Skkn một số ứng dụng của định lí vi ét trong toán lớp 9

  • 21 trang
  • file .pdf
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
MOÄT SOÁ ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑÒNH LYÙ VI-EÙT TRONG TOAÙN 9
I. ÑAËT VAÁN ÑEÀ
Trong tröôøng phoå thoâng vieäc hình thaønh vaø reøn luyeän kó naêng giaûi caùc baøi
taäp toaùn coù moät vò trí quan troïng trong daïy hoïc toaùn, qua vieäc giaûi caùc baøi taäp
giuùp hoïc sinh cuûng coá, môû roäng caùc kieán thöùc ñaõ ñöôïc hoïc vaø môû roäng taàm
hieåu bieát cuûa mình. Vôùi tình hình thöïc teá hieän nay nhieàu hoïc sinh chöa thích
hoïc boä moân toaùn, caùc kó naêng cô baûn coøn yeáu, nhaát laø kó naêng giaûi baøi taäp,
nguyeân nhaân daãn ñeán tình traïng ñoù laø:
 Ñoái vôùi hoïc sinh:
+ Chöa naém vöõng lyù thuyeát.
+ Chöa naém vöõng phöông phaùp giaûi caùc daïng baøi taäp.
+ Chöa linh hoaït saùng taïo khi giaûi baøi taäp.
+ Thuï ñoäng, chöa tích cöïc trong hoïc taäp.
+ Chöa bieát khai thaùc baøi toaùn.
+ Chöa bieát vaän duïng nhöõng kieán thöùc ñaõ hoïc vaøo thöïc teá.
 Ñoái vôùi giaùo vieân:
+ Trong quaù trình giaûng daïy chöa chuù yù reøn caùc kó naêng cho hoïc sinh nhaát
laø kó naêng giaûi toaùn.
+ Coøn aùp ñaët kieán thöùc, aùp ñaët caùch giaûi caùc baøi taäp cho hoïc sinh, chöa gôïi
môû phaùt huy trí löïc hoïc sinh, neâu vaán ñeà cho hoïc sinh suy nghó, chuû ñoäng
tieáp thu caùc kieán thöùc.
+ Khi höôùng daãn hoïc sinh giaûi caùc baøi taäp giaùo vieân chöa chuù yù xaây döïng
phöông phaùp giaûi toaùn.
+ Caùc baøi taäp giaùo vieân cho hoïc sinh giaûi chuû yeáu laø caùc baøi taäp ñôn giaûn,
ít ñöôïc môû roäng naâng cao daãn ñeán hoïc sinh deã bò nhaøm chaùn.
Nhaèm giuùp hoïc sinh hoïc toaùn toát hôn, yeâu thích moân toaùn hôn cuõng nhö
ngaøy caøng naâng cao chaát löôïng giaûng daïy cuûa mình, moãi giaùo vieân caàn :
+ Naém vöõng kieán thöùc
+ Vaän duïng linh hoaït caùc phöông phaùp daïy hoïc.
+ Ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc, vaän duïng neâu vaán ñeà, söû duïng nhieàu
nhöõng caâu hoûi gôïi môû daãn daét hoïc sinh chuû ñoäng, tích cöïc tieáp thu kieán thöùc.
+ Chuù yù reøn caùc kó naêng cho hoïc sinh nhaát laø kó naêng giaûi baøi taäp, chuù yù
xaây döïng caùc phöông phaùp giaûi toaùn cho hoïc sinh.
1
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
+ Tìm toøi môû roäng caùc kieán thöùc, xaây döïng heä thoáng baøi taäp töø deã ñeán khoù
giuùp hoïc sinh ñöôïc cuûng coá vaø naâng cao caùc kieán thöùc, giuùp hoïc sinh höùng thuù
trong hoïc taäp vaø hoïc moân toaùn toát hôn.
Vôùi caùc muïc tieâu treân trong ñeà taøi naøy toâi trình baøy moät soá phöông phaùp
giaûi caùc daïng baøi taäp maø coù söû duïng ñònh lyù ñònh lyù Vi – eùt trong chöông trình
ñaïi soá lôùp 9 ñoù laø: Tính nhaåm nghieäm cuûa phöông trình baäc hai, tìm hai soá khi
bieát toång vaø tích cuûa chuùng, tính giaù trò cuûa moät heä thöùc giöõa caùc nghieäm cuûa
phông trình baäc hai, so saùnh nghieäm cuûa phöông trình baäc hai vôùi moät soá . . .
Giuùp hoïc sinh naém vöõng caùc daïng toaùn cô baûn veà phöông trình baäc hai vaø caùc
öùng duïng cuûa ñònh lyù
Vi –eùt, reøn luyeän cho hoïc sinh khaû naêng tính toaùn, khaû naêng suy luaän, khaû
naêng saùng taïo trong hoïc toaùn vaø giaûi toaùn
II. NOÄI DUNG ÑEÀ TAØI.
Trong chöông trình ñaïi soá lôùp 9 ñoâi khi hoïc sinh gaëp khoù khaên trong
vieäc giaûi moät soá phöông trình baäc hai hay tìm hai soá thoûa maõn heä thöùc cho
tröôùc, so saùnh nghieäm cuûa phöông trình baäc hai . . . Coù nhöõng baøi toaùn töôûng
chöøng raát khoù nhöng noù laïi coù nhöõng lôøi giaûi thaät ñôn giaûn, ñoäc ñaùo khi aùp
duïng ñònh lyù
Vi – eùt vaø chæ coù aùp duïng heä thöùc Vi – eùt môùi coù theå giaûi ñöôïc.
