Skkn phương pháp giải một số dạng toán cơ bản trên máy tính cầm tay cấp thcs nhằm trợ giúp cho giáo viên và học sinh trong sinh hoạt câu lạc bộ của tổ chuyên môn, công tác dạy học, bồi dưỡng học copy

  • 33 trang
  • file .pdf
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
PHOØNG GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO TP. PLEIKU
TEÂN ÑEÀ TAØI:
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN
TREÂN MAÙY TÍNH CAÀM TAY CAÁP THCS – NHAÈM TRÔÏ
GIUÙP CHO GIAÙO VIEÂN VAØ HOÏC SINH TRONG: SINH
HOAÏT CAÂU LAÏC BOÄ CUÛA TOÅ CHUYEÂN MOÂN, COÂNG TAÙC
DẠY- HỌC, BOÀI DÖÔÕNG HOÏC SINH GIOÛI.
NAÊM HOÏC 2009-2010
1
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN TREÂN
MAÙY TÍNH CAÀM TAY CAÁP THCS – NHAÈM TRÔÏ GIUÙP CHO GIAÙO VIEÂN
VAØ HOÏC SINH TRONG: SINH HOAÏT CAÂU LAÏC BOÄ CUÛA TOÅ CHUYEÂN
MOÂN, COÂNG TAÙC DẠY - HỌC , BOÀI DÖÔÕNG HOÏC SINH GIOÛI.
A. ÑAËT VAÁN ÑEÀ:
Trong nhöõng naêm qua, toå Toaùn Lyù cuûa tröôøng toâi chöa coù nhöõng keát quaû toát
trong coâng taùc boài döôõng hoïc sinh gioûi, neáu coù thì chæ moät vaøi em ñaït ôû moân vaät lyù
9 caáp thaønh phoá, song cuõng khoâng ñöôïc lieân tuïc (naêm thì coù, naêm thì khoâng).
Ñeå khaéc phuïc khoù khaên naøy, toå Toaùn Lyù chuùng toâi ñaõ xaây döïng caâu laïc boä:
Toaùn, Vaät lyù vaø Giaûi toaùn treân maùy tính caàm tay, sinh hoaït ñeàu ñaën haøng thaùng (theå
hieän treân baûn tin cuûa toå); nhaèm taïo cho caùc em coù saân chôi boå ích, kích thích söï
höùng thuù vaø nieàm say meâ hoïc caùc boä moân naøy.
Ñeå thuaän lôïi cho giaùo vieân ra caùc ñeà thi noùi chung vaø ñeà thi giaûi toaùn treân
maùy tính caàm tay noùi rieâng (treân baûn tin) cuøng vieäc hoïc sinh giaûi caùc ñeà thi sao cho
ñaït keát quaû toát, noäp baøi ñuùng ñònh kyø haøng thaùng thì vieäc coù taøi lieäu tham khaûo ñeå
nghieân cöùu laø heát söùc caàn thieát.
Maët khaùc, trong quaù trình daïy hoïc boä moân toaùn THCS, toâi thaáy vieäc söû duïng
giaûi toaùn treân maùy tính caàm tay thuaän lôïi cho coâng taùc daïy& hoïc raát nhieàu. Ñieàu
naøy ñaõ ñöôïc khaúng ñònh ñuùng ñaén thoâng qua “HÖÔÙNG DAÃN THÖÏC HAØNH TOAÙN
TREÂN MAÙY TÍNH ÑIEÄN TÖÛ BOÛ TUÙI TRONG TRÖÔØNG THCS VAØ THPT” (cuûa
Boä GD&ÑT). Nhaèm muïc ñích sau: “Söû duïng maùy tính ñieän töû laøm phöông tieän
thöïc haønh toaùn hoïc phoå thoâng goùp phaàn ñoåi môùi phöông phaùp daïy vaø hoïc, reøn
luyeän kyõ naêng thöïc haønh tính toaùn”
Vì theá, qua nhöõng năm tìm toøi, hoïc hoûi töø ñoàng nghieäp, töø caùc phöông phaùp
giaûi toaùn treân maïng Internet, töø ñeà thi caùc naêm vaø cuøng caùc taøi lieäu khaùc, toâi taäp
hôïp laïi thaønh taøi lieäu phuïc vuï cho giaùo vieân vaø hoïc sinh tröôøng toâi trong sinh hoaït
caâu laïc boä; trong coâng taùc daïy- hoïc vaø boài döôõng hoïc sinh gioûi giaûi toaùn treân maùy
tính caàm tay.
Vôùi yù töôûng nhö treân toâi xin maïn pheùp ñöôïc ñaët teân ñeà taøi: “phöông phaùp
giaûi moät soá daïng toaùn cô baûn treân maùy tính caàm tay caáp THCS – nhaèm trôï giuùp
cho giaùo vieân vaø hoïc sinh trong sinh hoaït caâu laïc boä cuûa toå chuyeân moân, trong
coâng taùc daïy- hoïc vaø boài döôõng hoïc sinh gioûi”
B. GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ:
I. CÔ SÔÛ LYÙ LUAÄN:
2
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
Ñeå coù nguoàn hoïc sinh gioûi, thì coâng taùc boài döôõng phaûi mang tính thöôøng
xuyeân vaø lieân tuïc, song nhöõng noã löïc coá gaéng cuûa thaày maø khoâng coù söï say meâ hoïc
taäp cuûa troø laø moät thaát baïi.
Vì theá, ñeå taïo cho hoïc sinh coù nguoàn höùng thuù vaø nieàm say meâ hoïc boä moân
thì vieäc toå chöùc ra moät saân chôi laø ñeàu boå ích, lyù thuù vaø phuø hôïp. Caùc em vöøa ñöôïc
hoïc taäp, thi thoá taøi naêng vôùi nhau theo töøng thaùng, vaø ñeå nhaän ra nhöõng khieám
khuyeát cuûa mình, boå sung kòp thôøi caùc kieán thöùc cho baûn thaân.
