Skkn vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán

  • 25 trang
  • file .pdf
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
A. PhÇn më ®Çu
Môn Toán là môn học có tính thực tế rất cao, nó ảnh hưởng lớn đến đời sống
con người. Các công trình nghiên cứu khoa học đều cho rằng: Tất cả các môn khoa
học khác đều có liên quan mật thiết với Toán học. Sự phát triển mạnh mẽ của tất cả
các ngành khoa học cơ bản cũng như các ứng dụng của nó vào các ngành công
nghiệp then chốt đều không thể thiếu Toán học. §æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc lµ
mét yªu cÇu tÊt yÕu, ®¶m b¶o cho sù ph¸t triÓn cña gi¸o dôc. Ngµy nay nÒn kinh tÕ
trÝ thøc cïng víi sù bïng næ th«ng tin, gi¸o dôc ®· vµ ®ang thay ®æi ®Ó phï hîp víi
sù ph¸t triÓn cña khoa häc kü thuËt, sù ph¸t triÓn cña x· héi. Néi dung tri thøc khoa
häc cïng víi sù ®å sé vÒ l­îng th«ng tin yªu cÇu chóng ta ph¶i ®æi míi ph­¬ng
ph¸p d¹y häc. Trong giai ®o¹n hiÖn nay gi¸o dôc kh«ng chØ t¹o ra nh÷ng con ng­êi
cã tµi, cã ®øc mµ gi¸o dôc cßn cã mét thiªn chøc cao quý h¬n ®ã lµ gi¸o dôc c¸i
thÈm mü, nh©n v¨n, ®µo t¹o ra nh÷ng con ng­êi cã kü n¨ng sèng vµ häc tËp trong
thêi ®¹i míi. Môc tiªu gi¸o dôc thay ®æi kÐo theo yªu cÇu ph¶i ®æi míi ph­¬ng
ph¸p d¹y häc mét c¸ch phï hîp. Nh»m gióp cho gi¸o viªn th¸o gì nh÷ng khã kh¨n
trong qu¸ tr×nh ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc, ®· cã nhiÒu gi¸o s­ tiÕn sü, c¸c nhµ
khoa häc chuyªn t©m nghiªn cøu, thÝ ®iÓm vµ triÓn khai ®¹i trµ vÒ ®æi míi ph­¬ng
ph¸p d¹y häc.
Mét trong nh÷ng yªu cÇu ®Æt ra cña c¶i c¸ch lµ ph¶i ®æi míi ph­¬ng ph¸p
d¹y häc theo h­íng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, d­íi sù tæ chøc
h­íng dÉn cña gi¸o viªn. Häc sinh tù gi¸c, chñ ®éng t×m tßi, ph¸t hiÖn vµ gi¶i
quyÕt nhiÖm vô nhËn thøc vµ cã ý thøc vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc
®· häc vµo bµi tËp vµ thùc tiÔn. Trong ®ã cã ®æi míi d¹y häc m«n to¸n, Trong
tr­êng phæ th«ng, d¹y to¸n lµ d¹y ho¹t ®éng to¸n häc. §èi víi häc sinh cã thÓ xem
viÖc gi¶i to¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. Qu¸ tr×nh gi¶i to¸n ®Æc
biÖt lµ gi¶i to¸n h×nh häc lµ qu¸ tr×nh rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p suy nghÜ, ph­¬ng
ph¸p t×m tßi vµ vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tÕ. Th«ng qua viÖc gi¶i to¸n thùc chÊt
lµ h×nh thøc ®Ó cñng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc rÌn luyÖn ®­îc nh÷ng kÜ n¨ng c¬ b¶n
trong m«n to¸n. Tõ ®ã rót ra ®­îc nhiÒu ph­¬ng ph¸p d¹y häc hay, nh÷ng tiÕt lªn
líp cã hiÖu qu¶ nh»m ph¸t huy høng thó häc tËp cña häc sinh, gãp phÇn n©ng cao
chÊt l­îng gi¸o dôc toµn diÖn.
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 1 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Trong ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng cÊp THCS cã nhiÒu m¶ng kiÕn thøc trong
s¸ch gi¸o khoa ®Ò cËp ®Õn rÊt Ýt nh­ng trong qu¸ tr×nh häc l¹i gÆp rÊt nhiÒu, ngay
nh÷ng häc sinh n¾m rÊt v÷ng kiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa nh­ng khi gÆp nh÷ng d¹ng
to¸n nµy vÉn cßn lóng tóng. V× vËy víi ph¹m vi ®Ò tµi nµy t«i muèn ®Ò cËp ®Õn mét
vÊn ®Ò mµ kh«ng Ýt chóng ta - nh÷ng ng­êi thÇy ®ang tr¨n trë vµ b¨n kho¨n, ®ã lµ
“Ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p vµ vËn dông ph­¬ng ph¸p nµy ®Ó gi¶i c¸c
d¹ng to¸n kh¸c nh­ thÕ nµo”. ThËt vËy trong ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng ph­¬ng
ph¸p chøng minh quy n¹p lµ mét trong nh÷ng m¶ng kiÕn thøc khã mµ øng dông
cña nã l¹i kh¸ réng r·i, nã kh«ng nh÷ng cã mÆt trong ph©n m«n sè häc mµ cßn
®ãng gãp mét vai trß quan träng trong ph©n m«n ®¹i sè, nã kh«ng chØ dõng l¹i ë
ch­¬ng tr×nh THCS mµ cßn lµ mét phÇn quan träng trong ch­¬ng tr×nh THPT. V×
vËy ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p lµ phÇn g©y cho häc sinh, ngay c¶ häc sinh
giái nhiÒu khã kh¨n bèi rèi, tuy nhiªn ®©y còng lµ phÇn quyÕn rò häc sinh say mª
m«n to¸n vµ häc giái to¸n v× nã ®ßi hái ph¶i t­ duy l«gic, t×m tßi s¸ng t¹o.
