Skkn khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

  • 27 trang
  • file .pdf
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
PhÇn I. Më ®Çu
I. lý do chän ®Ò tµi
To¸n häc lµ bé m«n khoa häc mang tÝnh trõu t­îng vµ l«gÝc cao,®ång thêi cßn
lµ m«n häc c«ng cô hç trî ®¾c lùc cho viÖc häc tËp c¸c m«n häc kh¸c cña ch­¬ng
tr×nh phæ th«ng. H×nh häc lµ ph©n m«n quan träng cña To¸n häc võa rÌn luyÖn kh¶
n¨ng ®o ®¹c, tÝnh to¸n, suy luËn l«gÝc võa ph¸t triÓn t­ duy s¸ng t¹o cho häc
sinh.Khi n¾m ch¾c kiÕn thøc vµ häc giái h×nh häc nã cßn cã t¸c dông lµm cho c¸c
em ph¸t huy ®­îc tÝnh ®éc lËp s¸ng t¹o,linh ho¹t trong c¸ch t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi
to¸n nãi chung vµ nã cßn cã ý nghÜa thùc tiÔn rÊt cao trong viÖc vËn dông kiÕn thøc
vµo cuéc sèng sau nµy. Qua nhiÒu n¨m trùc tiÕp gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc sinh
kh¸, giái t«i rót ra ®­îc kinh nghiÖm thùc tÕ lµ: ViÖc båi d­ìng HSG kh«ng ®¬n
thuÇn chØ lµ cung cÊp cho c¸c em c¸c d¹ng to¸n tõ c¬ b¶n ®Õn n©ng cao mµ ph¶i
biÕt rÌn luyÖn kh¶ n¨ng s¸ng t¹o, t­ duy trõu t­îng vµ suy luËn l«gÝc – ph¶i biÕn
nh÷ng ®iÒu ®ã thµnh kü n¨ng vµ cao h¬n lµ h×nh thµnh ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n, häc
to¸n, øng dông kiÕn thøc to¸n thÕ nµo cho hiÖu qu¶. Muèn ®¹t ®­îc nh÷ng ®iÒu ®ã
tr­íc hÕt ng­êi thÇy gi¸o ph¶i n¾m ch¾c b¶n chÊt cña tõng lo¹i to¸n, tõ ®ã võa ph©n
lo¹i võa liªn kÕt ®­îc tõng d¹ng víi nhau ®ã chÝnh lµ ph­¬ng ph¸p d¹y vµ häc to¸n
nãi chung còng nh­ viÖc båi d­ìng häc sinh giái to¸n nãi riªng. Trong rÊt nhiÒu
nh÷ng d¹ng to¸n mµ t«i ®· dµy c«ng nghiªn cøu, tËp hîp trªn hai m­¬i n¨m lµm
nghÒ d¹y häc qua rÊt nhiÒu tµi liÖu vµ c¸c kªnh th«ng tin kh¸c nhau tõ SGK trong
ch­¬ng tr×nh ®Õn c¸c lo¹i tµi liÖu tham kh¶o, ®Ò thi c¸c nh­ : To¸n vÒ phÇn
nguyªn, To¸n vÒ diÖn tÝch, To¸n vÒ th¼ng hµng, §ång qui,BÊt ®¼ng thøc, Cùc
trÞ…, tõ viÖc ban ®Çu lµ t©p hîp thµnh nh÷ng d¹ng to¸n sau ®ã liªn kÕt chóng
®Ó h×nh thµnh kü n¨ng, ph­¬ng ph¸p d¹y vµ häc to¸n nh­ t«i ®· trinh bµy ë trªn.
Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc lµ mét ®Ò tµi mµ t«i
muèn x©ydùng mét ph­¬ng ph¸p häc míi ®Ó ®¹t ®­îc nh÷ng yªu cÇu sau ®©y:
- Sö dông thµnh th¹o kÎ ®­êng phô trong bµi to¸n cã yÕu tè trung ®iÓm.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang1
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
- Chøng minh sù b»ng nhau, song song, th¼ng hµng,®ång quy…
- BiÕt ®­îc yÕu tè trung ®iÓm cã nhiÒu trong c¸c bµi to¸n : Chøng minh, dùng
h×nh, quÜ tÝch, cùc trÞ…
- VËn dông ®­îc nhiÒu kiÕn thøc khi gi¶i mét bµi to¸n ®ã lµ c¸ch hay nhÊt ®Ó
«n cò biÕt míi vµ h×nh thµnh kü n¨ng t­ duy cho häc sinh
II. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò nghiªn cøu.
ThuËn lîi : Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y chÊt l­îng gi¸o dôc ®­îc n©ng lªn râ rÖt,
c¸c nhµ tr­êng chó träng vµo viÖc ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y vµ häc ®Æc biÖt quan
t©m h¬n ®Õn häc sinh nhÊt lµ coi träng n¨ng lùc tù häc cña c¸c em.
