Tích phân luyện thi đại học
- 49 trang
- file .pdf
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
Chuyên ñề 1 : Nguyên Hàm.
1. khái niệm nguyên hàm :
- Cho hàm số f ( x ) xác ñịnh trên K . Hàm số F ( x ) ñgl nguyên hàm của hàm của f ( x ) trên
K nếu : F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K .
- Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì họ nguyên hàm của f ( x ) trên K là :
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C , C ∈ ℝ
- Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K ñều có nguyên hàm trên K .
2. Tính chất:
- ∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C .
- ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx .
- ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ( k ≠ 0) .
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
∫ 0dx = C . ∫ dx = x + C .
xα +1 1
α
∫ x dx = + C, (α ≠ −1) . ∫ dx = ln x + C .
α +1 x
ax
∫ e x dx = e x + C . ∫ a x dx = +C ( 0 < a ≠ 1) .
ln a
∫ cos xdx = sin x + C . ∫ sin xdx = - cos x + C .
1 1
∫ dx = tan x + C . ∫ dx = − cot x + C .
cos 2 x sin 2 x
1 ax +b 1 1
∫ e ax +b dx = e +C ( a ≠ 0) . ∫ dx = ln ax + b + C .
a ax + b a
Trang 1
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
dx 1 x dx 1 x+a
∫ = arctan + C ( a ≠ 0) . ∫ = ln +C .
a +x
2 2
a a a −x
2 2
2a x − a
xdx 1 dx x
∫ = ± ln a 2 ± x 2 + C . ∫ = arcsin +C .
a ±x
2 2
2 a −x2 2 a
dx xdx
∫ = ln x + x 2 ± a 2 + C ( a > 0) . ∫ = ± x2 ± a 2 + C .
x ±a2 2
x ±a2 2
x 2 a2 x
∫ a 2 − x 2 dx = a − x 2 + arcsin + C ( a > 0) .
2 2 a
x 2 a2
∫ x ± a dx =
2 2
x ± a ± ln x + x 2 ± a 2 + C .
2
2 2
1
∫ cos ( ax + b )dx = sin ( ax + b ) + C ( a ≠ 0) .
a
1
∫ sin ( ax + b )dx = − cos ( ax + b ) + C ( a ≠ 0) .
a
4. Phương pháp tính nguyên hàm:
a. Phương pháp ñổi biến số.
Nếu ∫ f ( u )du = F ( u ) + C và u = u ( x ) có ñạo hàm liên tục thì :
∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx = F u ( x ) + C
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Nếu u , v là hai hàm số có ñạo hàm liên tục trên K thì :
∫ udv = uv − ∫ vdu
B. Các vấn ñề thường gặp :
I. Vấn ñề 1: Xác ñịnh nguyên hàm bằng ñịnh nghĩa.
1. Dạng 1: Chứng minh rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ( a, b ) .
1.1. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
Trang 2
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
+ Bước 2: Chứng tỏ F ' ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ ( a, b ) .
Chú ý: Nếu thay ( a, b ) bằng [ a, b] thì phải thực hien như sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
- Xác ñịnh F ' ( a + )
- Xác ñịnh F ' ( b − )
F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )
+ Bước 2: Chứng tỏ F ' ( a + ) = f ( a )
F ' ( b ) = f ( b )
−
1.2. Bài Tập:
( )
Bài 1: CMR hàm số F ( x ) = ln x + x 2 + a với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số
1
f ( x) = trên ℝ .
x2 + a
e x Khi x ≥ 0
Bài 2: CMR hàm số F ( x ) = 2 là một nguyên hàm của hàm số
x + x + 1 Khi x < 0
e x Khi x ≥ 0
f ( x) = trên ℝ .
2 x + 1 Khi x < 0
HD: Xét 2 trường hợp x ≠ 0 và x = 0 . Với trường hợp x = 0 thì dùng ñịnh nghĩa ñể tính ñạo
hàm bên trái và bên phải của 0.
ln ( x 2 + 1)
Bài 3: CMR hàm số F ( x ) =
Khi x ≠ 0 là một nguyên hàm của hàm số
x
0 Khi x = 0
2 ln ( x 2 + 1)
f ( x ) = x2 + 1 − Khi x ≠ 0 .
x
1 Khi x = 0
Trang 3
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
2. Dạng 2: Xác ñịnh các giá trị của tham số ñể F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )
trên ( a, b ) .
2.1. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
+ Bước 2: ðể F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ( a, b ) , ñiều kiện là.
F '( x) = f ( x) ∀x ∈ ( a, b ) .
Dùng ñồng nhất của hàm ña thức ñể suy ra giá trị của tham số.
Chú ý: Nếu thay ( a, b ) bằng [ a, b] thì phải thực hien như sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
- Xác ñịnh F ' ( a + )
- Xác ñịnh F ' ( b − )
F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )
+ Bước 2: Chứng tỏ F ' ( a + ) = f ( a ) ⇒ giá trị của tham số.
F ' ( b ) = f ( b )
−
2.2. Bài Tập:
Bài 1: Xác ñịnh a, b, c ñể hàm số F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) e −2 x là một nguyên hàm của hàm
f ( x ) = − ( 2 x 2 − 8 x + 7 ) e −2 x .
x2 khi x ≥ 1
Bài 2: Xác ñịnh a, b ñể hàm số F ( x ) = là một nguyên hàm của hàm
ax + b khi x > 1
2 x khi x ≤ 1
f ( x) = trên ℝ .
2 khi x > 1
HD: Xét 2 trường hợp x ≠ 1 và x = 1 . Với trường hợp x = 1 thì dùng ñịnh nghĩa ñể tính ñạo hàm
bên trái và bên phải của 0.
Bài 3: Xác ñịnh các hệ số a, b, c ñể hàm số F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 là một nguyên hàm
Trang 4
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
20 x 2 − 30 x + 7 3
của hàm f ( x ) = trên khoảng , +∞ .
2x − 3 2
3. Dạng 3: Tìm hằng số tích phân
3.1. Phương pháp:
+ Dùng công thức ñã học, tìm nguyên hàm F ( x ) = G ( x ) + C (1) .
+ Dựa vào ñề bài ña cho tìm hằng số C.
+ Thay giá trị C vào (1) , ta có nguyên hàm cần tìm.
3.2. Bài Tập:
x3 + 3x 2 + 3x − 7
Bài 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x ) = và biết F ( 0 ) = 8 .
( x + 1)
2
x π π
Bài 2: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x ) = sin 2 và biết F = .
2 2 4
II. Vấn ñề 2: Xác ñịnh nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm.
1. Phương pháp:
+ Biến ñổi biểu thức hàm số ñể sử dụng ñược bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: ðể sử dụng phương pháp này cần phải :
- Nắm vững bảng các nguyên hàm.
- Nắm vững phép tính vi phân.
2. Bài Tập:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1 2 x4 + 3
1. f ( x ) = x − 3 x + .
2
2. f ( x ) = .
x x2
( x − 1) .
2 2
x −1
3. f ( x ) = 2 . 4. f x = ( )
x x2
1 2
5. f ( x ) = x + 3 x + 4 x . 6. f ( x ) = −3 .
x x
Trang 5
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
7. f ( x ) = tan 2 x . 8. f ( x ) = cos 2 x .
