Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

  • 13 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số
Loại 1. Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để xét phương
trình
A. Phương pháp giải toán
Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên y (C )
hệ giữa tập nghiệm của phương trình f  x   m  * với tập
tập các điểm chung của đường thẳng d : y  m với đồ thị
m d
C  : y  f  x  :
 * có nghiệm  d có điểm chung với  C  .
 Số nghiệm của  * bằng số điểm chung của đường thẳng
O x
d với  C  .
 Nghiệm của  * là hoành độ điểm chung của d và  C  .
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHA02] Tìm k để phương trình
 x3  3x 2  k 3  3k 2  0  *
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải.
Cách 1. Phương trình  * tương đương với y
x 3  3x 2  k 3  3k 2 .
Nếu đặt f  x   x 3  3 x 2 thì phương trình trở thành -1 O 2 3 x,k
f  x  f k  . y=f(k)
* có ba nghiệm phân biệt  đường thẳng y  f  k  có ba
điểm chung với đồ thị hàm số y  f  x   4  f  k   0 . -4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Từ đồ thị hàm số y  f  k  , ta thấy điều kiện 4  f  k   0 tương đương với k   1;3 \ 0; 2 .
Cách 2. Phương trình đã cho tương đương với
x  k
 x  k   x2   k  3 x  k 2  3k   0   2 2
.
 x   k  3 x  k  3k 1
Phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 1 có hai nghiệm
phân biệt khác k , tức là
    k  1 k  3  0 k   1;3
 2    k   1;3 \ 0; 2 .
k  0; 2
2
k   k  3 k  k  3k  0
3
Ví dụ 2. [ĐHA06] Tìm m để phương trình 2 x  9 x 2  12 x  m có 6 nghiệm phân biệt.
Giải. Đặt f  x   2 x 3  9 x 2  12 x . Phương trình đã cho tương đương với f  x   m .
Trước hết ta vẽ đồ thị  C  của hàm số f  x   2 x 3  9 x 2  12 x . Hàm f  x  là hàm chẵn,
f  x   f  x  x  0 . Do đó, đồ thị  C '  của hàm số f  x  gồm hai phần
 Phần 1: là phần  C  nằm ở bên phải Oy ;
 Phần 2: đối xứng với phần 1 qua Oy .
y y
(C) (C')
9
9
5
5 y=m
4
4
x
x
O 1 2 3 -3 -2 -1 O 1 2 3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt  đường thẳng y  m có 6 điểm chung với
C '  4  m  5 .
Ví dụ 3. [ĐHB09] Với những giá trị nào của m , phương trình sau đây có đúng 6 nghiệm phân
biệt
x2 x2  2  m . 1
Giải. Cách 1. Đặt t  x 2 , 1 trở thành
t t2  m.  2
1 có 6 nghiệm phân biệt   2  có 3 nghiệm dương phân biệt  đường thẳng d : y  m có
3 điểm chung với đồ thị  C  của hàm số f  t   t t  2 , t  0 .
y
t 2  2t neáu t  2
Ta có f  t    2 y=t2-2t
  t  2t  neáu t  2
1
d
m
  C  gồm hai phần:
x
O 1 2
 Phần 1: là phần đồ thị hàm số y  t 2  2t ứng với t  2 . -1
(C)
2
 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số y  t  2t ứng với
t  2 , qua trục hoành.
Vậy 1 có 6 nghiệm phân biệt  0  m  1 .
Cách 2. Trước hết, ta vẽ đồ thị  C  của hàm số f  x   x 4  2 x 2 .
Ta thấy: 1  f  x   m .
 f  x  neáu f  x   0
f  x  
 f  x  neáu f  x   0
 Đồ thị  C '  của hàm số f  x  gồm hai phần
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
y
 Phần 1: là phần  C  nằm phía trên trục hoành. (C')
1
m
 Phần 2: đối xứng với phần  C  nằm phía dưới trục hoành, qua x
