Phương pháp tích phân từng phần
- 14 trang
- file .pdf
Phương pháp tích phân từng phần
A. Tóm tắt lý thuyết
Công thức tích phân từng phần:
u x d v x u x v x v x d u x ;
b b b
u x d v x u x v x v x d u x .
a a a
Vài tình huống gợi ý việc sử dụng công thức tích phân từng phần:
Tích phân v x d u x dễ tính hơn tích phân u x d v x ;
Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa u ' x dx ;
Biểu thức v ' x đơn giản.
B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Tích phân từng phần có quy tắc
Nội dung phương pháp
Quy tắc khử đa thức
Xét các tích phân I1 P x eax dx , I 2 P x sin axdx , I3 P x cos axdx , trong đó
P x là một hàm đa thức, a là hằng số khác 0 . Ba tích phân nói trên có cách tính tương tự,
sau đây ta nêu cách tính I1 .
1 1 1
I1
a
P x d eax P x e ax e ax d P x P x e ax e ax P ' x dx .
a a
Việc tính I1 được quy về tính tích phân J e ax P ' x dx . Đa thức dưới dấu tích phân J là
P ' x có bậc thấp hơn đa thức dưới dấu tích phân I1 một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho
đến khi đa thức dưới dấu tích phân bị khử hoàn toàn.
Cách tích phân I 2 , I3 cũng được tính một cách tương tự.
Quy tắc khử Lô-ga
Xét tích phân I P x ln k xdx . Ta có I ln k xdF x , trong đó F x là một nguyên hàm
của P x . Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
F x k 1
I ln k xF x F x ln k x ' dx ln k xF x k ln xdx .
x
F x
Ta luôn có thể chọn F x sao cho F x có nhân tử là x , do đó biểu thức thực chất
x
F x k 1
là một đa thức đồng bậc với P x . Như vậy, so với I thì J ln xdx có lũy thừa
x
của Lô-ga nhỏ hơn một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho đến khi biểu thức Lô-ga bị khử
hoàn toàn.
Xét hai tích phân I1 eax sin bxdx và I 2 eax cos bxdx . Hai tích phân nói trên có
phương pháp tính tương tự. Dưới đây, ta chỉ xét I1 .
1 1 1
I1 sin bxd eax sin bxeax eax d sin bx sin bxeax b eax cos bxdx
a a a
1 b 1 b
sin bxe ax e ax cos bxdx sin bxe ax 2 cos bxd eax
a a a a
1 b 1 b b2
sin bxe ax 2 cos bxeax e ax d cos bx sin bxe ax 2 cos bxeax 2 e ax sin bxdx
a a a a a
1 b b2
sin bxe ax 2 cos bxe ax 2 I1 .
a a a
Từ đó, ta tính được I1 .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân sau:
1
1) [ĐHD06] I x 2 e2 x dx .
0
ln3
2) J x 2 2 x e x dx .
1
Giải
1 1 1
1 1 1 1 2
1) I x 2
d e 2x
x 2 e 2x
e 2x
d x 2
e 2 e2 x dx
20 2 0 0 2 0
1 2 1 2x 1 1 2 1 2 3 2 5
e 2 e e 2 e 1 e .
2 2 0 2 2 4 4
2) Ta có
ln3 ln3 ln 3 ln 3
J x 2 2 x de x x 2 2 x e x e x d x 2 2 x 3 ln 2 3 2ln 3 e 2 x 1 e x dx .
1
1 1
1
K
Lại có
2
ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
K x 1 de x x 1 e x e x d x 1 3 ln 3 1 e x 3ln 3 6 e .
1 1 1 1
Do đó
I 3 ln 2 3 2 ln 3 e 2 3ln 3 6 e 3ln 2 3 12 ln 3 12 e .
Ví dụ 2. Tính tích phân sau:
4
1) I x 2 4 x 3 sin 2 xdx ;
0
2
2) J 2 x 1 cos 2 xdx .
0
Giải
1) Ta có
4
4
1 1 2 4
I x 4 x 3 d cos 2 x x 4 x 3 cos 2 x cos 2 xd x 4 x 3
2 2
20 2 0 0
3 4 3 14
x 2 cos 2 xdx x 2 d sin 2 x
2 0 2 20
4
3 1 4
x 2 sin 2 x sin 2 xd x 2
2 2 0 0
3 1 1 4 3 1 1 1
2 cos 2 x 2 .
2 24 2 0 2 24 2 8 4
1 cos2x
b. Vì : cos 2 x . Cho nên :
2
2 2 2 2
1 cos2x 1 1
I 2 x 1 cos 2 xdx 2 x 1 dx x dx 2 x 1 cos2xdx
0 0 2 0
2 20
2 2
2
1 2 1 1 1
x x 2 2 x 1 d sin 2 x 2 x 1 sin 2 x 2 sin 2 x.2 dx
2 2
0
20 8 4 2
0 0
2 1 2
= 0 cos2x 2 1
8 4 2 8 4
0
* Chú ý :
3
Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau :
- Bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của P(x) cao
nhất là 2 thì ta phải láy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết quả .