Tuy vaäy, hoïc sinh tham gia vaøo saân chôi maø khoâng coù naêng löïc vaø voán kieán
thöùc thì ai maø daùm? Giaùo vieân ra ñeà thi maø khoâng coù kieán thöùc hôn haún hoïc sinh
thì laøm sao daùm ra ñeà? Vì theá taøi lieäu tham khaûo phuïc vuï cho giaùo vieân vaø hoïc sinh
laø khoâng theå thieáu!
Maët khaùc trong chöông trình saùch giaùo khoa Toaùn coù löôïng baøi taäp nhieàu vaø
coù raát nhieàu baøi taäp caàn phaûi söû duïng ñeán maùy tính boû tuùi (nhö tính caên baäc hai soá
hoïc cuûa moät soá, tính soá ño goùc khi bieát tyû soá löôïng giaùc…). Trong khi caùc thuaät toaùn
ñeå giaûi moät soá daïng toaùn khoâng ñöôïc trình baøy ñaày ñuû trong saùch giaùo khoa, coøn
caùc noäi dung veà söû duïng maùy tính ñieän töû boû tuùi thöôøng chæ ñöôïc trình baøy ôû phaàn
“Baøi ñoïc theâm”, vaø ñöôïc trình baøy theo caùch söû duïng maùy tính CASIO fx-220 hoaëc
maùy SHARP TK - 340. Thöïc teá hieän nay, ña soá caùc em hoïc sinh tröôøng toâi khoâng
coøn söû duïng maùy tính CASIO fx-220 hoaëc maùy SHARP TK – 340 nhö SGK trình
baøy maø ña soá caùc em thöôøng söû duïng caùc maùy tính CASIO fx-500MS, CASIO fx-
570MS, CASIO fx-570ES.
Vì vaäy, vaán ñeà ñaët ra laø laøm theá naøo ñeå giaùo vieân vaø hoïc sinh söû duïng thaønh
thaïo maùy tính boû tuùi trong coâng taùc daïy – hoïc; khai thaùc ñöôïc nhieàu tính naêng cuûa
chieác maùy tính boû tuùi trong vieäc giaûi caùc baøi toaùn ñôn giaûn, caùc baøi toaùn coù thuaät
toaùn, caùc baøi toaùn coù qui luaät nhö daõy soá, chuoãi ….laø ñieàu caàn giaûi quyeát.
Vôùi suy nghó treân, toâi ñaõ tìm toøi, hoïc hoûi vaø toång hôïp moät soá phöông phaùp
giaûi toaùn treân maùy tính caàm tay (duøng treân caùc maùy tính CASIO fx-500MS, CASIO
fx-570MS, CASIO fx-570ES); coù theå duøng cho caû giaùo vieân vaø hoïc sinh trong coâng
taùc boài döôõng hoïc sinh gioûi “giaûi toaùn treân maùy tính caàm tay” vaø trong sinh hoaït
caâu laïc boä cuûa toå chuyeân moân, keå caû coâng taùc daïy-hoïc toaùn THCS.
II. CAÙCH GIAÛI MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN THÖÔØNG GAËP
DAÏNG 1: TÍNH GIAÙ TRÒ BIEÅU THÖÙC SOÁ
Ñaây laø daïng toaùn cô baûn vaø deã nhaát, ta chæ vieäc nhaäp vaøo maùy ñuùng nhö
yeâu caàu ñeà, aán = ñeå ra ñaùp soá (chuù yù ghi keát quaû gaàn ñuùng chæ khi ñeà baøi yeâu
caàu, neáu khoâng phaûi ghi chính xaùc soá)
3
Baøi taäp
1Tính giaù trò bieåu thöùc (laøm troøn ñeán chöõ soá 10)
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
4   2  4
0.8 :   1.25  1.08   :
5   25  7 4
g, G =  (1.2  0.5) :
1  5 1 2 5
0.64  6  3   2
25  9 4  17
LG
aán ( 0 , 8 : ( 4  1 , 25 )) : 0 , 64  1 ) = SHIFT STO A
5 25
2 4 5 1 2
AÂn tieáp ((1,08 ) : ) : (6 3 ) : 2 = SHIFT STO B
25 7 9 4 17
4
aán tieáp 1,2.0,5: = + ALPHA A + ALPHA B =
5
KQ: 2,333333333333
847 3 847
h, H = 3 6  6
27 27
LG (Baøi 1 ñeà soá 7; trang 200 “Moät soá daïng toaùn thi hoïc sinh gioûi)
b/c b/c
Shift 3 (6+ 827 a 27) +Shift 3 ( 6- 84 a 27)= (3.)
 1 3   3 1   3 1  
   :   .   
 2 4   7 3   7 5  
i, I =
 7 3   2 3   5 3  
  .   :    
 8 5   9 5   6 4  
LG (Baøi 1 ñeà soá 1; trang 151 Moät soá daïng toaùn thi hoïc sinh gioûi)
a b / c 2 +3 a b / c 4 =  (( 3 a b / c 7 - 1 a b / c 3)(3 a b / c 7 +4 a b / c 5))
=(10  235  344) (7a b/c
8 +3 a
b/c
5)  (( 2 a b/c
9 +3 a
b/c
5) 
b/c b/c
(5 a 6 -3 a 4)) =( 0,734068222 )
Chuù yù: Nhoùm töû soá vaøo moät caëp ngoaëc, maãu soá vaøo moät caëp ngoaëc ñoái vôùi nhau
nhöõng phaân soá coù töû vaø maãu laø moät bieåu thöùc soá coù caùc pheùp toaùn)
2. Tính giaù trò bieåu thöùc chính xaùc ñeán 0,01
4
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
1,25(3,752  4,152 ) 15,252.6,452
a, b,
5,34.7,05 22,15(2,232  3,452 )
Quy trình aán phím nhö sau:
aán MODE nhieàu laàn ñeán khi maøn hình xuaát hieän Fix Sci Norm. aán tieáp 1
aán tieáp 2 (keát quaû laøm troøn ñeán chuõ soá thaäp phaân thöù 2)
a, aán tieáp 1,25(3,75x2 +4,15x2):5,35:7,05= KQ: 1,04
b, Töông töï ta ñöôïc KQ: 166,95
3. Thöïc hieän pheùp tính (tính chính xaùc ñeán 0,0001)
a, 3 + 3 3 3 3 b, 5 +7 5  7 5  7 5  7 5
LG: a, aán phím MODE nhieàu laàn ñeán khi xuaát hieän Fix Sci Norm
aán tieáp 3 + 3  3  3  3 =
Kq: 5,2967
b, aán phím MODE nhieàu laàn ñeán khi xuaát hieän Fix Sci Norm
aán tieáp 5 +7 5  7 5  7 5  7 5 =
Kq: 53,2293
2 3 6 216  1
c,   .
