaø 2
nguyeân haøm baát kyø cuûa cuøng moät haøm thì sai khaùc nhau moät
haèng soá.
4. Ñònh nghóa: Taäp hôïp taát caû nhöõng nguyeân haøm cuûa f treân [a, b]
ñöôïc goïi laø tích phaân baát ñònh cuûa f treân [a, b], kyù hieäu:
∫ f ( x )dx .
Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f thì ∫ f ( x )dx =F ( x ) + C .
II. Tính chaát cuûa tích phaân baát ñònh:
Cho f, g laø caùc haøm soá coù nguyeân haøm treân (a, b). Khi ñoù:
d
i) f ( x )dx = ( ∫ f ( x )dx )' = f ( x )
dx ∫
ii) d ∫ f ( x )dx = f ( x ) dx
iii) ∫ ( f ( x ) ± g( x )) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
iv) ∫ kf ( x )dx =k ∫ f ( x ) dx , k ∈ ℝ
n n
Heä quaû: ∫ ∑ ki fi ( x )dx = ∑ ki ∫ fi ( x )dx
i =1 i =1
v) Neáu F’(x) = f(x) thì
∫ F '( x )dx = ∫ dF ( x ) =F ( x ) + C = ∫ f ( x ) dx
vaø ∫ f ( y ) dy = F ( y ) + C , ∫ f (t )dt = F ( t ) + C ,...
Chöùng minh: Daønh cho ñoäc giaû (suy ra töø tính chaát ñaïo haøm).
III. Caùc coâng thöùc tích phaân baát ñònh cô baûn:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 103
1. ∫ 0dx = C
2. ∫ adx = ax+ C
x n +1
3. ∫ x n dx = + C ( n ≠ -1)
n +1
dx (ln x )' , x > 0
4. ∫ = ln x + C ( vì (ln|x| + C)’ = (ln|x|)’ = 
x ln(− x )' , x < 0
1
 x ,x > 0
1
= = , x ≠ 0)
− 1 = 1 ,x < 0
x
 − x x
5. ∫ e x dx = e x + C
/
ax  ax  x
6. ∫ a dx =
x
+C (vì   =a )
ln a  ln a 
7. ∫ sin xdx = - cosx + C
8. ∫ cos xdx = sinx+ C
1
9. ∫ dx = ∫ (1 + tg 2 x )dx = tgx + C
cos2 x
1
10. ∫ 2 dx = ∫ (1 + cot g2 x )dx = − cot gx + C
sin x
dx
11. ∫ = arctgx + C
1 + x2
dx
12. ∫ = arcsinx + C
1 − x2
dx x − n +1 −1
13. ∫ = ∫ x −n
dx = +C = + C ( n ≠ 1)
x n
−n + 1 (n − 1) x n −1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 104
dx
∫2 x = x+C
sin x −d (cos x )
14. ∫ tgxdx = ∫ dx = ∫ =-ln cosx + C
cos x cos x
cos x d (sin x )
15. ∫ cot gxdx = ∫ dx = ∫ =ln sinx + C
sin x sin x
dx x
16. ∫ = arcsin +C
2 2 a
a −x
dx 1 x
17. ∫ 22
= arctg + C
a +x a a
dx
18. ∫ = ln x + x 2 + b + C
2
x +b
dx 1 x−a
19. ∫ = ln + C (a ≠ 0)
x −a22
2a x + a
dx 1 x −b
20. ∫ = ln + C (a ≠ b)
( x − a)( x − b) b − a x − a
x 2 a2 x
21. ∫ a 2 − x 2 dx = a − x 2 + arc sin + C (a ≠ 0)
2 2 a
x 2 a2
