Skkn rèn luyện kĩ năng tìm lời giải hình học 9 bằng “phương pháp phân tích đi lên

  • 23 trang
  • file .pdf
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
TÊN ĐỀ TÀ I:
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM LỜI GIẢI HÌNH HỌC 9
BẰNG “PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐI LÊN”
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI :
Toán ho ̣c có vai trò rất quan trọng trong đời số ng, trong khoa ho ̣c và công
nghê ̣ hiê ̣n đại, nhấ t là trong kỷ nguyên của “công nghê ̣ hiện đa ̣i và thông tin”
cùng với sự phát triển của nền kinh tế tri thức, viê ̣c nắ m vững các kiế n thức
toán ho ̣c giúp cho ho ̣c sinh có cơ sở nghiên cứu các bô ̣ môn khoa học khác
đồ ng thời có thể hoa ̣t động có hiệu quả trong mo ̣i lıñ h vực của đời số ng.
Trong nhà trường phổ thông có thể nói môn toán là một trong những
môn học giữ mô ̣t vi ̣ trı́ hế t sức quan tro ̣ng. Bởi lẽ Toán học là một bộ môn
khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán
còn là bộ môn công cụ hổ trợ cho các môn học khác.
Trong chương trın
̀ h toán trung học cơ sở, môn Hı̀nh học là rấ t quan
tro ̣ng và rấ t cần thiết cấ u thành nên chương trı̀nh toán ho ̣c ở trung học cơ sở
cùng với môn số ho ̣c và đa ̣i số .
Đối với nhiều học sinh bậc trung học cơ sở, Hình học thật sự là một
môn học khó, đòi hỏi sự tư duy của các em rất cao. Vì vậy, có rất nhiều học
sinh dù học giỏi môn đại số nhưng các em chỉ đạt điểm trung bình khi làm bài
kiểm tra môn hình học, từ đó ảnh hưởng đến kết quả xếp loại môn toán cũng
như xếp loại học lực của các em. Với tầ m quan tro ̣ng như vâ ̣y, thı̀ viê ̣c cải tiế n
phương pháp da ̣y ho ̣c nói chung và phương pháp “rèn kỹ năng vẽ hı̀nh và
phân tı́ch tı̀m lời giải bài toán hıǹ h ho ̣c 9” nói riêng vừa là mô ̣t yêu cầ u cầ n
thiế t vừa là nhiê ̣m vu ̣ thường xuyên đố i với giáo viên da ̣y toán. Vı̀ vâ ̣y người
thầ y phải tạo cho ho ̣c sinh hướng suy nghı,̃ tı̀m tòi khám phá ra những hướng
Trường THPT Định An Trang - 1 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
chứng minh cho mỗi bài toán hıǹ h ho ̣c từ đó học sinh hứng thú say mê, yêu
thích môn học và vận dụng sáng tạo kiến thức môn học vào thực tiễn và cuộc
sống.
2 . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀ I:
Để học tốt môn Hình học học sinh cần rèn luyện các kỹ năng như: Vẽ
hình, phân tích bài toán, định hướng cách giải, giải bài toán và mở rộng bài
toán; trong đó việc phân tích bài toán là khó nhất và quyết định kết quả của
bài toán. Với việc nhìn nhận được tầ m quan tro ̣ng của vấ n đề và đứng trước
thực tra ̣ng trên tôi quyế t định cho ̣n nghiên cứu đề tài sáng kiế n kinh nghiê ̣m.
Đề tài mang tên là: “Rèn luyện kỹ năng phân tích tım
̀ lời giải hın
̀ h ho ̣c 9
bằng phương pháp phân tích đi lên” Với mong muốn góp phầ n nâng cao
hiêụ quả, chất lượng trong dạy học môn hình học lớp 9 của trường trung học
phổ thông Định An theo tinh thần đổi mới. Củng cố thêm nghiêp̣ vu ̣ giảng da ̣y
của mı̀nh, đồng thời mong đươ ̣c đóng góp mô ̣t phầ n nhỏ bé của mı̀nh với các
ba ̣n đồ ng nghiệp và giúp cho sự nghiêp̣ giáo du ̣c của đơn vi ̣ cũng như của
ngành đươ ̣c nâng lên.
3 . PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG CỦA ĐỀ TÀI:
3.1. Pha ̣m vi và thời gian nghiên cứu.
a . Pha ̣m vi nghiên cứu của sáng kiế n kinh nghiêm:
̣
- Pha ̣m vi nô ̣i dung: Biêṇ pháp rèn kỹ năng phân tıć h đi lên giúp học
sinh tı̀m lời giải hıǹ h ho ̣c 9
- Pha ̣m vi không gian: Khối lớp 9 Trường trung học phổ thông Định An.
b . Thời gian nghiên cứu:
-Nghiên cứu trong 4 năm ho ̣c: Năm ho ̣c : 2008-2009; 2009-2010; 2010-
2011; 2011-2012.
-Kế hoa ̣ch nghiên cứu sáng kiế n kinh nghiê ̣m :
Trường THPT Định An Trang - 2 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
+Năm học 2008-2009: Tı̀m kiế m vấ n đề nghiên cứu và nghiên cứu lı́
thuyế t; xây dựng đề cương sáng kiế n kinh nghiê ̣m, hoàn chı̉nh các biể u mẫu
điề u tra.
+Năm học 2009-2010; 2010 - 2011: Tiế n hành điề u tra học sinh, xử lı́
số liêu,
̣ cho vận dụng vào thực tế giảng da ̣y môn hình học lớp tại trường.
+Năm học 2011-2012: Kiểm chứng, điề u chın̉ h và viế t chıń h thức các
nô ̣i dung của sáng kiến kinh nghiệm, in ấ n đóng quyể n và nô ̣p.