Qua nghiªn cøu kü néi dung kiÕn thøc, ®äc nhiÒu tµi liÖu vµ qua thùc tÕ båi
d­ìng häc sinh giái m«n to¸n ë tr­êng THCS, t«i ®· rót ra ®­îc mét vµi kinh
nghiÖm. T«i m¹nh d¹n lùa chän ®Ò tµi: “VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc
®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n” nh»m t×m ra nh÷ng biÖn ph¸p hay gióp cho c«ng t¸c d¹y
häc nãi chung vµ c«ng t¸c båi d­ìng häc sinh giái nãi riªng ®¹t kÕt qu¶ cao
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 2 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
B. PhÇn Néi dung
I. Cë së lý luËn:
Trong ho¹t ®éng d¹y häc theo ph­¬ng ph¸p ®æi míi, gi¸o viªn cÇn gióp häc
sinh chuyÓn tõ thãi quen thô ®éng sang thãi quen chñ ®éng. Muèn vËy gi¸o viªn
cÇn chØ cho häc sinh c¸ch häc, biÕt c¸ch suy luËn, biÕt tù t×m l¹i nh÷ng ®iÒu ®·
quªn, biÕt c¸ch t×m tßi ®Ó ph¸t hiÖn kiÕn thøc míi. C¸c ph­¬ng ph¸p th­êng lµ
nh÷ng quy t¾c, quy tr×nh nãi chung lµ c¸c ph­¬ng ph¸p cã tÝnh chÊt thuËt to¸n. Tuy
nhiªn còng cÇn coi träng c¸c ph­¬ng ph¸p cã tÝnh chÊt t×m ®o¸n. Häc sinh cÇn
®­îc rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t­ duy nh­ ph©n tÝch, tæng hîp, ®Æc biÖt ho¸, kh¸i qu¸t
ho¸, t­¬ng tù, quy l¹ vÒ quen. ViÖc n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p nãi trªn t¹o ®iÒu
kiÖn cho häc sinh cã thÓ ®äc hiÓu ®­îc tµi liÖu, tù lµm ®­îc bµi tËp, n¾m v÷ng vµ
hiÓu s©u c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®ång thêi ph¸t huy ®­îc tiÒm n¨ng s¸ng t¹o cña b¶n
th©n vµ tõ ®ã häc sinh thÊy ®­îc niÒm vui trong häc tËp.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc, ng­êi gi¸o viªn ph¶i b¸m s¸t ch­¬ng tr×nh vµ s¸ch
gi¸o khoa, xem ®©y nh­ lµ ®Þnh h­íng cho c¶ qu¸ tr×nh d¹y häc. Tuy nhiªn viÖc
truyÒn thô kiÕn thøc cho häc sinh kh«ng chØ dõng l¹i ë s¸ch gi¸o khoa mµ ng­êi
gi¸o viªn cßn ph¶i cã ph­¬ng ph¸p ®Ó tõ nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n Êy ph¸t triÓn vµ
t×m ra nh÷ng kiÕn thøc míi gióp häc sinh lÜnh héi mét c¸ch chñ ®éng vµ cã hÖ
thèng
Trong viÖc d¹y häc to¸n th× viÖc t×m ra nh÷ng ph­¬ng ph¸p d¹y häc vµ gi¶i
bµi tËp to¸n ®ßi hái ng­êi gi¸o viªn ph¶i chän läc, hÖ thèng bµi tËp, sö dông ®óng
ph­¬ng ph¸p d¹y häc ®Ó gãp phÇn h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn t­ duy cña häc sinh.
§ång thêi qua viÖc häc to¸n häc sinh cÇn ®­îc båi d­ìng, rÌn luyÖn vÒ phÈm chÊt
®¹o ®øc, c¸c thao t¸c t­ duy ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp to¸n trong ®ã cã c¸c bµi tËp vÒ
chøng minh quy n¹p còng lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n hay gióp häc sinh ph¸t huy
cao ®é tÝnh t­ duy, trÝ tuÖ cho häc sinh, ph¸t hiÖn nh÷ng quy luËt ®Ñp trong To¸n
häc.
II. Cë së thùc tiÔn:
Trong ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng, ¸p dông ph­¬ng ph¸p chøng minh quy
n¹p chiÕm mét m¶ng lín ®ã lµ chøng minh chia hÕt, chøng minh ®¼ng thøc, chøng
minh bÊt ®¼ng thøc... Do vËy “ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p” gãp mét phÇn
vµo viÖc thùc hiÖn ch­¬ng tr×nh d¹y häc theo ph­¬ng ph¸p míi hiÖn nay “lÊy häc
sinh lµm trung t©m”. §ång thêi gióp mçi ng­êi gi¸o viªn n©ng cao tr×nh ®é chuyªn
m«n nghiÖp vô, t¹o c¬ së v÷ng ch¾c ®Ó phôc vô cho c«ng t¸c båi d­ìng häc sinh
giái ®¹t kÕt qu¶ tèt, gãp phÇn vµo môc tiªu “®µo t¹o vµ båi d­ìng nh©n tµi”
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 3 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Qua kÕt qu¶ kh¶o s¸t, kiÓm tra tr­íc khi ¸p dông ®Ò tµi víi 26 häc sinh t«i
thÊy kÕt qu¶ tiÕp thu vÒ ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p nh­ sau:
§iÓm d­íi 5 §iÓm 5 - 6 §iÓm 7 - 8 §iÓm 9 - 10
SL % SL % SL % SL %
11 42,3% 08 30,8% 05 19,2% 02 7,7%
Nguyªn nh©n cña thùc tÕ trªn:
§©y lµ d¹ng to¸n t­¬ng ®èi míi l¹ vµ khã víi häc sinh, häc sinh ch­a ®­îc
trang bÞ c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i, nªn viÖc suy luËn cßn h¹n chÕ vµ nhiÒu khi kh«ng cã
lèi tho¸t dÉn ®Õn kÕt qu¶ rÊt thÊp vµ ®Æc biÖt ®èi víi häc sinh trung b×nh c¸c em
cµng khã gi¶i quyÕt
§Ó gióp häc sinh n¾m ®­îc ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p, t«i ®· nghiªn
cøu x©y dùng thµnh chuyªn ®Ò, trong ®ã trang bÞ cho häc sinh n¾m ®­îc thÕ nµo lµ
ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p, vËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p ®Ó chøng minh
quan hÖ chia hÕt, chøng minh ®¼ng thøc, chøng minh bÊt ®¼ng thøc. §ång thêi nªu
lªn mét sè vÝ dô minh häa gióp häc sinh hiÓu vµ n¾m ch¾c kiÕn thøc, biÕt ¸p dông
vµo gi¶i to¸n. Tõ ®ã yªu cÇu häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp t­¬ng øng tõ dÔ ®Õn khã, häc
sinh ®­îc rÌn luyÖn vµ n¾m ch¾c kiÕn thøc, ph­¬ng ph¸p gi¶i, ¸p dông thµnh th¹o
vµ chÊt l­îng gi¶i to¸n ®­îc n©ng cao.
III. Môc ®Ých nghiªn cøu:
a. §èi víi gi¸o viªn:
- N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n phôc vô cho qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y.
- Lµm quen víi c«ng t¸c nghiªn cøu khoa häc n©ng cao kiÕn thøc.
b. §èi víi häc sinh:
- Gióp häc sinh häc tËp m«n to¸n nãi chung vµ viÖc gi¶i bµi tËp vÒ ¸p dông
ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p nãi riªng. Trang bÞ cho häc sinh mét sè kiÕn
thøc míi nh»m n©ng cao n¨ng lùc häc m«n to¸n gióp c¸c em tiÕp thu bµi mét
c¸ch chñ ®éng, s¸ng t¹o vµ lµm c«ng cô gi¶i quyÕt mét sè bµi tËp cã liªn quan.
- G©y ®­îc høng thó cho häc sinh khi lµm bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa, s¸ch
tham kh¶o, gióp häc sinh tù gi¶i ®­îc mét sè bµi tËp.