 8 2 3  6
KQ : -1.5
 14  7 15  5  1
d,   :
 1 2 1  3  7  5
KQ: -2
4. Tính giaù trò bieåu thöùc sau:
3
2  3  4 4  ....  8 8  9 9
5
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
1 , 345 4 . 3 ,143 2 , 3
7
189 , 3 5
5. Tính giaù trò bieåu thöùc laáy keát quaû vôùi hai chöõ soá thaäp phaân:
N= 521973  491965  1371954  6041975  1122007
ÑS: N= 722,96
6) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc laáy keát quaû vôùi 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân
N  321930  291945  2171954  3041975
ÑS : N = 567,87
DAÏNG 2: CAÙCH TÌM DÖ SOÁ TRONG PHEÙP CHIA
I.Quy taéc: Soá dö cuûa pheùp chia A cho B baèng: A- B  phaàn nguyeân cuûa (A:B)
Ví duï: tìm soá dö cuûa pheùp chia 517 cho 21
Ghi vaøo maøn hình 517: 21 aán =, maùy hieän ra: 24,61904762
Ñöa con troû leân bieåu thöùc söûa thaønh: 517-21  24 vaø aán =
KQ: soá dö 13
BAØI TAÄP: Tìm soá dö trong caùc pheùp chia sau:
a) 37592004 chia cho 4502005 kq: 1575964
b) 143964 chia cho 32147 kq: 15358
c) 11031972 chia cho 101972 kq: 18996
d) 18901969 chia cho 1512005 kq: 757909
II. Khi ñeà cho soá lôùn hôn 10 chöõ soá ta laøm nhö sau:
Caét ra thaønh nhoùm ñaàu 9 chöõ soá (keå töø beân traùi) tìm soá dö nhö ôû phaàn a.
Vieát lieân tieáp sau soá dö coøn laïi toái ña 9 chöõ soá roài tìm dö laàn thöù 2, neáu
coøn nöõa thì cöù tính lieân tieáp nhö vaäy
Ví duï:
Tìm soá dö cuûa pheùp chia 2345678901234 cho 4567
Ta caét ra 9 chöõ soá ñaàu tieân laø: 234567890 roài chia cho 4567 ñöôïc dö laø 2203
Laáy 4 chöõ soá coøn laïi laø 1234 ñieàn tieáp vaøo sau 2203 ta ñöôïc chöõ soá 22031234
Tìm soá dö cuûa 2203123 cho 4567 ñöôïc keát quaû 26
Vaäy soá dö cuûa pheùp chia 2345678901234 cho 4567 laø 26
BAØI TAÄP:
6
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
1) Tìm soá dö r khi chia soá: 24728303034986074 cho 2003. Kq: r= 401
2) Tìm soá dö r khi chia soá:2212194522121975 cho 2005. Kq: r= 1095
3) Tìm soá dö r khi chia soá: 9876543210123456789 cho 123. Kq: r= 81
4) Tìm soá dö r khi chia soá: 98765432101234567 cho 12345. Kq: r= 4222
III. Tröôøng hôïp soá dö cuûa soá bò chia ñöôïc cho baèng daïng luõy thöøa quaù
lôùn thì ta duøng pheùp ñoàng dö thöùc theo moät soá tính chaát sau:
1) a  0 ( mod m)  a chia heát cho b
2) a  b ( mod m) vaø b  c ( mod m) suy ra: a  c ( mod m)
3) Coäng cuøng chieàu:
a) a1  b1 ( mod m)
a2  b2 ( mod m)
Suy ra: a1+ a2  b1+ b2 ( mod m)
b) a  b ( mod m)  a  c  b  c ( mod m)
c) a  b ( mod m)  a+ km  b ( mod m)
4) Nhaân cuøng chieàu:
a) a1  b1 ( mod m)
a2  b2 ( mod m)
Suy ra: a1. a2  b1. b2 ( mod m)
b) a  b ( mod m)  a. c  b .c ( mod m)
c) a  b ( mod m)  an  b n ( mod m)
5) Tröôøng hôïp m laø soá nguyeân toá:
a) m laø soá nguyeân toá vaø UCLN(a,m)=1 thì: am-1  1(mod m)
b) m laø soá nguyeân toá: (a+b)m  am + bm (mod m)
Ví duï1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia 202006 cho 11
Giaûi: Ta coù: 207  4 ( mod 11 )
Maø: 2006 = 7 x 286 + 4
7 286 286 2002 286
 (20 )  4 ( mod 11) hay 20  4 (mod 11)
Baây giôø ta phaûi tính soá dö cuûa 4286 khi chia cho 11.Ta thaáy 416 laø soá lôùn
nhaát chöa bò traøn neân ta baét ñaàu töø 416
416  4 ( nmod 11)  415  1 ( mod 11) {chia 2 veá cho 4}
{Ta tìm caùch ñua veà soá dö laø 1 bôûi luyõ thöøa cuûa 1 cuõng baèng chính noù, neân thuaän
lôïi hôn khi tính toaùn }
(415)19  119 ( mod 11)
428 428
4  1 ( mod 11)  4  4 ( mod 11)
2002 428
Vaäy 20  4 ( mod 11)  4 ( mod 11)
7
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
2002 + 4 4
 20  20 .4 (mod 11)  9 ( mod 11)
Vaäy soá dö khi chia 202006 cho 11 laø 9
Ví duï 2: Tìm soá dö cuûa pheùp chia cho .