1 cos 2 x
9. f ( x ) = . 10. f ( x ) = .
sin x.cos 2 x
2
sin 2 x.cos 2 x
11. f ( x ) = 2sin 3x cos 2 x . 12. f ( x ) = e x ( e x − 1) .
e− x
13. f ( x ) = e x 2 + . 14. f ( x ) = e3 x +1 .
cos 2 x
Bài 2: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thỏa ñiều kiện cho trước.
1. f ( x ) = x3 − 4 x + 5 biết F (1) = 3 . 2. f ( x ) = 3 − 5cos x biết F ( π ) = 2 .
3 − 5x 2 x2 + 1 3
3. f ( x ) = biết F ( e ) = 1 . 4. f ( x ) = biết F (1) = .
x x 2
1 x3 + 3x 3 + 3x − 7
5. f ( x ) = x x + biết F (1) = −2 . 6. f ( x ) = biết F ( 0 ) = 8 .
( x + 1)
2
x
π 3x 4 − 2 x3 + 5
7. f ( x ) = sin 2 x cos x biết F ' = 0 . 8. f ( x ) = biết F (1) = 2 .
3 x2
x π π x3 − 1
9. f ( x ) = sin 2
biết F = . 10. f ( x ) = 2 biết F ( −2 ) = 0 .
2 2 4 x
Trang 6
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
III. Vấn ñề 3: Xác ñịnh nguyên hàm bằng phương pháp ñổi biến số.
1. Dạng 1: Nếu f ( x ) có dạng : f ( x ) = g u ( x ) .u ' ( x ) thì ta ñặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) dx khi
ñó ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t )dt trong ñó ∫ g ( t )dt dễ dàng tìm ñược.
Chú ý : Sau khi tính ∫ g ( t )dt theo t , ta phải thay lại t = u ( x ) .
2. Dạng 2: Thường gặp các trường hợp sau.
f ( x ) có chứa Cách ñổi biến
π π
ðặt x = a sin t với − ≤t ≤
2 2
a2 − x2
Hoặc x = a cos t với 0 ≤ t ≤ π
π π
ðặt x = a tan t với − 2 2
a +x
2 2
Hoặc x = a cos t với 0 < t < π
3. Bài Tập:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau (ðổi biến dạng 1)
dx
1. ∫ ( 5 x − 1) dx . 2. ∫ .
(3 − 2x)
5
4. ∫ ( 2 x 2 + 1) .
7
3. ∫ 5 − 2xdx .
5. ∫ ( x 3 + 5 ) x 2 dx .
4 x
6. ∫ dx .
x +5
2
3x 2
7. ∫ x x 2 + 1dx . 8. ∫ dx .
5 + 2 x3
dx
9. ∫ . 10. ∫ sin 4 x cos xdx .
( )
2
x 1+ x
sin x tan x
11. ∫ dx . 12. ∫ dx .
cos5 x cos 2 x
Trang 7
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
e x dx
13. ∫ 14. ∫ x.e x +1dx .
2
.
ex − 3
e x ln 3 x
15. ∫ dx . 16. ∫ dx .
x x
dx e tan x
17. ∫ . 18. ∫ dx .
e +1
x
cos 2 x
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau (ðổi biến dạng 2)
dx dx
1. ∫ . 2. ∫ .
(1 − x ) (1 + x 2 )
3
2 3
dx
3. ∫ 1 − x 2 dx . 4. ∫ .
4 − x2
dx
5. ∫ . 6. ∫ x 2 1 − x 2 dx .
x + x +1
2
dx
7. ∫ . 8. ∫ x 3 x 2 + 1dx .
1 + x2
x2
9. ∫ dx .
1 − x2
IV. Vấn ñề 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Với P ( x ) là ña thức của x ta thường gặp các dạng sau.
∫ P ( x ) .e dx ∫ P ( x ) .cos xdx ∫ P ( x ) .sin xdx ∫ P ( x ) .ln xdx
x
u P ( x) P ( x) P ( x) ln x
dv e x dx cos xdx sin xdx P ( x)
1. Bài Tập:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.
1. ∫ x sin xdx . 2. ∫ x cos xdx .
Trang 8
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
3. ∫ ( x 2 + 5 ) sin xdx . 4. ∫ ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx .
5. ∫ x sin 2 xdx . 6. ∫ x cos 2 xdx .
7. ∫ xe x dx . 8. ∫ x 3e x dx .
2
9. ∫ ln xdx . 10. ∫ x ln xdx .
11. ∫ ln 2 xdx . 12. ∫ ln ( x 2 + 1)dx .
13. ∫ x tan 2 xdx . 14. ∫ x 2 cos 2 xdx .
15. ∫ x 2 cos 2 xdx . 16. ∫ x ln (1 + x 2 ) dx .
17. ∫ x.2 x dx . 18. ∫ x lg xdx .
ln xdx
19. ∫ e x dx . 20. ∫ .
x
21. ∫ sin xdx . 22. ∫ cos xdx .
23. ∫ x sin xdx . 24. ∫ sin 3 xdx .
ln ( ln x )
25. ∫ dx . 26. ∫ sin ( ln x )dx .
x
27. ∫ cos ( ln x )dx . 28. ∫ e x cos xdx .
29. ∫ e x (1 + tan + tan 2 x )dx . 30. ∫ e x sin 2 xdx .
ln ( cos x ) ln (1 + x )
31. ∫ 2
dx . 32. ∫ dx .
cos x x2
33. ∫
x
x. 34. ∫
(
x ln x + x 2 + 1 )dx .
cos 2 x x2 + 1
2
x3 ln
35. ∫ dx . 36. ∫ dx .
1 + x2 x
Trang 9
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
V. Vấn ñề 5: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ.
1. Phương pháp:
ðể xác ñịnh nguyên hàm của hàm số f ( x ) , ta cần tìm một hàm g ( x ) sao cho nguyên hàm của các
hàm f ( x ) ± g ( x ) dễ xác ñịnh hơn f ( x ) . Từ ñó suy ra nguyên hàm của hàm f ( x ) .
+ Bước 1: Tìm hàm g ( x ) .
+ Bước 2: Xác ñịnh nguyên hàm của các hàm f ( x ) ± g ( x ) , nghĩa là :
F ( x ) + G ( x ) = A ( x ) + C1
(1) .
F ( x ) − G ( x ) = B ( x ) + C2
1
+ Bước 2: Từ hệ (1) , ta suy ra F ( x ) = A ( x ) + B ( x ) + C là nguyên hàm của hàm f ( x ) .
2
2. Bài Tập:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.
sin x cos x
1. ∫ dx . 2. ∫ dx .
sin x − cos x sin x − cos x
sin x cos x
3. ∫ dx . 4. ∫ dx .
sin x + cos x sin x + cos x
sin 4 x
5. ∫ dx . 6. ∫ 2sin 2 x.sin 2 xdx .
sin 4 x + cos 4 x
ex
7. ∫ 2 cos x.sin 2 xdx .
2
8. ∫ x − x dx .
e −e
e− x
9. ∫ dx .
e x − e− x
Trang 10
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
VI. Vấn ñề 6: Tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp.
A. Dạng 1: f ( x ) là hàm hữu tỉ
P ( x)
1. Dạng f ( x ) = .
Q ( x)
Phương pháp:
+ Nếu bậc của P ( x ) ≥ bậc của Q ( x ) thì ta thực hiện phép chia ña thức.