- 2 -1 O 1 2
trục hoành. -1
1 có 6 nghiệm phân biệt  đường thẳng y  m có 6 điểm chung với  C '   0  m  1 .
C. Bài tập
Bài 1. Cho phương trình  x 4  3x 2  m  1  0 .
1) Giải phương trình với m  3 .
2) Tìm tất cả những giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và cả 4
nghiệm này đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 .
3) Trong trường hợp phương trình có 4 nghiệm phân biệt, gọi 4 nghiệm đó là x1 , x2 ,
x3 , x4 , hãy tính tổng x1  x2  x3  x4 .
Bài 2. Cho y  x3  3x 2  9 x  m  C  .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C  với m  6 .
2) Tìm m để phương trình x 3  3x 2  9 x  m có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho hàm số y  x 3  3 x  1  C  .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C  .
2) Tìm m để phương trình x 3  3 x  6  2 m  0 có ba nghiệm phân biệt.
Bài 4. Cho hàm số y  x 3  3x  2  C  .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C  .
2
3  m2  1 
2) Biện luận số nghiệm của phương trình x  3 x  2  2   .
 m 
 x3
Bài 5. Cho hàm số y   4x C  .
3
1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C  .
 x3 4  k 2  1
2) Tìm k để phương trình  4x   0 có 3 nghiệm phân biệt.
3 3 2  k 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2
Bài 6. Cho hàm số y   x  1  2  x   C  .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C  .
2 2
2) Biện luận số nghiệm của phương trình  x  1  2  x    m  1  2  m  .
2x 1
Bài 7. Cho hàm số y  C  .
x2
1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C  .
2sin x  1
2) Tìm m để phương trình  m có đúng hai nghiệm thuộc đoạn  0;   .
sin x  2
Bài 8. [ĐHA02] Cho phương trình log 32 x  log32 x  1  2m  1  0 .
1) Giải phương trình khi m  2 .
2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3  .
 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Loại 2. Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa
hai đồ thị hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho y  f  x   C1  và y  g  x   C2  . Để tìm giao điểm của  C1  và  C2  , ta làm như sau:
 Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm. Hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  là nghiệm của
phương trình
f  x  g  x .  *
Phương trình  * được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  .
 Bước 2: Tìm giao điểm. Nếu x0 là một hoành độ giao điểm thì  x0 ; f  x0   (   x0 ; g  x0   ) là
một giao điểm của  C1  và  C2  .
Chú ý. Để giải các bài toán loại này, ta rất hay sử dụng định lý Vi-ét đảo:
 b
 x1  x2  
 a
Nếu x1 , x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 ( a  0 ) thì  .
 x .x   c
 1 2 a
Nhận xét.
 Hai đồ thị hàm số có giao điểm  phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm.
 Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho y  x 3  2 x 2  x  5  C1  và hàm số y  7 x  C2  . Hãy xác định các giao điểm của
hai đồ thị  C1  và  C2  .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  :
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

