Skkn một số dạng toán cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học
- 28 trang
- file .docx
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số khái niệm: Số phức được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm
y
Q(-a;b)→-z=-a+bi M(a;b)→z=a+bi
z
φ=arg(z) x
O
P(-a;-b) →-z=-a-bi N(a;-b) →z=a-bi
Điểm biểu diễn số phức liên hợp là đối xứng với qua .
Điểm biểu diễn số phức đối là đối xứng với qua .
Điểm biểu diễn số phức là đối xứng với qua .
Mô đun của số phức là .
2. Nếu biểu diễn cho số phức , thì
Trung điểm là biểu diễn số phức .
.
2. Công thức trung tuyến:
3. Công thức trọng tâm tam giác: Nếu biểu diễn các số phức thì trọng tâm
của tam giác biểu diễn số phức .
4. Môđun của số phức:
Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu
Tính chất
Chú ý: .
Lưu ý:
dấu bằng xảy ra
dấu bằng xảy ra .
dấu bằng xảy ra
dấu bằng xảy ra
5. Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ Quỹ tích điểm M
(1) (1)Đường thẳng
(2) Đường trung trực đoạn AB với
(2)
hoặc Đường tròn tâm , bán kính
hoặc Hình tròn tâm , bán kính
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn
hoặc
tâm , bán kính lần lượt là
Parabol
Elip
hoặc
Elip nếu
Đoạn AB nếu
Hypebol
B. NỘI DUNG
Dạng 1. Điểm và đường thẳng
Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử , số phức có điểm biểu diễn là điểm
Ta có:
Ta thấy điểm di chuyển trên đường thẳng nên nhỏ nhất khi và chỉ
khi là hình chiếu của điểm lên đường thẳng .
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với là .
Do đó, tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Suy ra
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn và nhỏ nhất. Mô-đun của số
phức bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt và là điểm biểu diễn của số phức .
Gọi . Ta có .
Theo giả thiết
Suy ra thuộc đoạn kéo dài ( nằm giữa và ). Lại có nên
nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất (với ).
Ta có: và
hoặc
Do đó
Ví dụ 3. Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt và là điểm biểu diễn số phức
Từ suy ra tập hợp điểm
là đường thẳng
Ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy .
Ví dụ 4. Xét các số phức thỏa mãn Môđun lớn nhất của số phức là
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt và là điểm biểu diễn số phức z.
Từ ta suy ra . Do đó tập hợp
điểm M là đường thẳng D :2x + 4y = 7.
1 1 1
w= = =
z z OM
Ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy suy ra .
Ví dụ 5: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
TH 1. Với Khi đó
TH 2. Với
Đặt và là điểm biểu diễn số phức z.
Từ ta suy ra tập hợp
điểm là đường thẳng
Ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy suy ra .
So sánh hai trường hợp ta thấy
Ví dụ 6: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức là
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi và .
. Suy ra tập hợp điểm
biểu diễn số phức là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên .
. Suy ra tập hợp điểm
biểu diễn số phức là phần gạch chéo như trên đồ thị có tính biên .
Dựa vào hình vẽ ta thấy .
Dấu xảy ra khi và chỉ khi , và
Dạng 2. Điểm và đường tròn
Ví dụ 1: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc
đường tròn có tâm , bán kính .
Khi đó
Ví dụ 2: Xét các số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
lần lượt là
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm
, bán kính
Ta có với
Vậy
Ví dụ 3: Xét các số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có tập hợp các điểm biểu
diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính .
Khi đó
Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Từ tập hợp các điểm biểu diễn số
phức thuộc đường tròn có tâm bán kính
Theo giả thiết với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 5: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Từ suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm
bán kính
Theo giả thiết ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 6: Xét các số phức thỏa mãn Trong các số phức thỏa mãn
gọi và lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất. Khi đó bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Từ tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm
bán kính
Ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Dấu xảy ra
Dấu xảy ra
Vậy
Ví dụ 7: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi ta có .
Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm trên đường
tròn tâm bán kính .
Ta có .
Gọi và thì .
Do chạy trên đường tròn, cố định nên lớn nhất khi là giao của với đường
tròn.
Phương trình , giao của và đường tròn ứng với thỏa mãn:
nên .
Tính độ dài ta lấy kết quả .