3.2. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh có học lực đa số trung bình-yếu của trường trung học phổ
thông Định An qua các năm học.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Tiế n hành sáng kiế n kinh nghiê ̣m này tôi sử du ̣ng các nhóm phương
pháp sau :
4.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lı́ thuyế t :
Đo ̣c và phân tı́ch tài liêụ về phương pháp da ̣y ho ̣c môn toán; đổ i mới
phương pháp da ̣y ho ̣c theo hướng tı́ch cực hóa hoa ̣t đô ̣ng của học sinh; sách
giáo khoa và sách bài tập; tài liê ̣u tham khảo của bô ̣ môn toán hình 9, các bài
viết của chuyên gia và đồng nghiệp trên Internet, …
4.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thư ̣c tiễn :
- Quan sát theo dõi học sinh và ho ̣c hỏi đồ ng nghiêp̣ .
- Phương pháp điề u tra sư pha ̣m: Phỏng vấ n, trao đổ i; khảo sát điề u tra
số liêụ theo phiế u; thố ng kê và phân tı́ch số liêụ điều tra (thống kê trước và
sau khi sử dụng phương pháp).
- Phương pháp thực nghiê ̣m sư pha ̣m: Giảng da ̣y thực nghiê ̣m ta ̣i
trường, chọn 2 lớp (một lớp dạy theo cách thông thường, một lớp dạy theo
phương pháp của đề tài) để so sánh kết quả.
Trường THPT Định An Trang - 3 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
-Tổ ng kế t kinh nghiêm
̣ và đánh giá kế t quả.
B. PHẦN NỘI DUNG:
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp
thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải
pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách
quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm. Vấn đề trên
cũng nằm trong mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn
hiện nay.
Quá trình học sinh nắm vững kiến thức không phải là tự phát mà là một quá
trình có mục đích rõ rệt, có kế hoạch tổ chức chặt chẽ, một quá trình nỗ lực tư
duy trong đó học sinh phát huy tính tích cực, tính tự giác của mình dưới sự
chỉ đạo của giáo viên. Trong quá trình ấy mức độ tự lực của học sinh càng cao
thì việc nắm kiến thức càng sâu sắc, tư duy độc lập sáng tạo càng phát triển
cao, kết quả học tập càng tốt. Trên thực tế quá trình dạy học là quá trình thống
nhất bao gồm quá trình dạy và quá trình học, nó là một hệ thống tác động lẫn
nhau giữa giáo viên và học sinh, trong đó mỗi chủ thể tác động lẫn nhau có
vai trò và chức năng của mình. Điều quan trọng là hình thành cho các em
cách học có hiệu quả nhất, đáp ứng được nhu cầu kiến thức bộ môn.
Việc đổi mới phương pháp dạy học trong đó có đổi mới dạy học môn toán,
trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh
có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá
trình giải toán đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương
pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông
qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn
luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.
Vì vậy trong công tác đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới
phương pháp dạy môn toán nói riêng, đòi hỏi giáo viên phải vận dụng sáng
Trường THPT Định An Trang - 4 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
tạo các phương pháp dạy học phù với môn học, đặc biệt cần phải tổ chức dạy
học sao cho học sinh hứng thú say mê, yêu thích môn học nói riêng và các bộ
môn học khác nói chung, qua đó hình thành kiến thức, kĩ năng và nhận thức
của học sinh. Nhiệm vụ cơ bản của bộ môn là đảm bảo cho học sinh nắm
vững những kiến thức và vận dụng sáng tạo vào thực tiễn.
2. CƠ SỞ THỰC TIỂN:
Trong các môn học ở trường phổ thông, học sinh rất ngán học môn toán và
“sợ” môn hình học. Học sinh “sợ”môn hình học cũng có lý do của nó, bởi lẽ
các em cho rằng hình học là môn học rất khó, trừu tượng cao đối với học sinh
bậc trung học cơ sở và bởi đây là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng
lập luận tốt. Ngoài ra, môn hình học còn đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng
tượng, óc suy xét và tư duy logic. Do vây học sinh đều cảm thấy có ít nhiều
khó khăn, bởi vì các em chưa biế t vẽ hıǹ h, lúng túng khi phân tı́ch mô ̣t đề
toán hình. Bởi vậy chất lượng học tập môn hình của các em còn thấp. Qua
kinh nghiệm của bản thân và một số đồng nghiệp tôi rút ra được một số
nguyên nhân sau:
-Các em còn yếu trong việc vẽ hıǹ h hay vẽ hình thiếu chính xác.
