Phương pháp giải hệ phương trình thường gặp trong đề thi đại học

  • 14 trang
  • file .pdf
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương pháp thế
Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ
một phương trình và thay vào phương trình còn lại của hệ ta thu được phương trình một
ẩn.
Chú ý:
 Phương trình một ẩn này phải giải được
Một phương trình trong hệ có thể đưa về tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
 x 4  2 x 3 y  x 2 y 2  2 x  9 1
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  2
 x  2 xy  6 x  6  2
Giải
2
6x  6  x
Phương trình  2   xy  thay vào phương trình 1 ta được:
2
2
4  6 x  6  x2   6 x  6  x2 
2 4 3 2
x  2x     2 x  9  x  12 x  48 x  64 x  0
 2   2 
3 x  0
 x  x  4  0  
 x  4
Với x = 0 thay vào phương trình  2  ta thấy không thỏa mãn.
17
Với x  4 thay vào phương trình  2  ta được y  .
4
 x  4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :  17 .
 y  4
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
 xy 2  3  y
1)  . ĐS:  x; y    0;3 ;  2;1 ;  4; 1
2 2
 xy xy  y  5  2 y  3  y
 x 4  x3  y  2 x 2  x  y   2
2)  . ĐS:  x; y   1; 0 
 x  1  y
2 2
 x  y  1 x  y  1  3x  4 x  1  5
3)  . ĐS:  x; y   1; 1 ;  2;  
 xy  x  1  x
2
 2
 x 3  4 y  y 3  16 x
4)  .
1  y  5 1  x 
2 2
HD: phương trình (2)  y 2  5 x 2  4 . Thay vào phương trình (1) được:
x 3   y 2  5 x 2  y  y 3  16 x ĐS:  x; y    0; 2  ;  0; 2  ; 1; 3  ;  1;3
 xy  x  y  x 2  2 y 2 1
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  .
 x 2 y  y x  1  2 x  2 y  2 
Giải
x  1
Điều kiện: 
y  0
Phương trình (1)  x 2  xy  2 y 2   x  y   0   x  y  x  2 y  1  0
x  y  0 x   y
 
 x  2 y 1  0  x  2 y 1
Với x = - y ( vô lí )
Với x = 2y + 1. Thay vào phương trình (2) và biến đổi, thu gọn ta được:
 
 y  1 2 y  2  0  y  2 ( do y  0 )  x  5
x  5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :  .
y  2
Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau:
 x 4  x3 y  x 2 y 2  1
1)  3 2
. ĐS:  x; y   1;1 ;  1; 1
 x y  x  xy  1
6 x 2  3 xy  x  y  1 1 
2)  . ĐS:  x; y    0;1 ;  ; 0 
3 x  y  3x  y  2
2
3 
 y 2  5 x 2  4 xy  16 x  8 y  16  4 
3)  2 . ĐS:  x; y    0; 4  ;  4; 0  ;  ; 0 
 y   5 x  4  4  x   5 
 x 2  2 y 2  xy  x  2 y
4)  .  
ĐS:  x; y   2 3 4; 3 4
 y  1 3  x  y    x  3 x  y  2
 xy  x  2  0
5)  3 2 2 2
.
2 x  x y  x  y  2 xy  y  0
 xy  x  2  0  1  5   1  5 
HD   2 ĐS:  x; y   1;1 ;  ; 5  ;  ;  5 
 x  y   2 x  y  1  0  2   2 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Nội dung phương pháp:
Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ u  f  x; y  , v  g  x; y  . Có
ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi cơ bản
 x 3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2 2 1 .
 x  y  x  y 
 2
Giải
Đặt y = - z, ta được hệ phương trình
 x 3  z 3  3( x 2  z 2 )  9( x  z )  22  0

 2 2 1
x  z  (x  z) 
 2
 x  z   3xz  x  z   3  x  z 2  2 xz   9  x  z   22  0
3
  

2 1
 x  z   2 xz   x  z  
 2
x  z  S 2
Đặt :  , S  4P .
 xz  P
S 3  3SP  3  S 2  2 P   9S  22  0 S  2
 
Ta có:  1  3
 P  4
2
S  2 P  S 
 2
 3
  x  2

 y   1
x  z  2 x  y  2 
   2
 3  3  .
 xz  4  xy   4  x  1
  2

 y   3
  2
 3  1
 x  2  x  2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :  ; .
y   1 y   3
 2  2
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
3  x 2  y 2   4 xy  3
1)  .
2 2
 x  2 y  4 x  2 y  4
 2 x  y 2   x 2  2 y   3

HD:  
 x  2 y   2  2 x  y   4
2 2
u  2 x  y 8 9
Đặt  2 2
ĐS:  x; y    0;1 ;  ;  
v  x  2 y 7 7
 x 4  y 2  xy  x 2  2 x  y   2