+ Nếu bậc của P ( x ) < bậc của Q ( x ) và Q ( x ) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f ( x )
thành tổng của nhiều phân thức (Bằng phương pháp hệ số bất ñịnh)
Ví dụ :
1 A B
1.1 = +
( x − a )( x − b ) x− A x−B
1 A Bx + C
1.2 = + với ∆ = b 2 − 4ac < 0 .
( x − m ) ( ax + bx + c ) x − m Ax + bx + c
2
1 A B C D
1.3 = + + + .
( x − a) ( x − b) x − a ( x − a) x − b ( x − b )2
2 2 2
1
2. Dạng f ( x ) =
x + a2
2
Phương pháp:
a
ðặt x = a tan t ⇒ dx = dt .
cos 2t
1 1 a 1 a 1 1 1 x
Vậy ∫ dx = ∫ 2 dt = ∫ 2 dt = ∫ dt = t + C = arctan + C
x +a a ( tan t + 1) cos t
2 2 2 2 2
a cos t a a a a
2
cos t
1
3. Dạng f ( x ) = .
ax + bx + c
2
Phương pháp:
a. Trường hợp 1:
Nếu ax 2 + bx + c có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta viết lại ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) .
Trang 11
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
1 1
Suy ra f ( x ) = 2 =
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 )
1 1 1 1 x − x2
Vậy ∫ =∫ = ln +C .
ax + bx + c
2
a ( x − x1 )( x − x2 ) a x2 − x1 x − x1
b. Trường hợp 2:
Nếu ax 2 + bx + c có nghiệm kép x1 = x2 = α thì ta viết lại ax 2 + bx + c = a ( x − α ) .
2
1 1
Suy ra f ( x ) = = .
ax + bx + c a ( x − α )2
2
1 1 1 −1
Vậy ∫ =∫ = . +C .
ax + bx + c a ( x −α ) a x −α
2 2
c. Trường hợp 3:
Nếu ax 2 + bx + c vô nghiệm thì ta viết lại
b c b b2 c b2
ax 2 + bx + c = a x 2 + x + = a x 2 + 2. x + 2 + − 2
a a 2a 4a a 4a
b b 2 − 4ac
2
b
2
∆
= a x + − 2 = a x + − 2
2a 4a 2a 4a
b
x+
1 1 1 4 2a + C .
Vậy ∫ 2 =∫ = . arctan
ax + bx + c b
2
∆ a −∆ −∆
a x + − 2
4a
2a 4a
mx + n
4. Dạng f ( x ) = .
ax 2 + bx + c
Phương pháp:
Lấy ñạo hàm của mẫu số ñặt lên tử số và cân bằng với tử số ( mx + n ) của f ( x ) rồi trừ ñi hằng số
phát sinh.
m mb
mx + n = ( 2ax + b ) + n −
2a 2a
Trang 12
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
m mb
mx + n ( 2ax + b ) + n −
Suy ra f ( x ) = 2 = 2a 2a
ax + bx + c ax 2 + bx + c
m 2ax + b mb 1
= +n − 2
2a ax + bx + c
2
2a ax + bx + c
m 2ax + b mb dx
Do ñó ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ dx + n − ∫ 2
2a ax + bx + c
2
2a ax + bx + c
Trong ñó
2ax + b
+∫ dx = ln ax 2 + bx + c + C1
ax 2 + bx + c
dx
+∫ ñã biết cách tính.
ax + bx + c
2
xn
5. Dạng f ( x ) = .
(1 + x ) 2 m
Phương pháp:
a. Trường hợp 1: m = 1 .
1
+∫ dx = arctan x + C .
1 + x2
dx = ln (1 + x 2 ) + C .
x 1
+∫
1+ x 2
2
x2 1
+ ∫ dx = ∫ 1 − 2
dx = x − arctan x + C .
1+ x 2
1+ x
x3 x x2 1
+ ∫ = ∫ x − 2
dx = − ln (1 + x 2 ) + C .
1+ x 2
1+ x 2 2
x4 2 1 x3
+ ∫
1 + x2 ∫
= x −1 + dx = − x + arctan x + C .
1 + x2 3
x5 3 x x4 x2 1
+ ∫ = ∫ x − x + 2
dx = − + ln (1 + x 2 ) + C .
1+ x 2
1+ x 4 2 2
x6 4 1 x5 x 3
+ ∫ dx = ∫ x − x 2
+ 1 − dx = − + x − arctan x + C .
1 + x6 1 + x2 5 3
b. Trường hợp 2: m > 1 .
Trang 13
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
+ Nếu n lẻ thì dùng phương pháp ñổi biến số.
ðặt
t = 1 + x2 ⇔ x2 = t − 1
1
dt = 2 xdx ⇒ xdx = dt
2
+ Nếu n chẵn thì dùng phương pháp từng phần.
xdx
Giả sử n = 2k , k ∈ ℤ . Chọn u = x 2 k −1 , dv = .
(1 + x2 )
m
Bài tập :
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.
dx dx
1. ∫ . 2. ∫ .
x ( x + 1) ( x + 1)( 2 x − 3)
x2 + 1 dx
3. ∫ dx . 4. ∫ .
x2 − 1 x − 7 x + 10
2
dx dx
5. ∫ . 6. ∫ .
x − 6x + 9
2
x −4
2
x x
7. ∫ dx . 8. ∫ dx .
( x + 1)( 2 x + 1) 2 x − 3x − 2
2
x3 dx
9. ∫ dx . 10. ∫ .
x 2 − 3x + 2 x ( x 2 + 1)
dx x
11. ∫ . 12. ∫ dx .
1 + x3 x −13
B. Dạng 2: f ( x ) là hàm vô tỉ.
ax + b
1. Dạng f ( x ) = R x, m
cx + d
Phương pháp:
Trang 14
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
ax + b ax + b
ðặt t = m ⇒ tm = , tính x theo t ⇒ dx rồi thay vào hàm số ñã cho.
cx + d cx + + d
1
2. Dạng f ( x ) = ( m ≠ 0) .
x +m2
Phương pháp:
ðặt x2 + m = − x + t ⇒ t = x + x2 + m
x x2 + m + x tdx
⇒ dt = 1 + dx = dx =
x2 + m x2 + m x2 + m
dx dt
⇒ =
x2 + m t
dx dt
Do ñó ta có : ∫ =∫ = ln t + C = ln x + x 2 + m + C .
x +m
2 t
1
3. Dạng f ( x ) = .
ax + bx + c
2
Phương pháp:
+ Nếu a > 0 .
2
p
Ta có : ax + bx + c = a . x + px + q = a x + + k
2 2
2
b c p2
Với p = ,q = ,k = q − . Do ñó ta có
a a 4
dx 1 dx 1 p
∫ ax + bx + c = a ∫
2 2
=
a
ln x + + x 2 + px + q + C .
2
p
x+ +k
2
+ Nếu a < 0 .
2
p
Ta có : ax 2 + bx + c = − a − x 2 + px + q = − a k 2 − x − .