Ñeå hoïc sinh giaûi ñöôïc caùc baøi taäp coù söû duïng caùc öùng duïng cuûa ñònh lyù
Vi – eùt, tröôùc heát hoïc sinh caàn phaûi naém vöõng noäi dung cuûa ñònh lyù Vi – eùt.
Ñònh lyù Vi – eùt:
Neáu phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) coù hai nghieäm x1; x2
thì toång vaø tích hai nghieäm ñoù laø:
 b
S = x1 + x 2 =  a

P = x x = c
1 2
 a
Ñaûo laïi, neáu hai soá x1; x2 coù toång x1 + x2 = S vaø tích x1x2 = P thì x1; x2 laø
nghieäm cuûa phöông trình: X2 – SX + P = 0 (*)
Phöông trình (*) chæ coù nghieäm khi S2  4P.
MOÄT SOÁ ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑÒNH LYÙ VI – EÙT
1)Tính nhaåm nghieäm cuûa phöông trình baäc hai
2
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
Phöông phaùp: Vaän duïng moät trong ba ñieàu sau
Xeùt phöông trình baäc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
c
1) Neáu: a + b + c = 0 thì phöông trình coù hai nghieäm x1 = 1 ; x2 =
a
c
2) Neáu: a – b – c = 0 thì phöông trình coù hai nghieäm x1 =  1; x2 = 
a
3) Neáu: x1 + x2 = m + n vaø x1.x2 = m.n vaø a.c < 0 thì phöông trình coù hai
nghieäm x1 = m ; x2 = n ( hoaëc x1 = n; x2 = m).
Baøi 1: Duøng ñieàu kieän a + b +c = 0 hoaëc a – b + c = 0 ñeå giaûi caùc phöông
trình sau:
a) 35x2 – 37x + 2 = 0 b) 7x2 + 500x – 570 = 0
c) x2 – 49x – 50 = 0 d) 4321x2 + 21x – 4300 = 0
Giaûi:
2
a) 35x – 37x + 2 = 0
Phöông trình treân coù a + b + c = 35 – 37 + 2 = 0
2
Do ñoù phöông trình coù hai nghieäm: x1 = 1 ; x2 =
35
2
b) 7x + 500x – 570 = 0
Phöông trình treân coù a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0,
507 3
Do ñoù phöông trình coù hai nghieäm x1 = 1 ; x2 = =  72
7 7
2
c) x – 49x – 50 = 0
Phöông trình treân coù a – b + c = 1 + 49 – 50 = 0
Do ñoù phöông trình coù hai nghieäm : x1 =  1 ; x2 = 50
d) 4321x2 + 21x – 4300 = 0
Phöông trình treân coù a – b + c = 4321 – 21 + 4300 = 0,
4300
Do ñoù phöông trình coù hai nghieäm: x1 =  1 ; x2 =
4321
Baøi 2: Duøng heä thöùc Vi – eùt ñeå tính nhaåm nghieäm cuûa caùc phöông trình
sau:
a) x2 – 7x + 12 = 0 b) x2 + 7x + 12 = 0
c) x2 + ( 3  5 )x – 15 = 0 d) x2 (3 – 2 7 )x – 6 7 = 0
Giaûi:
2
a) x – 7x + 12 = 0
Phöông trình coù: ∆ = b2 – 4ac = 49 – 48 = 1 > 0 neân phöông trình coù hai
 x1 + x 2 = 7 = 3 + 4
nghieäm x1; x2 vaø ta coù: 
 x1.x 2 = 12 = 3.4
3
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm x1 = 3 ; x2 = 4 (hoaëc x1 = 4 ; x2 = 3)
b) x2 + 7x + 12 = 0
Phöông trình coù: ∆ = b2 – 4ac = 49 – 48 = 1 > 0 neân phöông trình coù hai
x1 + x 2 =  7 = (  3) + (  4)
nghieäm x1; x2 vaø ta coù: 
 x1.x 2 = 12 = (  3).(  4)
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm x1 =  3 ; x2 =  4 (hoaëc x1 =  4 ; x2 =  3).
c) x2 + ( 3  5 )x – 15 = 0
Phöông trình coù: a.c = – 15 < 0 neân phöông trình coù hai nghieäm x1; x2 vaø ta
coù:
x1 + x 2 =  ( 3  5)   3  5

 x1.x 2 =  15 =  3. 5
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm : x1 = 3 ; x2 =  5
d) x2 + (3 – 2 7 )x – 6 7 = 0
Phöông trình coù: a.c = – 6 7 < 0 neân phöông trình coù hai nghieäm x1; x2 vaø ta
coù:
x1 + x 2 =  (3  2 7 )  3  2 7

 x1.x 2 =  6 7 =  3.2 7
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm : x1 = 2 7 ; x2 =  3.