- Tổng quát : Nếu gặp phải các tích phân có dạng : P ( x) sin axdx P x cos naxdx . Ta
n
phải sử dụng các công thức hạ bậc :
1 cos2x 1 cos2x 3sin x sin 3 x 3cos x cos3x
Như : sin 2 x ; cos 2 x ;sin 3 x ; cos3 x
2 2 4 4
Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm dược nhờ các gợi
ý đã biết .
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
1
a.
x 2 x 3x 1 dx
3 2 1
2
b. x3 e x dx .
2x
0
e 0
2
x2ex
c. 2
dx . ( Cao đẳng GTVT-2004 )
0 x 2
Giải
1
a.
x 2 x 3x 1 dx
3 2
0
e2 x
dx 2
- Đặt : u x 3 2 x 2 3 x 1 du 3 x 2 4 x 3 dx ; dv 2x
v 2 x . Thay vào (*)
e e
2 1 1 3x 2 4 x 3 6
- 2 x x3 2 x 2 3 x 1 2 2x dx 2 2 2 J 1 . Tương tự : Ta tính J .
e 0 0 e e
dx 2
- Đặt : u1 3 x 2 4 x 3 du1 6 x 4 dx ; dv1 2x
v1 2 x . Do đó :
e e
1
2 1 6x 4 4
J 2 x 3 x 2 4 x 3 2 2 x dx 6 2 2 K 2 .
e 0 0 e e
1
6x 4
- Ta tính K dx .
0
e2 x
dx 2
+/ Đặt : u2 6 x 4 du2 6dx ; dv2 2x
v2 2 x
e e
2 1 1 6dx 6 1 1 6 1
+/ Do đó : K 2 x x 4 2 2 x 2 8 6 2 x 2 8 6 2 1 2 3
e 0 0 e e e 0 e e
4 4
- Thay (3) vào (2) : J 6 2
2(2) 2 2 . Lại thay vào (1) ta có :
e e
4
6 4 14
I 2 2
2 2 2 6 2
e e e
1 1
2 2 dt 2 xdx; x 0 t 0, x 1 t 1
b. x3 e x dx x 2e x .xdx . Đặt : t x 2 t
0 0 f ( x)dx te dt
1 1
1 1 1 1
Do đó : I t.et dt t.d et t.et et
0
20 2 0 2
2
x2ex
c. 2
dx . Ta giải bằng hai cách :
0 x 2
Cách 1.
dx 1
- Đặt : u x 2e x du 2 x.e x x 2e x dx xe x 2 x dx ; dv 2
v
x 2 x2
2 2
x 2e x
x 2e x 2 2
- Vậy : I 2
dx xe x dx e2 xe x e x 1
0 x 2
x2 0 0 0
Cách 2. ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân từng phần sau )
dt dx, x 0 t 2; x 2 t 4
2
- Đặt t x 2 t 2 et 2 .dt t 2 4 et 2 dt
f ( x ) dx
t t
4 4 4
et 2
- Suy ra : I tet 2 dt dt 4 et 2 dt J K 4 L 1 .
2 2
t 2
- Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được .
* Chú ý : Qua ví dụ 3 ta có một số nhân xét quan trọng sau
eax
- Đối với tích phân có dạng : I dx , ta vẫn có thể áp dụng cách giải của dạng tích
P ( x )
phân I P ( x)e ax dx được .
- Ta có thể kết hợp cả hai phương pháp : đổi biến số và tích phân từng phần . Nghĩa là trước
khi lấy tích phân từng phần , ta đổi biến số .
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
4 2
a. x 2 4 x 3 sin 2 xdx b. x.sin 2 xdx
0 0
4 2
x
c. dx d. x 2 cosxdx
0
cos 2 x 0
Giải
5
4
a. x 2 4 x 3 sin 2 xdx
0
1
- Đặt : u x 2 4 x 3 du 2 x 4 dx , dv sin 2 xdx v cos2x . Thay vào (*)
2
1 14 3 1
- I cos2x x 4 x 3 4 2 x 4 cos2xdx J 1
2
2 20 2 2
0
4 4
4
1 1
- Tính : J 2 x 4 cos2xdx 2 x 4 d sin 2 x sin 2 x 2 x 4 4 2sin 2 xdx
20 2
0 0 0
1 5 3 1 5 4
4 cos2x 4 . Thay vào (1) . I .
2 4 8 2 2 2 8 2 16
0
2 2
2
2
1 cos2x 1 11 2 12
dx xdx x.cos2xdx x 2 x.d sin 2 x
2
b. x.sin xdx x
0
2 2 0 2 2 20
0
0
0
2
1 2 1 1 2 1 1 2 8
x.sin 2 x 2 sin 2 xdx 0 cos2x 2 .
2 8 2 2 8 2 2 16
0 0 0
4 4 4
x 1
c. 2
dx x.d t anx x.t anx 4 t anxdx ln cosx 4 ln 2
cos x 4 4 2
0 0 0 0 0
2
d. x 2 cosxdx .
0
- Đặt : u x 2 du 2 xdx , dv cosxdx v=sinx .
2 2 2 2
2
2
Do đó : I x .sinx 2 2 x.sinxdx x.d cosx x.cosx 2 cosxdx
4 0 4
0 0 0 0
2 2 4
0 sinx 2
4 4
0
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau
e 2
a. x3 ln 2 xdx . ( KD-2007) b. ln x 2 x dx . ( KD-2004 )
1 3
6
e e
c. ln 3 xdx d. x 2 ln xdx . ( Tham khảo 2005 )
1 1
Giải
e
a. x3 ln 2 xdx .
1
dx 1
- Đặt : u ln 2 x du 2 ln x , dv x 3dx v x 4
x 4
e e
1 4 2 e 1 x4 e4 1 e4 1
- Do đó : I x .ln x 2 ln x. dx x3 ln xdx J 1 .
4 1 41 x 4 21 4 2
e
- Tính J x3 ln xdx .
1
dx 1
+/ Đặt : u1 ln x du1 , dv x3dx v x 4
x 4
1 4 e 1e 3 e4 1 e 3e 4 1
+/ Do đó : J x ln x x dx x 4 . Thay vào (1) ta có :
4 1 41 4 16 1 16
e4 1 3e 4 1 5e4 1
I .
4 2 16 32
2
b. ln x 2 x dx .
3
2x 1
- Đặt : u ln x 2 x du dx, dv dx v x .
x2 x
3 3 x 2 x 1 3
2x 2 1
- Do đó : I x.ln x 2 x dx 3ln 6 2 ln 2 dx
2 2 x x 1 2
x 1
3 3
d x 1 3
ln 54 2 dx ln 54 2 ln x 1 3ln 3 2 .
2 2
x 1 2
e
c. ln 3 xdx .
1
dx
- Đặt : u ln 3 x du 3ln 2 x , dv dx v x
x
e e e
- Do đó : I x ln 3 x 3 ln 2 xdx e 3 J 1 .Tính : J ln 2 xdx
1 1 1
2 ln x
+/ Đặt : u1 ln 2 x du1 dx, dv1 dx v1 x
x
e e e e e
+/ Do vậy : J x ln 2 x 2 ln xdx e 2 x ln x dx e 2 x ln x x e 2 .
1 1 1 1 1
7
+/ Thay vào (1) : I e 3 e 2 6 2e
e
d. x 2 ln xdx ..
1
dx 1
- Đặt : u ln x du , dv x 2dx v x 3
x 3
1 3 e 1e 2 e3 1 e 2 e3 1
- Do đó : I x ln x x dx x 3
3 1 31 3 9 1 9
* Chú ý :
Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng
phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x).
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau :
3 2
3 ln x ln x
a. 2
dx . ( KB-2009 ) b. dx . ( KD-2008 )
1 x 1 1
x3
2
ln x 1
c. dx . ( CĐ cơ khí luyện kim-2006 )
1
x2
Giải
3 3 3
3 ln x 3 ln x
a. 2
dx 2
dx 2
dx 1 .
1 x 1 1 x 1 1 x 1
3
3 3 3 3
- Với : 2
dx
1 x 1 x 1 1 4
- Với :
27
3 3 3 ln
ln x ln x 3 1 ln 3 1 1 ln 3 x 3
1 x 12 dx x 1 1 1 x x 1 dx 4 1 x x 1 dx 4 ln x 1 1 416
27 27
ln 3 ln
3 16 16
Thay vào (1) : I
4 4 4
2
ln x
b. dx .
1
x3
2
dx dx 1
- Đặt : u ln x du , dv 3 v 2
x 1
x 2x
1 2 1 2 dx ln 2 1 2 3 2 ln 2
- Do vậy : I 2 ln x 3 2
2x 1 21 x 8 4x 1 16
8
2
ln x 1 ln x 1 2 1 ln 3
2
1 1
c. 2
dx dx ln 2 dx .
1
x x 1
x x 1 2 1 x x 1
ln 3 x 2 ln 3 ln 2 3ln 3
ln 2 ln 1 ln 2 ln 3
2 x 1 2 2
ln x
* Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng : dx , vẫn có thể áp dụng cách giải cho
P( x)
tích phân dạng : I P( x ) ln xdx
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau .
1
a. x ln 1 x 2 dx . ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 )
0
3 3
ln t anx
b. x ln x 2 5 dx . CĐTCKT-2006 ) c. dx . (CĐTCHải quan -2006 )
0 sin 2 x
4
Giải
1 1 1
1 1 2 1
a. x ln 1 x 2 dx ln 1 x 2
d 1 x 2
1 x 2
ln 1 x d 1 x 2 .
0
20 2 0 0
1 2 1 2 ln 2 1
2 ln 2 1 x
2 0 2
3
b. x ln x 2 5 dx .
0
dt 2 xdx; x 0 t 5, x 3 t 14
2
- Đặt : t x 5 1
f ( x)dx x ln 5 x dx 2 ln tdt
2
14
1 1 14 14 ln14 5ln 5 11
- Do đó : I ln tdt t ln t t
25 2 5 2
3
ln t anx 1 3
1 3 1 1
c.
sin 2 x 4
dx ln t anx d ln t anx ln 2 t anx ln 2 3 0 ln 2 3 .
2 4 16
4 4
4
Cách khác :
dx dt
dt= cos 2 x 1 t dx dx 1 t 2
2
2t
- Đặt : t t anx . Với : sin 2 x
x t 1; x t 3 1 t2
4 3
9
3 3
ln t dt 1 ln t 1
- Khi đó : I 2
dt J 1
1
2t 1 t 21 t 2
1 t2
3 3
ln t 1 3 1 2 1
+/ J
1
t
dt ln t.d ln t ln 2 t
1
2
ln 3 0 ln 2 3
1 2 8
1 2
+/ Thay vào (1) ta có : I ln 3
16
* Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần .
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
2 2
a. e2 x cos3xdx b. I e3 x sin 5 xdx ( CĐKTKT-2005)
0 0
1
2
2x 2
c. e sin xdx d. (e x sin x e x x 2 )dx . ( ĐHTN-2000)
0 1
Giải
2
1
a. e2 x cos3xdx . Đặt : u= e 2 x du 2e 2 x , dv cos3xdx v= sin 3 x
0
3
1 12 1 2 2 1
- Do đó : I sin 3 x.e 2 e 2 x sin 3 xdx e J I J e 1
2x
3 30 3 3 3 3
0
2
1
- Tính J = e2 x sin 3 xdx . Đặt : u e2 x du 2e2 x dx; dv sin 3 xdx v cos3x
0
3
1 22 1 2 2 1
- Do vậy : J cos3x.e 2 e 2 x cos3xdx I J I 2
2x
3 30 3 3 3 3
0
3e 2
- Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình . Giải hệ ta có I=
13
2
1
b. I e3 x sin 5 xdx . Đặt : u e3 x du 3e3 x dx; dv sin 5 xdx v cos5x
0
5
3
1 3x 3 2 3x e2 3 3 1 3
- Do đó : I e cos5x 2 e cos5xdx J I J .e 2 1
5 50 5 5 5 5
0
10
1
- Ta lại đặt : u e3 x du 3e3 x dx; dv cos5 xdx v sin 5x
5
3
1 3x 3 2 3x e2 3 3 1 3
- Do đó : I e sin 5x 2 e sin 5xdx I J I .e 2 2
5 50 5 5 5 5
0
1 1 32
- Từ (1) và (2) ta tính được : I J .e .
4 20
1 2x 1 2x
c. e2 x sin 2 xdx e 1 c os2x dx e dx e2 x cos2xdx
0
20 2 0 0
1 2x 1 1
e e 2 x cos2xdx e 2 1 J 1
4 0 0 4 2
1
- Tính J= e2 x cos2xdx . Đặt : u e2 x du 2e2 x dx; dv cos2xdx v= sin 2 x
0
2
1 2x 1 2x 1
- Do đó : J e sin 2 x e sin 2 xdx K 2 . Ta tính K
2 0 20 2
1
- Lại đặt : u e2 x du 2e 2 x dx; dv sin 2xdx v= cos2 x
2
1 1 1
- Do đó : K e 2 x cos2 x e 2 x cos2 xdx e2 1 J K J e 2 1 3
2 0 0 2 2
1 1
Từ (2) và (3) ta tính được : J
2
1 e2 , sau đó lại thay vào (1) I e 1
2
1 0 1
2 2 2
d. (e x sin x e x x 2 )dx (e x sin x e x x 2 ) dx (e x sin x e x x 2 ) dx J K 1
1 1 0
- Tính J: Đặt t=-x suy ra dt=-dx . Khi x=0 thì t=0;x=-1 thì t=1 . Khi đó :
0 1 1
2 2 2
- J et sin t dt et sin tdt e x s inxdx J 2 J 0 J 0 .
1 0 0
+/ Tính K : Đặt u x 2 du 2 xdx; dv e x dx v e x .
1 1 x 1
1 1
+/ Do vậy : K x 2 .e x 2 x.e dx e 2 x.d e x e 2 x.e x e x dx
0 0 0 0 0
1
e 2 e e x e 2 e 1 e 2 .
0
- Vậy : I=K= e-2.
11
A. Tóm tắt lý thuyết
Công thức tích phân từng phần:
u x d v x u x v x v x d u x ;
b b b
u x d v x u x v x v x d u x .
a a a
Vài tình huống gợi ý việc sử dụng công thức tích phân từng phần:
Tích phân v x d u x dễ tính hơn tích phân u x d v x ;
Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa u ' x dx ;
Biểu thức v ' x đơn giản.
B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Tích phân từng phần có quy tắc
Nội dung phương pháp
Quy tắc khử đa thức
Xét các tích phân I1 P x eax dx , I 2 P x sin axdx , I3 P x cos axdx , trong đó
P x là một hàm đa thức, a là hằng số khác 0 . Ba tích phân nói trên có cách tính tương tự,
sau đây ta nêu cách tính I1 .
1 1 1
I1
a
P x d eax P x e ax e ax d P x P x e ax e ax P ' x dx .
a a
Việc tính I1 được quy về tính tích phân J e ax P ' x dx . Đa thức dưới dấu tích phân J là
P ' x có bậc thấp hơn đa thức dưới dấu tích phân I1 một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho
đến khi đa thức dưới dấu tích phân bị khử hoàn toàn.
Cách tích phân I 2 , I3 cũng được tính một cách tương tự.
Quy tắc khử Lô-ga
Xét tích phân I P x ln k xdx . Ta có I ln k xdF x , trong đó F x là một nguyên hàm
của P x . Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
F x k 1
I ln k xF x F x ln k x ' dx ln k xF x k ln xdx .
x
F x
Ta luôn có thể chọn F x sao cho F x có nhân tử là x , do đó biểu thức thực chất
x
F x k 1
là một đa thức đồng bậc với P x . Như vậy, so với I thì J ln xdx có lũy thừa
x
của Lô-ga nhỏ hơn một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho đến khi biểu thức Lô-ga bị khử
hoàn toàn.
Xét hai tích phân I1 eax sin bxdx và I 2 eax cos bxdx . Hai tích phân nói trên có
phương pháp tính tương tự. Dưới đây, ta chỉ xét I1 .
1 1 1
I1 sin bxd eax sin bxeax eax d sin bx sin bxeax b eax cos bxdx
a a a
1 b 1 b
sin bxe ax e ax cos bxdx sin bxe ax 2 cos bxd eax
a a a a
1 b 1 b b2
sin bxe ax 2 cos bxeax e ax d cos bx sin bxe ax 2 cos bxeax 2 e ax sin bxdx
a a a a a
1 b b2
sin bxe ax 2 cos bxe ax 2 I1 .
a a a
Từ đó, ta tính được I1 .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân sau:
1
1) [ĐHD06] I x 2 e2 x dx .
0
ln3
2) J x 2 2 x e x dx .
1
Giải
1 1 1
1 1 1 1 2
1) I x 2
d e 2x
x 2 e 2x
e 2x
d x 2
e 2 e2 x dx
20 2 0 0 2 0
1 2 1 2x 1 1 2 1 2 3 2 5
e 2 e e 2 e 1 e .
2 2 0 2 2 4 4
2) Ta có
ln3 ln3 ln 3 ln 3
J x 2 2 x de x x 2 2 x e x e x d x 2 2 x 3 ln 2 3 2ln 3 e 2 x 1 e x dx .
1
1 1
1
K
Lại có
2
ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
K x 1 de x x 1 e x e x d x 1 3 ln 3 1 e x 3ln 3 6 e .
1 1 1 1
Do đó
I 3 ln 2 3 2 ln 3 e 2 3ln 3 6 e 3ln 2 3 12 ln 3 12 e .
Ví dụ 2. Tính tích phân sau:
4
1) I x 2 4 x 3 sin 2 xdx ;
0
2
2) J 2 x 1 cos 2 xdx .
0
Giải
1) Ta có
4
4
1 1 2 4
I x 4 x 3 d cos 2 x x 4 x 3 cos 2 x cos 2 xd x 4 x 3
2 2
20 2 0 0
3 4 3 14
x 2 cos 2 xdx x 2 d sin 2 x
2 0 2 20
4
3 1 4
x 2 sin 2 x sin 2 xd x 2
2 2 0 0
3 1 1 4 3 1 1 1
2 cos 2 x 2 .
2 24 2 0 2 24 2 8 4
1 cos2x
b. Vì : cos 2 x . Cho nên :
2
2 2 2 2
1 cos2x 1 1
I 2 x 1 cos 2 xdx 2 x 1 dx x dx 2 x 1 cos2xdx
0 0 2 0
2 20
2 2
2
1 2 1 1 1
x x 2 2 x 1 d sin 2 x 2 x 1 sin 2 x 2 sin 2 x.2 dx
2 2
0
20 8 4 2
0 0
2 1 2
= 0 cos2x 2 1
8 4 2 8 4
0
* Chú ý :
3
Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau :
- Bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của P(x) cao
nhất là 2 thì ta phải láy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết quả .
- Tổng quát : Nếu gặp phải các tích phân có dạng : P ( x) sin axdx P x cos naxdx . Ta
n
phải sử dụng các công thức hạ bậc :
1 cos2x 1 cos2x 3sin x sin 3 x 3cos x cos3x
Như : sin 2 x ; cos 2 x ;sin 3 x ; cos3 x
2 2 4 4
Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm dược nhờ các gợi
ý đã biết .
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
1
a.
x 2 x 3x 1 dx
3 2 1
2
b. x3 e x dx .
2x
0
e 0
2
x2ex
c. 2
dx . ( Cao đẳng GTVT-2004 )
0 x 2
Giải
1
a.
x 2 x 3x 1 dx
3 2
0
e2 x
dx 2
- Đặt : u x 3 2 x 2 3 x 1 du 3 x 2 4 x 3 dx ; dv 2x
v 2 x . Thay vào (*)
e e
2 1 1 3x 2 4 x 3 6
- 2 x x3 2 x 2 3 x 1 2 2x dx 2 2 2 J 1 . Tương tự : Ta tính J .
e 0 0 e e
dx 2
- Đặt : u1 3 x 2 4 x 3 du1 6 x 4 dx ; dv1 2x
v1 2 x . Do đó :
e e
1
2 1 6x 4 4
J 2 x 3 x 2 4 x 3 2 2 x dx 6 2 2 K 2 .
e 0 0 e e
1
6x 4
- Ta tính K dx .
0
e2 x
dx 2
+/ Đặt : u2 6 x 4 du2 6dx ; dv2 2x
v2 2 x
e e
2 1 1 6dx 6 1 1 6 1
+/ Do đó : K 2 x x 4 2 2 x 2 8 6 2 x 2 8 6 2 1 2 3
e 0 0 e e e 0 e e
4 4
- Thay (3) vào (2) : J 6 2
2(2) 2 2 . Lại thay vào (1) ta có :
e e
4
6 4 14
I 2 2
2 2 2 6 2
e e e
1 1
2 2 dt 2 xdx; x 0 t 0, x 1 t 1
b. x3 e x dx x 2e x .xdx . Đặt : t x 2 t
0 0 f ( x)dx te dt
1 1
1 1 1 1
Do đó : I t.et dt t.d et t.et et
0
20 2 0 2
2
x2ex
c. 2
dx . Ta giải bằng hai cách :
0 x 2
Cách 1.
dx 1
- Đặt : u x 2e x du 2 x.e x x 2e x dx xe x 2 x dx ; dv 2
v
x 2 x2
2 2
x 2e x
x 2e x 2 2
- Vậy : I 2
dx xe x dx e2 xe x e x 1
0 x 2
x2 0 0 0
Cách 2. ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân từng phần sau )
dt dx, x 0 t 2; x 2 t 4
2
- Đặt t x 2 t 2 et 2 .dt t 2 4 et 2 dt
f ( x ) dx
t t
4 4 4
et 2
- Suy ra : I tet 2 dt dt 4 et 2 dt J K 4 L 1 .
2 2
t 2
- Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được .
* Chú ý : Qua ví dụ 3 ta có một số nhân xét quan trọng sau
eax
- Đối với tích phân có dạng : I dx , ta vẫn có thể áp dụng cách giải của dạng tích
P ( x )
phân I P ( x)e ax dx được .
- Ta có thể kết hợp cả hai phương pháp : đổi biến số và tích phân từng phần . Nghĩa là trước
khi lấy tích phân từng phần , ta đổi biến số .
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
4 2
a. x 2 4 x 3 sin 2 xdx b. x.sin 2 xdx
0 0
4 2
x
c. dx d. x 2 cosxdx
0
cos 2 x 0
Giải
5
4
a. x 2 4 x 3 sin 2 xdx
0
1
- Đặt : u x 2 4 x 3 du 2 x 4 dx , dv sin 2 xdx v cos2x . Thay vào (*)
2
1 14 3 1
- I cos2x x 4 x 3 4 2 x 4 cos2xdx J 1
2
2 20 2 2
0
4 4
4
1 1
- Tính : J 2 x 4 cos2xdx 2 x 4 d sin 2 x sin 2 x 2 x 4 4 2sin 2 xdx
20 2
0 0 0
1 5 3 1 5 4
4 cos2x 4 . Thay vào (1) . I .
2 4 8 2 2 2 8 2 16
0
2 2
2
2
1 cos2x 1 11 2 12
dx xdx x.cos2xdx x 2 x.d sin 2 x
2
b. x.sin xdx x
0
2 2 0 2 2 20
0
0
0
2
1 2 1 1 2 1 1 2 8
x.sin 2 x 2 sin 2 xdx 0 cos2x 2 .
2 8 2 2 8 2 2 16
0 0 0
4 4 4
x 1
c. 2
dx x.d t anx x.t anx 4 t anxdx ln cosx 4 ln 2
cos x 4 4 2
0 0 0 0 0
2
d. x 2 cosxdx .
0
- Đặt : u x 2 du 2 xdx , dv cosxdx v=sinx .
2 2 2 2
2
2
Do đó : I x .sinx 2 2 x.sinxdx x.d cosx x.cosx 2 cosxdx
4 0 4
0 0 0 0
2 2 4
0 sinx 2
4 4
0
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau
e 2
a. x3 ln 2 xdx . ( KD-2007) b. ln x 2 x dx . ( KD-2004 )
1 3
6
e e
c. ln 3 xdx d. x 2 ln xdx . ( Tham khảo 2005 )
1 1
Giải
e
a. x3 ln 2 xdx .
1
dx 1
- Đặt : u ln 2 x du 2 ln x , dv x 3dx v x 4
x 4
e e
1 4 2 e 1 x4 e4 1 e4 1
- Do đó : I x .ln x 2 ln x. dx x3 ln xdx J 1 .
4 1 41 x 4 21 4 2
e
- Tính J x3 ln xdx .
1
dx 1
+/ Đặt : u1 ln x du1 , dv x3dx v x 4
x 4
1 4 e 1e 3 e4 1 e 3e 4 1
+/ Do đó : J x ln x x dx x 4 . Thay vào (1) ta có :
4 1 41 4 16 1 16
e4 1 3e 4 1 5e4 1
I .
4 2 16 32
2
b. ln x 2 x dx .
3
2x 1
- Đặt : u ln x 2 x du dx, dv dx v x .
x2 x
3 3 x 2 x 1 3
2x 2 1
- Do đó : I x.ln x 2 x dx 3ln 6 2 ln 2 dx
2 2 x x 1 2
x 1
3 3
d x 1 3
ln 54 2 dx ln 54 2 ln x 1 3ln 3 2 .
2 2
x 1 2
e
c. ln 3 xdx .
1
dx
- Đặt : u ln 3 x du 3ln 2 x , dv dx v x
x
e e e
- Do đó : I x ln 3 x 3 ln 2 xdx e 3 J 1 .Tính : J ln 2 xdx
1 1 1
2 ln x
+/ Đặt : u1 ln 2 x du1 dx, dv1 dx v1 x
x
e e e e e
+/ Do vậy : J x ln 2 x 2 ln xdx e 2 x ln x dx e 2 x ln x x e 2 .
1 1 1 1 1
7
+/ Thay vào (1) : I e 3 e 2 6 2e
e
d. x 2 ln xdx ..
1
dx 1
- Đặt : u ln x du , dv x 2dx v x 3
x 3
1 3 e 1e 2 e3 1 e 2 e3 1
- Do đó : I x ln x x dx x 3
3 1 31 3 9 1 9
* Chú ý :
Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng
phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x).
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau :
3 2
3 ln x ln x
a. 2
dx . ( KB-2009 ) b. dx . ( KD-2008 )
1 x 1 1
x3
2
ln x 1
c. dx . ( CĐ cơ khí luyện kim-2006 )
1
x2
Giải
3 3 3
3 ln x 3 ln x
a. 2
dx 2
dx 2
dx 1 .
1 x 1 1 x 1 1 x 1
3
3 3 3 3
- Với : 2
dx
1 x 1 x 1 1 4
- Với :
27
3 3 3 ln
ln x ln x 3 1 ln 3 1 1 ln 3 x 3
1 x 12 dx x 1 1 1 x x 1 dx 4 1 x x 1 dx 4 ln x 1 1 416
27 27
ln 3 ln
3 16 16
Thay vào (1) : I
4 4 4
2
ln x
b. dx .
1
x3
2
dx dx 1
- Đặt : u ln x du , dv 3 v 2
x 1
x 2x
1 2 1 2 dx ln 2 1 2 3 2 ln 2
- Do vậy : I 2 ln x 3 2
2x 1 21 x 8 4x 1 16
8
2
ln x 1 ln x 1 2 1 ln 3
2
1 1
c. 2
dx dx ln 2 dx .
1
x x 1
x x 1 2 1 x x 1
ln 3 x 2 ln 3 ln 2 3ln 3
ln 2 ln 1 ln 2 ln 3
2 x 1 2 2
ln x
* Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng : dx , vẫn có thể áp dụng cách giải cho
P( x)
tích phân dạng : I P( x ) ln xdx
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau .
1
a. x ln 1 x 2 dx . ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 )
0
3 3
ln t anx
b. x ln x 2 5 dx . CĐTCKT-2006 ) c. dx . (CĐTCHải quan -2006 )
0 sin 2 x
4
Giải
1 1 1
1 1 2 1
a. x ln 1 x 2 dx ln 1 x 2
d 1 x 2
1 x 2
ln 1 x d 1 x 2 .
0
20 2 0 0
1 2 1 2 ln 2 1
2 ln 2 1 x
2 0 2
3
b. x ln x 2 5 dx .
0
dt 2 xdx; x 0 t 5, x 3 t 14
2
- Đặt : t x 5 1
f ( x)dx x ln 5 x dx 2 ln tdt
2
14
1 1 14 14 ln14 5ln 5 11
- Do đó : I ln tdt t ln t t
25 2 5 2
3
ln t anx 1 3
1 3 1 1
c.
sin 2 x 4
dx ln t anx d ln t anx ln 2 t anx ln 2 3 0 ln 2 3 .
2 4 16
4 4
4
Cách khác :
dx dt
dt= cos 2 x 1 t dx dx 1 t 2
2
2t
- Đặt : t t anx . Với : sin 2 x
x t 1; x t 3 1 t2
4 3
9
3 3
ln t dt 1 ln t 1
- Khi đó : I 2
dt J 1
1
2t 1 t 21 t 2
1 t2
3 3
ln t 1 3 1 2 1
+/ J
1
t
dt ln t.d ln t ln 2 t
1
2
ln 3 0 ln 2 3
1 2 8
1 2
+/ Thay vào (1) ta có : I ln 3
16
* Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần .
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
2 2
a. e2 x cos3xdx b. I e3 x sin 5 xdx ( CĐKTKT-2005)
0 0
1
2
2x 2
c. e sin xdx d. (e x sin x e x x 2 )dx . ( ĐHTN-2000)
0 1
Giải
2
1
a. e2 x cos3xdx . Đặt : u= e 2 x du 2e 2 x , dv cos3xdx v= sin 3 x
0
3
1 12 1 2 2 1
- Do đó : I sin 3 x.e 2 e 2 x sin 3 xdx e J I J e 1
2x
3 30 3 3 3 3
0
2
1
- Tính J = e2 x sin 3 xdx . Đặt : u e2 x du 2e2 x dx; dv sin 3 xdx v cos3x
0
3
1 22 1 2 2 1
- Do vậy : J cos3x.e 2 e 2 x cos3xdx I J I 2
2x
3 30 3 3 3 3
0
3e 2
- Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình . Giải hệ ta có I=
13
2
1
b. I e3 x sin 5 xdx . Đặt : u e3 x du 3e3 x dx; dv sin 5 xdx v cos5x
0
5
3
1 3x 3 2 3x e2 3 3 1 3
- Do đó : I e cos5x 2 e cos5xdx J I J .e 2 1
5 50 5 5 5 5
0
10
1
- Ta lại đặt : u e3 x du 3e3 x dx; dv cos5 xdx v sin 5x
5
3
1 3x 3 2 3x e2 3 3 1 3
- Do đó : I e sin 5x 2 e sin 5xdx I J I .e 2 2
5 50 5 5 5 5
0
1 1 32
- Từ (1) và (2) ta tính được : I J .e .
4 20
1 2x 1 2x
c. e2 x sin 2 xdx e 1 c os2x dx e dx e2 x cos2xdx
0
20 2 0 0
1 2x 1 1
e e 2 x cos2xdx e 2 1 J 1
4 0 0 4 2
1
- Tính J= e2 x cos2xdx . Đặt : u e2 x du 2e2 x dx; dv cos2xdx v= sin 2 x
0
2
1 2x 1 2x 1
- Do đó : J e sin 2 x e sin 2 xdx K 2 . Ta tính K
2 0 20 2
1
- Lại đặt : u e2 x du 2e 2 x dx; dv sin 2xdx v= cos2 x
2
1 1 1
- Do đó : K e 2 x cos2 x e 2 x cos2 xdx e2 1 J K J e 2 1 3
2 0 0 2 2
1 1
Từ (2) và (3) ta tính được : J
2
1 e2 , sau đó lại thay vào (1) I e 1
2
1 0 1
2 2 2
d. (e x sin x e x x 2 )dx (e x sin x e x x 2 ) dx (e x sin x e x x 2 ) dx J K 1
1 1 0
- Tính J: Đặt t=-x suy ra dt=-dx . Khi x=0 thì t=0;x=-1 thì t=1 . Khi đó :
0 1 1
2 2 2
- J et sin t dt et sin tdt e x s inxdx J 2 J 0 J 0 .
1 0 0
+/ Tính K : Đặt u x 2 du 2 xdx; dv e x dx v e x .
1 1 x 1
1 1
+/ Do vậy : K x 2 .e x 2 x.e dx e 2 x.d e x e 2 x.e x e x dx
0 0 0 0 0
1
e 2 e e x e 2 e 1 e 2 .
0
- Vậy : I=K= e-2.
11