Skkn phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 phương trình vô tỉ

  • 20 trang
  • file .pdf
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
§Ò tµi:
Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9
Gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
A. NhËn thøc cò- Gi¶i ph¸p cò:
Ph­¬ng tr×nh v« tû lµ ph­¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n .Trong ch­¬ng
tr×nh ®¹i sè 9 ,ph­¬ng tr×nh v« tû lµ mét d¹ng to¸n khã. Khi gÆp c¸c ph­¬ng tr×nh
cã chøa c¨n t­¬ng ®èi phøc t¹p, häc sinh rÊt lóng tóng kh«ng t×m ra c¸ch gi¶i vµ
hay m¾c sai lÇm khi gi¶i .. Cã nh÷ng ph­¬ng tr×nh kh«ng thÓ gi¶i b»ng c¸c
ph­¬ng ph¸p quen thuéc. Khi gÆp ph­¬ng tr×nh v« tû , häc sinh th­êng chØ quen
mét ph­¬ng ph¸p lµ n©ng luü thõa 2 vÕ ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n. Nh­ng trong qu¸
tr×nh gi¶i sÏ th­êng m¾c ph¶i mét sè sai lÇm trong phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng
ph­¬ng tr×nh ,v× vËy dÉn ®Õn thõa hoÆc thiÕu nghiÖm. Cã mét sè ph­¬ng tr×nh sau
khi lµm mÊt dÊu c¨n sÏ dÉn ®Õn ph­¬ng tr×nh bËc cao, mµ viÖc nhÈm nghiÖm ®Ó
®­a vÒ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc 2 ®Ó gi¶i l¹i rÊt lµ khã kh¨n . V× vËy häc sinh sÏ
rÊt lóng tóng vµ kh«ng t×m ra lêi gi¶i .
B. NhËn thøc míi – gi¶i ph¸p míi
I. NhËn thøc míi:
§Ó kh¾c phôc nh÷ng tån t¹i trªn khi d¹y cho häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ,
gi¸o viªn cÇn trang bÞ cho häc sinh c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n trong s¸ch gi¸o khoa vµ
kiÕn thøc më réng, h×nh thµnh c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i mét c¸ch kÞp thêi. Víi mçi
ph­¬ng tr×nh cÇn ®Ó cho häc sinh nhËn d¹ng ph¸t hiÖn ra c¸ch gi¶i vµ t×m ra c¸ch
gi¶i phï hîp nhÊt , nhanh nhÊt. Qua mçi d¹ng tæng qu¸t c¸ch gi¶i vµ h­íng dÉn
häc sinh ®Æt ®Ò to¸n t­¬ng tù, tõ ®ã kh¾c s©u c¸ch lµm cho häc sinh. NÕu biÕt
ph©n d¹ng , chän c¸c vÝ dô tiªu biÓu , h×nh thµnh ®­êng lèi t­ duy cho häc sinh th×
sÏ t¹o nªn høng thó nghiªn cøu, gióp häc sinh hiÓu s©u, nhí l©u vµ n©ng cao hiÖu
qu¶ gi¸o dôc .
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 1
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
II. Gi¶i ph¸p míi:
A- HÖ thèng ho¸ c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n liªn quan vµ bæ sung mét sè kiÕn thøc
më réng .
1. C¸c tÝnh chÊt cña luü thõa bËc 2, bËc 3, tæng qu¸t ho¸ c¸c tÝnh chÊt cña luü
thõa bËc ch½n vµ luü thõa bËc lÎ.
2. C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö , c¸c h»ng ®¼ng thøc .
3. C¸c bÊt ®¼ng thøc C«si, Bunhiacopski, bÊt ®¼ng thøc cã chøa gi¸ trÞ tuþªt ®èi.
4. C¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt , bËc 2 mét Èn, c¸ch gi¶i hÖ
ph­¬ng tr×nh.
5. Bæ sung c¸c kiÕn thøc ®Ó gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh ®¬n gi¶n:
A  0

* A = B  B  0
 2
A  B
A  0
* A B
A  B
* A B 0 AB0
B. Cung cÊp cho häc sinh c¸c ph­¬ng ph¸p th­êng dïng ®Ó gi¶i ph­¬ng ttr×nh
v« tû .
Ph­¬ng ph¸p 1. N©ng lªn luü thõa ®Ó lµm mÊt c¨n ë 2 vÕ cña ph­¬ng
tr×nh( th­êng dïng khi 2 vÕ cã luü thõa cïng bËc).
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
x  1  5 x  1  3x  2 (1)
+ ë ph­¬ng tr×nh (1) hai vÕ ®Òu cã c¨n bËc hai, häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm ®Ó
nguyªn hai vÕ nh­ vËy vµ b×nh ph­¬ng hai vÕ ®Ó lµm mÊt c¨n . V× vËy gi¸o viªn
cÇn ph©n tÝch kü sai lÇm mµ häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i tøc cÇn kh¾c s©u cho häc
sinh tÝnh chÊt cña luü thõa bËc 2:
a = b  a2 = b2 ( Khi a, b cïng dÊu )
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 2
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
V× vËy khi b×nh ph­¬ng hai vÕ ®­îc ph­¬ng tr×nh míi t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬ng
tr×nh ban ®Çu khi hai vÕ cïng dÊu.
ë ph­¬ng tr×nh (1), VP  0 , nh­ng vÕ tr¸i ch­a ch¾c ®·  0 v× vËy ta nªn
chuyÓn vÕ ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh cã 2 vÕ cïng  0.
(1)  x  1  5x  1  3x  2
§Õn ®©y häc sinh cã thÓ b×nh ph­¬ng hai vÕ:
x  1  5 x  1  3x  2
 2  7 x  2 15 x 2  13x  2 (*)
Ta l¹i gÆp ph­¬ng tr×nh cã mét vÕ chøa c¨n , häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm lµ b×nh
ph­¬ng tiÕp 2 vÕ ®Ó vÕ ph¶i mÊt c¨n mµ kh«ng ®Ó ý hai vÕ ®· cïng dÊu hay ch­a.
 4  14 x  49 x 2  4(15 x 2  13x  2)
 11x 2  24 x  4  0
 (11x  2)( x  2)  0
 2
 x 2
 11 Vµ tr¶ lêi ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm : x1  ; x 2  2
 11
x  2
Sai lÇm cña häc sinh lµ g×? T«i cho häc sinh kh¸c ph¸t hiÖn ra nh÷ng sai lÇm :
+ Khi gi¶i ch­a chó ý ®Õn ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c c¨n thøc cã nghÜa nªn sau khi gi¶i
2
kh«ng ®ã chiÕu víi ®iÒu kiÖn ë (1) : §K : x  1 v× vËy x1  kh«ng ph¶i lµ
11
nghiÖm cña (1)
2
+ Khi b×nh ph­¬ng hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (*) cÇn cã ®iÒu kiÖn 2  7 x  0  x 
7
vËy x 2  2 kh«ng lµ nghiÖm cña (1)
- Sau khi ph©n tÝch sai lÇm mµ häc sinh th­êng gÆp , tõ ®ã t«i cho häc sinh t×m ra
c¸ch gi¶i ®óng kh«ng ph¹m sai lÇm ®· ph©n tÝch .
2
C1: Sau khi t×m ®­îc x  vµ x  2 thö l¹i (1) kh«ng nghiÖm ®óng VËy (1) v«
11
nghiÖm.
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 3
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
( c¸ch thö l¹i nµy lµm khi viÖc t×m TX§ cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ t­¬ng ®èi
phøc t¹p )

x  1

 1
x   x  1
 5
 3
 x  2
C2: §Æt ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¸c c¨n thøc cña (1)
2
Sau khi gi¶i ®Õn (*) khi b×nh ph­¬ng hai vÕ ®Æt thªm ®iÒu kiÖn x  vËy x tho¶
7
 2
x 
m·n :  7 nªn ph­¬ng tr×nh (1)v« nghiÖm
 x  1
C3: Cã thÓ dùa vµo ®iÒu kiÖn cña Èn ®Ó xÐt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .
§iÒu kiÖn cña (1) : x  1 do ®ã x  5 x  x  1  5 x  1  x  1  5 x  1
VÕ tr¸i <0. VP  0 nªn ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm .
Sau ®ã t«i ra mét sè bµi tËp t­¬ng tù cho häc sinh tr×nh bµy lêi gi¶i.
Bµi tËp t­¬ng tù : Gi¶i ph­¬ng tr×nh
a) 4 x  1  3x  4  x  2 b) x  2  x  1  2 x  1  x  3
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
3
x 1  3 7  x  2 (2)
ë ph­¬ng tr×nh (2) häc sinh còng nhËn xÐt cã chøa c¨n bËc 3 nªn nghÜ ®Õn viÖc
lËp ph­¬ng hai vÕ :
Chó ý: + ë c¨n bËc lÎ: 2 n1 A cã nghÜa víi A nªn kh«ng cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn
x  1  0

7  x  0
+ ë luü thõa bËc lÎ: a=b  a2n+1=b2n+1; (n  N) nªn kh«ng cÇn xÐt ®Õn dÊu
cña hai vÕ.
Gi¶i:+ LËp ph­¬ng hai vÕ
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 4
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
x  1  7  x  3 x  1  . 7  x  3 x  1. 7  x   8 (**)
2 2
3 3 3
§Õn ®©y cã thÓ häc sinh rÊt lóng tóng v× sau khi lËp ph­¬ng hai vÕ, vÕ tr¸i nh×n
rÊt phøc t¹p, gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh nghÜ ®Õn h»ng ®¼ng thøc:
( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)
VËy (**) cã thÓ viÕt :
 
x  1  7  x  33 ( x  1)(7  x) . 3 x  1  3 7  x  8 (I)
(®Õn ®©y thay 3
x  1  3 7  x  2 vµo ph­¬ng tr×nh) ta ®­îc:
8  33 ( x  1)(7  x) .2  8  ( x  1)(7  x)  0 ( II)
Gi¶i ra: x1  1; x 2  7 ; Thay l¹i vµo PT ®· cho ta thÊy nghiÖm ®óng , nªn ®ã lµ 2
nghiÖm cña PT ban ®Çu. VËy (2) cã nghiÖm x1  1; x 2  7
+ ë ph­¬ng tr×nh (2) ngoµi viÖc lËp ph­¬ng hai vÕ cÇn sö dông h»ng ®¼ng thøc
mét c¸ch linh ho¹t ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®¬n gi¶n a.b = 0 råi gi¶i.
Chó ý: Do tõ (I) suy ra (II) ta thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi kh«ng t­¬ng ®­¬ng , v× nã
chØ t­¬ng ®­¬ng khi x tho¶ m·n : 3 x  1  3 7  x  2 . V× vËy viÖc thay l¹i nghiÖm
cña (II) vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ cÇn thiÕt . NÕu kh«ng thö l¹i cã thÓ sÏ cã
nghiÖm ngo¹i lai.
Bµi tËp t­¬ng tù : Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
a) 3  x  1  3 x  1  3 5 x
b) 3 2 x  1  3 3  2 x  4
c) 3 2 x  1  3 2 x  1  3 10 x ( §Ò thi vµo to¸n tin -2000)
Ph­¬ng ph¸p 2: Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸
trÞ tuþªt ®èi.
Ph­¬ng ph¸p nµy lµ: Khi gÆp ph­¬ng tr×nh mµ biÓu thøc trong c¨n cã thÓ viÕt
®­îc d­íi d¹ng b×nh ph­¬ng cña mét biÓu thøc th× sö dông h»ng ®¼ng thøc :
A 2  A ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ®¬n gi¶n
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 5
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
2 x  2  2 2 x  3  2 x  13  8 2 x  3  5 (3)
NhËn xÐt: + ë ph­¬ng tr×nh (3) häc sinh cã thÓ nhËn xÐt vÕ tr¸i cã cïng c¨n bËc
hai nªn cã thÓ b×nh ph­¬ng hai vÕ. Nh­ng ë ph­¬ng tr×nh nµy sau khi b×nh
ph­¬ng (lÇn 1) vÉn cßn chøa c¨n nªn rÊt phøc t¹p.
+ biÓu thøc trong c¨n cã thÓ viÕt ®­îc d­íi d¹ng b×nh ph­¬ng cña mét biÓu thøc
.
3
Gi¶i : §K: 2 x  3  0  x  ; 2 x  2  2 2 x  3  2 x  13  8 2 x  3  5
2
 ( 2 x  3)  2 2 x  3  1  ( 2 x  3)  2 2 x  3.4  16  5
  2 x  3  1   2 x  3  4  5
2 2
 2x  3  1  2 x  3  4  5; (* * *)
C1: §Õn ®©y ®Ó gi¶i (***) ta cã thÓ ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, tr­íc khi ph¸ dÊu A th×
cÇn xÐt dÊu cña A
NhËn xÐt: 2 x  3  1  0 vËy chØ xÐt dÊu 2 x  3  4
2 x  3  16
 19
NÕu 2x  3  4  0   3 x
 x  2 2
Th× 2 x  3  1  2 x  3  4  5  2 2 x  3  8  2 x  3  4
9
Gi¶i ra x  (Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
2
3 19
+ NÕu 2 x  3  4  x
2 2
3 19
Th× 2 x  3  1  2 x  3  4  5  0 x  0 v« sè nghiÖm x tho¶ m·n x
2 2
3 19
KÕt luËn: x
2 2
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 6
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
C2: ( §Ó gi¶i (***) còng cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc gi¸ trÞ tuyÖt ®èi .
A  B  A  B . dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi A.B  0)
Gi¶i: (***)
2x  3  1  2x  3  4  5
 2x  3  1  4  2x  3  5
Ta cã: 2x  3  1  4  2x  3  2x  3  1  4  2x  3  5
VËy: 2 x  3  1  4  2 x  3  5 Khi  2 x  3  14  2 x  3   0
4  2 x  3  0
 3 19
 3 Gi¶i ra: x
x  2 2
 2
Bµi tËp t­¬ng tù: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
a) x  2 4 x  2  x  7 6 x  2 1
b) x  2 x  1  x  2 x  1  2 (Nh©n 2 vÕ víi 2 th× trong c¨n sÏ xuÊt hiÖn h»ng
®¼ng thøc)
Ph­¬ng ph¸p 3: §Æt Èn phô:
Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô lµ ph­¬ng ph¸p hay mµ t«i rÊt t©m ®¾c , ph­¬ng ph¸p nµy
cã thÓ dïng ®Ó gi¶i ®­îc rÊt nhiÒu ph­¬ng tr×nh
ë ph­¬ng ph¸p nµy dïng c¸ch ®Æt Èn phô ®Ó ®­a vÒ d¹ng ph­¬ng tr×nh v« tû ®¬n
gi¶n
C¸ch ®Æt Èn phô: + §Æt 1 Èn phô
+ §Æt 2 Èn phô
+ §Æt nhiÒu Èn phô
A) C¸ch ®Æt 1 Èn phô :
C1: Chän Èn phô thÝch hîp ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ ph­¬ng tr×nh cã mét Èn lµ Èn
phô ®· ®Æt .Gi¶i ph­¬ng tr×nh t×m Èn phô , tõ ®ã t×m Èn chÝnh.
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 7
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
VD1:Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
2 x 2 +6x+12+ x 2  3x  2 =9 (4)
-NhËn xÐt:+ ë ph­¬ng tr×nh nµy nÕu b×nh ph­¬ng 2 vÕ sÏ ®­a vÒ mét ph­¬ng tr×nh
bËc 4 mµ viÖc t×m nghiÖm lµ rÊt khã
+ BiÓu thøc trong vµ ngoµi c¨n cã mèi liªn quan :
2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8
H­íng gi¶i:+ §Æt Èn phô lµ y= x 2  3x  2
+ Chó ý: §èi víi §K: x2+3x+2  0 cã thÓ gi¶i ®­îc nh­ng víi nh÷ng
bµi to¸n mµ biÓu thøc trong c¨n phøc t¹p th× cã thÓ t×m gi¸ trÞ cña x råi thö l¹i
xem cã tho¶ m·n §K hay kh«ng
x  2
Gi¶i: §K: x2+3x + 2  0  ( x+1) (x+2)  0  
 x  1
§Æt : x 2  3x  2 =y  0
PT (4)  2y2+y+8=9
 2y2+y -1=0
Gi¶i ra:y1=1/2 ( Tho¶ m·n §K); y2=-1( Lo¹i)
Thay vµo: x 2  3x  2 =1/2  x2+3x+2=1/4
3 2 3 2
Gi¶i ra:x1= ; x2 =
2 2
3 2
§èi chiÕu víi §K: x= tho¶ m·n lµ nghiÖm cña PT (4)
2
VD2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
2 x  x 2  6 x 2  12 x  7  0
( §Ò thi häc sinh giái tØnh líp 10 n¨m 2003-2004)
H­íng dÉn : §K : 6 x 2  12 x  7  0; x
Ta biÕn ®æi ®Ó thÊy ®­îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøctrong ph­¬ng tr×nh:
2 x  x 2  6( x 2  2 x)  7  0
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
§Æt : x 2  2 x  a
Ta cã ph­¬ng tr×nh: 6a  7  a (I)
Gi¶i(I) t×m a tõ ®ã t×m x.
VD2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
( 1  x  1)( 1  x  1)  2 x
HD: ë bµi nµy ta t×m mèi liªn hÖ c¸c biÓu thøc b»ng c¸ch ®Æt : 1 x  u ;
Rót x theo u thay vµo c¸c biÓu thøc cßn l¹i trong ph­¬ng tr×nh ®Ó ®­a vÒ ph­¬ng
tr×nh Èn u.
Gi¶i: §K : -1  x  1 ;
C1: §Æt:
1 x  u
(0  u  2 )
 x  u2 1
(5)  (u  1)( 2  u 2  1)  2(u 2  1)  (u  1) ( 2  u 2  1)  2(u  1) 
u  1  0
 2
 2  u  1  2(u  1)  0
+ NÕu : u  1  0  u  1( tho¶ m·n)  x  1  1  x  0 (Tho¶ m·n §K)
2  u 2  1  2(u  1)
2u  1  0
 2 2
 5u 2  4u  1  0
2  u  (2u  1)
2
1 1 24
Gi¶i ra: u1  1( lo¹i); u 2   x     1   tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
5 5 25
24
VËy x  0; x   lµ nghiÖm cña (5)
25
c2:ë bµi nµy cã thÓ ®Æt : 1  x  a; 1  x  b ;
§­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh:
(a  1)(b  1)  a 2  b 2
 2
a  b 2  2
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 9
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
C2: §Æt Èn phô ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ 2 Èn: Èn chÝnh vµ Èn phô, t×m mèi quan hÖ
gi­· Èn chÝnh vµ Èn phô.
VD3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2  x 2  2  x (6)
NhËn xÐt:- NÕu b×nh ph­¬ng hai vÕ ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh bËc 4 khã nhÈm nghiÖm v«
tû.V× vËy ta cã thÓ ®Æt Èn phô nh­ng ch­a ®­a ®­îc vÒ ph­¬ng tr×nh chØ chøa mét Èn.
-H·y t×m c¸ch ®­a vÒ mét hÖ ph­¬ng tr×nh cã 2 Èn lµ Èn chÝnh vµ Èn phô. T×m mèi
quan hÖ gi÷a Èn chÝnh vµ Èn phô tõ ®ã ® ­a vÒ ph­¬ng tr×nh ®¬n gi¶n.
2  x  0
Gi¶i: §K:  2
2  x  0
2  x 2  y
§Æt: y  2  x  x  2  y 2 ;Ta cã hÖ: 
2  y 2  x
§©y lµ hÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng
 ( y  x)( y  x  1)  0
x  y

1  x  y
+ NÕu x=y ta cã ph­¬ng tr×nh: 2  x  x gi¶i ra x  1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
1 5
+ NÕu1-x=y ta cã ph­¬ng tr×nh: 2  x  1  x gi¶i ra: x  ( Tho¶ m·n ®iÒu
2
kiÖn)
1 5
VËy ph­¬ng tr×nh (6) cã 2 nghiÖm x1  1; x 2 
2
VD4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
x 2  x  2006  2006
C¸ch 1: §Æt x  2006  y ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh
 x  2006  y 2 x   y  x  2006   x
 2 gi¶i ra x  y 1  
 x  y  2006   x  2006  x  1
tõ ®ã sö dông ph­¬ng ph¸p 1 ®Ó gi¶i tiÕp.
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 10
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
Chó ý : C¸ch nµy th­êng sö dông khi quan hÖ Èn chÝnh vµ Èn phô ®­a ®­îc vÒ hÖ
ph­¬ng tr×nh ®èi xøng.
C¸ch 2: §­a 2 vÕ vÒ cïng bËc:
1 1
x2  x   x  2006  x  2006 
4 4
2 2
 1  1
  x     x  2006  
 2  2
 1 1
 x  2  x  2006  2

 x  1  1  x  2006
 2 2
§Õn ®©y tiÕp tôc gi¶i theo ph­¬ng ph¸p 1
Bµi tËp t­¬ng tù : Gi¶i ph­¬ng tr×nh
x 3  1  2 y
a) x 3  1  23 2 x  1 ; HD: §Æt Èn phô y  3 2 x  1 ta cã hÖ :  3
 y  1  2 x
b) 2 x 2  2 x  1  4 x  1 ; HD : §Æt Èn phô y  x 2  x
c) 4 x 2  6 x  7  2 x 2  3x  9  15
B) §Æt 2 Èn phô:
ë d¹ng nµy ta ®Æt 2 Èn phô ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh 2 Èn phô, gi¶i hÖ t×m gi¸ trÞ
cña Èn phô, tõ ®ã tõ mèi quan hÖ gi÷a Èn chÝnh vµ Èn phô ®Æt lóc ®Çu ®­a vÒ ph­¬ng
tr×nh ®¬n gi¶n.
VD1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 3 2  x  x  1  1 (7)
NhËn xÐt: ë vÕ tr¸i cã c¨n bËc 2 vµ c¨n bËc 3 nªn viÖc n©ng luü thõa 2 vÕ ®Ó lµm mÊt
dÊu c¨n lµ rÊt khã.
+ Hai biÓu thøc trong c¨n cã mèi quan hÖ: 2  x  x  1  1 (h»ng sè)
+ §Æt 2 Èn phô: SÏ ®­a vÒ hÖ 2 ph­¬ng tr×nh kh«ng chøa c¨n vµ gi¶i.
Gi¶i: §K: x  1 §Æt:
3
2  x  u; x  1  v
Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh:
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 11
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
u  v  1
 3 3
gi¶i ra u1  0; u 2  1; u 3  2
u  v  1
Tõ ®ã: x1  1; x 2  2; x3  10 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
VËy ph­¬ng tr×nh (7) cã 3 nghiÖm: x1  1; x 2  2; x3  10
VD2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
3
x  2  x 1  3
( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2005)
a  b  3
HD: §Æt 3 x  2  a; x  1  b ; Ta cã hÖ:  3 2
a  b  3
Gi¶i ra:a=1; b=1 ; tõ ®ã gi¶i ra t×m x=3
Tæng qu¸t: §èi víi ph­¬ng tr×nh cã d¹ng:
n a  f ( x)  m b  f ( x )  c
Ta th­êng ®Æt: u  n a  f ( x) ; v  m b  f ( x) Khi ®ã ta ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh:
u  v  c u  v  c
 n m
hoÆc  n m
u  v  a  b u  v  a  b
Gi¶i hÖ nµy t×m u, v sau dã t×m x
VD3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
3
3x  12  3 3x  12  3 9 x 2  1  0 (9)
NhËn xÐt: NÕu lËp ph­¬ng hai vÕ th× còng rÊt phøc t¹p v× kh«ng ®­a ®­îc vÒ d¹ng
a.b=0 nh­ ë ph­¬ng tr×nh (2)
9 x 2  1  (3x  1)(3 x  1) . Nªn cã thÓ ®Æt 2 Èn phô
Gi¶i: §Æt u  3 3x  1 v  3 3x  1
u 2  v 2  uv  1 u  1
(9) trë thµnh:  3 3
Gi¶i ra: 
u  v  2 v  1
vËy ta cã:
3 3 x  1  1
3  x  0 VËy (9) cã nghiÖm x=0
 3 x  1  1
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 12
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
Bµi tËp t­¬ng tù: Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
1 1
a) 3 x  x 1
2 2
b) 3 x  a  3 x  b  1
Ngoµi c¸ch trªn cã mét sè bµi khi ®Æt 2 Èn phô nh­ng kh«ng ®­a ®­îc vÒ hÖ PT
th× ta cã thÓ t×m quan hÖ cña 2 Èn phô , thay vµo hÖ thøc ®· ®Æt lóc ®Çu ®Ó ®­a vÒ
ph­¬ng tr×nh ®¬n gi¶n. Nh­ c¸c VD sau:
VD4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
2( x 2  2)  5 x 3  1 (10)
NhËn xÐt: NÕu b×nh ph­¬ng hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh sÏ ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh bËc 4 rÊt
khã gi¶i:
H­íng dÉn: + NhËn xÐt g× vÒ biÓu thøc x3+1 ?
cã d¹ng H§T: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)
+ T×m mèi quan hÖ gi÷a x2+2 vµ x3 +1
x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1)
+ Tõ ®ã ta cã thÓ ®Æt 2 Èn phô: a  x  1; b  x 2  x  1 vµ t×m mèi quan hÖ a, b tõ ®ã
t×m x
Gi¶i:
§K : x  1
2( x 2  1)  5 ( x  1)( x 2  x  1)
§Æt a  x  1; b  x 2  x  1
Ta cã: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2
Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:
2(a 2  b 2 )  5ab
a  2b
 (2a  b)(a  2b)  0  
b  2a
* Víi a= 2b ta cã: x  1  2 x 2  x  1
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 13
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
 x 2  5x  3  0
 5  37
 x1 
 2 ( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
 5  37
 x2 
 2
+ Víi b=2a Ta cã: x 2  x  1  2 x  1 . Tõ ®ã gi¶i ra t×m x
( ë d¹ng nµy viÖc t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøc ë hai vÕ lµ rÊt quan träng .
V× vËy tr­íc khi gi¶i ph¶i quan s¸t nhËn xÐt ®Ó t×m ra ph­¬ng ph¸p gi¶i phï hîp).
VD5:Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
2(3 x  5) x 2  9  3x 2  2 x  30
( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2004-2005)
HD : H·y biÓu diÔn ®Ó thÊy mèi quan hÖ c¸c biÓu thøc:
32 x  3  1 x 2  9  3( x 2  9)  2 x  3
§Æt: 2 x  3  a; x 2  9  b ;
Ta cã PT: (3a  1)b  a  3b 2  (3b  1)(b  a)  0
b  a  2 1
 x 9 
Gi¶i ra:  1   3 ; Gi¶i ra: x=0
b  2
 3 2 x  3  x  9
VD5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 5 2 x 3  16  2( x 2  8);
( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2005)
5 2( x  2)( x 2  2 x  4)  2( x 2  8)
HD: BiÕn ®æi
Mèi liªn hÖ: x 2  8  ( x 2  2 x  4)  (2 x  4) ;
§Æt: 2( x  2)  a; x 2  2 x  4  b
Ta cã ph­¬ng tr×nh: 5ab  2(a 2  b 2 )  (2a  b)(a  2b)  0
Tõ ®ã t×m a,b, vµ t×m ®­îc x
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 14
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
BT T­¬ng tù: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
a) 2( x 2  3x  2)  3 x 3  8
b) 2 x  3  x  1  3x  3 2 x 2  5 x  3  16
H­íng dÉn:NhËn xÐt: (2 x  3)( x  1)  2 x 3  5 x  3
§Æt : u  2 x  3  0; v  x  1  0
 u 2  v 2  3x  4  3x 2  u 2  v 2  4
Nªn ta cã ph­¬ng tr×nh: u  v  u 2  v 2  20  2uv  (u  v) 2  (u  v)  20  0
§Æt: u+v=t. Ta cã ph­¬ng tr×nh: t2-t-20=0
t  5
Gi¶i ra:  Do ®ã: 2x  3  x  1  5
t  4(loai)
§Õn ®©y dïng ph­¬ng ph¸p 1 ®Ó gi¶i: x=3
C) §Æt nhiÒu Èn phô:
VD1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2
NhËn xÐt: + Ph­¬ng tr×nh nµy nh×n rÊt phøc t¹p , nÕu nghÜ ®Õn ph­¬ng ph¸p b×nh
ph­¬ng 2 vÕ th× sÏ ®­a vÒ mét ph­¬ng tr×nh phøc t¹p .
+ ViÖc ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c c¨n thøc cã nghÜa cã thÓ phøc t¹p , nªn ta gi¶i ph­¬ng
tr×nh t×m x råi thö l¹i.
+ Quan s¸t nhËn xÐt c¸c biÓu thøc trong c¨n :
(2 x 2  1)  ( x 2  3 x  2)  (2 x 2  2 x  3)  ( x 2  x  2)
Nªn cã thÓ nghÜ ®Õn ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô :
Gi¶i: §Æt 2 x 2  1  u; x 2  3 x  2  v; 2 x 2  2 x  3  z; x 2  x  2  t
u  v  z  t
Ta cã hÖ :  2 2 2 2
Tõ ®ã suy ra: u  t  2 x 2  1  2 x 2  x  3 Gi¶i ra : x=-2
u  v  z  t
Thay vµo tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ®· cho , VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-2
( Ph­¬ng ph¸p nµy t«i thÊy hay vµ ®éc ®¸o , tõ ®ã GV cã thÓ ®Æt nhiÒu ®Ò to¸n ®Ñp)
Bµi tËp t­¬ng tù: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
2006 x 2  2005  2005 x 2  x  2004  2006 x 2  2 x  2003  2005 x 2  x  2002
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 15
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph­¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
Ph­¬ng ph¸p 4: §­a vÒ d¹ng : A2 + B2 = 0 hoÆc A.B=0
ë ph­¬ng ph¸p nµy ta sö dông A2 + B2 = 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0
Khi A=0 hoÆc B=0
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x 2  4x  5  2 2x  3
NhËn xÐt: + Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p 1, 2, 3 ®Òu khã gi¶i
+ BiÕn ®æi ®­a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0
3
Gi¶i:§iÒu kiÖn: x  
2
x 2  4x  5  2 2x  3  0
 ( x 2  2 x  1)  (2 x  3  2 2 x  3  1)  0
 ( x  1) 2  ( 2 x  3  1) 2  0
x  1  0

 2x  3  1  0
Gi¶i ra x=-1
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
2x 2  2x  1  4x  1
NhËn xÐt:
+ ë ph­¬ng tr×nh nµy ta cã thÓ ®Æt Èn phô y = x2 + x tõ ®ã ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh
y  x2  x
®èi xøng: 
 x  y 2  y
x  y
Tõ ®ã suy ra:  råi gi¶i t×m x
 x  2  y
+ Ta còng cã thÓ nh©n 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2 råi ®­a vÒ d¹ng:
4 x 2  ( 4 x  1  1) 2  0 gi¶i ra x=0 ( c¸ch gi¶i nµy ®¬n gi¶n h¬n)
Bµi tËp t­¬ng tù: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
a) x 2  6 x  26  6 2 x  1 b) x y  z  4  2 x2  4 y 3 6 z 5
VD: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 5 x  2 x  1  1  x  3
( §Ò thi häc sinh giái huyÖn 2005)
Ng­êi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Tr­êng THCS DiÔn Tr­êng 16