22. ∫ a 2 + x 2 dx = a + x 2 + ln x + a2 + x 2 + C
2 2
IV. Vaøi ví duï:
x − 5x 3 − x 2 + 3 x + 7
4
a. ∫ dx
x2 + 1
 8x + 9 
= ∫  x 2 − 5x − 2 + 2  dx
 x +1 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 105
x 3 5x 2  8x + 9 
= − − 2x + ∫  2  dx
3 2  x +1 
x 3 5x 2 4.2 xdx dx
= − − 2x + ∫ 2 + 9∫ 2
3 2 x +1 x +1
x3 5x 2 d ( x 2 + 1)
= − − 2 x + 4∫ 2 + 9arctgx + C
3 2 x +1
x3 5x 2
= − − 2 x + 4 ln( x 2 + 1) + 9arctgx + C
3 2
1 1
b. ∫ ( x 2 + x ) x x dx = ∫ ( x 2 + x ) x 2 x 4 dx
 (2 + 3 ) 3
(1+ ) 
11 7
4 154 4 114
= ∫  x 4 + x 4  dx = ∫ x 4 + x 4 dx = x + x +C
  15 11
(e3 7)x e3 x 7 x
c. ∫ e 7 dx = ∫ (e 7) dx =
3x x 3
=
x
+C
ln e3 7 3 + ln 7
dx d ( x + a)
d. ∫ =∫ =ln x+a + C
x+a x+a
sin xdx tgxdx tg2 x
e. ∫ = =
∫ cos2 x ∫ tgxd (tgx ) = +C
cos3 x 2
Caùch khaùc:
sin xdx −d (cos x ) 1
∫ cos3 x = ∫ cos3 x = 2 cos2 x + C
1 tg2 x
= (1 + tg2 x ) + C = +K
2 2
dx ( x + x 2 + 1)2
f. ∫ ∫  x − ( x + 1) dx 2
( x − x 2 + 1)2 
2 2

= ∫ ( x 2 + 2 x x 2 + 1 + x 2 + 1)dx
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 106
1
x3
=2 + x + ∫ u 2 du (u = x2 + 1 ⇒ du = 2xdx)
3
1
+1 3
x3 u2 2 2
= 2 +x+ + C = x 3 + x + ( x 2 + 1) 2 + C
3 1 3 3
+1
2
dx dx 1 ( x + a) − ( x − a)
g. ∫ 2 =∫
( x − a)( x + a) 2 a ∫ ( x − a)( x + a)
2
= dx
x −a
1  1 1  1
= ∫  −  dx = [ln|x - a| - ln|x + a|] + C
2a  x − a x + a  2a
1 x−a
= ln +C ( a ≠ 0)
2a x + a
h. ∫ tg2 xdx = ∫ (tg2 x + 1 − 1)dx = tgx - x + C
i. ∫ tg5 xdx = ∫ (tg5 x + tg3 x − tg3 x + tgx − tgx )dx
= ∫ tg3 x (tg2 x + 1)dx − ∫ tgx (tg2 x + 1)dx + ∫ tgxdx
tg4 x tg2 x
= − − ln cos x +C
4 2
V. Phöông phaùp tính tích phaân baát ñònh:
1. Phöông phaùp ñoåi bieán:
a. Giaû söû f laø haøm soá coù nguyeân haøm treân mieàn D.
Ñaët x = ϕ(t), vôùi ϕ laø haøm khaû vi ñôn ñieäu ñoái vôùi bieán t vaø
mieàn giaù trò cuûa ϕ(t) chöùa trong D. Khi ñoù:
∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t))ϕ '(t)dt
Ví duï:
sin 3 x
1) ∫ dx Ñaët: x = t3 ⇒ dx = 3t2dt , 3 x 2 = t2, 3 x = t
3 2
x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 107
(sin t )3t 2 dt
⇒ I= ∫ = ∫ 3sin tdt = -3cost + C = -3cos 3 x + C
t2
2) I = ∫ a 2 − x 2 dx (a > 0) , a2 - x2 ≥ 0 ⇔ - a ≤ x ≤ a
π π x