2
−b −c 2 p 2
Với p = , q= ,k = + q, k > 0 .
a a 4
Trang 15
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
p
x−
dx 1 dx 1 2 +C
Do ñó ta có ∫ = ∫ = arcsin
ax 2 + bx + c −a p
2
−a k
k2 − x −
2
mx + n
4. Dạng f ( x ) = .
ax 2 + bx + c
Phương pháp:
+ Lấy ñạo hàm của biểu thức trong dấu căn thức ở mẫu số.
( ax + bx + c ) ' = 2ax + b và ñặt lên trên tử.
2
+ Cân bằng hệ số của x và hằng số ñộc lập của tử số của f ( x ) .
m mb
mx + n = ( 2ax + b ) + n − .
2a 2a
Do ñó ta có
m mb
mx + n ( 2a + b ) + n − 2ax + b mb
dx = ∫ 2a 2a dx = m dx
∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
∫
a 2 ax 2 + bx + c
dx + n −
∫
2a ax 2 + bx + c
.
2ax + b
+ Hàm số có nguyên hàm là ax 2 + bx + c .
2 ax + bx + c
2
1
+ Hàm số có nguyên hàm là một hàm số logarit dạng
ax + bx + c
2
1 p b c
F ( x) = ln x + + x 2 + px + q nếu a > 0 và p = , q = .
a 2 a a
Và có nguyên hàm là hàm số dạng arcsin dạng.
p
x−
1
F ( x) = arcsin 2 nếu a < 0 .
−a k
1
5. Dạng f ( x ) = .
( mx + n ) ax 2 + bx + c
Phương pháp:
1 1
ðặt t = ⇒ mx + n = từ ñó tính x và dx .
mx + n t
Trang 16
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
1
6. Dạng f ( x ) = .
( x − α ) ax 2 + bx + c
n
Phương pháp:
1
ðặt t = .
x −α
7. Dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c .
Phương pháp:
Biến ñổi về một trong hai dạng sau.
+ f ( x ) = u 2 + m nếu a > 0 .
+ g ( x ) = k 2 − u 2 nếu a < 0 .
a. Cách tính nguyên hàm của hàm f ( x ) = x 2 + m , m ≠ 0 .
x2 + m x2 m
Ta có thể viết lại f ( x ) = x 2 + m = = + .
x2 + m x2 + m x2 + m
m
Ta có : ∫ dx = m ln x + x 2 + m + C1 .
x +m
2
x2
Ta tính nguyên hàm I = ∫ dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần như sau.
x2 + m
u = x
du = dx
Chọn xdx ⇒ ⇒ I = x x 2 + m − ∫ x 2 + mdx .
dv = v = x + m
2
x2 + m
Do ñó ta có ∫ x 2 + mdx = x x 2 + m − ∫ x 2 + m + m ln x + x 2 + m + C1
x 2 m
⇔ ∫ x 2 + mdx = x + m + ln x + x 2 + m + C .
2 2
Vậy họ nguyên hàm của f ( x ) = x 2 + m , m ≠ 0 là
x 2 m
F ( x) = x + m + ln x + x 2 + m + C .
2 2
b. Cách tính nguyên hàm của hàm g ( x ) = k 2 − x 2 .
Trang 17
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
k 2 − x2 k2 x2
Ta có thể viết lại g ( x ) = k 2 − x 2 = = − .
k 2 − x2 k 2 − x2 k 2 − x2
k2 x
Ta có : ∫ dx = k 2 arcsin + C1 .
k −x
2 2 k
x2
Ta tính nguyên hàm I = ∫ dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
k 2 − x2
u = x
du = dx
Chọn xdx ⇒ ⇒ I = − x k 2 − x 2 + ∫ k 2 − x 2 dx .
dv = v = − k − x
2 2
k 2 − x2
x
Do ñó ta có ∫ k 2 − x 2 dx = k 2 arcsin + x k 2 − x 2 − ∫ k 2 − x 2 dx + C1 .
k
k2 x x 2
⇔ ∫ k 2 − x 2 dx = arcsin + k − x2 + C .
2 k 2
Vậy họ nguyên hàm của g ( x ) = k 2 − x 2 là
k2 x x 2
F ( x) = arcsin + k − x2 + C .
2 k 2
Chú ý : Ta có thể tính nguyên hàm dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c bằng cách sau.
Phương pháp 1:
+ Nếu a > 0
ðặt ax 2 + bx + c = ± ax + t
⇒ ax 2 + bx + c = ax 2 + 2 a xt + t 2 (Giả sử ta lấy dấu +)
t2 − c
⇒x=
b − 2 at
a (t 2 − c )
⇒ ax 2 + bx + c = ax + t = +t
b − 2 at
Phương pháp 2:
+ Giả sử tam thức ax 2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt là α , β .
ðặt ax 2 + bx + c = ( x − α ) t .
Trang 18
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
⇒ a ( x − α )( x − β ) = ( x − α ) t 2 ⇒ a ( x − β ) = ( x − α ) t 2
2
α t 2 − aβ a (α − β )
⇒x= ⇒ x −α =
t −a
2
t2 − a
a (α − β ) t
⇒ ax 2 + bx + c = ( x − α ) t = .
t2 − a
1
8. Dạng f ( x ) = R
( x + a )( x + b )
ñặt t = x + a + x + b .
a+x a−x
9. Dạng f ( x ) = hoặc f ( x ) = .
a−x a+x
Phương pháp :
π
Cách 1: ðặt x = a.cos 2t với t ∈ 0; .
2
a+x a+x a−x
Cách 2: = = với a + x > 0 và a − x > 0 .
a−x a−x a 2 − x2
a+x
Cách 3: ðặt t = .
a−x
b
dx
10. Dạng I = ∫ .
a x2 − a2
Phương pháp :
t = x + x2 − a2 .
b
11. Dạng J = ∫ x 2 − a 2 dx .
a
Phương pháp :
x
u = x 2 − a 2 du = dx
ðặt ⇒ x − a2
2
.
dv = dx v = x
t2
ax + b
11. Dạng ∫ dx .
t1 cx + d
Trang 19
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
Phương pháp :
ax + b
Cách 1: ðặt t = cx + d hoặc t = .
cx + d
t2
ax + b t2
ax + b t2
ax + b
Cách 2: ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx
t1 cx + d t1 ( cx + d )( ax + b ) t1 Ax 2 + Bx + C
t2
2 Ax + B t2
1
=M∫ dx + N ∫ dx
t1 Ax + Bx + C
2
t1 Ax + Bx + C
2
t2
1
12. Dạng ∫ dx .
t1 ( x + a )( x + b )
Phương pháp :
x + a > 0
ðặt t = x + a + x + b với .
x + b > 0
dx
13. Dạng ∫ .
ax + b + cx + d
Phương pháp :
P ( x)
ðặt t = cx + d ñưa về dạng ∫ dx .
Q ( x)
dx
14. Dạng ∫ .
( ax + b ) cx + d
Phương pháp :
1 P ( x)
ðặt t = ñưa về dạng ∫ dx .
ax + b Q ( x)
Bài tập :
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1 x +1
1. ∫ dx . 2. ∫ dx .
1+ x +1 x x−2
1 1
3. ∫ dx . 4. ∫ dx .
1+ x +1
3
x+4 x
Trang 20
Chuyên ñề 1 : Nguyên Hàm.