-Khả năng suy luận hình ho ̣c còn ha ̣n chế dẫn đế n việc xây dựng kế hoa ̣ch
giải bài toán hı̀nh ho ̣c còn khó khăn.
-Việc trình bày bài giải của ho ̣c sinh còn thiế u chıń h xác, chưa khoa ho ̣c,
còn lủng củng, nhiề u khi đưa ra khẳng đinh
̣ còn thiế u căn cứ, không chă ̣t che.̃
- Một số em có thể do tâm lý ngại học hoặc sợ môn hình nên càng làm cho
bài toán từ dễ trở thành khó. Học sinh chưa biết nghĩ từ đâu? nghĩ như thế
nào? cách trình bày, lập luận ra sao ở một bài toán hình?
- Trong sách giáo khoa bài toán mẫu còn ít, hướng dẫn gợi ý không đầy đủ
nên khó tiếp thu. Hơn nữa khối lượng kiến thức, bài tập trong sách giáo khoa
khá nhiều đôi khi thầy và trò không làm hết trong thời gian qui định.
Trường THPT Định An Trang - 5 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
Kế t quả điề u tra thực tra ̣ng cho thấ y: Thực tế , ho ̣c sinh ho ̣c phân môn hı̀nh
ho ̣c còn yế u về mo ̣i mă ̣t, tỉ lê ̣ học sinh khá, giỏi bô ̣ môn toán hıǹ h trong các
trường còn ha ̣n chế , khả năng vẽ hı̀nh và tư duy sáng tạo của ho ̣c sinh còn
yế u, nên số ho ̣c sinh yếu kém chiế m tı̉ lê ̣ cao số học sinh yêu thích môn hình
còn ít.
-Kết quả điều tra qua 150 bài kiểm tra một tiết môn hình học lớp 9 của
trường trung học phổ thông Định An trong năm học 2008-2009 cho thấy:
Giỏi Khá Trung bình Yếu kém
Điề u tra 150
SL % SL % SL % SL % SL %
bài kiể m tra
9 6% 18 12% 72 48% 31 20,5% 20 13.5%
-Kết quả điều tra qua 45 học sinh lớp 9 của trờng trung học phổ thông Định
An trong năm học 2008-2009 về thái độ đối với môn hình học cho thấ y:
Yêu thích môn học Bình thường Không thích học
Điề u tra
SL % SL % SL %
45 HS
9 20% 20 44,4% 11 35,6%
3.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
3.1 . Đố i với ho ̣c sinh :
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học môn hình học của học sinh
còn thấp; Khi nói đế n môn hı̀nh ho ̣c thı̀ ho ̣c sinh thường nga ̣i ho ̣c đặc biệt là
quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, quá trıǹ h
làm bài tâ ̣p đôi khi còn gă ̣p nhiề u bế tắ c, vẽ hıǹ h còn không đúng, không biế t
bắ t đầ u từ đâu, không biế t nhı̀n nhâ ̣n phân tı́ch hıǹ h vẽ để làm bài, quá trình
giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn, trı̀nh bày cẩu thả, tuỳ tiện. Đa số
ho ̣c sinh chı̉ làm những bài toán chứng minh hı̀nh ho ̣c đơn giản. Song thực tế
Trường THPT Định An Trang - 6 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
nô ̣i dung của bài toán hıǹ h thı̀ rấ t phong phú và có nhiều cách giải khác nhau.
Hơn nữa ho ̣c sinh khai thác và phát triển bài toán thı̀ rấ t ha ̣n chế , ngay cả
những ho ̣c sinh khá giỏi cũng rấ t lúng túng chưa biế t vâ ̣n du ̣ng linh hoa ̣t các
kiế n thức để giải bài toán hıǹ h ho ̣c .Vì thế, tỷ lệ học sinh yếu kém chưa được
giảm nhiều và tỷ lệ học sinh khá giỏi môn toán chưa cao.
3.2 Đối với giáo viên:
Phần lớn giáo viên chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy học
sinh giải toán. Còn nhiều giáo viên chưa cho học sinh thực sự làm toán mà
chủ yếu giải toán cho học sinh chép và chú ý đến số lượng hơn là chất lượng.
Trong quá trình dạy học sinh giải toán giáo viên ít quan tâm đến việc rèn
luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận. Thông thường giáo viên
thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó, không
những vậy mà nhiều giáo viên còn coi việc giải xong một bài toán là kết thúc
hoạt động, giáo viên chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho học
sinh có được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức
mà còn bổ xung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới
không thể có được.
4. KHÓ KHĂN LỚN NHẤT CỦ A HỌC SINH LÀ PHÂN TÍCH
BÀI TOÁN:
Khi học sinh suy luận hı̀nh học do khả năng còn ha ̣n chế dẫn đế n
viê ̣c xây dựng kế hoa ̣ch giải bài toán hình học gặp nhiều khó khăn:
Khi đã vẽ xong hình, việc tìm ra hướng giải bài toán là khó khăn nhất.
Thực tế cho thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân ở chỗ các
em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình
vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc huy động những kiến thức đã học để phục
vụ cho việc chứng minh còn hạn chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết
luận. Việc liên hệ các bài toán còn chưa tốt, khả năng phân tích, tổng hợp ...
Trường THPT Định An Trang - 7 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
của học sinh còn yếu. Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì
học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải.
Ngoài ra viê ̣c trı̀nh bày bài giải của học sinh còn thiế u chı́nh xác, chưa
khoa học, còn lủng củng, nhiề u khi đưa ra khẳ ng đi ̣nh còn thiế u căn cứ,
không chặt chẽ:
5. BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC:
Để giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn khi giải toán hình học, trước
hết thầy cô phải có phương pháp hướng dẫn các em hiểu thấu đáo và biết cách
phân tích một đề bài. Trên cơ sở đó giáo viên tìm cách giúp đỡ các em vận
dụng được những kiến thức đã học để tìm ra lời giải và có cách trình bày bài
toán của mình hoàn chỉnh và chặt chẽ. Thực tế cho thấy nhiều học sinh không
giải được bài tập hình học không phải các em không thuộc phần lý thuyết mà
do không biết vận dụng.
5.1. Sử du ̣ng phương pháp phân tı́ch đi lên để tım
̀ hướng làm bài:
Trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình trung học cơ
sở, giải bài tập hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp
giúp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu
quả nhất. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo
gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài
tập từ dễ đến khó thì tôi tin rằng sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và
kết quả sẽ cao hơn.
Vậy thế nào là phương pháp phân tích đi lên?
Có thể khái niệm rằng, đây là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn
đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài toán. Cách lập luận đó
không có gì xa lạ mà chính là các định nghĩa, định lý, các tính chất, các dấu
hiệu nhận biết đã được dạy và học. Nói cách khác, đây là phương pháp dùng
lập luận phân tích theo kiểu “thăng tiến”, biết cái này là do đã biết cái kia, biết
vấn đề A từ cơ sở của vấn đề B… Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình thực
Trường THPT Định An Trang - 8 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
hiện phương pháp này, học sinh phải trả lời cho được các câu hỏi theo dạng:
“để chứng minh(…) ta cần chứng minh (cần có) gì? Như vậy, muốn chứng
minh A không có nghĩa là ta đi chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc
chứng minh B thì ta đã chứng minh được A một cách gián tiếp theo kiểu đi
lên.
Thông thường, khi chứng minh một bài toán (A  B) ta phải suy xuôi
theo sơ đồ: A = A0  A1  A2  ...  An = B.
Sơ đồ phân tích đi lên (để tìm hướng chứng minh) có thể được khái quát
như sau: B = An  An-1  ...  A1  A0 = A.
Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, chúng tôi thấy phương pháp phân
tích đi lên luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của học sinh
(bao gồm tư duy phân tích và tư duy tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống
và nhớ được các kiến thức liên quan đã học trước đó. Trong quá trình giải bài
tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức
mình đã học mà có khi không nhớ hết.Có thể nói trong khi giải bài tập bằng
phương pháp phân tích đi lên thì việc lập được sơ đồ chứng minh là đã thành
công được một nửa, phần việc còn lại là bằng phương pháp tổng hợp sắp xếp
các bước theo một trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn cứ, luận
chứng .
Ví dụ1: Bài 13( SGK Toán 9 tập I – Trang 106)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt
nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung
điểm của AB và CD. chứng minh rằng:
a, EH = EK b, EA = EC.
Để hướng dẫn học sinh giải bài toán này giáo viên có thể hướng dẫn học
sinh theo sơ đồ chứng minh như sau:
Trường THPT Định An Trang - 9 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
Giải:
(O); A, B, C, D  (O)
GT AB = CD
AB  CD = E
Hinh 5
AH = HB; CK = KD
KL a, EH = EK
b, EA = EC
Lập sơ đồ chứng minh chứng minh:
a, chứng minh:EH = EK a, Kẻ OH, OK
 Ta có: AH = HB (gt)
Δ OEH = Δ OEK CK = KD (gt)
 nên OH  AB; OK  CD
(Đ. lý 3 – quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
OHE  OKE  900 OH=OK OE chung
Vì AB = CD (gt) nên OH = OK

