Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------
TRẦN KIM HƯƠNG
TRẦN KIM HƯƠNG
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN
TOÁN ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
TOÁN ỨNG DỤNG
KHÓA 2016A
Hà Nội – Năm 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-------------------------------
TRẦN KIM HƯƠNG
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ CHUYÊN NGÀNH: 60.46.01.12
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo
Hà Nội – Năm 2017
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo. Tôi cũng xin cam đoan rằng luận
văn không trùng lặp với các luận văn đã công bố và các thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
Trần Kim Hương
1
Lời cảm ơn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự dìu dắt chỉ bảo tận tình của PGS. TS.
Nguyễn Xuân Thảo, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Semina Toán Giải tích-
Viện Toán ứng dụng và Tin học trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tạo cho tôi
một môi trường làm việc, nghiên cứu, học hỏi, sẻ chia và truyền thụ lại cho tôi
những kiến thức cần thiết và quan trọng để tôi hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và toàn thể cán bộ
giảng viên Viện Toán ứng dụng và Tin Học nói riêng và của trường Đại Học Bách
Khoa Hà Nội nói chung đã cho tôi một môi trường làm việc, học tập và nghiên cứu
nghiêm túc thân thiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Do khả năng còn hạn chế, vì vậy luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót.
Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo, các bạn và những độc giả
quan tâm tới vấn đề này.
Hà Nội, tháng 11 năm 2017
Học viên
Trần Kim Hương
2
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
…………………………………………………………………..1
LỜI CẢM ƠN ……………………………………………………………………...2
LỜI NÓI ĐẦU …………………………………………………………………….4
1. Lý do chọn đề tài …………………………………………………………...
2. Mục đích nghiên cứu ……………………………………………………….
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ………………………………………………………
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ………………………………………….
5. Bố cục của luận văn ………………………………………………………5
CHƢƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN………….6
1.1. Thang thời gian …………………………………………………………8
1.2. Đạo hàm trên thang thời gian …………………………………………...9
1.3. Kết luận chương 1 ……………………………………………………..16
CHƢƠNG 2: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN…….17
2.1. Định nghĩa tích phân trên thang thời gian ……………………………17
2.2. Điều kiện   khả tích và các phương pháp tính tích phân
……………20
2.3. Hàm đa thức và hàm mũ trên thang thời gian ………………………...23
2.4. Phương trình động lực học …………………………………………...31
2.4.1 Phương trình động lực học tuyến tính cấp I……………………………31
2.4.2 Phương trình động lực học gần tuyến tính cấp
I…………………………33
2.4.3 Phương trình động lực học gần tuyến tính cấp
cao………………………34
2.5. Kết luận chương 2 …………………………………………………….37
CHƢƠNG 3: PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN THANG THỜI GIAN….38
3.1. Biến đổi Fourier ………………………………………………………38
3.2. Các tính chất của phép biến đổi Fourier ……………………………...41
3.3. Biến đổi Fourier ngược...……………………………………………..46
3.4. Kết luận chương 3 ……………………………………………………49
KẾT LUẬN ……………………………………………………………………...50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………………51
3
LỜI NÓI ĐẦU
---o0o---
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của giáo sư
Bernd Aulbach), với mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục (hệ
phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan
Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian và phát triển lý thuyết Giải tích trên
thang thời gian. Từ đó đến nay, đã có một số quyển sách về giải tích, hàng chục
luận án tiến sĩ và nhiều bài báo nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian.
Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép
nghiên cứu hai mặt bản chất của thế giới thực, đó là tính rời rạc và tính liên tục
