Pt hpt full
- 30 trang
- file .pdf
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
§.PHÖÔNG TRÌNH ÑA THÖÙC
1. PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM ÑAËC BIEÄT
1.x − x 2 − 8 x + 12 = 0
3
2.x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 + 0
3.x 5 − 8 x 4 + 20 x 3 − 20 x 2 + 19 x − 12 = 0 (1,3,4 )
⎛ 1 −3 ⎞
4.6 x 5 − 5 x 4 − 5 x 3 − 4 x 3 − 34 x + 12 = 0 ⎜ ,2, ⎟
⎝3 2 ⎠
2. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH.
1.x − 5 x 3 + 20 x − 16 = 0
4
2.x 4 + 7 x 3 + 11x 2 + 7 x + 10 = 0
3. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP.
1. ( x 2 + x + 4 ) + 3 x ( x 2 + x + 4 ) + 2 x 2 = 0
2
2. ( x 2 − x + 1) − 6 x 2 ( x 2 − x + 1) + 5 x 4 = 0
4 2
3. ( x 2 − 16 ) ( x − 3) + 9 x 2 = 0
2
4. PHÖÔNG TRÌNH HOÀI QUI BAÄC BA.
3
d ⎛c⎞
ax + bx + cx + d = 0 víi = ⎜ ⎟
3 2
a ⎝b⎠
c
Phöông trình coù moät nghieäm laø: x0 = −
b
⎡ 4 x + 3 x = m, ∀m
3
5. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ⎢ 3
⎢⎣ 4 x − 3 x = m, ∀m : m > 1
Phöông trình coù nghieäm duy nhaát.
Ta nghieân cöùu caùc khai trieån sau:
3
1 ⎞ ⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛
3
⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 3⎛ 1⎞
*⎜ a + ⎟ = a3 + 3 + 3 ⎜ a + ⎟ ⇒ ⎢ ⎜ a + ⎟ ⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟ + ⎜ a + ⎟
⎝ a⎠ a ⎝ a ⎠ ⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 8 ⎝ a ⎠ 8⎝ a⎠
3
⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1⎞ 1⎛ 1⎞
⇒ 4 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟ + 3 ⎜ a + ⎟
⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 2⎝ a ⎠ 2⎝ a⎠
3
⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 ⎞
⇒ 4 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ − 3 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟
⎣2 ⎝ a ⎠⎦ ⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 2 ⎝ a ⎠
3
⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞
* ⎜ a − ⎟ = a3 − 3 − 3 ⎜ a − ⎟
⎝ a⎠ a ⎝ a⎠
3
⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1⎞
⇒ 4 ⎢ ⎜ a − ⎟⎥ + 3 ⎢ ⎜ a − ⎟⎥ = ⎜ a3 − 3 ⎟
⎣2 ⎝ a ⎠⎦ ⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 2 ⎝ a ⎠
Do ñoù vôùi vieäc choïn a thích hôïp ta coù ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình.
6. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: 4 x 3 − 3 x = m, ∀m : m ≤ 1
Phöông trình coù khoâng quaù ba nghieäm
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 1
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Ñaët m = cos α = cos (α ± 2π ) ; α ∈ [ 0; π ] . Khi ñoù:
α α
m = cos α = 4 cos3 − 3cos
3 3
α ± 2π α ± 2π
m = cos (α ± 2π ) = 4 cos3 − 3cos
3 3
α α ± 2π
Vaäy phöông trình coù ba nghieäm: x = cos ; x = cos
3 3
7. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: t + at + bt + c = 0 3 2
a
B1: Khöû baäc hai baèng caùch ñaët: t = y − → y 3 − py = q
3
p
B2: Ñöa veà pt cô baûn: 4 x 3 ± 3x = m baèng caùch ñaët y = 2
3
8. PHÖÔNG TRÌNH TRUØNG PHÖÔNG.
Cho phöông trình x 4 + (1 − 2a ) x 2 + a2 − 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå:
1. Pt voâ nghieäm.
2. Phöông trình coù moät nghieäm.
3. Phöông trình coù hai nghieäm.
4. Phöông trình coù 3 nghieäm.
5. Phöông trình coù boán nghieäm.
6. Phöông trình coù boán nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng.
9. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG : ( x + α ) + ( x + β ) = χ
4 4
1. ( x + 4 ) + ( x + 6 ) = 2
4 4
2. ( x + 4 ) + ( x + 2 ) = 82
4 4
3. ( 2 x + 3) + ( 2 x − 5 ) = 706
4 4
10. PHÖÔNG TRÌNH HOÀI QUI BAÄC BOÁN.
2
e ⎛d ⎞
ax + bx + cx + dx + e = 0, ®k: = ⎜ ⎟
4 3 2
a ⎝b⎠
1.4 x 4 + 12 x 3 + 47 x 2 + 12 x + 4 = 0.
2.2 x 4 − 21x 3 + 74 x 2 − 105 x + 50 = 0.
3.Tìm ñeå phöông trình voâ nghieâïm: x 4 + mx 3 + mx 2 + mx + 1 = 0 .
11. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = e, a + b = c + d
1. ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) = 10
2. ( 6 x + 5) ( 3 x + 2 )( x + 1) = 35
2
PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: A ( x 2 + ax ) + B ( x 2 + ax ) + C = 0
2
12.
1.x 4 + 4 x 3 − 3 x 2 − 14 x + 6 = 0
2.3 x 4 − 6 x 3 + 5x 2 − 2 x − 5 = 0
PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ( x 2 + α ) = a ( x + β )
2 2
13.
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 2
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
1.x 4 + 4 x − 1 = 0
2.x 4 − 3 x 2 − 10 x − 4 = 0
3.x 4 + 2 x 2 + 8 x − 4 = 0
LUYEÄN TAÄP:
Baøi taäp12:
1. ( x − 1) + ( x + 1) = 16
4 4
2. ( 2 x − 3) + ( 2 x − 5) = 2
4 4
3.x 4 + 6 x 3 + 16 x 2 + 21x + 12 = 0
( ) = x − 4x − 9x
2
4. x 2 − 6 x − 9 3 2
5.2 x 8 − 9 x 7 + 20 x 6 − 33 x 5 + 46 x 4 − 66 x 3 + 80 x 2 − 72 x + 32 = 0
( )( )(
6. x 2 − 3 x + 1 x 2 + 3 x + 2 x 2 − 9 x + 20 = −30 )
7. ( x − 6 x ) − 2 ( x − 3) = 81
2 2
2
8.x 4 − 2 x 3 − 6 x 2 + 16 x − 8 = 0 (2;2; −1 ± 3 )
9.x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − 8 x + 4 = 0 (α = 1)
( ) ( ) (
10.2 x 2 x 2 + x + 3 + 13 x 2 x 2 − 5 x + 3 = 6 2 x 2 + x + 3 2 x 2 − 5 x + 3 )( )
2x 13 x
⇔ + =6
( 2 x 2 − 5x + 3 ) ( 2x2 + x + 3 )
2 13
⇔ + =6
3 3
2x + − 5 2x + + 1
x x
11.x − 7 x + 6 = 0
6 2
→ t 3 − 7t + 6 = 0 (t = 6 )
12.x 7 − 2 x 6 + 3 x 5 − x 4 − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 = 0
Phöông trình hoài qui vôùi caùc heä soá ñoái xöùng vaø baäc leû neân phöông trình seõ coù
nghieäm ñaëc bieät x = −1 vaø thu ñöôïc phöông trình hoài qui baäc chaün giaûi baèng caùch
chia soá haïng chính giöõa.
→ ( x + 1) ( x 6 − 3 x 5 + 6 x 4 − 7 x 3 + 6 x 2 − 3 x + 1) = 0
Baøi taäp13:
Cho phöông trình : x 4 + ax 3 + x 2 + ax + 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå phöông trình :
1. Coù boán nghieäm phaân bieät.
2. Coù khoâng ít hôn hai nghieäm aâm phaân bieät.
Baøi taäp14:
Cho phöông trình : x 4 − ax 3 − ( 2a + 1) x 2 + ax + 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå phöông trình :
1. Coù boán nghieäm phaân bieät.
2. Coù hai nghieäm phaân bieät lôùn hôn 1.
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 3
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Baøi taäp15:
Tìm m ñeå phöông trình : x 3 − ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 1) x − ( m + 1) = 0 coù 3 nghieäm döông
phaân bieät.
Baøi taäp16:
Giaûi vaø bieän luaän: x 3 − ( 2a + 1) x 2 + ( a 2 + 2a ) x − a 2 = 0
Baøi taäp17:
Cho phöông trình : x 4 + 4 x 3 + ( m + 4 ) x 2 + 2mx + 2m = 0 .
1. Giaûi phöông trình khi m = 1.
2. Giaûi vaø bieän luaän.
Baøi taäp18:
Cho phöông trình : x 4 − 2 x 3 + x + 2 = a .
1. Giaûi phöông trình khi a = 132.
2. Giaûi vaø bieän luaän.
Baøi taäp19:
Cho phöông trình : x 4 − 4 x 3 + 8 x + 2 = a .
1. Giaûi phöông trình khi a = 5.
2. Giaûi vaø bieän luaän.
Baøi taäp20:
Cho phöông trình mx 3 − x 2 − 2 x + 8m = 0. Ñinh m ñeå:
1. Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät
2. Phöông trình coù nghieäm boäi.
3. Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät beù hôn -1.
ÑÒNH LYÙ VIEÙT CHO PHÖÔNG TRÌNH ÑA THÖÙC BAÄC CAO.
Baøi taäp21:
Cho phöông trình x 3 + 3mx 2 − 3 x − 3m + 2 = 0
1. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm vaø toång bình phöông 3 nghieäm
cuûa chuùng ñaït giaù trò nhoû nhaát.
2. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng.
Baøi taäp22: Xaùc ñònh tham soá ñeå phöông trình coù 3 nghieäm laäp thaønh moät caáp soá
coäng.
1.x 3 − mx 2 + 2m ( m + 1) x + 9m 2 − m + 0
2.x 3 − 3ax 2 − x + 4a3 = 0
3.x 3 − 3 x 2 − 9 x − m = 0
4.x 3 − 3 x 2 + ( a − 9 ) x + 1 − b = 0
Baøi taäp23:
Giaû söû phöông trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 coù ba nghieäm x1 , x2 , x3 . Haõy tính
Sn = x1n + x2n + x3n
Baøi taäp24:
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 4
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Giaû söû phöông trình x + ax + bx + c = 0, a, b, c ∈ ] coù ba nghieäm x1 , x2 , x3 . Cho f(x) laø
3 2
moät ña thöùc nguyeân. CMR : f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) ∈ ] .
Hd: Ta cm qui naïp döa vaøo coâng thöùc : Sn + aSn −1 + bSn −2 + cSn −3 = 0 .
§.DUØNG AÅN PHUÏ TRONG GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH.
A. Hieåu veà aån phuï:
1. Laø aån maø do ngöôøi giaûi töï ñöa vaøo chöù trong ñeà baøi khoâng noùi tôùi.
2. Ta ñöa aån phuï vaøo laø ñeå chuyeån daïng baøi toaùn veà daïng môùi deã nhaän daïng
hôn hay laø daïng ñaõ quen thuoäc.
B. Ñieàu kieän cho aån phuï:
1. Yù nghóa, lyù do:
− Tìm ñieàu kieän cho aån phuï töùc laø ñi tìm mxñ cho baøi toaùn môùi.
− Tuyø vaøo muïc ñích cuûa aån phuï maø ta tìm ñk aån phuï nhö theá naøo laø phuø
hôïp nhaát ( deã, khoâng gaây sai baøi toaùn ).
