Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị 253855
- 84 trang
- file .pdf
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
NGUYỄN HẢI NGUYÊN
PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT
TRONG LÂN CẬN ĐIỂM KỲ DỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGÀNH CƠ HỌC KỸ THUẬT
Hà Nội, 2010
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
NGUYỄN HẢI NGUYÊN
PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT
TRONG LÂN CẬN ĐIỂM KỲ DỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGÀNH CƠ HỌC KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN:
TS ĐINH VĂN PHONG
Hà Nội, 2010
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
MỤC LỤC
MỤC LỤC .............................................................................................................. 1
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ 4
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. 5
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TIẾNG ANH ............................................. 6
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ .......................................................... 7
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................... 9
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ......................................................... 10
1. Bài toán phân tích động lực học hệ nhiều vật .............................................. 10
2. Mục đích của luận văn ................................................................................. 11
3. Cấu trúc luận văn ......................................................................................... 11
CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ................................... 12
1. Phương trình vi phân đại số ......................................................................... 12
2. Chỉ số hệ DAE ............................................................................................. 16
3. Hạ bậc cho phương trình vi phân đại số ...................................................... 19
4. Ổn định hóa phương trình đã hạ bậc ............................................................ 20
4.1. Ổn định hóa Baumgarte ........................................................................ 20
4.1. Phương pháp chiếu ................................................................................ 21
CHƯƠNG 3: MÔ PHỎNG, ĐIỀU KHIỂN HỆ NHIỀU VẬT ............................ 23
1. Sơ lược về hệ nhiều vật ................................................................................ 23
2. Các dạng thức của hệ nhiều vật ................................................................... 24
Nguyễn Hải Nguyên -1- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
2.1. Dạng thức Lagrange nhân tử (LMF) ..................................................... 24
a. Phương pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 25
b. Ổn định hóa liên kết ............................................................................. 27
2.2. Dạng thức Lagrange tổ hợp (ALF) ....................................................... 30
a. Dạng thức bù ........................................................................................ 30
b. Dạng thức Lagrange tổ hợp.................................................................. 32
2.3. Dạng thức Udwadia – Kalaba ............................................................... 34
a. Dạng thức Udwadia - Kalaba ............................................................... 34
b. Ổn định hóa dạng thức Udwadia-Kalaba ............................................. 36
2.3. Dạng thức của nguyên lý phù hợp ........................................................ 37
a. Nguyên lý phù hợp ............................................................................... 37
b. Dạng thức của nguyên lý phù hợp (CPF) ............................................ 38
CHƯƠNG 4: VỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ ......................................... 42
1. Con lắc toán học ........................................................................................... 42
2. Cơ cấu tay quay con trượt ............................................................................ 47
3. So sánh các phương pháp ............................................................................. 51
a. So sánh thời gian tính toán các phương pháp ...................................... 51
b. Sai số phương pháp theo bước thời gian.............................................. 53
3. Điều khiển robot SCARA (RRTR) .......................................................... 55
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 61
PHỤ LỤC ............................................................................................................. 65
Nguyễn Hải Nguyên -2- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
1. Cấu trúc chương trình .................................................................................. 65
a. Chương trình chính............................................................................... 66
b. Phương pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 68
c. Dạng thức Udwadia – Kalaba .............................................................. 70
d. Dạng thức bù ........................................................................................ 72
e. Dạng thức Nguyên lý phù hợp ............................................................. 74
2. Con lắc toán học ........................................................................................... 79
3. Cơ cấu tay quay con trượt ............................................................................ 79
4. Robot SCARA .............................................................................................. 80
Nguyễn Hải Nguyên -3- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được
sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô cũng như sự động viên, góp ý
của các bạn đồng nghiệp, bạn bè và gia đình. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới:
Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, Bộ môn Cơ học ứng dụng trường
Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập và hoàn thành luận văn.
PGS. TS. Đinh Văn Phong, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy
bảo, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập
và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã cho tôi
những đóng góp quý báu để hoàn chỉnh luận văn này.
Các anh chị em trong phòng Cơ điện tử, Viện Cơ học đã nhiệt tình giúp đỡ
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của tôi.
Nhân đây, tôi cũng xin gửi lới cảm ơn tới bạn bè, các anh chị em trong lớp
Cơ học kỹ thuật 2008 đã động viên và giúp đỡ tôi trong những lúc tôi gặp khó
khăn. Đặc biệt, con cũng xin chân thành cảm ơn bố mẹ đã luôn ở bên cạnh động
viên và giúp đỡ con học tập, làm việc và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Hải Nguyên -4- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của tôi. Các số liệu trong luận văn
là trung thực và có nguồn gốc cụ thể, rõ ràng. Các kết quả của luận văn chưa
từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Hải Nguyên -5- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TIẾNG ANH
ODEs Ordinary Differential Equations
DAEs Differential Algebraic Equations
SVD Singular Value Decomposition
BDF Backward Differentiation Formulas
RK Runge-Kutta methods
LMF Lagrangian Multiplier Formulation
PF Penalty Formulation
ALF Augmented Lagrangian Formulation
UKF Udwadia-Kalaba Formulation
CPF Compatibility Principle Formulation
Nguyễn Hải Nguyên -6- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Hiện tượng phá vỡ liên kết trong quá trình mô phỏng......................... 14
Hình 1.2. Mô phỏng con lắc toán học có ổn định hóa ......................................... 14
Hình 1.3. Sai lệch với các bộ tham số khác nhau [7]........................................... 15
Hình 4.1. Con lắc toán học ................................................................................... 42
Hình 4.2. Quỹ đạo nghiệm con lắc toán học của các phương pháp ..................... 44
Hình 4.3. Sai lệch liên kết cấp vị trí ..................................................................... 45
Hình 4.4. Sai lệch liên kết cấp vận tốc ................................................................. 45
Hình 4.5. Sai lệch so với nghiệm tham chiếu ...................................................... 45
Hình 4.6. Sai số phương pháp Baumgarte ( 200,200 ) ......................................... 47
Hình 4.7. Cơ cấu tay quay con trượt [7] .............................................................. 47
Hình 4.8. Nghiệm số hệ có kỳ dị động học trong khoảng (0;2)s ......................... 49
Hình 4.9. Nghiệm hệ không có kỳ dị động học trong khoảng (0;10)s ................ 49
Hình 4.10. Nghiệm không ổn định hóa cho sai số 0.001 ..................................... 50
Hình 4.11. Nghiệm ổn định hóa Baumgarte (3,3) cho sai số 1.57e-7 ................. 50
Hình 4.12. Nghiệm ổn định hóa Baumgarte cải tiến cho sai số 1.8e-9 .............. 50
Hình 4.13. Đồ thị thời gian tính toán theo bước tích phân cho con lắc toán hoc
t = [0,1]s ............................................................................................................... 51
Hình 4.14. Đồ thị thời gian tính toán theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay
con trượt t = [0,1]s ............................................................................................... 52
Nguyễn Hải Nguyên -7- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Hình 4.15. Đồ thị thời gian tính toán theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay
con trượt t = [0,10]s ............................................................................................. 52
Hình 4.16. Đồ thị sai số tính toán theo bước tích phân cho con lắc toán hoc
t = [0,1]s ............................................................................................................... 53
Hình 4.17. Đồ thị sai số tính toán theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay con
trượt t = [0,1]s ...................................................................................................... 54
Hình 4.18. Đồ thị sai số tính toán theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay con
trượt t = [0,10]s .................................................................................................... 54
Hình 4.19. Robot SCARA (RRTR) ..................................................................... 55
Hình 4.20. Lực điều khiển robot SCARA............................................................ 59
Hình 4.22. Đồ thị vận tốc khớp robot SCARA .................................................... 59
Nguyễn Hải Nguyên -8- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 4.1. Sai số phương pháp Baumgarte với các tham số khác nhau ............... 46
Bảng 4.2: Tham số Denavit-Hartenberg robot Scara RRTR ............................. 55
Bảng 4.3: Bảng thông số động lực của Robot Scara RRTR ................................ 56
Nguyễn Hải Nguyên -9- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1. Bài toán phân tích động lực học hệ nhiều vật
Bài toán phân tích động lực học hệ nhiều vật, hay còn gọi là mô phỏng hệ
nhiều vật có vai trò ngày càng tăng trong nhiều lĩnh vực như: công nghiệp ô tô,
hàng không vũ trụ, công nghiệp robot, máy… Việc giải bài toán phân tích động
lực học hệ nhiều vật về mặt toán học là tìm nghiệm phương trình chuyển động
của hệ.
Phương trình mô tả chuyển động của hệ nhiều vật chịu liên kết nói chung
được cho dưới dạng các phương trình vi phân đại số , thường là chỉ số 3 (hệ chịu
liên kết phi honolom tương ứng chỉ số 2). Với các hệ này, các phương pháp tính
trực tiếp đã được phát triển, tuy nhiên khá khó ứng dụng và kiểm soát các vấn đề
với các nhà kỹ thuật. Các phương pháp hạ bậc được chú trọng phát triển hơn, do
tính dễ ứng dụng. Tuy nhiên, việc đạo hàm trực tiếp các phương trình liên kết có
thể làm mất đi tính ổn định của hệ phương trình khi tính toán số. Do đó, song
song với việc hạ bậc, các kỹ thuật ổn định khác cũng cần phải được sử dụng.
Một phương pháp ổn định hóa phương trình hạ bậc được sử dụng phổ biến là kỹ
thuật ổn định hóa Baumgarte. Tuy nhiên, khó khăn trong việc lựa chọn các tham
số Baumgarte cũng như sự thiếu đi một đảm bảo toán học chắc chắn cho sự tồn
tại các tham số để hệ mô phỏng ổn định đã làm phương pháp trở nên thiếu tin
cậy.
Gần đây, cùng với sự phát triển của các hệ thống robot công nghiệp, dáng
người… các yếu tố liên kết động học càng trở lên phức tạp. Khái niệm liên kết
không chỉ bó hẹp trong phạm vi các quan hệ hình học, mà còn mở rộng ra các
yêu cầu thao tác, các điều khiển chu trình hay các điều kiện tối ưu. Đồng thời,
Nguyễn Hải Nguyên - 10 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
hiện tượng suy biến, hay các điểm kỳ dị trong cấu trúc và vùng lân cận nó cũng
ngày càng được quan tâm khảo sát.
2. Mục đích của luận văn
Luận văn tập trung vào bài toán phân tích động lực học và mô phỏng hệ
nhiều vật. Việc giải quyết bài toán này gắn chặt với việc giải các hệ phương trình
vi phân và vi phân đại số. Việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số ban đầu
được đặt ra cho các nhà kỹ thuật, hiện nay đã thu được sự quan tâm ngày càng
nhiều của các nhà toán học. Tuy nhiên, luận văn này đi sâu nghiên cứu DAEs
dưới góc độ kỹ thuật, tập trung làm rõ các vấn đề chính của DAE, xây dựng các
giải thuật để có thể áp dụng trực tiếp cho các bài toán thực tế, cân bằng giữa việc
ứng dụng giải thuật dễ dàng và đảm bảo sai số chấp nhận được. Luận văn đi sâu
vào việc dạng thức hóa nguyên lý phù hợp, bổ sung các ổn định hóa đồng thời
minh chứng khả năng vượt qua các điểm kỳ dị của nguyên lý này, trên cơ sở so
sánh với các phương pháp vượt qua điểm kỳ dị hiện hành.
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm bốn chương. Chương đầu giới thiệu sơ lược mục tiêu của
luận văn. Chương 2, luận văn đi sâu vào làm rõ sự khác biệt giữa DAEs và
ODEs, và chỉ ra giới hạn khảo sát của luận văn. Chương 3 là một số các dạng
thức thường dùng trong việc phân tích động lực học hệ nhiều vật, đồng thời giới
thiệu một vài mở rộng của nguyên lý phù hợp. Chương 4, hiện thực hóa các dạng
thức này qua hai ví dụ, từ đó làm cơ sở cho tính đúng đắn cũng như so sánh giữa
các phương pháp.