(Đ. lý liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
AB = CD (gt)
Xét Δ OEK và Δ OEK có:
OHE  OKE  900 ( c/m trên)
OH = OK ( c/m trên)
OE cạnh chung
 Δ OEH = Δ OEK (cạnh huyền –
cạnh góc vuông )
 EH = EK ( 2 cạnh tương ứng)
(đpcm)
Trường THPT Định An Trang - 10 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
b, chứng minh: EA = EC b,Vì AB = CD (gt)
 AB
Mà AH = HB (gt)  AH =
2
AH + EH = CK + EK
CD
 CK = KD (gt)  CK =
2
AH=CK và EH = EK(c/m ở phần a)
 AH=CK (1)

Mặt khác: EH = EK(c/m ở a) (2)
AB=CD(gt) , AH=1/2AB(gt)
CK=1/2CD(gt) Cộng vế với vế của (1) và (2)
 AH + EH = CK + EK
 EA = EC (đpcm)
Ví dụ 2: Bài 30 (SGK Toán 9 tập I – Trang 116)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một
đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các
tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp
tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh
rằng:
a, COD  900
b, CD = AC + BD
c, Tích AC. BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Giải:
(O; AB/2);
GT Ax  AB  A
By  AB  B
Hinh 6
M  (O; AB/2)
Trường THPT Định An Trang - 11 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
OM  CD  M
CD  Ax = C 
CD  By = D
KL a, COD  900
b, CD = AC + BD
c,AC.BD = k/đ khi M di chuyển trên
AB
Lập sơ đồ chứng minh Chứng minh
a, chứng minh: COD  900 a, CD  Ax = C
  Oˆ 2  Oˆ 1 (tính chất 2 tiếp tuyến
OC  OD cắt nhau)
 Tương tự: CD  By = D
Oˆ 2  Oˆ 3 = 900  Oˆ 3  Oˆ 4 (tính chất 2 tiếp tuyến
cắt nhau)