x  1

3  29
x  2 x  x  5  7 x   x  1  x  3x  5   0   x 
3 2 2
.
2

 x  3  29
 2
 3  29 21  7 29 
Vậy hai đồ thị đã cho có ba giao điểm: M 1 1; 7  , M 2  ;  ,
 2 2 
 3  29 21  7 29 
M 3  ;  .
 2 2 
Ví dụ 2. Cho y  x 2  2  m  1 x  m  C1  và y   x  C2  . Tìm điều kiện của m để  C1  có
giao điểm với  C2  .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  :
x 2  2  m  1 x  m   x 1
2
 x 2  (2m  1) x  m  0 (    2m  1  4m  2m 2  8m  1 ).
 22 3
m 
2
 C1  có giao điểm với  C2   1 có nghiệm    0   .
 22 3
m 
 2
Ví dụ 3. Cho y  x 3  4mx  2  C1  và y  3 x 2  4m  C2  . Biện luận số giao điểm của  C1  và
 C2  .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  C2 
x 3  4mx  2  3 x 2  4m 1
x  1
 ( x  1)( x 2  2 x  4m  2)  0   2 .
 x  2 x  4m  2  0  2    '  4m  3
Số giao điểm của  C1  và  C2  bằng số nghiệm của phương trình 1 . Do đó
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
3
   0  m   :  2  vô nghiệm  1 có nghiệm duy nhất ( x  1 )   C1  và  C2 
4
có một giao điểm.
2
   0  m   34 :  2  trở thành x 2  2 x  1  0   x  1  0  x  1 . Trong trường
hợp này, 1 cũng có nghiệm duy nhất ( x  1 )   C1  và  C2  có một giao điểm.
   0  m   34 :  2 có hai nghiệm phân biệt. Ta thấy t 1  4m  3  0
3
m    1 không phải là nghiệm của  2   1 có ba nghiệm phân biệt   C1  và
4
 C2  có ba giao điểm.
Kết luận:
3
 m   :  C1  và  C2  có một giao điểm.
4
3
 m   :  C1  và  C2  có ba giao điểm.
4
x2  2 x  4
Ví dụ 4. [ĐHD03] Cho y   C  . Tìm m để đường thẳng d m : y  mx  2  2m có 2
x2
giao điểm với  C  .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C  với d m :
x2  2 x  4
 mx  2  2m
x2
 x 2  2 x  4   x  2  mx  2  2m  (  x  2 ).
  m  1 x 2  4  m  1 x  4  m  2   0 .  *
d m có 2 giao điểm với  C  khi và chỉ khi  * có 2 nghiệm phân biệt, tức là:
m  1  0
  m  1.
 '  12  m  1  0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 x 2  3x  3
Ví dụ 5. [ĐHA04] Cho hàm số y   C  . Tìm m để đường thẳng d : y  m cắt đồ
2  x  1
thị hàm số tại hai điểm A , B sao cho AB  1 .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C  và d :
 x 2  3x  3
 m  x 2  (2m  3) x  2m  3  0  *
2  x  1
(phép biến đổi là tương đương vì x  1 không phải nghiệm phương trình của  * )
d cắt  C  tại 2 điểm khi và chỉ khi  * có hai nghiệm phân biệt, tức là:
 1
 m
2.
  0  4m 2  4m  3  0   1
m  3
 2
Hoành độ x A , xB của các điểm A , B là nghiệm của  2  nên theo định lí Vi-ét:
 x A  xB  3  2m
 .
 x A xB  3  2m
Mặt khác vì A , B cùng thuộc đường thẳng d : y  m nên y A  yB  m .
Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có
2 2 2 2
AB 2   xA  xB    y A  y B    x A  xB   4 x A xB   3  2m   4  3  2m   4m 2  4m  3 .
Do đó
 1 5
m 
AB  1  AB 2  1  4m 2  4m  3  1   2 (thỏa mãn 1 ).

 1 5
m 
 2
1 5
Vậy m  .
2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Ví dụ 6. [ĐHA10] Cho hàm số y  x 3  2 x 2  1  m  x  m  C  . Tìm m để  C  cắt trục hoành
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x2 , x3 sao cho x12  x22  x32  4 .
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  của hàm số với trục hoành ( y  0 ):
x 3  2 x 2  1  m  x  m  0 1
x  1
  x  1  x  x  m   0   x 2  x  m  0 .
2
  
 t ( x)
 C  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  1 có ba nghiệm phân biệt
  0 1  4m  0 m  41
 t  x  có hai nghiệm phân biệt khác 1       .
t 1  0 m  0 m  0
Không mất tổng quát, giả sử x1  1  x2 , x3 là các nghiệm của t  x  . Theo định lý Vi-ét, ta có:
 x2  x3  1
 .
 x2 x3   m
Do đó:
2
x12  x22  x32  1   x2  x3   2 x2 x3  2  2m , x12  x22  x32  4  2  2m  4  m  1 .
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 sao cho
1
x12  x22  x32  4 khi và chỉ khi   m  1 , m  0 .
4
C. Bài tập
Bài 1. Tìm các giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây:
x2 3 x 1 x2
1) y    3 x  và y   ; 2) y  và y  3x  1 ;
2 2 2 2 x 1
x 1 4) y  4 x 3  3 x và y   x  2 ;
3) y  và y  3 x  5 ;
x2
5) y   x3  2 x  10 và y  x 2  3 x  4 ; 6) y  x 3  5 x 2  10 x  5 và y  x 2  x  1 ;
2x  4 x 2  3x  6
7) y  và y   x 2  2 x  4 ; 8) y  2 và y  3  2 x ;
x 1 x x2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10