Lưu ý: Cho số phức thỏa mãn , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số phức
là đường tròn ) và
Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi
Dạng 3. Điểm và elip
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần
lượt là
A. và B. và C. và . D. và .
Lời giải
Gọi , . Theo giả thiết, ta có
Gọi , và .
Khi đó nên tập hợp các điểm là đường elip .
Ta có ; và .
Do đó, phương trình chính tắc của là .
Vậy và .
Ví dụ 2. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Khi đó bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi với và là điểm biểu diễn số phức .
Gọi . Khi đó
Suy ra điểm thuộc vào elip
Do đó:
Ví dụ 3: Cho số phức thay đổi thỏa mãn . Trong mặt phẳng tọa độ, gọi
là điểm biểu diễn và . Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là điểm biểu diễn số phức và là điểm biểu diễn số phức thì
đối xứng nhau qua . Diện tích tam giác là .
Do nên tập hợp biểu diễn là Elip . Do đó:
Câu 4. Cho số phức thỏa mãn . Tìm khi
đạt giá trị lớn nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Suy ra điểm di chuyển trên đường tròn tâm có tâm .
Gọi ,
Dạng 4. Đường thẳng và đường tròn
Ví dụ 1: Xét các số phức thỏa mãn và các số phức thỏa mãn .
Giá trị nhỏ nhất của bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi . Ta có
tập hợp các số phức
là đường thẳng
tập hợp các số phức
là đường tròn có tâm bán kính
Khi đó biểu thức là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc .
Từ đó suy ra
Ví dụ 2: Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn Gọi là tập hợp các
số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt Ta có
tập hợp điểm
biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như
hình vẽ). Gọi miền này là
tập hợp điểm biểu diễn
số phức là hình tròn có tâm bán kính
Khi đó biểu thức là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc
.
Từ đó suy ra
Ví dụ 3: Xét các số thức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi . Ta có
tập hợp điểm biểu diễn số phức
thuộc nửa mặt phẳng bờ , kể cả bờ (miền tô đậm). Gọi miền này là
tập hợp điểm biểu diễn số
phức là đường tròn có tâm bán kính
Như vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là giao của và . Đó chính là phần
cung tròn nét liền như trên hình vẽ (có tính 2 điểm đầu mút của cung).
Khi đó với và là khoảng cách từ điểm đến một điểm
thuộc cung tròn .
Từ đó suy ra
Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức
tập hợp điểm
biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như
hình vẽ).
suy ra
thuộc phần chung của hai hình tròn và (phần gạch sọc như hình vẽ).
Ta có nên nhỏ nhất khi ngắn nhất. Dựa vào hình vẽ ta thấy ngắn
nhất khi và
Ví dụ 5: Cho là số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Giá trị bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có Suy ra tập hợp các điểm thỏa yêu cầu bài
toán nằm trên miền tô đậm được giới hạn bởi đường thẳng và đường tròn
có tâm bán kính (kể cả biên) như hình vẽ.
Ta có với
Gọi giao điểm của và là là giao điểm của đoạn với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Vậy
Ví dụ 6: Xét các số phức thoả mãn và là số thực. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt
Gọi lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức
Suy ra
Do đó từ Suy ra đường thẳng có VTPT
tập hợp các điểm là đường tròn có tâm bán kính
tập hợp các điểm là đường
thẳng
Gọi là góc giữa và , ta có
Theo yêu cầu bài toán ta cần tìm GTLN và GTNN của
Do nên suy ra không cắt Gọi là hình chiếu của trên , ta có
Bài tập tổng hợp
Câu 1: Xét các số phức thỏa mãn . Tính , biết rằng
đạt giá trị nhỏ nhất
A. B. C. D.
Lời giải
Cách 1. Ta có
Gọi và . Khi đó
Lấy điểm suy ra
Vì đồng dạng với nhau nên .
Do đó
Dấu “=” xảy ra
Câu 2: Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
A. B. C. D.
Lời giải
Từ giả thiết, ta có
Điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn tâm , bán kính
Điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn tâm , bán kính
Từ và suy ra
Câu 3. Xét các số phức thỏa mãn . Tính khi
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Giả sử có điểm biểu diễn là .
Gọi . Khi đó, ta có .
Gọi Ta có
nên có
Suy ra . Vậy
thẳng hàng
Câu 4. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn lần lượt là các điểm biểu diễn số phức .
Dựa vào điều kiện, ta có tam giác vuông cân tại có độ dài , .
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số khái niệm: Số phức được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm
y
Q(-a;b)→-z=-a+bi M(a;b)→z=a+bi
z
φ=arg(z) x
O
P(-a;-b) →-z=-a-bi N(a;-b) →z=a-bi
Điểm biểu diễn số phức liên hợp là đối xứng với qua .
Điểm biểu diễn số phức đối là đối xứng với qua .
Điểm biểu diễn số phức là đối xứng với qua .
Mô đun của số phức là .
2. Nếu biểu diễn cho số phức , thì
Trung điểm là biểu diễn số phức .
.
2. Công thức trung tuyến:
3. Công thức trọng tâm tam giác: Nếu biểu diễn các số phức thì trọng tâm
của tam giác biểu diễn số phức .
4. Môđun của số phức:
Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu
Tính chất
Chú ý: .
Lưu ý:
dấu bằng xảy ra
dấu bằng xảy ra .
dấu bằng xảy ra
dấu bằng xảy ra
5. Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ Quỹ tích điểm M
(1) (1)Đường thẳng
(2) Đường trung trực đoạn AB với
(2)
hoặc Đường tròn tâm , bán kính
hoặc Hình tròn tâm , bán kính
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn
hoặc
tâm , bán kính lần lượt là
Parabol
Elip
hoặc
Elip nếu
Đoạn AB nếu
Hypebol
B. NỘI DUNG
Dạng 1. Điểm và đường thẳng
Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử , số phức có điểm biểu diễn là điểm
Ta có:
Ta thấy điểm di chuyển trên đường thẳng nên nhỏ nhất khi và chỉ
khi là hình chiếu của điểm lên đường thẳng .
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với là .
Do đó, tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Suy ra
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn và nhỏ nhất. Mô-đun của số
phức bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt và là điểm biểu diễn của số phức .
Gọi . Ta có .
Theo giả thiết
Suy ra thuộc đoạn kéo dài ( nằm giữa và ). Lại có nên
nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất (với ).
Ta có: và
hoặc
Do đó
Ví dụ 3. Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt và là điểm biểu diễn số phức
Từ suy ra tập hợp điểm
là đường thẳng
Ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy .
Ví dụ 4. Xét các số phức thỏa mãn Môđun lớn nhất của số phức là
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt và là điểm biểu diễn số phức z.
Từ ta suy ra . Do đó tập hợp
điểm M là đường thẳng D :2x + 4y = 7.
1 1 1
w= = =
z z OM
Ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy suy ra .
Ví dụ 5: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
TH 1. Với Khi đó
TH 2. Với
Đặt và là điểm biểu diễn số phức z.
Từ ta suy ra tập hợp
điểm là đường thẳng
Ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy suy ra .
So sánh hai trường hợp ta thấy
Ví dụ 6: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức là
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi và .
. Suy ra tập hợp điểm
biểu diễn số phức là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên .
. Suy ra tập hợp điểm
biểu diễn số phức là phần gạch chéo như trên đồ thị có tính biên .
Dựa vào hình vẽ ta thấy .
Dấu xảy ra khi và chỉ khi , và
Dạng 2. Điểm và đường tròn
Ví dụ 1: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc
đường tròn có tâm , bán kính .
Khi đó
Ví dụ 2: Xét các số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
lần lượt là
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm
, bán kính
Ta có với
Vậy
Ví dụ 3: Xét các số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có tập hợp các điểm biểu
diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính .
Khi đó
Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Từ tập hợp các điểm biểu diễn số
phức thuộc đường tròn có tâm bán kính
Theo giả thiết với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 5: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Từ suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm
bán kính
Theo giả thiết ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 6: Xét các số phức thỏa mãn Trong các số phức thỏa mãn
gọi và lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất. Khi đó bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Từ tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm
bán kính
Ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Dấu xảy ra
Dấu xảy ra
Vậy
Ví dụ 7: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi ta có .
Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm trên đường
tròn tâm bán kính .
Ta có .
Gọi và thì .
Do chạy trên đường tròn, cố định nên lớn nhất khi là giao của với đường
tròn.
Phương trình , giao của và đường tròn ứng với thỏa mãn:
nên .
Tính độ dài ta lấy kết quả .
Lưu ý: Cho số phức thỏa mãn , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số phức
là đường tròn ) và
Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi
Dạng 3. Điểm và elip
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần
lượt là
A. và B. và C. và . D. và .
Lời giải
Gọi , . Theo giả thiết, ta có
Gọi , và .