Oˆ 1  Oˆ 2  Oˆ 3  Oˆ 4  2(Oˆ 2  Oˆ 3 )  180 0
Oˆ 2  Oˆ1 ; Oˆ 3  Oˆ 4
 Oˆ  Oˆ  90 0
2 3

Hay COD  900
AC, DC là các tiếp tuyến
BD, DC là các tiếp tuyến.
b, chứng minh:CD = AC + BD b)Vì CA, CM là 2 tiếp tuyến của
 (O; AB/2) cắt nhau tại C (gt)
CD = CM + DM  CM = AC (1)
 Vì DB, DM là 2 tiếp tuyến của
CM = AC; DM = DB (O; AB/2) cắt nhau tại D (gt)
Trường THPT Định An Trang - 12 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
  DM = DB (2)
CA, CM là 2 tiếp tuyến của Mà CD = CM + DM (3)
(O; AB/2) cắt nhau tại C (gt) Từ (1), (2) và (3)
DB, DM là 2 tiếp tuyến của  CD = AC + BD (đpcm)
(O; AB/2) cắt nhau tại D (gt)
c)chứng minh:AC.BD không đổi c) Δ COD vuông tại O(c/mởphần a)
 OM  CD (gt)
CM.MD K/Đ  CM. MD = OM2 = (AB/2)2
(do AC = CM; BD = MD)  CM.MD không đổi.
 Mà CM = CA (c/m phần b)
CM. MD = OM2 = (AB/2)2 MD = BD (c/m phần b)
  CM.MD = AC.BD = không đổi
Δ COD vuông tại O (c/m ở phần a)  AC.BD = không đổi
OM  CD (gt) Vậy, tích AC.BD không đổi khi
điểm M di chuyển trên nửa đường
tròn đường kính AB.(đpcm)
Chú ý: Có nhiều cách để lập sơ đồ chứng minh một bài toán hình, do đó có
nhiều cách để trình bày lời giải một bài toán hình. Ở nội dung đề tài này chỉ
trình bày một cách.
5.2.Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ chứng minh:
Ví dụ 3: (Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính
AB = 2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ
2
tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A),
CE cắt By ở D.
Trường THPT Định An Trang - 13 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
1. Chứng minh COD  1V ; Từ đó suy ra CE.ED = R2
2. Chứng minh  AEB và  COD đồng dạng.
3.Vẽ đường tròn tâm I, đường kính CD. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến
của (I).
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ phân tích cho từng câu của bài
toán đi từ kết luận  giả thiết; học sinh tự chứng minh ngược lại. Hệ thống
câu hỏi nêu vấn đề từ dưới lên.
1.Chứng minh: COD  1V ; Từ đó suy ra CE.ED =R2
Câu hỏi gợi ý: Sơ đồ:
Hỏi: Đoạn thẳng nào có độ dài bằng R và CE.ED = R2
có liên hệ với CE, ED ?

CE.ED = OE2
Hỏi: Áp dụng hệ thức lượng trong

 vCOD với OE là đường cao.
 COD vuông ( COD  1V )
Hỏi: Ch/minh COD  1V , ta chứng minh
điều gì ? ( C1  D1  1V ). 
Hỏi: Góc C1 , D1 liên hệ với các góc nào ?  COD có C1  D1  1V
( DCA và BDC ) 
 1
C1  2 DCA

Hỏi:Tổng hai góc DCA và BDC là bao D1  1 BDC
 2
nhiêu ? Vì sao ?
Hỏi: Vận dụng yếu tố nào của đề bài để 
tìm C1 , D1 ? ( DCA  BDC  2V )
2. Chứng minh  AEB ~  COD :
Trước hết cho học sinh nhận xét hình vẽ.
Câu hỏi gợi ý: Sơ đồ:
Trường THPT Định An Trang - 14 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
 AEB ~  COD

Hỏi:Hai tam giác cần chứng minh đồng  AEB vuông (vì AEB = 1V)
dạng là tam giác gì ? Vì sao?
 COD vuông (cmt)

Hỏi:Cần có thêm điều kiện nào để đồng
B1  D1
dạng ?

Hỏi:Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến
cắt nhau ta có D1  D 2 ; Vậy phải ch/minh B1  D 2 (t/ư vuông góc)

