Skkn một vài kinh nghiệm vận dụng vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học trong chương trình hình học thcs

  • 17 trang
  • file .pdf
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
PHOØNG GIAÙO DUÏC  ÑAØO TAÏO THAØNH PHOÁ PLEIKU
TEH
N ÑEFTAØI:
MOÄT VAØI KINH NGHIEÄM VAÄN DUÏNG VEÕ THEÂM YEÁU TOÁ PHUÏ
ÑEÅ GIAÛI DAÏNG TOAÙN CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC HÌNH HOÏC
TRONG CHÖÔNG TRÌNH HÌNH HOÏC THCS
MAÕSKKN: 2TL
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân
NAP
M HOÏ
C: 2008 - 2009
1
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
PHAÀN I: ÑAËT VAÁN ÑEÀ
I. LYÙ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI:
Ô atìö ôø
èá THCS, dauó Téaùè æaødauó âéaut ñéäèá Téaùè âéuc câé âéuc íãèâ, tìéèá
ñéù áãaûã téaùè æaøñaqc tìö èá câuû óeáu cuûa âéuc íãèâ. Ñekìeø è æuóeäè kó èapèá áãaûã téaùè
câé âéuc íãèâ, èáö ôø ã áãaùé vãeâè caàè tìaèá bx téát câé âéuc íãèâ âeä tâéáèá kãeáè tâö ùc cô
baûè, âìèâ tâaø èâ kó èapèá, tö duó tâuaät áãaûã vaøpâaùt tìãekè èapèá æö uc tícâ cö uc, câuû
ñéäèá, ñéäc æaäp, íaùèá taué.
Beâè cauèâ vãeäc èaâèá caé câaát æö ôuèá âéuc íãèâ ñauã tìaøcéø è caàè pâaûã pâaùt âuó
tìí æö uc câé âéuc íãèâ kâaù – áãéûã. Bôûã vì, âãeäè èaó tìéèá caùc èâaøtìö ôø èá céâèá taùc béàã
dö ôõèá âéuc íãèâ áãéûã ìaát ñö ôuc quaè taâm vaøtìôû tâaø èâ muõã èâéuè cuûa muuc tãeâu pâaáè
ñaáu câaát æö ôuèá, tìéèá ñéù béàã dö ôõèá âéuc íãèâ áãéûã Téaùè áãö õméät vaã tìéøtâãeát óeáu.
Náéaø ã èâö õèá tâuaäè æôuã, taué ñãeàu kãeäè téát câé vãeäc béàã dö ôõèá èaâèá caé câaát
æö ôuèá âéuc íãèâ, vaãè céø è èâö õèá vaáè ñeàcaàè æö u óù veàmaqt pâö ôèá pâaùp. Ô añaâó téâã
muéáè ñeà caäp ñeáè vãeäc áãaûèá dauó pâaâè méâè Hìèâ âéuc vôùã èâö õèá óeâu caàu èâaèm
pâaùt âuó kâaû èapèá èâaäè tâö ùc cuûa âéuc íãèâ, ñéù æaøóeâu caàu veõóeáu téápâuutìéèá quaù
tììèâ áãaûã caùc baø ã taäp Hìèâ âéuc. Vãeäc veõtâeâm óeáu téápâuuæaø m câé baø ã téaùè tìôû
èeâè deã daø èá âôè, tâuaäè æôuã âôè. Tâaäm câí céù baø ã pâaûã veõtâeâm óeáu téápâuumôùã
tìm ìa ñö ôuc æôø ã áãaûã baøã téaùè. Tuó èâãeâè veõtâeâm óeáu téápâuuèâö tâeáèaø é ñekcâé
baøã téaùè céù æôø ã áãaûã èáaéè èáéuè vaøâaó æaøvaáè ñeàkâãeáè câé câuùèá ta pâaûã ñaàu tö
íuó èáâó.
Kãèâ èáâãeäm câé tâaáó ìaèèá kâéâèá céù pâö ôèá pâaùp câuèá câé vãeäc veõtâeâm
óeáu téápâuumaøæaøcaû méät íö uíaùèá taué tìéèá kâã áãaûã téaùè, bôûã vì vãeäc veõtâeâm caùc
óeáu téápâuucaàè ñaut ñö ôuc muuc ñícâ æaøtaué ñãeàu kãeäè ñekáãaûã baø ã téaùè méät caùcâ
èáaéè áéuè câö ù kâéâèá pâaûã æaøméät céâèá vãeäc tuóøtãeäè. Hôè èö õa, vãeäc veõtâeâm óeáu
téápâuupâaûã tuaâè tâeé caùc pâeùp dö uèá âìèâ cô baûè vaøcaùc baø ã téaùè dö uèá âìèâ cô
baûè.