Baøi 3: Giaûi phöông trình sau baèng caùch nhaåm nghieäm nhanh nhaát:
2
a) x + (3m – 5 )x – 3m + 4 = 0 b) 3x2 – (m – 2)x – m – 1 = 0
c) (m – 2)x2 + (m – 3)x – 2m + 5 = 0 d) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 =
0 Giaûi:
2
a) x + (3m – 5 )x – 3m + 4 = 0
Phöông trình treân coù a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 neân phöông trình coù
hai nghieäm laø: x1 = 1 ; x2 =  3m + 4
b) 3x2 – (m – 2)x – m – 1 = 0
Phöông trình treân coù a – b + c = 3 + m – 2 – m – 1 = 0 neân phöông trình coù
m+1
hai nghieäm laø: x1 =  1 ; x2 = .
3
c) (m – 2)x2 + (m – 3)x – 2m + 5 = 0 (*)
Vôùi m – 2 = 0 hay m = 2 thì (*) trôû thaønh  x + 1 = 0  x = 1
Vôùi m – 2 ≠ 0 hay m ≠ 2 thì (*) coù a + b + c = m – 2 + m – 3 – 2m + 5 = 0 neân
2m  5
phöông trình coù hai nghieäm laø: x1 = 1; x2 = .
m2
d) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (**)
Vôùi m – 3 = 0 hay m = 3 thì (**) trôû thaønh  4x – 4 = 0  x =  1
4
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
Vôùi m – 3 ≠ 0 hay m ≠ 0 thì (**) coù a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0
2m + 2
neân phöông trình coù hai nghieäm x1 =  1; x2 = .
m  3
2) Bieát moät nghieäm cuûa phöông trình baäc hai tìm nghieäm coøn laïi cuûa
phöông trình ñoù.
Phöông phaùp giaûi :
+ Tính toång S hoaëc tích P hai nghieäm cuûa phöông trình.
+ Theá nghieäm ñaõ bieát vaøo S hoaëc P tìm nghieäm coøn lai.
Baøi 1:
a) Chöùng toû raèng phöông trình 3x2 + 2x – 21 = 0 (1) coù moät nghieäm laø – 3.
Haõy tìm nghieäm kia.
b) Chöùng toû raèng phöông trình  4x2 – 3x + 115 = 0 (2) coù moät nghieäm laø 5.
Tìm nghieäm kia.
Giaûi:
a)Ta coù x1 =  3 laø moät nghieäm cuûa phöông trình (1)
vì 3.(  3)2 + 2.(  3)  21= 0.
c 21 7
Theo heä thöùc Vi –eùt ta coù: x1x2 =  – 3x2 =  = 7. Suy ra x2 = 
a 3 3
2
b) x1 = 5 laø moät nghieäm cuûa phöông trình (2) vì  4.5 + 3.5 + 115 = 0
c 115 23
Theo heä thöùc Vi – eùt ta coù: x1x2 =  5x2 =  . Suy ra x2 = 
a 4 4
Baøi 2: Duøng heä thöùc Vi –eùt ñeå tìm nghieäm x2 cuûa phöông trình roài tìm
giaù trò cuûa m trong moãi tröôøng hôïp sau:
a) Phöông trình x2 + mx – 35 = 0, bieát nghieäm x1 = 7.
b) Phöông trình x2 – 13x + m = 0, bieát nghieäm x1 = 12,6.
c) Phöông trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, bieát nghieäm x1 =  2
Giaûi:
a) Ta coù x1 = 7 laø moät nghieäm cuûa phöông trình x2 + mx – 35 = 0, neân theo heä
thöùc Vi – eùt ta ñöôïc 7x2 =  35. Suy ra x2 =  5.
Laïi theo heä thöùc Vi –eùt ta cuõng coù: x1 + x2 =  m.
Suy ra  m = 7 – 5  m =  2.
b) Ta coù x1 = 12,5 laø moät nghieäm cuûa phöông trình x2 – 13x + m = 0, neân theo
heä thöùc Vi –eùt ta coù x1 + x2 = 13 hay 12,5 + x2 = 13. Suy ra x2 = 0,5.
Cuõng theo heä thöùc Vi – eùt ta laïi coù: x1x2 = m hay 12,5.0,5 = m  m = 6,25
5
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
c) Vì x1 =  2 laø moät nghieäm cuûa phöông trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, neân
3 5
theo heä thöùc Vi – eùt ta coù:  2 + x2 =  . Suy ra x2 =
4 4
2
5  m + 3m
Laïi theo heä thöùc Vi – eùt ta coù  2 . = hay m2 – 3m – 10 = 0
4 4
2
Giaûi phöông trình m – 3m – 10 = 0 ta ñöôïc m1 =  2 ; m2 = 5
3) Laäp phöông trình baäc hai khi bieát hai nghieäm x1 ; x2, tìm hai soá thoûa
maõn ñieàu kieän cho tröôùc
Phöông phaùp giaûi:
+ Laäp toång S = x1 + x2 vaø tích P = x1 + x2.
