Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhot nhất bằng phương pháp hàm số

  • 18 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Loại 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
A. Nguyên tắc chung
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau
đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa): Giả sử f xác định trên D   .
 f  x   M x  D  f  x   m x  D
M  max f  x    ; m  min f  x    .
xD
x0  D : f  x0   M xD
x0  D : f  x0   m
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,
GTNN của hàm số f xác định trên đoạn  a; b  , ta làm như sau:
 Bước 1: Tìm các điểm x1 , x2 , …, xm thuộc khoảng  a; b  mà tại đó hàm số f có
đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Bước 2: Tính f  x1  , f  x2  , …, f  xm  , f  a  , f  b  .
 Bước 3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính
là GTLN của f trên đoạn  a; b  ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của
f trên đoạn  a; b  .
max f  x   max  f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  .
x a ;b 
min f  x   min  f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  .
x a ;b 
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào
thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
B. Một số ví dụ
2 x 2  3x  1
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  trên đoạn 0; 2 .
x 1
Giải. Ta có
 4 x  3 x  1   2 x2  3 x  1 2 x2  4 x  2
y' 2
 2
 0 x   0; 2
 x  1  x  1
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên 0; 2 , do đó
 min y  y  0   3
 x0;2
 17 .
 max y  y  2  
 x0;2 3
Nhận xét.
 min f  x   f  a 
 xa;b
 f đồng biến trên  a; b    ;
max
 xa;b f  x   f  b 
 min f  x   f  b 
 xa;b
 f nghịch biến trên  a; b    .
max
 xa;b f  x   f  a 
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  4  x 2 .
Giải. TXÑ   2; 2 . Ta có
x 4  x2  x
y '  1  ( x   2; 2  ).
4  x2 4  x2
Với mọi x   2; 2  , ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
x  0
y' 0  4  x2  x  0  4  x2  x   2 2
 x 2.
 4  x  x
Vậy

min y  min y  2  ; y  2  ; y  2   min 2; 2; 2 2  2 , đạt được  x  2 ;

max y  max y  2  ; y  2  ; y  2   min 2; 2; 2 2  2 2 , đạt được  2.
x 1
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  trên đoạn  1; 2 .
x2  1
Giải. Ta có
x
x 2  1   x  1
2
x 1  1 x
y' 2
.
x 1  x  1 x  1
2 2
Với mọi x   1; 2  ta có
y'  0  x 1.
Vậy
 3 5 
min y  min  y  1 ; y  2  ; y 1  min 0; ; 2   0 , đạt được  x  1 ;
 5 
 3 5 
max y  max  y  1 ; y  2  ; y 1  max 0; ; 2   2 , đạt được  x  1 .
 5 
ln 2 x
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  trên đoạn 1; e3  .
x
Giải. Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
 ln x  2
2  . x  ln x 2 ln x  ln 2 x
x 
y'   .
x2 x2
Với mọi x  1; e3  ta có
y '  0  2ln x  ln 2 x  0  ln x  0 hoặc ln x  2
 x  1 hoặc x  e2  x  e2 (1  1; e3  ).
 9 4
Vậy  
min y  min y 1 ; y  e3  ; y  e 2   min 0; 3 ; 2   0 , đạt được  x  1 .
 e e 
 9 4 4
 
max y  max y 1 ; y  e3  ; y  e   max 0; 3 ; 2   2 , đạt được  x  e2 .
 e e  e
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 .
2

 x  4 x  21  0  3  x  7
Giải. x  TXÑ   2    2  x  5 , suy ra TXÑ=  2;5 . Ta
 x  3x  10  0  2  x  5

