Toán cao cấp giải tính bài 2

  • 89 trang
  • file .pdf
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 13
CHÖÔNG I SOÁ THÖÏC
I. Moät thieáu soùt cuûa ℚ
Meänh ñeà: phöông trình: x 2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ .
Chứng minh: Giaû söû phöông trình: x 2 = 2 coù nghieäm trong ℚ
m m
laø x0 ⇒ x0 = vôùi m , n ∈ ℤ , n ≠ 0 vaø laø phaân soá toái giaûn
n n
( m , n nguyeân toá cuøng nhau).
2
m m2
Khi ñoù   =2 ⇒ = 2 ⇒ m2 = 2n 2 (1)
n n2
⇒ m2 laø soá chaün ⇒ m laø soá chaün
(vì neáu m laø soá leû thì m2 laø soá leû)
⇒ m = 2k ( k ∈ ℤ ) (2)
(1) & (2) ⇒ ( 2k ) = 2n 2 ⇒ 2k 2 = n 2 ⇒ n 2 laø soá chaün
2
m 2k k
⇒ n laø soá chaün ⇒ n = 2h ( h ∈ ℤ ) ⇒ = =
n 2h h
m
⇒ laø phaân soá khoâng toái giaûn ⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát .
n
Do ñoù phöông trình x 2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ .
II. Tieân ñề Zorn:
1. Khaùi nieäm: Taát caû caùc soá höõu tyû vaø voâ tyû goïi chung laø soá
thöïc.
Taäp hôïp caùc soá thöïc kyù hieäu laøø ℝ . Treân ℝ coù caùc tính chaát veà
pheùp coäng, nhaân vaø baát ñaúng thöùc nhö ñaõ bieát.
2. Ñònh nghóa: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅ . Ta noùi
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 14
i) A ø bò chaän treân neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho: x ≤ k ,∀ x ∈ A .
ii) A bò chaän döôùi neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho x ≥ k , ∀ x ∈ A .
3. Tính chất ñược sắp hoàn chỉnh: Moïi taäp con cuûa ℝ khaùc ∅
bò chaän treân ñeàu toàn taïi chaän treân nhoû nhaát.
Nhaän xeùt: Neáu A coù chaän treân nhoû nhaát thì chaän treân nhoû nhaát
laø duy nhaát, kyù hieäu laø sup A .
Chöùng minh: Giaû söû A coù 2 chaän treân nhoû nhaát laø k1 vaø k2 ta
coù:
k1 ≤ k2 (vì k1 laø chaän treân nhoû nhaát)
k2 ≤ k1 (vì k2 laø chaän treân nhoû nhaát) ⇒ k1 = k2 .
• M laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A neáu vôùi moïi T laø chaän treân
cuûa A thì M ≤ T .
• m laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A neáu ta coù m ≥ t , ∀t laø chaän
döôùi cuûa A.
• Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ¯. Neáu A bò chaän treân thì A coù voâ soá
chaän treân. Neáu A bò chaän döôùi thì A coù voâ soá chaän döôùi.
3. Heâ quaû: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅. Neáu A bò chaän döôùi thì A
coù chaän döôùi lôùn nhaát, kyù hieäu laø inf A .
Chöùng minh: Ñaët B = {− x x ∈ A} . Vì A bò chaän döôùi neân toàn taïi
m ∈ ℝ sao cho: m ≤ x , ∀x ∈ A ⇒ − x ≤ − m , ∀ − x ∈ B ⇒ B bò
chaën treân, do tính chất ñược sắp hoàn chỉnh ta coù sup B toàn taïi.
Ta coù ∀x ∈ A , − x ≤ sup B ⇒ − sup B ≤ x ⇒ − sup B laø moät
chaän döôùi cuûa A.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 15
Ta seõ chöùng minh − sup B laø moät chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A.
Thaät vaäy, ∀t laø chaän döôùi cuûa A thì t ≤ x , ∀x ∈ A
⇒ − x ≤ −t , ∀ − x ∈ B
⇒ −t laø moät chaän treân cuûa B ⇒ sup B ≤ −t ⇒ t ≤ − sup B
⇒ inf A = − sup B .