+ Laäp phöông trình coù daïng X2 – SX + P = 0 hay (X – x1)(X – x2) = 0
Baøi 1: Laäp phöông trình baäc hai bieát hai nghieäm laø:
a) 5 vaø  3
b) 2 vaø 1 – 2
Giaûi:
a) Ta coù S = 5 – 3 = 2 vaø P = 5.(  3) =  15
Vaäy hai soá 5 vaø  3 laø nghieäm cuûa phöông trình: X2 – 2X – 15 = 0
b) Ta coù: S = 2 + 1 – 2 = 1 vaø S = 2 (1 – 2 ) = 2 – 2
Vaäy hai soá 2 vaø 1 – 2 laø nghieäm cuûa phöông trình: X2 – X + 2 – 2 = 0
Baøi 2: Cho phöông trình baäc hai aån x sau: x2 – 5x + 4 = 0 (1)
a) Chöùng minh phöông trình (1) coù hai nghieäm x1 ; x2.
b) Khoâng giaûi phöông trình (1). Haõy laäp moät phöông trình coù hai nghieäm
laø
X 1 = x1 + 1 ; X 2 = x2 + 1
Giaûi:
a) Phöông trình (1) coù bieät soá ∆ = 25 – 16 = 9 > 0, neân phöông trình luoân
coù hai nghieäm x1; x2.
b) x1; x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình (1) theo heä thöùc Vi – eùt ta coù:
x1 + x2 = 5 vaø x1x2 = 4
Theo ñeà baøi ta coù: X1 = x1 + 1 ; X2 = x2 + 1, neân:
S = X 1 + X 2 = x1 + 1 + x2 + 1 = x1 + x2 + 2 = 5 + 2 = 7
P = X1X3 = ( x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + x1 + x2 + 1 = 4 + 5 + 1 = 10
Vaäy hai soá X1 = x1 + 1 vaø X2 = x2 + 1 laø nghieäm cuûa phöông trình :
X2 – 7X + 10 = 0
Baøi 3: Cho phöôngtrình baäc hai aån x sau: x2 – 3x – 5 = 0 (1)
6
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
a)Chöùng minh phöông trình (1) coù hai nghieäm x1 ; x2.
b)Khoâng giaûi phöông trình (1). Haõy laäp moät phöông trình coù hai nghieäm laø
1 1
X1 = vaø X2 =
x1 x2
Giaûi:
a) Phöông trình (1) coù bieät soá ∆ = 9 + 20 = 29 > 0, neân phöông trình luoân coù
hai nghieäm x1; x2.
b) x1; x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình (1) theo heä thöùc Vi – eùt ta coù:
x1 + x2 = 3 vaø x1x2 = – 5
1 1
Theo ñeà baøi ta coù: X1 = vaø X2 = neân:
x1 x2
1 1 x x 3 1 1
S = X1 + X2 =   1 2 =  vaø P = X1X2 = =
x1 x 2 x1x 2 5 x 1x 2 5
1 1 3 1
Do ñoù hai soá X1 = vaø X2 = laø nghieäm cuûa phöông trình: X2 + X – =
x1 x2 5 5
0 hay: 5X2 + X – 1 = 0
Baøi 3: Goïi x1; x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình x2 – 7x + 3 = 0.
a) Haõy laäp phöông trình baäc hai coù hai nghieäm laø 2x1 – x2 vaø 2x2 – x1
b) Haõy tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: A = 2x1  x 2 + 2x 2  x1
Giaûi:
2
a) Phöông trình x – 7x + 3 = 0 coù ∆ = 49 – 12 = 37 > 0, neân phöông trình luoân
coù hai nghieäm x1 ; x2. Theo ñònh lyù Vi –eùt ta coù: x1 + x2 = 7 vaø x1x2 = 3
Ta coù S = (2x1 – x2) + (2x2 – x1) = x1 + x2 = 7
P = (2x1 – x2)(2x2 – x1) = 4x1x2 – 2x12 – 2x22 + x1x2 = 5x1x2 – 2(x12 + x22)
= 5x1x2 – 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] = 9x1x2 – 2(x1 + x2)2 = 9.3 – 2.72 =  71
Vaäy (2x1 – x2) vaø (2x2 – x1) laø nghieäm cuûa phöông trình X2 – 7X – 71 = 0 (*)
b) Phöông trình X2 – 7X – 71 = 0 coù ∆ = 49 + 284 = 333 > 0   = 3 37
7  3 37
Phöông trình (*) coù hai nghieäm laø: X1;2 =
2
7  3 37 7  3 7
Suy ra: A = 2x1  x 2 + 2x 2  x1 = X1  X 2 = 
2 2
7  3 37 3 37  7
=  = 3 37
2 2
Baøi 4: Tìm hai soá u vaø trong moãi tröôøng hôïp sau:
a) u + v =  5 , v.u =  24 b) u – v = 10 , uv = 24
7
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
c) u + v = 5 , u2 + v2 = 13 d) u2 + v2 = 29 , uv = 10
Giaûi:
a) Vì u + v =  5 , v.u =  24 neân hai soá u vaø v laø nghieäm cuûa phöông trình:
X2 + 5X – 24 = 0 (1)
Ta coù ∆ = 25 + 96 = 121 suy ra phöông trình (1) coù hai nghieäm laø:
X1 = 3 ; X2 =  8
Vaäy hai soá caàn tìm laø : u = 3 vaø v =  8 ( hoaëc u =  8 vaø v = 3)
b) Ñaët t =  v ta coù u + t = 10 vaø ut =  24. Do ñoù hai soá u vaø t laø nghieäm cuûa
phöông trình: X2 – 10 X  24 = 0 (2)
Ta coù : ∆’ = 25 + 24 = 49, neân phöông trình (2) coù hai nghieäm laø :
X1 = 12 ; X2 =  2
Suy ra: u = 12 vaø t =  2 hoaëc u =  2 vaø t = 12
Neáu u = 12 vaø t =  2 thì u = 12 vaø v = 2
Neáu u =  2 vaø t = 12 thì u =  2 vaø v =  12
c) Ta coù (u + v)2 = u2 + v2 + 2uv . Maø u + v = 5 vaø u2 + v2 = 13
Suy ra: 52 = 13 + 2uv  25 – 13 = 2uv  uv = 6
Vì u + v = 5 vaø uv = 6 neân hai soá u vaø v laø nghieäm cuûa phöông trình:
X2 – 5X + 6 = 0 (3)
Ta coù: ∆ = 25 – 24 = 1, neân phöông trình (3) coù hai nghieäm X1 = 3 ; X2 = 2
Vaäy u = 3 vaø v = 2 hoaëc u = 2 vaø v = 3.
d) Ta coù: (u + v)2 = u2 + v2 + 2uv maø u2 + v2 = 29 , uv = 10, neân suy ra:
(u + v)2 = 29 + 2.10 = 49  u + v = 7 hoaëc u + v =  7.