dưới cùng một khái niệm và công cụ.
Giải tích trên thang thời gian hiện đang được nhiều nhóm các nhà toán học
trong và ngoài nước quan tâm. Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian
nghiên cứu các bài toán tối ưu và phép tính biến phân, các mô hình kinh tế vĩ
mô, áp dụng vào các bài toán trò chơi, hệ sinh thái, …
Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và cơ bản của giải tích, từ đó hiểu
sâu hơn về giải tích cổ điển, để có hiểu biết rộng rãi về bản chất, về những kiến
thức đã được học tập trong chương trình đại học và sau đại học, em xin chọn đề
tài Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian làm đề tài luận văn thạc sỹ
khoa học.
2. Mục đích nghiên cứu
Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian, đạo hàm, tích
phân và phép biến đổi Fourier trên thang thời gian và ứng dụng.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng biến đổi tích phân, thang thời gian, bất đẳng thức tích phân, tích
chập, giải tích hàm, phương pháp toán tử.
5. Bố cục luận văn
4
Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương với nội
dung như sau:
Chƣơng 1. Phép tính vi phân trên thang thời gian.
Chƣơng 2. Phép tính tích phân trên thang thời gian.
Chƣơng 3. Phép biến đổi Fourier trên thang thời gian.
6. Kết quả đạt đƣợc
5
CHƢƠNG 1: ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN
Chương này đưa ra một số khái niệm cơ bản về thang thời gian, vi phân và
đạo hàm trên thang thời gian.
Các kết quả chính của chương này được trích từ các tài liệu [1];  4 ; [10].
1.1. Thang thời gian
Định nghĩa 1.1. Một thang thời gian, ký hiệu là T, là tập hợp con đóng khác rỗng
của tập hợp số thực.
Có một vài thang thời gian đặc biệt, chẳng hạn tập số thực , số nguyên ,
h  hz : z   , trong đó h là một số thực dương cố định, các số tự nhiên
 1, 2,... ,  0 , q  q n : n   , trong đó q  1 là được điều chỉnh.
0
0 0
Trong luận văn này, ta giả định rằng một thang thời gian nhất định có cấu trúc liên
kết tương đối chặt chẽ với các số thực.
Xét các số nguyên và chọn t  . Chúng ta biết rằng các số nguyên liền sau
được t  1. Tiếp theo ta hãy xét các tập số thực, , với t  . Trong cách này,
không có số thực nào lớn hơn tiếp theo đối với t. Bây giờ, ta xem xét thang thời
gian T   1,0 .
Nếu chúng ta chọn t  T mà t  0 , thì không có phần tử lớn hơn tiếp theo nào khác
trong T. Tuy nhiên, nếu chúng ta chọn t  T mà t  0 , thì T có một phần tử lớn hơn
tiếp theo được đặt bằng t  1 . Định nghĩa sau đây đưa ra một hướng nghiên cứu mới
có ý nghĩa đối với thang thời gian tùy ý.
Định nghĩa 1.2. Với t  T toán tử bước nhảy tiến  :T  T được xác định bởi
  t  : inf s  T : s  t ,
toán tử bước nhảy lùi  :T  T được xác định bởi
  t  : sup s  T : s  t ,
và hàm hạt  : T  0,  được xác định bởi
  t  :   t   t.
Quy ước inf   supT và sup   inf T .
Toán tử bước nhảy tiến cho ta các số liền sau t hoặc t nếu không có. Toán tử bước
nhảy lùi tương tự cho ta số liền trước t. Cuối cùng, hàm hạt tạo ra khoảng cách đến
số liền sau. Định nghĩa sau sử dụng các toán tử để phân loại các điểm trên thang
thời gian.
Định nghĩa 1.3. Nếu   t   t thì ta nói t cô lập bên phải. Nếu   t   t thì ta có t cô
lập bên trái. Nếu một điểm vừa cô lập bên phải vừa cô lập bên trái, điểm đó được
gọi là điểm cô lập. Nếu t  sup T và   t   t , thì t được gọi là điểm trù mật bên phải.
6
Nếu t  inf T và   t   t , thì t được gọi là điểm trù mật bên trái. Điểm vừa là điểm
trù mật bên phải vừa là điểm trù mật bên trái gọi là điểm trù mật.
Hai định nghĩa tiếp theo thiết lập các điều kiện tương tự tính liên tục nhưng có
phần yếu hơn tính liên tục.
Định nghĩa 1.4. Một hàm f : T  được gọi là hàm chính quy nếu tồn tại giới hạn
bên phải tại tất cả các điểm trù mật bên phải trong T . Hàm chính quy chỉ có thể
gián đoạn tại các điểm có bước nhảy.
Ví dụ 1.5. Xét một hàm không chính quy trên . Đặt f :   1;1 được xác định
bằng
 1
sin t0
f  t     t 
0 t  0.

