Skkn phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai (toán 9)

  • 22 trang
  • file .pdf
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Dù đã trải qua hơn hai ngàn năm nhưng toán học đã chứng tỏ mình như
một đỉnh cao trí tuệ của con người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học và
là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quan trọng. Ngày nay với thời đại công
nghiệp tiên tiến và sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin thì vai trò
của toán học càng trở nên quan trọng và cần thiết hơn bao giờ hết.
Trong quá trình giáo dục tri thức cho học sinh, thì việc dạy đúng, đủ theo
chuẩn kiến thức kỹ năng của chương trình đào tạo là nhiệm vụ trọng tâm của
mỗi người giáo viên đứng lớp. Song, bên cạnh đó một nhiệm vụ cũng không
kém phần quan trọng và cần thiết đối với các trường trung học cơ sở đó là việc
bồi dưỡng, đào sâu kiến thức mở rộng, nâng cao cho đối tượng học sinh khá
giỏi. Việc bồi dưỡng đó giúp các em không chỉ nắm vững kiến thức, kỹ năng cơ
bản mà còn rèn thói quen suy nghĩ, tìm hiểu, suy luận, giải quyết một vấn đề,
một bài toán khó một cách chặt chẽ, logic. Từ đó rèn cho các em trí thông minh,
sáng tạo, niềm yêu thích, hứng thú đối với bộ môn Toán.
Qua một thời gian giảng dạy bộ môn Toán lớp 9 ở trường trung học cơ sở
thị trấn Than Uyên, huyện Than Uyên, tỉnh Lai Châu, tôi nhận thấy, phần kiến
thức về “Phương trình bậc hai”, “Phương trình quy về phương trình bậc hai” là
phần kiến thức trọng tâm, cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển
sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi các cấp. Do đó tôi thấy học sinh cần nắm thật
vững mảng kiến thức này, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên giảng
dạy cũng như giáo viên bồi dưỡng cần giúp các em có cái nhìn rõ nét, đầy đủ về
phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai.
Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề, sau khi nghiên cứu kỹ lưỡng
một số tài liệu có liên quan, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống các kiến thức, các
dạng phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải. Tôi hy vọng rằng đề
tài này ít nhiều sẽ giúp ích được thầy cô và các em học sinh khi bồi dưỡng mảng
kiến thức về phương trình bậc hai. Đó chính là lý do tôi chọn “Phương pháp giải
các phương trình quy về phương trình bậc hai” làm đề tài nghiên cứu của mình
trong hai năm học vừa qua.
II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
1. Phạm vi nghiên cứu
- Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai trong chương trình
Đại số 9 THCS.
1
2. Đối tượng nghiên cứu
- Một số kiến thức về phương trình bậc hai. Một số phương trình quy
được về phương trình bậc hai trong chương trình Đại số 9 trung học cơ sở và
phương pháp giải.
III. Mục đích nghiên cứu
Nhằm mục đích nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi
dưỡng học sinh giỏi, giúp các em có cái nhìn đầy đủ hơn về phương trình bậc
hai, phương trình quy về phương trình bậc hai. Qua đó giúp học sinh có điều
kiện hoàn thiện các phương pháp về giải phương trình và rèn luyện tư duy sáng
tạo cho học sinh.
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
Đã áp dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2011 - 2012,
2012 - 2013 và thu được những kết quả khả quan, thu hút được sự chú ý, tăng
cường tính sáng tạo, tư duy của học sinh.
2
PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Trong chương trình giáo dục phổ thông, Toán học là một môn khoa học
quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông mỗi con
người. Với các đặc trưng là suy luận, tính toán, chứng minh, phân tích, tổng
hợp, so sánh, môn toán có tiềm năng khai thác góp phần phát triển năng lực trí
tuệ, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản cũng cần
có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích
lũy được trong quá trình học tập, rèn luyện. Trong môn toán ở trường trung học
cơ sở có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với
những bài toán ấy, người giáo viên cần phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách
suy nghĩ, tìm tòi lời giải.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ
thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông, chuyên
đề về phương pháp giải một số phương trình quy về phương trình bậc hai là một
chuyên đề hay và lý thú, thu hút được đông đảo thầy cô và học sinh quan tâm.
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số
Ở chương trình toán 9 THCS, định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
được trình bày như sau: Phương trình bậc hai đối với ẩn x  R là phương trình có
dạng: ax2 + bx + c = 0 (a  0).