Ñaët : x = asint vôùi − ≤t≤ ⇒ dx = acostdt ⇒ sint=
2 2 a
⇒ I = ∫ a 2 − x 2 dx = ∫ a2 − a 2 sin 2 t acostdt
= ∫ a cos2 ta cos tdt = ∫ a2 cos t cos tdt = ∫ a2 cos2 tdt
 π π
(vì t ∈  − ,  ⇒ cost ≥ 0 ⇒ |cost| = cost )
 2 2
a2 (1 + cos 2t ) a2 a2
= ∫ dt = t + sin 2t + C
2 2 4
a2 x a2
= arcsin + 2 sin t cos t +C
2 a 4
a2 x a2 x x2
= arcsin + 1− 2 + C
2 a 2 a a
a2 x x 2
= arcsin + a − x2 + C
2 a 2
b. Ñaët u = h(x) vôùi h khaû vi lieân tuïc. Ta coù:
∫ g(h( x ))h '( x )dx = ∫ g(u)du
18
3 8 
Ví duï : 1) ∫ ( 3x + 5)  8 x + 5x  dx
7
3x 8
Ñaët : u= + 5 x ⇒ du = (3x7 + 5)dx
8
( u = h(x) ⇒ du = h’(x)dx)
19
u19 1 3 8 
⇒ I= ∫ u du =
18
+C=  x + 5x  +C
19 19  8 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 108
3xdx 3xdx
2) ∫ = ∫ 2
x + 6 x + 15
4 2
( x + 3)2 + 6
Ñaët :u = x2 + 3 ⇒ du = 2xdx
3 2 xdx 3 du
⇒ I= ∫ 2 = ∫ 2
2 ( x + 3) + 6
2
2 u +6
6 u 6  x2 + 3 
= arctg +C= arctg   +C
4 6 4  6 
e3 x dx
3) I = ∫ 2 x Ñaët : u = ex ⇒ du = exdx
e +1
e3 x dx e2 x e x dx u2 du u2 + 1 − 1
I = ∫ 2x = ∫ 2x = ∫ 2 = ∫ 2 du
e +1 e +1 u +1 u +1
du
= ∫ du − ∫ 2 = u − arctgu + C = e x − arctge x + C
u +1
1
dx
dx 1 dx 1 a 1 du x
4) ∫ 2 = 2 ∫ 2
= ∫ 2
= ∫ 2 (u = )
x +a 2
a x a x a u +1 a
  +1   +1
a a
1 1 x
= arctan u + C = arctan + C
a a a
dx dx dx
5) ∫ =∫ =∫
a2 − x 2   x 2  x
2
a 1 −   
2
a 1 −  
 a  a
 
du  x x
=∫  u =  = arcsin u + C = arcsin + C (a>0)
1− u 
2 a a
dx
6) ∫ = ln x + x 2 + b + C
2
x +b
x2 + b + x
Ñaët u = x + x 2 + b ⇒ du = dx
x2 + b
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 109
dx du du
⇒ = =
2 2 u
x +b x +b +x
dx du
⇒ ∫ =∫ = ln|u| + C = ln x + x 2 + b +C
2 u
x +b
2. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:
Cho u = u ( x ) , v = v ( x ) laø caùc haøm khaû vi vaø coù ñaïo haøm lieân
tuïc. Khi ñoù: ∫ udv = uv − ∫ vdu
Chöùng minh:
Ta coù: d(uv) = vdu + udv ⇒ ∫ d (uv) = ∫ udv + ∫ vdu
Suy ra ∫ udv = uv − ∫ vdu
Thoâng thöôøng ñeå tính : ∫ f ( x )dx , ta phaân tích : f(x)dx = udv
sao cho tính ñöôïc caùc tích phaân ∫ vdu vaø ∫ dv .
Nhaän xeùt:
e x  e x 
   
• Daïng: ∫ p( x )  cos x  dx . Ñaët u = p(x) vaø dv =  cos x  dx
sin x  sin x 
   
 ln x 
 
• Daïng: ∫ p( x )  arctgx  dx .