M«n To¸n lµ m«n häc mµ häc sinh rÊt thÝch, cã nhiÒu em häc rÊt giái ®ã chÝnh
lµ lîi thÕ rÊt lín ®Ó gi¸o viªn cã thÓ tËp trung ®­îc t©m huyÕt vµ tr¸ch nhiÖm còng
nh­ lßng yªu nghÒ cña m×nh.
ViÖc d¹y cho c¸c em häc kiÕn thøc c¬ b¶n trong ch­¬ng tr×nh råi tõ ®ã h×nh
thµnh ph­¬ng ph¸p häc b»ng viÖc ®­a vµo nh÷ng chuyªn ®Ò to¸n th«ng qua c¸c hÖ
thèng tµi liÖu tham kh¶o d­íi sù h­íng dÉn cña gi¸o viªn còng rÊt thuËn lîi.
C¸c kú thi HSG ngoµi sù quan t©m chØ ®¹o cña c¸c cÊp qu¶n lý gi¸o dôc cßn
thu hót ®­îc sù quan t©m cña ®«ng ®¶o PHHS. Víi hÖ thèng ®Ò thi ngµy cµng phï
hîp, võa s¸t ch­¬ng tr×nh
Khã kh¨n: Víi ®Æc thï vïng n«ng th«n, ®iÒu kiÖn kinh tÕ khã kh¨n, v× vËy viÖc
quan t©m ®Õn häc hµnh cßn h¹n chÕ c¶ vÒ tinh thÇn vµ vËt chÊt dÉn ®Õn h¹n chÕ
viÖc häc hµnh cña c¸c em ®Æc biÖt lµ m«n to¸n.Chinh v× vËy cµng cÇn ph¶i rÌn
luyÖn, båi d­ìng nh»m gióp cho c¸c em häc sinh kh¶ n¨ng tù häc, tù t×m tßi, s¸ng
t¹o trong viÖc häc tËp, nghiªn cøu ®Ó chiÕm lÜnh tri thøc nh©n lo¹i, tÝch lòy kinh
nghiÖm cuéc sèng mai sau. V× thÕ cµng khiÕn t«i t©m huyÕt t×m tßi, nghiªn cøu ®Ó
gi¶ng d¹y cã hiÖu qu¶ cao nhÊt.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang2
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
PhÇn II. Néi dung
A. Ph­¬ng ph¸p chung
Trong ®Ò tµi nµy do khu«n khæ, giíi h¹n cña ®Ò tµi t«i chØ ®­a ra mét sè d¹ng c¬
b¶n , mét sè bµi tËp khã vµ n©ng cao vÒ bµi to¸n cã yÕu tè trung ®iÓm, ë ®©y t«i
kh«ng ®­a ra nhiÒu c¸ch gi¶i mµ chØ minh ho¹ chØ ra ®­êng lèi, ph­¬ng ph¸p , thãi
quen th­êng gÆp ë bËc THCS . §ã lµ khi gÆp bµi to¸n cã yÕu tè trung ®iÓm ta nghÜ
ngay ®Õn viÖc t¹o ra ®­êng phô theo mét trong c¸c h­íng sau:
+ H­íng 1: LÊy thªm ®o¹n th¼ng míi ®Ó cïng víi ®o¹n ®· cho cã chung trung
®iÓm tõ ®ã sö dông tÝnh chÊt hai ®o¹n th¼ng cã chung trung ®iÓm ë líp 7, hoÆc tÝnh
chÊt cña h×nh b×nh hµnh ë líp 8.
+ H­íng 2: LÊy thªm trung ®iÓm thø hai ®Ó t¹o ra ®­êng trung b×nh trong tam
gi¸c, trong h×nh thang, trong tø gi¸c nÕu cã nhiÒu ®­êng trung b×nh liÒn nhau cµng
tèt, tõ ®ã sö dông c¸c tÝnh chÊt cña c¸c ®­êng trung b×nh nµy.
+ H­íng 3: NÕu trung ®iÓm ®ã lµ trung ®iÓm cña c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng
®¨c biÖt l¹i lµ c¹nh huyÒn chung cña nhiÒu tam gi¸c vu«ng th× ta kÎ thªm c¸c
®­êng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn nµy ®Ó sö dông tÝnh chÊt ®­êng trung tuyÕn
thuéc c¹nh huyÒn trong tam gi¸c vu«ng.
+ H­íng 4: NÕu trung ®iÓm ®ã lµ trung ®iÓm cña d©y cung cña ®­êng trßn th× ta
kÎ ngay ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn ®i qua trung ®iÓm ®ã ®Ó sö dông tÝnh chÊt cña
®­êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y cung trong ®­êng trßn.
Sau ®©y t«i xin giíi thiÖu mét sè bµi to¸n minh häa cho nh÷ng kinh nghiÖm mµ
t«i ®· cã ®­îc trong nh÷ng n¨m trùc tiÕp lµm nhiÖm vô gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc
sinh giái.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang3
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B. Mét sè bµi to¸n quen thuéc trong ch­¬ng tr×nh.
Trong ch­¬ng tr×nh to¸n 7 khi nghiªn cøu c¸c tr­êng hîp b»ng nhau cña tam
gÝac ®Ó gióp häc sinh n¾m v÷ng kü n¨ng ,vËn dông thµnh th¹o kiÕn thøc ta giíi
thiÖu cho häc sinh c¸c bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 1: §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c th× song song víi
c¹nh cßn l¹i vµ cã ®é dµi b»ng nöa c¹nh ®ã.
Ta h­íng dÉn cho häc sinh sö dông tÝnh chÊt cña trung ®iÓm b»ng c¸ch: Trªn tia
®èi cña tia NM lÊy ®iÓm P sao cho NP = NM,
A
M P
N
B C
Khi ®ã hai ®o¹n AC vµ MP cã chung trung ®iÓm lµ N, tõ c¸c tÝnh chÊt trung ®iÓm
chung ta cã c¸c cÆp tam gi¸c (ANM, CNP) vµ (AMP, MBC) b»ng nhau dÉn ®Õn hai
®o¹n MP, BC song song vµ b»ng nhau tõ ®ã ta cã ®iÒu cÇn chøng minh.
Sau khi chøng minh xong, ta còng cho häc sinh chøng minh bµi to¸n ng­îc l¹i.
Qua ®ã häc sinh ®­îc h×nh dung tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c.
Còng nh­ v©y ta cho häc sinh lµm bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 2: Trong tam gi¸c vu«ng Chøng minh ®­êng trung tuyÕn thuéc c¹nh
huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn.
Ta còng h­íng dÉn cho häc sinh t¹o ra trung ®iÓm M lµ trung ®iÓm chung cña
hai ®o¹n BC vµ AD.
Khi ®ã sö dông tÝnh chÊt trung ®iÓm chung ta chøng minh hai tam gi¸c ABC vµ
CDA b»ng nhau ®Ó cã hai ®o¹n BC vµ AD b»ng nhau, tõ ®ã ta cã ®iÒu cÇn chøng
minh cña bµi to¸n.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang4
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B D
M
C
A
Sau ®ã ta còng cho hoc häc sinh chøng minh bµi to¸n ng­îc l¹i
Tõ bµi to¸n nµy ta cho häc sinh chøng minh bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c vu«ng cã mét gãc b»ng 60°
khi vµ chØ khi c¹nh kÒ gãc ®ã b»ng mét nöa c¹nh huyÒn.
§Ó gi¶i bµi nµy ta sö dông ®­êng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn AM Tõ viÖc xÐt
tam gi¸c c©n MAB khi cã gãc B b»ng 60° suy ra MAB lµ tam gi¸c ®Òu vµ ng­îc
l¹i, tõ c¹nh AB b»ng nöa c¹nh BC dÉn ®Õn tam gi¸c MAB ®Òu dÉn ®Õn gãc B b»ng
60°.
Còng tõ bµi to¸n 3 ta l¹i cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 4: Mét tam gi¸c cã mét gãc b»ng 60° mµ hai c¹nh kÒ gãc nµy cã mét
c¹nh b»ng mét nöa c¹nh kia th× ®ã lµ tam gi¸c vu«ng.
B
A
C D
Ta cã thÓ h­íng dÉn cho häc sinh lµm bµi nµy nh­ sau:
Ta lÊy ®iÓm D sao cho A lµ trung ®iÓm cña BD xÐt ®Æc ®iÓm cña tam gi¸c CBD víi
trung tuyÕn CA vµ c¸c quan hÖ ®· cho ta sÏ cã ®iÒu cÇn chøng minh.
Hoµn toµn t­¬ng tù ta cho häc sinh líp 7 lµm c¸c bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AM lµ trung tuyÕn. Chøng
minh gãc BAM lín h¬n gãc CAM khi vµ chØ khi c¹nh AB bÐ h¬n c¹nh AC.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang5
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
H­íng lµm: XÐt trªn h×nh cña bµi to¸n 2, ta thÊy: ViÖc so s¸nh gãc BAM víi
gãc CAM còng nh­ c¹nh AB víi c¹nh AC ta ®i so s¸nh gãc ADC víi gãc DAC
vµ c¹nh CD víi c¹nh AC cña tam gÝac ACD ( Sö dông quan hÖ c¹nh vµ gãc ®èi
diÖn trong tam gi¸c).
Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng: trong mét tam gi¸c ®é dµi ®­êng trung tuyÕn
lu«n bÐ h¬n nöa tæng hai c¹nh cßn l¹i.
H­íng lµm: Còng t­¬ng tù trªn h×nh cña bµi to¸n 2, sö dông bÊt ®¼ng thøc trong
tam gi¸c cña tam gi¸c ACD ta sÏ cã ®iÒu cÇn chøng minh.
§Õn ®©y ta kh¼ng ®Þnh gi¸ trÞ to lín cña tÝnh chÊt hai ®o¹n th¼ng cã chung trung
®iÓm.
Tõ viÖc sö dông tÝnh chÊt cña hai ®o¹n th¼ng cã chung trung ®iÓm ta ®· chøng
minh tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c, tø ®ã ta còng chøng minh tÝnh chÊt
®­êng trung b×nh cña h×nh thang, tÝnh chÊt “ §­êng trung b×nh cña tø gi¸c”.