1. khái niệm nguyên hàm :
- Cho hàm số f ( x ) xác ñịnh trên K . Hàm số F ( x ) ñgl nguyên hàm của hàm của f ( x ) trên
K nếu : F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K .
- Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì họ nguyên hàm của f ( x ) trên K là :
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C , C ∈ ℝ
- Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K ñều có nguyên hàm trên K .
2. Tính chất:
- ∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C .
- ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx .
- ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ( k ≠ 0) .
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
∫ 0dx = C . ∫ dx = x + C .
xα +1 1
α
∫ x dx = + C, (α ≠ −1) . ∫ dx = ln x + C .
α +1 x
ax
∫ e x dx = e x + C . ∫ a x dx = +C ( 0 < a ≠ 1) .
ln a
∫ cos xdx = sin x + C . ∫ sin xdx = - cos x + C .
1 1
∫ dx = tan x + C . ∫ dx = − cot x + C .
cos 2 x sin 2 x
1 ax +b 1 1
∫ e ax +b dx = e +C ( a ≠ 0) . ∫ dx = ln ax + b + C .
a ax + b a
Trang 1
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
dx 1 x dx 1 x+a
∫ = arctan + C ( a ≠ 0) . ∫ = ln +C .
a +x
2 2
a a a −x
2 2
2a x − a
xdx 1 dx x
∫ = ± ln a 2 ± x 2 + C . ∫ = arcsin +C .
a ±x
2 2
2 a −x2 2 a
dx xdx
∫ = ln x + x 2 ± a 2 + C ( a > 0) . ∫ = ± x2 ± a 2 + C .
x ±a2 2
x ±a2 2
x 2 a2 x
∫ a 2 − x 2 dx = a − x 2 + arcsin + C ( a > 0) .
2 2 a
x 2 a2
∫ x ± a dx =
2 2
x ± a ± ln x + x 2 ± a 2 + C .
2
2 2
1
∫ cos ( ax + b )dx = sin ( ax + b ) + C ( a ≠ 0) .
a
1
∫ sin ( ax + b )dx = − cos ( ax + b ) + C ( a ≠ 0) .
a
4. Phương pháp tính nguyên hàm:
a. Phương pháp ñổi biến số.
Nếu ∫ f ( u )du = F ( u ) + C và u = u ( x ) có ñạo hàm liên tục thì :
∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx = F u ( x ) + C
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Nếu u , v là hai hàm số có ñạo hàm liên tục trên K thì :
∫ udv = uv − ∫ vdu
B. Các vấn ñề thường gặp :
I. Vấn ñề 1: Xác ñịnh nguyên hàm bằng ñịnh nghĩa.
1. Dạng 1: Chứng minh rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ( a, b ) .
1.1. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
Trang 2
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
+ Bước 2: Chứng tỏ F ' ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ ( a, b ) .
Chú ý: Nếu thay ( a, b ) bằng [ a, b] thì phải thực hien như sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
- Xác ñịnh F ' ( a + )
- Xác ñịnh F ' ( b − )
F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )
+ Bước 2: Chứng tỏ F ' ( a + ) = f ( a )
F ' ( b ) = f ( b )
−
1.2. Bài Tập:
( )
Bài 1: CMR hàm số F ( x ) = ln x + x 2 + a với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số
1
f ( x) = trên ℝ .
x2 + a
e x Khi x ≥ 0
Bài 2: CMR hàm số F ( x ) = 2 là một nguyên hàm của hàm số
x + x + 1 Khi x < 0
e x Khi x ≥ 0
f ( x) = trên ℝ .
2 x + 1 Khi x < 0
HD: Xét 2 trường hợp x ≠ 0 và x = 0 . Với trường hợp x = 0 thì dùng ñịnh nghĩa ñể tính ñạo
hàm bên trái và bên phải của 0.
ln ( x 2 + 1)
Bài 3: CMR hàm số F ( x ) =
Khi x ≠ 0 là một nguyên hàm của hàm số
x
0 Khi x = 0
2 ln ( x 2 + 1)
f ( x ) = x2 + 1 − Khi x ≠ 0 .
x
1 Khi x = 0
Trang 3
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
2. Dạng 2: Xác ñịnh các giá trị của tham số ñể F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )
trên ( a, b ) .
2.1. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
+ Bước 2: ðể F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ( a, b ) , ñiều kiện là.
F '( x) = f ( x) ∀x ∈ ( a, b ) .
Dùng ñồng nhất của hàm ña thức ñể suy ra giá trị của tham số.
Chú ý: Nếu thay ( a, b ) bằng [ a, b] thì phải thực hien như sau.
+ Bước 1: Xác ñịnh F ' ( x ) trên ( a, b ) .
- Xác ñịnh F ' ( a + )
- Xác ñịnh F ' ( b − )
F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )
+ Bước 2: Chứng tỏ F ' ( a + ) = f ( a ) ⇒ giá trị của tham số.
F ' ( b ) = f ( b )
−
2.2. Bài Tập:
Bài 1: Xác ñịnh a, b, c ñể hàm số F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) e −2 x là một nguyên hàm của hàm
f ( x ) = − ( 2 x 2 − 8 x + 7 ) e −2 x .
x2 khi x ≥ 1
Bài 2: Xác ñịnh a, b ñể hàm số F ( x ) = là một nguyên hàm của hàm
ax + b khi x > 1
2 x khi x ≤ 1
f ( x) = trên ℝ .
2 khi x > 1
HD: Xét 2 trường hợp x ≠ 1 và x = 1 . Với trường hợp x = 1 thì dùng ñịnh nghĩa ñể tính ñạo hàm
bên trái và bên phải của 0.
Bài 3: Xác ñịnh các hệ số a, b, c ñể hàm số F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 là một nguyên hàm
Trang 4
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
20 x 2 − 30 x + 7 3
của hàm f ( x ) = trên khoảng , +∞ .
2x − 3 2
3. Dạng 3: Tìm hằng số tích phân
3.1. Phương pháp:
+ Dùng công thức ñã học, tìm nguyên hàm F ( x ) = G ( x ) + C (1) .
+ Dựa vào ñề bài ña cho tìm hằng số C.
+ Thay giá trị C vào (1) , ta có nguyên hàm cần tìm.
3.2. Bài Tập:
x3 + 3x 2 + 3x − 7
Bài 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x ) = và biết F ( 0 ) = 8 .
( x + 1)
2
x π π
Bài 2: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x ) = sin 2 và biết F = .
2 2 4
II. Vấn ñề 2: Xác ñịnh nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm.
1. Phương pháp:
+ Biến ñổi biểu thức hàm số ñể sử dụng ñược bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: ðể sử dụng phương pháp này cần phải :
- Nắm vững bảng các nguyên hàm.
- Nắm vững phép tính vi phân.
2. Bài Tập:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1 2 x4 + 3
1. f ( x ) = x − 3 x + .
2
2. f ( x ) = .
x x2
( x − 1) .
2 2
x −1
3. f ( x ) = 2 . 4. f x = ( )
x x2
1 2
5. f ( x ) = x + 3 x + 4 x . 6. f ( x ) = −3 .
x x
Trang 5
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
7. f ( x ) = tan 2 x . 8. f ( x ) = cos 2 x .