arcsin x 
 
 ln x 
 
Ñaët u=  arctgx  vaø dv =p(x)dx
arcsin x 
 
Ví duï:
a) 2 x
∫ x e dx
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 110
Ñaët: u = x2 ⇒ du = 2xdx
dv = exdx, choïn v = ex
(dv = exdx ⇒ v = ex + C, choïn C = 0)
Do ñoù : ∫ x 2 e x dx = uv - ∫ vdu = x2ex - ∫ 2 xe x dx
Ñaët: u = 2x ⇒ du = 2dx; dv = exdx, choïn v = ex
⇒ ∫ x 2 e x dx = x2ex - [2xex - ∫ 2e x dx ] = x2ex - 2xex + 2ex + C
Toång quaùt :
n x n-1 x
∫ x e dx = x e - nx
n x
e + n(n - 1)xn - 2ex + ... + (-1)n - 1n! xex
+ (-1)nn! ex + C
dx
b) ∫ ln xdx Ñaët :u = lnx ⇒ du = ;
x
dv = dx, choïn v = x
xdx
∫ ln xdx = xlnx - ∫ x = xlnx - x + C
c) ∫ x ln xdx , n ≠ -1
n
1 x n +1
Ñaët : u = lnx ⇒ du = dx; dv = xndx, choïn v =
x n +1
x n +1 x n+1 x n +1 x n+1
∫ x ln xdx =
n
ln x − ∫ dx = ln x − +C
n +1 (n + 1) x n +1 (n + 1)2
d) I= ∫ x 3 sin xdx
Ñaët: u = x3 ⇒ du = 3x2dx
dv = sinxdx, choïn v = -cosx
⇒ I = -x3cosx + ∫ 3x 2 cos xdx
= -x3cosx + 3x2sinx - ∫ 6 x sin xdx
= -x3cosx + 3x2sinx + 6xcosx - ∫ 6 cos xdx
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 111
= -x3cosx + 3x2sinx + 6xcosx - 6sinx + C
e) I = ∫ xarctgxdx
dx
Ñaët: u = arctgx ⇒ du =
1 + x2
1 1
dv = xdx, v = (x2 + 1) (Choïn C = )
2 2
1 1 1
⇒ I= (x2 + 1)arctgx - ∫ ( x 2 + 1) dx
2 2 1 + x2
1 1
= (x2 + 1) arctgx - x +C
2 2
f) ∫ a 2 − x 2 dx
−2 xdx xdx
Ñaët: u = a2 − x 2 ⇒ du = =−
2 a2 − x 2 a2 − x 2
dv = dx, choïn v = x
x 2 dx − x 2 + a2 − a 2
⇒ I= x a − x2 2
−∫ − =x a −x2 2
−∫ dx
a2 − x 2 a2 − x 2
dx
= x a2 − x 2 - ∫ a 2 − x 2 dx + a2 ∫
a − x2
2
dx
⇒ 2I = x a2 − x 2 + a2 ∫
a2 − x 2
x 2 a2 x
⇒ I = a − x2 + arcsin + C
2 2 a
Töông töï:
J = ∫ a 2 + x 2 dx
xdx
Ñaët: u = a2 + x 2 ⇒ du = , dv = dx, choïn v = x
a2 + x 2
Ta coù:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 112
x 2 dx x 2 + a2 − a2 dx
J = x a2 + x 2 - ∫ = x a2 + x 2 - ∫
a2 + x 2 a2 + x 2
dx
⇒2J= x a2 + x 2 + a ∫ 2
a2 + x 2
x 2 a2 dx
⇒J= a + x2 + ∫
2 2 a + x2
2
x 2 a2
= a + x 2 + ln(x + a2 + x 2 ) + C
2 2
VI. Tích phaân caùc haøm höõu tæ :
Nhaéc laïi :
dx
∫ x + a = ln|x + a| + C
dx −1
∫ ( x + a)k = (k − 1)( x + a)k −1 +C
dx 1 x−a
∫ x − a = 2a ln x + a + C
2 2
dx 1 ( x − x1 ) − ( x − x2 )
∫ ( x − x )( x − x ) = x − x ∫ ( x − x )( x − x ) dx
1 2 2 1 1 2
1  1 1 
= ∫  −  dx
x2 − x1  x − x2 x − x1 
1 x − x2
= ln + C ( x1 ≠ x2 )
x2 − x1 x − x1
( Ax + B)dx
1. Tích phaân daïng: I= ∫ ( a≠ 0)
ax 2 + bx + c
A 2ax + b  Ab  dx
I = ∫ dx +  B − ∫ 2
2 a ax + bx + c
2
 2 a  ax + bx + c
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 113
A  Ab  dx
= ln|ax2 + bx + c| +  B − ∫ 2
2a  2 a  ax + bx + c
dx
Tính: I1 = ∫ 2
(a ≠ 0)
ax + bx + c
1 dx 1 dx
I1 = ∫ = ∫ 2
a x2 + b x + c a  b  c b2
a a x+  + − 2
 2 a  a 4a
1 dx
= ∫ 2
a  b  ∆
x+  − 2
 2a  4a
i) Neáu ∆ < 0:
1 du −∆ b
I1 = ∫ 2 vôùi α2 = 2 , u = x +
a u +α 2
4a 2a
1 u
= arctg +C
aα α
ii) Neáu ∆ = 0:
1 du 1
I1 = ∫ 2
=− +C
a u au
iii) Neáu ∆ > 0:
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
vôùi x1, x2 laø nghieäm cuûa ax2 + bx + c = 0
2. Phaân tích moät ña thöùc thaønh tích cuûa nhöõng nhò thöùc vaø
tam thöùc: (Ñöa moät phaân thöùc veà toång cuûa nhöõng phaân
thöùc ñôn giaûn)
Ghi chuù: Ta chæ xeùt caùc ña thöùc coù theå vieát döôùi daïng tích cuûa
nhöõng nhò thöùc baäc nhaát vaø nhöõng tam thöùc baäc hai.
Ví duï:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 114
(3x − 5)dx
Tính : ∫
( x − 3)( x + 2)( x − 1)
3x − 5 A B C
Ta coù = + +
( x − 3)( x + 2)( x − 1) x − 3 x + 2 x −1
A( x + 2)( x − 1) + B( x − 3)( x − 1) + C ( x − 3)( x + 2)
=
( x − 3)( x + 2)( x − 1)
2
Cho : x = 3 ⇒ 10A = 4 ⇒ A = ;
5
11
x = -2 ⇒ 15B = -11 ⇒ B =−
15
1
x = 1 ⇒ -6C = -2 ⇒ C =
3
3x − 5 2 11 1
⇒ = − +
( x − 3)( x + 2)( x − 1) 5( x − 3) 15( x + 2) 3( x − 1)
(3 x − 5)
∫ ( x − 3)( x + 2)( x − 1) dx
2 11 1
= ln|x - 3| - ln|x + 2| + ln|x - 1| + C
5 15 3
Ghi chuù: Ta coù theå tính A, B theo caùch khaùc :
3x − 5

( x − 3)( x + 2)( x − 1)
( A + B + C ) x 2 + ( A − 4 B − C ) x − 2 A + 3B − 6C
( x − 3)( x + 2)( x − 1)
A + B + C = 0

Ñoàng nhaát 2 veá ⇒  A − 4 B − C = 3
−2 A + 3B − 6C = −5

Ghi chuù: Neáu anxn + an -1xn - 1 ... + a1x + a0 = 0 coù nhieàu hôn
n nghieäm thöïc ⇒ an = an - 1 = ... = a0 = 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 115
Ví duï: ax2 + bx + c = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät ⇒ a = b = c = 0
5x + 2
Ví duï 1: 2 =
( x + 1)2 (3x − 2)3
Ax + B Cx + D E F G
+ 2 + + +
x + 1 ( x + 1) 3 x − 2 (3 x − 2) (3x − 2)3
2 2 2
Ví duï 2:
6x2 − 7x + 2
=
( x 2 − x + 1)( x + 2)4
Ax + B C D E F
+ + + +
x − x + 1 x + 2 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)4
2 2 3
Ví duï 3:
1 1 1
= 2 = 2
x +1
4
( x + 1) − 2 x
2 2
( x − 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)
Ax + B Cx + D
= + 2
x − 2x + 1 x + 2x + 1
2
dx dx
Ví duï 4: Tính ∫ = ∫
x +1
3
( x + 1)( x 2 − x + 1)
1 A Bx + C A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1)
= + =
x3 + 1 x + 1 x2 + x + 1 x3 + 1
1
Cho : x = -1 ⇒ 3A = 1 ⇒ A =
3
2
x=0⇒A+C=1⇒C=
3
1 1
x = 1 ⇒ A + 2(B + C) = 1 ⇒ B + C = ⇒B=-
3 3
 1 2
 − x +  dx
dx 1 dx  3 3
∫ x3 + 1 = 3 ∫ x + 1 + ∫ x2 − x + 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 116
1 1 2x −1 2 1 dx
= ln|x + 1| - ∫ dx +  −  ∫ 2
3 3.2 x − x + 1
2
 3 6  x − x +1
1 1 1 dx
= ln|x + 1| - ln(x2 - x + 1) + ∫ 2
3 6 2  1 3
x−  +
 2 4
1
x +1 2( x − )
1 1 2 2 +C
= ln + arctg
3 x2 − x +1 2 3 3
5. Tích phaân bieåu thöùc löôïng giaùc:
Baèng caùc pheùp ñoåi bieán thích hôïp, ta coù theå ñöa tích phaân
bieåu thöùc löôïng giaùc ∫ R ( sin x , cos x )dx , trong ñoù R laø haøm höõu
tyû, veà tích phaân bieåu thöùc höõu tyû.