Nguyễn Hải Nguyên - 11 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
Sự vận động của các hệ cơ học nói riêng, và các hệ động lực nói chung
được mô tả qua các hệ phương trình vi phân, tương ứng với các bài toán điều
kiện đầu, điều kiện biên. Việc xây dựng các hệ phương trình này thường dựa trên
một vài thông tin, như tổng năng lượng của hệ hay sự trao đổi điện trong hệ bảo
toàn trong quá trình vận động. Tuy nhiên trong thực tế, các yếu tố khác như các
quan hệ động học giữa các bộ phận trong hệ nhiều vật, hay sự tập trung các
thành phần không âm trong các phản ứng hóa học… cũng cần được kể đến, và
chúng thường là các quan hệ đại số. Khi đó để mô tả đầy đủ hệ, ta có được một
hệ hỗn hợp gồm các phương trình vi phân và đại số, ta thu được hệ phương trình
vi phân đại số.
1. Phương trình vi phân đại số
Trong những thập kỷ gần đây, cùng với sự phát triển của hệ nhiều vật,
phương trình vi phân đại số cũng thu được sự quan tâm của các nhà toán học
cũng như kỹ thuật [1,3]. Việc mô tả hệ động lực, ở dạng tổng quát có thể thu
được phương trình vi phân dạng ẩn như sau:
F ( t , x ( t ) , x′ ( t ) ) = 0 (2.1)
trong đó F ( t , x ( t ) , x′ ( t ) ) là hàm liên tục trên R 2 n+1 . Khi đó nếu
Fz ( t , x, z ) = ∂∂Fz ( t , x, z ) không suy biến tại điểm ( t , x, z ) , thì theo đình lý về hàm
ẩn, (2.1) tương đương với một hệ phương trình vi phân tại lân cận điểm đó. Nếu
Fz ( t , x, z ) suy biến với mọi ( t , x, z ) trong một vùng nào đó, thì (2.1) là hệ
phương trình vi phân đại số.
Nguyễn Hải Nguyên - 12 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Phương trình vi phân đại số về bản chất là khác với phương trình vi phân
thường (dạng hiển). Nói chung việc tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đại
số với điều kiện đầu nào đó là không phải khi nào cũng xác định. Không phải
mọi bài toán điều kiện đầu của phương trình vi phân đại số đều có nghiệm, thậm
chí là hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng số. Để có nghiệm,
điều kiện đầu phải tương thích [19], phải thỏa mãn một vài phương trình đại số
nào đó. Về mặt phương pháp số, phương trình vi phân đại số là khá yếu (ill
condition – ill posed problem), và cần rất chú ý khi rời rạc hóa. Mức độ khó khi
làm việc với phương trình vi phân đại số có thể được đo bằng chỉ số, chỉ số càng
cao, càng khó ứng dụng. Mặc dù, có một số phương pháp giải trực tiếp, và một
số code chương trình được xây dựng như RADAU II, RKSTAB... nhưng việc
ứng dụng và kiểm soát sai số là khá phức tạp, hơn nữa tính ổn định của phương
pháp phụ thuộc các bài toán cụ thể. Do đó, với các hệ có chỉ số cao, một số kỹ
thuật giảm chỉ số (hạ bậc) thường được áp dụng trước khi rời rạc hóa. Tuy nhiên,
việc này dẫn đến một hiện tượng đặc trưng là nghiệm số rời xa đa tạp bất biến
tạo bởi các phương trình liên kết, sai lệch khỏi đặc trưng vật lý của hệ.
Để khắc phục hiện tượng này, một loạt các phương pháp được đề xuất [5]
để đảm bảo nghiệm của phương trình đã giảm chỉ số vẫn nằm trên đa tạp bất
biến tạo bởi các phương trình liên kết. Năm 1972, Baumgarte [6] giới thiệu một
phương pháp ổn định hóa trên quan điểm điều khiển nhằm giảm hiện tượng này.
Về bản chất, kỹ thuật ổn định hóa của Baumgarte là cấu trúc lại hệ phương trình
thành hệ phương trình vi phân phường mà đa tạp bất biến của nó ổn định tiệm
cận. Tuy nhiên, mặc dù phương pháp của Baumgarte rất phổ dụng trong các bài
toán ứng dụng, nhưng sự khó khăn trong việc chọn các tham số khiến phương
pháp trở nên bất ổn định. Hình 1.1 dưới đây mô tả hiện tượng vi phạm các liên
kết vị trí khi mô phỏng con lắc toán học. Hình 1.2, mô phỏng hệ con lắc toán học
có bổ sung ổn định hóa.
Nguyễn Hải Nguyên - 13 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Hình 1.1. Hiện tượng phá vỡ liên kết trong quá trình mô phỏng
Hình 1.2. Mô phỏng con lắc toán học có ổn định hóa
Với một số hệ, như hệ Andrew [7], hiện tượng vi phạm các liên kết xảy ra
với tất cả các bộ tham số từ 0 đến 100, Hình 1.3. Các phương pháp chiếu, bù
(ALF)... cho một số kết quả tốt với các bài toán thực hiện, tuy nhiên lại phải trả
Nguyễn Hải Nguyên - 14 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
bằng số lượng tính toán rất lớn, do cần bổ sung các vòng lặp trong và việc thực
hiện không hề đơn giản.
Hình 1.3. Sai lệch với các bộ tham số khác nhau [7]
Mặc dù phương trình vi phân đại số hoàn toàn không phải là phương trình
vi phân thường, tuy nhiên mọi người thường có xu hướng gắn các khái niệm
DAEs với ODEs theo nghĩa nào đó. Ví dụ như, người ta thường định nghĩa chỉ
số đạo hàm (differential index) của hệ DAEs là số tối tiểu các đạo hàm phương
trình liên kết để hệ DAEs có thể chuyển thành hệ ODEs. Tương tự như hệ ODEs,
việc khảo sát DAEs cũng quan tâm chủ yếu đến các khía cạnh như sự tồn tại và
duy nhất nghiệm, tính chất ổn định, ổn định tiệm cận của nghiệm…[18,19]. Như
vậy việc giải các DAEs nói chung là dựa trên các kết quả của phương trình
ODEs. Tuy nhiên, các phương pháp số truyền thống cho các phương trình ODEs
cứng như BDF và RK ẩn sử dụng cho DAEs không phải khi nào cũng hiệu quả.
Điều này khiến ta cần xem xét lại để tìm ra sự khác biệt thực sự giữa DAEs và
ODEs, từ đó tìm ra cách tích phân hiệu quả hơn.
Nguyễn Hải Nguyên - 15 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Sau đây, ta lần lượt xem xét một vài vấn đề quan trọng của phương trình vi
phân đại số.
2. Chỉ số hệ DAE
Khảo sát một hệ DAEs phi tuyến:
F ( t , x, x′ ) = 0 (2.2)
với F ( t , x, x′ ) = 0 liên tục trong miền Ω ⊂ R 2 n+1 . Nghiệm x ( t ) của (2.2)
trong khoảng I được định nghĩa như một hàm khả vi liên tục trên miền I thỏa
mãn (2.2) với mọi t ∈ I . Như đã biết, ODEs thỏa mãn điều kiện Lipschitz sẽ có
nghiệm duy nhất tương ứng với 1 điều kiện đầu đã cho. Thực tế, tính liên tục của
hàm vế phải của một ODE là đủ cho sự tồn tại nghiệm nghiệm cho bài toán điều
kiện đầu. Tuy nhiên, với DAEs thì không chỉ tính trơn của vế phải mà cả cấu
trúc đại số của nó quyết định sự tồn tại nghiệm.
Ví dụ như hệ DAE tuyến tính hệ số hằng số sau:
Ax′ ( t ) + Bx ( t ) + f ( t ) =
0 , x ( 0) = 0 (2.3)
với
1 0 1 1 x1
A= , B = 0 0 , x = x
0 0 2
Khi đó, nếu f = ( 0 0) thì (2.3) sẽ có vô số nghiệm dạng
T
t
x1 ( t ) = ∫ eτ −tξ (τ ) dτ , x2 ( t ) = ξ ( t ) với ξ ( t ) có thể là bất kỳ hàm khả vi liên tục
0
nào thỏa mãn ξ ( 0 ) = 0 . Khi f = ( 0 1) , thì (2.3) lại hoàn toàn không có
T
nghiệm. Do đó cả thành phần không đồng nhất f và cấu trúc của ma trận A , B
Nguyễn Hải Nguyên - 16 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
đều đóng vai trò trong sự tồn tại nghiệm của hệ. Từ đây hình thành khái niệm,
tính khả tích của hệ DAEs (solvability).
Định nghĩa 2.1: Cho một khoảng I ∈ R , miền Ω ∈ R 2 n+1 và hàm khả tích
F : I → R n . Khi đó DAEs (2.2) được gọi là khả tích trên I nếu có một họ nghiệm
φ ( t , c ) xác định trên I × Ω
,Ω
⊂ R r sao cho:
1. φ ( t , c ) xác định trên I với mỗi c ∈ Ω
.
2. ( t ,φ ( t , c ) ,φ ′ ( t , c ) ) ∈ Ω với ( t , c ) ∈ I × Ω
.
3. Nếu ψ ( t ) là một nghiệm nào đó với ( t ,ψ ( t ) ,ψ ′ ( t ) ) ∈ Ω , thì
ψ ( t ) = φ ( t , c ) với giá trị nào đó c ∈ Ω
.
4. ϕ (t , c) là đa tạp (r + 1) chiều.
Theo định nghĩa này, hệ DAEs (2.3) là không khả tích. Tuy nhiên, cho hệ
DAEs tổng quát (2.2), thì tiêu chuẩn này không phải khi nào cũng có thể xác
định một cách dễ dàng, và thường được quy về giả thiết tồn tại hạng cố định[17]:
, z ) ) const < n
rank ( Dz F ( t , x= (2.4)
Với Dz F là ký hiệu danh nghĩa đạo hàm.
∂Φ ∂Φ ∂Φ
DΦ ( t , ξ 0 , ξ1 ,..., ξl +1 )= + ξ1 + ... + ξl +1 (2.5)
∂t ∂ξ 0 ∂ξl
Khi đó chỉ số (chỉ số đạo hàm – differential index) của DAE (2.2) được định
nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.2: Chỉ số của DAE (2.2) là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho
hàm F có liên tiếp m đạo hàm và hệ các phương trình đạo hàm phi tuyến:
Nguyễn Hải Nguyên - 17 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
F ( t , x0 , x1 ) = 0
DF ( t , x0 , x1 , x 2 ) = 0
(2.6)
...
D mF ( t , x0 , x1 , x 2 ,..., x m+1 ) = 0
có nghiệm trên khoảng I : x 1 = φ ( t , x0 ) .
Để tham khảo thêm ta đưa ra định nghĩa của chỉ số nhiễu (perturbation
index), thường được dùng để khảo sát các hệ cơ học. Chỉ số nhiễu chỉ ra sai số
làm tròn của tính toán có thể ảnh hưởng nhiều đến chừng nào với sai số của
nghiệm được tính bằng phương pháp số.
Định nghĩa 2.3: Phương trình (2.2) có chỉ số nhiễu m dọc theo nghiệm x trên
đoạn [ 0,t ] , nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho với mọi hàm số x̂ có sai số:
F ( t , xˆ , xˆ ′ ) = δ ( t ) (2.7)
sẽ tồn tại một ước lượng trên [ 0,t ] :
(
xˆ ( t ) − x ( t ) ≤ C xˆ ( 0 ) − x ( 0 ) + max δ (ξ ) + ... + max δ m−1 (ξ )
0≤ξ ≤t 0≤ξ ≤t
) (2.8)
với các giá trị bên phải là đủ nhỏ. C là hằng số không phụ thuộc vào nhiễu δ
mà chỉ phụ thuộc vào hàm số F và khoảng tích phân.
Chỉ số đạo hàm và chỉ số nhiễu là bằng nhau khi hệ DAEs có dạng sau:
Bx′ = F1 ( t , x ) (2.9)
với B là ma trận hằng số. Còn lại nói chung là chúng thỏa mãn liên hệ sau:
Chỉ số đạo hàm ≤ Chỉ số nhiễu ≤ Chỉ số đạo hàm + 1 (2.10)
Nguyễn Hải Nguyên - 18 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
NGUYỄN HẢI NGUYÊN
PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT
TRONG LÂN CẬN ĐIỂM KỲ DỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGÀNH CƠ HỌC KỸ THUẬT
Hà Nội, 2010
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
NGUYỄN HẢI NGUYÊN
PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT
TRONG LÂN CẬN ĐIỂM KỲ DỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGÀNH CƠ HỌC KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN:
TS ĐINH VĂN PHONG
Hà Nội, 2010
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
MỤC LỤC
MỤC LỤC .............................................................................................................. 1
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ 4
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. 5
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TIẾNG ANH ............................................. 6
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ .......................................................... 7
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................... 9
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ......................................................... 10
1. Bài toán phân tích động lực học hệ nhiều vật .............................................. 10
2. Mục đích của luận văn ................................................................................. 11
3. Cấu trúc luận văn ......................................................................................... 11
CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ................................... 12
1. Phương trình vi phân đại số ......................................................................... 12
2. Chỉ số hệ DAE ............................................................................................. 16
3. Hạ bậc cho phương trình vi phân đại số ...................................................... 19
4. Ổn định hóa phương trình đã hạ bậc ............................................................ 20
4.1. Ổn định hóa Baumgarte ........................................................................ 20
4.1. Phương pháp chiếu ................................................................................ 21
CHƯƠNG 3: MÔ PHỎNG, ĐIỀU KHIỂN HỆ NHIỀU VẬT ............................ 23
1. Sơ lược về hệ nhiều vật ................................................................................ 23
2. Các dạng thức của hệ nhiều vật ................................................................... 24
Nguyễn Hải Nguyên -1- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
2.1. Dạng thức Lagrange nhân tử (LMF) ..................................................... 24
a. Phương pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 25
b. Ổn định hóa liên kết ............................................................................. 27
2.2. Dạng thức Lagrange tổ hợp (ALF) ....................................................... 30
a. Dạng thức bù ........................................................................................ 30
b. Dạng thức Lagrange tổ hợp.................................................................. 32
2.3. Dạng thức Udwadia – Kalaba ............................................................... 34
a. Dạng thức Udwadia - Kalaba ............................................................... 34
b. Ổn định hóa dạng thức Udwadia-Kalaba ............................................. 36
2.3. Dạng thức của nguyên lý phù hợp ........................................................ 37
a. Nguyên lý phù hợp ............................................................................... 37
b. Dạng thức của nguyên lý phù hợp (CPF) ............................................ 38
CHƯƠNG 4: VỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ ......................................... 42
1. Con lắc toán học ........................................................................................... 42
2. Cơ cấu tay quay con trượt ............................................................................ 47
3. So sánh các phương pháp ............................................................................. 51
a. So sánh thời gian tính toán các phương pháp ...................................... 51
b. Sai số phương pháp theo bước thời gian.............................................. 53
3. Điều khiển robot SCARA (RRTR) .......................................................... 55
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 61
PHỤ LỤC ............................................................................................................. 65
Nguyễn Hải Nguyên -2- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
1. Cấu trúc chương trình .................................................................................. 65
a. Chương trình chính............................................................................... 66
b. Phương pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 68
c. Dạng thức Udwadia – Kalaba .............................................................. 70
d. Dạng thức bù ........................................................................................ 72
e. Dạng thức Nguyên lý phù hợp ............................................................. 74
2. Con lắc toán học ........................................................................................... 79
3. Cơ cấu tay quay con trượt ............................................................................ 79
4. Robot SCARA .............................................................................................. 80
Nguyễn Hải Nguyên -3- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được
sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô cũng như sự động viên, góp ý
của các bạn đồng nghiệp, bạn bè và gia đình. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới:
Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, Bộ môn Cơ học ứng dụng trường
Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập và hoàn thành luận văn.
PGS. TS. Đinh Văn Phong, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy
bảo, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập
và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã cho tôi
những đóng góp quý báu để hoàn chỉnh luận văn này.
Các anh chị em trong phòng Cơ điện tử, Viện Cơ học đã nhiệt tình giúp đỡ
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của tôi.
Nhân đây, tôi cũng xin gửi lới cảm ơn tới bạn bè, các anh chị em trong lớp
Cơ học kỹ thuật 2008 đã động viên và giúp đỡ tôi trong những lúc tôi gặp khó
khăn. Đặc biệt, con cũng xin chân thành cảm ơn bố mẹ đã luôn ở bên cạnh động
viên và giúp đỡ con học tập, làm việc và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Hải Nguyên -4- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của tôi. Các số liệu trong luận văn
là trung thực và có nguồn gốc cụ thể, rõ ràng. Các kết quả của luận văn chưa
từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Hải Nguyên -5- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TIẾNG ANH
ODEs Ordinary Differential Equations
DAEs Differential Algebraic Equations
SVD Singular Value Decomposition
BDF Backward Differentiation Formulas
RK Runge-Kutta methods
LMF Lagrangian Multiplier Formulation
PF Penalty Formulation
ALF Augmented Lagrangian Formulation
UKF Udwadia-Kalaba Formulation
CPF Compatibility Principle Formulation
Nguyễn Hải Nguyên -6- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Hiện tượng phá vỡ liên kết trong quá trình mô phỏng......................... 14
Hình 1.2. Mô phỏng con lắc toán học có ổn định hóa ......................................... 14
Hình 1.3. Sai lệch với các bộ tham số khác nhau [7]........................................... 15
Hình 4.1. Con lắc toán học ................................................................................... 42
Hình 4.2. Quỹ đạo nghiệm con lắc toán học của các phương pháp ..................... 44
Hình 4.3. Sai lệch liên kết cấp vị trí ..................................................................... 45
Hình 4.4. Sai lệch liên kết cấp vận tốc ................................................................. 45
Hình 4.5. Sai lệch so với nghiệm tham chiếu ...................................................... 45
Hình 4.6. Sai số phương pháp Baumgarte ( 200,200 ) ......................................... 47
Hình 4.7. Cơ cấu tay quay con trượt [7] .............................................................. 47
Hình 4.8. Nghiệm số hệ có kỳ dị động học trong khoảng (0;2)s ......................... 49
Hình 4.9. Nghiệm hệ không có kỳ dị động học trong khoảng (0;10)s ................ 49
Hình 4.10. Nghiệm không ổn định hóa cho sai số 0.001 ..................................... 50
Hình 4.11. Nghiệm ổn định hóa Baumgarte (3,3) cho sai số 1.57e-7 ................. 50
Hình 4.12. Nghiệm ổn định hóa Baumgarte cải tiến cho sai số 1.8e-9 .............. 50
Hình 4.13. Đồ thị thời gian tính toán theo bước tích phân cho con lắc toán hoc
t = [0,1]s ............................................................................................................... 51
Hình 4.14. Đồ thị thời gian tính toán theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay
con trượt t = [0,1]s ............................................................................................... 52
Nguyễn Hải Nguyên -7- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Hình 4.15. Đồ thị thời gian tính toán theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay
con trượt t = [0,10]s ............................................................................................. 52
Hình 4.16. Đồ thị sai số tính toán theo bước tích phân cho con lắc toán hoc
t = [0,1]s ............................................................................................................... 53
Hình 4.17. Đồ thị sai số tính toán theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay con
trượt t = [0,1]s ...................................................................................................... 54
Hình 4.18. Đồ thị sai số tính toán theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay con
trượt t = [0,10]s .................................................................................................... 54
Hình 4.19. Robot SCARA (RRTR) ..................................................................... 55
Hình 4.20. Lực điều khiển robot SCARA............................................................ 59
Hình 4.22. Đồ thị vận tốc khớp robot SCARA .................................................... 59
Nguyễn Hải Nguyên -8- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 4.1. Sai số phương pháp Baumgarte với các tham số khác nhau ............... 46
Bảng 4.2: Tham số Denavit-Hartenberg robot Scara RRTR ............................. 55
Bảng 4.3: Bảng thông số động lực của Robot Scara RRTR ................................ 56
Nguyễn Hải Nguyên -9- Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1. Bài toán phân tích động lực học hệ nhiều vật
Bài toán phân tích động lực học hệ nhiều vật, hay còn gọi là mô phỏng hệ
nhiều vật có vai trò ngày càng tăng trong nhiều lĩnh vực như: công nghiệp ô tô,
hàng không vũ trụ, công nghiệp robot, máy… Việc giải bài toán phân tích động
lực học hệ nhiều vật về mặt toán học là tìm nghiệm phương trình chuyển động
của hệ.
Phương trình mô tả chuyển động của hệ nhiều vật chịu liên kết nói chung
được cho dưới dạng các phương trình vi phân đại số , thường là chỉ số 3 (hệ chịu
liên kết phi honolom tương ứng chỉ số 2). Với các hệ này, các phương pháp tính
trực tiếp đã được phát triển, tuy nhiên khá khó ứng dụng và kiểm soát các vấn đề
với các nhà kỹ thuật. Các phương pháp hạ bậc được chú trọng phát triển hơn, do
tính dễ ứng dụng. Tuy nhiên, việc đạo hàm trực tiếp các phương trình liên kết có
thể làm mất đi tính ổn định của hệ phương trình khi tính toán số. Do đó, song
song với việc hạ bậc, các kỹ thuật ổn định khác cũng cần phải được sử dụng.
Một phương pháp ổn định hóa phương trình hạ bậc được sử dụng phổ biến là kỹ
thuật ổn định hóa Baumgarte. Tuy nhiên, khó khăn trong việc lựa chọn các tham
số Baumgarte cũng như sự thiếu đi một đảm bảo toán học chắc chắn cho sự tồn
tại các tham số để hệ mô phỏng ổn định đã làm phương pháp trở nên thiếu tin
cậy.
Gần đây, cùng với sự phát triển của các hệ thống robot công nghiệp, dáng
người… các yếu tố liên kết động học càng trở lên phức tạp. Khái niệm liên kết
không chỉ bó hẹp trong phạm vi các quan hệ hình học, mà còn mở rộng ra các
yêu cầu thao tác, các điều khiển chu trình hay các điều kiện tối ưu. Đồng thời,
Nguyễn Hải Nguyên - 10 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
hiện tượng suy biến, hay các điểm kỳ dị trong cấu trúc và vùng lân cận nó cũng
ngày càng được quan tâm khảo sát.
2. Mục đích của luận văn
Luận văn tập trung vào bài toán phân tích động lực học và mô phỏng hệ
nhiều vật. Việc giải quyết bài toán này gắn chặt với việc giải các hệ phương trình
vi phân và vi phân đại số. Việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số ban đầu
được đặt ra cho các nhà kỹ thuật, hiện nay đã thu được sự quan tâm ngày càng
nhiều của các nhà toán học. Tuy nhiên, luận văn này đi sâu nghiên cứu DAEs
dưới góc độ kỹ thuật, tập trung làm rõ các vấn đề chính của DAE, xây dựng các
giải thuật để có thể áp dụng trực tiếp cho các bài toán thực tế, cân bằng giữa việc
ứng dụng giải thuật dễ dàng và đảm bảo sai số chấp nhận được. Luận văn đi sâu
vào việc dạng thức hóa nguyên lý phù hợp, bổ sung các ổn định hóa đồng thời
minh chứng khả năng vượt qua các điểm kỳ dị của nguyên lý này, trên cơ sở so
sánh với các phương pháp vượt qua điểm kỳ dị hiện hành.
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm bốn chương. Chương đầu giới thiệu sơ lược mục tiêu của
luận văn. Chương 2, luận văn đi sâu vào làm rõ sự khác biệt giữa DAEs và
ODEs, và chỉ ra giới hạn khảo sát của luận văn. Chương 3 là một số các dạng
thức thường dùng trong việc phân tích động lực học hệ nhiều vật, đồng thời giới
thiệu một vài mở rộng của nguyên lý phù hợp. Chương 4, hiện thực hóa các dạng
thức này qua hai ví dụ, từ đó làm cơ sở cho tính đúng đắn cũng như so sánh giữa
các phương pháp.
Nguyễn Hải Nguyên - 11 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
Sự vận động của các hệ cơ học nói riêng, và các hệ động lực nói chung
được mô tả qua các hệ phương trình vi phân, tương ứng với các bài toán điều
kiện đầu, điều kiện biên. Việc xây dựng các hệ phương trình này thường dựa trên
một vài thông tin, như tổng năng lượng của hệ hay sự trao đổi điện trong hệ bảo
toàn trong quá trình vận động. Tuy nhiên trong thực tế, các yếu tố khác như các
quan hệ động học giữa các bộ phận trong hệ nhiều vật, hay sự tập trung các
thành phần không âm trong các phản ứng hóa học… cũng cần được kể đến, và
chúng thường là các quan hệ đại số. Khi đó để mô tả đầy đủ hệ, ta có được một
hệ hỗn hợp gồm các phương trình vi phân và đại số, ta thu được hệ phương trình
vi phân đại số.
1. Phương trình vi phân đại số
Trong những thập kỷ gần đây, cùng với sự phát triển của hệ nhiều vật,
phương trình vi phân đại số cũng thu được sự quan tâm của các nhà toán học
cũng như kỹ thuật [1,3]. Việc mô tả hệ động lực, ở dạng tổng quát có thể thu
được phương trình vi phân dạng ẩn như sau:
F ( t , x ( t ) , x′ ( t ) ) = 0 (2.1)
trong đó F ( t , x ( t ) , x′ ( t ) ) là hàm liên tục trên R 2 n+1 . Khi đó nếu
Fz ( t , x, z ) = ∂∂Fz ( t , x, z ) không suy biến tại điểm ( t , x, z ) , thì theo đình lý về hàm
ẩn, (2.1) tương đương với một hệ phương trình vi phân tại lân cận điểm đó. Nếu
Fz ( t , x, z ) suy biến với mọi ( t , x, z ) trong một vùng nào đó, thì (2.1) là hệ
phương trình vi phân đại số.
Nguyễn Hải Nguyên - 12 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Phương trình vi phân đại số về bản chất là khác với phương trình vi phân
thường (dạng hiển). Nói chung việc tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đại
số với điều kiện đầu nào đó là không phải khi nào cũng xác định. Không phải
mọi bài toán điều kiện đầu của phương trình vi phân đại số đều có nghiệm, thậm
chí là hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng số. Để có nghiệm,
điều kiện đầu phải tương thích [19], phải thỏa mãn một vài phương trình đại số
nào đó. Về mặt phương pháp số, phương trình vi phân đại số là khá yếu (ill
condition – ill posed problem), và cần rất chú ý khi rời rạc hóa. Mức độ khó khi
làm việc với phương trình vi phân đại số có thể được đo bằng chỉ số, chỉ số càng
cao, càng khó ứng dụng. Mặc dù, có một số phương pháp giải trực tiếp, và một
số code chương trình được xây dựng như RADAU II, RKSTAB... nhưng việc
ứng dụng và kiểm soát sai số là khá phức tạp, hơn nữa tính ổn định của phương
pháp phụ thuộc các bài toán cụ thể. Do đó, với các hệ có chỉ số cao, một số kỹ
thuật giảm chỉ số (hạ bậc) thường được áp dụng trước khi rời rạc hóa. Tuy nhiên,
việc này dẫn đến một hiện tượng đặc trưng là nghiệm số rời xa đa tạp bất biến
tạo bởi các phương trình liên kết, sai lệch khỏi đặc trưng vật lý của hệ.
Để khắc phục hiện tượng này, một loạt các phương pháp được đề xuất [5]
để đảm bảo nghiệm của phương trình đã giảm chỉ số vẫn nằm trên đa tạp bất
biến tạo bởi các phương trình liên kết. Năm 1972, Baumgarte [6] giới thiệu một
phương pháp ổn định hóa trên quan điểm điều khiển nhằm giảm hiện tượng này.
Về bản chất, kỹ thuật ổn định hóa của Baumgarte là cấu trúc lại hệ phương trình
thành hệ phương trình vi phân phường mà đa tạp bất biến của nó ổn định tiệm
cận. Tuy nhiên, mặc dù phương pháp của Baumgarte rất phổ dụng trong các bài
toán ứng dụng, nhưng sự khó khăn trong việc chọn các tham số khiến phương
pháp trở nên bất ổn định. Hình 1.1 dưới đây mô tả hiện tượng vi phạm các liên
kết vị trí khi mô phỏng con lắc toán học. Hình 1.2, mô phỏng hệ con lắc toán học
có bổ sung ổn định hóa.
Nguyễn Hải Nguyên - 13 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Hình 1.1. Hiện tượng phá vỡ liên kết trong quá trình mô phỏng
Hình 1.2. Mô phỏng con lắc toán học có ổn định hóa
Với một số hệ, như hệ Andrew [7], hiện tượng vi phạm các liên kết xảy ra
với tất cả các bộ tham số từ 0 đến 100, Hình 1.3. Các phương pháp chiếu, bù
(ALF)... cho một số kết quả tốt với các bài toán thực hiện, tuy nhiên lại phải trả
Nguyễn Hải Nguyên - 14 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
bằng số lượng tính toán rất lớn, do cần bổ sung các vòng lặp trong và việc thực
hiện không hề đơn giản.
