Skkn rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9 thông qua việc phát triển một số bài toán chứa căn thức bậc 2

  • 16 trang
  • file .pdf
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
REØN LUYEÄN TÖ DUY SAÙNG TAÏO CHO HOÏC SINH LÔÙP 9
THOÂNG QUA VIEÄC PHAÙT TRIEÅN MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN
CHÖÙA CAÊN THÖÙC BAÄC HAI
PHAÀN A:
ÑAËT VAÁN ÑEÀ
I. LYÙ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI .
Söï phaùt trieån kinh teá cuûa moät ñaát nöôùc khoâng phuï thuoäc nhieàu ôû taøi nguyeân
thieân nhieân maø phuï thuoäc vaøo trình ñoä daân trí. Toaùn hoïc coù vò trí ñaëc bieät trong
vieäc naâng cao vaø phaùt trieån daân trí, goùp phaàn taïo neân nguoàn taøi nguyeân chaát xaùm -
nguoàn taøi nguyeân quyù nhaát cho ñaát nöôùc. Toaùn hoïc khoâng chæ cung caáp cho con
ngöôøi nhöõng kó naêng tính toaùn caàn thieát maø coøn (vaø ôû ñaây laø ñieàu kieän chuû yeáu)
reøn luyeän cho con ngöôøi moät khaû naêng tö duy loâgic, moät phöông phaùp luaän khoa
hoïc.
Vieäc naâng cao chaát löôïng giaùo duïc laø nhieäm vuï soá moät trong baát kì nhaø
tröôøng naøo vaø cuõng laø muïc tieâu phaán ñaáu cuûa moãi giaùo vieân. Ñaëc bieät vaán ñeà chaát
löôïng giaùo duïc ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 9, vì ñaây laø naêm cuoái caáp baäc trung hoïc cô sôû
vaø ñaùnh daáu böôùc chuyeån tieáp quan troïng treân con ñöôøng hoïc taäp cuûa hoïc sinh .
Laø moät giaùo vieân ñaõ töøng tham gia giaûng daïy boä moân toaùn 9 toâi luoân traên
trôû moät ñieàu laø laøm theá naøo ñeå tö duy suy luaän cuûa hoïc sinh ñöôïc chaët cheõ, nhaïy
beùn, saùng taïo? Coù nhö vaäy seõ naâng cao chaát löôïng boä moân.
Trong vieäc giaûng daïy moân toaùn ngöôøi thaày ñoùng vai troø quan troïng trong
vieäc hình thaønh, phaùt trieån tö duy loâ gíc vaø phöông phaùp luaän khoa hoïc cho hoïc
sinh. Ñeå coù theå phaùt trieån tö duy saùng taïo trong vieäc hoïc toaùn vaø giaûi toaùn thì tìm
ra keát quaû moät baøi toaùn chöa coù theå coi laø keát thuùc ñöôïc, maø phaûi tieán haønh khai
thaùc, phaûi "moå xeû" vaø phaân tích baøi toaùn ñoù.
Phaùt trieån tö duy saùng taïo cho hoïc sinh khoâng chæ nhaèm ñaït chaát löôïng cao
trong daïy hoïc maø coøn nhaèm phaùt trieån nhaân toá con ngöôøi, nhaát laø trong thôøi ñaïi
maø thoâng tin vaø khoa hoïc coâng ngheä ñang buøng noå nhö hieän nay.
Trong quaù trình daïy hoïc toaùn noùi rieâng cuõng nhö trong quaù trình daïy hoïc noùi
chung ngöôøi daïy cuõng nhö ngöôøi hoïc caàn taïo cho mình moät thoùi quen laø: sau khi
ñaõ tìm ñöôïc lôøi giaûi baøi toaùn thì duø laø ñôn giaûn hay phöùc taïp, tieáp tuïc suy nghó, laät
laïi vaán ñeà, theâm ñieàu kieän cho baøi toaùn, hay thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn ... seõ ñöôïc
baøi toaùn môùi thuù vò hôn.
Chính vì lyù do treân toâi choïn ñeà taøi :" Reøn luyeän tö duy saùng taïo cho hoïc sinh
lôùp 9 thoâng qua vieäc phaùt trieån moät soá baøi toaùn chöùa caên thöùc baäc hai " nhö moät
saân chôi trí tueä daønh cho hoïc sinh lôùp 9 trong caùc giôø hoïc toaùn. Nhaèm taïo ñieàu
kieän kích thích khaû naêng saùng taïo, ham hoïc hoûi cuûa hoïc sinh.