1. Tröôøng hôïp toång quaùt: ta duøng coâng thöùc ñoåi bieán
x
t = tg ⇒ x = 2arc tg t
2
2t 1 − t2 2dt
vaø aùp duïng coâng thöùc sin x = , cos x = , dx =
1+ t 2
1+ t 2
1 + t2
dx
Ví duï: I = ∫
4 sin x + 3 cos x + 5
x
Ñaët t = tg ⇒ x = 2arctgt ta coù:
2
1 2 dt dt dt
I =∫ =∫ 2 =∫
2t 1− t (t + 2)
2 2
1+ t 2
t + 4t + 4
4 + 3 + 5
1+ t2 1 + t2
−1 1
= +C=− +C
t+2 x
tg + 2
2
2. Daïng ñaëc bieät:
i. Neáu R ( − sin x ,cos x ) = − R ( sin x ,cos x ) thì ñaët t = cos x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 117
ii. Neáu R ( sin x , − cos x ) = − R ( sin x ,cos x ) thì ñaët t = sin x
iii. Neáu R ( − sin x , − cos x ) = R ( sin x ,cos x ) thì ñaët t = tgx ,
hay t = cotgx
Ví duï 1:
I = ∫ ( sin 2 x cos3 x + 2 cos x ) dx = ∫ ( sin 2 x cos2 x + 2 ) cos xdx
Ñaët t = sin x ⇒ dt = cos xdx ;
sin 2 x cos2 x + 2 = t 2 (1 − t 2 ) + 2 = −t 4 + t 2 + 2 ta coù:
t5 t3
I = ∫ ( −t 4 + t 2 + 2 ) dt = − + + 2t + C
5 3
− sin 5 x sin3 x
= + + 2 sin x + C
5 3
dx
Ví duï 2: I =∫ 2
sin x + sin 2 x − 3 cos2 x
1
Ñaët t = tgx ⇒ dt = dx ta coù:
cos2 x
dx dt dt
I =∫ =∫ 2 =∫
cos x ( tg x + 2tgx − 3 )
2 2
t + 2t − 3 ( t − 1)( t + 3)
1  1 1  1 t −1 1 tgx − 1
= ∫  −  dt = ln + C = ln +C
4  t −1 t + 3  4 t+3 4 tgx + 3
3. Daïng ∫ sin m x cosn xdx
i. Neáu m ( hoaëc n) laø soá nguyeân leû thì ñoåi bieán
t = cos x (hoaëc t = sin x ).
ii. Neáu m vaø n laø soá nguyeân döông chaün thì duøng coâng thöùc
haï baäc.
iii. Neáu m vaø n nguyeân chaün vaø coù moät soá aâm thì ñoåi bieán
t = tgx (hoaëc t = co tgx )
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 118
Ví duï: Tính ( daønh cho ñoäc giaû )
K = ∫ sin 2 x cos4 xdx L = ∫ sin3 x cos2 xdx
sin 2 x cos2 x
M=∫ dx N=∫ dx
cos4 x sin 4 x
VI. Tích phaân bieåu thöùc coù chöùa caên: Vôùi caùc pheùp ñoåi
bieán thích hôïp, ta coù theå ñöa tích phaân cuûa bieåu thöùc coù caên
soá veà tích phaân cuûa bieåu thöùc höõu tyû.