1 cos 2 x
9. f ( x ) = . 10. f ( x ) = .
sin x.cos 2 x
2
sin 2 x.cos 2 x
11. f ( x ) = 2sin 3x cos 2 x . 12. f ( x ) = e x ( e x − 1) .
e− x
13. f ( x ) = e x 2 + . 14. f ( x ) = e3 x +1 .
cos 2 x
Bài 2: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thỏa ñiều kiện cho trước.
1. f ( x ) = x3 − 4 x + 5 biết F (1) = 3 . 2. f ( x ) = 3 − 5cos x biết F ( π ) = 2 .
3 − 5x 2 x2 + 1 3
3. f ( x ) = biết F ( e ) = 1 . 4. f ( x ) = biết F (1) = .
x x 2
1 x3 + 3x 3 + 3x − 7
5. f ( x ) = x x + biết F (1) = −2 . 6. f ( x ) = biết F ( 0 ) = 8 .
( x + 1)
2
x
π 3x 4 − 2 x3 + 5
7. f ( x ) = sin 2 x cos x biết F ' = 0 . 8. f ( x ) = biết F (1) = 2 .
3 x2
x π π x3 − 1
9. f ( x ) = sin 2
biết F = . 10. f ( x ) = 2 biết F ( −2 ) = 0 .
2 2 4 x
Trang 6
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
III. Vấn ñề 3: Xác ñịnh nguyên hàm bằng phương pháp ñổi biến số.
1. Dạng 1: Nếu f ( x ) có dạng : f ( x ) = g u ( x ) .u ' ( x ) thì ta ñặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) dx khi
ñó ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t )dt trong ñó ∫ g ( t )dt dễ dàng tìm ñược.
Chú ý : Sau khi tính ∫ g ( t )dt theo t , ta phải thay lại t = u ( x ) .
2. Dạng 2: Thường gặp các trường hợp sau.
f ( x ) có chứa Cách ñổi biến
π π
ðặt x = a sin t với − ≤t ≤
2 2
a2 − x2
Hoặc x = a cos t với 0 ≤ t ≤ π
π π
ðặt x = a tan t với −
a +x
2 2
Hoặc x = a cos t với 0 < t < π
3. Bài Tập:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau (ðổi biến dạng 1)
dx
1. ∫ ( 5 x − 1) dx . 2. ∫ .
(3 − 2x)
5
4. ∫ ( 2 x 2 + 1) .
7
3. ∫ 5 − 2xdx .
5. ∫ ( x 3 + 5 ) x 2 dx .
4 x
6. ∫ dx .
x +5
2
3x 2
7. ∫ x x 2 + 1dx . 8. ∫ dx .
5 + 2 x3
dx
9. ∫ . 10. ∫ sin 4 x cos xdx .
( )
2
x 1+ x
sin x tan x
11. ∫ dx . 12. ∫ dx .
cos5 x cos 2 x
Trang 7
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
e x dx
13. ∫ 14. ∫ x.e x +1dx .
2
.
ex − 3
e x ln 3 x
15. ∫ dx . 16. ∫ dx .
x x
dx e tan x
17. ∫ . 18. ∫ dx .
e +1
x
cos 2 x
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau (ðổi biến dạng 2)
dx dx
1. ∫ . 2. ∫ .
(1 − x ) (1 + x 2 )
3
2 3
dx
3. ∫ 1 − x 2 dx . 4. ∫ .
4 − x2
dx
5. ∫ . 6. ∫ x 2 1 − x 2 dx .
x + x +1
2
dx
7. ∫ . 8. ∫ x 3 x 2 + 1dx .
1 + x2
x2
9. ∫ dx .
1 − x2
IV. Vấn ñề 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Với P ( x ) là ña thức của x ta thường gặp các dạng sau.
∫ P ( x ) .e dx ∫ P ( x ) .cos xdx ∫ P ( x ) .sin xdx ∫ P ( x ) .ln xdx
x
u P ( x) P ( x) P ( x) ln x
dv e x dx cos xdx sin xdx P ( x)
1. Bài Tập:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.
1. ∫ x sin xdx . 2. ∫ x cos xdx .
Trang 8
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
3. ∫ ( x 2 + 5 ) sin xdx . 4. ∫ ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx .
5. ∫ x sin 2 xdx . 6. ∫ x cos 2 xdx .
7. ∫ xe x dx . 8. ∫ x 3e x dx .
2
9. ∫ ln xdx . 10. ∫ x ln xdx .
11. ∫ ln 2 xdx . 12. ∫ ln ( x 2 + 1)dx .
13. ∫ x tan 2 xdx . 14. ∫ x 2 cos 2 xdx .
15. ∫ x 2 cos 2 xdx . 16. ∫ x ln (1 + x 2 ) dx .
17. ∫ x.2 x dx . 18. ∫ x lg xdx .
ln xdx
19. ∫ e x dx . 20. ∫ .
x
21. ∫ sin xdx . 22. ∫ cos xdx .
23. ∫ x sin xdx . 24. ∫ sin 3 xdx .
ln ( ln x )
25. ∫ dx . 26. ∫ sin ( ln x )dx .
x
27. ∫ cos ( ln x )dx . 28. ∫ e x cos xdx .
29. ∫ e x (1 + tan + tan 2 x )dx . 30. ∫ e x sin 2 xdx .
ln ( cos x ) ln (1 + x )
31. ∫ 2
dx . 32. ∫ dx .
cos x x2
33. ∫
x
x. 34. ∫
(
x ln x + x 2 + 1 )dx .
cos 2 x x2 + 1
2
x3 ln
35. ∫ dx . 36. ∫ dx .
1 + x2 x
Trang 9
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
V. Vấn ñề 5: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ.
1. Phương pháp:
ðể xác ñịnh nguyên hàm của hàm số f ( x ) , ta cần tìm một hàm g ( x ) sao cho nguyên hàm của các
hàm f ( x ) ± g ( x ) dễ xác ñịnh hơn f ( x ) . Từ ñó suy ra nguyên hàm của hàm f ( x ) .
+ Bước 1: Tìm hàm g ( x ) .
+ Bước 2: Xác ñịnh nguyên hàm của các hàm f ( x ) ± g ( x ) , nghĩa là :
F ( x ) + G ( x ) = A ( x ) + C1
(1) .
F ( x ) − G ( x ) = B ( x ) + C2
1
+ Bước 2: Từ hệ (1) , ta suy ra F ( x ) = A ( x ) + B ( x ) + C là nguyên hàm của hàm f ( x ) .
2
2. Bài Tập:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.
sin x cos x
1. ∫ dx . 2. ∫ dx .
sin x − cos x sin x − cos x
sin x cos x
3. ∫ dx . 4. ∫ dx .
sin x + cos x sin x + cos x
sin 4 x
5. ∫ dx . 6. ∫ 2sin 2 x.sin 2 xdx .
sin 4 x + cos 4 x
ex
7. ∫ 2 cos x.sin 2 xdx .
2
8. ∫ x − x dx .
e −e
e− x
9. ∫ dx .
e x − e− x
Trang 10
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
VI. Vấn ñề 6: Tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp.
A. Dạng 1: f ( x ) là hàm hữu tỉ
P ( x)
1. Dạng f ( x ) = .
Q ( x)
Phương pháp:
+ Nếu bậc của P ( x ) ≥ bậc của Q ( x ) thì ta thực hiện phép chia ña thức.
