Sở gd&đt vĩnh phúc đề ktcl ôn thi đại học lần 2 năm học 2013­2014 môn: toán; khối d

  • 7 trang
  • file .pdf
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013­2014
Môn: TOÁN; Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 - ( m2 + m - 3 ) x + m 2 - 3m + 2 (1) , trong đó m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m = 2 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại ba điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1 , x2 , x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức x12 + x22 + x32 = 18 .
æp ö æp ö 4 + sin x
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ = .
è3 ø è3 ø 2
ìï x + 2 + y - 2 = 4
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í ( x, y Î ¡ )
ïî x + 7 + y + 3 = 6
1
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: I = ò ( x - 2014 ) e2 x dx .
0
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB = a, BC = a , AD = 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , góc giữa mặt phẳng
( SCD ) với mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S .ABCD và khoảng cách từ đỉnh
B đến mặt phẳng ( SCD ) .
Câu 6 (1,0 điểm ). Tìm các số thực dương x, y thỏa mãn hệ phương trình sau:
ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32
ï
í 1
ï x2 + y2 - x + y =
î 2
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y + 2 = 0 và hai điểm
uuuur uuuur
A(4;6), B (0; -4) . Tìm trên đường thẳng ( d ) điểm M sao cho véc tơ AM + BM có độ dài nhỏ nhất.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A (1;0; -1) , B (1; -2;3) , C ( 0;1; 2 ) và
D (1; 1 - m; 1 + 6m ) . Tìm m để bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 9.a (1,0 điểm). Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4} và xếp thành hàng
ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, biết A ( 3; -3 ) , hai
đỉnh B, C thuộc đường thẳng x - 2 y + 1 = 0 , điểm E ( 3; 0 ) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh C. Tìm tọa độ hai
đỉnh B và C.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1; -3), B(3; 0; -3) và mặt cầu
(S) có phương trình : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 6 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua hai điểm
A, B và mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính là 5
2 2
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 log 3 ( x 2 - 4 ) + 3 log 3 ( x + 2 ) - log 3 ( x - 2 ) = 4 .
­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013­2014
(Đáp án có 06 trang) Môn: TOÁN; Khối D
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. LƯU Ý CHUNG:
­ Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo
cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
­ Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
­ Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 . 1,0
Khi m = 2 hàm số (1) có dạng y = x 3 - 3 x
a) Tập xác định D = ¡ .
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: y ' = 3 x 2 - 3 , y ' = 0 Û x = ±1 . 0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥; - 1) và (1; + ¥ ) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -1;1) .
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCD = 2 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = -2 .
0.25
æ 3 ö æ 3 ö
+) Giới hạn: lim y = lim x ç1 - 2 ÷ = -¥; lim y = lim x 3 ç1 - 2 ÷ = +¥ .
3
x ®-¥ x ®-¥
è x ø x ®+¥ x ®+¥
è x ø
+) Bảng biến thiên:
x -¥ -1 1 +¥
y / + 0 - 0 +
2 +¥ 0.25
y
-¥ -2
3
c) Đồ thị: y = 0 Û x - 3 x = 0 Û x = 0, x = ± 3 .
( ) ( 3; 0) .
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại các điểm ( 0; 0 ) , - 3; 0 ,
y '' = 0 Û 6 x = 0 Û x = 0 Þ đồ thị hàm số nhận điểm ( 0;0 ) làm điểm uốn.
4
22 0.25
1
­1 0 1
­10 ­5 5 10
­1
­2­2
­4
b Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại 1.0
ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 , x2 , x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức
x12 + x22 + x32 = 18 .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = 2 :
0.25
x 3 - ( m 2 + m - 3 ) x + m 2 - 3m + 2 = 2 Û x 3 - ( m 2 + m - 3) x + m 2 - 3m = 0
éx = m
Û ( x - m ) ( x 2 + mx - m + 3) = 0 Û ê 2
ë x + mx - m + 3 = 0 ( 2 )
Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai 0.25
2 2
ïì m + m - m + 3 ¹ 0 ém > 2
nghiệm phân biệt khác m Û í 2
Ûê
ïî D = m - 4 ( -m + 3) > 0 ë m < -6
Giả sử x1 = m ; x2 , x3 là 2 nghiệm của (2). Khi đó theo định lí Viet ta
ì x + x = -m
được: í 2 3 0.25
î x2 .x3 = - m + 3
2
Do đó x12 + x22 + x32 = 18 Û m2 + ( x2 + x3 ) - 2 x2 x3 = 18
ém = 3
Û m 2 + m 2 - 2 ( - m + 3 ) = 18 Û m2 + m - 12 = 0 Û ê .
ë m = -4 0.25
So sánh với điều kiện của m ta được m = 3 thỏa mãn.
2 æp ö æp ö 4 + sin x
Giải phương trình: cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ = 1.0
è3 ø è3 ø 2
æp ö æp ö 4 + sin x
Ta có: cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ =
è3 ø è3 ø 2
æ 2p ö æ 2p ö 0.25
1 + cos ç + 2 x ÷ 1 + cos ç - 2x ÷
Û è 3 ø+ è 3 ø = 4 + sin x
2 2 2
æ 2p ö æ 2p ö 2p
Û - sin x - 2 + cos ç + 2 x ÷ + cos ç - 2 x ÷ = 0 Û - sin x - 2 + 2 cos cos 2 x = 0 0.25
è 3 ø è 3 ø 3
Û - sin x - 2 - cos 2 x = 0 Û 2sin 2 x - sin x - 3 = 0 0.25
ésin x = -1
p
Ûê Û x = - + k 2p (k Î Z) 0.25
êsin x = 3 (VN ) 2
ë 2
3 ìï x + 2 + y - 2 = 4
Giải hệ phương trình: í 1,0
ïî x + 7 + y + 3 = 6
ì x ³ -2
Điều kiện: í . Ta có:
îy ³ 2
ìï x + 2 + y - 2 = 4 ìï x + 7 + x + 2 + y + 3 + y - 2 = 10 0.25
í Ûí
îï x + 7 + y + 3 = 6 îï x + 7 - x + 2 + y + 3 - y - 2 = 2
Đặt u = x + 7 + x + 2 và v = y+3 + y-2 ( u; v > 0 ) , ta được hệ
ìu + v = 10 0.25
ï ìu + v = 10 ìu = 5
í5 5 Ûí Ûí
ïî u + v = 2 îuv = 25 îv = 5
ìï x + 7 + x + 2 = 5 (1)
Khi đó ta có hệ í
ïî y + 3 + y - 2 = 5 ( 2 ) 0.25
Giải pt (1) ta được: x = 2
ìï x + 7 + x + 2 = 5 ìx = 2
Giải pt(2) ta được: y = 6. Khi đó í Ûí
îy = 6 0.25
ïî y + 3 + y - 2 = 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (2; 6)
1
4
Tính tích phân: I = ò ( x - 2014 ) e 2 x dx 1,0
0
ì du = dx
ìu = x - 2014 ï
Đặt í 2x
Þ í 1 2x 0.25
î dv = e dx ïîv = 2 e
1 2x
1 1 1 2x
Þ I = ( x - 2014 ) e - e dx 0.25
2 0 2 ò0
2013e 2 1 1
=- + 1007 - e2 x 0.25
2 4 0
4029 - 4027e 2 0.25
=
4
5 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B,
AB = a, BC = a, AD = 2a, SA ^ ( ABCD ) , góc giữa mặt phẳng ( SCD ) với mặt đáy
1,0
bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt
phẳng ( SCD ) .
