Sợ biến thiên của hàm số và ứng dụng

  • 37 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng
Mục lục
Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số .................................................................3
A. Tóm tắt lý thuyết ..............................................................................................................3
B. Một số ví dụ.......................................................................................................................4
C. Bài tập ............................................................................................................................. 11
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 13
Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số ......................................................................... 17
A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 17
B. Một số ví dụ..................................................................................................................... 18
C. Bài tập ............................................................................................................................. 21
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 22
Loại 3. Ứng dụng xét phương trình ........................................................................................... 25
A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 25
B. Một số ví dụ..................................................................................................................... 26
C. Bài tập ............................................................................................................................. 35
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 36
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số
A. Tóm tắt lý thuyết
 Định nghĩa: Cho f :  a; b    .
+) f được gọi là đồng biến trên khoảng  a; b  nếu: x1 , x2   a; b  , x1  x2  .
+) f được gọi là nghịch biến trên  a; b  nếu: x1 , x2   a; b  , x1  x2 
f  x1   f  x2  .
Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu
của hàm số. Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số.
 Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a; b  . Khi đó
+) f '  x   0 x   a; b   f đồng biến trên  a; b  .
+) f '  x   0 x   a; b   f nghịch biến trên  a; b  .
+) f '  x   0 x   a; b   f không đổi trên  a; b  .
 Ứng dụng xét tính đơn điệu của hàm số: Để xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  , ta
làm như sau:
+) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
+) Bước 2: -) Tính f '  x  .
-) Tìm nghiệm của phương trình f '  x   0 .
-) Xét dấu của f '  x  (nếu cần).
+) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
+) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x   x3  3x 2  9 x  2 .
Giải
+) TXĐ   .
+) f '  x   3x 2  6 x  9  3  x 2  2 x  3 , f '  x  có hai nghiệm là x  1 và x  3 .
+) Bảng biến thiên:
x -∞ -1 3 +∞
f '(x) + 0 _ 0 +
+∞
f(x) 7
-25
-∞
lim f  x    , lim f  x    .
x  x 
+) Kết luận: f đồng biến trên  ;1 và  3;   , nghịch biến trên  1;3 .
Chú ý.
1. Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc n
f  x   an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 ( n  * , an  0 ).
 neáu an  0, n chaün

 neáu an  0  neáu an  0, n leû
Ta có lim f  x    , lim f  x    .
 neáu an  0  neáu an  0, n chaün
x  x 
 neáu a  0, n leû
 n
2. Một số quy tắc xét dấu:
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
a. Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét g  x   ax  b ( a  0 ). Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của
g  x  (quy tắc “phải cùng trái khác”):
_∞ _ b
x +∞
a
ag(x) _ 0 +
b. Dấu của tam thức bậc hai: Xét g  x   ax 2  bx  c ( a  0 ,   b 2  4ac ). Ta có ba trường
hợp sau đây:
TH1:   0 : ag  x   0 x .
TH2:   0 : ag  x   0 x . Dấu “  ” xảy ra  x   2ba .
TH3:   0 : g  x  có hai nghiệm phân biệt x1  x2 . Ta có
 x  x1
ag  x   0  x1  x  x2 , ag  x   0   .
 x  x2
Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của g  x  trong trường hợp 3 (quy tắc “trong trái ngoài cùng”):
x _∞ x1 x2 +∞
+ 0 _ 0 +
ag(x)
c. Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa
thức có dạng:
k k k
P  x   a  x  x1  1  x  x 2  2   x  xn  n ,
trong đó:
- a  0 là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của P  x  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
- x1  x 2    xn là các nghiệm của P  x  ,
- k 1 , …, k n là các số nguyên dương, k i được gọi là bội của nghiệm xi .
Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức P  x  :
- Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( xn ) thì P  x  cùng dấu với a .
- P  x  không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội
chẵn.
d. Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa
thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm.
Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x    x 3  3 x 2  3x  1 .
Giải
+) TXÑ   .
2
+) f '  x   3x 2  6 x  3  3  x  1  0 x . Dấu “  ” xảy ra  x  1 .
+) Bảng biến thiên:
x -∞ 1 +∞
f '(x) _ 0 _
+∞
f(x)
0
-∞
lim f  x    , lim f  x    .
x  x 
+) Kết luận: f nghịch biến trên  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy f '  x   0 x   và f '  x   0  x  1 , tuy nhiên f vẫn
nghịch biến trên  . Tổng quát hơn, ta có:
+) f '  x   0 x   a; b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  a; b  
f đồng biến trên  a; b  .
+) f '  x   0 x   a; b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  a; b  
f đồng biến trên  a; b  .
Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x   3x4  4x 3  12x 2  24x  5 .
Giải
+) TXÑ   .
  
