Skkn giúp hs phát hiện sai lầm khi giải phương trình vô tỉ

  • 18 trang
  • file .pdf
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KĨ THUẬT:
GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN SAI LẦM KHI GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
--------------------
Quảng Bình , ngày 20-5-2013
GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN SAI LẦM
KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
PHẦN THỨ NHẤT: PHẦN MỞ ĐẦU:
1.1 - Lý do chọn đề tài :
Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng tiếp thu
khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển như vũ bão của khoa học và
kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay còn là
mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho
học sinh những hiểu biết cập nhật được. Điều quan trọng là phải trang bị cho các em
năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tương
lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri thức trong
tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm
chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu thập
thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở nên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông
tuyên truyền, máy tính, mạng internet v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đối với con người
hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là xử lý thông tin để tìm ra
giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của xã
hội.
Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc truyền thụ
kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho HS. Để đáp
ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình dạy học về
mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức, phương tiện, cách kiểm tra đánh
giá..
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã được mở rộng, các kiến thức và kỹ
năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :
+ Năng lực hành động. + Năng lực thích ứng.
+ Năng lực cùng chung sống và làm việc. + Năng lực tự khẳng định mình.
Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là "Năng
lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ
năng là một trong những thành tố của năng lực HS.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra rằng
còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học
sinh chưa thực sự hiểu kỹ về phương trình vô tỉ và trong khi giải phương trình vô tỉ rất
hay có sự nhầm lẫn hiểu sai vấn đề nên thực hiện sai mục đích. Việc giúp học sinh nhận
ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần
thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có
một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức cơ bản tạo nền móng để tiếp tục nghiên
cứu các dạng toán cao hơn sau này.
Nội dung của đề tài này trước đây đã có một số người nghiên cứu song nội dung
còn chung chung, chưa đưa ra các dạng bài cụ thể. Trong đề tài này tôi đã cố gắng tìm ra
một số ví dụ về sai lầm của học sinh, từ đó đưa ra một số cách sửa chữa các sai lầm đó
một cách cụ thể. Mong rằng đề tài sẽ được các em học sinh và đồng nghiệp đón nhận.
1.2 - Phạm vi áp dụng đề tài:
*Đối tượng nghiên cứu:
-Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm
đối tượng cụ thể sau :
1. Giáo viên dạy toán 9 THCS
2. Học sinh lớp 9 THCS : bao gồm 1 lớp 9 với tổng số 35 học sinh
* Phạm vi nghiên cứu:
-Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “sai lầm” mà học sinh thường mắc phải trong
quá trình làm bài tập phương trình vô tỉ - Đại số 9.
-Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai
hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
-Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về phương trình vô tỉ.
* Phạm vi áp dụng đề tài: Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 9 và giáo viên dạy
Toán THCS.
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
2.1: Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu
Qua nhiều năm dạy môn Toán 9, tôi nhận thấy: Khi gặp các bài toán về phương
trình vô tỉ học sinh chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều
kiện và biến đổi,trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh
đó chương trình đại số 9 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành
cho phần này là rất ít.
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận
thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện
và lấy nghiệm sai ở phần này.
Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy:
Ví dụ 1: Khi giải pt: x  1  5x  1  3x  2 (1)
Lời giải sai: (1)  x 1  3x  2  5x 1(2)
Bình phương hai vế : x-1 = 5x - 1 + 3x – 2 + 2 15x 2 13x  2(3)
Rút gọn :2-7x = 2 15x2 13x  2(4)
Bình phương hai vế : 4 -14x + 49x2= 4(15x2-13x +2) (5)
2
Rút gọn :11x2- 24x + 4 = 0 <=> (11x-2)(x-2) = 0 Tìm được x1  ; x2  2
11
Phân tích sai lầm : Không chú ý đến ĐK Căn thức có nghĩa.
2
x 1 xác định khi x  1 . Do đó x = Không phải là nghiệm.
11
Sai lầm thứ hai (4) và (5) Không tương đương
 2  7x  0
Mà (4)   2 2
(2  7x)  4(15x  13x  2)
PT(5) là PT hệ quả của PT (4), nó chỉ tương đương với (4) khi ĐK 2-7x  0 .
Do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của (1).
Cách giải đúng :
Cách 1: Giải xong thử lại
2
Cách 2:Đặt ĐK căn thức xác định. x  1 , x  .Do đó khi giải xong kết luận phương
7
trình vô nghiệm.
Cách 3:Chứng minh vế trái số âm .Còn vế phải không âm.KL phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải PT (x+3) x 1  0
 x 3  0 x  3
Lơì giải sai: Ta có :(x+3) x 1  0   
 x 1  0  x  1
Nhận xét :Rõ ràng x = - 3 không phải là nghiệm của PT
 B0
 A0
Ghi nhớ : A B  0   
  B  0
Ví du 3: Giải PT: x4  x2
 x4 0  x  4  x  4
Lời giải sai: x  4  x  2   2
  2
 