Ví duï: Vôùi A = {−7, 5, −2,1} thì sup A = 5 ; inf A = −7 .
A = {−2,18} sup A = 18 ; inf A = −2
A = [ −7;12] sup A = 12 ; inf A = −7
A = ( −5, 2 ) sup A = 12 ; inf A = −5
• Nhaän xeùt:
- sup A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu sup A ∈ A ta
coù sup A = max A .
- inf A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu inf A ∈ A ta
coù inf A = min A .
5/ Meänh ñeà (ñaëc tröng cuûa sup)
Cho A ⊂ ℝ , A ≠ ∅ . Khi ñoù:
(i ) M laø moät chaän treân cuûa A
M = sup A ⇔ 
(ii) ∀ ε > 0, ∃ x 0 ∈ A: M-ε < x 0 ≤ M
Chöùng minh: ( ⇒ ) Giaû söû M = sup A , khi ñoù (i) laø hieån nhieân.
∀ ε > 0 ⇒ M – ε < M ⇒ M – ε khoâng laø chaän treân cuûa A .
⇒ meänh ñeà (∀ x ∈ A ; x ≤ M − ε ) laø sai .
⇒ ∃ x0 ∈ A : M − ε < x0 ≤ M
⇒ (ii) thoûa.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 16
(⇐ ) Giaû söû M thoûa i) vaø ii) ⇒ M laø chaën treân. Giaû söû M
khoâng laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A . Ta coù: sup A < M
⇒ sup A − M < 0 .
Coi ε = M − sup A > 0 .
Töø ii) ⇒ ∃ x0 ∈ A : M − ( M − sup A) < x0 ≤ sup A
(vôùi ε = M − sup A )
⇒ sup A < sup A : voâ lyù.
Vaäy M phaûi laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A .
III. Vaøi öùng duïng cuûa tính chất ñược sắp hoàn chỉnh:
1. Meänh ñeà: (Tính chaát Archimeøde)
∀a, b ∈ ℝ vaø a > 0 luoân luoân toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n.a > b .
Chöùng minh:
Giaû söû khoâng toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n.a > b ⇒ n.a ≤ b ∀ n ∈ ℕ .
Ñaët A = {n.a n ∈ ℕ} , ta coù A ≠ ∅ vì A chöùa phaàn töû a = 1.a .
Vì na ∈ A vaø na ≤ b neân A bò chaën treân bôûi b ⇒ sup A toàn
taïi. Theo ñaëc tröng cuûa sup, vôùi ε = a > 0 0 thì
∃x0 ∈ A : sup A − a < x0 .
Vì x0 ∈ A neân ∃n0 ∈ ℕ : x0 = n0 a .
Do ñoù sup A − a < n0 a ⇒ sup A < n0 a + a = (n0 + 1)a ∈ A
(vì n0 + 1∈ ℕ ) ⇒ voâ lyù.
1
2. Heä quaû: ∀ε > 0 , ε ∈ ℝ , ∃n ∈ ℕ* sao cho <ε .
n
Chöùng minh:
AÙp duïng tính chaát Archimeøde vôùi a = ε vaø b = 1 ta coù nε > 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 17
1
⇒ <ε .
n
3. Meänh ñeà: Xen keõ 2 soá thöïc khaùc nhau baát kyø coù ít nhaát moät soá
höûu tyû. Noùi caùch khaùc:
∀a, b ∈ ℝ vaø a < b ⇒ ∃α ∈ ℚ : a < α < b .
Töông töï, xen keõ hai soá thöïc baát kyø coù ít nhaát moät soá voâ tæ .
4. Meänh ñeà: Phöông trình x 2 = 2 coù nghieäm trong ℝ .
Chöùng minh: Ñaët A = {t ∈ [1; 2] / t 2 ≤ 2} . Vì 1 ∈ A neân A ≠ ∅ ,
hôn nöõa A bò chaën treân bôûi 2 ⇒ supA toàn taïi vaø 1 ≤ supA ≤ 2.
Ta seõ chöùng minh raèng supA laø nghieäm cuûa phöông trình x2 = 2
nghóa laø caàn kieåm tra (supA)2 = 2 . Ta chöùng minh phaûn chöùng:
i) Giaû söû (supA)2 < 2. Xeùt 0 < ε < 1 , ta coù
(supA+ε)2 = (supA)2 + 2.ε.supA +ε2 ≤ (supA)2 + 4.ε +ε2
≤ (supA)2 + 5.ε .
2 − (sup A)2
Ñeå (supA)2 + 5.ε = 2 ta choïn ε = ( 0 < ε < 1).
5
2 − (sup A)2
Do ñoù vôùi ε = > 0 ta coù (supA + ε )2 ≤ 2
5
⇒ supA + ε ∈ A (Vôùi 0 ≤ t2 ≤ 2 ⇒ t ∈ A) maø supA + ε > supA:
voâ lyù.
ii) Giaû söû (supA)2 > 2. Xeùt ε > 0, ta coù
(supA - ε)2 = (supA)2 - 2.ε supA + ε2 > (supA)2 - 2.ε supA
≥ (supA)2 - 4.ε.
2 (sup A)2 − 2
Ñeå (supA) - 4.ε = 2 ta choïn ε = > 0.
4
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 18
(sup A)2 − 2
Khi ñoù vôùi ε = > 0 ta coù (supA - ε)2 > 2.
4
Vaäy supA –ε laø moät chaën treân cuûa A
⇒ supA ≤ supA –ε ⇒ supA +ε ≤ supA (voâ lyù).
Keát luaän (supA)2 = 2.
IV. Giaù trò tuyeät ñoái . Nhò thöùc Newton :
1) Ñònh nghóa : Trò tuyeät ñoái cuûa moät soá thöïc a laø
a neáu a ≥ 0
| a | =
-a neáu a<0
2) Tính chaát : i) x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
ii) x + y ≤ x + y ; daáu “=” xaûy ra ⇔ x.y ≥ 0
iii) x − y ≤ x − y ; x − y ≤ x + y
x x
iv) xy = x y ; =
y y
3) Nhò thöùc Newton :
n n
n! n!
( a + b) = ∑ a n−k bk ; ( a − b ) = ∑ a n − k (−1) k .b k
n n
k = 0 k !( n − k )! k = 0 k !( n − k )!
n.(n − 1).(n − 2)...2.1 neáu n ≥ 1
Qui öôùc : n! = 
 1 neáu n = 0
n!
Ta kyù hieäu Cnk =
k !(n − k )!
an-bn =(a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + …. + abn-2 + bn-1)
an+bn =(a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …. + (-1)n-2abn-2 + (-1)n-1bn-1)
vôùi n leû
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 19
Ghi chuù: Khoaûng hôû (môû) taâm a baùn kính ε > 0 laø ( a-ε , a+ε )
coøn goïi laø laân caän taâm a baùn kính ε.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 20
CHÖÔNG II DAÕY SOÁ THÖÏC
I. Khaùi nieäm: AÙnh xaï:
f :ℕ → ℝ
n ֏ un = f ( n )
ñöôïc goïi laø moät daõy soá thöïc.
Kyù hieäu: u1, u2 ,..., un ,... hay {un , n ∈ ℕ} hay {un } .
n: ñöôïc goïi laø chæ soá; un ñöôïc goïi laø soá haïng toång quaùt cuûa daõy.
Ví duï:
• Cho daõy 1, 2, 3, 4, ..., n, …. Ta coù soá haïng toång quaùt cuûa
daõy laø: un = n.
1
• Cho daõy {un} coù soá haïng toång quaùt un = . Caùc
2n + 3
1 1 1
phaàn töû cuûa daõy laø , , ,...