Bµi to¸n 7: Chøng minh ®­êng trung b×nh cña h×nh thang song song víi c¹nh
®¸y vµ cã ®é dµi b»ng nöa tæng hai ®¸y.
H­íng lµm: XÐt thªm trung ®iÓm I cña ®­êng chÎo AC,Ta cã IM,IN lµ c¸c ®­êng
trung b×nh cña c¸c tam gi¸c ADC vÇ ABC
A B
M I N
D C
Khi ®ã sö dông tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ta chøng minh ®­îc bµi
to¸n nµy.
Bµi to¸n 8: Cho tø gi¸c ABCD cã M, N lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AD, BC. Chøng
AB  CD
minh ®é dµi ®o¹n MN  .
2
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang6
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
H­íng lµm: XÐt tø gi¸c ABCD mµ cã AB song song víi CD thÝ theo tÝnh chÊt
cña h×nh thang ta cã MN ®óng b»ng nöa tæng AB vµ CD.
cßn nÕu AB kh«ng song song víi CD, ta còng lÊy I lµ trung ®iÓm cña AC.
B
A
N
M
I
C
D
Khi ®ã MI, NI lµ c¸c ®­êng trung b×nh cña c¸c tam gi¸c ACD vµ ABD ®«ng thêi
xet quan hÖ ba c¹nh cña tam gi¸c MNI ta cã ®iÒu cÇn chøng minh.
Tõ c¸c bµi to¸n 7 vµ bµi to¸n 8 ta cho häc sinh lµm bµi sau:
Bµi to¸n 9: Chøng minh r»ng: Mét tø gi¸c lµ h×nh thang khi vµ chØ khi ®o¹n
th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh ®èi b»ng nöa tæng hai c¹nh cßn l¹i
Còng víi tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c, ta cã bµi to¸n sau:.
Bµi to¸n 10: Cho tø gi¸c ABCD cã M, N, P, Q. lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh
AB, BC, CD, DA. Chøng minh tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh.
ViÖc gi¶i bµi to¸n nµy kh«ng khã víi häc sinh líp 8 cßn víi häc sinh líp 7 ta
thay ®æi mét sè tªn gäi cho phï hîp th× bµi nµy trë nªn kh¸ hÊp dÉn, v× víi häc sinh
líp 7 viÖc chøng minh bµi to¸n nµy ®· ph¶i sö dông kh¸ nhiÒu kiÕn thøc: TÝnh chÊt
®­êng trung b×nh cña tam gi¸c, ®­êng th¼ng song song, hai ®o¹n th¼ng song song
vµ b»ng nhau, hai tam gi¸c b»ng nhau, . . .
Tõ bµi to¸n nµy häc sinh cã thªm mét tÝnh chÊt h×nh häc:
C¸c “®­êng trung b×nh cña tø gi¸c” gÆp nhau t¹i trung ®iÓm cña chóng
Còng tõ bµi to¸n 10 ta cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n sau:.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang7
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bµi to¸n 11: Cho tø gi¸c ABCD, gäi M, N, P, Q, E, F, G, H lÇn l­ît lµ trung
®iÓm cña c¸c ®o¹n: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC.
Chøng minh c¸c ®­êng MN, PQ, EF, GH ®ång quy.
C. C¸c bµi to¸n n©ng cao vµ ph¸t triÓn
I. Bµi to¸n chøng minh
Bµi to¸n 12: Cho tam gi¸c ABC, dùng vÒ phÝa ngoµi c¸c tam gi¸c vu«ng c©n t¹i
A lµ ABM vµ ACN. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng chøa trung tuyÕn AI cña tam
gi¸c ABC còng chøa ®­êng cao cña AH cña tam gi¸c AMN.
H­íng lµm: §©y lµ bµi to¸n kh¸ khã ®èi víi häc sinh líp 7, vµ bµi to¸n nµy l¹i
®­îc gÆp ë líp 8, nªn ë líp 7 ta dïng ng«n ng÷ sau:
Do ®· cã trung ®iÓm I cña BC nªn ta nghÜ ®Õn viÖc t¹o ra I lµ trung ®iÓm chung
cña hai ®o¹n, cô thÓ lµ trªn tia ®èi cña tia IA lÊy ®iÓm D sao cho I lµ trung ®iÓm
cña AD. N
H
M
A
B C
I
D
Khi ®ã tõ tÝnh chÊt trung «iÓm chung I cña hai ®o¹n AD , BC ta cã ®­îc hai
®o¹n CD vµ AB song song vµ b»ng nhau tõ ®ã ta cã ®­îc hai tam gi¸c ACD, MAN
b»ng nhau, sö dông c¸c gãc b»ng nhau cña hai tam gi¸c nµy vµ tÝnh chÊt c¸c gãc t¹i
®Ønh A ta cã ®­îc AH vu«ng gãc víi MN.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang8
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tõ bµi to¸n nµy ta cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 13: Cho tam gi¸c ABC, dùng vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng
ABDE vµ ACHF, vÏ h×nh b×nh hµnh AEQF,
Chøng minh ba ®­êng QA, HB, DC ®ång quy.