1
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
II. MUÏC ÑÍCH NGHIEÂN CÖÙU .
Hình thaønh cho hoïc sinh coù naêng löïc haønh ñoäng, naêng löïc öùng xöû, naêng löïc
töï hoïc vaø kó naêng dieãn ñaït (baèng lôøi, baèng vieát). Kích thích trí töôûng töôïng, gaây
höùng thuù hoïc taäp toaùn goùp phaàn reøn luyeän phöông phaùp hoïc taäp vaø coù keá hoaïch
khoa hoïc, chuû ñoäng, linh hoaït, saùng taïo.
Treân cô sôû naém ñöôïc phöông phaùp giaûi moät soá daïng toaùn bieán ñoåi bieåu thöùc
chöùa caên thöùc baäc hai hoïc sinh bieát nhaän xeùt moät soá ñaëc tröng cuûa baøi toaùn goác ,
hoïc sinh coù theå laät laïi vaán ñeà, theâm ñieàu kieän cho baøi toaùn, hay thay ñoåi yeâu caàu
baøi toaùn ... seõ ñöôïc baøi toaùn môùi thuù vò hôn.
Thoâng qua vieäc phaùt trieån moät soá baøi toaùn goác nhaèm hình thaønh cho hoïc
sinh kó naêng phaân tích ñeå tìm ra ñaëc tröng baøi toaùn, phaùt trieån baøi toaùn .
Kích thích trí töôûng töôïng, gaây höùng thuù hoïc taäp moân toaùn goùp phaàn reøn
luyeän nhaân caùch con ngöôøi: Phaùt trieån tö duy loâ gíc vaø phöông phaùp luaän khoa
hoïc, reøn luyeän cho hoïc sinh kó naêng hoïc taäp vaø laøm vieäc coù keá hoaïch khoa hoïc
chuû ñoäng, saùng taïo .
III. ÑOÁI TÖÔÏNG NGHIEÂN CÖÙU :
Tieán haønh treân hoïc sinh lôùp 9 -Tröôøng THCS ...TP Pleiku
IV. PHAÏM VI NGHIEÂN CÖÙU:
Vì phaïm vi ñeà taøi khaù roäng neân toâi chæ taäp trung vaøo vieäc reøn luyeän tö duy
saùng taïo cho hoïc sinh lôùp 9 thoâng qua vieäc phaùt trieån moät soá baøi toaùn chöùa caên
thöùc baäc hai.
2
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
PHAÀN B:
THÖÏC TRAÏNG VAØ MOÄT SOÁ BIEÄN PHAÙP GIAÛI QUYEÁT
I/ THÖÏC TRAÏNG :
Phaûi noùi raèng kieán thöùc toaùn Trung hoïc cô sôû laø kieán thöùc raát cô baûn vaø
quan troïng, laøm neàn taûng ñeå caùc em hoïc ôû baäc THPT vaø cao hôn laø hoïc chuyeân
nghieäp. Kieán thöùc toaùn THCS laø vaät chaát ñaàu tieân ñeå caùc em hình thaønh vaø reøn
luyeän tö duy logic, trìu töôïng, hình thaønh phaåm chaát caàn cuø, kieân trì vaø saùng taïo.
Vieäc hoång kieán thöùc toaùn daãn ñeán caùc em khoù tieáp thu kieán thöùc môùi, vì vaäy
daãn ñeán taâm lyù chaùn naûn, ngaïi hoïc toaùn, sôï hoïc toaùn. Nhö vaäy aûnh höôûng chung
ñeán vieäc hoïc taäp, höùng thuù hoïc taäp cuûa caùc em taïi tröôøng THCS.
Thöïc traïng caùc tröôøng THCS ôû thaønh phoá noùi chung, caùc tröôøng vuøng ven,
xa thaønh phoá noùi rieâng laø: hoïc sinh khoái 9 ña soá hoång kieán thöùc toaùn daãn ñeán tieáp
thu kieán thöùc môùi raát khoù khaên vì khoâng thaïo nhöõng kyõ naêng cô baûn nhö: coäng,
tröø, nhaân, chia, luõy thöøa, caên thöùc.. .
