Phương trình đưỡng thẳng trong không gian

  • 25 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có véctơ chỉ phương u  a; b; c 
( a 2  b 2  c 2  0 ). Ta có
* Phương trình tham số của  là
 x  x0  at

 y  y0  bt .
 z  z  ct
 0
* Khi abc  0 từ phương trình tham số, khử t ta được phương trình chính tắc của  là
x  x0 y  y0 z  z0
  .
a b c
Đặc biệt: phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B 
( x A  xB , y A  y B , z A  z B ) là
x  xA y  yA z  zA
  .
xB  xA yB  y A z B  z A
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
2. Vị trí tương đối giữa hai dường thẳng

Xét đường thẳng 1 đi qua M 1 , nhận u1 là một véc-tơ chỉ phương và đường thẳng  2 đi qua

M 2 , nhận u2 là một véc-tơ chỉ phương. Ta có hai phương pháp xét vị trí tương đối giữa 1 và
2 .
Phương pháp
Phương pháp 1 Phương pháp 2
Dấu hiệu
    
 1 ,  2 khoâng coù ñieåm chung
 u1 , u2   u1 , M 1 M 2   0 .
   
Song song   .
u1  u2
  
 1 ,  2 khoâng coù ñieåm chung
 u1 , u2   0
Chéo nhau   .  
   .
u1 , u2 khoâng cuøng phöông  
u1 , M 1 M 2   0
  
1 ,  2 có đúng một điểm u1 , u2   0
Cắt nhau  
chung .     .
u1 , u2  .M 1M 2  0
  
1 ,  2 có vô số điểm chung . u1 , u2  .M 1 M 2  0 .
Trùng nhau  
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
3. Một số bài toán tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng
* Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  đi qua điểm M 0 và nhận u làm véc-tơ chỉ phương
được tính bởi công thức
 
M 0M , u 
 
d M ;   .
u
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Xét đường thẳng 1 đi qua M 1 , nhận u1 là một véc-tơ chỉ phương và đường thẳng  2 đi qua

M 2 , nhận u2 là một véc-tơ chỉ phương. Khoảng cách giữa 1 và  2 được tính bởi công thức
  
u1 , u2  .M 1 M 2
 
d  1 ,  2     .
u1 , u2 
 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
B. Phương pháp giải toán
Loại 1. Một số bài toán cơ bản
 Giới thiệu
Phần này đề cập đến những vấn đề sau
+) Bài toán lập phương trình đường thẳng mà véc-tơ chỉ phương của nó được suy ra từ giả thiết
một cách dễ dàng.
+) Bài toán tìm điểm thuộc đường thẳng.
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm
 1 
M  2; 3; 4  và nhận u 1; ; 0  là véc-tơ chỉ phương.
 2 
Giải
+) Ta có
d qua M  2; 3; 4 

  1 
d  u 1; ; 0    2;1; 0 
  2 
 x  2  2t

 phương trình tham số của d là  y  3  t .
z  4

+) Véc-tơ chỉ phương của d có cao độ bằng 0 nên d không có phương trình chính tắc.
Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng AB biết A  4; 0;5  , B  3;5;7  .
Giải
Áp dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ta có
x  4 y z 5
AB :   .
1 5 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  3; 7;9  và song song với đường
thẳng
x 1 y  3 z  1
d ':   .
2 4 2
Giải
3 1 7  3
Ta thấy   M  d '  qua M tồn tại đường thẳng d song song với d ' .
2 4
Ta có
d  d '

d '   2; 4; 2   1; 2; 1
 d  1; 2; 1 

laïi coù d ñi qua M  3;7;9  
x 1 y  7 z  9
 d:   .
3 2 1
Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  2; 0;1 và song song với trục Ox .
Giải
Ta thấy M  Ox nên qua M tồn tại đường thẳng d song song với Ox . d song song với Ox

nên nhận véc-tơ i 1;0;0  làm véc-tơ chỉ phương, lại có d đi qua M  2; 0;1 . Do đó
 x  2  t

d :y  0 .
z  1

2 
Ví dụ 5. Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm M  ; 0; 1 và vuông góc với
3 
mặt phẳng tọa độ Oxy .
Giải

d vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy nên d nhận véc-tơ k  0;0;1 làm véc-tơ chỉ phương,
2 
mặt khác d đi qua điểm M  ; 0; 1 . Do đó
3 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
 2
x  3

d :y  0 .
 z  1  t


 x  2  5t

Ví dụ 6. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d :  y  2  t , biết rằng M có hoành độ bằng tung
 z  3  3t