- Th«ng qua viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n ¸p dông quy n¹p (®Ó chøng minh chia hÕt,
chøng minh ®¼ng thøc, B§T) gióp häc sinh thÊy râ môc ®Ých cña viÖc häc to¸n.
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 4 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
IV. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu:
- Nghiªn cøu lý thuyÕt th«ng qua SGK, tµi liÖu tham kh¶o cña häc sinh vµ
gi¸o viªn.
- Sö dông ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch tæng hîp.
V. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p:
1, phÐp quy n¹p hoµn toµn vµ phÐp quy n¹p kh«ng hoµn toµn:
VÝ dô 1. Quan s¸t c¸c kÕt qu¶ sau: 13 - 1 chia hÕt cho 3
23 - 2 chia hÕt cho 3
33 - 3 chia hÕt cho 3
43 - 4 chia hÕt cho 3
 H·y ®­a ra mét dù ®o¸n råi chøng minh dù ®o¸n ®ã?
Gi¶i: Dù ®o¸n: a3 - a chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn d­¬ng a
Chøng minh: Gäi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1)
XÐt ba kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra:
a) NÕu a = 3k (k  N) th× A chia hÕt cho 3
b) NÕu a = 3k + 1 (k  N) th× a - 1 chia hÕt cho 3, do ®ã A chia hÕt cho 3
c) NÕu a = 3k +2 (k  N) th× a + 1 chia hÕt cho 3, do ®ã A chia hÕt cho 3
VËy a3 - a chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn d­¬ng a
VÝ dô 2. Quan s¸t kÕt qu¶ sau: 23 - 2 chia hÕt cho 3
25 - 2 chia hÕt cho 5
27 - 2 chia hÕt cho 7
 Dù ®o¸n sau ®óng hay sai? 2n - 2 chia hÕt cho n víi mäi sè lÎ n?
Gi¶i: Dù ®o¸n trªn lµ sai. Ch¼ng h¹n 29 - 2 = 510 kh«ng chia hÕt cho 9
NhËn xÐt: Trong hai vÝ dô trªn, ta ®· thùc hiÖn c¸c phÐp suy luËn sau:
1, XÐt c¸c gi¸ trÞ cña a b»ng 1, 2, 3, 4, ®Ó kÕt luËn r»ng a3 - a chia hÕt cho 3 víi
mäi sè nguyªn d­¬ng a
2, XÐt c¸c gi¸ trÞ cña a b»ng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k  N) ®Ó kÕt luËn r»ng a3 - a chia
hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn d­¬ng a
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 5 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
3, XÐt c¸c gi¸ trÞ cña n b»ng 3, 5, 7 ®Ó kÕt luËn r»ng 2n - 2 chia hÕt cho n víi mäi
sè tù nhiªn lÎ n
Ba phÐp suy luËn trªn ®­îc gäi lµ phÐp quy n¹p, ®ã lµ phÐp suy luËn ®i tõ c¸c
tr­êng hîp riªng biÖt ®i tíi kÕt luËn tæng qu¸t
 PhÐp quy n¹p gäi lµ hoµn toµn nÕu ta xÐt tÊt c¶ c¸c tr­êng hîp riªng, ch¼ng
h¹n trong phÐp suy luËn 2 ta ®· xÐt mäi kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra khi chia sè tù nhiªn
a cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k + 2)
 PhÐp quy n¹p gäi lµ kh«ng hoµn toµn nÕu ta xÐt mét sè tr­êng hîp riªng
chø ch­a xÐt ®Çy ®ñ mäi tr­êng hîp riªng. Ch¼ng h¹n trong phÐp suy luËn 1 ta míi
xÐt a b»ng 1, 2, 3, 4 ®Ó kÕt luËn cho mäi sè nguyªn d­¬ng a, trong phÐp suy luËn 3
ta míi xÐt n b»ng 3, 5, 7 ®Ó kÕt luËn cho mäi sè tù nhiªn lÎ n.
Nhê phÐp quy n¹p kh«ng hoµn toµn mµ ta cã nh÷ng dù ®o¸n vÒ mét tÝnh chÊt
to¸n häc nµo ®ã, ®ã lµ mét c¬ së ®Ó ®i tíi c¸c ph¸t minh. PhÐp quy n¹p 1 cho mét
kh¼ng ®Þnh ®óng, kÕt luËn nµy ®· ®­îc chøng minh b»ng phÐp quy n¹p 2 (quy n¹p
hoµn toµn). PhÐp quy n¹p 3 cho mét kÕt luËn sai, ta b¸c bá nã b»ng mét ph¶n vÝ dô.
Nh­ vËy “phÐp quy n¹p hoµn toµn” lµ mét phÐp chøng minh chÆt chÏ, cßn
“phÐp quy n¹p kh«ng hoµn toµn” cã thÓ dÉn tíi sai lÇm, ngay c¶ ®èi víi c¸c nhµ
to¸n häc cã tªn tuæi d­íi ®©y:
- Nhµ to¸n häc Ph¸p Fecma nhËn xÐt r»ng c«ng thøc 2n + 1 cho ta c¸c sè nguyªn
tè víi n b»ng 20, 21, 22, 23, 24 (thËt vËy 21+ 1 = 3; 22 + 1 = 5; 24 + 1 = 17; 28 + 1 =
257; 216 + 1 = 65537; tÊt c¶ ®Òu lµ sè nguyªn tè )
Víi n = 25 = 32 th× 2n + 1 = 232 + 1 = 4294967297, Fecma kh«ng ph©n tÝch ®­îc ra
thõa sè nguyªn tè, «ng cho r»ng ®ã còng lµ mét sè nguyªn tè vµ ®­a ra gi¶ thuyÕt
tæng qu¸t r»ng c«ng thøc 2n + 1 víi n lµ mét luü thõa cña 2 cho ta c¸c sè nguyªn
tè.