2)  .
2  x  y   xy  2 x  2 y  1  5
2 2
 x 2  y 2  xy  x 2  y   2

HD:  
2  x  y   xy  x  y  1  5
2 2
x2  y  u
Đặt  ĐS:  x; y   1;3
 xy  v
 x 3 y 1  y   x 2 y 2  2  y   xy 3  30  0
3)  2 .
 x y  x 1  y  y 2
  y  11
 xy  x  y  2  x 2 y 2  x  y   30
HD:  
 xy  x  y   xy  x  y  11
x  y  u  5  21 5  21   5  21 5  21 
Đặt  ĐS:  x; y   1; 2  ;  2;1 ;  ;  ; ; 
 xy  v  2 2   2 2 
 2 3 3 5
 x  y  x y  xy  xy   4
4)  .
 x  y  xy 1  2 x   
4 2 5
 4
 2 5
 x  y   xy  x  y   xy   4
2
HD:  
 x 2  y  2  xy   5
 4
x2  y  u  5 25   3
Đặt  ĐS:  x; y    3 ;  3  ;  1;  
 xy  v  4 16   2
 2 1
 xy  x  y  y  4

5)  . ĐS:  x; y   1;1 ;  3; 1
 y2  x  1  3
 y
 x  y  3 x  y  7  3
6)  . ĐS:  x; y    5; 4 
2 2
 x  xy  4  y  xy  4  3
 x 2  1  y  y  x   4 y
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  2 .
 x  1  y  x  2   y
Giải
Nhận xét: y = 0 không phải là nghiệm nên hệ đã cho tương đương với :
 x2  1
 y  yx4

 2
 x  1   y  x  2   1
 y 

 x2  1
 u u  v  2 u  1
Đặt :  y  
y  x  2  v uv  1 v  1

x  1
 x2 1 
 1 y  2
 y 

 y  x  2  1   x  2
 
  y  5
 x  1  x  2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :  ; .
y  2 y  5
Bài tập
Giải các hệ phương trình:
 xy  x  1  7 y
1)  2 2 2
.
 x y  xy  1  13 y
 1 x
 x  x   y  7
 
HD:   2
 x  1   x  13
 
x y
 1
x  y  u
 1 
Đặt  ĐS:  x; y    3;1 ;  ;1
x  v 3 
 y
 3
4 xy  4  x  y  
2 2
2
7
2) 
  x  y
.
2 x  1  3
 x y
 2 2 3
3  x  y    x  y   2
7
HD:  
  x  y
x  y  1  x  y  3
 x y
 1
x  y   u, u  2
Đặt  x y ĐS:  x; y   1; 0 
x  y  v

 y  y 2 x  6 x 2
3)  2 2 2
.
1  x y  5 x
 y y2 y1 
  6    y  6
 2 x x 
HD:   x x  2
 1  y2  5  1  y   2 x  5
 x 2  x 
 y
y
 x  v 1 
Đặt  ĐS:  x; y   1; 2  ;  ;1
1  y  u 2 
 x
  1 
 x  y   1    5
  xy 
4)  .
 x 2  y 2  1  1   49
   x2 y 2 
 

 1 1
x  y  x  y  5

HD:  
 x 2  y 2  1  1  49
 x2 y2
 1
 x  x  u  73 5   73 5 
Đặt  ĐS:  x; y    ; 1 ;  1; 
y  1  v  2   2 
 y
9 y 3  3 x3  1  125
5) 
2 2
45 x y  75 x  6 y
 3 125
 27 x  y 3  9

HD:  
3 x. 5  3 x  5   6
 y  y

u  3 x
 1 5 2 
Đặt  5 ĐS:  x; y    ;  ;  ;5 
 v  3 2 3 
 y
3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Nội dung phương pháp
Điểm quan trọng của phương pháp này là biến đổi một phương trình của hệ về dạng
f  u   f  v  với f là hàm số đơn điệu trên D. Từ đó suy ra u = v
 4 x 2  1 x   y  3 5  2 y  0 1
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
4 x 2  y 2  2 3  4 x  7  2
Giải
3 5
Đk: x  ; y
4 2
Phương trình (1)   4 x 2  1 2 x   5  2 y  1 5  2 y  f  2 x   f  5 2y 
Xét hàm số f  t    t 2  1 t  f '  t   3t 2  1  0, t
 f  t  là hàm đồng biến với t  R
x  0

 
f  2x  f 5  2 y  2x  5  2 y  
y 
5  4x2

 2
Thay vào phương trình (2) ta được:
2
2  5  4x 
4x     2 3  4x  7  0  
 2 
3
Nhận xét x = 0, x  không phải là nghiệm của  
4
2
2  5  4x   3
Xét g  x   4 x     2 3  4 x  7 trên  0; 
 2   4
4  3
 g '  x   4 x  4 x 2  3   0, x   0; 
3  4x  4
 g  x  là hàm nghịch biến
1 1
Mặt khác g    0  x 
 2 2
 1
x 
Vậy nghiệm của hệ là :  2.
 y  2
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
 
 x 3 4 y 2  1  2  x 2  1 x  6
1) 
2
 2

x y 2  2 4 y 1  x  x 1

2
 

HD: hệ  2 y 1  4 y 2  1   1x 1  x1  1 
2
1  1
 
Xét f  t   t 1  t 2  1  f  t  đồng biến  2 y 
x
  x; y    1; 
 2
 2
   .
 2 x  1 2  4 x  4 x  4  3 y 2  9 y  3  0

2) 
2
4 x3  3 y  3 1  3 y  5
 1
ĐS:  x; y    1; 
 3
2  x  y 3  4 xy  3  0
3)  4
.
2 2
 x  y   2 x  4 xy  y  x  3 y  1  0
1 1
ĐS:  x; y    ; 
 2 2
 x 3 y  y 4  7
4)  2 2 3
.
 x y  2 xy  y  9
2 3
HD: Phương trình (2)  y  x  y   9  x  y
y
Đặt y t 00t  3 3
3
Thay vào phương trình (1) thu gọn: t 2  3  t 3   t 9   7t 3
 
3
 t 2  3  t 3   t 9   7t 3  0
 
3
 t 9   3  t 3   7t  0
3
Xét hàm số: f  t   t 9   3  t 3   7t  0, 0  t  3 3
2
 f '  t   9t 8  9t 2  3  t 3   7  0
 f  t  đồng biến  t  1 . ĐS:  x; y    2;1
 x 5  xy 4  y10  y 6
5)  .
2
 4 x  5  y  8  6
ĐS:  x; y   1;1 ; 1; 1
 x 4  16 y 4  1
 
6)  8 x y .
 x 2  2 xy  y 2  8

4
 x t 1
HD: phương trình (1)  f    f  y  , với f  t   , t  0
 2 t

ĐS:  x; y   2 2; 4 2 

7) 
 
 x  1  x2 y  1  y 2  1
 .
 x 6 x  2 xy  1  4 xy  6 x  1
HD: phương trình (1)  x  1  x 2   y  1  y 2  f  x   f   y   x   y
 3  11 3  11 
ĐS:  x; y   1; 1 ;  ; 
 2 2 
 2 x3  4 x 2  3 x  1  2 x 3  2  y  3  2 y

8)  .
 x  2  3 14  x 3  2 y  1
 1

HD: phương trình (1)  f 3  2 y  f 1     x
 111 
ĐS:  x; y    7; 
 98 
3 3 2
 x  y  2  3 x  2 y 1
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  .
 x  1  x  3 2 y  y  2  0  2 
2 2 2
Giải
1  x  1
Đk: 
0  y  2
Đặt z  x  1  z   0; 2
Phương trình (1)  z 3  3 z 2  y 3  3 y 2 . Xét hàm số: f  t   t 3  3t 2 , t   0; 2
 f '  t   3t 2  6t  3t  t  2   0, t  0; 2  f  t  là hàm nghịch biến trên  0; 2 .
Mà f  z   f  y   z  y  x  1  y
Thay vào phương trình (2) có: x 2  2 1  x 2  2  0  x  0
x  0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  .
y 1
Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau:
 x  1  y  8  x 3
1)  4
. ĐS:  x; y    2;1
 x  1  y
 x  x 2  2 x  2  3 y 1  1
2)  . ĐS:  x; y   1;1
 y  y 2  2 y  2  3x 1  1
 1 1
x   y   1  5 1  5   1  5 1  5 
3)  x y . ĐS:  x; y   1;1 ;  ; ; ; 
 2 y  x3  1  2 2   2 2 

3 3
 x  5 x  y  5 y  1  5 1  5   1  5 1  5 
4)  8 4
. ĐS:  x; y   4

; 4 ;  4
 
;  4 

 x  y  1 2 2 2 2
   
 x 2  2 x  22  y  y 2  2 y  1
5)  .
2 2
 y  2 y  22  x  x  2 x  1
HD: Trừ vế với vế của hai phương trình ta được:
f  x   f  y  với f  t   t 2  2t  22  t  t 2  2t  1, t  0  x  y
Thay vào phương trình thứ nhất  Phương trình có dạng :
g  x   g 1 , với f  x   x 2  2 x  1  x 2  2 x  22  x , t  0
1 x 1 x 1
g ' x  2x  2    2 0
2 2
2 x x  2 x  22 x  2 x  22
ĐS:  x; y   1;1 .
4. Phương pháp đánh giá
Nội dung phương pháp: Với phương trình này cần phát hiện các biểu thức không âm
trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản.
3
 y   x  3 x  4
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  3
 x  2 y  6 y  2
Giải
2
 y  2  ( x  1) ( x  2)
Hệ đã cho   2
 x  2  2( y  1) ( y  2)
Nếu x > 2 thì từ phương trình (1)  y  2  0 . Điều này mâu thuẫn với phương trình (2):
x – 2 và y – 2 cùng dấu
Nếu x < 2. Lập luận tương tự, suy ra vô lý
Nếu x = y = 2 thay vào thỏa mãn hệ.
x  2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :  .
y  2