Lôøi giaûi:
Vì laø soá nguyeân toá vaø .
Neân ta coù:
. Suy ra:
2002 6 6
5 .5  5 (mod2003)
. Suy ra:
.
Vaäy soá dö cuûa pheùp chia cho laø .
 Löu yù: Ñeå ñi tìm 1 hoaëc 2, hoaëc 3 … chöõ soá cuoái cuûa soá A, ta ñi tìm dö trong
pheùp chia cuûa soá A cho 10, 100,1000…
Ví duï 3: Tìm chöõ soá cuoái cuûa 172006
Giaûi: Ta coù: 172  (-1) (mod 10)  172006  -1 (mod 10)  9 (mod 10)
Vaäy chöõ soá haøng ñôn vò cuûa 172006 laø 9
Ví duï4: Tìm chöõ soá haøng chuïc cuûa 13200
Giaûi: 138 khoâng traøn maøn hình neân ta coù:
138  21 ( mod 100)
Vì 200 = 8 x 25 neân 13200  2125(mod 100)
Ta thaáy: 215  1 ( mod 100) neân 2125  1 ( mod 100)
Vaäy 13200  2125  1 ( mod 100)
Vaäy chöõ soá haøng chuïc cuûa 13200 laø soá 0
BAØI TAÄP:
1) Tìm soá dö trong pheùp chia: 2004376 cho 1975 Kq: 246
2) Tìm soá dö trong pheùp chia:17659427cho 293 Kq:52
3) Tìm soá dö trong pheùp chia: 23 2005 cho 100 Kq:43
4) Tìm hai chöõ soá cuoái cuûa 232005 Kq:43
5) Tìm chöõ soá haøng ñôn vò cuûa 72005 Kq: 7
6) Tìm hai chöõ soá cuoái cuøng cuûa toång:
A= 22000+22001+22002 Kq: 32
7) Tìm hai chöõ soá cuoái cuøng cuûa toång:
B=22000+22001+22002+22003+22004+22005+22006 Kq:52
8
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
8) Chöùng minh raèng: 22225555+ 55552222  7
DAÏNG 3: CAÙCH TÍNH TÍCH HAI SOÁ LÔÙN KHI TRAØN MAØN HÌNH
Ta Xeùt ñeán moät pheùp tính phöùc taïp:
Tính: 12345678x7654321=94497782374638
Nhöng thöïc ra treân maøn hình chæ hieän ra keát quaû:
=9.449778237x103 (traøn maøn hình). Ta bieát keát quaû coù 14 chöõ soá
Muoán tính chính xaùc keát quaû naøy, ta coù theå laøm nhö sau:
Caùch 1: xoùa bôùt chöõ soá 1 ôû thöøa soá thöù nhaát vaø xoùa bôùt chöõ soá 7 ôû thöøa soá thöù hai
roài nhaân laïi: 2345678x654321=1.534826375x1012
Taïm ñoïc keát quaû: 9.4497782375x1012
Tieáp tuïc xoùa chöõ soá 2 ôû thöøa soá thöù nhaát vaø chöõ soá 6 ôû thöøa soá thöù hai roài nhaân laïi:
345678x54321=1.877757464x1010
Taïm ñoïc keát quaû: 9.449778237464x1010
Tieáp tuïc xoùa chöõ soá 3 ôû thöøa soá thöù nhaát roài nhaân laïi:
45678x54321=2481274638
Keát quaû: 12345678x7654321=94497782374638
Caùch 2: Duøng pheùp nhaân ñôn thöùc cho ña thöùc:
12345678x7654321=12345678x(7650000+4320+1)=12345678.(765x104+4320+1)
=9444443670x104+53333328960+12345678
Ñaët pheùp toaùn treân giaáy vaø tính:
94 444 436 700 000
+ 53 333 328 960
12 345 678
94 497 782 374 638
Baøi taäp: Tính tích: 8567899x 54787
Giaûi:
Caùch 1:
Ghi vaøo maøn hình: 8567899x 54787 vaø aán = ta thaáy keát quaû:
5.610148883x1012. Ta bieát keát quaû coù 13 chöõ soá hôn nöõa chöõ soá 3 cuoái chöa haún ñaõ
chính xaùc.
Ta xoùa bôùt chöõ soá 8 ôû thöøa soá thöù nhaát vaø xoùa bôùt chöõ soá 5ôû thöøa soá thöù hai roài
nhaân laïi: 567899x 4787 = 3.111348251x 1010
Taïm ñoïc keát quaû: 5. 61014888251x10 10
Ta laïi xoùa bôùt chöõ soá 5 ôû thöøa soá thöù nhaát roài nhaân laïi:
67899x 4787 = 3719982513
9
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
Keát quaû: 8567899x 54787= 5 610148882513
Lưu ý: Khi dung cách này phải cẩn thận xem chữ số bị xóa
có ở hàng gây ảnh hưởng đến các chữ số cuối cần tìm trong kết quả
không, nhất là sau chữ số bị xóa là các chữ số 0.
Caùch 2:
Duøng pheùp nhaân ñeå tính laïi A= 8567899 x 654787 = 5610148882513
Giaûi:
Ta coù: A= (8567 x 103 + 899) x (654 x 103 + 787)
8567 x 103 x 654 x 103 = 5 602 818 000 000
8567 x 103 x 787 = 6 742 229 000
3
899 x 654 x 10 = 587 946 000
899 x 787 = 707 513
A = 5 610 148 882 513
Baøi taäp:
1.Tính : Keát quaû ñuùng (khoâng sai soá ) cuûa caùc tích sau:
a) L =214365789.897654 kq: L =192426307959006
b) M =2222255555 x 2222266666 kq: M= 4938444443209829630
c) N =20032003 x 20042004 kq: N = 401481484254012
d) P =13032006 x 13032007 kq: P = 169833193416042
e) Q = 3333355555 x 3333377777 kq: Q= 1111133329876501235
DAÏNG 4: “TÌM BOÄI VAØ ÖÔÙC CUÛA MOÄT SOÁ”
1) Tìm öôùc cuûa moät soá m:
Phöông phaùp: Gaùn: A=0 roài nhaäp bieåu thöùc vaøo maùy: A= A+1: m  A
AÁn phím = nhieàu laàn, choïn caùc giaù trò A sao cho taïi caùc giaù trò
naøy, m  A coù thöông laø caùc soá nguyeân .