- Mét thÕ kØ sau, n¨m 1732, ¥le míi b¸c bá gi¶ thuyÕt trªn b»ng c¸ch chØ ra r»ng
232 + 1 lµ mét hîp sè, nã chia hÕt cho 641
Cã thÓ kÓ thªm hai mÖnh ®Ò sai nh­ng l¹i ®óng víi mét sè rÊt lín c¸c tr­êng hîp
®Çu tiªn:
- Nhµ to¸n häc Grav¬ ®­a ra dù ®o¸n: Víi mäi sè nguyªn tè p ta cã: 2p-1 - 1
kh«ng chia hÕt cho p2. Dù ®o¸n nµy ®óng víi mäi sè nguyªn tè nhá h¬n 1000,
nh­ng ch¼ng bao l©u sau ng­êi ta chØ ra r»ng tån t¹i sè nguyªn tè 1093 mµ 21093 - 1
chia hÕt cho 10932
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 6 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
- Mét dù ®o¸n kh¸c: Sè 911n2+ 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph­¬ng víi mäi sè nguyªn
d­¬ng n. Sè n nhá nhÊt ®Ó mÖnh ®Ò trªn sai lµ
n = 12055735790331359447442538767 (cã 29 ch÷ sè)
VËn dông phÐp quy n¹p hoµn toµn gióp c¸c nhµ to¸n häc t×m ra mét ph­¬ng ph¸p
chøng minh hiÖu nghiÖm gióp chóng ta kh¼ng ®Þnh sù ®óng ®¾n cña mét sè tù
nhiªn, ®ã lµ ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc
2, Néi dung cña ph­¬ng ph¸p quy n¹p To¸n häc:
Trong to¸n häc, phÐp quy n¹p hoµn toµn chØ ®­îc ¸p dông rÊt h¹n chÕ. NhiÒu
mÖnh ®Ò To¸n häc ®¸ng chó ý bao gåm mét sè v« h¹n c¸c tr­êng hîp riªng, nh­ng
con ng­êi kh«ng thÓ kiÓm tra ®­îc tÊt c¶ c¸c tr­êng hîp riªng ®ã
PhÐp quy n¹p hoµn toµn, nh­ chóng ta ®· biÕt th­êng dÉn tíi kÕt luËn sai
lÇm. Trong nhiÒu tr­êng hîp ®Ó tr¸nh nh÷ng khã kh¨n nh­ thÕ ng­êi ta ¸p dông
mét ph­¬ng ph¸p suy luËn “®Æc biÖt”, ®­îc gäi lµ ph­¬ng ph¸p quy n¹p To¸n häc
* Néi dung cña ph­¬ng ph¸p quy n¹p To¸n häc ®­îc tr×nh bµy nh­ sau:
Mét mÖnh ®Ò phô thuéc vµo sè nguyªn d­¬ng n ®­îc xem lµ ®· ®­îc chøng
minh nÕu c¶ hai ®iÒu kiÖn sau ®©y ®­îc tháa m·n:
1, MÖnh ®Ò ®óng víi n = 1
2, Tõ gi¶ thiÕt mÖnh ®Ò ®óng víi n = k (k  N) suy ra ®­îc mÖnh ®Ò còng
®óng víi n = k + 1
Nh­ vËy ®Ó chøng minh mét mÖnh ®Ò ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n b»ng
ph­¬ng ph¸p quy n¹p To¸n häc, ta ph¶i tiÕn hµnh ba b­íc sau:
B­íc 1: KiÓm tra mÖnh ®Ò ®óng víi n = 1
B­íc 2: Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n = k (ta gäi lµ gi¶ thiÕt quy n¹p), råi
chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k +1
B­íc 3: KÕt luËn mÖnh ®Ò ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n
Trong ph¹m vi nghiªn cøu cña m×nh, t«i chØ ®Ò cËp ®Õn viÖc vËn dông
ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p To¸n häc ®Ó gi¶i ba d¹ng to¸n ®ã lµ: Chøng
minh sù chia hÕt, chøng minh ®¼ng thøc vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Hy väng víi
mét sè kinh nghiÖm nhá nµy sÏ gãp phÇn vµo ph­¬ng ph¸p d¹y häc, ®Æc biÖt lµ
c«ng t¸c båi d­ìng häc sinh giái, gióp häc sinh rÌn luyÖn ®­îc kü n¨ng gi¶i to¸n
vµ t­ duy gi¶i to¸n cã hiÖu qu¶ h¬n.
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 7 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
3, VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc vµo chøng minh:
3.1, D¹ng 1. Chøng minh quan hÖ chia hÕt:
Bµi 1: Chøng minh r»ng tæng c¸c lËp ph­¬ng cña ba sè nguyªn d­¬ng liªn tiÕp th×
chia hÕt cho 9
Gi¶i:
Gäi ba sè nguyªn d­¬ng liªn tiÕp ®ã lµ: n; n +1 vµ n + 2
Ta ph¶i chøng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3]  9 (1)
+ Víi n =1, ta cã: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36  9
VËy (1) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k (k  N) tøc lµ: [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3]  9
Ta ph¶i chøng minh r»ng (1) còng ®óng víi n = k + 1, tøc lµ ph¶i chøng minh:
[(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]  9
ThËt vËy ta cã:
(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 + 9k2 +27k + 27
= [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k2 + 3k + 3)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p: k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3  9
cßn 9(k3 + 3k + 3)  9 víi  k
Do ®ã [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]  9
+ KÕt luËn: MÖnh ®Ò (1) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n. VËy tæng c¸c lËp
ph­¬ng cña ba sè nguyªn d­¬ng liªn tiÕp th× chia hÕt cho 9
Bµi 2: Chøng minh r»ng: Víi mäi n nguyªn d­¬ng th×: A(n) = 7n + 2 + 82n + 1  19
Gi¶i:
+ Víi n = 1 th× A(1) = 73 + 83 = 343 + 512 = 19.45  A(1)  19
VËy A(n) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö A(n) ®óng víi n = k. Ta cã: A(k) = 7k + 2 + 82k + 1  19
Ta ph¶i chøng minh A(n) ®óng víi n = k + 1
A(k + 1) = 7k + 3 + 82k + 3 = 7.7k + 2 + 82.82k + 1
= 7.7k + 2 + 64.82k + 1 = 7.7k + 2 + 7.82k + 1 + 57.82k + 1
= 7.( 7k + 2 + 82k + 1) + 19.3.82k + 1 = 7. A(k) + 19.3.82k + 1
V× A(k)  19 (Theo gi¶ thiÕt quy n¹p)  7. A(k)  19
19  19  19.3.82k + 1  19  A(k + 1)  19
Theo nguyªn lÝ quy n¹p A(n)  19 Víi  n nguyªn d­¬ng
VËy A(n) = 7k + 2 + 82k + 1  19 Víi  n nguyªn d­¬ng
+ KÕt luËn: VËy A(n) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 8 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Bµi 3: Chøng minh r»ng: 16n - 15n - 1  225; n  N
Gi¶i:
§Æt A(n) = 16n - 15n - 1
+ Víi n = 1, ta cã: A(1) = 16 - 15 - 1 = 0  225  A(1)  225
+ Gi¶ sö A(n) ®óng víi n = k. Ta cã: A(k) = 16k - 15k - 1  225
Ta ph¶i chøng minh A(n) ®óng víi n = k + 1
ThËt vËy: A(k + 1) = 16k + 1 - 15(k + 1) - 1
= 16.16k - 15k - 16
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15
= (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1)
= A(k) + 15(16k - 1)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã A(k)  225
Ta cã: 16k - 1  16 - 1  16k - 1  15  15(16k - 1)  15.15
 15(16k - 1)  225
 A(k + 1)  225
Theo nguyªn lÝ quy n¹p th× A(n)  225 víi  n  N
+ KÕt luËn: VËy 16n - 15 - 1  225 víi  n  N
Bµi 4: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (n + n) chia hÕt cho 2n
b) 33n + 2 + 5.23n + 1 chia hÕt cho 19
c) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hÕt 24
Gi¶i:
a) Víi n = 1 th× S1 = (1 + 1).(1 + 2) ... (1 + n) = 2.3 ... (1 + 1)  2n
VËy Sn ®óng víi n = 1
Gi¶ sö Sn ®óng víi n = k, tøc lµ: Sk = (k + 1).(k + 2) ... (k + k)  2n
Ta ph¶i chøng minh Sn ®óng víi n = k + 1
Tøc lµ Sk + 1 = (k + 2).(k + 3) ... (k +1 + k + 1) = (k + 2).(k + 3) ... (2k + 2)  2n
ThËt vËy: Sk + 1 = (k + 2).(k + 3).(k + 4) ... (k + k + 2)
= (k + 1).(k + 2).(k + 3) ... (k + k).2.(2k + 1)
= Sk.2.(2k + 1)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã Sk  2n
Do ®ã: Sk.2.(2k + 1)  2n.  Sk + 1  2n
VËy Sn  2n ®óng víi n = k + 1