* Vôùi u + v = 7 vaø uv = 10 thì hai soá u vaø v laø nghieäm cuûa phöông trình:
X2 – 7X + 10 = 0 (4)
Giaûi phöông trình (4) ta ñöôïc X1 = 5 ; X2 = 2. Khi ñoù u = 5 vaø v = 2 hoaëc
u = 2 vaø v = 5
* Vôùi u + v =  7 vaø uv = 10, thì hai soá u vaø v laø nghieäm cuûa phöông trình:
Y2 + 7Y + 10 = 0 (5)
Giaûi phöông trình (5) ta ñöôïc Y1 =  5; Y2 =  2. Khi ñoù u =  5 vaø v =  2
hoaëc
u =  2 vaø v =  5
8
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
4) Tính giaù trò cuûa moät heä thöùc giöõa caùc nghieäm cuûa phöông trình baäc
hai.
Phöông phaùp giaûi:
+ Kieåm tra söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình baäc hai tính bieät soá ∆
(hoaëc ∆’, tích a.c)
+ AÙp duïng ñònh lyù Vi – eùt tính toång vaø tích hai nghieäm cuûa phöông
trình.
+ Söû duïng caùc bieåu thöùc ñoái xöùng giöõa caùc nghieäm cuûa phöông trình
baäc hai sau ñaây ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc:
* x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P
* (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4P
* x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3SP.
* x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12 x22 = (S2 – 2P)2 – 2P2
1 1 x x S
*   1 2
x1 x 2 x1x 2 P
2 2
x1 x1 x1 +x1 S2  2P
* + = =
x2 x2 x1x 2 P
* (x1 – a)(x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = P – aS + a2
1 1 x1 +x 2  2a S  2a
* + = =
x1  a x 2  a (x1  a)(x 2  a) P  aS + a 2
Baøi 1: Goïi x1; x2 laø nghieäm cuûa phöông trình: x2 – 3x – 7 = 0. Haõy tính giaù
trò cuûa caùc bieåu thöùc sau:
A = x12 + x22 ; B = x12 – x22 ;
C = x1  x 2 ; D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
Giaûi:
2
Phöông trình x – 3x – 7 = 0 coù a.c =  7 < 0 neân phöông trình coù hai nghieäm
phaân bieät x1; x2. AÙp duïng dònh lyù Vi – eùt ta coù:
S = x1 + x2 = 3 vaø P = x1.x2 =  7
Do ñoù:
A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P = 32 + 2.7 = 9 + 14 = 23.
Ta coù: (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4P = 9 + 28 = 37
Suy ra: x1 – x2 = 37 hoaëc x1 – x2 =  37
Vôùi x1 – x2 = 37 thì B = x12 – x22 = (x1 + x2) (x1 – x2) = 3 37
Vôùi x1 – x2 =  37 thì B = x12 – x22 = (x1 + x2) (x1 – x2) =  3 37 .
Do (x1 – x2)2 = 37 neân C = x1  x 2 = 37
9
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10 x1x2 + 3(x12 + x22)
= 10P + 3(S2 – 2P) = 3S2 + 4P =  1
Baøi 2: Neáu phöông trình x2 – 2x – 1 = 0 coù hai nghieäm x1 ; x2 (x1 < x2).
Haõy tính giaù trò caùc ñaïi löôïng sau maø khoâng ñöôïc giaûi phöông trình:
x x x + 1 x2 + 1 x1 x2
1) 1 + 2 2) 1 + 3) +
x2 x1 x2 x1 x 2 + 2 x1 + 2
1 1 x2 x2
4) 2 + 2 5) x13 + x23 6) 1 + 2
x1 x1 x2 x1
Giaûi:
2
Vì phöông trình x – 2x – 1 = 0 coù a.c =  1 < 0, neân phöông trình coù
hai nghieäm phaân bieät x1 ; x2 (x1 < x2). AÙp duïng ñònh lyù Vi – eùt ta coù:
S = x1 + x2 = 2 vaø P = x1. x2 =  1, suy ra:
x x 2
x +x 2 S2  2P
1) 1 + 1 = 1 1 = =6
x2 x2 x1x 2 P
x + 1 x + 1 x12 + x 2 2 +x1 + x 2 S2  2P + S 22 + 2 + 2
2) 1 + 2 = = = =  8.
x2 x1 x 1x 2 P 1
x1 x x 2 + x 2 2 + 2(x1 + x 2 ) S2  2P + 2S 10
3) + 2 = 1 = = .
x 2 + 2 x1 + 2 x1x 2  2( x1  x 2 )  4 P + 2S + 4 7
1 1 x2 +x 2 S2  2P
4) 2 + 2 = 1 2 2 2 = =6
x1 x1 x1 x 2 P2
5) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3SP = 14.
x12 x22 x13 + x 23 S3  3SP
6) + = = =  14
x2 x1 x 1x 2 P
Baøi 3: Giaû söû x1; x2 laø nghieäm cuûa phöông trình x2 + ax + 1 = 0 vaø x3; x4
laø nghieäm cuûa phöông trình x2 + bx + 1 = 0.Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
M = (x1 – x3)(x2 – x3)(x1 + x4)(x2 + x4) theo a vaø b.