Ñoái vôùi maùy fx 500MS:
Gaùn: 0 shift sto A
Nhaäp: Alpha A Alpha = Alpha + 1 Alpha : m  Alpha A
AÁn nhieàu laàn daáu =
Ñoái vôùi maùy fx 570ES:
Nhaäp: Alpha A Alpha = Alpha + 1 Alpha : m  Alpha A
AÁn : Calc , maøn hình xuaát hieän: A?
AÁn : 0
AÁn nhieàu laàn daáu = 10
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
Ví duï: Tìm taát caû caùc öôùc cuûa 60
Giaûi: Gaùn A =0
Nhaäp vaøo maùy: A= A+1: 60  A
AÁn nhieàu laàn daáu =
Ta coù A = 1; 2;3; 4;5;6;10;12;15; 20;30; 60
Baøi taäp: ( coù theå lay baøi taäp trong SGK)
Tìm boäi cuûa moät soá n:
Phöông phaùp: Gaùn: A=0 roài nhaäp bieåu thöùc vaøo maùy:
m x A : A= A+1
AÁn phím = nhieàu laàn
Ñoái vôùi maùy fx 500MS:
Gaùn: 0 shift sto A
Nhaäp: m x Alpha A Alpha : Alpha A Alpha = Alpha + 1
AÁn nhieàu laàn daáu =
Ñoái vôùi maùy fx 570ES:
Nhaäp: m x Alpha A Alpha : Alpha A Alpha = Alpha + 1
AÁn : Calc , maøn hình xuaát hieän: A?
AÁn : 0
AÁn nhieàu laàn daáu =
Ví duï: Tìm taäp hôïp caùc boäi cuûa 5 nhoû hôn 60
Gaùn: A=0 roài nhaäp bieåu thöùc vaøo maùy:
5 x A : A= A+1
AÁn phím = nhieàu laàn
Ta coù: B = 0;5;10;15; 20; 25;30;35; 40; 45;50;55
Baøi taäp: ( Coù theå laáy trong SGK hoaëc STK)
2) Nhaän bieát moät soá soá nguyeân toá hay hôïp soá
Phöông phaùp:
Ñeå keát luaän soá a laø soá nguyeân toá ( a > 1), ta chæ caàn kieåm tra
raèng a khoâng chia heát cho moïi soá nguyeân toá maø bình phöông cuûa
caùc soá naøy khoâng vöôït quaù a
Vì neáu moät soá a laø hôïp soá thì noù phaûi coù öôùc nhoû hôn a
Caùch duøng maùy: (xeùt tröôøng hôïp a laø soá leû, vì a chaün vaø khaùc 2 thì
a laø hôïp soá) 11
Gaùn: A=3 roài nhaäp bieåu thöùc vaøo maùy: a  A : A= A+2
AÁn phím nhieàu laàn
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
=
Ví duï: chöùng toû 2003 laø soá nguyeân toá:
Giaûi: Ta thaáy 2003 khoâng chia heát cho 2
Gaùn: A=3 roài nhaäp bieåu thöùc vaøo maùy: 2003  A : A= A+2
AÁn phím = nhieàu laàn cho ñeán khi A=A+2 = 44 thì döøng (vì 2003  44.75488 ), ta
thaáy 2003  A, vaäy 2003 laø soá nguyeân toá.
Baøi taäp:
Baøi1: Tìm soá töï nhieân N= sao cho N chia heát cho 24
Baøi2: Tìm soá nhoû nhaát lôùn nhaát trong caùc soá coù daïng chia heát cho7
Baøi3: Chöùng toû caùc soá sau laø soá nguyeân toá: 97; 1493; 32303
Baøi 4: Coù bao nhieâu soá nguyeân toá beù hôn
Baøi 5:
a) Tìm öôùc nguyeân toá nhoû nhaát, lôùn nhaát cuûa
b)Tìm öôùc soá ngueân toá nhoû nhaát, lôùn nhaát cuûa soá:M= 18975 + 29815+35235
215
c) Tìm öôùc soá nguyeân toá nhoû nhaát cuûa 12 1
DAÏNG 5: TÌM ÖÔÙC CHUNG LÔÙN NHAÁT, BOÄI CHUNG NHOÛ NHAÁT
1) Tìm öôùc chung lôùn nhaát
Thuaät toaùn 1:
a c c
Côû sôû thuaät toaùn: Neáu  vaø phaân soá toái giaûn thì
b d d
ÖCLN(a,b) = a:c =b:d
Ví duï 1: Tìm ÖCLN(7752;5472)
(Qui trình vôùi maùy Casio Fx 500 MS)
17
AÁn: 7752 ab / c 5472  Ñaùp soá:
12
7752  17  Ñaùp soá: 456
Vaäy ÖCLN(7752;5472) = 456
(Qui trình vôùi maùy Casio Fx 570 ES)
12
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
17
AÁn: 7752  5472  Ñaùp soá:
12
7752  17  Ñaùp soá: 456
Vaäy ÖCLN(7752;5472) = 456
Thuaät toaùn 2:
Côû sôû thuaät toaùn: Giaû söû a = bq + r (r  0) thì ÖCLN(a,b) =
ÖCLN(b,r).
Thuaät toaùn: a = bq + r1 (0 < r1 < b)
b = r1q1 + r2 (0 < r2 < b)
r1 = r2q2 + r3 (0 < r3 < b)
……
rn-2 = rn-1qn-1 + rn (0 < rn < b)
rn-1 = rnqn (rn+1 = 0)
Thuaät toaùn keát thuùc khi soá dö rn+1 = 0.