2. Coù hai kieåu tìm aån ñk cho phuï:
− Tìm ñk ñuùng cho aån phuï.
− Tìm thöøa ñk cho aån phuï.
C. Moät soá daïng ñaët aån phuï:
Daïng 1: Giöõ nguyeân soá aån.
1, 4 x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2
2,10 x 3 + 8 = 3 ( x 2 − x + 6 )
3, x 3 − 1 = x 2 + 3 x − 1
4,2 ( x 2 + x + 1) − 7 ( x − 1) = 13 ( x 3 − 1)
2 2
5, 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1
a2 x 2
6, x 2 + = 8a2
( x + a)
2
Coù moät soá baøi toaùn ñaëc bieät raát goïn neáu duøng aån phuï löôïng giaùc. Duøng aån
phuï löôïng giaùc töùc laø ta lôïi duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc ñeå töï phaù caên thöùc maø
khoâng duøng pheùp naâng luyõ thöøa. Vì haøm löôïng giaùc laø haøm tuaàn hoaøn neân ta caàn
löu yù choïn mieàn xaùc ñònh sao cho coù lôïi nhaát.
(1 − x ) = x a (1 − x )
3
7, x 3 + 2 2
1 + 2x 1− x2
8, = 1− 2x2
2
⎡
9, 1 + 1 − x 2 ⎢ (1 − x ) − (1 + x ) ⎤⎥ = 2 + 1 − x
3 3 2
⎣ ⎦
10, 1 + 1 − x 2 = x 1 + 2 1 − x 2 ( )
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 5
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
11, ( 1 + x − 1)( 1 − x + 1) = 2 x
12, a + x + a − x = a, a ≥ 0
13, 1 + ax − 1 − ax = x
14,2 a + x − a − x = a − x + x ( a + x )
2 2
⎛ 3+ x ⎞ ⎛ 6− x ⎞
15, 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m; HD : ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
16, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ −1;1] : 8 x (1 − 2 x 2 )( 8 x 4 − 8 x 2 + 1) = 1
1
17, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ 0;1] : 32 x ( x 2 − 1)( 2 x 2 − 1) = 1 −
2
x
Daïng 2: Thay ñoåi soá aån, thöôøng laø taêng theâm soá aån ñeå giaûm nheï söï raéc roái,
ñôn giaûn trong tính toaùn.
1, x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5
2, 3 2 + x + x 2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4
3, x 2 − 3 x + 3 + x 2 − 3 x + 6 = 3
4, 1 + x + 8 − x + (1 + x )( 8 − x ) = 3
5, 3 x − 9 = ( x − 3 ) + 6
3
6, 4 5 − x + 4 x − 1 = 2
7, 3 24 + x + 12 − x = 6
8, 3 x + 7 − x = 1
9,
( 34 − x ) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x
= 30
3
34 − x − 3 x + 1
3
7− x − 3 x −5
10. = 6− x
7− x + 3 x −5
3
1
HD : 6 − x = ⎡⎣( 7 − x ) − ( x − 5) ⎤⎦
2
11. x + 1 − x − 2 x ( x − 1) − 2 4 x ( x − 1) = −1
12. x + 4 x ( x − 1) + 4 (1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( x − 1)
2 3
13. 8 x + 1 + 3 x − 5 = 7 x + 4 + 2 x − 2
14. 2 x 2 − 1 + x 2 − 3 x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2
15. 3 7 + tgx + 3 2 − tgx = 3
2 2
16.81sin x + 81cos x = 30
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 6
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
17. 3 sin 2 x + 3 cos2 x = 3 4
18.sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3
⎛ 5 − x ⎞⎛ 5− x ⎞
19.x ⎜ ⎟⎜ x + ⎟=6
⎝ x +1 ⎠⎝ x +1 ⎠
2 2
⎛ x −2⎞ ⎛ x+2⎞ ⎛ x2 − 4 ⎞
20.20 ⎜ ⎟ − 5 ⎜ ⎟ + 48 ⎜ 2 ⎟=0
⎝ x +1 ⎠ ⎝ x −1 ⎠ ⎝ x −1 ⎠
Daïng 3: Chuyeån theo phöông trình aån phuï vaø xem aån ban ñaàu laø tham soá.
1. ( x + 3) log32 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16
2. ( 4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1
3.4 1 + x − 1 = 3 x + 2 1 + x + 1 − x 2
4.2 ( x − 1) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1
5.1 + x − 2 x 2 = 3 x 2 − 1 − 2 x + 1
6.4 ( x + 5)( x + 6 )( x + 10 )( x + 12 ) = 3 x 2
7.x 2 + x + 12 x + 1 = 36
8. sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1
⎡ ⎛x+y⎞ ⎤
9.4 ⎢3 4 x − x 2 sin 2 ⎜ ⎟ + 2 cos ( x + y ) ⎥ = 13 + 4 cos ( x + y )
2
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦
x −1 1 1
10.2 x + − 1− − 3 x − = 0
x x x
Daïng 4: Chuyeån veà heä phöông trình goàm aån phuï vaø aån chính.
Daïng naøy hay duøng ñoái vôùi phöông trình chöùa hai haøm soá ngöôïc nhau.
Loaïi 1: ( ax + b ) = α n px + q + β x + γ
n
1, x 3 − 3 3 3 x + 2 = 2
2, x 2 + x + 1 = 1
( )
2
3, x = 5 − 5 − x 2
1 1 1
4, x 2 + 2ax + = −a + a2 + x − ; 0 < a <
16 16 4
⎧ 2 1
⎪ y = −a + a + x −
1 ⎪ 16
HD : y = x 2 + 2ax + → ⎨
16 ⎪ 2 1
⎪⎩ x = − a ± a + y −
16
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 7
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
5,3 + 3 + x = x
6, x 2 + x + 5 = 5
( )
2
7, x = a − b a − bx 2
8, x 2 + x + a = a
29 12 x + 61
9, 3 x + x − =
2
6 36
29 12 x + 61
3x 2 + x − = ⇔ 18 x 2 + 6 x − 29 = 12 x + 61
6 36
Vì f ( x ) = 18 x + 6 x − 29 => f '( x) = 6 ( 6 x + 1) → Ñaët 12 x + 61 = 6 y + 1
2
10, x − x − 2004 1 + 16032 x = 2004
2
(Thi choïn HSG Baéc Giang naêm hoïc 2003 – 2004).
1
Xeùt haøm soá f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1. Ñaët 1 + 16032 x = 2t − 1, t ≥
2
⎧⎪t 2 − t = 4008 x
Ta coù heä PT sau: ⎨ 2
⎪⎩ x − x = 4008t
63 x 3 3 2 9
11, 3 x −
3 = − x + x
8 3 2 4
3 3x −
63 x 3 3 2 9 2 9
= − x + x ⇔ 3 24 x − 63 = x 3 − 3 x 2 + x
8 3 2 4 3 2
2 3 9 9
Xeùt haøm soá f(x) = x − 3x + x ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 6 x + ⇒ f '' ( x ) = 4 x − 6
2 2
3 2 2
Ñaët 24 x − 63 = 2 y − 3
3
12,( Toaùn hoïc vaø Tuoåi treû Thaùng 6 naêm 2001) Giaûi PT sau:
4
3
81x − 8 = x 3 − 2 x 2 + x−2
3
4
Xeùt haøm soá f(x) = x − 2 x + x − 2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3
3 2
3
=> f’’(x) = 6x – 4. Ñaët 3
81x − 8 = 3 y − 2
13) x 2 = 2 − x + 2
14) x 2 − 4 x − 3 = x + 5
15) x 3 + 2 = 33 3 x − 2
16) 3x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5
17) x + 1 = x 2 + 4 x + 5
4x + 9
18) = 7x2 + 7x
28
19) 9 x − 5 = 3x + 2 x + 3
2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 8
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Caùc phöông trình keå treân laø caùc phöông trình ñoái xöùng, tuy nhieân hai ví duï sau
cuõng caàn nghieân cöùu.
20,4 x 2 + 3 x + 1 + 5 = 13 x
⇔ ( 2 x − 3) = − 3 x + 1 + x + 4
2
⎪( 2 x − 3) = 2 y + x + 1
⎧ 2
Ñaët − 3 x + 1 = 2 y − 3 → ⎨
⎪⎩( 2 y − 3) = 3 x + 1
2
21,8 x 3 + 53 x = 36 x 2 + 3 3 x − 5 + 5
⇔ ( 2 x − 3) = 3 3 x − 5 + x − 2
3
⎧( 2 x − 3)3 = 2 y + x − 5
⎪
Ñaët 3 x − 5 = 2 y − 3 → ⎨
3
⎪⎩( 2 y − 3) = 3 x − 5
3
Loaïi 2: a
α x+β
= b log a ( px + q ) + cx + d
PP: Ñaët: log a ( px + q ) = α y + β
22,7 x = 2 log 7 ( 6 x + 1) + 1
3
23,3x = 1 + x + log3 (1 + 2 x )
2 sin 2 x
⎛1⎞ 1
24, ⎜ ⎟ + = cos2 x + log 4 ( 3cos2 x − 1)
⎝2⎠ 2
§. PHÖÔNG PHAÙP “MOØ” NGHIEÄM
1
1, 3 x + 3 + x 2 + 1 + x + x 2 = +2
x +1
VT ñoàng bieán, VP nghòch bieán ⇒ coù khoâng quaù moät nghieäm.
“Moø” x = 0 laø moät nghieäm.
( 3) − 2 = 2
x
x−1
2,
Laäp baûng bieán thieân ⇒ coù khoâng quaù hai nghieäm.
“Moø” x = 2, x = 4 laø nghieäm.
3,
( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 1
c ( c − a )( c − b ) a ( a − b )( a − c ) b ( b − c )( b − a ) x
Trong ñoù a, b, c laø ba soá khaùc nhau vaø khaùc khoâng.
Pt baäc 3 neân coù khoâng quaù 3 nghieäm.
“Moø” coù ba nghieäm a, b, c.
4, ( a 2 − a ) ( x 2 − x + 1) = ( a 2 − a + 1) ( x 2 − x )
2 3 3 2
Xeùt TH ñaëc bieät
TQ: Pt baäc 6 neân coù khoâng quaù 6 nghieäm.
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 9
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
1 1 1 1
NX: Neáu x0 laø nghieäm thì &1 − x0 cuõng laø nghieäm, do ñoù ,1 − , cuõng
x0 1 − x0 x0 1 − 1
x0
laø nghieäm. Deã thaáy a laø moät nghieäm.
5, 2 x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x < 35
6, x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0
Moø ñöôïc nghieäm x = 3 neân ta seõ phaân tích ra thöøa soá chung ( x − 3) .
x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 4
⇔ = 4x + 4
8
x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40
⇔ − 2 = 4 4x + 4 − 2
8
7, x 5 + x 3 − 1 − 3 x + 4 = 0
8, x 2 + 15 = 3 x − 2 + x 2 + 8
9, x + 1 + 3 5 x − 7 + 4 7 x − 5 + 5 13 x − 7 < 8
1 1 1
10,5 x + 4 x + 3x + 2 x = x + x + x − 2 x 3 + 5 x 2 − 7 x + 17
2 3 6
§. PHÖÔNG PHAÙP ÑAÙNH GIAÙ
Phöông phaùp naøy hay duøng trong phöông trình coù nhieàu aån, coù nhieàu loaïi haøm
soá, bieåu thöùc phöùc taïp.
tan 2 x + tan 2 y
1, = sin 2 x + sin 2 y
1 + tan x + tan y
2 2
Ñaët a = tan x, b = tan y ⇒ a, b ≥ 0
2 2
a+b a b
Trôû thaønh: = +
1+ a + b 1+ a 1+ b
⎧ a a
≤
⎪1 + a + b 1 + a a b a b
Ta coù: ⎨ ⇒ + ≤ +
⎪ b b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b
≤
⎩⎪1 + a + b 1 + b
2, 5 ( x 2 + 2 yz ) + 6 ( y 2 + 2 zx ) + 5 ( z 2 + 2 xy ) = 4 ( x + y + z )
G G
( )
Xeùt 2 vector a = 5; 6; 5 , b = ( x + 2 yz; y + 2 zx; z + 2 xy ) Khi ñoù,
2 2 2
GG G G
VT = a.b;VP = a . b
36 4
3, + = 28 − 4 x − 2 − y − 1
x−2 y −1
Duøng CauChy.
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 10
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
4; 4 1 − x 2 + 4 1 − x + 4 1 + x = 3
*) 4 1 − x 2 ≤ 1
1+1− x 1+1+ x
1+ 1− x 1+ 1+ x 1+ 1+
*) 4 1 − x + 4 1 + x ≤ + ≤ 2 + 2 =2
2 2 2 2
⎧x = 0
⎪
⇒ 4 1 − x2 + 4 1 − x + 4 1 + x = 3 ⇔ ⎨ 4 1 − x = 4 1 + x = 1 ⇔ x = 0
⎪
⎩ 1− x = 1+ x =1
5; tan 4 x + tan 4 y + 2cot 2 x.cot 2 y = 3 + sin 2 ( x + y )
VT ≥ 2 tan 2 x.tan 2 y + 2cot 2 x.cot 2 y ≥ 4 tan x.tan y.cot x.cot y = 4
VP ≤ 3 + 1 = 4
⎧ tan 2 x = tan 2 y
⎧ tan 2 x = tan 2 y ⎪ ⎧ tan 2 x = tan 2 y
⎪ ⎪ 1 ⎪
→ ⎨ tan x.tan y = cot x.cot y ⇔ ⎨ tan x.tan y = ⇔ ⎨ tan 2 x.tan 2 y = 1
⎪sin 2 x + y = 1 ⎪ tan x.tan y ⎪sin 2 x + y = 1
⎩ ( ) ⎪sin 2 ( x + y ) = 1 ⎩ ( )
⎩
⎧ π π
⎪ x= +k
⎧ tan 2 x = 1 4 2 ⎧ π π
⎪ ⎪ x = + k
⎪ ⎪ π π 4 2
⇔ ⎨ tan 2 y = 1 ⇔ ⎨y = + l ⇔⎨ (b»ng c¸ch rót l theo m, k )
⎪cos 2 x + y = 0 ⎪ 4 2 π
⎪ y = + ( 2m − k ) π
⎩ ( ) ⎪ π ⎪⎩ 4 2
⎪⎩ x + y = + m π
2
6; T×m m ®Ó ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m, ∀x ∈ [ −4;6]
§kc : x = 1 → m ≥ 6
§k® : gs m ≥ 6,
4+ x+6− x
*) ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ =5
2
*) x 2 − 2 x + m = ( x − 1) + m − 1 ≥ 5
2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 11
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
7; x − 2 + 4 − x = x − 6 x + 11
2
*) x − 2 + 4 − x ≤ (1 + 1 ) ( x − 2 + 4 − x ) = 2
2 2
*) x 2 − 6 x + 11 = ( x − 3) + 2 ≥ 2
2
8; x − 1 + x − 3 ≥ 2 ( x − 3) + 2 x − 2
2
*) x − 1 + x − 3 ≤ (1 + 1 ) ⎡⎣( x − 1) + ( x − 3) ⎤⎦
2 2 2
⇒ x −1 = x − 3
9;sin x − 2sin 2 x − sin 3 x = 2 2
*)sin x − 2sin 2 x − sin 3 x = −2cos 2 x.sin x − 2sin 2 x
≤ ⎡( −2cos 2 x ) + ( −2sin 2 x ) ⎤ ( sin 2 x + 1) ≤ 2 2
2 2
⎣ ⎦
⎧ −2cos 2 x −2sin 2 x
⎪ =
→ ⎨ sin x 1 → vn0
⎪sin 2 x = 1
⎩
3
10, x 2 = 2 x 8 +
8
2
*)Nn0 : x = ±
2
1
*)2 x 8 + ≥ x 4
8
1
*) x 4 + ≥ x 2
4
11, x + 4 x + 5 = 2 2 x + 3
2
*) x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 ≤ ( 3 x + 3) + 1 ⇔ ( x + 1) ≤ 0 ⇔ x = −1
2
1 5
12,8 x 2 + =
x 2
1
*)Nn0 : x =
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
*)8 x 2 + = 8x 2 + + + + ≥
x 4 x 4 x 4 x 4 x 2
13, x 2 − 4 x + 9 + x 2 + 4 x + 9 = 6
( )( )
*)VT ≥ 2 4 x 2 − 4 x + 9 x 2 + 4 x + 9 = 2 4 x 4 + 2 x 2 + 81 ≥ 2 4 81 = 6
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 12
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
( )
14, 3 25 x 2 x 2 + 9 = 4 x +
3
x
( )
⇔ 3 25 x 4 2 x 2 + 9 = 4 x 2 + 3
*)VT ≤
5x 2 + 5x 2 + x 2 + 9 ( ) = VP
3
2 2
15, + x = x+9
x +1
1 x ⎛ 1 x ⎞
*)VT = 2 2 + x +1 ≤ ( 8 + x + 1) ⎜ + ⎟ = VP
x +1 x +1 ⎝ x +1 x +1⎠
16, 3 x 2 − 1 + x 2 − x − x x 2 + 1 =
1
2 2
7x2 − x + 4( )
*)VT ≤ (1 + 1 + x )( 3x − 1 + x − x + x + 1) = ( x + 2 )( 5x − x )
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ⎡⎣2 ( x + 2 ) + ( 5x − x ) ⎤⎦
2 2
2 ( x + 2 )( 5 x − x ) = ( x + 2 )( 5 x − x )
1
*)VP = ≥ 2 2 2 2
2 2 2
17, x 2 − 2 x + 5 − x 2 − 6 x + 10 = 5
*)VT = ( x − 1) + 2 2 − ( x − 3) + 12 ≤ ⎡⎣( x − 1) − ( x − 3)⎤⎦ + [2 − 1] = 5
2 2 2 2
G G G G
*) a − b ≤ a − b
18, ( 3 − x ) x − 1 + 5 − 2 x = 40 − 34 x + 10 x 2 − x 3
*)VT ≤ ⎡( 3 − x ) + 12 ⎤ ⎡ ( x − 1 ) + ( 5 − 2 x ) ⎤⎥⎦ = VP
2 2 2
⎣ ⎦ ⎢⎣
GG G G
*)a.b ≤ a . b
⎧⎪ x + 1 + x + 3 + x + 5 = y − 1 + y − 3 + y − 5
19, ⎨
⎪⎩ x + y + x + y = 80
2 2
*) pt (1) ⇔ x = y − 6
⎧ 4 697
⎪x + y =
2
20, ⎨ 81
⎪ x + y + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0
2 2
⎩
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 13
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
7
*) Xeùt phöông trình hai. Neáu xem laø phöông trình aån x thì ta ñöôïc 0 ≤ y ≤ , coøn
3
4
ngöôïc laïi neáu xem laø phöông trình aån y thì ta laïi ñöôïc 0 ≤ x ≤
3
4 2
⎛4⎞ ⎛7⎞
*) x + y ≤ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = VP
4 2
⎝ 3⎠ ⎝3⎠
§. LÖÔÏNG LIEÂN HÔÏP.
1, ( x + 3) 2 x 2 + 1 = x 2 + x + 3
x2 + x + 3
⇔ 2x + 1 = 2
x+3
x2 + x + 3
⇔ 2x + 1 − 1 =
2
−1
x+3
⇔ ( 2x + 1 − 1)( 2
) 2x + 1 + 1 =
2 x2
x+3
( 2x + 1 + 1)
2
( 2x + 1 + 1)
2
x
⇔ 2x = 2 2
x+3
2, ( 3x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + 2 x + 3
3x 2 + 2 x + 3
⇔ x +3 = 2
3x + 1
⎧ 2 3x 2 + 2 x + 3
⎪⎪ x + 3 − 2 x = − 2x
⇔⎨ 3 x + 1
⎪x > − 1
⎪⎩ 3
3x 2 + 2 x + 3
P : x + 3 − (α x + β ) =
2 2
− (α x + β )
3x + 1
3; ( x + 3) x 2 + x + 2 = x 2 + 3 x + 4
4; ( x + 1) x + 8 = x 2 + x + 4
5; ( 2 x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + x + 2
4 20
6; x − 3 = x − −
3 3x
7; ( 3 x + 1) x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 14
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
x −1 2
8; 2 x 2 − 3 x + 1 =
2x − 3
1 7
9; x + 3 = x − +5
2 2x
§. HOAÙN ÑOÅI VAI TROØ CUÛA AÅN SOÁ VAØ THAM SOÁ.
1; x − 10 x − 2 ( a − 1) x 2 + 2 ( 5a + 6 ) x + 2a + a 2 = 0
4 3
2; x 3 − ( 4a + 3) x 2 + 4a ( a + 2 ) x − 4 ( a 2 − 1) = 0
§. THAM SOÁ HOÙA CHO PHÖÔNG TRÌNH
PP tham soá hoùa cho moät phöông trình laø ñöa vaøo phöông trình moät tham soá
naøo ñoù. Coù hai daïng chính sau:
Daïng 1: Choïn moät haèng soá phuø hôïp vaø tham soá hoùa noù, sau ñoù hoaùn ñoåi
vai troø cuûa aån soá vaø tham soá ñeå giaûi.
68 15
1, x 3 + =
x3 x
2 17 17 − 2
⇔ x3 + =
x3 x
Choïn 17 laøm tham soá. Khi ñoù ta xeùt phöông trình sau:
⎡m = − x 2
2m m − 2 2
x3 + 3 = ⇔ x 2 m 2 − 2m − x 6 − 2 x 2 = 0 ⇔ ⎢
⎢m = x + 2
4
x x
⎢⎣ x2
⎡ − x 2 = 17
Do ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi x 4 + 2
⎢
⎢
⎢⎣ x 2 = 17
2, x 4 + x 3 − 2 x 2 − 15 x + 25 = 0
3, x + 11 + x = 11 ⇔ (11 − x ) = 11 + x
2
Daïng 2: Möôïn tham soá trong ñònh lyù Lagrange.
4, x log3 7 = 2 log3 x + log3 x 5
⇔ 7log3 x = 2 log3 x + 5log3 x
⇔ 7log3 x − 7log3 x = 2 log3 x − 2 log3 x
Gs soá döông α naøo ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Khi ñoù ta coù
7log3 α − 7log3 α = 2 log3 α − 2 log3 α
Xeùt haøm soá f ( t ) = t
log3 α
− t log3 α . Vì f ( t ) coù ñaïo haøm treân [ 2;7] neân theo ñònh lyù
f ( 7) − f ( 2 )
Lagrange ta coù: ∃m ∈ ( 2;7 ) : f ' ( m ) =
7−2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 15
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
⇒ f ' ( m ) = 0 ⇔ log3 α .m log3 α −1
− log3 α = 0
⎡ log3 α = 0 ⎡α = 1
⇔ ⎢ log α −1 ⇔⎢
⎣m
3
−1 = 0 ⎣α = 3
Thöû laïi ta coù taäp nghieäm cuûa pt ñaõ cho laø S = {1;3}
5,7cot x − 11cot x = 12cot x ⇔ 7cot x − 11cot x = 3 (11 − 7 ) cot x ⇔ 7cot x + 3.7cot x = 11cot x + 3.11cot x
→ f ( t ) = t cot α + 3t cot α
x x
1 1 ⎛ 5⎞ ⎛ 4⎞
6, x − x = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
2 3 ⎝ 14 ⎠ ⎝ 21 ⎠
⎧1 5 1
⎪ 2 = 14 + 7
NX : ⎨
⎪1 = 4 + 1
⎪⎩ 3 21 7
α
⎛ 1⎞
→ f ( t ) = ⎜ t + ⎟ − tα
⎝ 7⎠
7,2 log5 x + 2 log5 x = x + x log5 7
3 2
⇔ 8log5 x + 4 log5 x = x + 7log5 x
⇔ 8log5 x + 4 log5 x = 5log5 x + 7log5 x
⇔ 8log5 x − 5log5 x = 7log5 x − 4 log5 x
→ f ( t ) = ( t + 3)
log5 α
− t log5 α
8, x log7 11 + 3log7 x = 2 x
§. PHAÂN TÍCH HÔÏP LYÙ.
1 2 1 7
1, + 2+ =
x −1 x 2x 4
2
1 2 1 7 ⎛1⎞ 1⎛1⎞ 3 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞
⇔ −1 = − 2 − + = −2 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + = −2 ⎜ − ⎟⎜ + ⎟
x −1 x 2x 4 ⎝ x ⎠ 2⎝ x ⎠ 4 ⎝ x 2 ⎠⎝ x 4 ⎠
Ta ph©n tÝch sao ®Ó tam thøc bËc hai cã nghiÖm ®Æc biÖt.
1− x −1 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞
⇔ = −2 ⎜ − ⎟⎜ + ⎟
x −1 ⎝ x 2 ⎠⎝ x 4 ⎠
2− x 2− x⎛1 3⎞
⇔ = −2 ⎜ + ⎟
(
x −1 1+ x −1 )
2x ⎝ x 4 ⎠
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 16
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
x2 + x + 1 x2 1
2, + = +2
x+4 2 x2 + 1
⎛ x2 + x + 1 ⎞ ⎛ x2 3 ⎞ ⎛ 1 1⎞
⇔⎜ − 1⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟
⎜ x+4 ⎟
⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ x +1 2 ⎠
2
⎝
x2 − 3 x2 − 3 3 − x2
⇔ + =
⎛ x2 + x + 1 ⎞
( x + 4 ) ⎜⎜ + 1⎟
⎟
2
(
2 x2 + 1 2 + x2 + 1 )
⎝ x + 4 ⎠
3; x 3 − 3 x 2 + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0
3
− ( a + 1) ⎡ 3 ( a + 1) ⎤ 3 ( a + 1)
3 3
=⎢ ⎥ ⇒ cn x = −
⎣ −3 ⎦ −3
0
1
4; x3 − 3 x 2 + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0
2
gÇn gièng cña khai triÓn ( a − b )
3
→ ( a + 1) x3 − 3 x 2 ( a + 1) + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0
2 3
→ ax 3 + ⎡ x 3 − 3 x 2 ( a + 1) + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) ⎤ = 0
2 3
⎣ ⎦
→ ax 3 + ⎡⎣ x − ( a + 1) ⎤⎦ = 0
3
5; x8 − x5 + x 2 − x + 1 = 0
Khoâng nhaåm nghieäm vì baäc quaù cao vaø nghieäm höõu tyû cuûa pt chæ coù theå laø ±1 . Ta
seõ phaân tích thaønh toång caùc bình phöông.
2
⎛ x⎞
*) x − x → ⎜ x 4 − ⎟
8 5
⎝ 2⎠
2
⎛x ⎞
*) − x + 1 → ⎜ − 1⎟
⎝2 ⎠
2 2
⎛ 4 x⎞ ⎛ x ⎞ x
2
→ x − x + x − x + 1 = ⎜ x − ⎟ + ⎜ − 1⎟ +
8 5 2
⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ 2
6;cos x − 3 3 sin x = cos7 x
⇔ cos x − cos7 x − 3 3 sin x = 0
⇔ 2sin 4 x.sin 3x − 3 3 sin x = 0
⇔ 2sin 4 x.sin x ( 3 − 4sin 2 x ) − 3 3 sin x = 0
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 17
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
⎡sin x = 0
⇔⎢
⎢⎣ 2sin 4 x + 4sin 4 x.cos 2 x = 3 3 (*)
3 3
(*) ⇔ sin 2 x.cos 2 x + sin 4 x.cos 2 x =
4
Ta cã: cos 2 x + sin 4 x = cos 2 x ⎡⎣1 + 4sin 2 2 x ⎤⎦
2 2 2
2
1 ⎛ 4cos 2 2 x + 1 + 4sin 2 2 x ⎞ 25 ⎛ 3 3 ⎞
2
1
= .4cos 2 x ⎣⎡1 + 4sin 2 x ⎦⎤ ≤ .⎜
2 2
⎟ = <⎜ ⎟ → ptvno
4 4⎝ 2 ⎠ 16 ⎝ 4 ⎠
7; (1 + cos x ) ( 2 + 4cos x ) = 3.4cos x
§Æt t = cos x, −1 ≤ t ≤ 1
→ (1 + t ) ( 2 + 4t ) = 3.4t ⇔
3.4t
− (1 + t ) = 0
2 + 4t
3.4t 6.ln 4.4t
§Æt f ( t ) = − (1 + t ) → f ' ( t ) = −1
2 + 4t ( 2 + 4 t2
)
f ' ( t ) = 0 cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm nªn f ( t ) = 0 cã kh«ng qu¸ ba nghiÖm.
1
t = 0; t = 1; t = lμ ba nghiÖm.
2
1 2 2a
8; + x −1 ≤ x −1 1− x
1 2 −1 2 + 2
2− x +
2
a) Giaûi khi a = 4
b) Tìm a ñeå bpt coù ít nhaát hai nghieäm trong ñoù coù moät nghieäm nhoû hôn
1, moät nghieäm lôùn hôn 1.
1 2 2a 2 2 2a
+ ≤ ⇔ 1− x + x −1 ≤ x−1 1− x
2− x +
1 2 x −1
−1 x −1
2 +2 1− x
2 + 1 ( 2 − 1) 2 + 2
2
( 2 x−1 + 21− x )
2
2 x−1 + 21− x a
⇔ 1− x ≤ ⇔ ≤a
( 2 + 1)( 2x−1 − 1) 2x−1 + 21− x ( 21− x + 1)( 2x−1 − 1)
⎡( 21− x + 1) + ( 2 x −1 − 1) ⎤
2
⇔⎣ ⎦ ≤a
( 2 + 1)( 2 − 1)
1− x x −1
⎡( 21− x + 1) + ( 2 x−1 − 1) ⎤
2
a) a = 4 → ⎣ ⎦ ≤4
( 2 + 1)( 2 − 1)
1− x x −1
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 18
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
TH : ( 2 x−1
− 1) < 0 ⇔ x < 1 → VT < 0 → lu«n ®óng.
⎡ ( a + b )2 ⎤
TH : ( 2 − 1) > 0 ⇔ x > 1 → VT ≥ 4 = VP ⎢
x −1
≥ 4, ∀ab > 0 ⎥
⎣⎢ ab ⎦⎥
b)§kc: ®Ó cã mét nghiÖm x > 1 → a ≥ 4
§k®: Khi th× bpt tháa yc bt.
9;log 2 log 2 x = log 3 log 3 x
§k x > 1
⎧log 2 log 2 x = t ⎧⎪ x = 22 ⎧⎪2t = 3t log 2 3
t
§Æt t = log 2 log 2 x → ⎨ →⎨ t →⎨
⎩ 3 3
log log x = t ⎪⎩2 = 3
2 3t
⎪⎩ x = 2
2t
⎧⎛ 2 ⎞t
⎪⎜ ⎟ = log 2 3
log 2 log 2 3
→ ⎨⎝ 3 ⎠ →x=2 2 3
⎪
⎩x = 2
t
2
10;log 2 x + log 3 x + log 5 x = log 2 x.log 3 x.log 5 x
§k: x > 0
→ log 5 x ( log 2 5 + log 3 5 + 1) = log 2 x.log 3 x.log 5 x
⎡log 5 x = 0
→⎢
⎢⎣log 2 5 + log 3 5 + 1 = log 2 x.log 3 x = log 2 3 ( log 3 x )
2
⎡x =1
⎢
→⎢ log 2 5 + log 3 5 + 1
log 3 x = ±
⎢⎣ log 2 3
11;log 2 log 3 log 4 x = log 4 log 3 log 2 x
§k: x > 4
→ log 4 ( log 3 log 4 x ) = log 4 log 3 log 2 x
2
⇔ ( log 3 log 4 x ) = log 3 log 2 x
2
⇔ ( log 3 log 4 x ) = log 3 ( 2log 4 x ) = log 3 2 + log 3 log 4 x
2
⇔ ( log 3 log 4 x ) − ( log 3 log 4 x ) − log 3 2 = 0
2
1 + 1 + 4log 3 2
⇔ ( log 3 log 4 x ) = , l−u ý ®k x > 4 → ( log 3 log 4 x ) > 0
2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 19
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
+ ( x − 1)
log x +1 ( x −1)
≤2
log x +1 x
12; x
§k: x > 1.
L−u ý: a logb c = c logb a
13; x 2 ( ) ≥ 8 x 2
log 4 x
§k: x > 0
LÊy logrit c¬ sè 2 hai vÕ → log 2 ( 4 x ) .log 2 x ≥ log 2 ( 8 x 2 )
14;log 2 x + log 3 ( x + 1) = log 4 ( x + 2 ) + log 5 ( x + 3)
§k: x > 0
⎧x x + 2 ⎧ x x+2 x+2
⎪2 > > 1 ⎪ log 2 > log 2 > log 4
4 2 4 4
*) x > 2 → ⎨ →⎨
⎪ x + 1 > x + 3 > 1 ⎪log x + 1 > log x + 3 > log x + 3
⎩⎪ 3 ⎩⎪
3 3 5
5 3 5 5
⎧⎪log 2 x > log 4 ( x + 2 )
→⎨
⎪⎩log 3 ( x + 1) > log 5 ( x + 3)
*) x < 2 tt
*) x = 2 lμ n o
2x + 1
15;2 x 2 − 6 x + 2 = log 2
( x − 1)
2
1
§k: − < x ≠1
2
→ 2 x 2 − 6 x + 2 = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 ( x − 1)
2
⇔ 2 ( x − 1) − ( 2 x + 1) + 1 = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 ( x − 1)
2 2
⇔ 2 ( x − 1) − ( 2 x + 1) = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 2 ( x − 1)
2 2
⇔ ⎡ 2 ( x − 1) + log 2 2 ( x − 1) ⎤ = ⎡⎣( 2 x + 1) + log 2 ( 2 x + 1) ⎤⎦
2 2
⎣ ⎦
⇔ 2 ( x − 1) = ( 2 x + 1) , v× hμm sè f ( t ) = t + log 2 t ®ång biÕn.
2
§. MOÄT SOÁ BAØI VEÀ HEÄ ÑOÁI XÖÙNG, ÑAÚNG CAÁP.
⎧x + y + z = 1
1; ⎨ xem z lμ tham sè.
⎩ 2 x + 2 y − 2 xy + z 2
= 1
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 20
§.PHÖÔNG TRÌNH ÑA THÖÙC
1. PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM ÑAËC BIEÄT
1.x − x 2 − 8 x + 12 = 0
3
2.x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 + 0
3.x 5 − 8 x 4 + 20 x 3 − 20 x 2 + 19 x − 12 = 0 (1,3,4 )
⎛ 1 −3 ⎞
4.6 x 5 − 5 x 4 − 5 x 3 − 4 x 3 − 34 x + 12 = 0 ⎜ ,2, ⎟
⎝3 2 ⎠
2. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH.
1.x − 5 x 3 + 20 x − 16 = 0
4
2.x 4 + 7 x 3 + 11x 2 + 7 x + 10 = 0
3. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP.
1. ( x 2 + x + 4 ) + 3 x ( x 2 + x + 4 ) + 2 x 2 = 0
2
2. ( x 2 − x + 1) − 6 x 2 ( x 2 − x + 1) + 5 x 4 = 0
4 2
3. ( x 2 − 16 ) ( x − 3) + 9 x 2 = 0
2
4. PHÖÔNG TRÌNH HOÀI QUI BAÄC BA.
3
d ⎛c⎞
ax + bx + cx + d = 0 víi = ⎜ ⎟
3 2
a ⎝b⎠
c
Phöông trình coù moät nghieäm laø: x0 = −
b
⎡ 4 x + 3 x = m, ∀m
3
5. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ⎢ 3
⎢⎣ 4 x − 3 x = m, ∀m : m > 1
Phöông trình coù nghieäm duy nhaát.
Ta nghieân cöùu caùc khai trieån sau:
3
1 ⎞ ⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛
3
⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 3⎛ 1⎞
*⎜ a + ⎟ = a3 + 3 + 3 ⎜ a + ⎟ ⇒ ⎢ ⎜ a + ⎟ ⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟ + ⎜ a + ⎟
⎝ a⎠ a ⎝ a ⎠ ⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 8 ⎝ a ⎠ 8⎝ a⎠
3
⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1⎞ 1⎛ 1⎞
⇒ 4 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟ + 3 ⎜ a + ⎟
⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 2⎝ a ⎠ 2⎝ a⎠
3
⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 ⎞
⇒ 4 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ − 3 ⎢ ⎜ a + ⎟⎥ = ⎜ a3 + 3 ⎟
⎣2 ⎝ a ⎠⎦ ⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 2 ⎝ a ⎠
3
⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞
* ⎜ a − ⎟ = a3 − 3 − 3 ⎜ a − ⎟
⎝ a⎠ a ⎝ a⎠
3
⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡1 ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1⎞
⇒ 4 ⎢ ⎜ a − ⎟⎥ + 3 ⎢ ⎜ a − ⎟⎥ = ⎜ a3 − 3 ⎟
⎣2 ⎝ a ⎠⎦ ⎣2 ⎝ a ⎠⎦ 2 ⎝ a ⎠
Do ñoù vôùi vieäc choïn a thích hôïp ta coù ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình.
6. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: 4 x 3 − 3 x = m, ∀m : m ≤ 1
Phöông trình coù khoâng quaù ba nghieäm
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 1
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Ñaët m = cos α = cos (α ± 2π ) ; α ∈ [ 0; π ] . Khi ñoù:
α α
m = cos α = 4 cos3 − 3cos
3 3
α ± 2π α ± 2π
m = cos (α ± 2π ) = 4 cos3 − 3cos
3 3
α α ± 2π
Vaäy phöông trình coù ba nghieäm: x = cos ; x = cos
3 3
7. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: t + at + bt + c = 0 3 2
a
B1: Khöû baäc hai baèng caùch ñaët: t = y − → y 3 − py = q
3
p
B2: Ñöa veà pt cô baûn: 4 x 3 ± 3x = m baèng caùch ñaët y = 2
3
8. PHÖÔNG TRÌNH TRUØNG PHÖÔNG.
Cho phöông trình x 4 + (1 − 2a ) x 2 + a2 − 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå:
1. Pt voâ nghieäm.
2. Phöông trình coù moät nghieäm.
3. Phöông trình coù hai nghieäm.
4. Phöông trình coù 3 nghieäm.
5. Phöông trình coù boán nghieäm.
6. Phöông trình coù boán nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng.
9. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG : ( x + α ) + ( x + β ) = χ
4 4
1. ( x + 4 ) + ( x + 6 ) = 2
4 4
2. ( x + 4 ) + ( x + 2 ) = 82
4 4
3. ( 2 x + 3) + ( 2 x − 5 ) = 706
4 4
10. PHÖÔNG TRÌNH HOÀI QUI BAÄC BOÁN.
2
e ⎛d ⎞
ax + bx + cx + dx + e = 0, ®k: = ⎜ ⎟
4 3 2
a ⎝b⎠
1.4 x 4 + 12 x 3 + 47 x 2 + 12 x + 4 = 0.
2.2 x 4 − 21x 3 + 74 x 2 − 105 x + 50 = 0.
3.Tìm ñeå phöông trình voâ nghieâïm: x 4 + mx 3 + mx 2 + mx + 1 = 0 .
11. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = e, a + b = c + d
1. ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) = 10
2. ( 6 x + 5) ( 3 x + 2 )( x + 1) = 35
2
PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: A ( x 2 + ax ) + B ( x 2 + ax ) + C = 0
2
12.
1.x 4 + 4 x 3 − 3 x 2 − 14 x + 6 = 0
2.3 x 4 − 6 x 3 + 5x 2 − 2 x − 5 = 0
PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ( x 2 + α ) = a ( x + β )
2 2
13.
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 2
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
1.x 4 + 4 x − 1 = 0
2.x 4 − 3 x 2 − 10 x − 4 = 0
3.x 4 + 2 x 2 + 8 x − 4 = 0
LUYEÄN TAÄP:
Baøi taäp12:
1. ( x − 1) + ( x + 1) = 16
4 4
2. ( 2 x − 3) + ( 2 x − 5) = 2
4 4
3.x 4 + 6 x 3 + 16 x 2 + 21x + 12 = 0
( ) = x − 4x − 9x
2
4. x 2 − 6 x − 9 3 2
5.2 x 8 − 9 x 7 + 20 x 6 − 33 x 5 + 46 x 4 − 66 x 3 + 80 x 2 − 72 x + 32 = 0
( )( )(
6. x 2 − 3 x + 1 x 2 + 3 x + 2 x 2 − 9 x + 20 = −30 )
7. ( x − 6 x ) − 2 ( x − 3) = 81
2 2
2
8.x 4 − 2 x 3 − 6 x 2 + 16 x − 8 = 0 (2;2; −1 ± 3 )
9.x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − 8 x + 4 = 0 (α = 1)
( ) ( ) (
10.2 x 2 x 2 + x + 3 + 13 x 2 x 2 − 5 x + 3 = 6 2 x 2 + x + 3 2 x 2 − 5 x + 3 )( )
2x 13 x
⇔ + =6
( 2 x 2 − 5x + 3 ) ( 2x2 + x + 3 )
2 13
⇔ + =6
3 3
2x + − 5 2x + + 1
x x
11.x − 7 x + 6 = 0
6 2
→ t 3 − 7t + 6 = 0 (t = 6 )
12.x 7 − 2 x 6 + 3 x 5 − x 4 − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 = 0
Phöông trình hoài qui vôùi caùc heä soá ñoái xöùng vaø baäc leû neân phöông trình seõ coù
nghieäm ñaëc bieät x = −1 vaø thu ñöôïc phöông trình hoài qui baäc chaün giaûi baèng caùch
chia soá haïng chính giöõa.
→ ( x + 1) ( x 6 − 3 x 5 + 6 x 4 − 7 x 3 + 6 x 2 − 3 x + 1) = 0
Baøi taäp13:
Cho phöông trình : x 4 + ax 3 + x 2 + ax + 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå phöông trình :
1. Coù boán nghieäm phaân bieät.
2. Coù khoâng ít hôn hai nghieäm aâm phaân bieät.
Baøi taäp14:
Cho phöông trình : x 4 − ax 3 − ( 2a + 1) x 2 + ax + 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå phöông trình :
1. Coù boán nghieäm phaân bieät.
2. Coù hai nghieäm phaân bieät lôùn hôn 1.
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 3
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Baøi taäp15:
Tìm m ñeå phöông trình : x 3 − ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 1) x − ( m + 1) = 0 coù 3 nghieäm döông
phaân bieät.
Baøi taäp16:
Giaûi vaø bieän luaän: x 3 − ( 2a + 1) x 2 + ( a 2 + 2a ) x − a 2 = 0
Baøi taäp17:
Cho phöông trình : x 4 + 4 x 3 + ( m + 4 ) x 2 + 2mx + 2m = 0 .
1. Giaûi phöông trình khi m = 1.
2. Giaûi vaø bieän luaän.
Baøi taäp18:
Cho phöông trình : x 4 − 2 x 3 + x + 2 = a .
1. Giaûi phöông trình khi a = 132.
2. Giaûi vaø bieän luaän.
Baøi taäp19:
Cho phöông trình : x 4 − 4 x 3 + 8 x + 2 = a .
1. Giaûi phöông trình khi a = 5.
2. Giaûi vaø bieän luaän.
Baøi taäp20:
Cho phöông trình mx 3 − x 2 − 2 x + 8m = 0. Ñinh m ñeå:
1. Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät
2. Phöông trình coù nghieäm boäi.
3. Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät beù hôn -1.
ÑÒNH LYÙ VIEÙT CHO PHÖÔNG TRÌNH ÑA THÖÙC BAÄC CAO.
Baøi taäp21:
Cho phöông trình x 3 + 3mx 2 − 3 x − 3m + 2 = 0
1. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm vaø toång bình phöông 3 nghieäm
cuûa chuùng ñaït giaù trò nhoû nhaát.
2. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng.
Baøi taäp22: Xaùc ñònh tham soá ñeå phöông trình coù 3 nghieäm laäp thaønh moät caáp soá
coäng.
1.x 3 − mx 2 + 2m ( m + 1) x + 9m 2 − m + 0
2.x 3 − 3ax 2 − x + 4a3 = 0
3.x 3 − 3 x 2 − 9 x − m = 0
4.x 3 − 3 x 2 + ( a − 9 ) x + 1 − b = 0
Baøi taäp23:
Giaû söû phöông trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 coù ba nghieäm x1 , x2 , x3 . Haõy tính
Sn = x1n + x2n + x3n
Baøi taäp24:
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 4
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Giaû söû phöông trình x + ax + bx + c = 0, a, b, c ∈ ] coù ba nghieäm x1 , x2 , x3 . Cho f(x) laø
3 2
moät ña thöùc nguyeân. CMR : f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) ∈ ] .
Hd: Ta cm qui naïp döa vaøo coâng thöùc : Sn + aSn −1 + bSn −2 + cSn −3 = 0 .
§.DUØNG AÅN PHUÏ TRONG GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH.
A. Hieåu veà aån phuï:
1. Laø aån maø do ngöôøi giaûi töï ñöa vaøo chöù trong ñeà baøi khoâng noùi tôùi.
2. Ta ñöa aån phuï vaøo laø ñeå chuyeån daïng baøi toaùn veà daïng môùi deã nhaän daïng
hôn hay laø daïng ñaõ quen thuoäc.
B. Ñieàu kieän cho aån phuï:
1. Yù nghóa, lyù do:
− Tìm ñieàu kieän cho aån phuï töùc laø ñi tìm mxñ cho baøi toaùn môùi.
− Tuyø vaøo muïc ñích cuûa aån phuï maø ta tìm ñk aån phuï nhö theá naøo laø phuø
hôïp nhaát ( deã, khoâng gaây sai baøi toaùn ).
2. Coù hai kieåu tìm aån ñk cho phuï:
− Tìm ñk ñuùng cho aån phuï.
− Tìm thöøa ñk cho aån phuï.
C. Moät soá daïng ñaët aån phuï:
Daïng 1: Giöõ nguyeân soá aån.
1, 4 x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2
2,10 x 3 + 8 = 3 ( x 2 − x + 6 )
3, x 3 − 1 = x 2 + 3 x − 1
4,2 ( x 2 + x + 1) − 7 ( x − 1) = 13 ( x 3 − 1)
2 2
5, 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1
a2 x 2
6, x 2 + = 8a2
( x + a)
2
Coù moät soá baøi toaùn ñaëc bieät raát goïn neáu duøng aån phuï löôïng giaùc. Duøng aån
phuï löôïng giaùc töùc laø ta lôïi duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc ñeå töï phaù caên thöùc maø
khoâng duøng pheùp naâng luyõ thöøa. Vì haøm löôïng giaùc laø haøm tuaàn hoaøn neân ta caàn
löu yù choïn mieàn xaùc ñònh sao cho coù lôïi nhaát.
(1 − x ) = x a (1 − x )
3
7, x 3 + 2 2
1 + 2x 1− x2
8, = 1− 2x2
2
⎡
9, 1 + 1 − x 2 ⎢ (1 − x ) − (1 + x ) ⎤⎥ = 2 + 1 − x
3 3 2
⎣ ⎦
10, 1 + 1 − x 2 = x 1 + 2 1 − x 2 ( )
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 5
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
11, ( 1 + x − 1)( 1 − x + 1) = 2 x
12, a + x + a − x = a, a ≥ 0
13, 1 + ax − 1 − ax = x
14,2 a + x − a − x = a − x + x ( a + x )
2 2
⎛ 3+ x ⎞ ⎛ 6− x ⎞
15, 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m; HD : ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
16, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ −1;1] : 8 x (1 − 2 x 2 )( 8 x 4 − 8 x 2 + 1) = 1
1
17, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ 0;1] : 32 x ( x 2 − 1)( 2 x 2 − 1) = 1 −
2
x
Daïng 2: Thay ñoåi soá aån, thöôøng laø taêng theâm soá aån ñeå giaûm nheï söï raéc roái,
ñôn giaûn trong tính toaùn.
1, x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5
2, 3 2 + x + x 2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4
3, x 2 − 3 x + 3 + x 2 − 3 x + 6 = 3
4, 1 + x + 8 − x + (1 + x )( 8 − x ) = 3
5, 3 x − 9 = ( x − 3 ) + 6
3
6, 4 5 − x + 4 x − 1 = 2
7, 3 24 + x + 12 − x = 6
8, 3 x + 7 − x = 1
9,
( 34 − x ) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x
= 30
3
34 − x − 3 x + 1
3
7− x − 3 x −5
10. = 6− x
7− x + 3 x −5
3
1
HD : 6 − x = ⎡⎣( 7 − x ) − ( x − 5) ⎤⎦
2
11. x + 1 − x − 2 x ( x − 1) − 2 4 x ( x − 1) = −1
12. x + 4 x ( x − 1) + 4 (1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( x − 1)
2 3
13. 8 x + 1 + 3 x − 5 = 7 x + 4 + 2 x − 2
14. 2 x 2 − 1 + x 2 − 3 x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2
15. 3 7 + tgx + 3 2 − tgx = 3
2 2
16.81sin x + 81cos x = 30
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 6
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
17. 3 sin 2 x + 3 cos2 x = 3 4
18.sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3
⎛ 5 − x ⎞⎛ 5− x ⎞
19.x ⎜ ⎟⎜ x + ⎟=6
⎝ x +1 ⎠⎝ x +1 ⎠
2 2
⎛ x −2⎞ ⎛ x+2⎞ ⎛ x2 − 4 ⎞
20.20 ⎜ ⎟ − 5 ⎜ ⎟ + 48 ⎜ 2 ⎟=0
⎝ x +1 ⎠ ⎝ x −1 ⎠ ⎝ x −1 ⎠
Daïng 3: Chuyeån theo phöông trình aån phuï vaø xem aån ban ñaàu laø tham soá.
1. ( x + 3) log32 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16
2. ( 4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1
3.4 1 + x − 1 = 3 x + 2 1 + x + 1 − x 2
4.2 ( x − 1) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1
5.1 + x − 2 x 2 = 3 x 2 − 1 − 2 x + 1
6.4 ( x + 5)( x + 6 )( x + 10 )( x + 12 ) = 3 x 2
7.x 2 + x + 12 x + 1 = 36
8. sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1
⎡ ⎛x+y⎞ ⎤
9.4 ⎢3 4 x − x 2 sin 2 ⎜ ⎟ + 2 cos ( x + y ) ⎥ = 13 + 4 cos ( x + y )
2
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦
x −1 1 1
10.2 x + − 1− − 3 x − = 0
x x x
Daïng 4: Chuyeån veà heä phöông trình goàm aån phuï vaø aån chính.
Daïng naøy hay duøng ñoái vôùi phöông trình chöùa hai haøm soá ngöôïc nhau.
Loaïi 1: ( ax + b ) = α n px + q + β x + γ
n
1, x 3 − 3 3 3 x + 2 = 2
2, x 2 + x + 1 = 1
( )
2
3, x = 5 − 5 − x 2
1 1 1
4, x 2 + 2ax + = −a + a2 + x − ; 0 < a <
16 16 4
⎧ 2 1
⎪ y = −a + a + x −
1 ⎪ 16
HD : y = x 2 + 2ax + → ⎨
16 ⎪ 2 1
⎪⎩ x = − a ± a + y −
16
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 7
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
5,3 + 3 + x = x
6, x 2 + x + 5 = 5
( )
2
7, x = a − b a − bx 2
8, x 2 + x + a = a
29 12 x + 61
9, 3 x + x − =
2
6 36
29 12 x + 61
3x 2 + x − = ⇔ 18 x 2 + 6 x − 29 = 12 x + 61
6 36
Vì f ( x ) = 18 x + 6 x − 29 => f '( x) = 6 ( 6 x + 1) → Ñaët 12 x + 61 = 6 y + 1
2
10, x − x − 2004 1 + 16032 x = 2004
2
(Thi choïn HSG Baéc Giang naêm hoïc 2003 – 2004).
1
Xeùt haøm soá f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1. Ñaët 1 + 16032 x = 2t − 1, t ≥
2
⎧⎪t 2 − t = 4008 x
Ta coù heä PT sau: ⎨ 2
⎪⎩ x − x = 4008t
63 x 3 3 2 9
11, 3 x −
3 = − x + x
8 3 2 4
3 3x −
63 x 3 3 2 9 2 9
= − x + x ⇔ 3 24 x − 63 = x 3 − 3 x 2 + x
8 3 2 4 3 2
2 3 9 9
Xeùt haøm soá f(x) = x − 3x + x ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 6 x + ⇒ f '' ( x ) = 4 x − 6
2 2
3 2 2
Ñaët 24 x − 63 = 2 y − 3
3
12,( Toaùn hoïc vaø Tuoåi treû Thaùng 6 naêm 2001) Giaûi PT sau:
4
3
81x − 8 = x 3 − 2 x 2 + x−2
3
4
Xeùt haøm soá f(x) = x − 2 x + x − 2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3
3 2
3
=> f’’(x) = 6x – 4. Ñaët 3
81x − 8 = 3 y − 2
13) x 2 = 2 − x + 2
14) x 2 − 4 x − 3 = x + 5
15) x 3 + 2 = 33 3 x − 2
16) 3x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5
17) x + 1 = x 2 + 4 x + 5
4x + 9
18) = 7x2 + 7x
28
19) 9 x − 5 = 3x + 2 x + 3
2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 8
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Caùc phöông trình keå treân laø caùc phöông trình ñoái xöùng, tuy nhieân hai ví duï sau
cuõng caàn nghieân cöùu.
20,4 x 2 + 3 x + 1 + 5 = 13 x
⇔ ( 2 x − 3) = − 3 x + 1 + x + 4
2
⎪( 2 x − 3) = 2 y + x + 1
⎧ 2
Ñaët − 3 x + 1 = 2 y − 3 → ⎨
⎪⎩( 2 y − 3) = 3 x + 1
2
21,8 x 3 + 53 x = 36 x 2 + 3 3 x − 5 + 5
⇔ ( 2 x − 3) = 3 3 x − 5 + x − 2
3
⎧( 2 x − 3)3 = 2 y + x − 5
⎪
Ñaët 3 x − 5 = 2 y − 3 → ⎨
3
⎪⎩( 2 y − 3) = 3 x − 5
3
Loaïi 2: a
α x+β
= b log a ( px + q ) + cx + d
PP: Ñaët: log a ( px + q ) = α y + β
22,7 x = 2 log 7 ( 6 x + 1) + 1
3
23,3x = 1 + x + log3 (1 + 2 x )
2 sin 2 x
⎛1⎞ 1
24, ⎜ ⎟ + = cos2 x + log 4 ( 3cos2 x − 1)
⎝2⎠ 2
§. PHÖÔNG PHAÙP “MOØ” NGHIEÄM
1
1, 3 x + 3 + x 2 + 1 + x + x 2 = +2
x +1
VT ñoàng bieán, VP nghòch bieán ⇒ coù khoâng quaù moät nghieäm.
“Moø” x = 0 laø moät nghieäm.
( 3) − 2 = 2
x
x−1
2,
Laäp baûng bieán thieân ⇒ coù khoâng quaù hai nghieäm.
“Moø” x = 2, x = 4 laø nghieäm.
3,
( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 1
c ( c − a )( c − b ) a ( a − b )( a − c ) b ( b − c )( b − a ) x
Trong ñoù a, b, c laø ba soá khaùc nhau vaø khaùc khoâng.
Pt baäc 3 neân coù khoâng quaù 3 nghieäm.
“Moø” coù ba nghieäm a, b, c.
4, ( a 2 − a ) ( x 2 − x + 1) = ( a 2 − a + 1) ( x 2 − x )
2 3 3 2
Xeùt TH ñaëc bieät
TQ: Pt baäc 6 neân coù khoâng quaù 6 nghieäm.
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 9
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
1 1 1 1
NX: Neáu x0 laø nghieäm thì &1 − x0 cuõng laø nghieäm, do ñoù ,1 − , cuõng
x0 1 − x0 x0 1 − 1
x0
laø nghieäm. Deã thaáy a laø moät nghieäm.
5, 2 x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x < 35
6, x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0
Moø ñöôïc nghieäm x = 3 neân ta seõ phaân tích ra thöøa soá chung ( x − 3) .
x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 4
⇔ = 4x + 4
8
x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40
⇔ − 2 = 4 4x + 4 − 2
8
7, x 5 + x 3 − 1 − 3 x + 4 = 0
8, x 2 + 15 = 3 x − 2 + x 2 + 8
9, x + 1 + 3 5 x − 7 + 4 7 x − 5 + 5 13 x − 7 < 8
1 1 1
10,5 x + 4 x + 3x + 2 x = x + x + x − 2 x 3 + 5 x 2 − 7 x + 17
2 3 6
§. PHÖÔNG PHAÙP ÑAÙNH GIAÙ
Phöông phaùp naøy hay duøng trong phöông trình coù nhieàu aån, coù nhieàu loaïi haøm
soá, bieåu thöùc phöùc taïp.
tan 2 x + tan 2 y
1, = sin 2 x + sin 2 y
1 + tan x + tan y
2 2
Ñaët a = tan x, b = tan y ⇒ a, b ≥ 0
2 2
a+b a b
Trôû thaønh: = +
1+ a + b 1+ a 1+ b
⎧ a a
≤
⎪1 + a + b 1 + a a b a b
Ta coù: ⎨ ⇒ + ≤ +
⎪ b b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b
≤
⎩⎪1 + a + b 1 + b
2, 5 ( x 2 + 2 yz ) + 6 ( y 2 + 2 zx ) + 5 ( z 2 + 2 xy ) = 4 ( x + y + z )
G G
( )
Xeùt 2 vector a = 5; 6; 5 , b = ( x + 2 yz; y + 2 zx; z + 2 xy ) Khi ñoù,
2 2 2
GG G G
VT = a.b;VP = a . b
36 4
3, + = 28 − 4 x − 2 − y − 1
x−2 y −1
Duøng CauChy.
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 10
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
4; 4 1 − x 2 + 4 1 − x + 4 1 + x = 3
*) 4 1 − x 2 ≤ 1
1+1− x 1+1+ x
1+ 1− x 1+ 1+ x 1+ 1+
*) 4 1 − x + 4 1 + x ≤ + ≤ 2 + 2 =2
2 2 2 2
⎧x = 0
⎪
⇒ 4 1 − x2 + 4 1 − x + 4 1 + x = 3 ⇔ ⎨ 4 1 − x = 4 1 + x = 1 ⇔ x = 0
⎪
⎩ 1− x = 1+ x =1
5; tan 4 x + tan 4 y + 2cot 2 x.cot 2 y = 3 + sin 2 ( x + y )
VT ≥ 2 tan 2 x.tan 2 y + 2cot 2 x.cot 2 y ≥ 4 tan x.tan y.cot x.cot y = 4
VP ≤ 3 + 1 = 4
⎧ tan 2 x = tan 2 y
⎧ tan 2 x = tan 2 y ⎪ ⎧ tan 2 x = tan 2 y
⎪ ⎪ 1 ⎪
→ ⎨ tan x.tan y = cot x.cot y ⇔ ⎨ tan x.tan y = ⇔ ⎨ tan 2 x.tan 2 y = 1
⎪sin 2 x + y = 1 ⎪ tan x.tan y ⎪sin 2 x + y = 1
⎩ ( ) ⎪sin 2 ( x + y ) = 1 ⎩ ( )
⎩
⎧ π π
⎪ x= +k
⎧ tan 2 x = 1 4 2 ⎧ π π
⎪ ⎪ x = + k
⎪ ⎪ π π 4 2
⇔ ⎨ tan 2 y = 1 ⇔ ⎨y = + l ⇔⎨ (b»ng c¸ch rót l theo m, k )
⎪cos 2 x + y = 0 ⎪ 4 2 π
⎪ y = + ( 2m − k ) π
⎩ ( ) ⎪ π ⎪⎩ 4 2
⎪⎩ x + y = + m π
2
6; T×m m ®Ó ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m, ∀x ∈ [ −4;6]
§kc : x = 1 → m ≥ 6
§k® : gs m ≥ 6,
4+ x+6− x
*) ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ =5
2
*) x 2 − 2 x + m = ( x − 1) + m − 1 ≥ 5
2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 11
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
7; x − 2 + 4 − x = x − 6 x + 11
2
*) x − 2 + 4 − x ≤ (1 + 1 ) ( x − 2 + 4 − x ) = 2
2 2
*) x 2 − 6 x + 11 = ( x − 3) + 2 ≥ 2
2
8; x − 1 + x − 3 ≥ 2 ( x − 3) + 2 x − 2
2
*) x − 1 + x − 3 ≤ (1 + 1 ) ⎡⎣( x − 1) + ( x − 3) ⎤⎦
2 2 2
⇒ x −1 = x − 3
9;sin x − 2sin 2 x − sin 3 x = 2 2
*)sin x − 2sin 2 x − sin 3 x = −2cos 2 x.sin x − 2sin 2 x
≤ ⎡( −2cos 2 x ) + ( −2sin 2 x ) ⎤ ( sin 2 x + 1) ≤ 2 2
2 2
⎣ ⎦
⎧ −2cos 2 x −2sin 2 x
⎪ =
→ ⎨ sin x 1 → vn0
⎪sin 2 x = 1
⎩
3
10, x 2 = 2 x 8 +
8
2
*)Nn0 : x = ±
2
1
*)2 x 8 + ≥ x 4
8
1
*) x 4 + ≥ x 2
4
11, x + 4 x + 5 = 2 2 x + 3
2
*) x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 ≤ ( 3 x + 3) + 1 ⇔ ( x + 1) ≤ 0 ⇔ x = −1
2
1 5
12,8 x 2 + =
x 2
1
*)Nn0 : x =
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
*)8 x 2 + = 8x 2 + + + + ≥
x 4 x 4 x 4 x 4 x 2
13, x 2 − 4 x + 9 + x 2 + 4 x + 9 = 6
( )( )
*)VT ≥ 2 4 x 2 − 4 x + 9 x 2 + 4 x + 9 = 2 4 x 4 + 2 x 2 + 81 ≥ 2 4 81 = 6
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 12
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
( )
14, 3 25 x 2 x 2 + 9 = 4 x +
3
x
( )
⇔ 3 25 x 4 2 x 2 + 9 = 4 x 2 + 3
*)VT ≤
5x 2 + 5x 2 + x 2 + 9 ( ) = VP
3
2 2
15, + x = x+9
x +1
1 x ⎛ 1 x ⎞
*)VT = 2 2 + x +1 ≤ ( 8 + x + 1) ⎜ + ⎟ = VP
x +1 x +1 ⎝ x +1 x +1⎠
16, 3 x 2 − 1 + x 2 − x − x x 2 + 1 =
1
2 2
7x2 − x + 4( )
*)VT ≤ (1 + 1 + x )( 3x − 1 + x − x + x + 1) = ( x + 2 )( 5x − x )
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ⎡⎣2 ( x + 2 ) + ( 5x − x ) ⎤⎦
2 2
2 ( x + 2 )( 5 x − x ) = ( x + 2 )( 5 x − x )
1
*)VP = ≥ 2 2 2 2
2 2 2
17, x 2 − 2 x + 5 − x 2 − 6 x + 10 = 5
*)VT = ( x − 1) + 2 2 − ( x − 3) + 12 ≤ ⎡⎣( x − 1) − ( x − 3)⎤⎦ + [2 − 1] = 5
2 2 2 2
G G G G
*) a − b ≤ a − b
18, ( 3 − x ) x − 1 + 5 − 2 x = 40 − 34 x + 10 x 2 − x 3
*)VT ≤ ⎡( 3 − x ) + 12 ⎤ ⎡ ( x − 1 ) + ( 5 − 2 x ) ⎤⎥⎦ = VP
2 2 2
⎣ ⎦ ⎢⎣
GG G G
*)a.b ≤ a . b
⎧⎪ x + 1 + x + 3 + x + 5 = y − 1 + y − 3 + y − 5
19, ⎨
⎪⎩ x + y + x + y = 80
2 2
*) pt (1) ⇔ x = y − 6
⎧ 4 697
⎪x + y =
2
20, ⎨ 81
⎪ x + y + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0
2 2
⎩
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 13
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
7
*) Xeùt phöông trình hai. Neáu xem laø phöông trình aån x thì ta ñöôïc 0 ≤ y ≤ , coøn
3
4
ngöôïc laïi neáu xem laø phöông trình aån y thì ta laïi ñöôïc 0 ≤ x ≤
3
4 2
⎛4⎞ ⎛7⎞
*) x + y ≤ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = VP
4 2
⎝ 3⎠ ⎝3⎠
§. LÖÔÏNG LIEÂN HÔÏP.
1, ( x + 3) 2 x 2 + 1 = x 2 + x + 3
x2 + x + 3
⇔ 2x + 1 = 2
x+3
x2 + x + 3
⇔ 2x + 1 − 1 =
2
−1
x+3
⇔ ( 2x + 1 − 1)( 2
) 2x + 1 + 1 =
2 x2
x+3
( 2x + 1 + 1)
2
( 2x + 1 + 1)
2
x
⇔ 2x = 2 2
x+3
2, ( 3x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + 2 x + 3
3x 2 + 2 x + 3
⇔ x +3 = 2
3x + 1
⎧ 2 3x 2 + 2 x + 3
⎪⎪ x + 3 − 2 x = − 2x
⇔⎨ 3 x + 1
⎪x > − 1
⎪⎩ 3
3x 2 + 2 x + 3
P : x + 3 − (α x + β ) =
2 2
− (α x + β )
3x + 1
3; ( x + 3) x 2 + x + 2 = x 2 + 3 x + 4
4; ( x + 1) x + 8 = x 2 + x + 4
5; ( 2 x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + x + 2
4 20
6; x − 3 = x − −
3 3x
7; ( 3 x + 1) x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 14
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
x −1 2
8; 2 x 2 − 3 x + 1 =
2x − 3
1 7
9; x + 3 = x − +5
2 2x
§. HOAÙN ÑOÅI VAI TROØ CUÛA AÅN SOÁ VAØ THAM SOÁ.
1; x − 10 x − 2 ( a − 1) x 2 + 2 ( 5a + 6 ) x + 2a + a 2 = 0
4 3
2; x 3 − ( 4a + 3) x 2 + 4a ( a + 2 ) x − 4 ( a 2 − 1) = 0
§. THAM SOÁ HOÙA CHO PHÖÔNG TRÌNH
PP tham soá hoùa cho moät phöông trình laø ñöa vaøo phöông trình moät tham soá
naøo ñoù. Coù hai daïng chính sau:
Daïng 1: Choïn moät haèng soá phuø hôïp vaø tham soá hoùa noù, sau ñoù hoaùn ñoåi
vai troø cuûa aån soá vaø tham soá ñeå giaûi.
68 15
1, x 3 + =
x3 x
2 17 17 − 2
⇔ x3 + =
x3 x
Choïn 17 laøm tham soá. Khi ñoù ta xeùt phöông trình sau:
⎡m = − x 2
2m m − 2 2
x3 + 3 = ⇔ x 2 m 2 − 2m − x 6 − 2 x 2 = 0 ⇔ ⎢
⎢m = x + 2
4
x x
⎢⎣ x2
⎡ − x 2 = 17
Do ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi x 4 + 2
⎢
⎢
⎢⎣ x 2 = 17
2, x 4 + x 3 − 2 x 2 − 15 x + 25 = 0
3, x + 11 + x = 11 ⇔ (11 − x ) = 11 + x
2
Daïng 2: Möôïn tham soá trong ñònh lyù Lagrange.
4, x log3 7 = 2 log3 x + log3 x 5
⇔ 7log3 x = 2 log3 x + 5log3 x
⇔ 7log3 x − 7log3 x = 2 log3 x − 2 log3 x
Gs soá döông α naøo ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Khi ñoù ta coù
7log3 α − 7log3 α = 2 log3 α − 2 log3 α
Xeùt haøm soá f ( t ) = t
log3 α
− t log3 α . Vì f ( t ) coù ñaïo haøm treân [ 2;7] neân theo ñònh lyù
f ( 7) − f ( 2 )
Lagrange ta coù: ∃m ∈ ( 2;7 ) : f ' ( m ) =
7−2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 15
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
⇒ f ' ( m ) = 0 ⇔ log3 α .m log3 α −1
− log3 α = 0
⎡ log3 α = 0 ⎡α = 1
⇔ ⎢ log α −1 ⇔⎢
⎣m
3
−1 = 0 ⎣α = 3
Thöû laïi ta coù taäp nghieäm cuûa pt ñaõ cho laø S = {1;3}
5,7cot x − 11cot x = 12cot x ⇔ 7cot x − 11cot x = 3 (11 − 7 ) cot x ⇔ 7cot x + 3.7cot x = 11cot x + 3.11cot x
→ f ( t ) = t cot α + 3t cot α
x x
1 1 ⎛ 5⎞ ⎛ 4⎞
6, x − x = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
2 3 ⎝ 14 ⎠ ⎝ 21 ⎠
⎧1 5 1
⎪ 2 = 14 + 7
NX : ⎨
⎪1 = 4 + 1
⎪⎩ 3 21 7
α
⎛ 1⎞
→ f ( t ) = ⎜ t + ⎟ − tα
⎝ 7⎠
7,2 log5 x + 2 log5 x = x + x log5 7
3 2
⇔ 8log5 x + 4 log5 x = x + 7log5 x
⇔ 8log5 x + 4 log5 x = 5log5 x + 7log5 x
⇔ 8log5 x − 5log5 x = 7log5 x − 4 log5 x
→ f ( t ) = ( t + 3)
log5 α
− t log5 α
8, x log7 11 + 3log7 x = 2 x
§. PHAÂN TÍCH HÔÏP LYÙ.
1 2 1 7
1, + 2+ =
x −1 x 2x 4
2
1 2 1 7 ⎛1⎞ 1⎛1⎞ 3 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞
⇔ −1 = − 2 − + = −2 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + = −2 ⎜ − ⎟⎜ + ⎟
x −1 x 2x 4 ⎝ x ⎠ 2⎝ x ⎠ 4 ⎝ x 2 ⎠⎝ x 4 ⎠
Ta ph©n tÝch sao ®Ó tam thøc bËc hai cã nghiÖm ®Æc biÖt.
1− x −1 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞
⇔ = −2 ⎜ − ⎟⎜ + ⎟
x −1 ⎝ x 2 ⎠⎝ x 4 ⎠
2− x 2− x⎛1 3⎞
⇔ = −2 ⎜ + ⎟
(
x −1 1+ x −1 )
2x ⎝ x 4 ⎠
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 16
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
x2 + x + 1 x2 1
2, + = +2
x+4 2 x2 + 1
⎛ x2 + x + 1 ⎞ ⎛ x2 3 ⎞ ⎛ 1 1⎞
⇔⎜ − 1⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟
⎜ x+4 ⎟
⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ x +1 2 ⎠
2
⎝
x2 − 3 x2 − 3 3 − x2
⇔ + =
⎛ x2 + x + 1 ⎞
( x + 4 ) ⎜⎜ + 1⎟
⎟
2
(
2 x2 + 1 2 + x2 + 1 )
⎝ x + 4 ⎠
3; x 3 − 3 x 2 + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0
3
− ( a + 1) ⎡ 3 ( a + 1) ⎤ 3 ( a + 1)
3 3
=⎢ ⎥ ⇒ cn x = −
⎣ −3 ⎦ −3
0
1
4; x3 − 3 x 2 + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0
2
gÇn gièng cña khai triÓn ( a − b )
3
→ ( a + 1) x3 − 3 x 2 ( a + 1) + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0
2 3
→ ax 3 + ⎡ x 3 − 3 x 2 ( a + 1) + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) ⎤ = 0
2 3
⎣ ⎦
→ ax 3 + ⎡⎣ x − ( a + 1) ⎤⎦ = 0
3
5; x8 − x5 + x 2 − x + 1 = 0
Khoâng nhaåm nghieäm vì baäc quaù cao vaø nghieäm höõu tyû cuûa pt chæ coù theå laø ±1 . Ta
seõ phaân tích thaønh toång caùc bình phöông.
2
⎛ x⎞
*) x − x → ⎜ x 4 − ⎟
8 5
⎝ 2⎠
2
⎛x ⎞
*) − x + 1 → ⎜ − 1⎟
⎝2 ⎠
2 2
⎛ 4 x⎞ ⎛ x ⎞ x
2
→ x − x + x − x + 1 = ⎜ x − ⎟ + ⎜ − 1⎟ +
8 5 2
⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ 2
6;cos x − 3 3 sin x = cos7 x
⇔ cos x − cos7 x − 3 3 sin x = 0
⇔ 2sin 4 x.sin 3x − 3 3 sin x = 0
⇔ 2sin 4 x.sin x ( 3 − 4sin 2 x ) − 3 3 sin x = 0
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 17
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
⎡sin x = 0
⇔⎢
⎢⎣ 2sin 4 x + 4sin 4 x.cos 2 x = 3 3 (*)
3 3
(*) ⇔ sin 2 x.cos 2 x + sin 4 x.cos 2 x =
4
Ta cã: cos 2 x + sin 4 x = cos 2 x ⎡⎣1 + 4sin 2 2 x ⎤⎦
2 2 2
2
1 ⎛ 4cos 2 2 x + 1 + 4sin 2 2 x ⎞ 25 ⎛ 3 3 ⎞
2
1
= .4cos 2 x ⎣⎡1 + 4sin 2 x ⎦⎤ ≤ .⎜
2 2
⎟ = <⎜ ⎟ → ptvno
4 4⎝ 2 ⎠ 16 ⎝ 4 ⎠
7; (1 + cos x ) ( 2 + 4cos x ) = 3.4cos x
§Æt t = cos x, −1 ≤ t ≤ 1
→ (1 + t ) ( 2 + 4t ) = 3.4t ⇔
3.4t
− (1 + t ) = 0
2 + 4t
3.4t 6.ln 4.4t
§Æt f ( t ) = − (1 + t ) → f ' ( t ) = −1
2 + 4t ( 2 + 4 t2
)
f ' ( t ) = 0 cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm nªn f ( t ) = 0 cã kh«ng qu¸ ba nghiÖm.
1
t = 0; t = 1; t = lμ ba nghiÖm.
2
1 2 2a
8; + x −1 ≤ x −1 1− x
1 2 −1 2 + 2
2− x +
2
a) Giaûi khi a = 4
b) Tìm a ñeå bpt coù ít nhaát hai nghieäm trong ñoù coù moät nghieäm nhoû hôn
1, moät nghieäm lôùn hôn 1.
1 2 2a 2 2 2a
+ ≤ ⇔ 1− x + x −1 ≤ x−1 1− x
2− x +
1 2 x −1
−1 x −1
2 +2 1− x
2 + 1 ( 2 − 1) 2 + 2
2
( 2 x−1 + 21− x )
2
2 x−1 + 21− x a
⇔ 1− x ≤ ⇔ ≤a
( 2 + 1)( 2x−1 − 1) 2x−1 + 21− x ( 21− x + 1)( 2x−1 − 1)
⎡( 21− x + 1) + ( 2 x −1 − 1) ⎤
2
⇔⎣ ⎦ ≤a
( 2 + 1)( 2 − 1)
1− x x −1
⎡( 21− x + 1) + ( 2 x−1 − 1) ⎤
2
a) a = 4 → ⎣ ⎦ ≤4
( 2 + 1)( 2 − 1)
1− x x −1
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 18
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
TH : ( 2 x−1
− 1) < 0 ⇔ x < 1 → VT < 0 → lu«n ®óng.
⎡ ( a + b )2 ⎤
TH : ( 2 − 1) > 0 ⇔ x > 1 → VT ≥ 4 = VP ⎢
x −1
≥ 4, ∀ab > 0 ⎥
⎣⎢ ab ⎦⎥
b)§kc: ®Ó cã mét nghiÖm x > 1 → a ≥ 4
§k®: Khi th× bpt tháa yc bt.
9;log 2 log 2 x = log 3 log 3 x
§k x > 1
⎧log 2 log 2 x = t ⎧⎪ x = 22 ⎧⎪2t = 3t log 2 3
t
§Æt t = log 2 log 2 x → ⎨ →⎨ t →⎨
⎩ 3 3
log log x = t ⎪⎩2 = 3
2 3t
⎪⎩ x = 2
2t
⎧⎛ 2 ⎞t
⎪⎜ ⎟ = log 2 3
log 2 log 2 3
→ ⎨⎝ 3 ⎠ →x=2 2 3
⎪
⎩x = 2
t
2
10;log 2 x + log 3 x + log 5 x = log 2 x.log 3 x.log 5 x
§k: x > 0
→ log 5 x ( log 2 5 + log 3 5 + 1) = log 2 x.log 3 x.log 5 x
⎡log 5 x = 0
→⎢
⎢⎣log 2 5 + log 3 5 + 1 = log 2 x.log 3 x = log 2 3 ( log 3 x )
2
⎡x =1
⎢
→⎢ log 2 5 + log 3 5 + 1
log 3 x = ±
⎢⎣ log 2 3
11;log 2 log 3 log 4 x = log 4 log 3 log 2 x
§k: x > 4
→ log 4 ( log 3 log 4 x ) = log 4 log 3 log 2 x
2
⇔ ( log 3 log 4 x ) = log 3 log 2 x
2
⇔ ( log 3 log 4 x ) = log 3 ( 2log 4 x ) = log 3 2 + log 3 log 4 x
2
⇔ ( log 3 log 4 x ) − ( log 3 log 4 x ) − log 3 2 = 0
2
1 + 1 + 4log 3 2
⇔ ( log 3 log 4 x ) = , l−u ý ®k x > 4 → ( log 3 log 4 x ) > 0
2
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 19
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
+ ( x − 1)
log x +1 ( x −1)
≤2
log x +1 x
12; x
§k: x > 1.
L−u ý: a logb c = c logb a
13; x 2 ( ) ≥ 8 x 2
log 4 x
§k: x > 0
LÊy logrit c¬ sè 2 hai vÕ → log 2 ( 4 x ) .log 2 x ≥ log 2 ( 8 x 2 )
14;log 2 x + log 3 ( x + 1) = log 4 ( x + 2 ) + log 5 ( x + 3)
§k: x > 0
⎧x x + 2 ⎧ x x+2 x+2
⎪2 > > 1 ⎪ log 2 > log 2 > log 4
4 2 4 4
*) x > 2 → ⎨ →⎨
⎪ x + 1 > x + 3 > 1 ⎪log x + 1 > log x + 3 > log x + 3
⎩⎪ 3 ⎩⎪
3 3 5
5 3 5 5
⎧⎪log 2 x > log 4 ( x + 2 )
→⎨
⎪⎩log 3 ( x + 1) > log 5 ( x + 3)
*) x < 2 tt
*) x = 2 lμ n o
2x + 1
15;2 x 2 − 6 x + 2 = log 2
( x − 1)
2
1
§k: − < x ≠1
2
→ 2 x 2 − 6 x + 2 = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 ( x − 1)
2
⇔ 2 ( x − 1) − ( 2 x + 1) + 1 = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 ( x − 1)
2 2
⇔ 2 ( x − 1) − ( 2 x + 1) = log 2 ( 2 x + 1) − log 2 2 ( x − 1)
2 2
⇔ ⎡ 2 ( x − 1) + log 2 2 ( x − 1) ⎤ = ⎡⎣( 2 x + 1) + log 2 ( 2 x + 1) ⎤⎦
2 2
⎣ ⎦
⇔ 2 ( x − 1) = ( 2 x + 1) , v× hμm sè f ( t ) = t + log 2 t ®ång biÕn.
2
§. MOÄT SOÁ BAØI VEÀ HEÄ ÑOÁI XÖÙNG, ÑAÚNG CAÁP.
⎧x + y + z = 1
1; ⎨ xem z lμ tham sè.
⎩ 2 x + 2 y − 2 xy + z 2
= 1
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 20