x  4  (x  2) x  4  x  4x  4 x(x  3)  0
 x  4
  x0
  x  0  
 x  3  x  3
Nhận xét : Rõ ràng x = -3 không phải là nghiệm của PT
 A0
Ghi nhớ : A  B   2
A  B
2x  5
Ví dụ 4: Giải PT: 1
x2
2x  5 2x  5  x2 0  x2
Lờigiảisai: 1   1  2x  5  x  2   
x2 x 2 2x  5  x  2 x  7
Vậy PT trên vô nghiệm.
Nhận xét : PT đã cho có nghiệm x = -7 ?
  A
 khi A  0; B  0
A  B
Ghi nhớ :  
B  A
khiA  0 ; B  0
 B
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi A  0; B  0 Nên mất một nghiệm x =
-7
Ví dụ 5: Giải PT: 2 x  4  x  1  2 x  3  4 x  16
Lời giải sai: Ta có : 2 x  4  x 1  2x  3  4x 16
 x 1  0
 2 x  4  x 1  2x  3  4(x  4)  x 1  2x  3  
x 1  2x  3
x 1
  ; Vậy PT có nghiệm x = 2
x  2
Nhận xét : Ta thấy x = 2 không phải là nghiệm của PT
 A0
Ghi nhớ : A  B  A  C  
 B C
Ví dụ 6: Giải PT: x( x  1)  x( x  2)  2 x( x  3)
Lời giải sai: Ta có
x(x 1)  x(x  2)  2 x(x  3)  x. x 1  x. x  2  2 x. x  3
 x 1  x  2  2 x 3 ; Căn thức có nghĩa x  3 Khi đó ta có :
 x 1  x  3
  x  1  x  2  2 x  3 . Do đó PT vô nghiệm.
 x  2  x  3
Nhận xét : Có thể thấy ngay x = 0 là một nghiệm của PT. Việc chia hai vế cho x
đã làm mất nghiệm này.
 A . B khi A  0; B  0
Ghi nhớ: A.B  
  A .  B khiA  0; B  0
Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp x  0 ,và xét trường hợp x < 0.
Kết quả cụ thể khi chưa áp dụng đề tài này là: Học sinh lớp 9A, số lượng HS: 35 em
Kém Yếu TB Khá Giỏi
SL % SL % SL % SL % SL %
04 11.4 10 28.6 11 31.4 07 20.0 03 8.6
Đứng trước thực trạng đó, bản thân tôi là người được phân công trực tiếp dạy môn
Toán 9, trong thời gian qua, tôi đã thường xuyên tìm hiểu các sai lầm trong các lời giải
của học sinh. Từ đó, tìm tòi nghiên cứu đưa ra một số cách giải cụ thể cho các dạng bài.
Để giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ, trong năm học qua tôi đã vận dụng một số
biện pháp sau để giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải toán có hiệu quả.
2.2 Các giải pháp:
2.21-Phương pháp bình phương hai vế của PT:
Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế, đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình
phương hai vế của PT.
Ví du 1: Giải PT: 2+ 2x 1  x (1)
1
Giải: ĐK:x  (2)
2
2 2
PT(1)  2x 1  x  2(3) ;ĐK: x  2(4) 2x 1  (x  2) (5)  x 6x  5  0
Giải x1=1 không thõa mãn (4); x2 = 5thoã mãn cả (2)và (4).
Vậy PT có nghiệm x = 5
Ví dụ 2: Giải PT: x 1  x  2  1(1)
Giải: ĐK:x  2(2) . PT(1)  x 1  1  x  2(3) .Hai vế của (3) không âm bình phương
hai vế : x + 1 = 1+x – 2 + 2 x  2  2  2 x  2  x  2  1  x  2  1  x  3 ,thõa mãn
ĐK (2) .
Vậy PT có nghiệm x = 3.
2.22-Phương pháp: Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
2
Ví dụ: Giải PT: x  4x  4  x  8(1) .
Giaûi(1)  ( x  2) 2  x  8  x  2  x  8Negï x  2thì x - 2  x  8  x  5,
Thïoäc khoaûngñang xeùt.
Negï x  2thì - x  2  x  8, PT vohnghieäm
Kegtlïaän x  5
2.23-Phương pháp đặt ẩn phụ:
2
Ví dụ: Giải pT: x2 - x  2  4
2
Giải:ĐK: x  2 ; PT đã cho có dạng: x2  2  x 2  2  2  0
Đặt : x 2  2  t  0PT coùdaïng t 2  t  2  0Giaûi t 1  2; t 2  1(loaïi)
Với t = 2 Thì x2  2  2  x2  6  x   6
Kết luận: x=  6
2.24-Phương pháp đưa về hệ phương trình :
3
Giải PT: x  2  x 1  3;
Giải: ĐK:x  1(1)
Đặt 3 x  2  y, x 1  z ;Khi đó x-2= y3 ;x+1 = z2
 y  z  3( 2 )
 2 3
Ta có HPT sau:  z  y  3(3) ;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;
 z  0(4)