Chú ý rằng trong khi f liên tục t  \ 0 nhưng không tồn tại giới hạn trái và giới
hạn phải tại 0 vì
lim sin  x  không tồn tại
x 
và
lim sin  x  không tồn tại.
x 
Tuy nhiên, những giới hạn của f với thang thời gian 0 được xác định khi f là hàm
chính quy vì 0 không có bất kỳ điểm trù mật bên trái hoặc điểm trù mật bên phải
nào.
Định nghĩa 1.6. Một hàm f : T  được gọi là hàm rd- liên tục (hoặc liên tục trù
mật bên phải) tại một điểm t0  T nếu tại điểm t0 là điểm trù mật bên trái thì giới
hạn bên trái của f tồn tại t0 và khi t0 là điểm trù mật bên phải thì f liên tục tại t0 ,
nghĩa là hàm f chính quy và liên tục bên phải. Một hàm là hàm rd- liên tục ở tất cả
các điểm trong được gọi là một hàm rd- liên tục.
Ví dụ 1.7. Đặt
1   1 
T : 0  : n   2 2  : n   và xác định f : T  0,1 bởi
n   n 
1 t2
f t   
0 t2
rõ ràng f liên tục tại các điểm cô lập của T. Vì vậy khi ta xét điểm trù mật bên phải
0 và điểm trù mật bên trái 2. Giới hạn phải của f tại 0 tồn tại và bằng f  0  . Vì
7
vậy, f liên tục tại 0. Trong khi f không liên tục tại 2, giới hạn trái của f tồn tại ở
2. Ta có thể thấy rằng mặc dù f không liên tục nhưng f là hàm rd-liên tục.
Định lý 1.8. Cho f : T  và g : T  T thì,
(i) Nếu f liên tục, khi đó f là hàm rd-liên tục.
(ii) Nếu f liên tục và g chính quy hoặc rd-liên tục, khi đó g f tương ứng là hàm
chính quy hoặc rd-liên tục.
1.2. Đạo hàm trên thang thời gian
Định nghĩa 1.9. Tập T k được định nghĩa là
T \    sup  ,sup T  sup T  
T k : 
T sup T  .
Đạo hàm trên thang thời gian của một hàm thích hợp không thể xác định được cho
tất cả các điểm trên toàn bộ thang thời gian. Đặc biệt, chúng ta không thể xác định
nó ở cận trên hữu hạn của một thang thời gian. Tuy nhiên, chúng ta có thể xác định
đạo hàm trên thang thời gian tại tất cả các điểm của T k . Theo định nghĩa sau đây,
T k là tập xác định để đạo hàm trên thang thời gian có nghĩa.
Định nghĩa 1.10. Hàm f : T  được gọi là Δ-khả vi tại t  T k nếu
f ( (t ))  f ( s)
f  (t ) : lim , s  T \  (t )
s t  (t )  s
tồn tại. f   t  được gọi là Δ-đạo hàm của f tại t. Hàm f được gọi là Δ- khả vi trên
T k nếu f   t  tồn tại ở tất cả các t  T k và f  : T k  được gọi là Δ- đạo hàm của
k
f trên T .
Chú ý, ta quy ước s    t  , có thể s = t. Khi một điểm t trên thang thời gian cô lập
bên phải, Δ-đạo hàm tại t là độ dốc của đường thẳng đi qua các điểm  t , f t   và