Giaûi:
Theo heä thöùc Vi - eùt ta coù:
 x1 + x 2 =  a x + x =  b
 vaø  3 4
 x1 x 2 =1  x 3 x 4 =1
Do ñoù:
(x1 – x3)( x2 + x4) = x1x2 + x1x4 – x2x3 – x3x4 = 1 + x1x4 – x2x3 – 1 = x1x4 – x2x3
(x2 – x3)(x1 + x4) = x1x2 + x2x4 – x1x3 – x3x4 = 1 + x2x4 – x1x3 – 1= x2x4 – x1x3
Vaäy: M = (x1 – x3)(x2 – x3)(x1 + x4)(x2 + x4)
= (x1x4 – x2x3)( x2x4 – x1x3)
= x1x2x42 – x12x3x4 – x22x3x4 + x1x2x32
10
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
= x42 – x12 – x22 + x32
= (x32 + x42) – (x12 + x22)
= [(x3 + x4)2 – 2x3x4] – [(x1 + x2)2 – 2x1x2]
= (b2 – 2) – (a2 – 2) = b2 – a2
5. Tìm giaù trò cuûa tham soá ñeå nghieäm cuûa phöông trình baäc hai thoûa
maõn moät heä thöùc cho tröôùc.
Phöông phaùp giaûi:
+ Laäp bieät soá ∆ (hoaëc ∆’) tìm ñieàu kieän cuûa tham soá ñeå ∆  0 (hoaëc ∆’  0)
cho phöông trình coù nghieäm.
+ Tìm giaù trò cuûa tham soá trong heä thöùc cho bieát. sau ñoù choïn giaù trò cuûa
tham soá thích hôïp vôùi ñieàu kieän vaø traû lôøi.
Baøi 1:
a) Cho phöông trình baäc hai (aån x) : x2 – 6x + m = 0. Tính giaù trò cuûa m ñeå
phöông trình coù hai nghieäm x1; x2 thoûa maõn x1 – x2 = 4.
b) Tìm giaù trò cuûa m ñeå phöông trình 4x2 – (m + 3)x – 24 = 0 (aån x) coù hai
nghieäm x1; x2 thoûa maõn x1 + 2x2 =  1.
Giaûi:
2
Phöông trình x – 6x + m = 0 coù hai nghieäm khi vaø chæ khi:
∆’ = 9 – m  0  m  9
Vôùi ñieàu kieän treân phöông trình coù hai nghieäm x1; x2 ta coù:
x1 + x2 = 6 maø x1 – x2 = 4 suy ra x1 = 5 ; x2 = 1
Maët khaùc x1x2 = m suy ra m =5 ( thoûa maõn ñieàu kieän m  9)
Vaäy vôùi m = 5 thì phöông trình x2 – 6x + m = 0 coù hai nghieäm x1; x2 thoûa
maõn:
x1 – x2 = 4 .
b) Phöông trình 4x2 – (m + 3)x – 24 = 0 coù a.c =  96 < 0 neân phöông trình
luoân coù hai nghieäm x1 ; x2 vôùi moïi giaù trò cuûa m.
Ta coù:
x1x2 =  6 maø x1 + 2x2 =  1, suy ra x2 (  1 – 2x2) = 6  2x22 + x2 – 6 = 0 (*)
3
Giaûi phöông trình (*) ta ñöôïc x 2 =  2 hoaëc x2 = = 1,5
2
Vôùi x2 =  2 thì x1 = 3
Vôùi x2 = 1,5 thì x1 =  4
Maët khaùc ta coù x1 + x2 = – m – 3
+ Vôùi x1 = 3 vaø x2 =  2 thì m =  4
+ Vôùi x1 =  4 vaø x2 = 1,5 thì m =  0,5
11
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
Vaäy vôùi m =  4 hoaëc m =  0,5 thì phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm x1; x2
thoûa maõn : x1 + 2x2 =  1
Baøi 2: Tìm giaù trò cuûa k ñeå
a) Phöông trình: kx2 – 5k + 1 = 0 coù hai nghieäm x1; x2 thoûa maõn x1 = 4x2.