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× Sn  2n
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 9 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
b) Víi n = 1 th× A(n) = 33n + 2 + 5.23n + 1 = 35 +5.24 =243 + 80 = 323 chia hÕt cho 19
 A(n) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö A(n)  19 ®óng víi n = k, tøc lµ: A(k) = 33k + 2 + 5.23k + 1  19
Ta ph¶i ®i chøng minh A(n)  19 ®óng víi n = k + 1
Tøc lµ: A(k + 1) = 33(k + 1) + 2 + 5.23(k + 1) + 1
A(k + 1) = 33k + 5 + 5.23k + 4  19
ThËt vËy: A(k + 1) = 33k + 5 + 5.23k + 4 = 33k + 2.33 + 5.23k + 1.23
= 27(33k + 2 + 5.23k + 1) - 19.33k + 1
= 27.Ak - 19.33k + 1
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã: Ak  19  27Ak  19
L¹i cã: 19  19  19.33k + 1  19. Do ®ã A(k + 1) = 27.Ak - 19.33k + 1  19
VËy A(n)  19 ®óng víi n = k + 1
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× A(n)  19
c) Chøng minh: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24.
+ Víi n = 1 th× A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = 1 + 6 + 11 + 6 = 24  24
VËy A  24 ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö A  24 ®óng víi n = k
Tøc lµ: A(k) = k4 + 6k3 + 11k2 + 6k  24
Ta ph¶i ®i chøng minh A(n)  24 ®óng víi n = k + 1
Tøc lµ: A(k + 1) = (k+1)4 + 6(k + 1)3 + 11(k + 1)2 + 6(k + 1)  24
ThËt vËy:
A(k + 1) = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + 6k3 + 18k2 + 18k + 6 + 11k2 + 22k + 11 + 6k + 1
A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)
DÔ thÊy: k4 + 6k3 + 11k2 + 6k  24 (Theo gi¶ thiÕt quy n¹p)
Vµ 24(k2 + 1)  24. L¹i cã (k3 + 11k)  6 víi  k  N
ThËt vËy: víi k = 1 th× k3 + 11k = 12  6. (®óng)
Gi¶ sö ®óng víi k = m th× m3 + 11m  6 (m  N)
Ta ph¶i ®i chøng minh k3 + 11k  6 ®óng víi k = m +1
ThËt vËy: (m + 1)3 + 11(m + 1) = m3 + 3m2 + 3m + 1 + 11m + 11
= (m3 + 11m) + (3m2 + 3m + 12)  6
Do ®ã k3 + 11k  6  4(k3 + 11k)  24
VËy A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)  24
VËy A(n)  24 ®óng víi n = k + 1
+ KÕt luËn: Víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× lu«n cã: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 10 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
* Mét sè bµi tËp gi¶i t­¬ng tù:
Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a:
a) a2 - a chia hÕt cho 2 b) a3 - a chia hÕt cho 3
c) a5 - a chia hÕt cho 5 d) a7 - a chia hÕt cho 7
Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
a) 32n + 1 + 40n - 67 chia hÕt cho 64 b) 2n + 2.3n + 5n - 4 chia hÕt cho 25
c) 7n + 2 + 82n + 2 chia hÕt cho 57 d) 10n + 72n - 1 chia hÕt cho 81
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× sè gåm 3n ch÷ sè 1 chia hÕt
cho 3n?
HD: MÖnh ®Ò ®óng víi n = 1. V× sè 111  3
11...1
Gi¶ sö sè chia hÕt cho 3, ta cã sè:
3k
11...1 11...1 11...1 11...1 11...1 100...1 100...01
= . k . k = . . chia hÕt cho 3
3k 1 3k 3 3 3k 3k 3k
VËy víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× gåm 3n ch÷ sè 1 chia hÕt cho 3n
Bµi 4: Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi:
a) A = 13 + 23 + 33 + ... + 993 + 1003; B = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
b) A = 13 + 23 + 33 + ... + 993; B = 1 + 2 + 3 + ... + 99
Bµi 5: Chøng minh r»ng nÕu n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn th×
(n - 1).n.(n + 1) chia hÕt cho 504
Bµi 6: Chøng minh r»ng: NÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a6 - b6 chia hÕt cho 9
Bµi 7: a) Chøng minh r»ng nÕu tæng hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp
ph­¬ng cña chóng chia hÕt cho 9
b) Chøng minh r»ng hiÖu c¸c b×nh ph­¬ng cña hai sè lÎ th× chia hÕt cho 8
Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d­¬ng:
a) (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (2n) chia hÕt cho 2n
b) (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (3n) chia hÕt cho 3n
Bµi 9: CM r»ng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 11 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
3.2, D¹ng 2. Chøng minh ®¼ng thøc:
Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
2
3 3 3  n(n  1)  3
Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n =   (1)
 2 
Gi¶i:
2
3 1(1  1) 
+ Víi n = 1, vÕ tr¸i cña (1) b»ng 1 = 1; vÕ ph¶i cña (1) b»ng   1
 2 
 VT = VP. VËy (1) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k (k  N & k  1)
2
3 3  (k  1)(k  2) 
3 3
Tøc lµ: SK = 1 + 2 + 3 + ... + k =  
 2 
Ta ph¶i chøng minh (1) ®óng víi n = k +1
2
3 3 3  (k  1)(k  2)  3
Tøc lµ: SK + 1 =1 + 2 + 3 + ... + (k + 1) =  
 2 
ThËt VËy: SK + 1 = 13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3
= 13 + 23 + 33 + ...+ k3 + (k + 1)3
= SK + (k + 1)3
2
 (k(k  1) 
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p th× Sk =  
 2 
2 2
 (k(k  1)  3  k 2 (k  1) 
Do ®ã: Sk + 1 =   + (k + 1) =   + (k + 1)3
 2   4 
(k  1) . k  4(k  1)  (k  1) .  k 2  4k  1
2 2 2
= =
4 4
2 2
(k  1) .  k  2 
2
 (k  1).(k  1) 
= = 
4  2 
2
 (k  1).(k  1) 
 SK + 1 =   ®óng. VËy (1) ®óng víi n = k + 1
 2 
+ KÕt luËn: MÖnh ®Ò (1) ®óng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n
Bµi 2. Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
n(n  1).(2n  1)
Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (1)
6
Gi¶i:
2
+ Víi n = 1, vÕ tr¸i cña (1) b»ng 1 = 1
1(1  1).(2.1  1)
vÕ ph¶i cña (1) b»ng =1
6
VËy VT = VP. VËy (1) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k (k  N & k  1), tøc lµ:
k(k  1).(2k  1)
Sk = 12 + 22 + 32 + ... + k2 =
6
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 12 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Ta ph¶i chøng minh ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ:
(k  1).(k  2).(2k  3)
Sk + 1 = 12 + 22 + 32 + ... + (k + 1)2 =
6
ThËt vËy: Sk + 1 = 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 = Sk + (k + 1)2
(Do gi¶ thiÕt quy n¹p Sn = 12 + 22 + 32 + ... + k2)
k(k  1).(2k  1)
MÆt kh¸c Sk = do ®ã ta cã:
6
k(k  1).(2k  1)
Sk + 1 = + (k + 1)2
6
k(k  1).(2k  1)  6(k  1)2 (k  1). k(2k  1)  6k  6
= =
6 6
2
(k  1). 2k  k  6k  6  2
(k  1).(2k  7k  6) (k  1).(k  2).(2k  3)
= = =
6 6 6
(k  1).(k  2).(2k  3)
 Sk + 1 = . VËy ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1
6
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× tæng b×nh ph­¬ng n c¸c sè tù nhiªn
n(n  1).(2n  1)
liªn tiÕp b»ng
6
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
1 1 1 1 n
   ...  