 t  , f  t  . Khi t là trù mật bên phải, Δ-đạo hàm tại t tương tự như định nghĩa
thông thường của đạo hàm.
Định lý 1.11. Cho f : T  với t  T k . Nếu f là Δ-khả vi tại t thì:
(i) f  (t )   f (t )   (t ) f  (t ) và
(ii) f liên tục tại t.
Chứng minh:  i  Giả sử f là Δ-khả vi tại điểm t  T k . Ta thấy khi t là trù mật
phải   t   0 và   t   t , vì vậy ta có
8
f  (t )   f (t )   (t ) f  (t )
 f  (t )   f (t )   (t ) f  (t ).
Xét khi t là điểm cô lập phải. Do  (t )  t và f Δ-khả vi tại t , ta có thể viết lại đạo
hàm tại t thành
f ( (t ))  f (t ) f ( (t ))  f (t )
f  (t )   .
 (t )  t  (t )
Vì thế
f  (t )   f (t )   (t ) f  (t )
 f  (t )   f (t )   (t ) f  (t ).
 ii  Ta thấy với bất kỳ s  T ,
 (t )  s  ( (t )  t )  (t  s)   (t )  (t  s) . 1.1
1
Cho 1    0 , và xác định  '   1  f   t     t  thì 1   '  0. Theo định nghĩa của
đạo hàm, với 1    0 tồn tại   0 sao cho t  s   , s    t  ta chứng minh
f t   f  s    .
Thật vậy:
f ( (t ))  f ( s)
 f  (t )   '
 (t )  s
f ( (t ))  f ( s)  ( (t )  s) f  (t)
 '
 (t )  s
 f ( (t ))  f (s)  ( (t )  s) f  (t )   '  (t )  s .
1.2 
Ta sử dụng 1.1 và 1.2  để thấy f (t )  f (s)   . Đặt t  s  min  ',   .
Ta có:
f  t   f  s   f (t )  f (s)  f ( (t ))  f ( (t ))  f  (t )    t    t  s   f  (t )( (t )  s) .
Sử dụng phương trình 1.1 để viết lại thành
f (t )  f ( s )  f ( (t ))  f ( (t ))  f  (t )    t    t  s    f  (t )( (t )  s )
 f (t )  f ( s )  f ( (t ))  f ( (t ))  f  (t )   t   f  (t )  t  s   f  (t )( (t )  s )
  f ( (t ))  f ( s)  f  (t )( (t )  s)  f  (t )  t  s  .
Theo  i  ta có f   t    f  t     t  f  t   0  f t   f  t     t  f  t   0. Từ đó ta
đánh giá dòng cuối cùng
9
  '  (t )  s  t  s f  (t )
  '  (t )  (t  s )  t  s f  (t )
  '  (t )   ' t  s  t  s f  (t )
  '  (t )   '   ' f  (t )
  ' 1  f  (t )   (t )    .
Do đó f  t   f  s    .
Phần  ii  của định lý 1.11 được chứng minh tương tự. Phần  i  chỉ đúng khi t là
điểm cô lập phải, với t là điểm trù mật   t   t , thay vào  i  ta được f  t   f  t  là
hiển nhiên đúng. Định lý tiếp theo đưa ra một số quy tắc về Δ-đạo hàm. Chú ý rằng
phần  i  và  ii  dưới đây giống như các trường hợp số thực, trong khi phần  iii  có
sự khác biệt.
Định lý 1.12. Cho f , g : T  là Δ-khả vi tại t  T k . Khi đó, ta có:
(i) Tổng f  g : T  là Δ-khả vi tại t với
( f  g ) (t )  f  (t )  g  (t ).
(ii) Đối với bất kỳ  không đổi  ,  f : T  là Δ-khả vi tại t với
 f   t    f   t 