Giải tìm được x = 3(Thoã mãn) Kết luận: x = 3
2.25-Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:
a)Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau:
Ví dụ: Giải PT: x 1  5x 1  3x  2(1)
ĐK:x  1 ;Ta có với ĐK này thì x < 5x
Do đó x 1  5x 1  Vế trái là một số âm còn vế phải không âm. Vậy PT vô
nghiệm.
b)Sử dụng tính đối nghịch hai vế:
2 2 2
Ví dụ: Giải PT: 3x  6x  7  5x 10x 14  4  2x  x
2 2
Giải: Vế trái của PT: 3(x 1)  4  5(x 1)  9  4  9  5
Vế phải của PT:5-(x+1)2  5
Vậy hai vế của PT bằng 5 x  1 Kết Luận : x= -1
c)Sử dụng tính đơn điệu:
Ví dụ : Giải PT: 3 x  2  x  1  3(1)
Giải : Ta thấy x =3 là nghiệm của PT
3
Với x >3 Thì x  2  1, x  1.  2 . Nên vế trái của (1) > 3
Với -1  x  3Thì3 x - 2  1; x  1  2 .Nên vế trái của (1) < 3
Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT
d)Sử dụng ĐK xảy ra dấu bằng :
x 4x 1
Ví dụ: Giải PT:   2 (1)
4x 1 x
1 a b
Giải ; ĐK:x > Áp dụng BĐT   2 Với a>0,b>0 .Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi
4 b a
a=b
2 2 1
Do đó (1)  x  4x 1  x  4x 1  x  4x  1  0(Dox  )  x  2  3
4
Thõa mãn (2)
2.26-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp:
x3 2
Ví dụ: Giải PT: 4x  1  3x  2  (1) ĐK: x 
5 3
Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)
x 3
 x 3  ( 4x 1  3x  2)
5
 