+) f '  x   12x 3  12x 2  24x  24  12 x 3  x 2  2x  2  12  x  1 x 2  2 . 
+) Bảng biến thiên:
x ∞ 2 0 2 +∞
_ 0 + 0 _ 0 +
f '(x)
+∞
16
f(x)
-7+16 2
-7-16 2
lim f  x    .
x 
   
+) Kết luận: f nghịch biến trên ;  2 và 1; 2 , đồng biến trên  2;1 và    2;   .
2x  3
Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số f  x   .
1  2x
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Giải
+) TXÑ   \ 1 .  2
+) f '  x    7
 1 2x  2
 0 x   \ 1 . 2
+) Bảng biến thiên:
1
x _∞ +∞
2
f '(x) _ _
+∞
_1
f(x) _1
_∞
2x  3 2 3
lim f  x   lim  lim 1 x  1 , lim f  x    , lim f  x    .
x  1  2 x
x 2
x  x  x  12  x  12 
2    
* Kết luận: f nghịch biến trên ; 1 và 1 ; (nghịch biến trên từng khoảng xác định).
2
Chú ý:
* Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa
bậc cao nhất ở mẫu. Chẳng hạn:
3 4 7
3x2  4 x  7 x  x 2  x3 0
lim  lim   0 (lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu là x 3 ).
x   x 3  3 x  5 x  1  3  5 1
x2 x3
f  x
* Cách xác định các giới hạn một phía: lim với điều kiện f  x0   0 , g  x0   0 .
x  x0 g  x 
f  x
+) a  x0 x   x0 ; a  : g  x  cùng dấu với f  x0   lim   .
x  x0 g  x 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
f  x
+) a  x0 x   x0 ; a  : g  x  trái dấu với f  x0   lim   .
x  x0 g  x 
f  x
+) a  x0 x   a; x0  : g  x  cùng dấu với f  x0   lim   .
x  x0 g  x 
f  x
+) a  x0 x   a; x0  : g  x  trái dấu với f  x0   lim   .
x  x0 g  x 
x2  x  1
Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số y  .
x 1
Giải
+) TXĐ   \ 1 .
x2  2x
+) y '  2
.
 x  1
+) Bảng biến thiên:
1
x _∞ x 1
0 1 2 +∞ x2  x  1 x   ,
lim f  x   lim  lim
+ 0 _ _ 0
x  x  x 1 x  1
y' + 1
x
+∞ +∞
1
y 3 x 1 
lim f  x   lim x   ,
-1 x  x  1
1
x
_∞ _∞
lim  f  x    , lim  f  x    .
1 1
x   x  
2 2
+) Kết luận: f đồng biến trên  ; 0  và  2;   , nghịch biến trên  0;1 và 1; 2  .
Ví dụ 6. Xét chiều biến thiên của hàm số y  1  x 2 .
Giải
+) TXĐ   1;1 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
x
+) y '  ( x   1;1 ).
1  x2
+) Bảng biến thiên
x _∞ _ 1
1 0 +∞
y' + 0 _
1
y
0 0
+) Kết luận: hàm số đồng biến trên  1;0  , nghịch biến trên  0;1 .
Ví dụ 7. Xét sự biến thiên của hàm số y  1  x  1  x .
Giải
+) TXĐ   1;1 .
1 1 1 x  1  x x
+) y '  x       x   1;1 .
2 1 x 2 1 x 2 1  x2  1  x  1  x  1 x 2
+) Bảng biến thiên
x _∞ _ 1
1 0 +∞
y' + 0 _
2
y
2 2
+) Kết luận: hàm số đồng biến trên  1;0  , nghịch biến trên  0;1 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu
cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm
bằng cách giải một bất phương trình.
Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  2 x  1  x 2
Giải
+) x  TXÑ  1  x 2  0  x   1;1 . Vậy TXÑ   1;1 .
x 2 1  x2  x
+) y '  2   , x   1;1 .
1  x2 1  x2
x   1;1 , ta có y '  0  2 1  x2  x  0
 2 1  x2  x

 x  25 .
y '  0  x  25 .
+) Bảng biến thiên
2
x _∞ 1
-1 5 +∞
f '(x) + 0 _
5
f(x) 2
-2
 
+) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên 1; 25 , nghịch biến trên  ;1 .
2
5
C. Bài tập
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây
1) y  2x 3  2x2  x  2 .
2) y   2 x 3  2x 2  16x  31 .
3
3) y  x 3  3x 2  3x  5 .
4) y  1 x4  x3  x  5 .
2
5) y  3x4  22x 3  51x 2  36x  1 .
6) y   45 x 5  x3  8 .
7) y  2 x .
1 x
8) y  3x  3 .
2x  3
2
9) y   x x22x 4 .
10) y  1  1 .
x x 2
11) y  23x .
x 1
12) y  x  1 .
3 x
13) y  x  2  3  x .
14) y  x2  2x  3 .
15) y  x  2 .
16) y  x 2  2 x .
17) y  4 x  2  4 5  x .
18) [ĐHA08] y  4 2 x  2 x  2 4 6  x  2 6  x .
19) y  x  3  3 3 x  3  4 4 x  3  1  x  3 3 1  x  4 4 1  x .
20) y  2 1  x  x  2  x .
Bài 2. Chứng minh
1) y  x 2  9 đồng biến trên  3;   .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
4
2) y  x  nghịch biến trên các khoảng  2;0  ,  0; 2  .
x
3x
3) y  nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
2x  1
2x2  3x
4) y  đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
2x  1
5) y   x  x2  8 nghịch biến trên  .
6) y  x  cos2 x đồng biến trên  .
D. Hướng dẫn và đáp số
1) Hàm số nghịch biến trên  .
2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 4  và  2;   , đồng biến trên  4; 2  .
3) Hàm số đồng biến trên  .
4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  12 ; 2  , đồng biến trên các khoảng  1; 12  và
 2;   .
5) Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 12  và  3;   , nghịch biến trên các khoảng  12 ; 2  và
 3;   .

6) Hàm số đồng biến trên các khoảng ;  23 và   ;   , nghịch biến trên   ;  .
2
3
2
3
2
3
Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu khi x đi qua 0 .
7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và
 1;   ).
8) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng  ;  32  và
 32 ;   ).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 0  và  4;   , đồng biến trên các khoảng  0; 2  và
 2; 4  .
10)
+) y '  x2 x 2 .
4 x 1
+) TXÑ   \ 0; 2 .
+) Bảng biến thiên:
x _∞ 2
0 1 +∞
_ _ lim y  0 , lim y   , lim y   ,
f '(x) 0 + + x  x 0 x 0
+∞ +∞
lim y   , lim y  
f(x) 0 0 0 x 2 x 2
_∞ _∞
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 0  và  0;1 , đồng biến trên các khoảng 1; 2  và
 2;   .
11)

3 1 x 2 
+) TXÑ   . +) y '  2 .
 x 1
2
+) Bảng biến thiên:
x _∞ -1 1 +∞
_ 0 _
f '(x) + 0
3 lim y  0 .
x 
2
f(x)
0 0
_ 3
2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1;   , đồng biến trên  1;1 .
12)
+) TXÑ   0;   . +) y '  6xx1x .
+) Bảng biến thiên:
x _∞ 0 1 +∞
_ lim y   ,
f '(x) 0 + x 0
+∞ +∞
f(x)
lim y  13 lim
x  x 
 x     .
1
x
3
2
+) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên 1;   .
13) Hàm số nghịch biến trên  2; 12  , đồng biến trên  12 ;3 .
13) Hàm số nghịch biến trên  ; 1 , đồng biến trên  1;   .
2
15) Gợi ý: y  x  2   x  2  y '  xx 22 . Hàm số nghịch biến trên  ; 2  , đồng biến trên
 2;   .
16) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 0  và 1; 2  , đồng biến trên các khoảng  0;1 và
 2;   .
17)
+) TXÑ   2;5 .
 
+) y '  14  4 1 3  4 1 3  ( x   2;5  ). y '  0  x  2  5  x  x  72 .
  x 2   5 x  
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
 1 4 2 3
 4  x 2 3  3
x   2; 72     y '  0 , tương tự: x   72 ;5   y '  0 .
3
 1 3  4  23 
 4 5  x
+) Bảng biến thiên:
_∞ 7
x 2 5 +∞
2
f '(x) + 0 _
4 24
f(x)
43 43
+) Hàm số nghịch đồng trên  2; 72  , nghịch biến trên  72 ;5  .
Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17)
18) Hàm số đồng biến trên  0; 2  , nghịch biến trên  2; 6  .
19) Hàm số đồng biến trên  3; 1 , nghịch biến trên  1;1 .
20) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên 1; 2  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
A. Tóm tắt lý thuyết
Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây
1. Bài toán 1. Số khoảng đơn điệu của hàm số
* Hàm bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d ( a  0 ). Ta có: y '  3ax 2  2bx  c , y ' là tam thức bậc hai
có  '  b 2  3ac . Ký hiệu x1  x2 là các nghiệm của y ' trong trường hợp y ' có hai nghiệm phân
biệt. Ta có bảng sau:
a  Sự biến thiên của y
 Hai khoảng đồng biến là  ; x1  và  x2 ;   .
 