x2 2x  3
y'   .
 x 2  4 x  21 2  x 2  3 x  10
x2 2x  3 x2  4 x  4 4 x 2  12 x  9
y' 0    
 x 2  4 x  21 2  x 2  3 x  10  x 2  4 x  21 4   x 2  3 x  10 
 4   x 2  3x  10  x 2  4 x  4     x 2  4 x  21 4 x 2  12 x  9 
1 29
 51x2  104 x  29  0  x  hoặc x  .
3 17
1
Thử lại, ta thấy chỉ có x  là nghiệm của y ' .
3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1 1
y  2   3 , y  5   4 , y    2  min y  2 , đạt được  x  .
 3 3
C. Bài tập
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y  4  x 2 .
2) y  x 2  2 x  5 trên đoạn  2;3 .
3) y   x 2  2 x  4 trên đoạn  2; 4  .
 3
4) y  x 3  3x  3 trên đoạn  3;  .
 2
1 3
5) y  x  2 x 2  3 x  4 trên đoạn  4;0 .
3
6) y  x 3  3 x 2  9 x  1 trên đoạn  4; 4 .
7) y  x 3  5 x  4 trên đoạn  3;1 .
8) y  x 4  8 x 2  16 trên đoạn 1;3 .
1
9) y  x  trên khoảng  0;   .
x
1
10) y  x  trên khoảng 1;   .
x 1
1
11) y  x  trên nửa khoảng  0; 2  .
x
x
12) y  trên nửa khoảng  2; 4 .
x2
2 x2  5 x  4
13) y  trên đoạn  0;1 .
x2
14) y  sin 4 x  cos 4 x .
15) y  2sin 2 x  2sin x  1 .
16) y  cos 2 2 x  sin x cos x  4 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
17) y  cos 3 x  6 cos 2 x  9 cos x  5 .
18) y  sin 3 x  cos 2 x  sin x  2 .
19) y   sin 3x  3sin 3 x
2 cos2  cos x  1
20) y 
cos 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Loại 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
A. Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
 Xác định ẩn phụ t .
 Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .
 Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một
hàm biến t trên miền giá trị của t .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  4 . Tìm GTLN, GTNN của S   x 3  1 y 3  1 .
2
Giải. Đặt t  xy , suy ra 0  t 
 x  y   4 . Ta có
4
3 2
S   xy    x  y   x  y   3 xy   1  t 3  4  4 2  3t   1  t 3  12t  63 .
 
Xét hàm f  t   t 3  12t  63 , với t   0; 4 . Ta có f '  t   3t 2  12  0 t   0; 4  f  t  đồng
biến trên 0; 4 . Do đó
 min S  min f  t   f  0   63 , đạt được khi và chỉ khi
t0;4
x  y  4
   x; y    4; 0  hoặc  x; y    0; 4  .
 xy  0
 max S  max f  t   f  4   49 , đạt được khi và chỉ khi
t0;4
x  y  4
   x; y    2; 2  .
 xy  4
Ví dụ 2. Cho x , y  0 thỏa mãn x 2  y 2  2 . Tìm GTLN, GTNN của S  x  y  xy .
Giải. Đặt t  x  y , ta có
2
t 2   x  y   2  x2  y 2   4  0  t  2 ,
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2
 x  y    x2  y2  1 1
xy   t 2 1  S  f t    t 2  t  1.
2 2 2
Ta có f '  t   t  1 , f '  t   0  t  1  0; 2  ,
3
f  0   1 , f  2   1 , f 1  .
2
Do đó
x  y  0 x  y  2 x  1  x  1
+) S  1 , dấu bằng xảy ra   2 2
hoặc  2 2
  hoặc  hoặc
x  y  2 x  y  2  y  1 y 1
x  1 x  1  x  1 x  1
 . Vậy min S=1 , đạt được   hoặc  hoặc  .
y 1  y  1 y 1 y 1
 1 3  1 3
 x  x 
3 x  y  1  2  2 . Vậy max S  3 ,
+) S  , dấu bằng xảy ra   2 2
  hoặc 
2 x  y  2  y  1 3  y  1 3 2
 2 
 2
 1 3  1 3
x  x 
 2  2 .
đạt được   hoặc 
 y  1 3  y  1 3
 2  2
x y
Ví dụ 3. Cho x , y  0 thỏa mãn x 2  y 2  8 . Tìm GTLN, GTNN của S   .
y 1 x 1
Giải. Đặt t  x  y , ta có
2
 x  y   2  x 2  y 2   2  8  16  t  4 ,
2
 x  y   x2  y 2  2 xy  x 2  y 2  8  t  2 2 .
Suy ra 2 2  t  4 . Lại có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2
 x  y    x2  y2  t2  8
x y   .
2 2
Ta có biến đổi sau đây
 x  y    x  y   2 xy  t  t   t  8  2 
2 2 2
x  x  1  y  y  1 t 8
S   2
.
 y  1 x  1 x  y  xy  1
t
t 8
1
2
t  2t  6
2
t 8
Xét hàm f  t   2 với 2 2  t  4 . Ta có
t  2t  6
f ' t  
 t  2t  6   t  8 2t  2   t  16t  22  0 , t : 2 2  t  4 .
2 2
2 2
 t  2t  6 
2
 t  2t  6 
2
2
Suy ra f nghịch biến trên  2 2; 4  . Do đó min f  t   f  4   . max f  t   f 2 2  2 .
t 2 2;4  3
 
