Tích phân hàm vô tỷ

  • 9 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Có nhiều phương pháp để tính tích phân hàm vô tỷ (hàm chứa căn), tuy nhiên trong chương trình
ôn thi đại học, ta chỉ cần quan tâm đến hai dạng sau đây.
Dạng 1: Biểu thức trong căn là một nhị thức bậc nhất
 
I   R x; n ax  b dx ,
 
trong đó R x; n ax  b là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và n ax  b , n là số tự nhiên,
n  2, a  0.
Phương pháp: Đặt t  n ax  b .
Dạng 2: Biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai
Phương pháp 1: Xét tích phân
 
I   R x; ax 2  bx  c dx ,
 
trong đó R x; ax 2  bx  c là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và ax 2  bx  c , a  0 .
Đặt t  ax 2  bx  c .
Trong trường hợp phương pháp này không sử dụng được, ta chuyển qua dùng phương pháp 2.
Phương pháp 2: Biến đổi căn của tam thức bậc hai về một trong các kiểu sau và áp dụng cách
đặt ẩn phụ tương ứng.
Kiểu Phép đặt ẩn phụ
  
a2  f 2  x , x  0 f  x   a sin t , t    ; 
 2 2
  
a2  f 2  x , x  0 f  x   a tan t , t    ; 
 2 2
a  
f 2  x  a2 , x  0 f  x  , t   0;   \  
cos t 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
1
Ví dụ 1. Tính I   x 1  xdx .
0
Giải
Đổi biến
x  1 t 2
t  1 x   .
dx  2tdt
Đổi cận
x  0  t  1, x  1  t  0 .
Suy ra
0 1
 1 1
1 3 1 5  4
I   1  t  t  2tdt   2  t  t  dt  2  t  t   .
2 2 4
3 5 15
1 0  0 0 
2
x
Ví dụ 2. [ĐHA04] Tính I   dx .
1 1 x 1
Giải
Đổi biến
x  t2 1
t  x 1   .
dx  2tdt
Đổi cận
x  1  t  0 , x  2  t  1.
Do đó
1 1
 1 1 1 1
t3  t  2 2  1 3 1 2 
I  2 dt  2  t  t  2   dt  2  t  t  2t  2 ln  t  1 
t 1 0
t 1  3 2
0  0 0 0 0 
1 1  11
 2    2  2ln 2    4 ln 2 .
3 2  3
64
dx
Ví dụ 3. Tính I   .
1 x3 x
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
64
dx
Ta có I   3 2
.
1    
6
x  6x
6
 x  t 6
Đổi biến: t  x   5
. Đổi cận: x  1  t  1 , x  64  t  2 .
dx  6t dt
2
t5
I  6 3 2 dt
1 t t
2
t3
 6 dt
1 t 1
2
 1 
 6  t 2  t  1   dt
1  t  1 
 2 2 2 2
1 3 1 2 
 6  t  t  t  ln  t  1 
3 2
 1 1 1 1 
 11  6 ln 3  6 ln 2 .

2
sin 2 x  sin x
Ví dụ 4. [ĐHA05] I   dx .
0 1  3cos x
Giải
Ta có

I 
2
 2 cos x  1 sin xdx .
0 1  3cos x
 t 2 1
 cos x 
3 
Đổi biến: t  1  3cos x   . Đổi cận: x  0  t  2 , x   t  1.
sin xdx   tdt2 2
 3
I 
 2.
1 t 2 1
3 
 1   32 tdt 

2 t
2
2

91  2t 2  1 dt
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
 2 2
2 2 3 
  t t 
93
 1 1 
34
 .
27
3
x 3 dx
Ví dụ 5. Tính I   .
0 x2  1
Giải
Ta có
3
x 2  xdx 
I .
0 x2 1
2  x2  t 2  1
Đổi biến: t  x  1   . Đổi cận: x  0  t  1 , x  3  t  2 .
 xdx  tdt
I 
2
 t  1 tdt
2
1 t
2
   t 2  1 dt
1
2 2
1
 t3 t
3
1 1
4
 .
3
2
dx
Ví dụ 6. Tính I   .
2 x x2  1
Giải
Ta có
2
xdx
I .
2
2 x x2 1
x2  t 2 1
Đổi biến: t  x 2  1   . Đổi cận: x  2  t  1 , x  2  t  3 .
 xdx  tdt
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
3
tdt
I 
1  t  1 t
2
3
dt
 2 .
1 t 1
 du
 dt 
     cos 2 u 
Đổi biến t  tan u , u    ;    . Đổi cận t  1  u  , t  3 
 2 2 t 2  1  1 4
2
 cos u

u . Do đó
3
du
 

3 3 3
2 
I   cos u   du  u  .

1  12
4 4 
cos 2 u 4
1
dx
Ví dụ 7. Tính I   .
0  x  1 x 2  2 x  2
Giải
Ta có
1
 x  1 dx
I  .
0  x  2 x  1 x  2 x  2
2 2
 x 2  2 x  t 2  2
Đổi biến: t  x 2  2 x  2   . Đổi cận: x  0  t  2 , x  1  t  5 .
 x  1 dx  tdt
5
tdt
I 
2  t  1 t
2
5
dt
 2
2
t 1
5
1 t 1
 ln
2 t 1
2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
1   5 1   2  1 
  ln    ln   
2   5  1   2  1  
 ln  5  1  ln  5  1  ln 2 .
1
dx
Ví dụ 8. Tính I   .
 12 8  2 x  x2
Giải
2
Ta thấy 8  2 x  x 2  9  1  2 x  x 2  32   x  1 .
Đổi biến
  
x  1  3sin t , t    ;   8  2 x  x 2  32  32 sin 2 t  3 cos t  3cos t , dx  3cos tdt .
 2 2
1 
Đổi cận x    t   , x 1  t  0.
2 6
Do đó
0 0
0
3cos tdt 
I   dt  t  .

3cos t 
6
6 6  6
3
1  x 2 dx
Ví dụ 9. Tính I   .
1 x2
Giải
   1  x 2 dx 1  tan 2 td tan t cos1 t cosdt2 t
Đặt x  tan t , t    ;     sin 2 t  sin 2dttcos t .
 2 2 x2 tan 2 t cos2 t
 
Đổi cận x  1  t  , x 3  t .
4 3

3
dt
I  2
 sin t cos t
4

3
cos tdt
 2 2
 sin t cos t
4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

3
d sin t

 sin t 1  sin t 
2 2
4
3
2
du  1
 ( u  sin t , t  0  u  0 , t   t )
2 u 1  u 
2 2
6 2
2
u 2  1  u 2 
3
2
 du
2 u 2 1  u 2 
2
3
2
 1 1 
  2
 2  du
2 1 u u 
2
3 3
2 2
1 1 u 1
  ln 
2 1 u u
2 2
2 2
 ln  2  1  ln  2  3   2 3 3  2 .
2
dx
Ví dụ 10. Tính I   .
2 x2 1
Giải
sin tdt
1   dx 2 dt
Đặt x  , t   0;   \     cos
sin t
t
 .
cos t 2 x2  1 cos t cos t
 
Đổi cận x  2  t  , x2  t .
4 3

3
dt
I 
 cos t
4

3
cos tdt
 2
 cos t
4

3
d sin t
 2
 1  sin t
4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7