(iii) Tích fg : T  là Δ-khả vi tại t với
( fg ) (t )  f (t ) g  (t )   f (t ) g  (t )  f  (t ) g (t )  f ( (t )) g  (t ) .
 
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh  iii  . Cho   0 và xác định

' 
1  f (t )  g ( (t ))  | g  (t ) |
tồn tại   0 sao cho t  s   ta có:
| f ( (t ))  f ( s)  f  (t )( (t )  s) |  ' |  (t )  s |
| g ( (t ))  g ( s)  g  (t )( (t )  s) |  ' |  (t )  s |
và theo định lý 1.11
f (t )  f (s)   '
Vì thế
 fg    t     fg  s    f  t  g  t    f t  g  t   t   s 
  f   t    f  s   f   t    t   s  g   t  
  g   t    g  s   g   t    t   s  f  t 
10
  g   t    g  s   g   t    t   s   f  s   f t 
   t   s  g   t   f  s   f  t  
  '   t   s g   t     '   t   s f  t 
  '    t   s   '   t   s g   t 
2

  '   t   s g   t    f  t    '  g   t  . 
Giả sử ta đã chọn  đủ nhỏ để  '  1 , biểu thức trên được viết dưới dạng
  ' |  (t )  s |  g ( (t )) |  | f (t ) | 1 | g  (t ) | 
  ' |  (t )  s | |1 | f (t ) |  g ( (t ) |  | g  (t ) | 
  |  (t )  s | .
Từ đó ta có:
( fg ) (t )  f  (t ) g ( (t ))  f (t ) g  (t ) . 1.3
Để có được đẳng thức thứ hai, đổi vai trò f và g trong phương trình 1.3 . □
Điều cần lưu ý ở đây quy tắc đạo hàm hàm hợp. Đối với các hàm f , g :  quy
tắc đạo hàm hàm hợp được xác định
( f g )' (t )  f ' ( g (t )) g ' (t ).
Tuy nhiên, với thang thời gian tùy ý, điều này không còn đúng trong một vài
trường hợp. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.13. Cho T  và cho f , g :  được xác định bởi f  t   g  t   t 2  t.t. Sử
dụng đạo hàm tích, định lý 1.12, ta có
f   t   g   t   t    t   t  t  1  2t  1.
Chú ý rằng
( f g )(t )  (t 2 )2  t 4  f (t ) g (t ).
Vì vậy, một lần nữa bằng cách sử dụng đạo hàm tích, ta có
( f g )  (t )  ( f (t ) g (t )) 
 f  (t ) g (t )  f ( (t )) g  (t )
 (2t  1)t 2  ( (t )) 2 (2t  1)
 (2t  1)t 2  (t  1) 2 (2t  1)
 2t 3  t 2  (t 2  2t  1)(2t  1)
 4t 3  6t 2  4t  1.
11
Bây giờ ta tính
f  ( g (t )) g  (t )  (2t 2  1)(2t  1)
 4t 3  2t 2  2t  1.
Nếu chúng ta giả sử rằng ( f g ) (t )  f  ( g (t )) g  (t ) , thì ta có
4t 3  6t 2  4t  1  4t 3  2t 2  2t  1
 4t 2  2t  0
1
 t  {0,  }.
2
Như vậy ( f g ) (t )  f  ( g (t )) g (t) , chỉ cho một điểm trong
, là t  0 .
Trong trường hợp này, có một vài quy tắc đạo hàm hàm hợp cho thang thời gian,
mỗi quy tắc trong số đó có tính chất yếu hơn so với các số thực. Để đưa ra quy tắc