Nhö vaäy:
ÖCLN(a,b) = ÖCLN(b,r1) = ÖCLN(r1,r2) = … = ÖCLN(rn-1,rn) = rn.
Ví duï 2: Tìm ÖCLN(7752;5472)
(Qui trình vôùi maùy Casio Fx 500 MS)
AÁn: 7752  5472  Kq: 1,416666667 (soá dö khaùc 0)
 1  x 5472  Kq: r1= 2280
5472  2280  Kq: 2,4 (soá dö khaùc 0)
 2  x 2280  Kq: r2= 912
2280  912  Kq: 2,5 (soá dö khaùc 0)
 2  x 912  kq: r3= 456
912  456  kq: 2 (soá dö baèng 0)
Vì 2 laø soá nguyeân (hay soá dö rn+1 = 0 trong thuaät toaùn) vaäy ÖCLN(7752;5472) =
456.
2. Tìm “Boäi chung nhoû nhaát” -
Côû sôû thuaät toaùn: Muoán tìm BCNN(a,b) ta söû duïng coâng thöùc
a c c
sau: a) Neáu  vaø phaân soá toái giaûn thìBCNN(a,b)=a.d=b.c
b d d
b)Neáu bieát ÖCLN(a,b)thì:
a.b
BCNN(a,b) 
ÖCLN(a,b)
13
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
Ví duï 1: Tìm BCNN(7752;5472)
(Qui trình vôùi maùy Casio Fx 500 MS)
17
AÁn: 7752 ab / c 5472  Kq:
12
7752 x 12  Kq: 93024
Vaäy BCNN(7752;5472) = 93024.
Ví duï 2: Tìm BCNN(7752;5472)
Ta ñaõ bieát ÖCLN(7752;5472)= 456 (ví duï 2 muïc tìm ÖCLN)
7752.5472 7752.5472
Vaäy: BCNN(7752;5472)   =93060
ÖCLN(7752;5472) 456
Baøi taäp:
1) Tìm ÖCLN vaø BCNN cuûa:
a. 86492 vaø1099684 (Kq: 12356 vaø 7697788)
b. 2419580247 vaø 3802197531 (Kq:345654321;26615382717)
c. 758994 vaø 3894 (Kq: 6 vaø 492587106)
d. 3022005 vaø b=7503021930 (Kq: 18 vaø677402660502)
 Chuù yù: Ta coù theå tìm ÖCLN vaø BCNN cuûa nhieàu hôn hai soá
baèng caùch aùp duïng ƯCLN (a;b;c) =
ƯCLN UCLN ( a; b ); c 
BCNN (a;b;c) = BCNN BCNN ( a; b ); c  v.v..
Baøi 2: Tìm ÖCLN vaø BCNN cuûa ba soá: A=1193984; B=157993; C=38743
Kq: D=ÖCLN(A,B)=583;ÖCLN(A,B,C)=ÖCLN(D,C)=53
A B
E  BCNN  A, B    323569664
UCLN ( A, B)
BCNN(A,B,C)=BCNN(E,C)=326.529.424.384
Baøi 3) Tìm ÖCLN vaø BCNN cuûa
a) 2419580247 vaø 3802197531 (Kq: 345654321, 26615382717)
b) 416745; 1389150 vaø 864360 (Kq: 15435 vaø 11668860)
Baøi 4: Tìm BCNN cuûa: 40096920; 9474372 vaø 51135438
(Kq: 21129734675796840)
DAÏNG 6: LIEÂN PHAÂN SOÁ:
Baøi toaùn: Cho a, b (a>b) laø hai soá töï nhieân. Duøng thuaät toaùn Ôclit
a a b 1
chia a cho b, phaân soá coù theå vieát döôùi daïng:  a0  0  a0 
b b b b
b0
Vì b0 laø phaàn dö cuûa a khi chia cho b neân b > b0. Laïi tieáp tuïc bieåu
b b 1
dieãn phaân soá  a1  1  a1 
b0 b0 b0
14
b1
Cöù tieáp tuïc quaù trình naøy seõ keát thuùc sau n böôùc vaø ta ñöôïc:
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
AÁn laàn löôït an 1  1 ab / c an  an2  1 ab / c Ans  ...a0  1 a b/ c Ans 
Qui trình aán maùy (fx-5700ES: Nhaäp vaøo maùy bieåu thöùc gioáng nhö bieåu thöùc ñaõ cho
(neáu bieåu thöùc ñôn giaûn nhö ví duï 1 sau:)
1
Ví duï 1: Tính giaù trò cuûa A  1 
1
2
1
3
2
- Giaûi -
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
23
AÁn caùc phím: 3  1 a b/ c 2  2  1 ab / c Ans  1  1 ab / c Ans  SHIFT ab / c ( )
16
15 1
Ví duï 2: Bieát  trong ñoù a vaø b laø caùc soá döông. Tính a,b?
17 1  1
1
a
b
-- Giaûi --
15 1 1 1 1
Ta coù:     . Vaäy a = 7, b = 2.
17 17 1  2 1  1 1  1
15 15 15 1
7
2 2
Ví duï 3: Tìm nghieäm cuûa phöông trình :
1 1 1
  x. (4  )
3 2 1
2 3 1
5 3 1
4 5 1
7 4 2
6 7
8 9
Giaûi:
1 1 1
Tính rieâng leõ töøng bieåu thöùc: ; ;4 
3 2 1
2 3 1
5 3 1
4 5 1
7 4 2
6 7
8 9
AÁn maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS):
1  (2  (3  (4  5  (6  7a b / c 8)  (52137)
1  (3  2  (5  3  (7  4a b / c 9)  181610
b/c
4  1  (1  1  (1  a b / c 2 )  ( 4  3  5 ) S H IF T a 23 / 5
Phöông trình ñaõ cho ñaõ trôû thaønh:
52 181 23 52 181 23
  x x(  ): .
137 610 5 137 610 5
Tính x treân maùy:
301
(52 ab/c 137-181 ab/c 610)  23 ab/c 5= 30116714 Kq: x  .