b) Phöông trình: kx2 – 6(k – 1)x + 9(m – 3) = 0 coù hai nghieäm x1; x2 thoûa maõn:
x1 + x2 = x1x2
Giaûi:
a) Phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm khi vaø chæ khi:
k  0
k  0 
  25
  25  4k  0 k  4

Vôùi ñieàu kieän treân phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm x1; x2
5 1 4
Ta coù: x1 + x2 = maø x1 = 4x2  x2 = . Do ñoù x1 =
k k k
4
Suy ra x1x2 = 2
k
1
Maët khaùc x1x2 =
k
4 1 25
Neân 2
=  k = 4 (thoûa maõn ñieàu kieän k ≠ 0 vaø k  )
k k 4
Vaäy vôùi k = 4 thì phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm x1; x2 thoûa maõn x1 = 4x2
b) Phöông trình; kx2 – 6(k – 1)x + 9(m – 3) = 0 coù hai nghieäm khi vaø chæ khi:
k  0 k  0
 2  
 '  9(k  1)  9k(k  3) = 9(k + 1)  0  k  1
Vôùi ñieàu kieän treân phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm x1; x2
6(k  1) 9(k  3)
Ta coù x1 + x2 = vaø x1x2 =
k k
6(k  1) 9(k  3)
Maø x1 + x2 = x1x2 neân suy ra =
k k
hay 6(k – 1) = 9(k – 3)  k = 7 (thoûa maõn ñieàu kieän)
Vaäy vôùi k = 7 thì phöông trình kx2 – 6(k – 1)x + 9(m – 3) = 0 coù hai nghieäm
x1; x2 thoûa maõn: x1 + x2 = x1x2
Baøi 3: Tìm giaù trò cuûa m ñeå:
a) Phöông trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 coù hai nghieäm x1 ; x2 thoûa maõn
x1 x 5
+ 2 =
x2 x1 2
12
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
b) Phöông trình: x2 – 2x + 2m – 1 = 0 coù hai nghieäm x1 ; x2 thoûa maõn
x12 + x22 + x1 + x2  12
Giaûi:
2
a) Phöông trình: x – 2(m + 1)x + 4m = 0 coù bieät soá:
∆’ = (m + 1)2 – 4m = m2 + 2m + 1 – 4m = m2 – 2m + 1 = (m – 1)2  0 vôùi moïi
m  R.Vaäy phöông trình ñaõ cho luoân coù nghieäm.
Ñieàu kieän ñeå phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm x1; x2 ≠ 0 laø 4m ≠ 0 hay
m≠0
Ta coù: x1 + x2 = 2m + 2 vaø x1x2 = 4m
x x 5
Maø 1 + 2 =  2(x1 + x2)2 = 5x1x2
x2 x1 2
 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] = 5x1x2
 2(x1 + x2)2 – 9x1x2 = 0
 2(2m + 2)2 – 36 m = 0
 4m2 + 8m + 4 – 18m =0
 4m2 – 10 m + 4 = 0
 2m2 – 5m + 2 = 0 (*)
1
Giải phöông trình (*) ta ñöôïc m1 = 2 ; m2 = (thoûa maõn ñieàu kieän)
2
1
Vaäy vôùi m = 2 hoaëc m = thì phöông trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 coù hai
2
x x 5
nghieäm x1 ; x2 thoûa maõn 1 + 2 = .
x2 x1 2
2
Phöông trình: x – 2x + 2m – 1 = 0 coù hai nghieäm khi vaø chæ khi: ∆’  0 hay:
∆’ = 1 – (2m – 1) = 2 – 2m  0  m  1
Vôùi ñieàu kieän treân phöông trình coù hai nghieäm x1; x2. Theo heä thöùc Vi – eùt ta
coù: x1 + x2 = 2 vaø x1x2 = 2m – 1
Maø: x12 + x22 + x1 + x2  12
 (x1 + x2)2 – 2x1x2 + x1 + x2  12
 4 – 2(2m – 1) + 2  12
 4 – 4m + 2 + 2  12
  4m  4
 m 1
Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ta coù:  1  m  1 thì phöông trình:
x2 – 2x + 2m – 1 = 0 coù hai nghieäm x1 ; x2 thoûa maõn x12 + x22 + x1 + x2  12
13
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
6) Xaùc ñònh daáu cuûa caùc nghieäm, xaùc ñònh caùc heä soá cuûa phöông trình
baäc hai theo ñieàu kieän veà daáu cuûa nghieäm.
Phöông phaùp:
Döïa vaøo trong moät trong caùc ñieàu sau:
Cho phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Goïi x1; x2 laø nghieäm
cuûa phöông trình ta coù:
* P < 0  x1 < 0 < x1 (phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu)
∆0
* P > 0  0 < x1  x2 (phöông trình coù hai nghieäm ñeàu döông)
S>0
∆0
* P > 0  x1  x2 < 0 (phöông trình coù hai nghieäm ñều aâm)
S<0
P = 0
*   x2 > x1 = 0
S > 0
(phöông trình coù hai nghieäm baèng trong ñoù coù moät nghieäm baèng 0)
Baøi 1: Cho phöông trình x2 – 2x + m = 0 (1)
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình (1) coù:
a) Coù nghieäm.
b) Coù hai nghieäm phaân bieät ñeàu döông.
c) Coù hai nghieäm traùi daáu.
Giaûi:
a) Phöông trình (1) coù nghieäm khi vaø chæ khi ∆  0 hay 4 – 4m  0
 m  1.
b
b) Phöông trình (1) coù S =  = 2 > 0 neân phöông trình (1) nghieäm
a
döông khi vaø chæ khi:
  0 4  4m  0 m  1
      0 P  0 m  0 m  0
c) Phöông trình (1) coù hai nghieäm trí daáu khi vaø chæ khi a.c < 0 hay m < 0
Baøi 2: Cho phöông trình: mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (x laø aån soá)
(2)
a)Tìm giaù trò cuûa m ñeå phöông trình sau coù hai nghieäm traùi daáu.
b) Tìm m ñeå phöông trình coù moät nghieäm baèng 3. Tìm nghieäm thöù hai.