S
H 0.25
A O D
B C
AD
Gọi O là trung điểm AD ta có ABCO là hình vuông nên CO = Þ·ACD = 900
2
·
Dễ thấy: CD ^ ( SAC ) Þ CD ^ SC , do đó góc giữa (SCD) và mặt đáy là góc SCA
1 AD + BC a3 6 0.25
· = 60 0 Þ SA = a 6 Þ V
Þ SCA . AB.SA =
S . ABCD =
3 2 2
Trong mp ( SAC ) kẻ AH ^ SC Þ AH ^ ( SCD ) Þ AH = d ( A, ( SCD ) ) .
Trong tam giác vuông SAC ta có:
0.25
1 1 1 1 1 3
2
= 2
+ 2
= 2
+ 2
Þ AH = a
AH AS AC 2
a 6 ( a 2 ) ( )
1 a 3 a 6
Vì BO / / ( SCD ) Þ d ( B, ( SCD ) ) = d ( O, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = = 0.25
2 2 2 4
6 Tìm x , y dương thỏa mãn hệ phương trình sau:
ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32
ï 1,0
í 1
ï x2 + y2 - x + y =
î 2
ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32(1)
ï
í 1
ï x 2 + y 2 - x + y = (2)
î 2
0.25
1 1 1 1 ïì a £ 1
(2) Û ( x - ) 2 + ( y + )2 = 1 . Đặt x - = a , y + = b Þ a 2 + b 2 = 1 Þ í
2 2 2 2 ïî b £ 1
(1) Û 8a 3 + 14a 2 +8a + 4b3 - 4b 2 = 30
Û (4 a 2 + 11a + 15)(a - 1) + 2b 2 (b - 1) = 0 (3)
ì 4a 2 + 11a + 15 > 0 0.25
Vì: í (do a £ 1 ) Þ (4 a 2 + 11a + 15)( a - 1) £ 0
î a -1 £ 0
và: 2b 2 (b - 1) £ 0 ( do b £ 1 )
ì éb = 0
ï ìa = 1
Þ (3) Û í êë b = 1 Û í (vì a 2 + b 2 = 1 ) 0.25
ï a =1 îb = 0
î
ì ì 1 ì 3
x - =1 ï x=
ï a = 1 ï 2 2
+ Với í Ûí Ûí ( thỏa mãn)
ïb = 0 ïy + 1 = 0 ïy = - 1
ïî ïî 2 ïî 2 0.25
3 1
Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( ; )
2 2
7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y + 2 = 0 và hai
điểm A(4;6), B(0; -4) . Tìm trên đường thẳng (d ) điểm M sao cho véc tơ 1,0
uuuur uuuur
AM + BM có độ dài nhỏ nhất.
uuuur uuuur
M ( x0 ; 2 x0 + 2) Î ( d ) Þ AM ( x0 - 4; 2 x0 - 4) , BM (x 0 ; 2 x0 + 6) . 0.25
uuuur uuuur
Þ AM + BM = (2 x0 - 4; 4 x0 + 2) . 0.25
uuuur uuuur
AM + BM = 20 x02 + 20 ³ 2 5 0.25
uuuur uuuur
AM + BM nhỏ nhất Û x0 = 0 Û M (0; 2) 0.25
8.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A (1;0; -1) , B (1; -2;3) , C ( 0;1; 2 )
1.0
và D (1; 1 - m; 1 + 6m ) . Tìm m để bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
uuur uuur
Ta có AB = ( 0; -2; 4 ) , AC = ( -1;1;3 ) 0.25
r uuur uuur
Suy ra n = éë AB, AC ùû = ( -10; -4; -2 ) .
ur 0.25
Chọn n1 ( 5; 2;1) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
Þ mp ( ABC ) :5 x + 2 y + z - 4 = 0 . Để A, B, C, D đồng phẳng thì D Î ( ABC ) 0.25
Û 5.1 + 2. (1 - m ) + (1 + 6 m ) - 4 = 0 Û 4m + 4 = 0 Û m = -1 0.25
9.a Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4 } xếp thành
hàng ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3 1,0
chữ số.