1. Caùc tích phaân sau coù theå ñöa veà tích phaân haøm löôïng
giaùc:
 π π
i. Daïng ∫ R  x , A2 − x 2 dx ñaët x = A sin t, t ∈  − , 
   2 2
 π π
ii. Daïng ∫ R  x , A2 + x 2 dx ñaët x = Atgt, t ∈  − , 
   2 2
A π 
iii. Daïng ∫ R  x , x 2 − A2 dx ñaët x = , t ∈ ( 0, π ) \  
  cos t 2
 m r 
 ax + b   ax + b 
2. Daïng ∫ R  x, n   , s  cx + d  dx
  cx + d   
 
ax + b
Ñaët t k = vôùi k laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa n vaø s.
cx + d
−dt k + b ad − bc
Khi ñoù x = ⇒ dx = kt k −1 thay vaøo bieåu
( )
2
ct − a
k
ct k
− a
thöùc tích phaân ta coù tích phaân cuûa haøm höõu tyû.
dx
Ví duï 1: I =∫3
x −1 − 6 x −1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 119
k = 6, ñaët t 6 = x − 1 ⇒ dx = 6t 5 dt . Suy ra
6t 5 dt 6t 4 dt  1 
I =∫ 2 =∫ = 6∫  t3 + t2 + t + 1 +  dt
t −t t −1  t −1 
 t4 t3 t2 
= 6  + + + t + ln t − 1  + C
4 3 2 
3 ( x − 1)
2/3
+ 2 ( x − 1) + 3 ( x − 1)
1/ 2 1/3
=
2
+ 6 6 x − 1 + 6 ln 6 x − 1 − 1 + C
1 1− x
Ví duï 2: I = ∫ dx
x 1+ x
1− x −t 2 + 1 −4t
Ñaët t = ⇒x= 2 ; dx = dt
( t + 1)
2
1+ x t +1 2
t2 + 1 − 4t t2
I =∫ t dt = 4 ∫ ( t 2 − 1)( t 2 + 1) dt
−t 2 + 1 ( t 2 + 1)2
 1 1  t −1
= 2∫  2 + 2  = 2arctgt + ln +C
 t + 1 t − 1 t +1
1− x
−1
1− x 1+ x
= 2arctg + ln +C
1+ x 1− x
+1
1+ x
3. Daïng vi phaân nhò thöùc ∫ x m ( a + bx n ) dx vôùi m, n, p laø
p
caùc soá höõu tyû.
- Neáu p laø soá nguyeân, ta ñaët t k = x , trong ñoù k laø boäi soá
chung nhoû nhaát cuûa maãu soá cuûa m vaø maãu soá cuûa n.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 120
m +1
- Neáu laø soá nguyeân, ñaët t k = a + bx n vôùi k laø maãu soá
n
cuûa p.
m +1
- Neáu + p laø soá nguyeân thì ñaët t k = ax − n + b vôùi k laø
n
maãu soá cuûa p.
Ví duï:
dx
a) I = ∫ ( p= -8 laø soá nguyeân)
( )
8
3
x 1+ 6 x
Ñaët x = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt
6t 5 dt t 3 dt
I =∫ 2 = 6∫
t (1 + t ) (1 + t )
8 8
5
1+ 4 x
b) I = ∫ dx
x
m +1
(m = −1/ 2; n = 1/ 4; p = 1/ 5 ⇒ = 2 ∈ ℤ)
n
Ñaët t 5 = 1 + 4 x ⇒ x = ( t 5 − 1) ⇒ dx = 20 ( t 5 − 1) t 4 dt
4 3
t.20 ( t 5 − 1) t 4 dt
3
I =∫ = 20 ∫ t 5 ( t 5 − 1) dt
( t − 1)
5 2
c) I = ∫
(1 + x ) dx
3
x
m +1
m = −1/ 2; n = 1/ 3; p = 1/ 2 ⇒ + p = 2∈ℤ
n