D1  D 2 ( t/c t/tuyến)
B1  D2 bằng cách nào? (góc có cạnh
tương ứng vuông góc) 
DB  AB và DO  EB
(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )
3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (I) :
Câu hỏi gợi ý: Sơ đồ:
Hỏi:Muốn chứng minh AB là tiếp tuyến AB là tiếp tuyến của (I)
của (I) ta phải chứng minh điều gì ? (định

lý đảo)
AB  IO tại O  (I)
Hỏi:AC  AB, BD  AB, vậy để IO  AB

thì phải thoả điều kiện gì ?
OI // AC // BD

OA  OB
Hỏi:Vậy OI là đường gì của hình thang

vuông ABDC ?
OI là đường trung bình
của hình thang vuông ABDC
Hỏi:Yếu tố nào của đề bài giúp ta chứng
minh IO là đường trung bình của hình 
Trường THPT Định An Trang - 15 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
thang vuông ABDC?  IC  ID
 (giả thiết)
OA  OB
5.3. Giáo viên soạn bài hướng dẫn học sinh giải
Ví dụ 4: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và
(O’)cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với
AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C
và D. Lấy điểm M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng
Hinh 8
MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P.
a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.
c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O’). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?
Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán này giáo viên có thể soạn giáo án theo
cấu trúc sau:
Câu hỏi hướng dẫn Lập sơ đồ chứng minh: Chứng minh:
a) ΔAMN là tam giác gì? a) ΔAMN là tam giác gì?
tại sao? tại sao?
- HS dự đoán thông qua 1
AMB  sdAmB
2
-Chứng minh quan sát: (ΔAMN cân tại A)
(Gócnộitiếp)(1)
ΔAMN cân bằng Chứng minh: ΔAMN cân
1
cách nào? ANB  sdAnB (Gócnội tiếp)
tại A 2
 (2)
(O) bằng (O’) nên ta có:
AMB  ANB
-Chứng minh như AmB  AnB (3)

thế nào để có Từ (1), (2) và (3)
1
AMB  sdAmB
AMB  ANB ? 2
 AMB  ANB 
Trường THPT Định An Trang - 16 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
và ANB  1 sdAnB và AmB  AnB ΔAMNcân tại A.
2
( Hai góc nội tiếp cùng chắn một
cung của hai đường tròn bằng
nhau).
-Để chứng minh b) Chứng minh tứ giác
b) Chứng minh tứ giác
tứ giác ACPD nội ACPD nội tiếp
ACPD nội tiếp
tiếp cần chứng 
ΔAMN cân tại A
minh điều gì ?
ACP  ADP  1800
 AM = AN
-Góc ADP cộng

với góc nào bằng  AM  AN  ACP  ADN
1800 ? ta cần ACP  ADP  ADN  ADP  1800
(kề bù) ( Góc nội tiếp chắn hai cung
chứng minh điều bằng nhau)

gì ? 
ACP  ADN (Góc nội tiếp chắn ACP  ADP  ADN  ADP  1800
-Muốn chứng
hai cung bằng nhau) (kề bù)  ACP  ADP  1800
minh ACP  ADN
 tứ giác ACPD nội tiếp.
cần chứng minh 
được điều gì ? AM  AN
-Muốn chứng 
minh AM  AN
AM = AN
cần chứng minh

được điều gì ?
ΔAMN cân tại A
-Chứng minh AM
= AN bằng cách
nào ?
c. Tứ giác BCPQ là hình gì? c. Tứ giác BCPQ là hình
-Để chứng minh tại sao? gì? tại sao?
tứ giác BCPQ là Tứ giác ACPD nội tiếp
Trường THPT Định An Trang - 17 - GV: Phương Tập Đoàn
Skkn: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải Hình học 9
hình thang cần HS dự đoán ( BCPQ là hình 1
 APC  ADC (= sđ AC )
2
chứng minh được thang )
(4)
điều gì ? Để chứng minh BCPQ là
Mặt khác lại có:
-Muốn chứng hình thang
minh BQ // CP 1
 AQB  ADC (= sđ AmB )
2
cần chứng minh
BQ // CP (5)
được điều gì ?
 Từ (4) và (5)
-Sử dụng phương
pháp nào để  AQB  APC ( ở vị trí đồng
chứng minh AQB  APC (ở vị trí đồng vị ) vị )
AQB  APC ?  BQ // CP
-Sử dụng phương  Tứ giác BCPQ là hình

pháp nào để chứng
thang.
minh AQB  ADC ? AQB  ADC và APC  ADC
-Sử dụng phương  
pháp nào để 1 1
(= sđ AmB ) (= sđ AC )
2 2
chứng
minh APC  ADC ? 
(Tứ giác ACPD nội tiếp )
Sau khi giải xong giáo viên cho học sinh nhắc lại yêu cầu từng phần cách
chứng minh mục đích:
* Củng cố kiến thức:
+ Trong hai đường tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì hai cung bằng
nhau.
+ Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Củng cố phương pháp:
Trường THPT Định An Trang - 18 - GV: Phương Tập Đoàn