 Một khoảng nghịch biến là  x1 ; x2  .
 0  Đồng biến trên 
 Hai khoảng nghịch biến là  ; x1  và  x2 ;   .
 
 Một khoảng đồng biến là  x1 ; x2  .
 0  Nghịch biến trên 
* Hàm bậc bốn trùng phương: y  ax 4  bx 2  c ( a  0 ).
Ta có: y '  4ax3  2bx  4ax  x 2  2ba  .
a b Sự biến thiên của y
 0  y nghịch biến trên  ; 0  , đồng biến trên  ; 0  .
 

 Hai khoảng nghịch biến là ;   2ba  và  0;   . b
2a
 Hai khoảng đồng biến là    ; 0  và   ;   .
b
2a
b
2a
 
 Hai khoảng đồng biến là  ;    và  0;   .
b
2a
b
2a
 Hai khoảng nghịch biến là    ; 0  và   ;   .
b
2a
b
2a
 0  y đồng biến trên  ; 0  , nghịch biến trên  ; 0  .
baäc nhaát ax  b
* Hàm “ ”: y  ( a , c , ad  bc  0 ).
baäc nhaát cx  d
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
a b
c d ad  bc
Ta có y '  2
 2
không đổi dấu trên tập xác định. Do đó:
 cx  d   cx  d 
+) ad  bc  0  y đồng biến trên từng khoảng xác định
+) ad  bc  0  y nghịch biến trên từng khoảng xác định
2. Bài toán 2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.
* Phương pháp 1: f đồng biến (nghịch biến) trên  a; b   f có ít nhất một khoảng đồng
biến (nghịch biến) và  a; b  là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó.
* Phương pháp 2: Giả sử f có đạo hàm không đồng nhất bằng 0 trên  a; b  . Khi đó
+) f đồng biến trên  a; b   f '  x   0 x   a; b  .
+) f nghịch biến trên  a; b   f '  x   0 x   a; b  .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số y  4 x3  mx .
Giải
+) TXÑ   .
+) y '  12 x 2  m .
* TH1: m  0  y '  0 x    hàm số đồng biến trên  .
m m
* TH2: m  0  y ' có hai nghiệm phân biệt x1    , x2   .
12 12
+) Bảng biến thiên
x -∞ x1 x2 +∞
y' + 0 _ 0 + lim y   ,
x 
+∞
y(x1) lim y   .
x 
y
yx2
-∞
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
18
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
 m  m 
+) Vậy, trong trường hợp này, hàm số đồng biến trên  ;    và   ;   , nghịch
 12   12 
 m m
biến trên    ;   .
 12 12 
1
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y   x 3  2 x 2   2m  1 x  3m  2 nghịch biến trên  .
3
Giải
Ta có y '   x 2  4 x  2m  1 . y ' là tam thức bậc hai có hệ số của x 2 là 1  0 ,  '  2m  5 . Do
đó hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi
5
'  0  m   .
2
Chú ý: Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu không đổi.
Xét tam thức bậc hai t  x   ax 2  bx  c ( a  0 ,   b 2  4ac ). Ta có
a  0
+) t  x   0 x     .
  0
a  0
+) t  x   0 x     .
  0
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y  2 x3  3  2m  1 x 2  6m  m  1 x  7 đồng biến trên 1; 2  .
Giải
x  m
Ta có y '  6 x 2  6  2m  1 x  6m  m  1 . y '  0   .
 x  m 1
Bảng biến thiên:
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
19
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
x -∞ m m+1 +∞
y' + 0 _ 0 + lim y   ,
x 
+∞
y(m) lim y   .
x 
y
y(m+1)
-∞
Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số đồng biến trên  ; m  và  m  1;   . Do đó hàm số đồng
biến trên 1; 2  khi và chỉ khi
1; 2    ; m  m  2
   .
1; 2    m  1;   m  0
Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số y  x 4  mx 2  4 .
Giải
+) TXÑ   .
+) y '  4 x 3  2mx  2 x  2 x 2  m  .
TH1: m  0  , y ' có nghiệm duy nhất x  0 , y ' đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0 .
+) Bảng biến thiên:
x ∞ 0 +∞
_ 0 +
f '(x)
+∞ lim y   .
x 
f(x)
4
+) Kết luận: hàm số đồng nghịch biến trên  ; 0  đồng biến trên  0;   .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
20