4 x2  y 2  8 4
+) S  2  min f  t   , dấu bằng xảy ra    x  y  2 . Vậy min S  , đạt
t 2 2;4 3 x  y  4 3
được  x  y  2 .
 x 2  y 2  8  x  0  x  2 2
+) S  2  max f  t   4 2 , dấu bằng xảy ra     hoặc  .
t 2 2;4 
 x  y  2 2  y  2 2  y  0
4  x  0  x  2 2
Vậy max S  , đạt được   hoặc  .
3  y  2 2  y  0
Ví dụ 4. Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  xy  3 . Tìm GTLN, GTNN của
x2 y2 1
S   .
y 1 x 1 x  y  3
Giải. Đặt
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
 xy  3  t  0
  xy  3  t
t  x y   t2   .
3  t   2  t  3
 4
Ta có
3 2
x3  y 3  x 2  y 2

1  x  y   3xy  x  y    x  y   2 xy  1
S  
 x  1 y  1 x  y  3 xy   x  y   1 x  y 3
t3  33  t  t  t 2  2 3  t  1 t 3 2 7t 1 3
   t    .
3  t   t 1 t 3 4 4 t 3 2
t 3 2 7t 1 3
Xét hàm f  t   t    , t   2;3 .
4 4 t 3 2
3t 2 7 1
Ta có f '  t    2t    0 , t   2;3  f 1 đồng biến trên  2;3 .
4 4  t  3 2
Do đó
4  x  y  xy  3
+) S  f  t   f  2   . Dấu “  ” xảy ra    x  y 1
5 x  y  2
4
 min S  , Đạt được  x  y  1 .
5
35  x  y  xy  3 x  0 x  3
+) S  f  t   f  3  . Dấu “  ” xảy ra     hoặc  .
6 x  y  3 y  3 y  0
35 x  0 x  3
 max S  , Đạt được   hoặc  .
6 y  3 y  0
Ví dụ 5. Cho x , y thỏa mãn x 2  xy  y 2  1 . Tìm GTLN, GTNN của S  x 2  xy  y 2 .
Giải.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2 2
2
Cách 1. Từ giả thiết suy ra 1   x  y   xy   x  y 
2

 x  y   3  x  y  . Do đó, nếu đặt
4 4
3 2  2 3 2 3
t   x  y  thì t  1 , hay t    ; .
4  3 3 
2
Ta có xy   x  y   1  t 2  1 , suy ra
2
S   x  y   3xy  t 2  3  t 2  1  2t 2  3 .
 2 3 2 3
Xét hàm f  t   2t 2  3 với t    ;  . Ta có f '  t   4t , f '  t  có nghiệm duy nhất
 3 3 
 2 3 2 3
t  0    ; .
 3 3 
2 3  2 3 1
Ta có f  0   3 , f    f     .
 3   3  3
Do đó
1
 min S  , đạt được chẳng hạn khi
3
  2 3
 2 3 2 3  x  y 
x  y  x  y  3   x; y    1 ; 1  .
 3   3    
 x  xy  y  1
2 2  x  y   xy  1
2  xy  1  3 3
   3
 max S  3 , đạt được khi và chỉ khi
x  y  0  x  y  0 x  y  0
 2 2
  2  
 x  xy  y  1  x  y   xy  1  xy  1
  x; y   1; 1 hoặc  x; y    1;1 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
x 2  xy  y 2
Cách 2. Ta có S  .
x 2  xy  y 2
 Xét y  0 . Khi đó S  1 .
x
 Xét y  0 . Chia cả tử và mẫu của S cho y 2 và đặt t  , ta được
y
t2  t 1 2t
S 2  1 2 .
t  t 1 t  t 1
2t 2  t 2  1
Xét hàm f  t   1  2 , ta có f '  t   2
.
t  t 1  t 2  t  1
Bảng biến thiên của hàm f  t  :
t -∞ -1 1 +∞
f '(t) + 0 _ 0 +  2 
 t 
lim f  t   lim 1    1.
3 t  t  1 1
 1  2 
 t t 
f(t)
1
1
1
3
Suy ra:
1
+) min S  , đạt được khi và chỉ khi
3
x
 y 1   x; y    1 ; 1  hoặc  x; y     1 ;  1  .
    
