Quan hệ vuông góc trong không gian

  • 21 trang
  • file .pdf
Quan hệ vuông góc trong không gian
Mục lục
A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................................1
B. Các dạng toán quan trọng ....................................................................................................3
Dạng 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ..............................3
 Phương pháp giải toán...................................................................................................3
 Một số ví dụ ..................................................................................................................4
 Bài tập ..........................................................................................................................9
Dạng 2. Hai mặt phẳng vuông góc............................................................................................. 11
 Phương pháp giải toán................................................................................................. 11
 Một số ví dụ ................................................................................................................ 11
 Bài tập ........................................................................................................................ 14
Dạng 3. Góc .............................................................................................................................. 16
 Một số ví dụ ................................................................................................................ 16
 Bài tập ........................................................................................................................ 19
Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng
Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84
Từ khóa : pham hong phong, su vuong goc
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
A.Tóm tắt lý thuyết
1. Các khái niệm cơ bản
 Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc
+) Góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 là góc giữa hai đường thẳng  '1 và  '2 cùng đi
qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với 1 và  2 .
+) Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng
+) Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
+) Nếu đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  P  thì ta nói góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng  P  bằng 90 . Trong trường hợp đường thẳng  không vuông góc với mặt
phẳng  P  thì góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng 
với hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng  P  .
 Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc
+) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó.
+) Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .
2. Các định lý quan trọng
 Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong
mặt phẳng  P  thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  .
 Định lý ba đường vuông góc. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P 
và đường thẳng b nằm trong  P  . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là
b vuông góc với hính chiếu a ' của a lên  P  .
 Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng vuông góc với nhau.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 Nếu hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm
trong  P  , vuông góc với giao tuyến của  P  và  Q  đều vuông góc với mặt phẳng  Q 
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
B. Các dạng toán quan trọng
Dạng 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng
 Phương pháp giải toán
 Để giải chứng minh hai đường thẳng vuông góc , ta có các cách làm như sau:
+) Phương pháp 1. Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường
thẳng kia:
a   P 
  a b.
b   P 
+) Phương pháp 2 (Sử dụng định lý ba đường vuông góc). Giả sử đường thẳng a ' là hình chiếu
vuông góc của đường thẳng a lên  P  , b là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P  . Khi
đó
a  b  a  b '.
+) Phương pháp 3(Sử dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc).
b '  b
  a b.
a  b '
 Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể làm như
sau:
+) Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm
trong mặt phẳng.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
a  b