2. Một số kiến thức và kỹ năng cần nắm được khi giải phương trình
bậc hai
- Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số.
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
- Kiến thức về giá trị tuyệt đối.
- Kỹ năng tìm tập xác định của một biểu thức.
- Kỹ năng biến đổi các biểu thức.
- Kỹ năng giải và biện luận phương trình.
II. Thực trạng vấn đề
1. Thuận lợi
Với đặc điểm phân chia các lớp theo lực học tại trường trung học cơ sở thị
trấn Than Uyên, thì việc các em học sinh đang theo học tại các lớp chọn muốn đào
sâu, mở rộng kiến thức là điều dễ dàng nhận thấy và cần được khích lệ, biểu dương.
3
Trong chương trình toán THCS phần kiến thức về phương trình, phương
trình bậc hai được đông đảo học sinh yêu thích, say mê tìm hiểu. Các dạng
phương trình quy được về phương trình bậc hai trong chương trình toán THCS
tuy rất đa dạng và phong phú nhưng mỗi dạng đều có những đặc điểm riêng, dễ
dàng nhận biết, đồng thời mỗi dạng phương trình đều có một phương pháp giải
cụ thể, phù hợp với từng dạng bài.
2. Khó khăn
* Về phía giáo viên:
Căn cứ vào thực tế giảng dạy tại nhà trường, tôi nhận thấy phần kiến thức
về phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai ở trường trung học
cơ sở chưa được giáo viên thường xuyên quan tâm và đề cập đến nhiều. Trong
quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, phần kiến thức này giáo viên thường chuẩn bị
chưa chu đáo, còn tự biên soạn tài liệu giảng dạy, hoặc dựa vào quá nhiều tài liệu
tham khảo, còn bị động trước các tình huống học sinh đưa ra, gây không ít khó
khăn cho cả người dạy và người học.
Có thể khẳng định rằng phương trình quy về phương trình bậc hai là một
trong những kiểu bài tương đối khó với giáo viên. Khó khăn trước hết là khó
khăn về kiến thức, về phương pháp. Khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh
phát hiện vấn đề, làm sao để chỉ trong một vài tiết có thể giúp học sinh nhận biết
thành thạo các dạng phương trình quy được về phương trình bậc hai và cách
giải, chỉ trong một số tiết mà dung lượng kiến thức không ít, có rất nhiều dạng
toán, rất nhiều vấn đề cần đề cập nâng cao. Giáo viên phải làm sao để giờ học
vừa truyền thụ đủ kiến thức cho học sinh để học sinh có “nghệ thuật giải phương
trình” vừa cô đọng, tập trung vào phương pháp giải đồng thời tránh được sự
giảng giải nhàm chán và cuốn hút học sinh. Vậy nguyên nhân do đâu?
Thứ nhất: Các tài liệu về phương trình quy về phương trình bậc hai để giáo
viên tham khảo còn rất hiếm nên giáo viên ít có cơ hội để bổ sung kiến thức,
phương pháp.
Thứ hai: Do giáo viên chưa tìm được phương pháp tối ưu, chưa đầu tư
nhiều để suy nghĩ đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết cho học sinh trong
các tiết học.
* Về phía học sinh:
Với giáo viên, việc giúp học sinh lĩnh hội phương pháp giải các phương
trình quy về phương trình bậc hai là khó thì với học sinh kiểu bài này còn khó
hơn rất nhiều.
4
Việc học tập các phương pháp tổng quát và đặc biệt để giải các bài toán, việc
hình thành kỹ năng và kỹ xảo vận dụng toán học vào những sự kiện khác nhau
trong đời sống như ta đã biết có một ý nghĩa quan trọng.
Học sinh trong khi nghiên cứu toán học các em có những kiến thức nội dung
tài liệu học tập, các em hiểu các định lý và quy tắc nhưng không hiểu các
phương pháp chung để giải các bài toán. Bởi vì các thủ thuật ấy không được nêu
rõ và hình thành trong bản thân khoa học.
Điều quan trọng không chỉ thông báo cho học sinh những thông tin về những
thủ thuật và phương pháp ấy mà phải làm sao cho học sinh hiểu thấu đáo những
kiến thức thu được về phương pháp. Điều này là bắt buộc bởi lẽ sách giáo khoa
và tuyển tập tài liệu dùng cho học sinh hiện nay không có đầy đủ những chỉ dẫn
liên quan đến phương pháp nhận thức riêng và lôgic đại cương áp dụng cho khi
nghiên cứu toán học ở nhà trường.
Những chỉ dẫn tản mạn của giáo viên thông thường học sinh không nhớ và
hệ thống hóa được. Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trông cậy vào trí nhớ của
học sinh, học sinh lại nhanh quên. Mặc dù trong sách giáo khoa đã có một số bài
tập giải mẫu và một vài chỉ dẫn giải phương trình nhưng những hướng dẫn đó
chưa cung cấp cho học sinh đầy đủ những cơ sở vững chắc để nắm vững cách
giải các bài toán.
Còn một số nguyên nhân khác khiến học sinh giải chưa tốt phương trình
quy về phương trình bậc hai, đó là:
- Học sinh còn yếu về kỹ năng phát hiện phương trình quy về phương
trình bậc hai, khi đứng trước một phương trình học sinh không biết được
phương trình đó có đưa về phương trình bậc hai được hay không, nguyên nhân
là do học sinh chưa nắm rõ, chưa phân biệt được các dạng phương trình quy về
phương trình bậc hai.
- Khi đứng trước một phương trình học sinh còn nhầm lẫn về phương
pháp giải giữa phương trình này với phương trình kia.
- Một số học sinh không hiểu giải một bài toán là như thế nào. Vì thế
không giải đầy đủ, không biết nghiệm của phương trình tìm được có là đáp số
của bài toán này không.
Trước khi tiến hành bồi dưỡng, nghiên cứu chuyên đề này, tôi đã tiến
hành kiểm tra khảo sát nhằm đánh giá khả năng vốn có của học sinh. Mặt khác
lưu giữ kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.
Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát:
5
2x 2  1 x 7x 1
Câu 1. Giải phương trình:  
3x 2x  1 6
Câu 2. Giải phương trình: 3( x 2  x)2  2( x 2  x) 1  0
Giải
1
Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: x  0; x 
2
Phương trình đã cho tương đương với:
2(2x 2 + 1)(2x - 1) + 6x 2 = x(2x - 1)(7x - 1)
3 2
 6x - 11x - 3x + 2 = 0
2
 (6x + x - 1)(x - 2) = 0
 2 1 1
6x  x  1  0  x  ; x 
 1
2
2
3

 x  2  0  x 3  2
1 1
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = ; x2 = ; x3 = 2.
2 3
Câu 2: 3( x 2  x)2  2( x 2  x) 1  0
t1  1
2
Đặt x + x = t, ta có 3t  2t 1  0  
2
t2  1
 3
Với t1 = 1, ta có: x2 + x =1 hay x2 + x – 1 = 0
1  5 1  5
Giải ra ta được: x1  2 ; x2 
2
1 1 1
Với t2 =  , ta có x 2  x   hay x 2  x   0
3 3 3
Phương trình này vô nghiệm.
1  5 1  5
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1  ; x2 
2 2
Kết quả thu được: BẢNG 1
ĐỐI TƯỢNG I ĐỐI TƯỢNG II ĐỐI TƯỢNG III
NĂM HỌC Số Số Số
% % %
lượng lượng lượng
2011 - 2012 6 30 10 50 4 20
2012 - 2013 7 30,4 11 47,9 5 21,7
6
Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau:
- Đối tượng I: Các em chỉ mới làm được bài 1 nhưng thiếu kết luận nghiệm:
+ Năm học 2011 - 2012: 6/20 em chiếm tỷ lệ 30%;
+ Năm học 2012 - 2013: 7/23 em chiếm tỷ lệ 30,4%.
- Đối tượng II: Các em làm hoàn thiện bài 1 nhưng bài 2 chưa biết cách
đặt ẩn phụ:
+ Năm học 2011 - 2012: 10/20 em chiếm tỷ lệ 50%;
+ Năm học 2012 - 2013: 11/23 em chiếm tỷ lệ 47,9%.
- Đối tượng III: Các em đã biết làm cả hai bài nhưng lập luận chưa chặt chẽ:
+ Năm học 2011 - 2012: 4/20 em chiếm tỷ lệ 20%;
+ Năm học 2012 - 2013: 5/23 em chiếm tỷ lệ 21,7%.
Từ thực trạng trên, để học sinh có định hướng rõ nét, đồng thời trang bị
cho các em hệ thống phương pháp giải các dạng phương trình quy được về
phương trình bậc hai, nhằm mục đích giúp các em khi đứng trước một phương
trình bất kỳ có thể dễ dàng định hướng được cách giải tôi đã đề ra các biện pháp
như sau:
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
1. Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số
a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với ẩn x  R là phương trình có
dạng ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1)
b) Cách giải: Tính   b2  4ac
Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
b
Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1  x2   .
2a
Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
b   b  
x1  , x2  .
2a 2a
c) Định lý Viet về dấu các nghiệm.
Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x  R : ax 2  bx  c  0  a  0  có hai
b c
nghiệm x1 , x2 thì S  x1  x2  , P  x1.x2  .
a a
Dấu các nghiệm:
Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm trái dấu  P  0
  0
Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm cùng dấu  
P  0
7
  0
Phương trình ax  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm cùng dương   P  0
2
S  0

  0
Phương trình ax  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm cùng âm   P  0
2
S  0

2. Giải và biện luận phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai có dạng tổng quát là: ax 2  bx  c  0  a  0  (1)
Giải và biện luận phương trình bậc hai ở dạng tổng quát ta tiến hành
như sau:
Tính biệt thức   b2  4ac , căn cứ vào đó để biện luận theo tham số:
Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
b
Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1  x2   .
2a
Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
b   b  
x1  , x2  .
2a 2a
Khi b chẵn ta có thể kết luận số nghiệm của phương trình bậc hai qua
b
biệt số thu gọn  ' với  '  b '2  ac ; b ' 
2
b '  '
 ' > 0: phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = .
a
b '
 ' = 0: phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x 2 = .
a
 ' < 0: phương trình bậc hai vô nghiệm.
Các bài toán về phương trình bậc hai rất phong phú và đa dạng. Để giải được
các bài toán đó phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng các kết quả đã biết về
phương trình bậc hai đặc biệt là định lý Viet, với đặc thù riêng của phương trình đã
cho mà biến đổi cho phù hợp.
3. Các dạng phương trình quy được về phương trình bậc hai
Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về
phương trình bậc hai như sau:
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
- Phương trình bậc 3.
- Những phương trình bậc cao quy được về phương trình bậc hai bao gồm:
+) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0.
8
+) Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c.
+) Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m.
+) Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ.
+) Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2  kbx + k2a = 0.
+) Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích.
CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình chứa ẩn ở mẫu thức của
phương trình.
a) Cách giải :
+ Tìm tập xác định của phương trình.
+ Quy đồng, khử mẫu.
+ Biến đổi đưa phương trình về dạng: ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1).
+ Giải phương trình dạng (1).
+ Kiểm tra kết quả, kết luận số nghiệm của phương trình.
b) Ví dụ:
36 24
Giải phương trình: x 2  12  2
 4x  5
x x
Giải
36 24
x 2  12  2
 4x   5 (1)
x x
 36   6
  x 2  2   4  x    17  0
 x   x
6 36 2
Đặt t = x -  x 2  2 = t + 12
x x
Ta được phương trình trung gian: t2 - 4t - 5 = 0
Giải phương trình này ta được t1 = -1; t2 = 5
6
+) Với t1 = -1  x - = -1  x1 = 2; x2 = -3
x
6
+) Với t2 = 5  x - = 5  x3 = 6; x4 = -1
x
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 = 2; x2 = -3; x 3 = 6; x4 = -1
c) Nhận xét:
- Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu thức là dạng phương trình rất thường
gặp ở trường phổ thông đặc biệt là trung học cơ sở.
9
Khi giải dạng phương trình này học sinh thường gặp những khó khăn sau:
+ Tìm điều kiện xác định của mẫu thức.
+ Tìm mẫu thức chung.
+ Quy đồng, khử mẫu.
- Khi giải dạng phương trình này cần lưu ý học sinh: Trước tiến cần tìm tập
xác định của phương trình, sau khi giải tìm được nghiệm phải kiểm tra, đối
chiếu kết quả với tập xác định và kết luận số nghiệm của phương trình.
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Phương trình bậc ba một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (trong đó x là ẩn số, a, b, c, d là các hệ số, a  0).
a) Cách giải:
Để giải một phương trình bậc ba, thông thường ta phải biến đổi đưa về
phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc
hai, còn vế phải bằng 0. Để làm tốt điều này học sinh cần có kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử đã được tìm hiểu ở chương trình toán lớp 8.
1
b) Ví dụ: Giải phương trình: x3 – x2 – x = (2)
3
Giải
Phương trình (2) tương đương với: 3x3 – 3x2 – 3x = 1
3 3 2
 4x = x + 3x + 3x + 1
3 3
 ( 3 4 x) = ( x+1)
1
 34x=x +1  x 3
4 1
1
Vậy phương trình (2) có một nghiệm x  3 .
4 1
c) Nhận xét:
- Đối với dạng phương trình này chủ yếu dùng phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích, ta sẽ được một
phương trình mà vế trái gồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã
biết cách giải.
- Lưu ý: Nếu phương trình bậc 3: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a  0) có:
+) a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = 1
+) a – b + c – d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = -1
10
DẠNG 3: NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO QUY ĐƯỢC VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
3.1. Phương trình trùng phương:
Dạng tổng quát: ax4 + bx2 + c = 0
(trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số, a  0 )
a) Cách giải:
- Đặt x2 = t, ta được phương trình bậc hai trung gian: at2 + bt + c = 0
- Giải phương trình bậc hai trung gian này, ta tìm được t
- Sau đó thay x 2 = t để tìm x.
b) Ví dụ: Giải phương trình: 2 x 4  3x 2  2  0 (3)
Giải
- Đặt x 2  t (t  0) ta có phương trình trung gian ẩn t:
2t 2  3t  2  0
t1  2

t 2   1
 2
1
t 2   (loại)
2
Với t1 = 2  x 2 = 2  x =  2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =  2
c) Nhận xét:
Khi giải tìm nghiệm của phương trình trùng phương, ta cần lưu ý một số
điểm như sau:
- Phương trình trùng phương vô nghiệm trong trường hợp phương trình
bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai
nghiệm cùng âm.
- Phương trình có nghiệm khi phương trình bậc hai trung gian có hai
nghiệm, có nghiệm kép dương hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai
nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm âm.
3.2. Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0)
(trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số)
ab
a) Cách giải: Ta đặt t = x +
2
Khi đó mọi phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0) đều đưa được
về dạng phương trình trùng phương (At4 + Bt2 + C = 0)
Phương trình này là phương trình trùng phương đã biết cách giải.
11
b) Ví dụ: Giải phương trình
x  14  x  34  16 (4)
Giải
Đặt t = x + 2
Ta được phương trình trung gian ẩn t: (t – 1)4 + (t +1)4 = 16
Khai triển và rút gọn ta được:
2t4 + 12t2 + 2 = 16  t4 + 6t2 – 7 = 0
Đặt z = t2 > 0, ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0
Giải phương trình này ta được: z1 = 1; z2 = -7 (loại)
Với z1 = 1, ta giải phương trình t2 = 1.
Ta được hai nghiệm: t1 = 1; t2 = -1, tương ứng x 1 = -1; x2 = -3
c) Nhận xét: Như vậy, để giải phương trình dạng: x  a 4  x  b 4  c ta
ab
đặt: t  x  , khi đó ta đưa phương trình dạng x  a 4  x  b 4  c về phương
2
trình trung gian là phương trình trùng phương có dạng tổng quát: t 4  Bt 2  C  0
Bằng phép đặt t2 = X với X  0 ta đưa phương trình về phương trình bậc
hai trung gian: X2 + BX + C = 0
Số nghiệm của phương trình x  a 4  x  b 4  c phụ thuộc vào số nghiệm
của phương trình trung gian X2 + BX + C = 0
- Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng
nghiệm đó là nghiệm âm thì phương trình trùng phương t 4  Bt 2  C  0 vô nghiệm, do
đó phương trình  x  a 4   x  b 4  c vô nghiệm. Nếu phương trình bậc hai trung gian
có nghiệm không âm X0 thì phương trình ban đầu có nghiệm:
ab
x1  x0 
2
ab
x2   x0 
2
- Ta thấy, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào số nghiệm
của phương trình trùng phương, do đó phụ thuộc vào số nghiệm của phương
trình bậc hai trung gian.
3. 3. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
(trong đó: a + c = b + d hoặc a + b = c + d hoặc a + d = b + c)
a) Cách giải:
Nhóm (x + a) với (x + d); (x + b) với (x + c) khai triển tích đó.
12
Ta đưa phương trình đã cho về dạng:
 x 2   a  d  x  ad   x 2   b  c  x  bc   m
Do a + d = b + c đặt x2 + (a + d)x + k = t (với k = ad hoặc k = bc)
Ta đưa phương trình về dạng: At2 + Bt + C = 0
Giải phương trình này ta tìm được nghiệm t của phương trình.
Thay x2 + (a + d)x + ad = t
Giải phương trình này ta tìm được nghiệm x của phương trình ban đầu
Nếu phương trình At2 + Bt + C = 0 vô nghiệm thì phương trình đầu cũng
vô nghiệm.
b) Ví dụ: Giải phương trình:
(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9 (5)
Giải
Nhận thấy 5 + (-1) = 1 + 3
 [(x – 1)(x + 5)][(x + 1)(x + 3)] = 9
2 2
 (x + 4x – 5)(x + 4x + 3) = 9
2 2 2
 (x + 4x – 5) + 8(x + 4x – 5) – 9 = 0
Đặt x2 + 4x – 5 = t.
Ta được phương trình: t2 + 8t – 9 = 0
Giải ra ta được: t1 = 1; t2 = -9
x1  2  10
Phương trình (5) có nghiệm: x2  2  10
x3  2
c) Nhận xét: Như vậy, để giải phương trình dạng trên, ta cần nhóm hợp lý
sau đó đổi hệ số, khai triển, biến đổi mỗi nhóm để đưa về phương trình bậc hai
trung gian. Căn cứ vào số nghiệm của phương trình bậc hai trung gian để kết
luận số nghiệm của phương trình ban đầu.
3.4. Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ:
a) Cách giải:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Đặt ẩn phụ, ta được phương trình trung gian, tìm nghiệm của phương
trình trung gian.
- Trở về ẩn ban đầu, tìm nghiệm của phương trình ban đầu.
b) Ví dụ: Giải phương trình:
(x2 + 2x + 3)2 - 9(x 2 + 2x + 3) + 18 = 0 (6)
13
Giải
2
Đặt x + 2x + 3 = t
Ta được phương trình ẩn t: t2 – 9t + 18 = 0
Giải phương trình này ta được: t1 = 3; t2 = 6.
Từ đó, thay vào cách đặt ban đầu ta được hai phương trình:
+) x2 + 2x + 3 = 3
Giải phương trình ta được: x1 = 0; x 2 = -2
+) x2 + 2x + 3 = 6
Giải phương trình ta được: x3 = 1; x 4 = -3
Vậy phương trình (6) có 4 nghiệm x1 = 0; x2 = -2; x3 = 1; x 4 = -3.
c) Nhận xét: Với dạng phương trình này cần chú ý cho học sinh tìm điều
kiện xác định của phương trình. Quan sát kỹ phương trình ban đầu để tìm ra
cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình trung gian. Sau khi tìm được nghiệm đối
với phương trình trung gian cần đưa về phương trình ban đầu để tìm nghiệm của
phương trình ban đầu, so sánh với điều kiện xác định của phương trình để có kết
luận nghiệm chính xác.
3.5. Phương trình dạng ax4+ bx3 + cx2  kbx + k2a = 0
(Phương trình đối xứng)
a) Cách giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của
phương trình cho x2 ta được:
k2 k
a ( x  2 )  b( x  )  c  0
2
x x
k k2 k2
đặt t  x   t 2  x 2  2
 2 k  x 2
 2
 t 2  2k
x x x
Ta có phương trình bậc hai: a (t  2k )  bt  c  0
2
b) Ví dụ: Giải phương trình: x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + 1 = 0 (7)
Giải
Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế cho x2 ta được:
1 1
 (x2  2
)  5( x  )  12  0 (7’)
x x
1
Đặt: x   t
x
 7 '  t 2  2  5t  12  0
 t 2  5t  14  0
14
Giải phương trình ta được t1 = -7, t2 = 2
+) Với t1 = -7
1
 x  7  x 2  7 x  1  0
x
 7  45  7  45
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 =
2 2
+) Với t2 = 2
1
 x  2  x2  2x  1  0
x
Phương trình có nghiệm kép x3 = x 4 = 1
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm cần tìm:
 7  45  7  45
x1 = ; x2 = ; x3 = x4 = 1
2 2
c) Nhận xét:
- Để giải phương trình đối xứng như trên ta dùng những phép biến đổi
tương đương và “đổi biến” để đưa về phương trình bậc hai trung gian rồi trả
biến sẽ tìm được nghiệm phương trình ban đầu .
- Số nghiệm của phương trình đối xứng phụ thuộc vào số nghiệm của
phương trình bậc hai.
3.6. Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích
Ví dụ: Giải phương trình:
5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0 (8)
Giải
2 2
5x – 4(x – 2x + 1) - 5 = 0
2 2
 5(x – 1) – 4(x – 1) = 0
 x1  1
 (x – 1)(x + 9) = 0  
 x2  9
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi thực hiện đề tài trên tôi nhận thấy, khi gặp các phương trình có
thể đưa về phương trình bậc hai các em đều giải một cách thành thạo, say mê
hứng thú, kích thích được niềm đam mê, sáng tạo của học sinh.
Một điều đáng mừng hơn cả là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Chất
lượng bài kiểm tra sau bao giờ cũng cao hơn, trình bày chặt chẽ hơn bài kiểm tra
trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.
Để kiểm tra khả năng lĩnh hội của học sinh, tôi cho các em làm một số bài tập
như sau:
15
Giải phương trình:
Câu 1. 2 x3  5 x 2  8x  3  0
Câu 2. x4  3x3 + 4x2  3x + 1 = 0
Giải
2
Câu 1: Nhân cả hai vế với 2 ta có:
23.x3 - 5.22.x2 + 16.2x - 12 = 0
Đặt t = 2x
3 2
 t - 5t + 16t - 12 = 0
 t=1
1
 x=
2
1
Vậy phương trình có nghiệm: x =
2
Câu 2. Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả
hai vế của phương trình cho x2 ta được:
 2 1   1
 x  2   3 x    4  0
 x   x
1
Đặt t = x  ; điều kiện t  2
x
2
 t – 3t + 2 = 0
t1  1

t2  2
Nghiệm t1 = 1 loại do không thỏa mãn điều kiện t  2
1
Với t2 = 2  x  = 2 x = 1
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi như sau:
Kết quả thu được: BẢNG 2
ĐỐI TƯỢNG I ĐỐI TƯỢNG II ĐỐI TƯỢNG III
NĂM HỌC Số Số Số
% % %
lượng lượng lượng
2011 - 2012 1 5 7 35 12 60
2012 - 2013 2 8,7 7 30,4 14 60,9
16
Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau:
Đối tượng I: Ở bài tập 1,2 đã biết vận dụng phương pháp giải đã được học
để tìm nghiệm của phương trình nhưng ở bài 2 chưa đối chiếu với điều kiện t  2 .
Năm học 2011-2012: 1/20 em chiếm tỷ lệ 5%
Năm học 2012-2013: 2/23 em chiếm tỷ lệ 8,7%
Đối tượng II: Các em đã làm được bài 1 và bài 2, nhưng lập luận còn
chưa được chặt chẽ.
Năm học 2011-2012: 7/20 em chiếm tỷ lệ 35%
Năm học 2012-2013: 7/23 em chiếm tỷ lệ 30,4%
Đối tượng III: Các em đã làm hoàn chỉnh cả hai bài, vài em còn lúng
túng trong việc kết luận số nghiệm của phương trình.
Năm học 2011-2012: 12/20 em chiếm tỷ lệ 60%
Năm học 2012-2013: 14/23 em chiếm tỷ lệ 60,9%
Qua hai năm thực hiện đề tài, so sánh bảng số liệu đầu năm học và cuối
năm học, ta nhận thấy kỹ năng giải phương trình, phương trình quy về phương
trình bậc hai của học sinh đã tiến bộ hơn rất nhiều thể hiện ở số lượng các em
hoàn thiện bài tập theo đúng yêu cầu của giáo viên có sự gia tăng đáng kể.
PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm
Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi nhận thấy, để học sinh có thể giải
thành thạo các phương trình bậc hai cơ bản và nâng cao, một kinh nghiệm quý
báu được rút ra là học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết cách vận
dụng linh hoạt các kiến thức ấy. Từ đó giáo viên cung cấp cho học sinh các
phương pháp được coi là thuật giải, sau đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng
cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi
dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh.
Để chuyên đề phát huy hiệu quả khi giảng dạy giáo viên phải cung cấp
nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy cho học sinh.
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi học sinh học xong chuyên đề này, tôi thấy học sinh nắm chắc hơn
về phương trình bậc hai, khi đứng trước một bài toán về phương trình bậc hai
học sinh không còn cảm thấy e sợ, ngỡ ngàng. Từ đó kích thích niềm say mê học
toán của các em.
17