+ Nếu bậc của P ( x ) < bậc của Q ( x ) và Q ( x ) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f ( x )
thành tổng của nhiều phân thức (Bằng phương pháp hệ số bất ñịnh)
Ví dụ :
1 A B
1.1 = +
( x − a )( x − b ) x− A x−B
1 A Bx + C
1.2 = + với ∆ = b 2 − 4ac < 0 .
( x − m ) ( ax + bx + c ) x − m Ax + bx + c
2
1 A B C D
1.3 = + + + .
( x − a) ( x − b) x − a ( x − a) x − b ( x − b )2
2 2 2
1
2. Dạng f ( x ) =
x + a2
2
Phương pháp:
a
ðặt x = a tan t ⇒ dx = dt .
cos 2t
1 1 a 1 a 1 1 1 x
Vậy ∫ dx = ∫ 2 dt = ∫ 2 dt = ∫ dt = t + C = arctan + C
x +a a ( tan t + 1) cos t
2 2 2 2 2
a cos t a a a a
2
cos t
1
3. Dạng f ( x ) = .
ax + bx + c
2
Phương pháp:
a. Trường hợp 1:
Nếu ax 2 + bx + c có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta viết lại ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) .
Trang 11
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
1 1
Suy ra f ( x ) = 2 =
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 )
1 1 1 1 x − x2
Vậy ∫ =∫ = ln +C .
ax + bx + c
2
a ( x − x1 )( x − x2 ) a x2 − x1 x − x1
b. Trường hợp 2:
Nếu ax 2 + bx + c có nghiệm kép x1 = x2 = α thì ta viết lại ax 2 + bx + c = a ( x − α ) .
2
1 1
Suy ra f ( x ) = = .
ax + bx + c a ( x − α )2
2
1 1 1 −1
Vậy ∫ =∫ = . +C .
ax + bx + c a ( x −α ) a x −α
2 2
c. Trường hợp 3:
Nếu ax 2 + bx + c vô nghiệm thì ta viết lại
b c b b2 c b2
ax 2 + bx + c = a x 2 + x + = a x 2 + 2. x + 2 + − 2
a a 2a 4a a 4a
b b 2 − 4ac
2
b
2
∆
= a x + − 2 = a x + − 2
2a 4a 2a 4a
b
x+
1 1 1 4 2a + C .
Vậy ∫ 2 =∫ = . arctan
ax + bx + c b
2
∆ a −∆ −∆
a x + − 2
4a
2a 4a
mx + n
4. Dạng f ( x ) = .
ax 2 + bx + c
Phương pháp:
Lấy ñạo hàm của mẫu số ñặt lên tử số và cân bằng với tử số ( mx + n ) của f ( x ) rồi trừ ñi hằng số
phát sinh.
m mb
mx + n = ( 2ax + b ) + n −
2a 2a
Trang 12
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
m mb
mx + n ( 2ax + b ) + n −
Suy ra f ( x ) = 2 = 2a 2a
ax + bx + c ax 2 + bx + c
m 2ax + b mb 1
= +n − 2
2a ax + bx + c
2
2a ax + bx + c
m 2ax + b mb dx
Do ñó ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ dx + n − ∫ 2
2a ax + bx + c
2
2a ax + bx + c
Trong ñó
2ax + b
+∫ dx = ln ax 2 + bx + c + C1
ax 2 + bx + c
dx
+∫ ñã biết cách tính.
ax + bx + c
2
xn
5. Dạng f ( x ) = .
(1 + x ) 2 m
Phương pháp:
a. Trường hợp 1: m = 1 .
1
+∫ dx = arctan x + C .
1 + x2
dx = ln (1 + x 2 ) + C .
x 1
+∫
1+ x 2
2
x2 1
+ ∫ dx = ∫ 1 − 2
dx = x − arctan x + C .
1+ x 2
1+ x
x3 x x2 1
+ ∫ = ∫ x − 2
dx = − ln (1 + x 2 ) + C .
1+ x 2
1+ x 2 2
x4 2 1 x3
+ ∫
1 + x2 ∫
= x −1 + dx = − x + arctan x + C .
1 + x2 3
x5 3 x x4 x2 1
+ ∫ = ∫ x − x + 2
dx = − + ln (1 + x 2 ) + C .
1+ x 2
1+ x 4 2 2
x6 4 1 x5 x 3
+ ∫ dx = ∫ x − x 2
+ 1 − dx = − + x − arctan x + C .
1 + x6 1 + x2 5 3
b. Trường hợp 2: m > 1 .
Trang 13
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
+ Nếu n lẻ thì dùng phương pháp ñổi biến số.
ðặt
t = 1 + x2 ⇔ x2 = t − 1
1
dt = 2 xdx ⇒ xdx = dt
2
+ Nếu n chẵn thì dùng phương pháp từng phần.
xdx
Giả sử n = 2k , k ∈ ℤ . Chọn u = x 2 k −1 , dv = .
(1 + x2 )
m
Bài tập :
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau.
dx dx
1. ∫ . 2. ∫ .
x ( x + 1) ( x + 1)( 2 x − 3)
x2 + 1 dx
3. ∫ dx . 4. ∫ .
x2 − 1 x − 7 x + 10
2
dx dx
5. ∫ . 6. ∫ .
x − 6x + 9
2
x −4
2
x x
7. ∫ dx . 8. ∫ dx .
( x + 1)( 2 x + 1) 2 x − 3x − 2
2
x3 dx
9. ∫ dx . 10. ∫ .
x 2 − 3x + 2 x ( x 2 + 1)
dx x
11. ∫ . 12. ∫ dx .
1 + x3 x −13
B. Dạng 2: f ( x ) là hàm vô tỉ.
ax + b
1. Dạng f ( x ) = R x, m
cx + d
Phương pháp:
Trang 14
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
ax + b ax + b
ðặt t = m ⇒ tm = , tính x theo t ⇒ dx rồi thay vào hàm số ñã cho.
cx + d cx + + d
1
2. Dạng f ( x ) = ( m ≠ 0) .
x +m2
Phương pháp:
ðặt x2 + m = − x + t ⇒ t = x + x2 + m
x x2 + m + x tdx
⇒ dt = 1 + dx = dx =
x2 + m x2 + m x2 + m
dx dt
⇒ =
x2 + m t
dx dt
Do ñó ta có : ∫ =∫ = ln t + C = ln x + x 2 + m + C .
x +m
2 t
1
3. Dạng f ( x ) = .
ax + bx + c
2
Phương pháp:
+ Nếu a > 0 .
2
p
Ta có : ax + bx + c = a . x + px + q = a x + + k
2 2
2
b c p2
Với p = ,q = ,k = q − . Do ñó ta có
a a 4
dx 1 dx 1 p
∫ ax + bx + c = a ∫
2 2
=
a
ln x + + x 2 + px + q + C .
2
p
x+ +k
2
+ Nếu a < 0 .
2
p
Ta có : ax 2 + bx + c = − a − x 2 + px + q = − a k 2 − x − .