1.4 4.7 7.10 (3n  2).(3n  1) 3n  1
Gi¶i:
1
+ Víi n = 1, ®¼ng thøc ®óng v× VT = VP =
4
+ Gi¶ sö ®¼ng thøc ®óng víi n = k (k  N, k  1)
1 1 1 1 k
Tøc lµ:    ...  
1.4 4.7 7.10 (3k  2).(3k  1) 3k  1
Ta ph¶i chøng minh ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1
1 1 1 1 k 1
Tøc lµ:    ...  
1.4 4.7 7.10 (3k  1).(3k  4) 3k  4
1 1 1 1 1
ThËt vËy: Sk + 1 =    ...  
1.4 4.7 7.10 (3k  2).(3k  1) (3k  1).(3k  4)
1
= Sk +
(3k  1).(3k  4)
k
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p Sk =
3k  1
k 1 3k 2  4k  1
Do ®ã: Sk + 1 =  =
3k  1 (3k  1).(3k  4) (3k  1)
k 1
Sk + 1 = (3k  1).(k  1) =
(3k  1).(3k  4) 3k  4
VËy Sn ®óng víi n = k + 1
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× ®¼ng thøc (1) lu«n x¶y ra
Bµi 4: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 13 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
12 22 32 n2 n(n  1)
Sn =    ...  
1.3 3.5 5.7 (2n  1).(2n  1) 2(2n  1)
Gi¶i:
12 1
+ Víi n = 1, vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn b»ng =
(2.1  1).(2.1  1) 3
1(1  1) 1
vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc trªn b»ng =
2(2.1  1) 3
1
 VT = VP = . VËy ®¼ng thøc ®óng víi n = 1
3
+ Gi¶ sö Sn ®óng víi n = k (k  N, k  1)
12 22 32 k2 k(k  1)
Tøc lµ: Sk     ...  
1.3 3.5 5.7 (2k  1).(2k  1) 2(2k  1)
Ta ph¶i ®i chøng minh ®¼ng thøc Sn ®óng víi n = k + 1
12 22 32 (k  1)2 (k  1).(k  2)
Tøc lµ: Sk + 1     ...  
1.3 3.5 5.7 (2k  1).(2k  3) 2(2k  3)
2 2 2 2
1 2 3 k (k  1)2
ThËt vËy: Sk + 1     ...  
1.3 3.5 5.7 (2k  1).(2k  1) (2k  1).(2k  3)
12 22 32 k2 k(k  1)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p:    ...  
1.3 3.5 5.7 (2k  1).(2k  1) (2k  1)2
2
k 1 (k  1) k 1 k k 1 
Do ®ã: Sk + 1    . 
2(2k  1) (2k  1).(2k  3) 2k  1  2 2k  3 
k  1 k(2k  3)  2(k  1) k  1 2k 2  5k  2
 .  .
2k  1 2k(2k  3) 2k  1 2(2k  3)
k  1 (2k  2).(2k  1) (k  1).(k  2)
 . 
2k  1 2(2k  3) 2(2k  3)
(k  1).(k  2)
 Sk + 1  . VËy Sn ®óng víi n = k + 1 (k  N, k  1)
2(2k  3)
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× ®¼ng thøc Sn lu«n ®óng
Bµi 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn th×:
 1  1  1  1  1  1
1  2  . 1  3  .  1  4  . 1  5  ... 1  a  1   a  1 (1)
         
Gi¶i:
1 1 1 1
+ Víi a = 1, VT = 1   ; VP =  VT = VP =
2 2 2 2
VËy ®¼ng thøc (1) ®óng víi a = 1
+ Gi¶ sö a = k, ®¼ng thøc (1) ®óng, tøc lµ
 1  1  1  1  1  1
1  2  . 1  3  . 1  4  .  1  5  ...  1  k  1   k  1
         
Ta ph¶i ®i chøng minh ®¼ng thøc (1) ®óng víi a = k + 1 (k  N, k  1)
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 14 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
 1  1  1  1   1  1
Tøc lµ: 1  2  . 1  3  . 1  4  ... 1  k  1  .  1  k  2   k  2
         
 1  1  1  1   1 
ThËt vËy: 1  2  . 1  3  . 1  4  ... 1  k  1  .  1  k  2 
         
 1   1   1   k  2  1 1
  . 1     .  
 k  1  k  2   k  1  k  2  k  2
VËy ®¼ng thøc (1) ®óng víi a = k + 1
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè tù nhiªn a th×:
 1  1  1  1  1  1
1  2  . 1  3  .  1  4  . 1  5  ... 1  a  1   a  1
         
* Mét sè bµi tËp gi¶i t­¬ng tù:
Bµi 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
n(n  1).(n  2)
a, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) =
3
b, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2
n(n  1).(n  2).(n  3)
c, Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1).(n+2) =
4
Bµi 2. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
1 1 1 1 n
Sn      víi n  1
1.2 2.3 3.4 n(n  1) n(n  1)
1 1 1 1 n
Sn     ...  