Tuó èâãeâè, tìéèá quaù tììèâ áãaûèá dauó, téâã èâaäè tâaáó âéuc íãèâ céø è ìaát æuùèá
tuùèá kâã ñö ùèá tìö ôùc baø ã téaùè câö ùèá mãèâ Hìèâ âéuc, èâaát æaøèâö õèá baø ã téaùè caàè
pâaûã keû tâeâm ñö ôø èá pâuu. Caùc em câö a ñxèâ âö ôùèá ñö ôuc vaáè ñeà, ñéâã kâã céø è câö a
bãeát pâaûã baét ñaàu tö øñaâu, veõâìèâ pâuuèâö tâeáèaø é ? céù cô íôû èaøé áãuùp caùc em tìm
ìa âö ôùèá ñã câé vãeäc keû tâeâm âìèâ méãã kâã câö a tìm èáaó ìa æôø ã áãaûã cuûa baø ã téaùè.
Tâãeát èáâó ñaâó æaøvaáè ñeàìaát tìapè tìôû, ñaqc bãeät æaøtìéèá céâèá taùc béàã dö ôõèá
Héuc íãèâ Gãéûã Téaùè cuûa èáö ôø ã áãaùé vãeâè. Kâéâèá câæ æaøñxèâ âö ôùèá vaøìeø è æuóeäè
câé caùc em, maøtâö uc íö uñaâó céø è æaøcaùcâ ñekìeø è æuóeäè vaøpâaùt tìãekè tö duó câé
âéuc íãèâ, èaâèá caé kâaû èapèá íuó æuaäè æéáãc, kâaû èapèá vaäè duuèá tìã tâö ùc vaø é tâö uc
tãeãè.
2
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
ã: “ Moät
Vôùã muuc ñícâ èâö vaäó, téâã ñaõvãeát vaøaùp duuèá íaùèá kãeáè vôùã ñeàtaø
vaøi kinh nghieäm vaän duïng veõ theâm yeáu toá phuï ñeå giaûi daïng toaùn chöùng minh
ñaúng thöùc hình hoïc trong chöông trình Hình hoïc THCS”.
II. MUÏC ÑÍCH CHOÏN ÑEÀ TAØI:
Ñeàtaø ã èaø
ó èâaèm áãuùp âéuc íãèâ æôùp 8, 9, ñaqc bãeät æaøâéuc íãèâ kâaù - áãéûã céù
pâö ôèá pâaùp vaøpâö ôèá âö ôùèá ñekáãaûã quóeát caùc baø ã téaùè veà câö ùèá mãèâ ñaúèá
tâö ùc Hìèâ âéuc. Ñéàèá tâôø ã qua ñeàtaøã áãuùp âéuc íãèâ ñö ôuc ìeøè æuóeäè, cuûèá céáméät
caùcâ vö õèá câaéc kãeáè tâö ùc, kóõèapèá veõâìèâ, kóõèapèá tììèâ baø ó æôø
ã áãaûã âéuc ñaqc
bãeät æaøcéù tö duó veõtâeâm óeáu téápâuutìéèá vãeäc áãaûã caùc baø ã téaùè Hìèâ âéuc.
Ñeàtaø ã èaø
ó câíèâ æaøèáuéàè tö æãeäu békícâ pâuuc vuucâé caùc tâaàó céâáãaùé tìéèá
vãeäc ñxèâ âö ôùèá vaøbéàã dö ôõèá âéuc íãèâ Gãéûã ôû tìö ôøèá THCS; èáuéàè tö æãeäu câé
caùc em âéuc íãèâ kâaù – áãéûã câuû óeáu æaøâéuc íãèâ æôùp 8, 9 tö ubéàã dö ôõèá kãeáè tâö ùc
méâè Téaùè.
3
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
PHAÀN II:
GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ
I. PHÖÔNG HÖÔÙNG TÌM TOØI CAÙCH VEÕ THEÂM HÌNH PHUÏ ÑEÅ GIAÛI BAØI
TOAÙN CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC HÌNH HOÏC:
Kâã áãaûã caùc baø ã téaùè Hìèâ âéuc, vãeäc veõtâeâm âìèâ pâuutaué ñãeàu kãeäè tâuaäè
æôuã câé ta tìm ìa æôø ã áãaûã cuûa baøã téaùè, èâö èá bãeát taué ìa âìèâ pâuuméät caùcâ tâícâ
âôup kâéâèá pâaûã æaødeã. Tìéèá ñeà taø ã èaø
ó téâã muéáè ñö a ìa méät caùcâ pâaâè tícâ céù
câuû óù ñektìm ñö ôuc caùcâ veõtâeâm âìèâ pâuutâícâ âôup kâã áãaûã quóeát méät íéábaø ã
téaùè câö ùèá mãèâ ñaúèá tâö ùc âìèâ âéuc dauèá: x = a + b; xó = ab + cd; x2 = ab + cd;
x2 = ab – cd; x2 = a2 + cd; x2 = a2 + b2.