Q
F
E
H
A
D
B P C
H­íng lµm: Theo bµi 12 ta ®· cã QA vu«ng gãc víi BC, ta chØ cÇn chøng minh
BH vu«ng gãc víi QC vµ CD vu«ng gãc víi QB (b»ng c¸ch xÐt cho c¸c tam gi¸c
AQC , CBH b»ng nhau vµ c¸c tam gi¸c AQB, BCD b»ng nhau) khi ®ã QA, HB, DC
chøa ba ®­êng cao cña tam gi¸c QBC nªn ba ®­êng QA, HB, DC ®ång quy.
T­¬ng tù nh­ vËy ta cã c¸c bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 14: Cho tam gi¸c ABC cã M lµ trung ®iÓm c¹nh BC,Dùng vÒ phÝa
ngßai c¸c h×nh vu«ng ABDE, ACHF cã t©m lµ I, J.
Chøng minh tam gi¸c MIJ vu«ng c©n.
H­íng lµm: Nh×n vµo h×nh vÏ ta thÊy hai tam gi¸c AEC vµ ABF b»ng nhau
 hai ®o¹n EC, BF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau mµ MI, MJ lµ c¸c ®­êng
trung b×nh cña hai tam gi¸c BEC vµ CBF nªn ta chøng minh ®­îc hai ®o¹n MI, MJ
b¨ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang9
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
F
.
E
A
J H
I
D
B M C
Tõ bµi to¸n nµy ta cã lo¹t c¸c bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 15 :Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, vÒ phÝa ngoµi h×nh b×nh hµnh c¸c tam
gi¸c ABM vu«ng c©n t¹i M; ACN vu«ng c©n t¹i N; BDP vu«ng c©n t¹i P; CDQ
vu«ng c©n t¹i Q.
Chøng minh r»ng tø gi¸c NMPQ lµ h×nh vu«ng.
N
A
M
C
B I
Q
D
P
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang10
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
H­íng lµm: Tõ kÕt qu¶ bµi to¸n 14 ta cã c¸c tam gi¸c IMN, INQ, IQP, IPM
®Òu vu«ng c©n t¹i I tõ ®ã suy ra tø gi¸c MNQP lµ h×nh vu«ng.
Tõ bµi to¸n nµy ta l¹i ®­a ra bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 16: Cho h×nh b×nh hµnh ABDC, vÒ phÝa ngoµi h×nh b×nh hµnh c¸c h×nh
vu«ng ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gäi S, G, R, H lÇn l­ît lµ t©m cña c¸c h×nh
vu«ng trªn.
Chøng minh r»ng tø gi¸c SGHR lµ h×nh vu«ng.
N
F
A G
M
S
E B
C L
H
P R D
K
Q
TiÕp tôc bµi to¸n trªn, NÕu tø gi¸c ABCD kh«ng ph¶i lµ h×nh b×nh hµnh mµ lµ mét
tø gi¸c bÊt kú th× liÖu tø gi¸c SGHR cã tÝnh chÊt g× kh«ng? Ta cã bµi to¸n sau:.
Bµi to¸n 17: Cho h×nh tø gi¸c ABCD, vÒ phÝa ngoµi tø gi¸c dùng c¸c h×nh
vu«ng ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gäi V, S, J, K lÇn l­ît lµ t©m cña c¸c h×nh
vu«ng trªn. Chøng minh r»ng KS = VJ vµ KS  VJ.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang11
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
H­íng lµm: Do cã V, S, J, K lµ trung ®iÓm cña c¸c ®­êng chÐo h×nh vu«ng nªn
®Ó sö dông ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ta xÐt thªm trung ®iÓm I cña AC. Tõ kÕt
qu¶ bµi to¸n 14 ta cã IV, IK vu«ng gãc vµ b»ng nhau còng nh­ vËy hai ®o¹n IS, IJ
còng vu«ng gãc vµ b»ng nhau. Tõ ®ã hai tam gi¸cIKS vµ IVJ b»ng nhau. Suy ra hai
®o¹n th¼ng KS vµ VJ b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau.
M
N Q
V
B
F A
K
P
S R I
E
C
D
J
H G
§èi víi bµi to¸n nµy viÖc vÏ ®­êng phô lµ quan träng.ngoµi viÖc biÕt khai th¸c
yÕu tè trung ®iÓm nh­ ®· nªu häc sinh cÇn ¸p dông kiÕn thøc vÒ hai tam gi¸c b»ng
nhau, kiÕn thøc vÒ tam gi¸c c©n, tam gi¸c ®Òu...., ®· ®­îc häc vµo gi¶i bµi to¸n.Tõ
®ã häc sinh míi t­ duy vµ t×m tßi lêi gi¶i. Gi¸o viªn kh«ng nªn ®­a ra lêi gi¶i mµ
ph¶i h­íng dÉn ®Ó häc sinh dÇn dÇn t×m lêi gi¶i cho mçi bµi to¸n.