5 7 9
• Cho daõy {un} vôùi u1 = a > 0 vaø un = a + un −1
3un −1 + 5
• Cho u1 = 2 vaø un = , caùc soá haïng cuûa daõy laø:
un −1
11 43
u1 = 2; u2 = ; u3 = , ...
2 11
II. Söï hoäi tuï cuûa daõy soá:
1. Ñònh nghóa: Daõy {un} goïi laø hoäi tuï neáu toàn taïi soá a∈ ℝ thoûa:
“∀ε > 0 cho tröôùc, luoân toàn taïi soá nguyeân döông N(ε) sao cho
n > N(ε) ⇒ |un - a| < ε”.
Khi ñoù ta noùi {un} hoäi tuï veà a vaø kyùù hieäu: un → a hay lim un = a .
n →∞
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 21
Nhaän xeùt :
i) Vieát N(ε) nghóa laø N(ε) phuï thuoäc vaøo ε, N(ε) coù theå khoâng laø
soá nguyeân cuõng ñöôïc.
ii) |un - a| < ε ⇔ -ε < un - a < ε ⇔ a - ε < un < a + ε.
iii) un → 0 ⇔ |un| → 0.
iv) Ta coøn coù theå noùi {un} hoäi tuï veà a neáu vôùi moïi khoaûng môû V
taâm a ta ñeàu coù N0 sao cho un ∈ V, ∀n > N0.
(nghóa laø: ∀ε, luoân toàn taïi soá N0 sao cho un ∈ (a - ε, a + ε), ∀n > N0)
1
Ví duï: Chöùng minh daõy { } hoäi tuï veà 0.
n
∀ε > 0, ta caàn chöùng minh toàn taïi N0 sao cho:
1
−0 < ε, vôùi moïi n > N0 .
n
1
Vôùi ε > 0, theo tính chaát Archimeøde thì ∃ N0: <ε.
N0
1
Vaäy vôùi n > N0 ta coù <ε
n
1 1
Do ñoù ∀ε > 0, ∃ N0: n > N0 ⇒ −0 <ε⇒ →0
n n
2n − 1 2
Ví duï: Chöùng minh raèng {un} vôùi un = hoäi tuï veà
3n + 2 3
2 2n − 1 2 6 n − 3 − 6 n − 4 7 7
Ta coù: un − = − = = < <ε
3 3n + 2 3 3(3n + 2) 3(3n + 2) n
7
khi n > = N0
ε
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 22
7
Vaäy ∀ε > 0, ∃ N0 = , sao cho vôùi moïi n > N0
ε
2 7 2
⇒ un − < <ε ⇒ un→
3 n 3
2. Ñònh lyù: Giôùi haïn cuûa moät daõy hoäi tuï laø duy nhaát.
Giaû söû {un} hoäi tuï veà 2 giôùi haïn laø a1 vaø a2 vôùi a1 < a2
( lim un = a1, lim un = a2 )
n →+∞ n →+∞
a2 − a1
Coi ε = > 0.
2
Vì un hoäi tuï veà a1, neân ∃N1 : vôùi moïi n > N1 thì
a2 − a1
|un - a1| < =ε
2
a2 − a1 a −a
⇒ a1 - < un < a1 + 2 1 , ∀n > N1
2 2
a2 + a1
⇒ un < , ∀n > N1 (1)
2
Maët khaùc, vì un → a2,
a2 − a1
neân ∃ N2: vôùi moïi n > N2 thì |un- a2| < ε =
2
a2 − a1 a −a
⇒ n > N2: a2 - < un < a 2 + 2 1
2 2
a2 + a1
⇒ n > N2: < un (2)
2
Do ñoù khi n > max {N1, N2} thì (1) vaø (2) cuøng xaûy ra → voâ lyù.
Do ñoù giôùi haïn cuûa moät daõy neáu coù thì duy nhaát.
3. Ñònh nghóa : Daõy {un} goïi laø bò chaän neáu ∃ K sao cho
|un| ≤ K, ∀n.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 23
Ví duï:
1
• {un} vôùi un = 2 + sin2 n . Ta coù: 2 ≤ un ≤ 3, ∀n ⇒ {un} bò chaän.