Soá löôïng hoïc sinh trong moät lôùp quaù ñoâng (treân 40 em, coù khi 45 em), coù
trình ñoä nhaän thöùc vaø kieán thöùc neàn taûn g quaù khaùc nhau, vieäc tieáp thu kieán thöùc
khoâng ñoàng ñeàu. Vì vaäy giaùo vieân khoâng theå giuùp taát caû hoïc sinh ñeàu hieåu baøi, keát
quaû hoïc taäp cuûa hoïc sinh chöa cao.
Qua khaûo saùt thöïc teá chaát löôïng ñaàu naêm cuûa 2 lôùp 9 nhö sau:
Lôùp Só soá Gioûi Khaù Trung bình Yeáu
7,5% 20% 45% 27,5%
93 40
(3 em) (8 em ) (18 em ) (11 em )
21,4 % 38,1 % 23,8 % 16,7 %
94 42
( 9 em ) ( 16 em ) (10 em ) (7 em )
Nhöõng nguyeân nhaân cuûa thöïc traïng treân
* Ñoái vôùi giaùo vieân:
Trình ñoä chuyeân moân cuûa moät soá giaùo vieân coøn chöa ñoàng ñeàu, ñoâi khi coøn
haïn cheá. Giaùo vieân bò boù heïp trong phaïm vi moät tieát giaûng maø quaù nhieàu noäi dung.
Moät soá giaùo vieân coøn tham lyù thuyeát do ñoù khoâng theå reøn luyeän kyõ naêng
nhieàu cho hoïc sinh. Nhieàu giaùo vieân khoâng bieát “cheá bieán” kieán thöùc maø phuï
thuoäc quaù nhieàu vaøo SGK.
* Ñoái vôùi hoïc sinh :
Phaàn lôùn hoïc sinh hoång kieán thöùc toaùn cô baûn caáp 2. Do ñoù söï höùng thuù vôùi
moân toaùn khoâng coù hoaëc ít. Thoùi quen hoïc taäp khoâng khoa hoïc ñaõ hình thaønh ôû
caùc lôùp döôùi, hoïc sinh thöôøng giaûi baøi taäp xong laø xong, khi ñöa baøi toaùn khai thaùc
thì ít hoïc sinh laøm ñöôïc.
3
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
Gia ñình thieáu söï quan taâm, taïo ñieàu kieän hoïc taäp cho caùc em. Ñaëc bieät ñoái
vôùi nhieàu gia ñình daân toäc thieåu soá.
Caùc em ngaïi hoûi giaùo vieân, hoûi baïn beø; coù taâm lyù daáu doát; quen vôùi taâm lyù
hoïc ñeå thi. Nhaát laø ôû caáp THCS do muoán phoå caäp giaùo duïc THCS caùc giaùo vieân
phaûi ñaåy caùc em leân lôùp baèng moïi caùch. Vì vaäy xaûy ra maâu thuaãn laø: caùc em
khoâng caàn coá gaéng vaãn ñöôïc ñieåm cao, vaãn ñöôïc leân lôùp. Daàn daàn taïo neân söï yû
laïi, löôøi bieáng trong tö duy cuûa hoïc sinh. (Taát nhieân, coù nhieàu yù kieán chuû quan
cuûa caù nhaân toâi)
II/ MOÄT SOÁ BIEÄN PHAÙP GIAÛI QUYEÁT
1. Kieán thöùc cô baûn söû duïng trong chuyeân ñeà
A2  A
AB  A. B ( A  0; B  0)
A A
 ( A  0; B  0)
B B
A2 B  A B ( B  0)
A B  A2 B ( A  0; B  0)
A B   A2 B ( A  0; B  0)
A 1
 . AB ( AB  0; B  0)
B B
A A B
 ( B  0)
B B
C C ( A  B)
 2
( A  0; A  B 2 )
AB A B
C C( A  B )
 ( A  0; B  0; A  B )
A B AB
2 .Caùc baøi toaùn phaùt trieån
Baøi toaùn 1
Ruùt goïn bieåu thöùc :A = ( 5  3) 2  ( 5  3) 2
Giaûi
Ta coù : A = 5  3 - 5  3 = 5  3 - 5  3 =-2 3 .