a  c

b vaø c caét nhau  a   P  .
b  P
  
c   P 

+) Phương pháp 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc):
a   Q 
  a  P ,
 Q    P 
a  a '
  a  P .
a '   P 
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy. Biết đáy ABC là tam giác vuông tại
B . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SC . Chứng minh MN  AB .
Giải
S * SA   ABC  , BC   ABC   BC  SA 1 . Mặt khác
theo giả thiết: BC  AB  2  . Từ 1 ,  2  suy ra:
N
BC   SAB   BC  SB , nói cách khác SBC vuông tại
B  NB  12 SC  3 (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng
A C
M với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
B
* SA   ABC  , AC   ABC   AC  SA , nói cách khác SAC vuông tại A  NA  12 SC
 4  (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
* Từ (3), (4) suy ra NA  NB  NAB cân tại N nên trung tuyến MN đồng thời là đường
cao  MN  AB (ĐPCM).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có mặt ABC là tam giác cân tại C , ABD là tam giác cân tại D .
Chứng minh AB  CD .
Giải
D Gọi M là trung điểm của AB . DAB cân tại D nên
trung tuyến DM đồng thời là đường cao  AB  MD
1 . Tương tự như thế, ta cũng chứng minh được
AB  MC  2  . Từ 1 ,  2  suy ra AB   DMC  , lại
M B
A có DC   DMC  . Từ đó suy ra AB  CD (ĐPCM).
C
Ví dụ 3. [ĐHD07] Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông ( AD / / BC ),
BA  BC  a , AD  2a , SA vuông góc với đáy. Chứng minh SCD là tam giác vuông.
Giải
S Ta thấy AC là hình chiếu của SC lên  ABCD  . Lại có
CD   ABCD  nên: CD  SC  CD  AC (Định lý ba
đường vuông góc).
A 2a M D Lấy M là trung điểm của AD . Dễ thấy tứ giác ABCM là
a
hình vuông  CM  AB  a  AD
2  ACM vuông tại C ,
B a C nói cách khác: CD  AC (ĐPCM).
Ví dụ 4. [CĐABD09] Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung
điểm các cạnh SA , SD , BC . Chứng minh MN  SP .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
S Ta có MN / / AD / / BC  MN / / BC 1 . Mặt khác:
ABC cân tại S nên trung tuyến SP đồng thời là
M N đường cao  SP  BC  2  . Từ 1 ,  2  suy ra
SP  MN (ĐPCM).
A D
I
B P C
Ví dụ 5. [ĐHA07] Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông. Mặt bên SAD là tam giác cân
tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , P lần lượt là trung điểm của SB , CD .
Chứng minh AM  BP .
Giải
S Lấy N , Q lần lượt là trung điểm của BC , AD .
* Ta có: MN là đường trung bình của BSC 
M MN / / SC (1). Hơn nữa: tứ giác ANCQ là hình bình hành
 AN / / CQ (2) . Từ (1), (2) suy ra  AMN  / /  CQS  (3).
B A
Q
N I
D
C P
* SQ là trung tuyến của tam giác cân SAD  SQ  AD . Mặt khác: AD là giao tuyến của hai
mặt phẳng vuông góc  SAD  và  ABCD  nên SQ   ABCD  . Lại có BP   ABCD  . Từ đó
suy ra BP  SQ (4).
BCP  CDQ (c.g.c)  
  DCQ
CBP . Đặt I  BP  CQ . Ta có
  180  DCQ
  BPC
  180  CBP
  BPC
  BCP
  90  BP  CQ (5).
CIP    
Từ (4), (5) suy ra: BP   CQS  (6).
* Từ (3), (6) suy ra: BP   AMN  , hơn nữa MA   AMN   PB  MA (ĐPCM).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 6. [ĐHD02] Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của BB1 , CD , A1 D1 . Chứng minh MP  C1 N .
Giải
B
C * Ta thấy PD1   CDD1C1   D1 là hình chiếu vuông góc
N
A D của P lên  CDD1C1  (1). Gọi Q là trung điểm của CC1
M Q
I
 MQ   CDD1C1  . Do đó: Q là hình chiếu vuông góc của
C1
M lên CC1 (2). Từ (1), (2) suy ra QD1 là hình chiếu vuông
B1
góc của MP lên  CDD1C1  (3).
P D1
A1
 