16714
15
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
Baøi taäp: (Coù theå tìm trong caùc ñeà thi “Giaûi toaùn treân maùy tính caàm tay caáp THCS
cuûa caùc naêm tröôùc)
DAÏNG 7: BIEÅU DIEÃN SOÁ THAÄP PHAÂN VOÂ HAÏN TUAÀN HOAØN SANG DAÏNG
PHAÂN SOÁ.
Nhaän xeùt: Duøng maùy tính boû tuùi ta tính ñöôïc
1 1 1
 0,(1);  0,(01);  0,(001); ...
9 99 999
Nhö vaäy vôùi caùc soá sau daáu phaåy laø chu kyø ta ñeàu coù theå vieát ñöôïc veà
31
daïng phaân soá coù maãu laø 9; 99; 999; …. Chaúng haïn nhö: 0,(31)  ;
99
541
0,(541)  ; ….
999
Ta coù theå söû duïng caùch sau:
a1 ...a n
0, (a1 ...a n ) 
9...9
n ,
a ...a
m, ( a1 ...a n )  m 1 n
9
...9
n
b1 ...bk a1 ...a n  b1 ...bk
0, b1 ...bk ( a1 ...a n )  .
9...
 ...0
9..0
n k
b ...b a ...a  b ...b
m, b1 ...bk (a1 ...a n )  m 1 k 1 n 1 k
9...
 ...0
9..0
n k
Ví duï 1: Ñoåi soá thaäp phaân 1,5(42) ra phaân soá.
15 1 42 15 42
Ta bieán ñoåi nhö sau: 1,5(42)  1,5  0,1.0,(42)   .  
10 10 99 10 990
509
Duøng maùy tính ñeå tính: 15 a b / c 10  42 a b / c 990  Ñaùp soá:
330
509
Vaäy 1,5(42) =
330
Ví duï 2: Ñöa veà daïng phaân soá:
a, 0.(5) b, 0.(123) c, 4.(35) d, 2.3(6) e, 2.45(736)
Lg:
16
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
5 123 35
a, 0.(5) = . b, 0.(123) = . c, 4.(35) = 4 +
9 999 99
45 736 245941
d, 2.3(6) e, 2.45(736) = 2+ + .=
100 99900 99900
Số chữ số 0 ứng với số chữ số
thập phân trước chu kì tuần hoàn
Số chữ số 9 ứng với số chữ số
Trong chu kì tuần hoàn.
Baøi taäp:
Baøi 1: Ñoåi sang daïng phaân soá:
1.25(75); 6.00(5); 123.456(789)
Baøi 2: Bieåu dieãn E thaønh daïng phaân soá toái giaûn:
E= 1,23507507507507507507….
Baøi 3: Xeùt caùc soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn:
E 1 = 0,29972997… vôùi chu kì laø (2997)
E 2 = 0,029972997… vôùi chu kì laø (2997)
E 3 = 0,0029972997… vôùi chu kì laø (2997)
3 3 3
Chöùng minh raèng: T = + + laø soá töï nhieân Kq: T = 1111  N
E1 E2 E3
DAÏNG 8: TOAÙN TAÊNG TRÖÔÛNG
Baøi toaùn môû ñaàu: Gôûi vaøo ngaân haøng soá tieàn laø a ñoàng, vôùi laõi
suaát haøng thaùng laø r% trong n thaùng. Tính caû voán laãn laõi A sau n
thaùng?
-- Giaûi --
Goïi A laø tieàn voán laãn laõi sau n thaùng ta coù:
Thaùng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Thaùng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
…………………
Thaùng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n
Vaäy A = a(1 + r)n (*)
17
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
Trong ñoù: a tieàn voán ban ñaàu, r laõi suaát (%) haøng thaùng, n soá thaùng,
A tieàn voán laãn laõi sau n thaùng.
Töø coâng thöùc (*) A = a(1 + a)n ta tính ñöôïc caùc ñaïi löôïng khaùc nhö
sau:
A
ln a(1  r) (1  r)n  1
a ; A
1) n  2) r  n  1 ; 3) A  ;
ln(1  r) a r
Ar
4) a 
(1  r) (1  r)n  1
(ln trong coâng thöùc 1 laø Loâgarit Neâpe, treân maùy fx-500 MS, fx-570 MS
vaø fx-570 ES phím ln aán tröïc tieáp)
Ví duï1: Moät soá tieàn 58.000.000 ñ göûi tieát kieäm theo laõi suaát 0,7% thaùng. Tính
caû voán laãn laõi sau 8 thaùng?
-- Giaûi --
Ta coù: A = 58000000(1 + 0,7%)8
Qui trình aán maùy (fx-500MS, fx-570 MS vaø fx-570 ES)
58000000 ( 1  . 007 ) ^ 8  Keát quaû: 61 328 699, 87
Ví duï2: Moät ngöôøi coù 58 000 000ñ muoán gôûi vaøo ngaân haøng ñeå ñöôïc 70 021
000ñ. Hoûi phaûi gôûi tieát kieäm bao laâu vôùi laõi suaát laø 0,7% thaùng?
-- Giaûi --
70021000
ln
Soá thaùng toái thieåu phaûi göûi laø: n  58000000
ln 1  0, 7% 
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
ln 70021000 ab/ c 58000000  ln ( 1  0 . 007 ) 
Keát quaû: 27,0015 thaùng
Vaäy toái thieåu phaûi göûi laø 27 thaùng.
70021000
Qui trình aán maùy fx-570ES: ln  ln ( 1  0 . 007 ) 
58000000
(Chuù yù: Neáu khoâng cho pheùp laøm troøn, thì öùng vôùi keát quaû treân soá thaùng toái thieåu laø
28 thaùng)
Ví duï 3: Soá tieàn 58 000 000ñ gôûi tieát kieäm trong 8 thaùng thì laõnh veà ñöôïc 61
329 000ñ. Tìm laõi suaát haøng thaùng?