 x  3 4x  1  3x  2  5  0  4x  1  3x  2  5 do x  3  0 (2)
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT.
* GIỚI THIỆU THÊM BÀI TẬP ĐỂ HỌC SINH LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải PT: x 2  4  x  2(1) ;
Hướng dẫn: ĐK:x  2 Bình phương hai vế giải ra x = 2
1 1
Bài 2: Giải PT: x  x   x   2 (1);
2 4
1 1
Hướng dẫn : Đặt t= x   0  x  t 2 
4 4
2
 1 1
(1)   t    2 Giải t = 2   x  2  2
 2 2
1
Bài 3: GiảiPT: x  x  1  (1) ; Hướng dẫn : ĐK: x > 0 Biến đổi(1)
x
 x  1 1
 …  x  1  x 
 3 3
Bài 4:Giải PT:
a) x  1  x  1
b) 1  x  2  x  1 ;
c) 1  x  4  x  3
Hướng dẫn : Dùng Phương pháp bình phương hai vế
 1 5
Kết quả: câu a) x = 3; b) x= ; c) x = 0; x = 3
2
x 2  2x  3  x 1
Bài 5: Giải PT:  3  x (1); HD:ĐK:   x 1
x 1 ( x  1)( x  3)  0
(1) ...  x  3  3  x Bình phương hai vế giải kết quả x = -3; x = -2(KTM) PT vô
nghiệm.
Bài 6: Giải các PT sau:
x 14
a) 1  2x2  x 1; b) x  5   3;
3 x 5
Hướng dẫn: câua) PT Vô nghiệm; câu b)PT có vô số nghiệm x  5
Bài 7: Giải PT:a) 3x 3x 5; b) 5  x  2x  7
 5
 x
Câu: a) Biến đổi Tương đương  3
9 x 2  29 x  22  0
Câu: b)Tương tự
2 2
Bài 8 :Giải PT:3x2 +2x = 2 x 2  x  1  x (1);HD:Biến đổi (1) 3x  3x  2 x  x  1  0
Dùng Phương pháp đặt ẩn phụ:
x 2  x  t  0 Giải PT ẩn t có hai nghiệm t=1; t=  1 Thay giải tìm x
3
Bài 9:
Giải : a) x2  2x 1  x2  4x  4  3; b) x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  5
Hướng dẫn: Biến đổi về PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu:a)  2  x  1; Câu b) 1  x  10
2
Bài 10: Giải PT: x2 +4x +5 = 2 2x  3 (1);HD ĐK: x  ;Biến đổi (1)
3
 x 12  0
2
 
2
 x 1  2x  3 1  0   2
 
 2x  3 1  0
Bài 11:Giải các PT:
a) x  2  x  4 b) x  4  4  x c) x 2  2x  5  x 2  2x 1
d ) 4x 2  x  4  3x  2; e) x 2  2x  2  x  1
 B  0
Hướng dẫn: Câu a,b,,d,e; Dùng phép biến đổi A  B   2
A  B
Câu c: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 12:GiảiPT:
a) 3x 2  6x  7  5x 2  10x 14  4  2x  x 2 (1)
b) x  2  4  x  x 2  6x 11(1)
Hướng dẫn: Dùng BĐT:
Câu a) VT  5 ; VP  5 .
Do đó PT có nghiệm khi và chỉ khi hai vế bằng nhau: x =-1
 
2
Câub) VT: Áp dụng BĐT Bu nhiacốp xki: 1. x  2 1. 4  x  (12 12 )(2)  4  VT  2
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi …. x =3
VP: =…= (x-3)2 +2  2 ; Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x =3
Vậy PT có nghiêm là x = 3
Bài 13: Giải PT: x 1  3  x  (x 1)(3  x)  2
Hướng dẫn: ĐK: 1  x  3; Đặt t = x 1  3 x ; Với ĐK t  0
PT có dạng: t2-2t = 0 giải ptrình theo t.
-Trên đây là một số phương pháp giải toán về phương trình vô tỉ và những sai lầm mà
học sinh hay mắc phải, song trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên
cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận
sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
Kết quả đạt được sau khi áp dụng đề tài: Lớp 9A, SL: 35 em
Kém Yếu TB Khá Giỏi
SL % SL % SL % SL % SL %
01 2.9 06 17.1 15 42.9 08 22.9 05 14.3
PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN
3.1: Ý nghĩa của đề tài:
Phần kiến thức về phương trình vô tỉ - Đại số 9 rất rộng và sâu, tương đối khó với
học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến
thực rộng, nhiều, độ tư duy lớn. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học
được tốt phần phương trình vô tỉ thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh
thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu
óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói
chung và phần phương trình vô tỉ nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức,
phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu
nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về
phương trình vô tỉ” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải
một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi củng đã phân tích khá kỉ phần kiến thức này so
với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm
của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng cũng như biện pháp khắc phục
các sai lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp
khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của
học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ
hiểu. Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có
thể thực hành kỹ năng của mình.
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì vậy
tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc
rút của các năm học trước đã dạy.
3.2: Kiến nghị, đề xuất:
Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
của giáo viên và học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn giáo
án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động và thu hút đối
tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và
nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường xuyên.
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và trách
nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn
nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao
kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại
các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên
cứu phát triển chuyên đề.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều, tầm quan sát
tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót
và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ xung
cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong
những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !