Phương pháp đổi biến trong tích phân

  • 14 trang
  • file .pdf
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Phương pháp đổi biến
A.Tóm tắt lý thuyết
Công thức đổi biến số
b ub
 f u  x  u '  x  dx   f  u  du .
a u a 
(1.1)
1. Phép đổi biến u = u(x)
b
Gỉa sử cần tính  g  x  dx . Nếu viết được g  x  dưới dạng f u  x   u '  x  thì theo công thức
a
(1.1), ta có
b u b 
 g  x  dx   f  u  du .
a u a
2. Phép biến đổi x = x(t)

Giả sử cần tính  f  x  dx . Đặt x  x  t  , t  K . Chọn hai số a , b  K sao cho   x  a  ,

  x  b  . Khi đó, theo công thức (1.1), ta có
 b
 f  x  dx   f  x  t  x '  t  dt .
 a
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Đổi biến số bằng cách đưa một biểu thức vào trong dấu vi
phân
 Nội dung phương pháp
Trong dạng toán này, ta lưu ý đến các công thức sau đây (chúng tôi gọi là công thức đưa biểu
thức vào trong dấu vi phân):
dx 1
 x dx  (đưa x vào trong dấu vi phân,   1 );
 1
dx 1 1 1
 n
 d n 1 (đưa n vào trong dấu vi phân, n   , n  2 );
x n 1 x x
dx 1
  d ln x (đưa vào trong dấu vi phân);
x x
 e x dx  de x (đưa e x vào trong dấu vi phân);
 cos xdx  d sin x (đưa cos x vào trong dấu vi phân);
 sin xdx   d cos x (đưa sin x vào trong dấu vi phân);
dx 1
  d tan x (đưa vào trong dấu vi phân);
cos 2 x cos 2 x
dx 1
 2
  d cot x (đưa vào trong dấu vi phân).
sin x sin 2 x
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm
1) I   1  3x 3  x 2 dx ;
5
2) J   1  3x 3  x 2 dx .
Giải
1 1
1) I  
9  1  3x 3  d 1  3x 3    1  3 x 2   C .
18
1 5 1 6
2) J  
9  1  3x 3  d 1  3x 3    1  3x 2   C .
54
Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm hoặc tính tích phân:
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
x
1) I   dx ;
2
x 1
x2
2) J   3 dx ;
x 1
2
x8  x 5
3) K   2
dx .
0  x  23
Giải
1 d  x  1 1
2
1) I   2
 ln  x 2  1 .
2 x 1 2
1 d  x  1 1
3
2) J   3
 ln  x 3  1  C .
3 x 1 3
2
1 x  x  1
x5  x3  1
2 3 3
3) K   2
dx   2
d  x3  2 .
0  x  2 0  x  2
3 3 3
Đặt t  x3  2 . Ta có
x  0  t  2 , x  2  t  10 .
Do đó
1  t  2  t  1
10 10
1  3 2 1  10 10
2 10  44
K   ln 5 .
3 2  t t 2 
dt   1    dt   t  3ln t  
32 t2 3 2 2 t 2  15
Ví dụ 3. Tính tích phân
3
1) I   x. 3 x 2  1dx ;
2
3
6
2) J   x 2 . 4 x 3  2dx .
3
3
Giải
1 3 3 2 1 3 3
45
1) I   x  1  d  x 2  1    x 2  1 3 x 2  1  .
2 2 2 4 2 8
3
6
1
2) J   x . x  2dx   4 x 3  2d  x 3  2     x3  2  4 x 3  2
2 4 3
3
6
1 4 6

4 4 2 1
.
3
 
3
3
3 3
3
3 5 3
3 15
Ví dụ 4. Tính tích phân
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

2
cos xdx
1) I1   ;
0
5  2sin x

4
cos 2 x
2) I 2   dx .
0
1  2sin 2 x

4
1  2sin 2 x
3) [ĐHB03] I 3   dx .
0
1  sin 2 x

2
sin 2 xdx
4) [ĐHB05] I 4   .
0
1  cos x

4
sin 2 xdx
5) [ĐHA06] I 5   .
0 cos 2 x  4sin 2 x
Giải
 
2
d sin x 1 d  5  2sin x 
2
1 
ln 5  ln 3
1) I1       ln 5  2sin x 2  .
0
5  2sin x 2 0 5  2sin x 2 0 2
  
4
cos 2 x 1 d sin 2 x 4
1 d 1  2sin 2 x  1
4 
ln 3
2) I 2   dx      ln 1  2sin 2 x 4  .
0
1  2sin 2 x 2 0 1  2sin 2 x 4 0 1  2sin 2 x 4 0 4
 
4
cos 2 x 1 d 1  sin 2 x  1
4 
ln 2
3) I 3   dx    ln 1  sin 2 x  4  .
0
1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x 2 0 2
 
2 2
sin x cos xdx cos xd cos x
4) I 4  2   2  .
0
1  cos x 0
1  cos x
Đặt t  cos x . Khi đó

x  0  t  1, x   t  0.
2
Do đó
0
tdt tdt
1
 t  1  1 dt  2 1  1  dt  2 t  ln t  1 1  2  2 ln 2 .
1 1
I 4  2 
t 1
 2
t 1
 2
t 1 0  t  1   0
1 0 0
1  cos 2 x 1  cos 2 x 1
5) Ta thấy cos 2 x  4sin 2 x   4   5  3cos 2 x  . Do đó
2 2 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
 
4
sin 2 xdx 2 4 d cos 2 x
I5  2  
0 5  3cos 2 x 2 0 5  3cos 2 x

2 d  5  3cos 2 x 
4
2 
10  2
   5  3cos 2 x 4  .
6 0 5  3cos 2 x 3 0 3
Ví dụ 5. Tính tích phân
ln 5
dx
1) [ĐHB06] I   .
ln3
e  2e  x  3
x
e
ln xdx
2) J   .
1
x  ln x  1 ln x  2 
Giải
ln 5 ln 5
e x dx de x
1) Ta có I   2 x x
  2x x
. Đặt t  e x , ta có
ln3
e  3e  2 ln 3 e  3e  2
x  ln 3  t  3 , x  ln 5  t  5 .
Do đó
I
5
 2
dt
5

dt
5

 t  1   t  2  dt
3
t  3t  2 3  t  1 t  2  3  t  1 t  2 
5 5
 1 1  t 2
    dt  ln  ln 3  ln 2 .
3
t  2 t 1  t 1 3
e
ln xd ln x
2) Ta có J   . Đặt t  ln x , ta có
1 
ln x  1 ln x  2 
x  1  t  0 , x  e  t  1.
Do đó
1 2  t  2    t  1
1 1
tdt
J    dt
0 
t  1 t  2  3 0  t  1 t  2 
1 2 1
1  2 1  1  t  1 ln 3
    dt  ln  ln 2  .
3 0  t 1 t  2  3 t 2 3
0
 Bài tập
Bài 1. Tìm họ nguyên hàm
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
x6
1)  dx ;
x7  7
4 x 3  3x 2
2)  dx
x 4  x3  1
10 x9  11x10
3)  dx .
x10  x11  1
4)  x. 3 2 x 2  2dx ;
5)  x 3 . x 4  4dx ;
x
6)  dx ;
2
x 1
7)   cos x  1 sin xdx ;
8)  1  2sin x  cos xdx ;
3
9)  1  2sin x  cos xdx ;
2
10)   cos x  1 sin xdx ;
sin x
11)  dx ;
2  cos x
cos xdx
12)  4
dx ;
 sin x  1
cos3 xdx
13)  ;
sin x  1
14)  2cos x  3 sin xdx ;
15)  1  2sin x cos xdx ;
cos 2 x
16)  dx ;
sin 2 x  1
2 ln x  1
17)  dx ;
x
ln x  1
18)  dx ;
x
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
19)  esin 2 x cos 2 xdx ;
e tan x
20)  dx ;
cos2 x
21)  e x 1  2e x  dx;
e x dx
22)  ;
ex  2
23)  e x 1  3e x dx .
Bài 2. Tính các tích phân
1
x3 ln 2 1
1)  2
dx . ĐS:  .
0  x  1
2 2 4
1
x5  x 3 ln 2 1
2)  2
dx . ĐS:   .
0  x  1
2 2 2
3
dx
3) [ĐHD09]  x
. ĐS: ln(e 2  e  1)  2 .
1 e 1
ln 2
e 2 x dx
4)  . ĐS: 5 ln 2  3ln 3 .
0  e x
 1 e x
 2 
e2
ln 2 x  2ln x  1
5)  dx . ĐS: 2 - 2 ln 3  ln 2 .
1
x  ln x  1 ln x  2 

2
8 
6) [ĐHA09]   cos 3 x  1 cos 2 xdx . ĐS:  .
0
15 4

2

7) [ĐHD05]   esin x  cos x  cos xdx . ĐS: e  1  .
0
4

2
sin 2 x cos xdx
8) [ĐHB05]  . ĐS: 2 ln 2  1 .
0
1  cos x

3
2 3
9)  sin x tan xdx . ĐS: ln 2  .
0
8
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

6
sin 3 x  sin 3 3 x ln 5  ln 3
10) 0 1  cos 3x dx . ĐS: .
2

11) [ĐHA08] I  
tan 4 xdx
6
. ĐS: 
10 3 ln 2  3

.

0
cos 2 x 27 2

4
76
 1  tan x dx .
8
12) ĐS: .
0
105

4
sin  x  4  dx 43 2
13) [ĐHB08]  . ĐS: .
0
sin 2 x  2 1  sin x  cos x  4

2
3 1 3
sin x  cos x
 3 1  .
2
14)  3 dx . ĐS: 1 2
 sin x  cos x 2  2
3

2
sin x  cos x ln 2
15)  dx . ĐS: .
 1  sin 2 x 2
4

2
cos 2 x 1
16)   sin x  cos x  3 dx .
3
ĐS: .
0
32

2
3 ln 3
 sin 2 x 1  sin x  dx .
2
17) ĐS: .
0
4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Dạng 2. Một số phép đổi biến thông dụng
 Nội dung phương pháp
Trong phần này ta quan tâm đến các phép đổi biến sau:
 Phép đổi biến t  n f ( x) . Phép đối biến này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích
 
phân có thể đưa được về dạng Q f  x  ; n f  x  df  x  , trong đó Q là một hàm phân
thức hữu tỷ. Với phép đổi biến t  n f ( x) , biểu thức dưới dấu tích phân trở thành
Q  t n ; t  dt .
  
 Phép đối biến f  x   a sin t ( a  0 , t    ;  ). Phép đổi biến này được sử dụng khi
 2 2
2
hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức a 2   f  x   . Với phép đổi biến nói trên thì
2
a 2   f  x    a cos t .
  
 Phép đổi biến f  x   a tan t ( a  0 , t    ;  ).Phép đổi biến này được sử dụng khi
 2 2
2
hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức a 2   f  x   . Với phép đổi biến nói trên thì
2 a2
a 2   f  x    .
cos2 t
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
1) I   x 3 x 2  3 dx .
0
2
xdx
2) [ĐHA04] J   .
1 1  x  1
3
xdx
3) K   .
0
2
x  2  2 1  x2
Giải
1
1
1) Ta thấy I   x 2 x 2  3 d  x 2  3 .
20
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
 x 2  t 2  3
2
Đổi biến: t  x  3   .
d  x  3  dt  2tdt
2 2
Đổi cận: x  0  t  3 ; x  1  t  2 .
Do đó
2 2 2
1  6 3 8
I    t  3 t dt    t  3t  dt   t 5  t 3  
2 2 4 2
.
3 3 5  3 5
2) Đổi biến: t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt .
Đổi cận: x  1  t  0 ; x  2  t  1 .
Do đó
J 
 t  1  2tdt   2 t  t dt  2  t  1   t  1  2 dt
1 2 1 3 1 3
0
t 1  t 1
0
 0
t 1
1 1
 2  1 1  11
 2  t 2  t  2   dt  2  t 3  t 2  2t  2 ln t  1    4 ln 2 .
0
t 1  3 2 0 3
1
3
d 1  x 2 
3) Ta có K   .
2 0 x2  2  2 1  x2
Đổi biến: t  1  x 2  x 2  t 2  1 , d 1  x 2   dt 2  2tdt .
Đổi cận: x  0  t  1 ; x  3  t  2 .
Do đó
2 2 2
1
K   2
2tdt

tdt

 t  1  1 dt
2 1  t  1  2t 1  t  1 2
1  t  1
2
2
 12
1   1  1
  2
dt   ln t  1    ln 3  ln 2  .
 t  1  t  1 
1   t 1  1 6
Ví dụ 2. Tính tích phân
8
1) [ĐHB02] I   16  x 2 dx ;
0
1
dx
2) J   ;
 12 8  2x  x2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
2
dx
3) K   .
2 x2 1
Giải
1) Đổi biến
 16  x 2  16   4 sin t  2  4 cos t  4 cos t
   
x  4 sin t , t    ;    .
 2 2 dx  d  4 sin t   4 cos tdt

Đổi cận
x  0  4sin t  0  sin t  0  t  0 ;
2 
x  8  4sin t  8  sin t   t .
2 4
Do đó
   
4 4 4
 1  4
I    4 cos t  4cos tdt   16  cos 2 tdt  8  1  cos 2t  dt  8  t  sin 2t   2  4 .
0 0 0  2 0
2
2) Ta thấy 8  2 x  x 2  9  1  2 x  x 2  32   x  1 .
Đổi biến
  
x  1  3sin t , t    ;   8  2 x  x 2  32  32 sin 2 t  3 cos t  3cos t , dx  3cos tdt .
 2 2
Đổi cận
1 
x  t   , x 1  t  0.
2 6
Do đó
0 0
3cos tdt 0 
J    dt  t    .
 3cos t  6 6
 
6 6
2
dx
3) Ta thấy K   .
2 1
x 1 2
x
Đổi biến:
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11