Bµi to¸n 18: Cho tam gi¸c ABC trªn c¸c c¹nh AB, AC lÊy c¸c ®iÓm M, N sao
cho BM = CN, gäi E, F lµ trung ®iÓm c¸c ®o¹n BC, MN. Chøng minh EF song song
víi ph©n gi¸c gãc A.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang12
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
H­íng lµm: Trong bµi to¸n nµy ®· cã hai trung ®iÓm M, N nªn ta nghÜ ®Õn viÖc
lÊy thªm mét trung ®iÓm n÷a ®Ó cïng víi hai trung ®iÓm ®· cho tao ra c¸c ®­êng
trung b×nh cña tam gi¸c sÏ gióp ta gi¶i bµi to¸n, cô thÓ nh­ sau:
Gäi I lµ trung ®iÓm cña BM khi ®ã IE, IF lµ ®­êng trung b×nh cña c¸c tam gi¸c
BCM vµ MBN, Tõ tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c vµ gi¶ thiÕt cña bµi to¸n
ta cã tam gi¸c IEF c©n t¹i I. Tõ ®Æc ®iÓm c¸c gãc cña tam gi¸c IEF vµ c¸c gãc t¹i
®Ønh A ta cã ®­îc EF song song víi ph©n gi¸c cña gãc BAC.
A
N
F
I M
B
E
C
Ta biÕt tõ bµi to¸n nµy chóng ra cã thÓ ®­a ra nhiÒu yªu cÇu kh¸ hay nh­:
+ Chøng minh ®­êng th¼ng MN t¹o víi hai ®­êng th¼ng AB, AC nh÷ng gãc b»ng
nhau.
+ Khi M,N thay ®æi chøng minh trung ®iÓm cña ®o¹n MN lu«n n»m trªn mét
®­êng cè ®Þnh.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang13
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bµi to¸n 19: Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c Träng t©m, Trùc t©m vµ T©m
®­êng trßn ngo¹i tiÕp cïng n»m trªn mét ®­êng th¼ng ( §­êng th¼ng ¥ le).
H­íng lµm: Cã rÊt nhiÒu c¸ch chøng minh bµi to¸n nµy, c¸c c¸ch ®Òu sö dông
tÝnh chÊt cña trung ®iÓm ®Ó t¹o ra ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ®Ó chøng minh:
Kho¶ng c¸ch tõ trùc t©m ®Õn mçi ®Ønh lu«n gÊp ®«i kho¶ng c¸ch tõ t©m ®­êng trßn
ngo¹i tiÕp ®Õn c¹nh ®èi diÖn víi ®Ønh ®ã (HA = 2 OM)
A
K
H G
O
I
B M C
Sau ®ã l¹i sö dông tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh IK cña tam gi¸c GAH ®Ó chøng
minh hai tam gi¸c: GIK vµ GOM b»ng nhau tõ ®ã cã ®­îc ba ®iÓm G, H, O th¼ng
hµng. ( Xin phÐp kh«ng tr×nh bµy chi tiÕt phÐp chøng minh nµy v× ®©y lµ bµi to¸n
B
®iÓn h×nh mµ ai còng biÕt) M
Bµi to¸n 20: Cho lôc gi¸c ABCDEF A I
cã M, N, P, I, K, L lÇn l­ît lµ trung
C
®iÓm c¸c c¹nh: AB, CD, EF, BC, DE, FA.
L
Chøng minh hai tam gi¸c MNP vµ IKL
X
cã chung träng t©m. G N
S Y
F
D
P
K
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang14
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy E
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
H­íng lµm: Tõ kÕt qu¶ bµi to¸n 10, gäi S lµ trung ®iÓm ®o¹n BE th× hai ®o¹n
MP vµ LS còng nh­ hai ®o¹n IK vµ SN cã chung trung ®iÓm lµ X vµ Y, khi ®ã NX
vµ LY lµ c¸c ®­êng trung tuyÕn cña c¸c tam gi¸c MNP vµ IKL, ®ång thêi NX vµ
LY còng lµ c¸c ®­êng trung tuyÕn cña tam gi¸c SNL mµ NX vµ LY c¾t nhau t¹i G
nªn G lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c nµy.
VËy hai tam gi¸c MNP vµ IKL cã chung träng t©m.
Bµi to¸n 21: Cho tø gi¸c ABCD cã M, N lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, CD.Trªn
®o¹n MN lÊy ®iÓm I bÊt kú, mét ®­êng th¼ng d qua I c¾t AD, AC, BD, BC lÇn l­ît
t¹i E, F, G, H.
EA FA RB HB IM
Chøng minh: + + +  4.
ED FC RD HC IN
H­íng lµm: Do cã c¸c trung ®iÓm M,N nªn ta nghÜ ®Õn ®­êng trung b×nh, mµ
bµi to¸n l¹i cã c¸c tû sè nªn ta l¹i nghÜ ®Õn ®Þnh lý Talet, tõ ®ã buéc ta ph¶i nghÜ
®Õn viÖc t¹o ra c¸c ®­êng th¼ng song song. cô thÓ qua A, B, C, D kÎ c¸c ®­êng
th¼ng song song víi MN chóng lÇn l­ît c¾t ®­êng th¼ng d t¹i A’, B’, C’, D’. Khi ®ã
IM, IN lµ ®­êng trung b×nh cña c¸c h×nh thang ABB’A’, DCC’D’, sö dông tÝnh chÊt
®­êng trung b×nh cña h×nh thang vµ ®Þnh lý Talet ta cã biÓu thøc vÕ tr¸i ®­îc thay
b»ng tæng sau:
AA' AA' BB' BB' 1 1
+ + + = (A’A + B’B)( + )
DD' CC' DD' CC ' CC ' DD'
=
 A' A  B' B C ' C  D' D 
C ' C.D' D
§Õn ®©y ta sö dung tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh h×nh thang vµ bÊt ®¼ng thøc C«si
ta cã kªt qu¶ cÇn chøng minh.
NhiÒu khi ®· thµnh kü n¨ng sö dông trung ®iÓm, mµ trong bµi to¸n kh«ng cho
trung ®iÓm th× chóng ta dù ®o¸n vµ t¹o ra trung ®iÓm, nh­ bµi to¸n sau:
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang15
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bµi to¸n 22: Cho tam gi¸c ABC ngo¹i tiÕp ®­êng trßn t©m O cã BN lµ ®­êng
ph©n gi¸c. Tõ A kÎ mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BN, c¾t BC t¹i H. Chøng
minh bèn ®iÓm A; O; H; C n»m trªn mét ®­êng trßn.
§èi víi bµi to¸n nµy x¶y ra hai tr­êng hîp ®èi víi h×nh vÏ .
Tr­êng hîp 1: H vµ O n»m cïng phÝa víi AC H×nh 1
Tr­êng hîp 2: H vµ O n»m kh¸c phÝa víi AC H×nh 2
Khi cã ®­êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c ta cã thÓ t¹o ra tam gi¸c c©n ®Ó ®­êng
ph©n gi¸c còng lµ ®­êng cao, ®­êng trung tuyÕn tõ ®ã ta lµm nh­ sau:
H­íng lµm:(Tr­êng hîp 1) Qua A kÎ c¸c ®­êng vu«ng gãc víi c¸c ph©n gi¸c
cña c¸c gãc ACB vµ ABC cã c¸c giao ®iÓm nh­ h×nh vÏ.Khi ®ã IK lµ ®­êng trung
b×nh cña tam gi¸c APH tõ ®ã ta cã gãc IKC b»ng gãc KCB, mµ tø gi¸c AIOK néi
tiÕp nªn gãc IKO b»ng gãc OAI tõ ®©y ta cã hai gãc OAH vµ OCH b»ng nhau
Do ®ã bèn ®iÓm A,O,H,C cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Bài to¸n 23:Cho ®­êng trßn vµ hai d©y AB, CD c¾t nhau t¹i M, ®­êng th¼ng ®i
qua M vµ trung ®iÓm N cña BD c¾t AC t¹i K.
KA MA2
Chøng minh: = .
KC MC 2
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang16
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
AA
D
Q
M
K
I N
C P
B
H­íng lµm: Ta thÊy ®· cã trung ®iÓm N cña BD nªn ta kÎ qua C ®­êng song
song víi MN c¾t AB t¹i P, tõ P l¹i kÎ ®­êng song song víi BD c¾I MN, CD t¹i I, Q.
Ta cã I lµ trung ®iÓm cña PQ dÉn ®Õn M lµ trung ®iÓm cña CQ, tõ ®ã ta cã tø gi¸c
ACPQ néi tiÕp
MC 2
.  MA.MP = MC.MQ = MC 2  MP =
MA
KA MA MC 2 MA2
Khi ®ã : = = MA : =
KC MP MA MC 2
Bµi to¸n 24: Cho ®­êng trßn t©m O vµ hai ®­êng kÝnh AB, CD. Trªn ®­êng kÝnh
CD lÊy hai ®iÓm M,N sao cho O lµ trung ®iÓm cña MN, c¸c tia AM, AN c¾t ®­êng
trßn t¹i E, F, ®­êng th¼ng EF c¾t CD t¹i S.
Chøng minh SB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
H­íng lµm: Ta thÊy bµi to¸n ®· cã O lµ trung ®iÎm chung cña hai ®o¹n MN vµ
AB nªn ta nghÜ ®Õn viÖc sö dông tÝnh chÊt trung ®iÓm chung.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang17
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Cô thÓ ta nèi BM,BN vµ ®Æt c¸c giao ®iÓm P, Q (h×nh vÏ).. Tõ tÝnh chÊt trung
®iÓm chung, tÝnh chÊt song song vµ gãc néi tiÕp ta cã BE // PQ vµ do ®ã tø gi¸c
BQFP néi tiÕp..
 Gãc BEF = Gãc FBP = Gãc BAF = Gãc ABM. mµ:
Gãc ABM + Gãc ABF = 90°
 Gãc ABF + Gãc FBP = 90°  SB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) .
A
C
M O
N
D
Q F S
E
P
R B
Bµi to¸n 25: Cho ®­êng trßn t©m O, qua trung ®iÓn I cña d©y cung AB kÎ hai
d©y cung bÊt kú CD vµ MN, gäi P, Q lµ giao ®iÓm cña CN, DM víi AB. Chøng
minh I còng lµ trung ®iÓm cña PQ.
H­íng lµm: §©y lµ bµi to¸n “ Con b­ím” næi tiÕng !
Ta thÊy trong bµi to¸n ®· cã trung ®iÓm cña d©y cung nªn ta kÎ ngay ®­êng kÝnh
®i qua trung ®iÓm I cña d©y cung AB, còng nh­ vËy ta kÎ c¸c ®­êng kÝnh ®i qua
c¸c trung ®iÓm cña c¸c d©y cung CD, MN (h×nh vÏ ).
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang18
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
N
D
O
E
F
B
P
I
Q
A
C
M
Khi ®ã xÐt c¸c tø gi¸c néi tiÕp PIOE, QIOF vµ tõ c¸c tam gi¸c ®ång d¹ng ICN,
IMD dÉn ®Õn c¸c tam gi¸c ICE, IMF ®ång d¹ng dÉn ®Õn tam gi¸c OPQ c©n t¹i O
(v× cã ®­êng cao còng lµ ph©n gi¸c) tõ ®ã suy ra I lµ trung ®iÓm cña PQ
Bµi to¸n “Con b­ím” nµy còng cã trong tam gi¸c:
Bµi to¸n 26: cho tam gi¸c ABC cã I lµ trung ®iÓm c¹nh BC, ®­êng tr¼ng d bÊt kú
qua I c¾t AB, AC t¹i M, N. §­êng th¼ng d’ qua I c¾t AB, AC t¹i P, Q. Gäi E, F lµ
giao ®iÓm cña MP, NQ víi BC. Chøng minh IE = IF.
Bµi to¸n “Con b­ím” trong tø gi¸c:
Bµi to¸n 27: Cho tø gi¸c ABCD. Qua giao ®iÓm I cña hai ®­êng chÐo kÎ ®­êng
th¼ng d bÊt kú c¾t AB, BC, CD, DA lÇn l­ît t¹i M, N, P, Q. Chøng minh r»ng: I lµ
trung ®iÓm cña MP khi vµ chØ khi I lµ trung ®iÓm cña NQ.
ViÖc kÎ thªm ®­êng phô khi cã yÕu tè trung ®iÓm ®­îc thùc hiÖn trong bµi to¸n
chøng minh, chøng ta còng thùc hiÖn trong c¸c bµi to¸n kh¸c.
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang19
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy
Tªn ®Ò tµi: “Khai th¸c yÕu tè trung ®iÓm trong bµi to¸n h×nh häc”
----------------------------------------------------------------------------------------------------
II. To¸n dùng h×nh
Bµi to¸n 28: Dùng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AC = 2 AB vµ c¹nh BC cã ®é
dµi b»ng a cho tr­íc.
H­íng lµm: trong viÖc ph©n tÝch t×m tßi lêi gi¶i ta thÊy cã ®iÒu kiÖn AC gÊp
®«i AB th× ta lu«n cho häc sinh cã thãi quen “ khi cã ®o¹n nµy gÊp ®«i, gÊp ba, . . ,
®o¹n kia th× trªn ®o¹n ®ã ta lÊy c¸c ®iÓm chia ®«i, chia ba, . . “. Tong bµi to¸n nµy
ta lÊy I lµ trung ®iÓm cña AC ®Ó cã AI = IC = AB.
B
H
K
A I C
Khi ®ã kÎ ®­êng cao AH vµ lÊy thªm trung ®iÓm K cña HC ta cã hai tam gi¸c
1 1
ABH vµ CIK b»ng nhau, tõ ®ã suy ra: BH = IK = AH = HC.
2 4
V©y ta cã c¸ch dùng tam gi¸c AHB tõ ®ã dùng tam gi¸c ABC.
Bµi to¸n 29: Cho tø gi¸c ABCD cã M, P trªn c¸c c¹nh AB, CD. Dùng h×nh b×nh
hµnh MNPQ cã N, Q trªn BC, DA.
H­íng lµm: Do tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh nªn trung ®iÓm O cña MP còng
lµ trung ®iÓm cña NQ, hay O lµ t©m ®èi xøng cña h×nh b×nh hµnh MNPQ. Tõ ®ã ta
dïng phÐp ®èi xøng t©m O ®Ó x¸c ®Þnh N, Q ®Î cã h×nh b×nh hµnh MNPQ.
Bµi to¸n 30: Cho 4 ®­êng th¼ng a, b, c, d (kh«ng cã hai ®­êng nµo song song)
vµ mét ®iÓm O. Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD nhËn O lµ t©m vµ cã c¸c ®Ønh n»m
trªn c¸c ®­êng th¼ng ®· cho.
H­íng lµm: Do t©m O cña h×nh b×nh hµnh còng lµ t©m ®èi xøng, nªn ta xÐt phÐp
®èi xøng t©m O ®Ó x©c ®Þnh c¸c ®iÓm A, B, C, D,
------------------------------------------------------------------------------------------ Trang20
Ng­êi thùc hiÖn: Ph¹m Quang Th¨ng – THCS Cao Xu©n Huy