1.5 5.9 9.13 (4n  3).(4n  1) 4n  1
1 1 1 1 n
Sn     ...  
1.6 6.11 11.16 (5n  4).(5n  1) 5n  1
1 1 1 1 n
Sn     ...  
1.7 7.13 13.19 (n  5).(6n  1) 6n  1
1 1 1 1 n
Sn     ...  
1.8 8.15 15.22 (7n  6).(7n  1) 7n  1
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n  N th×:
n(n  1).(n  5)
a, Sn = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + ... + n(n + 3) =
5
b, Sn = 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n - 1) = n2.(n + 1)
c) Sn = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n.(3n + 1) = n.(n + 1)2
Bµi 4: a, Chøng minh r»ng tæng n c¸c sè tù nhiªn ®Çu tiªn liªn tiÕp lµ:
n(n  1)
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
2
b, Chøng minh r»ng tæng n c¸c sè ch½n ®Çu tiªn liªn tiÕp lµ:
n(2n  2)
S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n =  n(n  1)
2
c, Chøng minh r»ng tæng n c¸c sè lÎ ®Çu tiªn liªn tiÕp lµ:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n2
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 15 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
3.3, D¹ng 3. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:
Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n  3 th×: 2n > 2n + 1 (1)
Gi¶i:
+ Víi n = 3 th× VT = 23 = 8; VP = 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7  VT > VP
VËy (1) ®óng víi n = 3
+ Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k (k  N, k  3), tøc lµ 2k > 2k + 1
Ta ph¶i chøng minh (1) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ: 2k + 1 > 2k + 3 (2)
ThËt vËy: 2k + 1 = 2k.2 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p 2k > 2k + 1
Do ®ã: 2k + 1 > 2(2k + 1) = (2k + 3).(2k - 1) > 2k + 3
(V× 2k - 1 > 0 víi k  3)
VËy (2) ®óng víi  k  3
+ KÕt luËn: 2n > 2n + 1 víi mäi sè nguyªn d­¬ng vµ n  3
Bµi 2: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc C«si víi n sè kh«ng ©m
a1  a2  ...  an n
 a1a2 ...an víi a1, a2, . . ., an  0
n
CM:
+ HiÓn nhiªn mÖnh ®Ò ®óng víi n = 2, tøc lµ a1  a2  n a1a2
2
a1  a2  ...  ak k
+ Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n = k, tøc lµ:  a1a2 ...ak
k
Ta ®i chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k + 1
a1  a2  ...  ak
Gi¶ sö a1  a2  ...  ak  ak + 1. Th× ak + 1 
k
a1  a2  ...  ak
§Æt = x th× x  0
k
ak + 1 = x + y víi y  0 vµ kx = a1, a2, . . ., ak  0 (Do gi¶ thiÕt quy n¹p)
k 1 k 1
 a  a  ...  ak  ak 1   kx  x  y 
Ta cã:  1 2    =
 k 1   k 1 
k 1
 y  1
 x   xk 1  (k  1). .xk  xk 1  xk  y  xk (x  y)  a1a2 ...ak ak 1
 k  1  k 1
 a  a2  ...  ak  ak 1  k 1
 1   a1a2a3 ...ak 1 .
 k 1 
VËy mÖnh ®Ò ®óng víi mäi sè tù nhiªn n  2.
X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi: a1 = a2 = ... = an
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 16 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
n
 1
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n ta cã: 1    3
 n
Gi¶i:
1
 1
+ Víi n = 1 ®¼ng thøc lu«n ®óng v×: VT = 1    2; VP = 3
 1
+ VíÝ n = 2, theo khai triÓn Niu t¬n ta cã:
n
 1 1 n(n 1) 1 n(n 1).(n  2) n(n 1)...(n  2) 1 1 1 1
1 n   1 n. n  2! . n2  3!n 3
 ... 
n!
. n  11    ...  
n
   2! 3! n! 
1 1 1 1 1 1  1  1 1  1 1 1
Do:   ...     ...   1       ...      1  1
2! 3! n! 1.2 2.3 (n  1)n  2   2 3   n 1 n  n
2
 1
Do ®ã: 1    1  1  1  3. Víi mäi n sè nguyªn d­¬ng
 n
1 1 1 1
Bµi 4: CMR víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:    ...  1
n 1 n  2 n  3 3n  1
Gi¶i:
1 1 1 13
+ Víi n = 1, vÕ tr¸i bÊt ®¼ng thøc lµ:    1
2 3 4 12
VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = 1
1 1 1 1
+ Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k, tøc lµ:    ...  1
k 1 k  2 k  3 3k  1
Ta ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ:
1 1 1 1
   ...  1
k2 k3 k4 3k  4
ThËt vËy:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
   ...       ...   
k2 k3 k4 3k  4 k  1 k  2 k  3 k  4 3k  1 3k  2
1 1 1  1 1 1 1  2
       ...    1
3k  3 3k  4 k  1  k  2 k  3 k  4 3k  1 3(k  1).(3k  2).(3k  4)
1 1 1 1
Do gi¶ thiÕt quy n¹p:    ...  1
k 1 k  2 k  3 3k  1
VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1
+ KÕt luËn: Víi mäi sè nguyªn d­¬ng n ta lu«n cã bÊt ®¼ng thøc:
1 1 1 1
   ...  1
n 1 n  2 n  3 3n  1
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 17 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
1 1 1 1 n
Bµi 5: CMR víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×: 1     ...  n 
2 3 4 2 1 2
Gi¶i:
1
+ Víi n = 1, ta cã: VT = 1; VP = .
2
 VT > VP. VËy bÊt ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö b®t ®óng víi n = k, tøc lµ:
1 1 1 1 k
Sk  1     ...  k  . (k  Z+ , k  1)
2 3 4 2 1 2
Ta ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1
1 1 1 1 1 k 1
Tøc lµ Sk 1  1     ...  k  ...  k 
2 3 4 2 1 2 1 2
1 1 1 1
ThËt vËy: Sk 1  Sk  k
 k  k  ...  k 1  Sk  A ()
2 2 1 2  2 2 1
1 1 1
Víi A = k
 k  ...  k 1
2 2 1 2 1
1
Ta nhËn thÊy A lµ tæng cña 22 ph©n thøc mµ mçi ph©n thøc ®Òu lín h¬n
2k 1
1 1 1 1 1
Do ®ã: A > k 1
+ k 1 + … + k 1 = 2 2 . k 1  ( )
2 2 2 2 2
1 1
Tõ (  ) vµ (   ) suy ra Sk + 1 = Sk + A > .  Sk + 1 >
2 2
k 1 1
L¹i cã:  (víi k  Z+ , k  1) . VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1
2 2
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× bÊt ®¼ng thøc sau lu«n ®óng:
1 1 1 1 n
1    ...  n 
2 3 4 2 1 2
Bµi 6: T×m sè nguyªn d­¬ng n sao cho: 2n > 5n
Gi¶i:
+ Víi n = 1; 2; 3; 4 th× vÕ tr¸i nhá h¬n vÕ ph¶i
+ Víi n = 5 th× 25 = 32 > 25 = 5.5. VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng khi n = 5
+ Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k (Víi k  N , k  5); Tøc lµ: 2k > 5k
Ta ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1; Tøc lµ: 2k + 1 > 5(k + 1)
ThËt vËy: 2k + 1 = 2k.2 mµ 2k > 5k (Theo gi¶ thiÕt quy n¹p)
Nªn 2k.2 > 2.5k = 10k = 5k + 5k theo ®iÒu kiÖn k  5 nªn 5k > 5
V× vËy: 2k + 1 > 5k + 5 = 5(k + 1)
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d­¬ng n, n  5 th× ta cã 2n > 5n
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 18 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
*Mét sè bµi tËp gi¶i t­¬ng tù:
Bµi 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:
1 1 1 1 13
   ...   (n  2)
n 1 n  2 n  3 2n 24
Bµi 2. Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n > 1 th×:
1 1 1 1
a.    ...  1
22 32 4 2 n2
1 1 1 1 3
b.   ...  
2 n 1 n  2 nn 4
Bµi 3. Chøng minh r»ng víi mäi n lµ sè tù nhiªn vµ n  1 th× tæng:
1 1 1 1
S  2  2  2  ...  2 . Kh«ng ph¶i lµ mét sè tù nhiªn
1 2 3 n
1 1 1 n 1
Bµi 4. Chøng minh r»ng: 2
 2  ...  2 
2 3 n n
3 3 3 3
Bµi 5. Cho S víi n  N* vµ: S     ... 
1.4 4.7 7.10 n(n  3)
Chøng minh r»ng S < 1
Bµi 6. Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n  2 ®Òu cã:
1 1 1 1 1
n     ...  2 n
1 2 3 4 n
Bµi 7. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc:
1 1 1
a.   ...   n 1  n  2
1 2 n
1 1 1 1
b.   ...  
n 1 n  2 2n 2
1 1 3 5 2n  1 1
c. . . . ...  
2 n 2 4 6 2n 2n
Bµi 8. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
1 1 1 1
a)    ...   1 víi mäi sè tù nhiªn n  2
22 32 4 2 n2
1 1 1 1 1
b)    ...   víi mäi sè tù nhiªn n  2
2 2 4 2 62 (2n)2 2
Bµi 9. Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ta lu«n cã:
1 1 1 1 1
   ...  2 2

5 13 25 n  (n  1) 2
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 19 Tr­êng THCS KiÕn Giang
VËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
VI. Mét sè gi¶i ph¸p khi vËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p ®Ó gi¶i to¸n:
1, §èi víi gi¸o viªn:
- Tr­íc hÕt ng­êi gi¸o viªn ph¶i x©y dùng ®­îc c¬ së lÝ thuyÕt vÒ ph­¬ng
ph¸p quy n¹p to¸n häc vµ viÖc vËn dông nã ®Ó gi¶i tõng d¹ng to¸n cô thÓ. Néi dung
nµy ph¶i chuyÓn t¶i ®Õn häc sinh, víi mçi d¹ng to¸n gi¸o viªn ®­a ra vÝ dô mÉu,
h­íng dÉn häc sinh dùa trªn c¬ së lý thuyÕt ®Ó t×m c¸ch gi¶i, gi¸o viªn chèt l¹i bµi
gi¶i mÉu. Sau ®ã yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi tËp ¸p dông
- Ph©n lo¹i c¸c bµi tËp tõ dÔ ®Õn khã phï hîp víi tõng ®èi t­îng häc sinh,
t¹o ®iÒu kiÖn cho tõng ®èi t­îng häc sinh ®­îc lµm viÖc, chñ ®éng n¾m ®­îc kiÕn
thøc c¬ së vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i
- RÌn luyÖn vµ n©ng cao kh¶ n¨ng t­ duy s¸ng t¹o cña häc sinh th«ng qua
qua viÖc t×m tßi chän läc, tham kh¶o kiÕn thøc trong khi nghiªn cøu, gi¶i to¸n
- Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ph¶i chó ý t×m ra nh÷ng v­íng m¾c, sai sãt mµ
häc sinh hay m¾c ph¶i khi lµm bµi tËp vµ ph¶i cã biÖn ph¸p h­íng dÉn söa sai kÞp
thêi
- §éng viªn, khuyÕn khÝch häc sinh nghiªn cøu t×m ra c¸ch gi¶i míi cho
tõng bµi to¸n. Qua ®ã gióp häc sinh nhí l©u, n¾m ch¾c bµi to¸n ®· gi¶i
2, §èi víi häc sinh:
- §©y lµ d¹ng to¸n liªn quan ®Õn hÇu hÕt c¸c kiÕn thøc cña cÊp häc, do ®ã
häc sinh cÇn ph¶i trang bÞ cho m×nh c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n, toµn diÖn cña ch­¬ng
tr×nh THCS. §ång thêi n¾m ch¾c c¬ së lý thuyÕt vµ c¸c d¹ng to¸n mµ gi¸o viªn
cung cÊp ®Ó hiÓu ®­îc b¶n chÊt cña ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc. Tõ ®ã cã thÓ
vËn dông ®Ó gi¶i ®­îc c¸c d¹ng to¸n vÒ chøng minh sù chia hÕt, chøng minh ®¼ng
thøc vµ bÊt ®¼ng thøc
- Víi mçi bµi tËp cÇn nhËn d¹ng ®­îc d¹ng to¸n ®Ó tõ ®ã vËn dông ph­¬ng
ph¸p hîp lý cña tõng d¹ng vµo gi¶i to¸n
- Ph¸t huy kh¶ n¨ng t­ duy s¸ng t¹o trong khi gi¶i to¸n, biÕt suy luËn tõ bµi
dÔ ®ªn bµi khã víi c¸ch gi¶i hay h¬n, t×m ra ®­îc nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n
VII. KÕt qu¶ thu ®­îc:
Qua qua tr×nh triÓn khai ¸p dông c¸c néi dung vµ ph­¬ng ph¸p ®· nªu ë trªn,
t«i nhËn thÊy r»ng häc sinh cã høng thó h¬n trong häc tËp, häc sinh ®· n¾m ®­îc
b¶n chÊt cña ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc, c¸ch vËn dông nã vµo gi¶i to¸n vµ ®·
rÌn luyÖn ®­îc kü n¨ng tr×nh bµy mét bµi gi¶i theo ph­¬ng ph¸p quy n¹p. Sau khi
häc xong chuyªn ®Ò vËn dông ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng
to¸n, t«i tiÕn hµnh kiÓm tra kh¶o s¸t møc ®é hiÓu, n¾m kiÕn thøc vµ vËn dông ®èi
víi 26 häc sinh ®· kh¶o s¸t ban ®Çu. KÕt qu¶ thu ®­îc nh­ sau:
Ng­êi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh 20 Tr­êng THCS KiÕn Giang