Ta xuaát pâaùt tö øméät baø ã téaùè ñôè áãaûè:
Ñekcâö ùèá mãèâ méät ñéauè tâaúèá baèèá tékèá âaã ñéauè tâaúèá kâaùc, câaúèá âauè:
AB = CD + EF, ta tìm caùcâ pâaâè câãa ñéauè tâaúèá AB tâaø èâ âaã ñéauè bôûã ñãekm K
íaé câé AK = CD, céâèá vãeäc céø è æauã æaøcâö ùèá mãèâ KB = EF.
YÙtö ôûèá tìeâè cuõèá ñö ôuc íö û duuèá ñekcâö ùèá mãèâ ñaúèá tâö ùc: xó = ab + cd vaø
caùc dauèá: x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + c2 v.v… èâö íau:
Böôùc 1: Câãa ñéauè tâaúèá ñéä daø ã x tâaøèâ âaã ñéauè bôûã ñãekm câãa K ñekcéù x =
x1 + x2 íaé câé x1ó = ab (1)
Böôùc 2: Câö ùèá mãèâ âeätâö ùc x2ó = cd (2)
Böôùc 3: Céäèá veátâeé veá(1) vaø(2) ñekñö ôuc ñaúèá tâö ùc caàè câö ùèá mãèâ:
x1ó + x2ó = ab + cd  xó = ab + cd
Sau ñaâó, xãè ñeàcaäp ñeáè méät íéácaùcâ veõtâeâm âìèâ pâuuñekxaùc ñxèâ ñãekm K tö ø
ñéù áãaûã quóeát baøã téaùè tâéâèá qua caùc ví duucuutâekíau.
II. CAÙC VÍ DUÏ MINH HOAÏ:
Ví duï 1: Câé tam áãaùc ABC caâè tauã A, ñãekm M tâuéäc cauèâ BC. Keû MD  AB(
DAB), keû ME  AC ( EAC), keû BH  AC ( HAC). CMR: MD + ME = BH
ABC caâè tauã A. A
GT M  BC
MDAB(DAB).
MEAC(EAC).
H
BHAC(HAC) D K E
B M C
KL MD + ME = BH
*Phaân tích: Laáó ñãekm KBH íaé câé BK = MD. Vì cauèâ MD æaøcauèâ áéùc vuéâèá
tìéèá MDB vuéâèá tauã D èeâè ñéauè tâaúèá BK cuõèá pâaûã æaøcauèâ áéùc vuéâèá cuûa
tam áãaùc BKM. Tö øñéù K pâaûã æaøcâaâè ñö ôø
èá vuéâèá áéùc keû tö øM ñeáè BH.
4
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
*Lôøi giaûi: Qua M, keû MK  BH(KBH).
+ Vì MK  BH; ACBH => MK // AC => C  BMK ( ôû vxtìí ñéàèá vx)
+ MDB vaøBKM céù: D  K  900 ; B  BMK ( cuø èá baèèá C ); cauèâ BM câuèá
=> MDB = BKM(á.c.á) => MD = BK ( 2 cauèâ tö ôèá ö ùèá) (1)
+ Tö ù áãaùc MKHE céù: K  H  E  90 èeâè æaøâìèâ câö õèâaät => ME = KH (2)
0
+ Céäèá (1) vaø(2) veátâeé veáta ñö ôuc : MD + ME = BK + KH = BH ( ñpcm)
*Nhaän xeùt:
1) Vì MD æaøcauèâ áéùc vuéâèá cuûa MDB, ñekcéù BK = MD tâì ñãekm pâuuK
ñö ôuc xaùc ñxèâ câíèâ æaøcâaâè ñö ôø
èá vuéâèá áéùc cuûa M ñeáè BH.
2) Tö øñaúèá tâö ùc: MD + ME = BH, ta tâaáó kâéaûèá caùcâ tö øñãekm M ñeáè 2 cauèâ
AB, AC kâéâèá pâuutâuéäc vaø é vxtìí ñãekm M. Ta céù tâekpâaùt bãeku æauã baø
ã téaùè dö ôùã
dauèá: Câé tam áãaùc ABC caâè tauã A, ñãekm M tâuéäc cauèâ BC. Câö ùèá mãèâ ìaèèá:
Tékèá kâéaûèá caùcâ tö øM ñeáè âaã cauèâ AB, AC kâéâèá pâuutâuéäc vaø é vxtìí cuûa èéù.
Ví duï 2: (Câö ùèá mãèâ ñxèâ æí Pãtaáé). Câé tam áãaùc ABC vuéâèá tauã A. Câö ùèá
mãèâ ìaèèá: BC2 = AB2 + AC2
A
GT ABC, vuéâèá tauã A
KL BC2 = AB2 + AC2
B K C
*Phaân tích:
BK AB
Laáó ñãekm KBC íaé câé BK.BC = AB2    KBA ñéàèá dau
èá vôùã
AB BC
ABC èeâè BKA  900 . Tö øñéù, K æaøcâaâè ñö ôø
èá vuéâèá áéùc keû tö øA xuéáèá cauèâ BC.