* Lại có NCC1  QC1 D1 (c.g.c) CC1 N  C1 D1Q . Đặt I  NC1  QD1 . Ta có
  180  CC
    
QIC1  
 
1 N  D1QC1  180  C1 D1Q  D1QC1  QC1 D1  90

  C1 N  QD1 (4).
* Từ (3), (4) suy ra C1 N  MP (ĐPCM).
Ví dụ 7. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng
H là trực tâm ABC khi và chỉ khi OH   ABC  .
Giải
O Đặt M  AH  BC , N  BH  CA .
* Phần thuận: giả sử H là trực tâm ABC . Từ giả thiết của
phần thuận suy ra BC  AM (1). Từ giả thiết của bài toán:
OA  OB , OA  OC  OA  mp (OBC ) , lại có
A B
H BC  mp(OBC ) , từ đây suy ra BC  OA (2). Từ (1), (2) suy
N M
C ra BC  mp (OAM ) , lại có OH  mp (OAM ) , từ đây suy ra
OH  BC (3). Một cách tương tự, ta cũng có OH  CA (4).
Từ (3), (4) suy ra OH  mp ( ABC ) .
* Phần đảo: giả sử OH  mp ( ABC ) (5). Gọi H ' là trực tâm của ABC . Từ chứng minh phần
thuận ta có OH '  mp( ABC ) (6). Từ (5), (6) suy ra H  H ' hay H là trực tâm của ABC .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 8. Cho tứ diện OABC có OA  OB , gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng ( ABC ) .
Chứng minh H là trực tâm của ABC khi và chỉ khi OC  (OAB ) .
Giải
O Đặt M  AH  BC .
* Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm ABC . Từ giả
thiết này, ta có BC  AM (1). Từ OH  mp ( ABC ) ,
BC  mp( ABC ) suy ra BC  OH (2). Từ (1), (2) suy ra
A B
H BC  mp (OAM ) , mà OA  mp (OAM ) . Từ đó suy ra
M
C OA  BC (3). Theo giả thiết thì OA  OB (4). Từ (3), (4)
suy ra OA  mp (OBC ) , lại có OC  mp (OBC ) . Từ đây suy
ra OA  OC (5) . Một cách tương tự, ta cũng chỉ ra được
OA  OB (6). Từ (5), (6) suy ra OA  mp (OBC ) .
* Phần đảo: giải thiết OA   OBC  . Theo bài 3 thì H là trực tâm ABC .
Ví dụ 9. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác cân tại A , O là trực tâm của ABC ,
SA  mp ( ABC ) , H  mp( SBC ) . Chứng minh H là trực tâm SBC khi và chỉ khi
OH  mp( SBC ) .
Giải
S * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm SBC . Đặt
M  CO  AB , N  CH  SB . Từ giả thiết suy ra: CN  SB
, CM  AB . Gọi P là trung điêm của BC . Vì ABC đều,
SBC cân tại S nên SH và AO đều đi qua P .
Vì AP và SP lần lượt là SP là các đường cao của các tam
N H
A C giác ABC và SBC nên AP và SP đều vuông góc với BC .
O P
M Từ đó suy ra BC  mp( SAP ) . Lại có: OH  mp (SAP ) . Từ
B đó suy ra OH  BC (1).
AB là hình chiếu của SB lên mp ( ABC ) . Lại có:
MC  mp ( ABC ) , MC  AB . Từ đó suy ra: MC  SB hay
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
SB  MC (2). Lại có: SB  NC (3). Từ (2), (3) suy ra:
SB  mp (CMN )  OH  SB (4).
Từ (3), (4) suy ra OH  mp( SBC ) .
* Phần đảo: giải thiết OH  mp( SBC ) . Gọi H ' là trực tâm SBC . Từ phần thuận suy ra
OH '  mp( SBC ) . Từ đó suy ra H '  H . Vậy H là trực tâm ABC .
 Bài tập
Bài 1. Cho hình chóp S . ABC có AB  AC , SAC  . Chứng minh SA  BC .
  SAB
a 6
Bài 2. Cho hình chóp S . ABC có SA  và các cạnh còn lại đều bằng a ( a  0 ). Gọi I là
2
trung điểm BC . Chứng minh SI   ABC  .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết AB  8a ,
CD  6a , MN  5a ( a  0 ). Chứng minh AB  CD .
Bài 4. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA   ABCD  và SA  AB . Gọi
H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD . Chứng minh OM   AHD  .
Bài 5. [ĐHB12] Cho hình chóp tam giác đều S . ABC với SA  2a , AB  a . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A lên cạnh SC . Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng  ABH  .
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC . Gọi I
là trung điểm BC .
1) Chứng minh BC  AD .
2) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI . Chứng minh AH   BCD  .
Bài 7. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông tại B .
1) Chứng minh BC  SB
2) Từ A lần lượt kẻ hai đường cao AH , AK của các tam giác SAB và SAC . Chứng minh
AH   SBC  và SC   AHK  .
Bài 8. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA  SC , SB  SD .
Chứng minh
1) SO   ABCD  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
2) AC  SD .
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AC  BD . Gọi H là trực tâm BCD . Chứng minh
1) AH   BCD  .
2) AD  BC .
Bài 10. Hình chóp S . ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm
BC . Chứng minh:
1) BC   SAM  .
2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SM . Chứng minh AH  SB .
Bài 11. Cho hình chóp O. ABC có cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và
OA  OB  OC  a . Kí hiệu K , M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA . Gọi
E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng  OMN  .
1) Chứng minh rằng CE vuông góc với mặt phẳng  OMN  .
2) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a .
Bài 12. Cho hình chóp S .ABCD , đáy là hình vuông cạnh bằng a . Mặt bên SAB là tam giác đều,
SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD .
1) Tính các cạnh của tam giác SIJ theo a . Chứng minh rằng SI vuông góc với mặt phẳng
 SCD  và SJ vuông với mặt phẳng  SAB  .
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ . Chứng minh rằng SH vuông góc với AC .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 2. Hai mặt phẳng vuông góc
 Phương pháp giải toán
Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta thường sử dụng các phương pháp sau đây:
 Sử dụng định nghĩa: chứng minh một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng còn lại.
 Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng: chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 .
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có mặt ACD và BCD là các tam giác đều cạnh a . Biết
a 6
AB  , chứng minh  ACD    BCD  .
2
Giải
A
Lấy E là trung điểm của CD . AE là trung tuyến của tam giác
cân ACD nên đồng thời là đường cao, do đó: CD  AE (1).
Tương tự, ta cũng chứng minh được CD  BE (2). Từ (1), (2)
D suy ra: góc giữa hai mặt phẳng  ACD  và  BCD  chính là góc
B
 2 2
E
  2
 