đạo hàm hàm hợp trong định lý 1.15 chúng ta chú ý đến câu hỏi dưới đây: với điều
kiện nào cho hàm  để  T  là một thang thời gian. Để trả lời cho câu hỏi này ta xét
mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.14. Cho  :T  là một hàm tăng ngặt. Khi đó  T  là một thang thời
gian khi và chỉ khi
(i)  là liên tục
(ii)  bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới) chỉ khi T bị chặn trên (tương
ứng bị chặn dưới).
Chứng minh: Chứng minh phản chứng. Giả sử rằng  không liên tục với
 T  là một thang thời gian. Khi đó tồn tại một điểm a  T hoặc là điểm trù mật bên
trái, điểm trù mật bên phải, hoặc là điểm trù mật sao cho  không liên tục tại a .
Không mất tính tổng quát ta giả sử a là điểm trù mật bên trái nhưng không phải là
điểm trù mật bên phải. Cho tn n , tn  T , biểu thị một dãy tăng ngặt hội tụ tới a .
Vì γ tăng ngặt nên   a  bị chặn trên bởi dãy   tn n . Vì vậy   tn n phải hội tụ
về một cận trên hữu hạn, hơn nữa
sup   tn n    a  1.4 
vì γ không liên tục tại a . Tiếp tục sử dụng tính tăng ngặt của hàm  , ta có
sup   tn n   tn n .
Bởi vì  T  đóng,
sup   tn n   T  .
12
Cho b  T sao cho   b   sup   tn n . Vì  tăng b  sup tn n do đó b  a . Từ 1.4  ,
ta có b  a  b  a . Điều này mâu thuẫn giả thiết rằng tn n hội tụ đến a . Vì vậy,
giả thiết phản chứng  T  là một thang thời gian mâu thuẫn nên  là liên tục.
Bây giờ giả sử rằng supT   và  T   M   với một số M  . Khi đó, chúng ta
có thể tìm được một dãy tăng tn n , tn  T mà limn 
tn   . Ta sử dụng hàm  là
hàm tăng ngặt để xác định rằng   tn n hội tụ tới cận trên hữu hạn với
sup{ (t n )}nN { (tn )}nN
Vì thế
sup{ (t n )}nN   (T )
và do đó  T  là tập đóng. Bằng cách chứng minh phản chứng, khi  T  là một
thang thời gian, ta có  ii  .
Giả sử rằng  i  và  ii  đúng và a là một điểm giới hạn của γ (T). Không mất tính
tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại một dãy tăng an n , an   T  , hội tụ đến a .
Cho   tn n tn  T , là một chuỗi mà   tn   a thì tn n cũng là một dãy tăng và
lim   tn   a . Giả sử sup  T    , thì theo  ii  ta có sup  T    . Như vậy lim tn  
n  n 
trái lại thì   . Cho t0  lim tn , vì T đóng nên t0  T . Mặt khác, hàm  liên tục
n 
suy ra   t0   a , do đó a   T  . □
Định lý 1.15. (quy tắc đạo hàm hàm hợp)
Cho  :T  là một hàm tăng ngặt sao cho T :  T  là một thang thời gian.
Cho  :T  và   biểu thị đạo hàm của  trên T . Nếu    t  và     t   tồn
tại với t  T k thì

(  )  (  )  .
Chứng minh: Cho 1    0 và xác định
1
 ' :   1     t       t   
 
thì 1    0 .   t  Δ-khả vi có nghĩa là tồn tại 1  0 sao cho t , s  T , khi t  s  1 ta
'
có
 ( (t )   (s)   (t )  s    (t )   '  (t )  s .
Tương tự như vậy,   t  Δ-khả vi có nghĩa là tồn tại  2  0 sao cho r ,   t   T khi
  t   r   2 , ta có
13

 ( ( (t )))   (r )  ( ( (t ))  r ) (t ) (t ))   '  ( (t ))  r
Ở đó   t  biểu thị toán tử bước nhảy tiến trên T . Cho
 : min 1 , t   1 ( (t )   2 ),  1   t    2  t .
Chú ý rằng vì  tăng ngặt
 (t )   (t )   2  t   1 ( (t )   2 )  t   1 ( (t )   2 )  0.
Tương tự như vậy  1   t    2   t  0 thì với s  T mà t  s   , ta có t  s  1 . Với
mỗi s như vậy ta có
t  s  t   1   t    2 
t  s  t   1   t    2 
s   1   t    2 
s   1   t    2 
  s    t    2
  s     t    2
 t     s    2 .
Tương tự như vậy chúng ta có thể sử dụng t  s   1   t    2   t cho thấy
 2    t     s  . Vì vậy t  s   nghĩa là   t     s    2 . Nên:
 ( ( (t )))    ( s)   ( (t )  s)[ ( (t ))  (t )]

|  ( ( (t )))    ( s)   ( ( (t ))   ( s)) ( (t ))


[ ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )] ( (t )) |

  ( ( (t ))   ( ( s))  ( ( (t ))   ( s)) ( (t ))

  ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )] ( (t ))

  '  ( (t ))   ( s)   '  (t )  s  ( (t ))
  '  ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )  ( (t )  s)  (t )

 '  (t )  s  ( (t ))
  '{  ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )  ( (t)  s) ||   ( t)

 ( (t )  s)  ( (t )) }.
14
Tiếp tục sử dụng tính tăng ngặt của hàm  , ta có  ( (t ))   ( (t )) . Vì vậy, dòng
cuối cùng được viết lại
  '{  ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )  ( (t )  s) ||   (t )
 ( (t )  s)   ( (t )) }
  '{ '  (t )  s   (t )  s    (t )   (t )  s   ( (t )) }
  '{ '   (t )    ( (t )) }  (t )  s)
  '{1    (t )    ( (t )) }  (t )  s)
   (t )  s .
Bây giờ chúng ta xét lại ví dụ 1.13 và kiểm tra rằng
( f g ) (t )  ( f  g )(t ) g  (t ) .
Để ý là g ( )  {t 2 : t  } . Vì thế
 f ( ( g (t )))  f ( g (t )) f ( (t 2 )  f (t 2 ) f ((t  1) 2 )  f (t 2 )
(f g )(t )   
 ( g (t ))  g (t )  (t 2 )  t 2 (t  1) 2 )  t 2
(t  1) 4  t 4 (t 4  4t 3  6t 2  4t  1)  t 4 4t 3  6t 2  4t  1
   .
(t  1) 2 )  t 2 (t 2  2t  1)  t 2 2t  1
Trong đó g   t   2t  1 , ta có
( f  g )(t ) g  (t )  4t 3  6t 2  4t  1.
Kết quả này thu được trong  f g   t  từ quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Như vậy trong trường hợp hàm tăng ngặt sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp
thì đạo hàm trên thang thời gian ta thu được kết quả giống trường hợp đạo hàm hợp
trong tập số thực . Nếu sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp trên tập số nguyên
thì chỉ đúng trong một vài trường hợp cụ thể. Chẳng hạn xét ví dụ1.13 trên cho một
điểm t=0 trong . Vì vậy đạo hàm trên các tập số nguyên , số thực là trường
hợp riêng của đạo hàm trên một thang thời gian cụ thể.
15
1.3. Kết luận chƣơng 1
Chương 1 đã trình bày những vấn đề chính sau:
 Trình bày định nghĩa về thang thời gian và các khái niệm liên quan: Toán
tử bước nhảy, điểm cô lập, điểm trù mật, hàm chính quy, hàm rd-liên tục.
 Trình bày định nghĩa về đạo hàm, vi phân trên thang thời gian, hàm tăng
ngặt, quy tắc đạo hàm hàm hợp và một số ví dụ minh họa.
16
CHƢƠNG 2
TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN
Chương 2 của luận văn trình bày về các định nghĩa, tính chất cơ bản của tích
phân trên thang thời gian. Đưa ra khái niệm, tính chất của hàm đa thức, hàm mũ
trên thang thời gian. Phần cuối chương trình bày về phương trình động lực học để
đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu.
Các kết quả chính của chương này được trích từ các tài liệu [2]; [3]; [8]; [9].
2.1. Định nghĩa tích phân trên thang thời gian
Định nghĩa 2.1.1. Cho T là một thang thời gian, và cho a, b  T sao cho a  b . Một
phân hoạch của  a, b (trong đó  a, b biểu thị khoảng trên thang thời gian) là tập con
tùy ý hữu hạn sắp thứ tự
P : t0 , t1 ,..., tn  trong đó a  t0  t1  ...tn  b, ti  T .
Nói cách khác P tách khoảng  a, b T thành một tập các tập con:
t0 , t1  T , t1, t2  T , tn2 , tn1  T , tn1, tn  T .
Ký hiệu tập hợp của tất cả các phân hoạch thành P  a, b 
Ta cần xác định những  -phân hoạch là gì.
Định nghĩa 2.1.2. Cho   0 . Một phân hoạch P  P  a, b  đưa ra bởi
a  t0  t1  ...tn  b được gọi là  -phân hoạch nếu với mỗi i 1, 2,..., n
ti  ti 1  
với mỗi đoạn ti 1 , ti  T  . Ký hiệu tập hợp của tất cả các phân hoạch là
P  a, b  .
Chú ý rằng có thể xảy ra khả năng ti  ti 1   nhưng chỉ khi   ti   ti 1 . Điều này
được minh họa trong các ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 2.1.3 Xét thang thời gian T  2n : n  N0  0. Giả sử a  0 và b  32 . Cho
P được phân hoạch 0,32 trên T theo 0,1, 2, 4,8,16,32 và tương tự cho P được
phân hoạch theo 0,1,8,16,32 . P là một  -phân hoạch của  0,32 ,   0 . Điều này
xảy ra vì  ti 1 , ti  T   , i 1, 2,..., n . Tuy nhiên, đây không phải là trường hợp
của P . Trong khi  ti 1 , ti  T   , i  2 , khi i  2 ta có
17
t1, t2  T  1,8 T  2, 4   . Vì vậy, P là một  -phân hoạch của 0,32 chỉ khi
  8 1  7.
Tiếp theo chúng ta định nghĩa Δ-tích phân Riemann tương tự như tích phân
Riemann thông thường.
Định nghĩa 2.1.4. Cho f :  a, b T  là một hàm bị chặn và cho P  P  a, b  . Đối
với mỗi cặp ti 1 và ti trong P , chọn một điểm  i  T mà ti 1   i  ti . Gọi tổng
n
S :  f ( i )(ti  ti 1 )
i 1
là một Δ-tổng Riemann tương ứng với P . Chúng ta nói rằng f là Δ-khả tích
Riemann trên  a, b nếu tồn tại một số I  sao cho:   0 ,   0 để
S I 
P, P  P  a, b  . Số phức I được gọi là Δ-tích phân Riemann (hoặc chỉ đơn giản là
Δ-tích phân) của f trên  a, b và được kí hiệu
b
 f  t t .
a
Dưới đây ta sẽ tính toán một số Δ-tích phân trực tiếp từ định nghĩa để hiểu
được tích phân là gì đối với một thang thời gian khác trong trường hợp nó chỉ là
tích phân Riemann thông thường.
Ví dụ 2.1.5. Cho f : T  được xác định bởi f  t   t 2 . Giả sử rằng
T  2n : n  N0  ,
và xét tích phân
32
 f (t )t.
0
(2.5)
Chúng ta thấy, trong ví dụ này ta xét phân hoạch P theo 0,1, 2, 4,8,16,32 nằm
trong P  0,32  ,   0 . Bởi vì ta chọn  i  T mà ti 1   i  ti là duy nhất
 i  ti 1 , 1  0 ,  i  2i 2 , 2  i  6.
Như vậy
32 6 5
 f (t )t  f (0)   f (2 )(2  2 )  f (2 )(2  2 )
i 2 i 1 i 2 i 1 i i 1
0 i 2 i 1
18