*Lôøi giaûi:
Keû AK  BC. Vì caùc áéùc B, C ñeàu èâéuè èeâè K BC
+ KBA vaøABC céù: BKA  BAC  900 ; B câuèá
=> KBA ñéàèá dauèá vôùã ABC (á.á)
BK AB
   AB 2  BK .BC (1)
AB BC
+ KAC vaøABC céù: AKC  BAC  900 ; C câuèá
=> KAC ñéàèá dauèá vôùã ABC (á.á)
CK AC
   AC 2  CK .BC (2)
AC BC
+ Céäèá veátâeé veá(1) vaø(2), ta ñö ôuc: AB 2  AC 2  BK .BC  CK .BC  BC 2 (ñpcm)
*Nhaän xeùt: Vì ABC vuéâèá tauã A. Dé ñéù, ñekKBA ñéàèá dauèá vôùã ABC tâì
ñãekm K caàè xaùc ñxèâ câíèâ æaøcâaâè ñö ôø
èá vuéâèá áéùc keû tö øA xuéáèá cauèâ BC.
5
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
Ví duï 3:(Ñeàtâã HSG Tâaø èâ pâéáPæeãku èapm âéuc 2005 – 2006)
Câé âìèâ bìèâ âaø èâ ABCD céù BAD èâéuè. Géuã E vaøF æaàè æö ôut æaøcâaâè caùc
ñö ôø
èá vuéâèá áéùc keû tö øC xuéáèá caùc ñö ôø
èá tâaúèá AB vaøAD. Câö ùèá mãèâ ìaèèá:
2
AC = AB.AE + AD.AF
E
èâ( BAD < 900 )
ABCD æaøâìèâ âaø
GT CE  AB; CF  AD
B C
KL AC2 = AB.AE + AD.AF
*Phaân tích: Laáó KAC íaé câé AK.AC = AB.AE K
A F
AK AE D
  èá vôùã ACE  BK  AC.
 ABK ñéàèá dau
AB AC
Vaäó ñãekm K caàè tìm æaøcâaâè ñö ôø
èá vuéâèá áéùc keû tö øB xuéáèá AC.
*Lôøi giaûi:
Keû BK  AC. Vì BAD èâéuè èeâè K tâuéäc ñéauè AC.
+ ABK vaøACE céù: AKB  AEC  900 ; A câuèá
=> ABK ñéàèá dauèá vôùã ACE (á.á)
AK AE
   AK . AC  AB. AE (1)
AB AC
+ CBK vaøACF céù: CKB  CFD  900 ; BCK  CAF (vxtìí íé æe tìéèá)
=> CBK ñéàèá dauèá vôùã ACF (á.á)
CK BC
   CK . AC  BC. AF
AF AC
+ Maø : BC = AD dé ABCD æaøâìèâ bìèâ âaø èâ => CK.AC = AD.AF (2)
+ Céäèá veátâeé veá(1) vaø(2), ta ñö ôuc: AK . AC  CK . AC  AB. AE  AD. AF
Haó: AC2 = AB.AE + AD.AF (ñpcm)
*Nhaän xeùt:
1) Dé ACE vuéâèá tauã E, ñekABK ñéàèá dauèá vôùã ACE tâì ñãekm pâuuK caàè
xaùc ñxèâ câíèâ æaøcâaâè ñö ôø
èá vuéâèá áéùc keû tö øB xuéáèá cauèâ AC.
2) Neáu âìèâ bìèâ âaø èâ ABCD æaøâìèâ tâéã, æuùc ñéù AB = AD. Dé ñéù keát æuaäè
2
cuûa baø
ã téaùè æaø
: AC = AB.(AE + AF).
3) Neáu âìèâ bìèâ ABCD æaøâìèâ câö õèâaät , æuùc ñéù E  B; F  D vaøAE  AB;
AF  AD. Nâö vaäó, âãekè èâãeâè ta céù: AC2 = AB2 + AD2 ( tâeé ñxèâ æí Pãtaáé)
6
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
Ví duï 4: Câé tam áãaùc ABC céù AD æaøñö ôø
èá pâaâè áãaùc tìéèá cuûa áéùc A
2
Câö ùèá mãèâ ìaèèá: AD = AB.AC – BD.CD
A
GT ABC
AD æaøpâaâè áãaùc
KL AD2 = AB.AC – BD.CD
B D C
*Phaân tích: Laáó KAD íaé câé: AK.AD = AB.AC
AK AC K
   ABK ñéàèá dau èá vôùã ADC
AB AD
Dé ñéù: ABK  ADC . Nâö vaäó ta xaùc ñxèâ ñö ôuc ñãekm K.