2
−b −c 2 p 2
Với p = , q= ,k = + q, k > 0 .
a a 4
Trang 15
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
p
x−
dx 1 dx 1 2 +C
Do ñó ta có ∫ = ∫ = arcsin
ax 2 + bx + c −a p
2
−a k
k2 − x −
2
mx + n
4. Dạng f ( x ) = .
ax 2 + bx + c
Phương pháp:
+ Lấy ñạo hàm của biểu thức trong dấu căn thức ở mẫu số.
( ax + bx + c ) ' = 2ax + b và ñặt lên trên tử.
2
+ Cân bằng hệ số của x và hằng số ñộc lập của tử số của f ( x ) .
m mb
mx + n = ( 2ax + b ) + n − .
2a 2a
Do ñó ta có
m mb
mx + n ( 2a + b ) + n − 2ax + b mb
dx = ∫ 2a 2a dx = m dx
∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
∫
a 2 ax 2 + bx + c
dx + n −
∫
2a ax 2 + bx + c
.
2ax + b
+ Hàm số có nguyên hàm là ax 2 + bx + c .
2 ax + bx + c
2
1
+ Hàm số có nguyên hàm là một hàm số logarit dạng
ax + bx + c
2
1 p b c
F ( x) = ln x + + x 2 + px + q nếu a > 0 và p = , q = .
a 2 a a
Và có nguyên hàm là hàm số dạng arcsin dạng.
p
x−
1
F ( x) = arcsin 2 nếu a < 0 .
−a k
1
5. Dạng f ( x ) = .
( mx + n ) ax 2 + bx + c
Phương pháp:
1 1
ðặt t = ⇒ mx + n = từ ñó tính x và dx .
mx + n t
Trang 16
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
1
6. Dạng f ( x ) = .
( x − α ) ax 2 + bx + c
n
Phương pháp:
1
ðặt t = .
x −α
7. Dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c .
Phương pháp:
Biến ñổi về một trong hai dạng sau.
+ f ( x ) = u 2 + m nếu a > 0 .
+ g ( x ) = k 2 − u 2 nếu a < 0 .
a. Cách tính nguyên hàm của hàm f ( x ) = x 2 + m , m ≠ 0 .
x2 + m x2 m
Ta có thể viết lại f ( x ) = x 2 + m = = + .
x2 + m x2 + m x2 + m
m
Ta có : ∫ dx = m ln x + x 2 + m + C1 .
x +m
2
x2
Ta tính nguyên hàm I = ∫ dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần như sau.
x2 + m
u = x
du = dx
Chọn xdx ⇒ ⇒ I = x x 2 + m − ∫ x 2 + mdx .
dv = v = x + m
2
x2 + m
Do ñó ta có ∫ x 2 + mdx = x x 2 + m − ∫ x 2 + m + m ln x + x 2 + m + C1
x 2 m
⇔ ∫ x 2 + mdx = x + m + ln x + x 2 + m + C .
2 2
Vậy họ nguyên hàm của f ( x ) = x 2 + m , m ≠ 0 là
x 2 m
F ( x) = x + m + ln x + x 2 + m + C .
2 2
b. Cách tính nguyên hàm của hàm g ( x ) = k 2 − x 2 .
Trang 17
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
k 2 − x2 k2 x2
Ta có thể viết lại g ( x ) = k 2 − x 2 = = − .
k 2 − x2 k 2 − x2 k 2 − x2
k2 x
Ta có : ∫ dx = k 2 arcsin + C1 .
k −x
2 2 k
x2
Ta tính nguyên hàm I = ∫ dx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
k 2 − x2
u = x
du = dx
Chọn xdx ⇒ ⇒ I = − x k 2 − x 2 + ∫ k 2 − x 2 dx .
dv = v = − k − x
2 2
k 2 − x2
x
Do ñó ta có ∫ k 2 − x 2 dx = k 2 arcsin + x k 2 − x 2 − ∫ k 2 − x 2 dx + C1 .
k
k2 x x 2
⇔ ∫ k 2 − x 2 dx = arcsin + k − x2 + C .
2 k 2
Vậy họ nguyên hàm của g ( x ) = k 2 − x 2 là
k2 x x 2
F ( x) = arcsin + k − x2 + C .
2 k 2
Chú ý : Ta có thể tính nguyên hàm dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c bằng cách sau.
Phương pháp 1:
+ Nếu a > 0
ðặt ax 2 + bx + c = ± ax + t
⇒ ax 2 + bx + c = ax 2 + 2 a xt + t 2 (Giả sử ta lấy dấu +)
t2 − c
⇒x=
b − 2 at
a (t 2 − c )
⇒ ax 2 + bx + c = ax + t = +t
b − 2 at
Phương pháp 2:
+ Giả sử tam thức ax 2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt là α , β .
ðặt ax 2 + bx + c = ( x − α ) t .
Trang 18
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
⇒ a ( x − α )( x − β ) = ( x − α ) t 2 ⇒ a ( x − β ) = ( x − α ) t 2
2
α t 2 − aβ a (α − β )
⇒x= ⇒ x −α =
t −a
2
t2 − a
a (α − β ) t
⇒ ax 2 + bx + c = ( x − α ) t = .
t2 − a
1
8. Dạng f ( x ) = R
( x + a )( x + b )
ñặt t = x + a + x + b .
a+x a−x
9. Dạng f ( x ) = hoặc f ( x ) = .
a−x a+x
Phương pháp :
π
Cách 1: ðặt x = a.cos 2t với t ∈ 0; .
2
a+x a+x a−x
Cách 2: = = với a + x > 0 và a − x > 0 .
a−x a−x a 2 − x2
a+x
Cách 3: ðặt t = .
a−x
b
dx
10. Dạng I = ∫ .
a x2 − a2
Phương pháp :
t = x + x2 − a2 .
b
11. Dạng J = ∫ x 2 − a 2 dx .
a
Phương pháp :
x
u = x 2 − a 2 du = dx
ðặt ⇒ x − a2
2
.
dv = dx v = x
t2
ax + b
11. Dạng ∫ dx .
t1 cx + d
Trang 19
Chuyên ñề : Tích phân và ứng dụng Biên Soạn : Lê Kỳ Hội ðT:0929468794
Phương pháp :
ax + b
Cách 1: ðặt t = cx + d hoặc t = .
cx + d
t2
ax + b t2
ax + b t2
ax + b
Cách 2: ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx
t1 cx + d t1 ( cx + d )( ax + b ) t1 Ax 2 + Bx + C
t2
2 Ax + B t2
1
=M∫ dx + N ∫ dx
t1 Ax + Bx + C
2
t1 Ax + Bx + C
2
t2
1
12. Dạng ∫ dx .
t1 ( x + a )( x + b )
Phương pháp :
x + a > 0
ðặt t = x + a + x + b với .
x + b > 0
dx
13. Dạng ∫ .
ax + b + cx + d
Phương pháp :
P ( x)
ðặt t = cx + d ñưa về dạng ∫ dx .
Q ( x)
dx
14. Dạng ∫ .
( ax + b ) cx + d
Phương pháp :
1 P ( x)
ðặt t = ñưa về dạng ∫ dx .
ax + b Q ( x)
Bài tập :
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1 x +1
1. ∫ dx . 2. ∫ dx .
1+ x +1 x x−2
1 1
3. ∫ dx . 4. ∫ dx .
1+ x +1
3
x+4 x
Trang 20