độ.
Giải
Điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ có dạng M  2  5t; 2  t ;3  3t  . M có hoành độ
bằng tung độ nên
2
2  5t  2  t  t  .
3
4 4 
Do đó M  ; ;5  .
3 3 
x 1 y  3 z
Ví dụ 7. Cho điểm A  2; 3;1 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d :   sao cho
2 5 4
x3 y2 z 2
đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng d ':   .
1 4 7
Giải
Đường thẳng d có phương trình tham số là
 x  1  2t

d :  y  3  5t .
 z  4t


M  d nên tọa độ M có dạng M 1  2t ; 3  5t; 4t  . Do đó AM  2t  1;5t ;4t  1 . Đường

thẳng d nhận véc-tơ u  2;5; 4  làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng AM vuông góc với

đường thẳng d nên u. AM  0 , hay
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
17
2 1  2t   5  3  5t   4.4t  0  t  .
45
 11 10 68 
Vậy M  ;  ;  .
 45 9 45 

 x  1  2t

Ví dụ 8. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d :  y  3  t biết rằng M cách đều các mặt phẳng
 t
z 
 2
tọa độ Oxy và Oyz .
Giải
 t
M  d nên tọa độ M có dạng M  1  2t ;3  t;  . Khoảng cách từ M đến các mặt phẳng tọa
 2
t
độ Oxy và Oyz lần lượt là và 1  2t . Các khoảng cách này bằng nhau khi và chỉ khi
2
 2
 t
t 3
 1  2t   .
2 t   2
 5
 1 11 1   1 17 1 
Do đó M  ; ;   hoặc M   ; ;   .
3 3 3  5 5 5
 x  3  2t

Ví dụ 9. Cho điểm A 1; 2; 5 và đường thẳng d :  y  t .
 z  4  5t

1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d .
2) Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua d .
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1) Giả sử H là hình chiếu vuông góc của A lên d . Vì H  d nên tọa độ của H có dạng
 
H  3  2t ; t; 4  5t  , suy ra AH  2t  2; t  2;5t  1 . Lại có AH  d nên AH vuông góc với

véc-tơ chỉ phương u  2; 1;5  của, điều này có nghĩa là
  1
u. AH  0  2  2t  2   1 t  2   5  5t  1  0  t   .
10
 16 1 9
Suy ra H  ; ;   .
 5 10 2 
2) A ' đối xứng với A qua d khi và chỉ khi A ' đối xứng với A qua H . Từ đây suy ra
 27
 x A'  2 xH  x A  5

 9
 y A'  2 yH  yA   .
 5
 z A '  2 z H  z A  4


 27 9 
Vậy A '  ;  ; 4  .
 5 5 
 Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tham số đường thẳng d trong các trường hợp sau

1) d đi qua điểm M  3;5;1 và nhận u  1; 65 ;7  là véc-tơ chỉ phương.
2) d đi qua hai điểm A  3; 4;9  , B 14; 2; 0  .
3) d đi qua điểm M  9;12;8  và song song với đường thẳng d ' : 5x  y24  z11 .
4) d đi qua điểm M  2;13;5  và song song với trục Oz .
5) d đi qua điểm M  72 ; 2; 2  và vuông góc với mặt phẳng tọa độ yOz .
 x  1  52 t

Bài 2. Cho d :  y  23  t . Tìm điểm M biết rằng
z  1 t

1) M  d , M có hoành độ bằng 3 .
2) M  d , M có hoành độ bằng hai lần tung độ.
 
3) M  d , MA  u 1; 2; 34  . Ở đây, A   1; 2; 4  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
4) M đối xứng với N 1; 2; 6  qua d .
5) M  d , M cách đều hai mặt phẳng tọa độ  xOy  và  yOz  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Loại 2. Các dạng bài toán lập phương trình đường thẳng
 Nội dung phương pháp
Trong phần này, chúng tôi phân loại các dạng bài toán lập phương trình đường thẳng. Qua đó,
bạn đọc sẽ có “bức tranh chung” về dạng toán này.
Bài toán Phương pháp giải
  
Bài toán 1. Viết phương trình đường Xác định véc-tơ chỉ phương của  là u  u , u  ,
 1 1
thẳng  đi qua điểm A và vuông góc  
trong đó u1 , u2 theo thứ tự là véc-tơ chỉ phương của
với hai đường thẳng d1 , d 2 ( d1 , d 2
hai đường thẳng d1 , d 2 .
không song song, cũng không trùng
nhau).
Bài toán 2. Viết phương trình đường  là giao tuyến của hai mặt phẳng  A; d1  và  A; d 2 
thẳng  đi qua điểm A và cắt cả hai   
nên  nhận u  u1 , u1  làm véc-tơ chỉ phương. Ở đây,
đường thẳng d1 , d 2 (  không cắt cả
 
u1 , u2 theo thứ tự là véc-tơ chỉ phương của hai đường
d1 lẫn d 2 ).
thẳng d1 , d 2 .
Bài toán 3. Viết phương trình đường Xác định giao điểm M của  với d1 bằng cách sử
thẳng  đi qua điểm A , cắt đường   
dụng điều kiện u. AM ( u là véc-tơ chỉ phương của
thẳng d1 và vuông góc với đường
d 2 ). Đường thẳng  chính là đường thẳng AM
thẳng d 2 (hai đường thẳng d1 , d 2 có
thể trùng nhau).
Bài toán 4. Viết phương trình đường Xác định các điểm A  d1 , B  d 2 sao cho AB  d1 ,
vuông góc chung  của hai đường AB  d 2 . Khi đó  chính là đường thẳng AB .
thẳng chéo nhau d1 , d 2 .
Bài toán 5. Viết phương trình đường Tìm các điểm A  d1 và B  d 2 sao cho AB  d . Khi đó
thẳng  song song với đường thẳng  chính là đường thẳng AB .
d , cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 .
Bài toán 6. Viết phương trình đường Xác định các giao điểm A , B của các đường thẳng d1 ,
thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  và d 2 với mặt phẳng  P  . Khi đó đường thẳng  chính là
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 (giả thiết đường thẳng AB .
rằng d1 và d 2 cắt  P  ).
Bài toán 7. Viết phương trình đường  chính là đường thẳng đi qua A , có véc-tơ chỉ
   
thẳng  đi qua điểm A , nằm trong phương là v   n, u  . Trong đó, n là véc-tơ pháp tuyến
 
hoặc song song với mặt phẳng  P  và 
của mặt phẳng  P  , u là véc-tơ chỉ phương của đường
vuông góc với đường thẳng d .
thẳng d .
Bài toán 8. Viết phương trình đường Giả sử đường thẳng  cắt các đường thẳng d1 , d 2 lần
thẳng  vuông góc với mặt phẳng 
lượt tại A , B . Ta tìm A , B từ điều kiện véc-tơ AB
 P  và cắt cả hai đường thẳng chéo cũng phương với véc-tơ pháp tuyến n của mặt phẳng
nhau d1 , d 2 .
 
P .
Bài toán 9. Viết phương trình đường Gọi B là giao điểm của đường thẳng  với đường
thẳng  đi qua điểm A , song song với thẳng d . Xác định tọa độ điểm B từ điều kiện đường
mặt phẳng  P  và cắt đường thẳng d . thẳng  vuông góc với mặt phẳng  P  . Đường thẳng
 chính là đường thẳng AB .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. (Bài toán 1) Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm A  2; 1;1 và vuông góc
x  2  t
x 1 y  2 z  2 
với hai đường thẳng d1 :   , d 2 :  y  3  2t .
1 1 2 z  0

Giải
 
Các đường thẳng d1 , d 2 lần lượt có véc-tơ phương u1  1;1; 2  , u2 1; 2;0  (hai véc-tơ này
không cùng phương).  vuông góc với cả d1 , d 2 nên có véc-tơ chỉ phương
   
u  u1 , u2    4; 2;1 cùng phương với véc-tơ v  4;2; 1 .  còn đi qua điểm A  2; 1;1 . Vậy
x  2 y  1 z 1
:   .
4 2 1
Ví dụ 2. (Bài toán 2) Cho điểm A  3;1; 2  và hai đường thẳng
x2 y 2 z3 x  3 y 1 z  2
d1 :   , d2 :   .
3 4 1 1 1 4
Lập phương trình đường thẳng  đi qua A đồng thởi cắt cả d1 và d 2 .
Giải

Đường thẳng d1 chứa điểm M 1  2; 2;3 và nhận u1  3;4;1 làm véc-tơ chỉ phương.

Đường thẳng d 2 chứa điểm M 2  3;1; 2  và nhận u2  1;1; 4  làm véc-tơ chỉ phương.
Đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng  A; d1  và  A; d 2  .
  
Mặt phẳng  A; d1  có véc-tơ pháp tuyến n1   AM 1 , u1    7; 8;11 .
  
Mặt phẳng  A; d 2  có véc-tơ pháp tuyến n2   AM 2 , u2    4; 20; 6  cùng phương với véc-tơ

m  2; 10;3 .
  
Vậy đường thẳng  có véc-tơ chỉ phương là u   n1 , m    86; 43;86  cùng phương với véc-tơ
 2;1; 2  .  còn đi qua điểm A  3;1; 2  nên
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
x  3 y 1 z  2
:   .
2 1 2
 x  3  2t

Ví dụ 3. (Bài toán 3) [ĐHB04] Cho điểm A  4; 2; 4  và đường thẳng d :  y  1  t . Viết
 z  1  4t

phương trình đường thẳng  cắt và vuông góc với đường thẳng d .
Giải
Giả sử  cắt d tại điểm M . M thuộc d nên tọa độ có dạng M  3  2t ;1  t ; 1  4t  , véc-tơ
 
AM có tọa độ là AM  2t  1; t  3; 4t  5  . Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d khi
 
và chỉ khi véc-tơ AM vuông góc với véc-tơ chỉ phương u  2; 1;4  của đường thẳng d , tức là
 
u. AM  0  2  2t  1   t  3  4  4t  5   0  t  1 .

Suy ra AM  3;2; 1 và
 x   4  4t

 :  y  2  2t .
z  4  t

Ví dụ 4. (Bài toán 4) Viết phương trình đường vuông góc chung  của hai đường thẳng
x  1 t x  1 t '
 
d1 :  y  2  2t và d1 :  y  3  2t ' .
 z  3t z  1
 
Giải
 
Các đường thằng d1 , d 2 có véc-tơ chỉ phương lần lượt là u1  1;2;3 , u2 1; 2;0  .
Giả sử  cắt d1 , d 2 lần lượt tại A , B . Tọa độ của A , B có dạng A 1  t ; 2  2t ;3t  ,
B 1  t ';3  2t ';1 .  là đường vuông góc chung của d1 , d 2 khi và chỉ khi
 
u1. AB  0 1 t  t '  2  2t  2t ' 1  3  3t  1  0
    .
u
 2 . AB  0 
1  t  t '   2  2 t  2t '  1  0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1 1  2 8    2 1  
Giải hệ trên ta được t  , t '  . Suy ra A  ; ;1 , AB  ; ; 0  . AB cùng phương với
3 15 3 3  5 5 

u  2;1;0  . Vậy
 2
 x  3  2t

 8
 :  y  1 .
 3
z  1


Ví dụ 5. (Bài toán 5) Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng
x  1 t x  1 t '
x y 1 z  5  
d:   và cắt cả hai đường thẳng d1 :  y  3  2t và d 2 :  y  7  2t ' .
3 1 1  z  2t z  4
 
Giải
Giả sử  cắt các đường thẳng d1 , d 2 lần lượt tại các điểm A , B suy ra tọa độ hai điểm này có
dạng A 1  t ; 3  2t; 2t  , B 1  t '; 7  2t '; 4  . Đường thẳng  song song với đường thẳng d nên
 
véc-tơ AB  t ' t ; 2t ' 2t  10;4  2t  cùng phương với véc-tơ chỉ phương u  3; 1;1 . Do đó
t ' t 2t ' 2t  10 4  2t
  .
3 1 1
Hệ điều kiện nói trên tương đương với
t ' t  6
 .
t ' 2t  7
Giải hệ nói trên ta được t '  5 , t  1 . Từ đây suy ra A  0; 1; 2  . Dễ thấy A  d nên đường thẳng

 tồn tại. Đường thẳng  đi qua A và nhận u làm véc-tơ chỉ phương nên
x y 1 z  2
:   .
3 1 1
Ví dụ 6. (Bài toán 6) Viết phương trình đường  nằm trong mặt phẳng  P  : y  2 z  0 và cắt
x  1 t x  2  s
 
cả hai đường thẳng d1 :  y  t , d 2 :  y  4  2s .
 z  4t z  1
 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Giải
Gọi A , B lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng d1 , d 2 với mặt phẳng  P  . Điểm A
thuộc d1 nên tọa độ có dạng A 1  t; t ; 4t  . A còn thuộc mặt phẳng  P  nên t  2.4t  0 , suy ra
t  0 , A 1; 0; 0  . Tương tự như vậy, điểm B có tọa độ dạng B  2  s; 4  2s;1 , B thuộc mặt
phẳng  P  nên 4  2 s  2.1  0 , suy ra s  3 , B  5; 2;1 . Vậy
x 1 y z
:   .
5 2 1
Ví dụ 7. (Bài toán 7) Cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  9  0 và đường thẳng
x 1 y  3 z  3
d:   .
1 2 1
1) Tìm giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng  P  .
2) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , nằm trong mặt phẳng  P  và vuông góc với
đường thẳng d .
Giải
1) Phương trình tham số của đường thẳng d là
x  1 t

d :  y  3  2t .
z  3  t

Điểm A thuộc đường thẳng d nên tọa độ A có dạng A 1  t ; 3  2t ;3  t  . Điểm A còn thuộc
mặt phẳng  P  nên 2 1  t    3  2t   2  3  t   9  0 . Giải phương trình này ta được t  1 .
Vậy A  0; 1; 4  .

2) Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  ,  P  có véc-tơ pháp tuyến n  2;1; 2  . Suy ra

n  2;1; 2  là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Lại có đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d , d có véc-tơ chỉ phương u  1;2;1 . Suy

ra n  2;1; 2  là một véc-tơ pháp tuyến của  .
   
Vậy  có véc-tơ pháp tuyến v   n, u    5;0;5  cùng phương với v '  1;0;1 . Do đó
x  t

 :  y  1 .
z  4  t

Ví dụ 8. (Bài toán 8) Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng
 x  1  2t
x y 1 z  2 
 P  : 7 x  y  4 z  0 và cắt cả hai đường thẳng d1 :   và d 2 :  y  1  t .
2 1 1 z  3

Giải
 x  2s

Phương trình tham số của đường thẳng d1 là d1 :  y  1  s . Gọi A , B lần lượt là giao điểm
 z  2  s

của  với d1 , d 2 suy ra tọa độ A , B có dạng A  2s;1  s; 2  s  , B  1  2t ;1  t ;3 và
 
AB  2t  2 s  1; t  s;  s  5  . Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  P  nên AB cùng

phương với véc-tơ pháp tuyến n  7;1; 4  của  P  , tức là
2t  2 s  1 t  s  s  5 5t  9s  1 s  1
      .
7 1 4 4t  3s  5 t  2
 x 1 y z  1
Suy ra A  2; 0; 1 , AB  7; 1;4  . Vậy  :   .
7 1 4
Ví dụ 9. (Bài toán 9) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A  3; 2; 4  song song mặt
x  2 y  4 z 1
phẳng  P  : 3x  2 y  3z  7  0 và cắt đường thẳng d :   .
3 2 2
Giải
Ký hiệu f  x; y; z  là vế trái của phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  . Vì f  A   0 nên
A   P  . Do đó đường thẳng  thỏa mãn yêu cầu bài toán tồn tại duy nhất.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
 x  2  3t

Đường thẳng d có phương trình tham số là d :  y  4  2t .
 z  1  2t

Giả sử đường thẳng  cắt đường thẳng d tại điểm B . Vì B thuộc đường thẳng d nên tọa độ

B có dạng B  2  3t ; 4  2t;1  2t  , suy ra AB  3t  1; 2t  6; 2t  5  . Đường thẳng  song song
 
với mặt phẳng  P  nên véc-tơ AB  3t  1; 2t  6; 2t  5  vuông góc với véc-tơ n  3; 2; 3 của
mặt phẳng  P  , suy ra
6
3  3t  1  2  2t  6   3  2t  5   0  t  .
7
  11 54 47   
Suy ra AB  ;  ;  , AB cùng phương với u 11; 54; 47  . Vậy
7 7 7 
x 3 y  2 z  4
:   .
11 54 47
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
 Bài tập
Bài 1. (Bài toán 1) Cho đường thẳng d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  0 ,
x  2  t

 Q  : x  y  1  0 và d 2 :  y  1  t . Viết phương trình đường thẳng  qua M 1; 2; 3 và
 z  1  2t

vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 .
 y  1 t

Đáp số:  :  y  2  t .
 z  3

Bài 2. (Bài toán 2) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A 1; 1;1 và cắt cả hai đường
 x  1  2t
 x y 1 z  2
thẳng d1 :  y  t , d2 :   .
z  3  t 1 2 1

x 1 y  1 z 1
Đáp số:  :   .
6 1 7
Bài 3. (Bài toán 3) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A  4; 2; 4  cắt và vuông góc
 x  3  2t

với đường thẳng d :  y  1  t .
 z  1  4t

x4 y2 z4
Đáp số:  :   .
3 2 1
Bài 4. (Bài toán 3) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A 1; 2;3 , vuông góc với
x2 y2 z3 x 1 y 1 z  2
đường thẳng d1 :   và cắt đường thẳng d 2 :   .
2 1 1 1 2 1
x 1 y  2 z  3
Đáp số:  :   .
1 3 5
Bài 5. (Bài toán 3) [ĐHD06] Cho điểm A 1; 2;3 và hai đường thẳng
x2 y2 z3 x 1 y 1 z 1
d1 :   , d2 :   .
2 1 1 1 2 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1) Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 .
2) Viết phương trình đường thẳng  qua A , vuông góc với d1 và cắt d 2 .
Bài 6. (Bài toán 4) Viết phương trình đường vuông góc chung  của hai đường thẳng
x  2  t  x   2  2t '
 
d1 :  y  2  t , d1 :  y  8  2t ' .
 z  2t  z  t '
 
Bài 7. (Bài toán 7) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A 1;1; 2  song song với mặt
x  1 y 1 x  2
phẳng  P  : x  y  z  1  0 và vuông góc với đường thẳng d :   .
2 1 3
x 1 y 1 z  2
Đáp số:  :   .
2 1 3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Loại 3. Một số bài toán về góc
x y2 z
Ví dụ 1. Cho mặt phẳng  P  : x  y  z  5  0 và đường thẳng  :   . Lập phương
1 2 2
trình đường thẳng d đi qua điểm A  3; 1;1 , nằm trong mặt phẳng  P  và tạo với  P  góc 45 .
x  3  t  x  3  7t
 
Đáp số: d :  y  1  t hoặc d :  y  1  18t .
z  1  z  1  15t
 
 x  t

Ví dụ 2. Cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  2  0 và đường thẳng  :  y  1  2t . Lập phương
z  2  t

trình mặt phẳng  Q  chứa đường thẳng  và tạo với  P  một góc nhỏ nhất.
Đáp số:  Q  : x  y  z  3  0 .
Ví dụ 3. Cho đường thẳng d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng x  y  2  0 và y  z  2  0 . d 2
x  2 y 3 z 5
là đường thẳng có phương trình d 2 :   . Viết phương trình mặt phẳng chứa d1
2 1 1
và tạo với d 2 góc 60 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 20