Phương pháp tính khoảng cách trong không gian
- 6 trang
- file .doc
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung TiÕn
ĐỀ TÀI: MỘT PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một trong những loại toán
hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học.
Khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không biết hướng giải quyết.
- Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo và gợi
cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp loại toán này. Tôi mạo muội trình bày suy
nghĩ của mình trong việc giải các bài toán tính khoảng cách trong hình học không
gian dưới dạng một bài viết nhỏ, với hy vọng phần nào giúp các em học sinh không
lúng túng khi gặp dạng toán này.
Nội dung đề tài bao gồm:
+ Phần I: Lý thuyết
+ Phần II: Bài tập
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. LÝ THUYẾT:
1. Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:
Trong không gian cho mp(P) và một điểm M không nằm trên mp(P), để xác định
khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau:
Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với mp(P)
Bước 2: Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp(Q)
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H MH mp(P) d(M;(P)) = MH
2. Bổ đề (*): Cho mp(P) và 2 điểm A, H không nằm trên (P). Gọi I = AH (P) khi
đó ta có: =
3. Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
+) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau
TH1: a và b vuông góc với nhau
+) Chọn điểm M nằm trên a (thuận lợi nhất) kẻ MH b mp(a,H) b
Kẻ HK a d(a,b) = HK
TH2: a và b bất kỳ
+) Dựng mp() chứa b và song song với a, d(a,b) = d(a,()) = d(M,()), trong đó M
là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a
4. Các kỹ năng xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình chóp:
+) Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếu của
đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mp đó và đáy.
+) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy một
góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy
+) Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của
đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
II. BÀI TẬP:
1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung TiÕn
Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh
bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
Giải:
S
H
A B
I
O
D C
\S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD). Qua O kẻ OI vuông góc với AB
(SOI) (SAB). Kẻ OH SI OH (SAB) d(O;(SAB)) = OH
Ta có: AC = BD = a, OI = . Xét SAO ta có: SO = SA - AO =
Xét SOI: = + = OH = a
Vậy: d(O; (SAB)) = a.
Bình luận:
1. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm
như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra
d(C;(SAB))
Ta có: = = 2 d(C;(SAB)) = 2a
2. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SC
đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra
d(K;(SAB))
Ta có OK∥(SAB) d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a
Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến
mặt bên của khối chóp như sau:
- Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng bổ đề
(*) để suy ra khoảng cách cần tính.
Bài tập 2( ĐH_D_2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a, SBC=30. Tính
khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
Giải:
Kẻ SH BC SH (ABC). Xét SHB ta có: SH = SB.sin30 = a;
BH = SB.cos30 = 3a
Qua H kẻ HI AC tại I S
(SHI) (SAC). Kẻ HK SI tại K
HK (SAC)
d(H;(SAC)) = HK
Ta có CHI∽CAB(g-g) K
HI = =
A I
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung TiÕn
= + = HK =
d(H;(SAC)) = C
Mà = = 4 d(B;(SAC)) = B H
Bài tập 3(ĐH_D_2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC=BAD
= 90, BA=CB=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi H là hình
chiếu của A lên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a.
Giải: S
Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD
ACD vuông tại C hay AC CD
H K
(SAC) (SCD).
Kẻ AI vuông góc SC tại I A D
AI (SCD) d(A;(SCD)) = AI
Ta có: AC = AB + BC = 2a
= + =
AI = a d(A;(SCD)) = a B C
Nối AB cắt CD tại K B là trung điểm của AK
= =
d(B;(SCD)) =
= = = = d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) =
Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải trên mà ta gặp bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm
đến mặt phẳng mà mặt phẳng đó chứa đường cao của khối chóp ta sẻ làm như thế
nào?
Bài tập 4(ĐH_B_2011). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình
chử nhật. AB=a, AD=a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với
giao điểm của AC và BD. Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60. Tính khoảng
cách từ điểm B’ đến mp(A’BD).
Giải:
B’ C’
A’
D’
B
C
O H
A D
Gọi O là giao điểm của AC và BD A’O (ABCD)
Gọi E là trung điểm của AD OE AD, A’E AD
A’EO là góc giữa mp(ADD’A’) và mp(ABCD) A’EO = 60
A’O = OE.tanA’EO = .tan60 =
Ta có B’C ∥(A’BD)
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung TiÕn
d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD))
Kẻ CH BD tại H CH (A’BD) d(C;(A’BD)) = CH
Mà = + = CH =
Vậy d(B’;(A’BD)) =
Bình luận: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó đến
mp() chứa đường cao của khối chóp như sau:
Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp() và mặt đáy
Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ
điểm M đến mp(), bằng cách kẻ MH d tại M MH () d(M;()) = MH
Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra
Bài tập 5( Đề thi thử ĐH_Trường THPT Cao Thắng_2012). Cho hình chóp S.ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=a. Gọi I là trung điểm của BC,
hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc giữa SC và
mp(ABC) bằng 60. Tính khoảng cách từ trung điểm E của SB đến mp(SAH).
Giải:
BC = AB + AC = 4a BC = 2a BI = a
Kẻ BK vuông góc với AH tại K BK (SAH)
d(B;(SAH)) = BK
Mà = + =
d(B;(SAH)) = BK = S
= =
d(E;(SAH)) =
I H
B K C
A
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài tập 1(ĐH_A_2010). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN
và DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH=a. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng DM và SC.
Giải:
Ta có: CDN = DAM CN DM; mặt khác SH DM DM (SCN)
DM SC.
Kẻ HK SC HK DM
d(HK, DM) = HK
Ta có S = S - S - S = S
Mặt khác S = CH.DM
CH = = K
B
= + = C
M H
HK = d(DM, SC) = D
N
Bài tập 2(ĐH_A_2011). Cho hình chóp S.ABC A có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SN theo a.
ĐỀ TÀI: MỘT PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một trong những loại toán
hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học.
Khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không biết hướng giải quyết.
- Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo và gợi
cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp loại toán này. Tôi mạo muội trình bày suy
nghĩ của mình trong việc giải các bài toán tính khoảng cách trong hình học không
gian dưới dạng một bài viết nhỏ, với hy vọng phần nào giúp các em học sinh không
lúng túng khi gặp dạng toán này.
Nội dung đề tài bao gồm:
+ Phần I: Lý thuyết
+ Phần II: Bài tập
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. LÝ THUYẾT:
1. Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:
Trong không gian cho mp(P) và một điểm M không nằm trên mp(P), để xác định
khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau:
Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với mp(P)
Bước 2: Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp(Q)
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H MH mp(P) d(M;(P)) = MH
2. Bổ đề (*): Cho mp(P) và 2 điểm A, H không nằm trên (P). Gọi I = AH (P) khi
đó ta có: =
3. Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
+) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau
TH1: a và b vuông góc với nhau
+) Chọn điểm M nằm trên a (thuận lợi nhất) kẻ MH b mp(a,H) b
Kẻ HK a d(a,b) = HK
TH2: a và b bất kỳ
+) Dựng mp() chứa b và song song với a, d(a,b) = d(a,()) = d(M,()), trong đó M
là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a
4. Các kỹ năng xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình chóp:
+) Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếu của
đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mp đó và đáy.
+) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy một
góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy
+) Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của
đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
II. BÀI TẬP:
1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung TiÕn
Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh
bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
Giải:
S
H
A B
I
O
D C
\S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD). Qua O kẻ OI vuông góc với AB
(SOI) (SAB). Kẻ OH SI OH (SAB) d(O;(SAB)) = OH
Ta có: AC = BD = a, OI = . Xét SAO ta có: SO = SA - AO =
Xét SOI: = + = OH = a
Vậy: d(O; (SAB)) = a.
Bình luận:
1. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm
như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra
d(C;(SAB))
Ta có: = = 2 d(C;(SAB)) = 2a
2. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SC
đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra
d(K;(SAB))
Ta có OK∥(SAB) d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a
Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến
mặt bên của khối chóp như sau:
- Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng bổ đề
(*) để suy ra khoảng cách cần tính.
Bài tập 2( ĐH_D_2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a, SBC=30. Tính
khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
Giải:
Kẻ SH BC SH (ABC). Xét SHB ta có: SH = SB.sin30 = a;
BH = SB.cos30 = 3a
Qua H kẻ HI AC tại I S
(SHI) (SAC). Kẻ HK SI tại K
HK (SAC)
d(H;(SAC)) = HK
Ta có CHI∽CAB(g-g) K
HI = =
A I
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung TiÕn
= + = HK =
d(H;(SAC)) = C
Mà = = 4 d(B;(SAC)) = B H
Bài tập 3(ĐH_D_2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC=BAD
= 90, BA=CB=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi H là hình
chiếu của A lên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a.
Giải: S
Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD
ACD vuông tại C hay AC CD
H K
(SAC) (SCD).
Kẻ AI vuông góc SC tại I A D
AI (SCD) d(A;(SCD)) = AI
Ta có: AC = AB + BC = 2a
= + =
AI = a d(A;(SCD)) = a B C
Nối AB cắt CD tại K B là trung điểm của AK
= =
d(B;(SCD)) =
= = = = d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) =
Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải trên mà ta gặp bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm
đến mặt phẳng mà mặt phẳng đó chứa đường cao của khối chóp ta sẻ làm như thế
nào?
Bài tập 4(ĐH_B_2011). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình
chử nhật. AB=a, AD=a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với
giao điểm của AC và BD. Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60. Tính khoảng
cách từ điểm B’ đến mp(A’BD).
Giải:
B’ C’
A’
D’
B
C
O H
A D
Gọi O là giao điểm của AC và BD A’O (ABCD)
Gọi E là trung điểm của AD OE AD, A’E AD
A’EO là góc giữa mp(ADD’A’) và mp(ABCD) A’EO = 60
A’O = OE.tanA’EO = .tan60 =
Ta có B’C ∥(A’BD)
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung TiÕn
d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD))
Kẻ CH BD tại H CH (A’BD) d(C;(A’BD)) = CH
Mà = + = CH =
Vậy d(B’;(A’BD)) =
Bình luận: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó đến
mp() chứa đường cao của khối chóp như sau:
Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp() và mặt đáy
Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ
điểm M đến mp(), bằng cách kẻ MH d tại M MH () d(M;()) = MH
Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra
Bài tập 5( Đề thi thử ĐH_Trường THPT Cao Thắng_2012). Cho hình chóp S.ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=a. Gọi I là trung điểm của BC,
hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc giữa SC và
mp(ABC) bằng 60. Tính khoảng cách từ trung điểm E của SB đến mp(SAH).
Giải:
BC = AB + AC = 4a BC = 2a BI = a
Kẻ BK vuông góc với AH tại K BK (SAH)
d(B;(SAH)) = BK
Mà = + =
d(B;(SAH)) = BK = S
= =
d(E;(SAH)) =
I H
B K C
A
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài tập 1(ĐH_A_2010). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN
và DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH=a. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng DM và SC.
Giải:
Ta có: CDN = DAM CN DM; mặt khác SH DM DM (SCN)
DM SC.
Kẻ HK SC HK DM
d(HK, DM) = HK
Ta có S = S - S - S = S
Mặt khác S = CH.DM
CH = = K
B
= + = C
M H
HK = d(DM, SC) = D
N
Bài tập 2(ĐH_A_2011). Cho hình chóp S.ABC A có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SN theo a.