*Lôøi giaûi: Tìeâè AD æaáó ñãekm K íaé câé: ABK  ADC . Deãtâaáó AD = AK – DK
+ ABK vaøADC céù: ABK  ADC ; BAK  CAK (AD æaøpâaâè áãaùc cuûa áéùc A)
=> ABK ñéàèá dauèá vôùã ADC (á.á)
AK AC

  AK . AD  AB. AC (1)
AB AD
+ BDK vaø ADC céù: BDK  ADC (ñéáã ñæèâ); BKD  ACD (ABK ñéàèá dauèá
ADC)
=> BDK ñéàèá dauèá vôùã ADC (á.á)
BD DK
   DK . AD  BD.DC (2)
AD DC
+ Tìö øveátâeé veá(1) vaø(2), ta ñö ôuc: AK . AD  DK . AD  AB. AC  BD.DC
Haó: AD2 = AB.AC - BD.DC (ñpcm)
*Nhaän xeùt:
1) ABK vaøADC ñaõcéù BAD  CAD ( dé AD æaøpâaâè áãaùc cuûa áéùc A), ñekâaã
tam áãaùc èaø ó ñéàèá dauèá vôùã èâau ta caàè tìm tâeâm méät caqp áéùc baèèá èâau
( ABK  ADC ). Dé ñéù, ñãekm pâuuK tâuéäc AD íaé câé ABK  ADC .
2) Neáu AD æaøñö ôø èá pâaâè áãaùc èáéaøã cuûa áéùc A ( D  BC) tâì ta céù âeä tâö ùc:
2
AD = DB.DC – AB.AC.
3) Baøã téaùè tékèá quaùt: Câé tam áãaùc ABC céù AD æaøñö ôø èá pâaâè áãaùc cuûa áéùc
2
A. Câö ùèá mãèâ ìaèèá: AD = AB. AC  DB.DC
Ví duï 5: Câé âìèâ tâaèá caâè ABCD (AD // BC).
Câö ùèá mãèâ ìaèèá: AC2 = AB2 + AD.BC
7
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
B C
GT Hìèâ tâaèá caâè ABCD
K
KL AC2 = AB2 + AD.BC
A D
*Phaân tích: Gãaû íö û ñãekm K  AC íaé câé:
AK AB
AK.AC = AB2    ABK ñéàèá dau
èá vôùã ACB => ABK  ACB .
AB AC
Vaäó ta xaùc ñxèâ ñö ôuc ñãekm K.
*Lôøi giaûi: Laáó K  AC íaé câé ABK  ACB
+ ABK vaøACB céù: ABK  ACB ; A câuèá => ABK ñéàèá dauèá ACB (á.á)
AK AB
   AK . AC  AB 2 (1)
AB AC
+ ABCD æaøâìèâ tâaèá caâè èeâè: B  C maø
: ABK  ACB => CBK  ACD
+ CBK vaøACD céù: KCB  CAD (íé æe tìéèá); CBK  ACD
=> CBK ñéàèá dauèá vôùã ACD (á.á)
BC AC
   CK . AC  BC. AD (2)
CK AD
+ Céäèá veátâeé veá(1) vaø(2), ta ñö ôuc: AK . AC  CK . AC  AB 2  BC. AD
Haó: AC2 = AB2 + BC.AD (ñpcm)
*Nhaän xeùt: ABK vaøACB ñaõcéù câuèá áéùc A, ñekâaã tam áãaùc èaø ó ñéàèá dauèá
vôùã èâau ta caàè tìm tâeâm méät caqp áéùc baèèá èâau ( ABK  ACB ). Dé ñéù, ñãekm pâuu
K tâuéäc AC íaé câé ABK  ADC .
Ví duï 6: Câé tö ù áãaùc ABCD èéäã tãeáp ñö ôø
èá tìéø
è taâm O.
Câö ùèá mãèâ ìaèèá: AC.BD = AB.CD + AD.BC
B
GT ABCD èéäã tãeáp (O)
C
KL AC.BD = AB.CD + AD.BC O
*Phaân tích: Gãaû íö û K tâuéäc ñéauè AC íaé câé: K
AK AB A D
AK.BD = AB.CD    ABK ñéàèá dau
èá vôùã DBC
CD BD
=> ABK  DBC . Nâö vaäó, ñãekm pâuuK ñö ôuc xaùc ñxèâ.
*Lôøi giaûi:
Vì ABC  DBC èeâè tìeâè ñéauè AC æaáó ñãekm K íaé câé ABK  DBC
+ABK vaøDBC céù: ABK  DBC ; BAK  BDC (áéùc èéäã tãeáp cuø èá câaéè cuèá BC)
=> ABK ñéàèá dauèá vôùã DBC (á.á)
8
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
AK AB
   AK .BD  AB.CD (1)
CD BD
+ Vì ABK  DBC => ABK  KBD  KBD  DBC âaó ABD  CBK
+BCK vaøBDA céù: BCK  BDA (áéùc èéäã tãeáp cuø
èá câaéè cuèá AB); CBK  ABD
=> BCK ñéàèá dauèá vôùã BDA(á.á)
BC CK
   CK .BD  BC. AD (2)
BD AD
+ Céäèá veátâeé veá(1) vaø(2), ta ñö ôuc: AK .BD  CK .BD  AB.CD  BC. AD
Haó: AC.BD = AB.CD + BC.AD (ñpcm)
*Nhaän xeùt:
1) ABK vaøDBC ñaõcéùBAK  BDC (áéùc èéäã tãeáp cuø èá câaéè cuèá BC), ñekâaã
tam áãaùc èaø ó ñéàèá dauèá vôùã èâau ta caàè tìm tâeâm méät caqp áéùc baèèá èâau
( ABK  DBC ). Dé ñéù, ñãekm pâuuK tâuéäc AC íaé câé ABK  DBC .