 1  1  1   1 
• {un} vôùi un = 1− 1− 1−  ... 1− 
 2  3  4   n 
Ta coù : 0 ≤ un ≤ 1 ⇒ |un| ≤ 1 ⇒ {un} bò chaän.
Ghi chuù:
i) {un} goïi laø bò chaän treân neáu ∃M : un ≤ M, ∀n.
ii) {un} bò chaän döôùi neáu ∃m : m ≤ un, ∀n.
iii){un} bò chaän ⇔ {un} bò chaän treân vaø bò chaän döôùi.
4. Ñònh lyù :
i) {un} hoäi tuï ⇒ {un} bò chaän.
ii) Giaû söû {un} → a ≠ 0 ⇒ ∃A > 0, ∃ N > 0 sao cho |un| > A, ∀n > N
Chöùng minh:
i) Giaû söû un → a. Khi ñoù vôùi ε = 1, ∃N : n > N ⇒ |un - a| < 1
⇒ |un| = |un - a +a| ≤ |un - a| + |a| < 1 + |a| ∀n > N
(|un| < 1 + |a| ∀n > N)
Choïn K = max { u1 , u2 ,..., u N ,1+ a } ⇒ |un| ≤ K, ∀n ∈ ℕ
Ghi chuù: Ta cuõng coù theå choïn K = |u1|+|u2| +...+|un|+1+|a|
ii) Giaû söû un → a ≠ 0. Ta seõ chöùng minh
∃A > 0 : |un| ≥ A, ∀n ∈ ℕ .
a a
Vôùi ε = > 0, ∃N : n > N, ta coù: |un - a| <
2 2
a
⇒- < -|un - a|, ∀n > N
2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 24
a a
maø |un| = |un - a + a| ≥ |a| - |un - a| ≥ |a| - = , ∀n > N
2 2
a
⇒ ∃A = > 0 : |un| > A, ∀n > N.
2
5. Meänh ñeà: Neáu un ≥ 0, ∀n ∈ ℕ vaø lim un = a thì a ≥ 0.
n →∞
Chöùng minh: (baèng phaûn chöùng)
a a
Giaû söû a < 0, coi ε = - , ∃ N 1 : n > N 1 ⇒ | un - a | < -
2 2
a a
⇒un < a - = < 0, ∀n > N1
2 2
⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát un ≥ 0, ∀n.
Ghi chuù:
• Neáu thay giaû thieát un ≥ 0 ∀n baèng giaû thieát un ≥ 0 ∀n > N thì
ñònh lyù vaãn ñuùng. Noùi chung, neáu boû ñi moät soá höõu haïn caùc soá
haïng cuûa daõy thì söï hoäi tuï cuûa daõy khoâng thay ñoåi.
• Neáu thay (un ≥ 0, ∀n ∈ ℕ ) baèng (un > 0, ∀n ∈ ℕ ), ta cuõng chæ
suy ra lim un ≥ 0 (khoâng theå boû daáu “=”).
n →∞
1 1
Ví duï: un = > 0, ∀n ∈ ℕ nhöng lim = 0
n n →∞ n
6. Meänh ñeà (caùc pheùp toaùn veà giôùi haïn cuûa daõy):
Giaû söû lim un = a vaø lim vn = b .Ta coù :
n →+∞ n →+∞
i) lim (un + vn ) = a + b
n →+∞
ii) lim un vn = a.b
n →+∞
un a
iii) lim = (neáu b ≠ 0)
n →∞ vn b
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 25
iv) lim un = a (neáu un ≥ 0, ∀n)
n →+∞
Chöùng minh :
i) Vôùi ε > 0 cho tröôùc,
ε
un → a ⇒ ∃N1 : n > N1 : |un - a| <
2
ε
vn → b ⇒ ∃N2 : n > N2 : |vn - b| <
2
Choïn N = max {N1, N2}
⇒ n > N : |un + vn - (a + b)| = |un - a + vn - b|
ε ε
≤ |un - a| + |vn - b| < + = ε ⇒ (un + vn) → a + b
2 2
ii) |unvn - ab| = |unvn - avn + avn - ab| = |vn(un - a) + a(vn - b)|
≤ |vn(un - a)| + |a(vn – b)| = |vn| |un - a| + |a| |vn - b|
≤ M |un - a| + |a| |vn - b|
(vì vn hoäi tuï neân vn bò chaän bôûi M)
≤ K |un - a| + K |vn - b|
(vôùi K = M + |a| hoaëc K = max {M, |a|} )
ε
Do ñoù : ∀ ε > 0, ∃N1 : n > N1 : |un - a| <
2K
ε
∃N2 : n > N2 : |vn - b| <
2K
Kε K ε
⇒ n > N = max {N1, N2} : |unvn - ab| < + =ε
2K 2 K
Do ñoù : unvn → ab
un 1
iii) = un
vn vn
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 26
1 1
Do ñoù : ta chæ caàn chöùng minh neáu vn → b thì → (b ≠ 0).
vn b
1 1 vn − b
Ta coù: − =
vn b vn b
b
Theo chöùng minh cuûa meänh ñeà 4 thì |vn| ≥ , ∀n > N1
2
vn − b vn − b 2
Do ñoù n > N1 : ≤ = 2 vn − b
vn b b b
b
2
ε b2
Vaäy ∀ε > 0, ∃N2 : n > N2 : |vn - b| <
2
1 1 2 ε b2
⇒ n > max {N1, N2} : − < =ε
vn b b2 2
1 1 u 1 a
⇒ → ⇒ n →a =
vn b vn b b
iv) Vì un ≥ 0, ∀n ⇒ un → a ≥ 0
Ta chöùng minh un − a ≤ un − a
⇔ un − a un − a ≤ un − a
⇔ un − a un − a ≤ un − a un + a
Baát ñaúng thöùc treân hieån nhieân ñuùng.
Do ñoù: ∀ε > 0, ∃ N : n > N ta coù |un - a| < ε2
⇒n>N: un − a ≤ un − a < ε ⇒ un → a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 27
7. Meänh ñeà:
 lim un = a, lim vn = b
Neáu 
n →+∞ n →+∞
thì a ≤ b
 un ≤ vn , ∀n ∈ ℕ
Chöùng minh: Theo meänh ñeà 6: ta coù lim (vn − un ) = b – a
n →+∞
maø vn - un ≥ 0 ∀n ∈ ℕ . Theo meänh ñeà 5 ta suy ra:
b-a≥0⇒b≥a
Ghi chuù:
+ Thay un ≤ vn, ∀n baèng un ≤ vn, ∀n > N thì ñònh lyù vaãn ñuùng.
+ Neáu vn > un , ∀n ∈ ℕ thì ta cuõng chæ suy ra b ≥ a (khoâng theå boû
daáu “=” )
3n 2 3n 2
Ví duï: >
4n2 + 1 4n2 + 3
3n 2 3n 2 3
nhöng lim = lim =
n →+∞ 4 n + 1
2 n →+∞ 4 n + 3
2
4
8. Ñònh lyù (keïp ):
Giaû söû un ≤ xn ≤ vn, ∀n ∈ ℕ (* )
vaø lim un = lim vn = a thì {xn} hoäi tuï vaø lim xn = a
n →+∞ n →+∞
Chöùng minh: Vôùi moïi ε > 0 cho tröôùc,
• un hoäi tuï veà a, ∃N1 : n > N1 ⇒ |un - a| < ε
⇒ a - ε < un < a + ε, n > N1
• vn → a : ∃ N 2 : n > N 2 ⇒ | vn - a | < ε
⇒ a - ε < vn < a + ε
Do ñoù vôùi n > max {N1, N2} = N thì : a - ε < un ≤ xn ≤ vn < a + ε
⇒ |xn - a| < ε, ∀n > N ⇒ xn → a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 28
Ghi chuù:
Giaû söû xn cuõng hoäi tuï, laáy giôùi haïn cuûa (* )
Ta coù: a = lim un ≤ lim xn ≤ lim vn = a ⇒ lim xn = a
n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞
1
Ví duï: Tìm lim sin(n !)
n →∞ n
1 1 1 1
Vì 0 ≤ sin n ! ≤ ⇒ sin n ! → 0 ⇒ sin n ! → 0
n n n n
III. Daõy soá ñôn ñieäu:
1. Ñònh nghóa:
i) Daõy {un} goïi laø ñôn ñieäu taêng neáu un ≤ un+1, ∀n ∈ ℕ .
Boû daáu “=” ta coù ñònh nghóa moät daõy taêng nghieâm ngaët (nghieâm
caùch).
ii) Daõy {un} goïi laø ñôn ñieäu giaûm neáu un ≥ un+1, ∀n ∈ ℕ .
Boû daáu “=” ta coù ñònh nghóa moät daõy giaûm nghieâm ngaët.
iii) Daõy taêng hoaëc giaûm goïi chung laø daõy ñôn ñieäu.
2. Ñònh lyù:
i) Daõy taêng vaø bò chaän treân thì hoäi tuï.
ii) Daõy giaûm vaø bò chaän döôùi thì hoäi tuï.
Chöùng minh: Ñaët A = {un / n ∈ ℕ} ⊂ ℝ .
i) {un} bò chaän treân ⇒ A bò chaän treân. Theo tieân ñeà Zorn ta coù
sup A toàn taïi, ta seõ chöùng minh {un} → sup A.
Vôùi ε > 0 cho tröôùc, theo tính chaát cuûa sup thì
∃ N : sup A - ε < uN ≤ sup A.
Vì un taêng neân sup A − ε < uN ≤ un, ∀n > N
⇒ sup A − un < ε, ∀n > N
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 29
⇒ un − sup A < ε, ∀n > N
(vì un − supA = supA − un = supA − un)
⇒ lim un = supA.
n →+∞
ii) Töông töï un giaûm vaø bò chaän döôùi thì hoäi tuï veà infA.
1 1 1
Ví duï 1: {un} vôùi un = (1− )(1− )...(1− )
2 3 n
1
Chöùng minh: {un} hoäi tuï: un+1 = (1− ) un ≤ un, ∀n ∈ ℕ*
n +1
⇒ {un} giaûm vaø un > 0, ∀n ∈ ℕ*
Vaäy un giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi 0 neân {un} hoäi tuï.
1 1 1
Ví du 2ï: Cho {un}; vôùi un = + 2 + ... + n
2 2 2
Chöùng minh {un} hoäi tuï vaø tìm giôùi haïn cuûa un.
1 1
(1− n )
1
un = 2 2 = 1− n < 1, ∀ n
1 2
1−
2
1
un+1 = un + > un ∀n
2n +1
{un} taêng vaø bò chaën treân bôûi 1 ⇒ {un} hoäi tuï.
 1
Ta coù: lim un = lim 1− n  = 1
n →+∞ n →+∞
 2 
IV. Daõy phaân kyø ra ∞:
1. Ñònh nghóa: Daõy soá khoâng hoäi tuï goïi laø daõy soá phaân kyø.
Ví duï: {un} vôùi un = (−1)n laø 1 daõy phaân kyø.
2. Ñònh nghóa:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 30
i) Daõy {un} goïi laø phaân kyø ra +∞ neáu tính chaát sau thoûa: “∀A > 0
cho tröôùc, ∃ N : n > N ⇒ un > A”.
ii) Daõy {un} goïi laø phaân kyø ra −∞ neáu tính chaát sau thoûa: “∀A > 0
cho tröôùc, ∃ N : n > N ⇒ un <−A”.