AEB . Ta thấy AE 2  BE 2  2 a 2 3  32a  a 2 6 .  AEB
C
vuông tại E  
AEB  90 (ĐPCM).
Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với
đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SC . Chứng minh  SAC    AHK  .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
S * Theo giả thiết thì SC  AK (1).
K
* Ta chứng minh SC  HK :
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có
H
A
C SH .SB  SA2
 2
 SH .SB  SK .SC . Từ đây suy ra HKBC là
SK .SC  SA
B
tứ giác nội tiếp (2).
Lại có: CB  AB (giả thiết), CB  SA (do SA   ABC  )  SB   SAB   CB  SB (3).
Từ (2), (3) suy ra SC  HK (4).
Từ (3), (4) suy ra SC   AHK    SAC    AHK  (ĐPCM).
Ví dụ 3. [ĐHB06] Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  a , AD  a 2 ,
SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AD . Chứng minh  SAC    SMB  .
Giải
S
Đặt I  AC  BD . Áp dụng định lý Pitago, tính được:
a 6
AC  a 3 , BM  .
a
2
A
a 2
Vì hai tam giác IAM và ICB đồng dạng nên
D
M
a
I
IA IC IA  IC AC
  
B C AM BC AM  BC AM  BC
a 2
AM . AC .a 3 a 3
 IA   a 22  .
AM  BC 2 a 2
3
a 2 a 6
AM .BM . a 6
Tương tự: IM   a 22 2  .
AM  BC 2  a 2 6
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
2 2 2
2
a 3 a 6 a 2
2 2
Ta có: IA  IM           AM  IAM vuông tại I hay BM  AC
 3   6   2 
(1).
Lại có SA  mp( ABCD ) , BM  mp( ABCD)  BM  SA (2).
Từ (1), (2) suy ra BM  mp( SAC )  mp( SMB )  mp ( SAC ) (ĐPCM).
Ví dụ 4. [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết
rằng mặt phẳng  AMN  vuông góc với mặt phẳng  SBC  .
Giải
S * Lấy I là trung điểm của BC . ABC đều 
AI  BC , SBC cân  SI  BC . Từ đó suy
ra BC   SAI  1 . Lại có MN  BC  2  . Từ
N
J
M MN  SI
1 ,  2  suy ra MN   SAI    (
A C MN  AJ
H I J  SI  MN )   SI , AJ  chính là góc giữa
B hai mặt phẳng  AMN  và  SBC  

AJI  90 .
* Dễ thấy J là trung điểm của SI  SAI cân tại A  SA  AI  a 2 3 . Lại có
AH  23 AI  a 3 3 . Do đó SH  SA2  AH 2  a 615 .
  3
Vậy VS . ABC  13 S ABC . AH  13 12 a. a 2 3 a. 615  a 24 5
Ví dụ 5. [ĐHA03] Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có các đáy là hình vuông cạnh a ,
a
AA '  b , M là trung điểm của CC ' . Xác định tỷ số sao cho  A ' BD    MBD  .
b
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
D' C'
Đặt I  AC  BD . Ta thấy A ' BD cân tại A nên trung
B'
A'
tuyến A ' I đồng thời là đường cao. Như vậy A ' I  BD
M
(1).
b
Tương tự ta cũng chứng minh được MI  BD (2).
D
C
a
I
Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng  A ' BD  và
A a B
 MBD  chính là góc giữa hai đường thẳng A ' I và MI .
b2 a2 a 2 b2
Áp dụng định lý Pitago, ta tính được: A ' M 2  2a 2  , A ' I 2   b 2 , MI 2  A ' I 2   .
4 2 2 4
Thành thử  A ' BD    MBD   
A ' IM  90  A ' M 2  A ' I 2  MI 2 
b2  a 2   a2 b2  a
2a 2     b2       1.
4  2   2 4 b
 Bài tập
Bài 1. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD là các
tam giác cân tại S . Chứng minh  SAC    SBD  .
Bài 2. Hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy.
1) Chứng minh  SAB    SBC  .
2) Gọi M là trung điểm AC . Chứng minh  SAC    SBM  .
Bài 3. Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . Biết
AC  AD  BC  BD  a và CD  2 x . Xác định x theo a sao cho  ABC    ABD  .
Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a , I là trung điểm BC , D là điểm đối xứng của A qua I
a 6
. Dựng đoạn SD  vuông góc với  ABC  . Chứng minh
2
1)  SAB    SAC  .
2)  SBC    SAD  .
Bài 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại C , mặt bên SAC là tam giác đều
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14