2) Tö øæôøã áãaûã vaøkeát quaû cuûa baø
ã téaùè, ta áãaûã ñö ôuc caùc baø
ã téaùè âaó vaøkâéù
íau:
Baøi 1: Tìéèá caùc tö ù áãaùc ABCD èéäã tãeáp ñö ôøèá tìéø è (O;R), âaõó tìm tö ù áãaùc céù
tékèá: AB.CD + AD.BC æôùè èâaát.
Baøi 2: Câé tö ù áãaùc ABCD. Câö ùèá mãèâ ìaèèá: AB.CD + AD.BC  AC.BD.
Daáu ñaúèá tâö ùc xaûó ìa kâã èaøé?
Baøi 3: Qua ñæèâ B vaøC cuûa tam áãaùc ABC, veõtãeáp tuóeáè vôùã ñö ôø èá tìéø è
èáéauã tãeáp tam áãaùc, câuùèá caét èâau tauã M. Géuã N æaøtìuèá ñãekm cuûa cauèâ BC.
Câö ùèá mãèâ ìaèèá: BAM  CAN
Ví duï 7: Câé tam áãaùc ABC céù: 3. A  2.B  1800
Câö ùèá mãèâ ìaèèá: AB2 = BC2 + AB.AC
GT ABC céù: 3. A  2.B  1800 C
KL AB2 = BC2 + AB.AC
A B
*Phaân tích: Gãaû íö û ñãekm K tâuéäc cauèâ AB íaé câé: K
BK BC
BK.AB = BC2  
BC AB
=> BKC ñéàèá dauèá vôùã BCA => BCK  BAC
Maqt kâaùc, ta céù: 3. A  2.B  1800 => ACB  2. A  B
âaó BCK  ACK  2.BCK  B  ACK  BCK  B .
Maø : AKC æaøáéùc èáéaø ã cuûa BCK. Dé ñéù, AKC  BCK  B (tíèâ câaát áéùc èáéaø
ã)
=> ACK  AKC âaó tam áãaùc ACK caâè tauã A. Vaäó ñãekm pâuuK ñö ôuc xaùc ñxèâ.
*Lôøi giaûi:
9
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
Vì: 3. A  2.B  1800 => AB > AC
Tìeâè cauèâ AB æaáó ñãekm K íaé AK = AC => tam áãaùc ACK caâè tauã A.
Ta céù: 3. A  2.B  1800 , A  B  C  1800 => ACB  2. A  B âaó BCK  ACK  2. A  B
Maø : ACK caâè tauã A => ACK  AKC vaøAKC  BCK  B ( tíèâ câaát áéùc èáéaø ã ).
Tö øñéù ta ñö ôuc: BCK  BAC
+ BCK vaøBAC céù: BCK  BAC (cmt); áéùc B câuèá
=> BCK ñéàèá dauèá vôùã BAC (á.á)
BC BK
=>   BK . AB  BC 2 (1)
AB BC
+ Maqt kâaùc: Dé AB = AK + BK; AK = AC => BK = AB – AC (2)
2 2 2
+ Tö ø(1) vaø(2), ta céù: (AB – AC).AB = BC âaó AB – AC.AB = BC
=> AB2 = BC2 + AC.AB (ñpcm)
*Nhaän xeùt:
BCK vaøBAC ñaõcéù áéùc B câuèá, ñekâaã tam áãaùc èaø ó ñéàèá dauèá vôùã
èâau ta caàè tìm tâeâm méät caqp áéùc baèèá èâau ( BCK  BAC ). Dé ñéù, ñãekm pâuuK
tâuéäc AB íaé câé AK = AC âaó ACK caâè tauã A .
Ví duï 8: Câé tam áãaùc ABC èéäã tãeáp tìéèá ñö ôø
èá tìéø è taâm O. D æaøméät ñãekm
tìeâè cuèá BC kâéâèá câö ùa ñæèâ A. Géuã I, E, F æaàè æö ôut æaøâìèâ câãeáu cuûa D tìeâè
BC AB AC
caùc ñö ôø
èá tâaúèá BC, AB, AC. Câö ùèá mãèâ ìaèèá:  
DI DE DF
ABC èéäã tãeáp (O)
D tâuéäc cuèá BC
GT DI  BC(IBC); DE  AB(EAB)
A
DF  AC(EAC )
BC AB AC
KL  
DI DE DF
O
F
Caùch 1: I K
B
*Phaân tích: Gãaû íö û ñãekm K tâuéäc cauèâ BC C
CK AB CK DI E
íaé câé:   
DI DE AB DE
D
=> CDK ñéàèá dauèá vôùã ADB => CDK  ADB
Nâö vaäó, ta xaùc ñxèâ ñö ôuc ñãekm pâuuK.
*Lôøi giaûi: Laáó K tìeâè cauèâ BC íaé câé: CDK  ADB
+ CDK vaøADB céù:
CDK  ADB (caùcâ veõ )
10
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
DCK  DAB (áéùc èéäã tãeá
p câaéè cuèá BD)
=> CDK ñéàèá dauèá vôùã ADB (á.á)
MaøDI, DE tâö ù tö uæaøâaã ñö ôø
èá caé cuûa CDK vaøADB èeâè:
CK DI CK AB
=>    (1)
AB DE DI DE
+ Maqt kâaùc: BDK  BDA  ADK ; ADC  ADK  CDK vaødé: CDK  ADB
=> BDK  ADC
+ DBK vaøDAC céù: BDK  ADC ; CBK  DAC (áéùc èéäã tãeáp câaéè cuèá CD )
=> CDK ñéàèá dauèá vôùã ADB (á.á)
MaøDI, DF tâö ù tö uæaøâaã ñö ôø
èá caé tö ôèá ö ùèá cuûa DBK vaøDAC èeâè:
BK DI BK AC
=>    (2)
AC DF DI DF
CK BK AB AC BC AB AC
+ Céäèá (1) vaø(2) veátâeé veá, ta ñö ôuc:    âaó:  
DI DI DE DF DI DE DF
Caùch 2:
*Phaân tích:
BK AB
Gãaû íö û ñãekm K tâuéäc cauèâ BC íaé câé:  => ABK ñéàèá dauèá vôùã
DI DE
EDI => BAK  DEI ;
Maø : tö ù áãaùc BIDE èéäã tãeáp ñö ôuc ñö ôø
èá tìéø
è èeâè:
DEI  DBI (dé áéùc èéäã tãeá p cuøèá câaéè cuèá DI ) A
=> BAK  DBI => íñBDN = íñCND
(vôùã N æaøáãaé ñãekm kâaùc A cuûa AK vôùã (O)).
Tö øñéù, DN // BC.
Vaäó ta xaùc ñxèâ ñö ôuc caùc ñãekm pâuuN vaøK. F
O
*Lôøi giaûi:
I K
Qua D keû ñö ôø èá tâaúèá íéèá íéèá vôùã BC, B
C
ñö ôøèá tâaúèá èaø ó caét ñö ôø
èá tìéø
è (O)
E
tauã ñãekm tâö ù âaã æaøN ( N céù tâektìuø èá vôùã D).
D N
AN caét BC tauã K.
+ Ta céù: íñBD = íñCN (dé DN // BC) => íñBD + íñDN = íñDN + íñCN
Haó: íñBDN = íñCND
=> BAK  DBI (áéùc èéäã tãeáp câaéè caùc cuèá baèèá èâau).
+ Maqt kâaùc, tö ù áãaùc BIDE èéäã tãeáp ñö ôuc ñö ôø èá tìéøè (dé DEB  DIB  900 )
=> DEI  DBI (dé áéùc èéäã tãeáp cuø èá câaéè cuèá DI )
+ Vaäó: BAK  DEI
+ ABK vaøEDI céù: BAK  DEI ; EDI  ABK ( cuø èá buøvôùã EBI )
11
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
BK AB
=> ABK ñéàèá dauèá vôùã EDI (á.á)   (1)
DI DE
+ Tö ù áãaùc DIFC èéäã tãeáp ñö ôuc ñö ôø
èá tìéø
è (dé DFC  DIC  900 )
=> IDF  FCM (áéùc èéäã tãeáp câaéè cuèá FI )
+ Dé ABK ñéàèá dauèá vôùã EDI => DIE  BKA .
Maø: DIE  DIF  1800 (keàbuø
); BKA  AKC  1800 (keàbuø)
=> DIF  AKC
+ CKA vaøDIF céù: IDF  FCM ; DIF  AKC
CK AC
=> CKA ñéàèá dauèá vôùã DIF(á.á)   (2)
DI DF
BK CK AB AB
+ Céäèá veátâeé veá(1) vaø(2), ta ñö ôuc:   
DI DI DE DF
BC AB AC
Haó:   (ñpcm)
DI DE DF
*Nhaän xeùt:
Tìéèá caùcâ áãaûã 1, dé DI, DE tâö ù tö uæaøâaã ñö ôø èá caé cuûa CDK vaøADB.
Vaäó ñekcéù CDK ñéàèá dauèá vôùã ADB ta câæ caàè xaùc ñxèâ ñãekm pâuuK tìeâè BC
íaé câé CDK  ADB .
Tìéèá caùcâ áãaûã 2, ta caàè ñã xaùc ñxèâ vx tìí 2 ñãekm pâuu: baèèá caùcâ qua D keû
ñö ôøèá tâaúèá íéèá íéèá vôùã BC ( vôùã N æaøáãaé ñãekm tâö ù 2 cuûa ñö ôø èá tâaúèá vôùã
ñö ôøèá tìéøè) vaøK æaøáãaé ñãekm cuûa AN vôùã BC, ñektö øñéù môùã céù ABK ñéàèá
dauèá vôùã EDI.
Réõìaø èá, caùcâ áãaûã tâö ù 2 pâö ùc taup âôè caùcâ tâö ù 1. Dé ñéù, tìéèá quaù tììèâ pâaâè
tícâ tìm kãeám æôø ã áãaûã baøã téaùè caàè kâaã tâaùc âeát caùc áãaû tâãeát baø ã téaùè ñekñxèâ
âö ôùèá caùcâ áãaûã èáaéè áéuè, íaùèá taué. Ñaâó câíèâ æaøméät tìéèá èâö õèá kó èapèá maø
èáö ôøã áãaùé vãeâè caàè béàã dö ôõèá câé âéuc íãèâ.
Ví duuíau áãuùp câuùèá ta tâaáó ìéõâôè óeâu caàu èaø ó:
Ví duï 9: Câé âìèâ vuéâèá ABCD èéäã tãeáp ñö ôø èá tìéø è (O; R). Géuã P æaøméät ñãekm
tìeâè cuèá èâéû CD. Câö ùèá mãèâ ìaèèá: PA + PC = 2 .PB
B
GT ABCD èéäã tãeáp (O;R)
P tâuéäc cuèá èâéû CD.
K
A C
KL PA + PC = 2 .PB O
*Phaân tích:
Ñekcâö ùèá mãèâ: PA + PC = 2 .PB, ta ñã câö ùèá mãèâ: P
PA PC D
  2
PB PB
12
Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku
AC
MaøABCD æaøâìèâ vuéâèá, dé ñéù ta céù:  2
AB
PA PC AC
Vaäó maáu câéát ñekáãaûã quóeát baø
ã téaùè æaøta caàè câö ùèá mãèâ:  
PB PB AB
PC KC
Gãaû íö û ñãekm K tâuéäc cauèâ AC íaé câé  => tam áãaùc PCK ñéàèá dauèá
PB AB
vôùã tam áãaùc PBA => CPK  BPA . Vaäó K pâaûã tâuéäc PB.
Nâö vaäó ñãekm pâuuK caàè xaùc ñxèâ câíèâ æaøáãaé ñãekm cuûa PB vaøAC.
*Lôøi giaûi: Géuã K æaøáãaé ñãekm cuûa PB vaøAC.
+ PCK vaøPBA céù:
PCK  PBA (âaã áéùc èéäã tãeáp cuø
èá câaéè cuèá AD);
CPK  APB ( âaã áéùc èéäã tãeá
p câaéè 2 cuèá baèèá èâau).
=> PCK ñéàèá dauèá vôùã PBA (á.á)
PC CK
  (1)
PB AB
+ PAK vaøPBC céù:
PAK  PBC (áéùc èéäã tãeá
p cuøèá câaéè cuèá CP);
APK  CPB ( âaã áéùc èéäã tãeá
p câaéè 2 cuèá baèèá èâau)
=> PAK ñéàèá dauèá vôùã PBC(á.á)
PA AK
  (2)
PB BC
PA PC AK CK AK  CK AC
+ Céäèá veátâeé veá(1) vaø(2), ta ñö ôuc:       2
PB PB BC AB AB AB
Haó: PA + PC = 2 .PB (ñpcm)
Toùm laïi:
Côû íôû cuûa pâö ôèá pâaùp tìeâè æaødö ua vaø
é íö uxaùc ñxèâ ñãekm pâuuK méät caùcâ
âôup æí ñekñö a ñaúèá tâö ùc caàè câö ùèá mãèâ veàdauèá a.b = c.d âéaqc a2 = b.c, tö øñéù céù
tâekduø èá pâö ôèá pâaùp câö ùèá mãèâ tam áãaùc ñéàèá dauèá ñekáãaûã quóeát baø ã téaùè.
Caùc âìèâ pâuu: Keû ñö ôø èá vuéâèá áéùc( ví duu1, 2, 3); taué áéùc baèèá áéùc câé
tìö ôùc ( ví duu4, 5, 6, 7, 8) tâö ôø
èá æaøcaùc âìèâ pâuuñö ôuc ö u tãeâè kâã xaùc ñxèâ vx tìí
ñãekm pâuuK vì kâã keû caùc ñö ôø èá pâuuíeõtaué tâeâm vaø é áãaû tâãeát óeáu téááéùc baèèá
èâau, tö øñéù deãdaø èá câé vãeäc câö ùèá mãèâ âaã tam áãaùc ñéàèá dauèá.
13