 x 2  xy  y 2  1  3 3  3 3

+) max S  3 . Đạt được khi và chỉ khi
x
 y  1
   x; y   1; 1 hoặc  x; y    1;1 .
 x 2  xy  y 2  1

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
3
Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn  x  y   4 xy  2 . Tìm GTNN của
A  3  x 4  y 4  x2 y 2   2  x 2  y 2   1.
3 2
Giải. Áp dụng bất đẳng thức  a 2  b 2  ab    a  b  với a  x2 , b  y 2 ta được
4
 x  y  x y   34  x  y   A  94  x  y   2  x  y   1 .
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy   x  y  , ta có
3 2 2
 x  y    x  y   2   x  y  1  x  y   2  x  y   2  0  x  y  1
2 2
(do  x  y   2  x  y   2   x  y  1  1  0 x , y ).
  x  y 2 1
t  
Đặt t  x 2  y 2   2 2 .
9
 A  f t  t 2  2t  1
 
4
9 1 9 1
Xét hàm f  t   t 2  2t  1 , t  . Ta có f '  t   t  2  0 t   f  t  đồng biến trên
4 2 2 2
1  1 9 1
 2 ;    f  t   f  2   16 t  2 .
   
9
Như vậy S  , dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi
16
x  y
 1 1  1 1
 2 2 1   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   .
 x  y  2 2 2  2 2
9 1 1  1 1
Vậy min S  , đạt được   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   .
16 2 2  2 2
Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và
x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 5  y 5  z 5 .
Giải. Từ x  y  z  0 suy ra z    x  y  , thay z    x  y  vào đẳng thức thứ hai của giả
thiết, ta được
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
2 2 2 1 2 3 2
1  x 2  y 2   x  y   2  x  y   2 xy  2  x  y   x  y  x  y
2 2
Do đó, nếu đặt t  x  y thì ta có
3 2  6 6 2t 2  1
t  1  t   ;  , xy  .
2  3 3  2
Biến đổi
5 5
P  x5  y5   x  y    x 3  y 3  x 2  y 2   x 2 y 2  x  y    x  y 
3 2 5
  x  y   3xy  x  y    x  y   2 xy   x 2 y 2  x  y    x  y 
  
2
 2t 2  1   2 2t 2  1   2t 2  1  5 3
 t 3  3   t  t    2t  t  .
5
 t  t  2   
 2  2   2  4
5 3  6 6 5 2
Xét hàm f  t     2t  t  , với t    ;  . Ta có f '  t     6t  1 có hai nghiệm là
4  3 3  4
6  6 6
t   ; 
6  3 3 .
 6 5 6  6 5 6  6 5 6  6 5 6
Ta có f     , f      , f    , f     .
 3  36  6  36  6  36  3  36
5 6 6 6
Vậy min P   , đạt được chẳng hạn khi x  y  , z .
36 6 3
3
Ví dụ 8. Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  . Tìm GTNN của biểu thức
2
1 1 1
S  x2  y 2  z 2  2
 2  2 .
x y y z z x
Giải. Đặt t  3 xyz . Ta có t  0 và
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14