Khi đó nên tập hợp các điểm là đường elip .
Ta có ; và .
Do đó, phương trình chính tắc của là .
Vậy và .
Ví dụ 2. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Khi đó bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi với và là điểm biểu diễn số phức .
Gọi . Khi đó
Suy ra điểm thuộc vào elip
Do đó:
Ví dụ 3: Cho số phức thay đổi thỏa mãn . Trong mặt phẳng tọa độ, gọi
là điểm biểu diễn và . Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là điểm biểu diễn số phức và là điểm biểu diễn số phức thì
đối xứng nhau qua . Diện tích tam giác là .
Do nên tập hợp biểu diễn là Elip . Do đó:
Câu 4. Cho số phức thỏa mãn . Tìm khi
đạt giá trị lớn nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Suy ra điểm di chuyển trên đường tròn tâm có tâm .
Gọi ,
Dạng 4. Đường thẳng và đường tròn
Ví dụ 1: Xét các số phức thỏa mãn và các số phức thỏa mãn .
Giá trị nhỏ nhất của bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi . Ta có
tập hợp các số phức
là đường thẳng
tập hợp các số phức
là đường tròn có tâm bán kính
Khi đó biểu thức là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc .
Từ đó suy ra
Ví dụ 2: Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn Gọi là tập hợp các
số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt Ta có
tập hợp điểm
biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như
hình vẽ). Gọi miền này là
tập hợp điểm biểu diễn
số phức là hình tròn có tâm bán kính
Khi đó biểu thức là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc
.
Từ đó suy ra
Ví dụ 3: Xét các số thức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi . Ta có
tập hợp điểm biểu diễn số phức
thuộc nửa mặt phẳng bờ , kể cả bờ (miền tô đậm). Gọi miền này là
tập hợp điểm biểu diễn số
phức là đường tròn có tâm bán kính
Như vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là giao của và . Đó chính là phần
cung tròn nét liền như trên hình vẽ (có tính 2 điểm đầu mút của cung).
Khi đó với và là khoảng cách từ điểm đến một điểm
thuộc cung tròn .
Từ đó suy ra
Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức
tập hợp điểm
biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như
hình vẽ).
suy ra
thuộc phần chung của hai hình tròn và (phần gạch sọc như hình vẽ).
Ta có nên nhỏ nhất khi ngắn nhất. Dựa vào hình vẽ ta thấy ngắn
nhất khi và
Ví dụ 5: Cho là số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Giá trị bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có Suy ra tập hợp các điểm thỏa yêu cầu bài
toán nằm trên miền tô đậm được giới hạn bởi đường thẳng và đường tròn
có tâm bán kính (kể cả biên) như hình vẽ.
Ta có với
Gọi giao điểm của và là là giao điểm của đoạn với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Vậy
Ví dụ 6: Xét các số phức thoả mãn và là số thực. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt
Gọi lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức
Suy ra
Do đó từ Suy ra đường thẳng có VTPT
tập hợp các điểm là đường tròn có tâm bán kính
tập hợp các điểm là đường
thẳng
Gọi là góc giữa và , ta có
Theo yêu cầu bài toán ta cần tìm GTLN và GTNN của
Do nên suy ra không cắt Gọi là hình chiếu của trên , ta có
Bài tập tổng hợp
Câu 1: Xét các số phức thỏa mãn . Tính , biết rằng
đạt giá trị nhỏ nhất
A. B. C. D.
Lời giải
Cách 1. Ta có
Gọi và . Khi đó
Lấy điểm suy ra
Vì đồng dạng với nhau nên .
Do đó
Dấu “=” xảy ra
Câu 2: Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
A. B. C. D.
Lời giải
Từ giả thiết, ta có
Điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn tâm , bán kính
Điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn tâm , bán kính
Từ và suy ra
Câu 3. Xét các số phức thỏa mãn . Tính khi
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. B. C. D.
Lời giải
Giả sử có điểm biểu diễn là .
Gọi . Khi đó, ta có .
Gọi Ta có
nên có
Suy ra . Vậy
thẳng hàng
Câu 4. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn lần lượt là các điểm biểu diễn số phức .
Dựa vào điều kiện, ta có tam giác vuông cân tại có độ dài , .