• Neáu daõy {un} phaân kyø ra +∞, ta vieát
lim un = +∞ hay un → +∞
n →∞
• Neáu daõy {un} phaân kyø ra −∞, ta vieát lim un = −∞
n →∞
hay un → − ∞.
Nhaän xeùt: Ñònh nghóa treân gioáng ñònh nghóa söï hoäi tuï veà a cuûa daõy,
trong ñoù thay ε > 0 baèng A > 0 vaø un−a < ε baèng un >A
(hoaëc un < −A).
3. Meänh ñeà: Giaû söû {un} taêng vaø {vn} giaûm thoûa:
un ≤ vn , ∀n ∈ ℕ
lim(u − v ) = 0(*) thì {un} vaø {vn} hoäi tuï veà cuøng 1 giôùi haïn.
 n →+∞
n n
Chöùng minh :
+ Ta coù un ≤ vn ≤ v1, ∀n
⇒ {un} bò chaän treân bôûi v1 (vaø un taêng)
⇒ {un} hoäi tuï veà x1.
+ vn ≥ un ≥ u1, ∀n
⇒ {vn} giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi u1
⇒ {vn} hoäi tuï veà x2.
⇒ x1 − x2 = lim un − lim vn = lim (un − vn) (* ) = 0 ⇒ x1 = x2
n →∞ n →∞ n→+∞
V. Vaøi daõy soá ñaëc bieät:
1.Meänh ñeà:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 31
1
i) lim = 0 ∀α > 0
n →+∞ nα
ii) lim n
a =1 ∀a > 0
n →+∞
iii) lim n
n =1
n →+∞
nx
iv) lim =0 , ∀α > 0 ,∀x∈ ℝ
n →∞ (1+ α ) n
 nx 
 n →+∞ n = 0 ,∀a > 1
lim
 a 
+∞ neáu a>1
v) lim a n = 
n →+∞
0 neáu a <1
Chöùng minh:
1
1 1  1 α
i) α < ε ⇔ nα > ⇔n>  
n ε ε 
1
 1 α 1
Do ñoù ∀ ε > 0, ∃ N =   ⇒ n > N. Ta coù − 0 < ε.
ε  nα
ii) * Neáu a = 1, hieån nhieân lim n
1 =1
n →∞
* Neáu a > 1
Ñaët xn = n a − 1 > 0 ⇒ xn + 1 = n a
a-1
⇒ a = (1 + xn)n ≥ 1 + nxn ⇒ 0 < x n <
n
Theo ñònh lyù keïp ta coù lim xn= 0
n →∞
⇒ lim ( n a −1)= 0 ⇒ lim n
a =1
n →∞ n →∞
* Neáu a < 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 32
1 1
lim = lim n = 1 ⇒ lim n
a =1
n →∞ n n →∞ a n →∞
a
iii) n
n →1
Ñaët yn = n n − 1 ≥ 0 ⇒ n n = yn + 1
n(n − 1) 2 n(n − 1) 2
⇒ n = (1 + yn)n = 1 + nyn+ yn + ... + ... > yn
2 2
2 2
⇒ yn2 < ⇒ yn <
n −1 n −1
2
⇒ 0 ≤ yn < ⇒ lim yn = 0
n −1 n →∞
nx
iv) lim =0 ∀α > 0
n →∞ (1+ α ) n
∀x > 0, ∃ m ∈ ℕ ∗ : m > x
Khi n > 2m, ta coù:
n
n! n!
(1+α)n = ∑ αk > αm
k = 0 k !( n − k )! m !(n − m)!
n(n − 1)...(n − m + 1) m αm
m
n
= α >  (*)
m! 2 m!
(ta coù (*) vì n – m > n - n = n (∀n >2m))
2 2
nx nx 2m.m ! 1
⇒0< < = . (n > 2m, m – x > 0)
(1 + α ) n nm α m α m nm− x
.
2m m !
nx nx
⇒ lim = 0 ,∀α > 0, ∀x hay lim n = 0 ,∀a >1
n →+∞ (1+ α ) n n →+∞ a
2. Meänh ñeà: