Skkn phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng (toán 8)

  • 25 trang
  • file .pdf
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của
những người yêu thích toán học. Đối với học sinh, để có một kiến thức vững
chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với giáo
viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà
giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
Nội dung "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chương
trình đại số lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để
giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì
vậy, yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề vô cùng cần thiết và rất quan trọng.
Trong nhiều năm gần đây tôi được phân công giảng dạy toán lớp 8, tôi
nhận ra học sinh rất cứng nhắc, thiếu sáng tạo trong việc sử dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử và gặp lúng túng, khó khăn khi giải các
bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan. Nắm được
tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi,
nghiên cứu, rút ra các ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' đa dạng
và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho
học sinh. Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử,
dùng hằng đẳng thức ... . Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi giới thiệu thêm
một số ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' bằng cách sử dụng các
phương pháp sáng tạo và đa dạng như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng
phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn
phụ, phương pháp tìm nghiệm của đa thức ... .Đồng thời vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập.
Khi lồng ghép sáng kiến này vào quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh
rất thích thú và đạt được kết quả hết sức tốt, không những học sinh nắm vững
vàng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà còn rất linh hoạt và
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 1 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
sáng tạo trong việc giải các bài tập có liên quan đến phân tích đa thức thành
nhân tử như bài toán giải phương trình, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,
bài toán tìm nghiệm nguyên ..., với tinh thần trên tôi quyết tâm thực hiện sáng
kiến kinh nghiệm: '' Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' nhằm góp
phần nâng cao chất lượng giáo dục trong huyện nhà.
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 2 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
II. NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Mục đích nghiên cứu:
- Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử”
- Đổi mới phương pháp dạy học
- Nâng cao chất lượng dạy học
1.2. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:
1.2.1. Nhiệm vụ:
 Nhiệm vụ khái quát: Nêu các phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa
thức thành nhân tử”
 Nhiệm vụ cụ thể:
- Tìm hiểu thực trạng học sinh
- Những phương pháp đã thực hiện
- Những chuyển biến sau khi áp dụng
- Rút ra bài học kinh nghiệm
1.2.2. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp đọc sách và tài liệu
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp thực nghiệm
- Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề
1.3. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:
- Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận
dụng”
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS Ba Động
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
Từ năm học 2009 - 2010 đến nay, tôi được nhà trường phân công giảng bộ
môn toán lớp 8. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ thăm lớp của các giáo
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 3 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
viên trong trường, thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp
huyện bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi
làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút
gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải được các loại bài tập này cần
phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử.
Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và
kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học
sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến
thức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông
thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật
riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và
phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình
với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài
tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất
lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi. Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài
sáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử"
nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đa
thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với
từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
3. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành
nhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?
- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành
một tích của các đa thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán
khác.
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 4 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Ví dụ:
+ Bài toán chứng minh chia hết.
+ Rút gọn biểu thức
+ Giải phương trình bậc cao
+ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất...
3.1. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
3.1.1. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách,
thêm, bớt hạng tử:
Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - 9
Giải: Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc
áp dụng ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng
hoặc thêm bớt số hạng. Ta có thể phân tích như sau:
Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - 9
= x4 - 9 + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3)
= (x2 + 3) (x2 - 3 + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - 9
= x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - 9
= x2 (x2 + 5x - 3) + 3 (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
Bài này cần lưu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x2 + 5x - 3
không phân tích được nữa.
Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz.
Giải: Đa thức đã cho có 7 số hạng lại không đặt nhân tử chung được mà có
hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành 3 hạng tử để sử dụng phương
pháp nhóm hạng tử.
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz
= x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz
= x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy)
= (xy + xz + yz) (x + y + z).
Ví dụ 3: x2 + 6x + 8
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 5 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Giải: Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng,
dùng hằng đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này. Nếu tách một số
hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng
tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ... Từ đó có
nhiều khả năng biến đổi đa thức đã cho thành tích.
Cách 1: x2 + 6x + 8
= x2 + 2x + 4x + 8
= x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 2: x2 + 6x + 9 - 1
= (x+3)2 - 1 = (x + 3 - 1) (x+ 3 +1) = (x+2) (x+4)
Cách 3: x2 - 4 + 6x + 12
= (x-2) (x+2) + 6 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 4: x2 + 6x + 8
= x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4)
= (x + 4)(x - 4 + 6) = (x+2)(x+4).
Ví dụ 4: x3 - 7x - 6
Giải: Ta có thể tách như sau:
Cách 1: x3 - 7x - 6
= x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
= x (x - 1)(x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1)(x2 - x - 6)
= (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1)[ x (x - 3) + 2 (x - 3)]
= (x + 1)(x + 2)(x - 3)
Cách 2: x3 - 7x - 6
= x3 - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2)
= x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
= (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1)
Cách 3: x3 - 7x - 6
= x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2)
= (x - 3) (x + 2) (x + 1)
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 6 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Cách 4: x3 - 7x - 6
= x3 + 1 - 7x - 7 = (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x + 1 - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 5: x3 - 7x - 6
= x3 + 8 - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7)
= (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3)
= (x + 2) (x + 1) (x - 3)
Cách 6: x3 - 7x - 6
= x3 - 9x + 2x - 6 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2).
Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là
kết quả cuối cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có
tính chất tương đối vì nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân
tích không triệt để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể
có một kết quả khác nhau.
Chẳng hạn ở bài tập trên, cách 1, cách 4 có thể cho ta kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6).
Cách 2, cách 5 cho kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
Cách 3, cách 6 cho kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau:
- Một đa thức dạng ax2 +bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử trong tập
hợp Q khi đa thức đó có nghiệm hữu tỉ   (hoặc  , ) là một số chính phương
(trong đó  = b2 - 4ac (  , = b,2 - ac)
- Một đa thức dạng ax2 + bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức được
khi :  (hoặc  ' )là một số chính phương và chứa 2 trong 3 hạng tử của
A2 +2AB +B2 hoặc A2 - 2AB +B2
Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 7 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Giải: Đa thức trên ta có thể dự đoán có 1 nhân tử là b+c hoặc c-a hoặc a+ b.
Ta có các cách phân tích như sau:
Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b)
= bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2)
= (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)]
= (b + c) (b + a) (c -a)
Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2)
= ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab)
= (c - a) (a +b) (c+ b)
Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b)
= c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)= (a + b) (cb - ca + c2 - ab)
= (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a)
Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b)
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b)
= c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a)
Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b)
Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b)
= bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b).
= c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b).
Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a)
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a)
= b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b)
= (c - a) (c + c) (b + a).
Ví dụ 6: a5 + a + 1.
Giải: Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với
số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung.
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 8 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Cách 1: a5 + a + 1
= a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + 1 = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1
= a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1)
Cách 2: a5 + a + 1
= a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1).
3.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3.
Giải: Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b.
Ta thấy: x + y + z = 0 => z = - x - y
(b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3
= x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2
= - 3xy ( x + y) = 3xyz
= 3 (b - c) (c - a) (a - b)
Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12
Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép nhân
đa thức với đa thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa thức
bậc 4 với năm số hạng này thường rất khó và dài dòng. Nếu chú ý đến đặc
điểm của đề bài: Hai đa thức x2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng
tử tự do, do đó nếu ta đặt y = x2 + x + 1 hoặc y = x2 + x thì biến đổi đa thức
thành đa thức bậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều.
Đặt y = x2 + x + 1.
Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12
= y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12
= y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3)
= (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3)
= (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2)
= (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5).
Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 9 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Giải: Nhận xét: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x+1
với x +7 và x + 3 với x + 5 ta được các đa thức có phần biến giống nhau.
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
= (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15
= (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15.
Đặt x2 + 8x + 7 = y ta được:
y (y + 8) + 15
= y2 + 8 y + 15 = y2 + 3 y + 5 y + 15
= (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + 7 + 3) (x2 + 8x + 7 + 5)
= (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10)
= (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10)
3.1.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của
đa thức.
 Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có )
của một đa thức phải là ước của hạng tử tự do.
Ví dụ: . Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau: x3 + 3x2 - 4
Giải:
Cách 1: Các ước của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 . Thử các giá trị này ta thấy x = 1
và x = -2 là nghiệm của đa thức đã cho.
Cách 2: Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm
x = 1.
 Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số
nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số
tự do; q là ước dương của số hạng có bậc cao nhất.
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + 3
Giải:
Các ước của 3 là : 1;-1;3;-3 (p)
Các ước dương của 2 là : 1;2 (q)
Xét các số 1; 3;1/2; 3/2 ta thấy -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho.
Chú ý:
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 10 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1.
Ví dụ: Đa thức
a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1.
b) 4x3 +5x2 - 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1.
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số
của số hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 .
Ví dụ: Đa thức
a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - 3
Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 5 + 11 + (-3) = 13
Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 4 + 7 + 2 = 13
Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số
hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1.
b) x3 + 3x2 + 6x + 4
Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 3 + 4 = 7
Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 1 + 6 = 7
Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số
hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1.
 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa
thức:
Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a thì sẽ chứa nhân tử x - a do đó khi phân
tích cần làm xuất hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x - a.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x3 + 3x2 - 4
b) 2x3 + 5x2 + 5x + 3
Giải:
a) x3 + 3x2 - 4
Cách 1: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= 1 nên chứa nhân tử x-1
Ta có : x3 + 3x2 - 4
= x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - 4 = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1)
= (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 11 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= -2 nên chứa nhân tử x + 2
Ta có: x3 + 3x2 - 4
= x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4
= x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2)
= (x+2) (x2 +x -2)
= (x+2) (x2 - x + 2x -2)
= (x+2) x(x-1) +2(x-1)
= (x+2)(x-1)(x+2)
= (x-1) (x+2)2
b) 2x3 + 5x2 + 5x + 3
Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + 3 có nghiệm là x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3
Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + 3
= 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3
= x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3)
= (2x+3) (x2 + x +1)
3.2. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử .
3.2.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân
tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
của chúng.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
x  4 x  19 x  106 x  120
A
x  7 x  x  67 x  60
Giải:
x  4 x  19 x  106 x  120
Ta có A
x  7 x  x  67 x  60
Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5
Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5
Do đó:
x  4 x  19 x  106 x  120
A
x  7 x  x  67 x  60
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 12 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)
A=
( x  1)( x  3)( x  4)( x  )
( x  2)( x  4)
A=
( x  1)( x  4)
Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức:
x  3x  4
B
xx2
Giải:
Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1; nên ta có:
x  3x  4
B
xx2
x  x  x  x  4x  4
=
x  x  2x  2x  2x  2
xx4
= .
x  2x  2
Ta thấy cả tử và mẫu đều không phân tích được nữa.
3.2.2. Dạng 2: Chứng minh chia hết
Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều
cách giải nhưng ở đây tôi chỉ trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa
thức thành nhân tử để giải.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có:
[(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15]  (x+6)
Giải:
Ta có:
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
= (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15
Đặt t = x2 + 8x +11
 (t - 4)(t + 4) +15
= t2 - 1 = (t + 1)(t - 1)
Thay t = x2 + 8x +11 , ta có:
(x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10)
= (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6)  (x+6).
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 13 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết
cho 8.
Giải:
Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số
(4x + 3)2 -25
= (4x + 3)2 - 52
= (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)
= (4x + 8) (4x - 2)
= 4 (x + 2) 2 (2x - 1)
= 8 (x + 2) (2x - 1)
Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên.
Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM.
Cách 2: (4x + 3)2 - 25
= 16x2 + 24x + 9 - 25
= 16x2 + 24x - 16
= 8 (2x2 + 3x - 2).
Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyên
Do đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức:
n n2 n3
A=   là số nguyên.
3 2 6
Giải:
n n 2 n 3 2 n  2n 2  2 3
Ta có:   
3 2 6 6
Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n2 + n3
chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Ta có: 2n + 3n2 + n3
= n (2 + 3n + n2)
= n (2 + 2n + n + n2)
= n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)]
= n (n + 1) (n + 2).
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 14 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
Ta thấy n (n + 1) (n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên ít nhất có
một thừa số chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 . Mà 2 và 3 là hai số
nguyên tố cùng nhau nên tích này chia hết cho 6.
n n2 n3
Vậy mọi số nguyên n biểu thức A=   là số nguyên.
3 2 6
Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho đa
thức x16 + x15 + ... + x2 + x + 1.
Giải:
Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân
tích đa thức bị chia như sau:
x50 + x49 + ... + x2 + x + 1
= (x50 + x49 + ... + x35 + x34) +(x33 + x32 + ... + x18 + x17) + x16 ... x2 + x + 1.
= (x34) (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1)
+ x16 ... +x2 + x + 1
= (x16 + x15 + ... +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1)
Rõ ràng: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho x16 + x15 + ... x + 1. Kết
quả của phép chia là : x34 + x17 + 1
Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a+b+c
Giải:
Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c. Dự đoán đa thức A phân tích
thành nhân tử có một nhân tử là a + b + c.
Ta có:
A = a3 + b3 + c3 - 3abc
= a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb
- ac2 - acb - b2c - bc2
= a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
= B. (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B.
1 1 1 1
Ví dụ 6: Cho   
a b c abc
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 15 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
1 1 1 1
CMR: n
 n  n  n với n lẻ.
a b c a  bn  cn
Giải:
1 1 1 1 bc  ac  ab 1
Ta có:     
a b c abc abc abc
=> (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc.
=> abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc
=> (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = 0
=> bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0
=> (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = 0
=> (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 => (a + b) (b + c) (a + c) =0
=> a + b = 0 => a = - b hoặc b + c = 0 => b = - c hoặc a + c = 0 => a = - c
Vì n lẻ nên a2 = -bn hoặc bn = - c2 hoặc an = - cn
Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh.
3.2.3. Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số
dạng phương trình.
a) Giải phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
3x2 + 10xy + 8y2 = 96
Giải:
Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2
= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2
= x (3x + 4y) + 2y (3x + 4y)
= (3x + 4y) (x + 2y)
= 96
Ta có: 96 = 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16
Mà x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3
Ta có các hệ phương trình sau:
x + 2y = 4 x + 2y = 6
(I) (II)
3x + 4y = 24 3x + 4y = 16
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 16 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
x + 2y = 8 x + 2y = 12
(III) (IV)
3x + 4y = 12 3x + 4y = 8
Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại).
Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại)
Giải hệ (III) ta được x = 4; y = 6 (Loại)
Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại)
Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1.
Vậy nghiệm của phương trình: x= 4; y = 1
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2x3 + xy - 7 = 0
Giải: 2x3 + xy - 7 = 0
=> 2x3 + xy = 7 => x (2x2 + y) = 7
x=1 x=1
=> =>
2x2 + y = 7 y=5
Hoặc x=7 x=7
=>
2x2 + y =1 y = - 97
Hoặc x=-1 x=-1
=>
2x2 + y =-7 y=-9
Hoặc x=-7 x=-7
2x2 + y = - 1 => y = -99
Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > 0 thỏa mãn:
x3 + 7 y = y3 + 7x
Giải: x3 + 7 y = y3 + 7x
=> x3 - y3 - 7x + 7y = 0
=> (x - y)3 (x2 + xy + y2) - 7 (x - y) = 0
=> (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = 0 Vì x > y > 0
=> x2 + xy + y2 - 7 = 0
=> x2 - 2xy + y2 = 7 - 3xy
=> (x - y)2 = 7 - 3xy
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 17 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
7
=> 7 - 3xy > 0 => 3xy < 7 => xy <
3
x.y  2 => x = 2; y = 1
b) Giải phương trình bậc cao
Ví dụ 1: Giải phương trình
( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0
Giải: Ta có:
( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0
 ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0
 ( 4x - 6)(2x - 4) = 0
 4x - 6 = 0  x = 3/2
hoặc 2x - 4 = 0  x = 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0
Giải: Ta có:
` x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0
 x3 + x2 +2x2 +2x +2x + 2 = 0
x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0
(x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0
hoặc (x + 1) = 0 => x = -1
hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x  Q
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1
3.3. Bài tập:
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1) x3 - 4x2 + 8x - 8
2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz
3) x2 + 7x + 10
4) y2 + y - 2
5) n4 - 5n2 + 4
6) 15x3 + x2 - 2n
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 18 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b)
8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b)
9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1
10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 9
11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 2
12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3
13) Tính nhanh giá trị của biểu thức sau với:
3
a) x = - 5 P = (x+ 2)2 - 2 (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2
4
b) a = 5,75; b = 4,25
Q = a3 - a2b - ab2 + b3
14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - 9 chia hết cho 4 với mọi n nguyên.
n n2 n3
15) CM biểu thức   là số nguyên với mọi số chẵn n.
12 8 24
16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + ... + x2 + x+ 1 chia hết cho đa thức
x19 + x18 + ... + x2 + x + 1
4. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Ba
Động trong năm học 2013 - 2014 đã thu được các kết quả khả quan.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi
kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ
thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến
việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt. Đa số các em học sinh đã biết sử dụng
các phương pháp phân tích thông thường một cách thành thạo, 80% các em
học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các
phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm, kết quả
kiểm tra định kỳ chương I đại số 8 mà phần lớn kiến thức liên quan đến phân
tích đa thức thành nhân tử, các em làm bài rất tốt, hơn 95% học sinh đạt điểm
từ trung bình trở lên so với khi chưa áp dụng sáng kiến này là tăng 20%. Bên
cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 19 Sáng kiến kinh nghiệm
Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014
và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình
học tập và giải toán khi học bộ môn toán. Việc áp dụng sáng kiến này không
những có hiệu quả về chiều rộng mà còn về chiều sâu. Trong kỳ thi học sinh
giỏi khối 8 năm học này phần kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành
nhân tử các em làm rất tốt, đó là những kết quả bước đầu rất đáng khích lệ
giúp tôi tin tưởng hơn trong việc áp dụng sáng kiến này vào dạy học và chia
sẽ cùng đồng nghiệp.
Giáo viên: Bùi Tấn Vược 20 Sáng kiến kinh nghiệm