-- Giaûi --
61329000
Laõi suaát haøng thaùng: r  8 1
58000000
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
18
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
8^ x 61329000 ab / c 58000000  1  SHIFT %  Kq: 0,7%
Ví duï4: Moãi thaùng göûi tieát kieäm 580 000ñ vôùi laõi suaát 0,7% thaùng. Hoûi sau 10
thaùng thì laõnh veà caû voán laãn laõi laø bao nhieâu?
--Giaûi--
Soá tieàn laõnh caû goác laãn laõi:
580000(1  0,007) (1  0, 007)10  1 580000.1, 007. 1, 00710  1
A 
0, 007 0, 007
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
580000  1 . 007 ( 1 . 007 ^ 10  1 )   . 007 
Keát quaû: 6028055,598
Ví duï 5: Muoán coù 100 000 000ñ sau 10 thaùng thì phaûi göûi quyõ tieát kieäm laø bao
nhieâu moãi thaùng. Vôùi laõi suaát göûi laø 0,6%?
-- Giaûi --
100000000.0, 006 100000000.0, 006
Soá tieàn göûi haøng thaùng: a  
1  0, 006  1  0, 006   1 1, 006 1, 006  1
10 10
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
100000000  1 . 006  ( 1 . 006 ( 1 . 006 ^ 10  1 ) ) 
Keát quaû: 9674911,478
Baøi taâp:
Baøi 1: Moät ngöôøi gôûi vaøo ngaân haøng 7822 USD vôùi laõi suaát haøng naêm laø
4,8%.Hoûi sau 1 naêm, 2 naêm, 5 naêm ngöôøi ñoù coù bao nhieâu tieàn,Bieát raèng haèng naêm
khoâng ruùt laõi ra
Baøi 2: Moät ngöôøi göûi vaøo ngaân haøng soá tieàn laø 2.000.000ñ vôùi laõi suaát
0,8%/thaùng. Bieát raèng ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn laõi ra. Hoûi sau 45 thaùng, ngöôøi aáy
thu veà bao nhieâu tieàn caû goác laãn laõi? Ñ/s: 2862555ñ
Baøi 3: Moät ngöôøi haøng thaùng göûi vaøo ngaân haøng 100000 vôùi laõi suaát haøng
thaùng 0,8%.Hoûi cuoái 40 thaùng ngöôøi aáy nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goác laãn laõi?
Ñ/s: 4729731 ñ
Baøi 4: Daân soá quoác gia A hieän nay laø 56 trieäu ngöôøi. Haèng naêm daân soá quoác
gia ñoù taêng trung bình 1,2%.Hoûi sau 15 naêm quoác gia aáy coù bao nhieâu ngöôøi?
Baøi 5: Baïn quyeát ñònh göûi ngaân haøng ñeå taêng gaáp ñoâi soá tieàn 1000 ñoâ -la cuûa
mình caøng nhanh caøng toát. Ngaân haøng ñeà nghò baïn choïn moät trong ba caùch göûi tieàn:
Caùch 1:Laõi suaát 7,5%/naêm;
Caùch 2: laõi suaát 7,25 %/nöõa naêm;
Caùch 3: laõi suaát 7%/thaùng.
Baøi 6: Daân soá nöôùc ta naêm 1986 laø 55 trieäu, möùc taêng daân soá laø 2,2% moãi
naêm. Tính daân soá nöôùc ta naêm 1996?
19
Phạm Minh Công- THCS Ng.Viết Xuân, Pleiku
Baøi 7:Moät ngöôøi söû duïng xe coù giaù trò ban ñaàu laø 10 trieäu. Sau moãi naêm, giaù
trò xe giaûm 10% so vôùi naêm tröôùc ñoù.
a.Tính giaù trò cuûa xe sau 5 naêm.
b.Tính soá naêm ñeå giaù trò cuûa xe nhoû hôn 3 trieäu.
DAÏNG 9: TÍNH GIAÙ TRÒ BIEÅU THÖÙC ÑAÏI SOÁ:
Phöông phaùp: Theá tröïc tieáp caùc giaù trò cuûa x, y,… vaøo bieåu thöùc ñeå
tính.
3x 5  2x 4  3x2  x
Ví duï 1: Tính A  khi x = 1,8165
4x3  x 2  3x  5
Caùch 1: Tính nhôø vaøo bieán nhôù Ans
Aán phím: 1 . 8165 
( 3 Ans ^ 5  2 Ans ^ 4  3 Ans x 2  Ans  1 )  ( 4 Ans ^ 3  Ans x 2  3
Ans  5 ) 
Keát quaû: 1.498465582
Caùch 2: Tính nhôø vaøo bieán nhôù X
Aán phím: 1 . 8165 SHIFT STO X
( 3 ALPHA X ^ 5  2 ALPHA X ^ 4  3 ALPHA X x 2  ALPHA X  1 ) 
( 4 ALPHA X ^ 3  ALPHA X x 2  3 ALPHA X  5 ) 
Keát quaû: 1.498465582
3x 5  2x 4  3x2  x
Ví duï 2: Tính A  khi x0 = 1,8165; x1 = - 0,235678;
4x3  x 2  3x  5
x2 = 865,321
Vôùi maùy (fx-500MS): ta chæ caàn gaùn giaù trò x1 = - 0,235678 vaøo bieán nhôù X:
  . 235678 SHIFT STO X
Duøng phím muõi teân leân moät laàn (maøn hình hieän laïi bieåu thöùc cuõ) roài aán phím  laø
xong.Laøm töông töï vôùi x2 = 865,321
3x 5  2x 4  3x2  x
Vôùi maùy (fx-570E:Ta nhaäp vaøo maùy bieåu thöùc A 
4x3  x 2  3x  5
Sau ñoù aán phím Calc, thaáy treân maøn hình xuaát hieän X?, nhaäp: 1,8165, aán  laø
xong.Trôû laïi aán phím Calc, thaáy treân maøn hình xuaát hieän X?, nhaäp:
- 0,235678, aán  laø xong. Laøm töông töï ñoái vôùi x2 = 865,321.
Ví duï 3: Tính giaù trò bieåu thöùc: (x2y – 2x – 2z)xy
x =1, y = -1, z = 3
20