4
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
Nhaän xeùt : Bieåu thöùc A ñaõù cho moãi soá haïng ñeàu ôû daïng A 2 neân hoïc sinh deã daøng
aùp duïng coâng thöùc A 2  A ñeå tính toaùn . Ñeå yeâu caàu hoïc sinh buoäc phaûi suy luaän
roài môùi coù theå aùp duïng coâng thöùc ñeå tính ta coù theå phaùt trieån baøi toaùn treân thaønh
baøi toaùn sau :
Baøi 1.1 .Ruùt goïn bieåu thöùc :A = 8  2 15  8  2 15
Hd : Laøm cho caùc bieåu thöùc xuaát hieän daïng haèng ñaúng thöùc vaø laøm nhö baøi toaùn 1
2 2 2 2
A = 8  2 15  8  2 15 =  5   2 15   3    5   2 15   3 
2 2
=  5  3   5  3
Ta ñöôïc keát quaû nhö baøi toaùn 1.
Nhaän xeùt .Theo keát quaû cuûa baøi toaùn 1 ta coù A =-2 3   3. A  6 laø moät soá
A
nguyeân hoaëc =  2 cuõng laø moät soá nguyeân. Vì theá treân cô sôûù baøi toaùn 1 vaø baøi
 3
toaùn 1.1 ta coù theå phaùt trieån thaønh baøi toaùn sau:
Baøi 1.2 Chöùng minh nhöõng bieåu thöùc sau coù giaù trò laø moät soá nguyeân.
A = 24  6 15 - 24  6 15
8 5 8 5
B= 2  2
3 3 3 3
Nhaän xeùt : Ta cuõng coù theå thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn 1.1 vaø baøi toaùn 1.2 ñeå coù baøi
toaùn môùi :
Baøi toaùn 1.3 Chöùng minh ñaúng thöùc :
8  2 15  8  2 15  2 3
Baøi 1.4 Tìm x bieát
a) ( 5  x) 2  ( 5  x) 2  2 3
b) x  2 15  x  2 15  2 3
roõ raøng ôû baøi 1.4a ta söû duïng ñöôïc ngay coâng thöùc A 2  A ta seõ tìm ñöôïc deã daøng
giaù trò cuûa x . Nhöng caâu b thì khoâng theå aùp duïng ngay kieán thöùc ñoù ñöôïc vaäy laøm
theá naøo ñeå giaûi quyeát ñöôïc baøi toaùn b. Luùc naøy ta phaûi söû duïng tính chaát cuûa ñaúng
thöùc .
Vì veá phaûi baèng 2 3 > 0 suy ra veá traùi x  2 15  x  2 15 > 0 .
Bình phöông hai veá phöông trình caâu b ta ñöôïc phöông trình töông ñöông .
(x+2 15 ) +(x–2 15 ) – 2 x 2  4.15  12 ( x  2 15 )(*)
 2 x  2 x 2  60  12
 x  x 2  60  6
 x  6  x 2  60 (1)
vì x  2 15 neân x – 6 > 0 vaø x 2  60  0
(1)  x 2  12 x  36  x 2  60
 12 x  96
5
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
 x  8 ( Thoûa maõn ñieàu kieän (*))
Vaäy x = 8 laø nghieäm cuûa phöông trình x  2 15  x  2 15  2 3
Nhö vaäy vaãn töø baøi toaùn goác nhöng hai baøi toaùn phaùt trieån khoâng phaûi luùc naøo
cuõng coù cuøng caùch giaûi vôùi baøi toaùn goác .
Tieáp tuïc nhaän xeùt ta thaáy:
A = ( 5  3) 2  ( 5  3 ) 2 = 2 3
  5  3  5  3   5  3  5  3  = 12
 5 3 5 3  5 3 5 3 
     =1
 12 12   12 12 
  
Töø keát quaû ñoù ta phaùt trieån thaønh baøi toaùn môùi sau:
Baøi 1.5 Chöùng minh raèng
5 3 5 3 5 3 5 3
 vaø 
12 12 12 12
laø hai soá nghòch ñaûo cuûa nhau
Baøi 1.6 Tìm x ñeå
1 5 x 5 x  1 5 x 5 x 
   vaø   
2 x x  2 x x 
   
laø hai soá nghòch ñaûo cuûa nhau .
Nhaän xeùt : Töø baøi 1.1 ta coù A = 8  2 15  8  2 15 ta coù theå ñöa veà caùch giaûi cuûa
baøi toaùn goác laø A = ( 5  3 ) 2  ( 5  3 ) 2 ñeå suy ra A=- 2 3 .
Nhöng ta cuõng coù theå ruùt goïn A 2 roài suy ra A.
Giaûi baøi toaùn 1.1 theo caùch khaùc nhö sau:
A = 8  2 15  8  2 15 < 0 vì 8  2 15  8  2 15
Xeùt
A 2 = (8  2 15)  (8  2 15) – 2 64  60 =16 – 4 =12
Vì A < 0 neân suy ra A =  A 2 =– 12 =– 2 3
Caùch giaûi baøi toaùn naøy coù theå cho ta nhöõng baøi toaùn töông töï sau .
Baøi 1.7 Ruùt goïn bieåu thöùc
A = 3 3 2 5  3 3 2 5
Baøi 1.8 Chöùng minh ñaúng thöùc
5  19  2 5  5  19  2 5 = 12  2 5
Baøi 1.9 Chöùng minh bieåu thöùc sau laø soá höõu tæ
C = 13  48  13  48
Nhaän xeùt : Keát hôïp baøi 1.7 vôùi caùch giaûi cuûa baøi 1.4 ta coù baøi toaùn sau
Baøi 1.10 Tìm x bieát :
x2 5  x2 5  2 5
6
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
Nhaän xeùt : Coäng vaøo hai veá cuûa baøi 1.7 soá – 2 5 ta coù baøi toaùn sau :
Baøi 1.11 Chöùng minh
A = 3  3  2 5  3  3  2 5 - 2 5 laø moät soá nguyeân
Trôû laïi baøi toaùn 1.10 : tìm x cuûa bieåu thöùc chöùa daáu caên thöùc baäc hai neáu khoâng
höôùng daãn hoïc sinh vaø trình baøy lôøi giaûi maãu thì hoïc sinh seõ luùng tuùng khi gaëp
daïng toaùn naøy
Giaûi baøi 1.10 .Ñieàu kieän : x  2 5 ( *)
Bình phöông hai veá phöông trình baøi 1.10 ta ñöôïc :
x  2 5  2 ( x  2 5)( x  2 5)  x  2 5  20
 2 x  2 x 2  20  20
 x  x 2  20  10
 x 2  20  10  x ( vôùi x  10 ) (**)
 x 2  20  x 2  20 x  100
 20 x  120
 x  6 ( Thoûa maãn ñieàu kieän (*) vaø (**))
Vaäy x = 6 laø nghieäm cuûa phöông trình x2 5  x2 5  2 5
3 3 3 3
Baøi toaùn 2 .Ruùt goïn bieåu thöùc : A =(1+ )(  1)
3 1 3 1
Giaûi : Coù theå duøng phöông phaùp nhaân moãi phaân thöùc vôùi lieân hôïp cuûa noù nhöng
nhö theá baøi toaùn trôû neân daøi doøng, ta coù theå duøng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung
nhö sau :
 3( 3  1)   3( 3  1) 
A  1   .  1
 3  1   3 1 
 
 (1  3).( 3  1)
 ( 3  1).( 3  1)  3  1  2
Nhaän xeùt : A = 2 laø moät soá nguyeân toá, thay soá 3 trong bieåu thöùc A bôûi moät soá
nguyeân döông baát kì ta coù baøi toaùn sau :
Baøi 2.1 Chöùng minh giaù trò bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân
 5 5   5 5 
a) 1   .  1
 5  1   1  5 
 17  17   17  17 
b) 1   .   1 
 17  1  1  17 
Vaãn töø baøi toaùn 2, thay haèng soá 3 bôûi bieán x vôùi x  0 vaø x  1 ta coù moät vaøi baøi
toaùn thuù vò sau:
 x x   x x
Baøi 2.2. Ruùt goïn bieåu thöùc 1   . 1   x
 x  1   1  x 
 x x  x x 
Baøi 2.3 Tìm x bieát 1   .  1 = 2
 1  x   x  1 
7
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
hay thay 3 bôûi tham soá a ñeå coù baøi toaùn sau
Baøi 2.4 Tìm a ñeå bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân
 a a   a a 
 2   .   2  : 2
 a 1   a 1 
Baøi 2.5 Chöùng minh giaù trò bieåu thöùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán
 x x   x x 
1   .  1  x
 x  1   x  1 
Baøi 2.6. Chöùng minh
 5 5  5 5 
 2   vaø   2  laø hai soá nghòch ñaûo cuûa nhau
 5 1   5 1 
Baøi 2.7. Tìm x bieát
 x x   x x 
 3   vaø   3  laø hai soá nghòch ñaûo cuûa nhau
 x  1   x 1 
Keát hôïp daïng cuûa baøi toaùn 1 vaø bieåu thöùc daïng baøi toaùn 2 ta coù baøi toaùn môùi sau :
xx xx
Baøi 2.8. Thu goïn bieåu thöùc sau A = 3   3
x 1 x 1
Höôùng daãn : Söû duïng caùch 2 cuûa baøi toaùn 1
Ruùt goïn A 2  A  A 2 (vì A > 0)
Vaø dó nhieân coù theå thay ñoåi yeâu caàu baøi 2.8 ta ñöôïc baøi toaùn sau
4
Baøi 2. 9 Tính giaù trò bieåu thöùc sau taïi x = 5 vaø x =
9
xx xx
A = 5  5
x 1 x 1
xx xx
Baøi 2.10 Tìm x bieát 1  1 = 2 (1) (0  x  1)
x 1 x 1
x (1  x) x (1  x)
Giaûi: (1)  1  + 1 =2
x 1 x 1
 1  x  1  x  2 (2)
Vì 0  x  1 neân 1  x  1  x  0
Bình phöông hai veá pt (2) ta ñöôïc:
2  2 1 x  4
 2 1  x  2  1  x  1  x  0 ( Thoûa maõn ñieàu kieän 0  x  1)
Vaäy x = 0 laø nghieäm cuûa phöông trình
Nhaän xeùt :Nhö vaäy ñoái vôùi baøi toaùn thu goïn bieåu thöùc A laø toång hay hieäu cuûa hai
soá haïng lieân hôïp thì toát nhaát ta neân thu goïn töø A2 ñeå suy ra A. Vôùi suy luaän nhö
vaäy vaø phöông phaùp thay ñoåi giaû thieát hay yeâu caàu baøi toaùn ( thay ñoåi daïng baøi
toaùn ) ta coù theå tieáp tuïc suy luaän baøi toaùn 2 thaønh nhieàu baøi toaùn thuù vò hôn. Môøi
ñoäc giaû cuøng phaùt trieån baøi toaùn ñeå chuyeân ñeà naøy ñaït ñöôïc hieäu quaû cao .
Xin ñöôïc tieáp tuïc trình baøy baøi toaùn 3.
8
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
1 1 1 1
Baøi toaùn 3 : Tính A =    .......... 
1 2 2 3 3 4 99  100
1 1 1 1
Giaûi : Ta coù: A =    .......... 
1 2 2 3 3 4 99  100
2 1 3 2 4 3 100  99
=    ............. 
2 1 3 2 43 100  99
= 2  1  3  2  4  3  ................  100  99
= – 1  100 = – 1 + 10 =9
Nhaän xeùt :
Baøi toaùn 3 laø moät baøi toaùn tính toång cuûa daõy maø moãi haïng töû laø moät phaân
soá coù töû soá laø 1, vaø maãu soá laø toång cuûa hai caên baäc hai cuûa hai soá töï nhieân lieân
tieáp. Vì theá baøi toaùn coù theå vieát döôùi daïng toång quaùt.
Baøi toaùn 3.1: Ruùt goïn bieåu thöùc
1 1 1 1
B=    ..........  ( n N , n  1 )
1 2 2 3 3 4 n 1  n
Thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn ta coù moät soá baøi toaùn sau:
Baøi 3.2: Tìm x ñeå
1 1 1 1
   ..........   10 x  N 
1 2 2 3 3 4 x  x 1
Baøi 3.3: Chöùng minh raèng bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân.
1 1 1 1
A=    .......... 
1 3 3 5 5 7 119  121
1 1 1 1
Giaûi Ta coù: A =    .......... 
1 3 3 5 5 7 119  121
3 1 5 3 7 5 121  119
=    ............. 
3 1 53 75 121  119
1
= ( 3  1 5  3  7  5  ................  121  119 )
2
1
= (1  121)
2
1
= (1  11)
2
= 5Z
Vaäy A laø soá nguyeân.
Tieáp tuïc phaùt trieån ta coù baøi toaùn sau
1 1 1 1
Baøi toaùn 3.4: Ruùt goïn A=    .......... 
1 5 5 3 3  13 165  13
Nhaän xeùt:
Ñoái vôùi baøi toaùn 3.4 ta khoâng hoaøn toaøn aùp duïng caùch giaûi cuûa baøi toaùn 3,
baøi 3.4 buoäc hoïc sinh phaûi ñöa veà baøi toaùn 3 roài aùp duïng
Giaûi :
1 1 1 1
Ta coù A=    .......... 
1 5 5 3 3  13 165  13
9
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
1 1 1 1
=    .......... 
1 5 5 9 9  13 165  169
5 1 9 5 13  9 169  165
=    ............. 
5 1 95 13  9 169  165
1
= ( 5  1  9  5  13  9  ................  169  165 )
4
1
= (1  169 )
4
1
= (1  13) = 3
4
Baøi 3.5. Chöùng minh raèng bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân döông
1 1 1 1
A=    ...... 
1 2 2  7 7  10 99  10
Baøi 3.6 Tìm a  N ,a  16 ñeå
1 1 1 1
A=    ......  laø moät soá nguyeân döông
1 6 6  11 11  16 a  a5
Baøi 3.7 Ruùt goïn bieåu thöùc
1 1 1
A=   ...... 
1 1 a 1  a  1  2a 1  99a  1  100a
Baøi 3.8 Tìm ñieàu kieän cuûa a ñeå bieåu thöùc sau laø moät soá nguyeân döông
1 1 1
A=   ...... 
1 1 a 1  a  1  2a 1  99a  1  100a
Baøi 3.9 Chöùng minh raèng vôùi moïi a  N , a  1
1 1 1
A=   ...... 
1 1 a 1  a  1  2a 1  99a  1  100a
Baøi 3.10 Tìm a  N bieát
1 1 1
  ......  =10
1 1 a 1  a  1  2a 1  99a  1  100a
x
Baøi toaùn 4. Cho P = ;( x  0, x  9) . Tìm x ñeå P >0.
x 3
Giaûi :Vì x  0, x  9 neân bieåu thöùc P coù nghóa
Khi ñoù ñeå P > 0  x ( x  3) >0
 ( x  3) >0
 x >3  x > 9
Töø baøi toaùn treân coù theå thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn ñeå ñöôïc moät soá baøi toaùn môùi
cuøng daïng vôùi baøi toaùn 4 nhö sau :
x
Baøi 4.1. Cho P = vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P < 0.
x 3
x 1
Baøi 4. 2. Cho P = vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P > 0
x 3
x 5
Baøi 4.3 Cho P= vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P > 0
x 3
10
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
x
Nhaän xeùt : Khi thöïc hieän pheùp chia töû cho maãu cuûa phaân thöùc P = vôùi
x 3
x 3
x  0, x  9 ta ñöôïc P =  1 . Tìm x ñeå P >0
x 3 x 3
Vaø ta coù theå thay ñoåi yeâu caàu baøi toaùn naøy ñeå ñöôïc baøi toaùn môùi .
x
Baøi 4.4. Cho P = vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P ñaït giaù trò laø soá nguyeân.
x 3
x 3
Giaûi: Ñeå P ñaït giaù trò laø soá nguyeân P   1 laø soá nguyeân
x 3 x 3
3
 laø soá nguyeân
x 3
 3  ( x  3 )  ( x  3)  Ö(3)
 ( x  3)   ±1; ±2; ±3 
* x  3 =1  x =4  x =16;
* x  3 =-1  x =2  x = 4;
* x  3 =2  x =5  x = 25;
* x  3 =-2  x =1  x = 1;
* x  3 =3  x =6  x = 36;
* x  3 =-3  x =0  x = 0;
Vaäy ñeå P ñaït giaù trò laø soá nguyeân thì x   0 ; 1 ; 4 ; 16 ; 25 ; 36 
Töông töï nhö baøi toaùn 4.4 ta phaùt trieån thaønh moät soá nhöõng baøi toaùn sau:
x 5
Baøi 4.5. Cho P = vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P nhaän giaù trò laø soá nguyeân.
x 3
Tieáp tuïc nhaän xeùt ta thaáy x = 0 vôùi  x = 0 suy ra x +1 > 0,  x = 0
suy ra x ( x  1) = 0 vôùi  x = 0. Töø ñoù ta coù moät soá baøi toaùn môùi sau:
x
Baøi 4.6. Chöùng minh raèng P =  0 vôùi x  0, x  1
x 1
x2  1
Baøi 4.7. Chöùng minh raèng P =  0 vôùi x = –1.
x 1  1
Giaûi : vì x = –1 neân x + 1 = 0 suy ra P coù nghóa .
Ta coù :x2 = 0 vôùi  x  x2+1> 0 vôùi  x(1)
x  1 = 0 vôùi  x = 1  x  1 +1> 0 vôùi  x =1 (2)
x2  1
Töø (1) vaø (2) suy ra P =  0 vôùi  x = –1.
x 1  1
1
Baøi 4. 8. Chöùng minh raèng P = 1– > 0 vôùi x = 0.
x 1
Giaûi :Vì x = 0 vôùi x = 0 neân x +1 =1 vôùi x = 0
1 1
 1  1  0 ( ñieàu phaûi chöùng minh )
x 1 x 1
11
Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku
x 3
Tieáp tuïc phaân tích baøi toaùn 4 cho thaáy P =  1 coù x -3 ñaït giaù trò nhoû
x 3 x 3
3
nhaát baèng – 3 khi x = 0. Vì vaäy seõ ñaït giaù trò lôùn nhaát laø –1 khi x = 0. Do
x 3
ñoù ta coù baøi toaùn môùi sau :
x
Baøi 4.9. Cho P = vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P ñaït giaù trò lôùn nhaát .
x 3
x 5 2
Phaân tích baøi 4.3 ta thaáy P =  1 ; ( x  0, x  9) coù x – 3 ñaït giaù trò nhoû
x 3 x 3
2 2
nhaát laø –3 khi x = 0. Vì vaäy seõ ñaït giaù trò lôùn nhaát laø  khi x = 0 suy ra
x 3 3
2 2
– seõ ñaït giaù trò nhoû nhaát laø khi x = 0.
x 3 3
Do ñoù ta coù baøi toaùn môùi sau :
x 5
Baøi 4.10. Cho P = vôùi x  0, x  9 .Tìm x ñeå P nhaän giaù trò nhoû nhaát.
x 3
Töø baøi toaùn 4 ta laïi thaáy coù vaán ñeà ñöôïc naûy sinh ñoù laø : taïi sao chæ tìm giaù trò cuûa
x ñeå P > 0 ? Coù theå tìm giaù trò cuûa x ñeå P > 0 hoaëc ñeå P < 0 ? Khi ñoù baøi toaùn ñöôïc
söû lyù nhö theá naøo ?
x
Baøi 4.11. Cho P = vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P <1.
x 3
Giaûi : Vì x  0 , x  9 neân bieåu thöùc P coù nghóa.
x x
Ñeå P <1 thì 1  1  0
x 3 x 3
x x 3
  0
x 3 x 3
x  ( x  3)
 0
x 3
3
  0  x 3 0
x 3
 x  3  x  9.
Keát hôïp vôùi ñieàu kieän cuûa baøi toaùn suy ra : 0  x < 9 thì P < 1.
Töông töï baøi 4.11 ta coù theå khai thaùc thaønh moät soá baøi toaùn sau .
x 5
Baøi 4.12. Cho P = vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P >1
x 3
x 1 1
Baøi 4.13. Cho P = vôùi x  0, x  9 . Tìm x ñeå P <– .
x 3 2
Nhö vaäy vôùi boán baøi toaùn ban ñaàu chuùng ta ñaõ khai thaùc thaønh nhieàu baøi
toaùn, nhöng ôû nhöõng möùc ñoä tö duy khaùc nhau; soá löôïng baøi ñöôïc khai thaùc seõ
nhieàu hôn, neáu kích thích trí töôûng töôïn g, gaây höùng thuù hoïc taäp , phaùt huy ñöôïc
tính tích cöïc chuû ñoäng saùng taïo trong hoïc sinh.
12