Giaûi:
14
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
a) Phöông trình (2) coù hai nghieäm traùi daáu khi vaø chæ khi:
m  0 m  0 m  0
  
c  m  3  m  3 < 0 (do m – 3 < m)
 a < 0  m <0 m > 0

Suy ra: 0 < m < 3 ( vì m – 3 < m neân khoâng xaûy ra tröôøng hôïp m < 0).
b) Giaû söû x1 = 3 laø moät nghieäm cuûa phöông trình (2), thì:
m.32 – 2(m – 2).3 + m – 3 = 0  9m – 6m + 12 + m – 3 = 0  4m =  9
9
Suy ra m =  .
4
m 3 9
Theo heä thöùc Vi – eùt coù: x1x2 = (m ∆ 0), thay x1 = 3 vaø m =  ta
m 4
9 9 7 7
ñöôïc: 3x2 = (  – 3) : (  )  3x2 =  x2 =
4 4 3 9
2 2
Baøi 3: Cho phöông trình : x – (2m + 1)x + m + m – 6 = 0 (3)
a)Chöùng toû phöông trình luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi giaù trò cuûa m.
b)Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm ñeàu aâm.
Giaûi:
a) Cho phöông trình : x – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0 (3) coù bieät soá:
2
∆ = [  (2m + 1)]2 – 4(m2 + m – 6) = 4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 4m + 24 = 25 > 0,
do ñoù phöông trình (3) luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi mọi giaù trò cuûa m.
b) Phöông trình (3) luoân coù hai nghieäm phaân bieät ñeàu aâm khi vaø chæ khi:
 m <  3
(m  2)(m + 3) > 0 
P > 0 2
m + m  6 > 0   
   1   m > 2  m <  3
S < 0 2m + 1 < 0 m <  2  1
m < 
 2
Vaäy vôùi m <  3 thì phöông trình (3) coù hai nghieäm ñeàu aâm.
7. Tìm heä thöùc lieân heä giöõa hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai ñoäc laäp
vôùi tham soá.
Phöông phaùp giaûi:
+ Laäp bieät soá ∆ ( hoaëc ∆’)tìm ñieàu kieän cuûa tham soá ñeå ∆  0 (hoaëc ∆’  0)
cho phöông trình coù nghieäm.
 b
x1 + x 2 = a (1)
+ Tính toång vaø tích hai nghieäm cuûa phöông trình: 
x x = c (2)
 1 2 a
*Caùch 1: Töø (1) bieåu thò tham soá qua x1; x2 roài theá vaøo (2) ñeå khöû tham soá.
15
Trần Thị Yến - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku
Caùch 2: Nhaân cuûa hai veá cuûa (1) hoaëc (2) vôùi moät soá thích hôïp sau ñoù
coäng hai tröø töøng veá cuûa (1) vaø (2) ñeå khöû tham soá.
Baøi 1: Cho phöông trình x2 – (2k – 2)x – 2k = 0 (aån x)
a)Chöùng minh raèng phöông trình luoân coù nghieäm vôùi moïi k.
b)Tìm heä thöùc lieân heä giöõa hai nghieäm x1 ; x2 cuûa phöông trình ñoäc laäp vôùi k.
Giaûi:
2
a) Phöông trình x – (k – 2)x – 2k = 0 coù:
∆ = (k -2)2 + 8k = k2 – 4k + 4 + 8k = k2 + 4k + 4 = (k + 2)2  0 vôùi moïi k  R,
neân phöông trình ñaõ cho luoân coù hai ghieäm x1 ; x2 vôùi mọi k.
x + x 2 = k  2 (1)
Caùch 1: Ta coù:  1
x1x 2 =  2k (2)
Töø (1) ta coù k = x1 + x2 + 2 ta thay vaøo (2) ñöôïc x1x2 =  2(x1 + x2)  4 hay
x1x2 + 2(x1 + x2) =  4 ñoäc laäp vôùi k
caùch 2:
x1 + x 2 = k  2 (1) 2(x + x 2 ) = 2k  4 (1)
   1
x1x 2 =  2k (2) x1x 2 =  2k (2)
Suy ra x1x2 + 2(x1 + x2) =  4
Bieåu thöùc x1x2 + 2(x1 + x2) =  4 ñoäc laäp vôùi k.
Baøi 2: Cho phöông trình (m + 1)x2 – 2(m + 2)x + m – 3 = 0. Tìm heä thöùc
giöõa hai nghieäm cuûa phöôngtrình khoâng phuï thuoäc vaøo m.
Giaûi:
2
Phöông trình (m + 1)x – 2(m + 2)x + m – 3 = 0 coù bieät soá:
∆’ = (m + 2)2 – (m + 1)(m – 3) = m2 + 4m + 4 – m2 + 3m – m + 3 = 6m + 7
Phöông trình coù hai nghieäm x1; x2 khi vaø chæ khi:
m   1
m + 1  0 
  7
6m + 7  0 m   6
Khi ñoù, theo ñònh lyù Vi – eùt ta coù:
 2(m + 2)
x1 + x 2 = m + 1 (1)

x x = m  3 (2)
 1 2 m+1
2(m + 1) + 2 2 2
Töø (1) ta coù: x1 + x2 = = 2+  = x1 + x2 – 2
m+1 m+1 m+1
16