Hình 1.3. Sai lệch với các bộ tham số khác nhau [7]
Mặc dù phương trình vi phân đại số hoàn toàn không phải là phương trình
vi phân thường, tuy nhiên mọi người thường có xu hướng gắn các khái niệm
DAEs với ODEs theo nghĩa nào đó. Ví dụ như, người ta thường định nghĩa chỉ
số đạo hàm (differential index) của hệ DAEs là số tối tiểu các đạo hàm phương
trình liên kết để hệ DAEs có thể chuyển thành hệ ODEs. Tương tự như hệ ODEs,
việc khảo sát DAEs cũng quan tâm chủ yếu đến các khía cạnh như sự tồn tại và
duy nhất nghiệm, tính chất ổn định, ổn định tiệm cận của nghiệm…[18,19]. Như
vậy việc giải các DAEs nói chung là dựa trên các kết quả của phương trình
ODEs. Tuy nhiên, các phương pháp số truyền thống cho các phương trình ODEs
cứng như BDF và RK ẩn sử dụng cho DAEs không phải khi nào cũng hiệu quả.
Điều này khiến ta cần xem xét lại để tìm ra sự khác biệt thực sự giữa DAEs và
ODEs, từ đó tìm ra cách tích phân hiệu quả hơn.
Nguyễn Hải Nguyên - 15 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Sau đây, ta lần lượt xem xét một vài vấn đề quan trọng của phương trình vi
phân đại số.
2. Chỉ số hệ DAE
Khảo sát một hệ DAEs phi tuyến:
F ( t , x, x′ ) = 0 (2.2)
với F ( t , x, x′ ) = 0 liên tục trong miền Ω ⊂ R 2 n+1 . Nghiệm x ( t ) của (2.2)
trong khoảng I được định nghĩa như một hàm khả vi liên tục trên miền I thỏa
mãn (2.2) với mọi t ∈ I . Như đã biết, ODEs thỏa mãn điều kiện Lipschitz sẽ có
nghiệm duy nhất tương ứng với 1 điều kiện đầu đã cho. Thực tế, tính liên tục của
hàm vế phải của một ODE là đủ cho sự tồn tại nghiệm nghiệm cho bài toán điều
kiện đầu. Tuy nhiên, với DAEs thì không chỉ tính trơn của vế phải mà cả cấu
trúc đại số của nó quyết định sự tồn tại nghiệm.
Ví dụ như hệ DAE tuyến tính hệ số hằng số sau:
Ax′ ( t ) + Bx ( t ) + f ( t ) =
0 , x ( 0) = 0 (2.3)
với
1 0 1 1 x1
A= , B = 0 0 , x = x
0 0 2
Khi đó, nếu f = ( 0 0) thì (2.3) sẽ có vô số nghiệm dạng
T
t
x1 ( t ) = ∫ eτ −tξ (τ ) dτ , x2 ( t ) = ξ ( t ) với ξ ( t ) có thể là bất kỳ hàm khả vi liên tục
0
nào thỏa mãn ξ ( 0 ) = 0 . Khi f = ( 0 1) , thì (2.3) lại hoàn toàn không có
T
nghiệm. Do đó cả thành phần không đồng nhất f và cấu trúc của ma trận A , B
Nguyễn Hải Nguyên - 16 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
đều đóng vai trò trong sự tồn tại nghiệm của hệ. Từ đây hình thành khái niệm,
tính khả tích của hệ DAEs (solvability).
Định nghĩa 2.1: Cho một khoảng I ∈ R , miền Ω ∈ R 2 n+1 và hàm khả tích
F : I → R n . Khi đó DAEs (2.2) được gọi là khả tích trên I nếu có một họ nghiệm
φ ( t , c ) xác định trên I × Ω
,Ω
⊂ R r sao cho:
1. φ ( t , c ) xác định trên I với mỗi c ∈ Ω
.
2. ( t ,φ ( t , c ) ,φ ′ ( t , c ) ) ∈ Ω với ( t , c ) ∈ I × Ω
.
3. Nếu ψ ( t ) là một nghiệm nào đó với ( t ,ψ ( t ) ,ψ ′ ( t ) ) ∈ Ω , thì
ψ ( t ) = φ ( t , c ) với giá trị nào đó c ∈ Ω
.
4. ϕ (t , c) là đa tạp (r + 1) chiều.
Theo định nghĩa này, hệ DAEs (2.3) là không khả tích. Tuy nhiên, cho hệ
DAEs tổng quát (2.2), thì tiêu chuẩn này không phải khi nào cũng có thể xác
định một cách dễ dàng, và thường được quy về giả thiết tồn tại hạng cố định[17]:
, z ) ) const < n
rank ( Dz F ( t , x= (2.4)
Với Dz F là ký hiệu danh nghĩa đạo hàm.
∂Φ ∂Φ ∂Φ
DΦ ( t , ξ 0 , ξ1 ,..., ξl +1 )= + ξ1 + ... + ξl +1 (2.5)
∂t ∂ξ 0 ∂ξl
Khi đó chỉ số (chỉ số đạo hàm – differential index) của DAE (2.2) được định
nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.2: Chỉ số của DAE (2.2) là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho
hàm F có liên tiếp m đạo hàm và hệ các phương trình đạo hàm phi tuyến:
Nguyễn Hải Nguyên - 17 - Luận văn Thạc sỹ cơ học
Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
F ( t , x0 , x1 ) = 0
DF ( t , x0 , x1 , x 2 ) = 0
(2.6)
...
D mF ( t , x0 , x1 , x 2 ,..., x m+1 ) = 0
có nghiệm trên khoảng I : x 1 = φ ( t , x0 ) .
Để tham khảo thêm ta đưa ra định nghĩa của chỉ số nhiễu (perturbation
index), thường được dùng để khảo sát các hệ cơ học. Chỉ số nhiễu chỉ ra sai số
làm tròn của tính toán có thể ảnh hưởng nhiều đến chừng nào với sai số của
nghiệm được tính bằng phương pháp số.
Định nghĩa 2.3: Phương trình (2.2) có chỉ số nhiễu m dọc theo nghiệm x trên
đoạn [ 0,t ] , nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho với mọi hàm số x̂ có sai số:
F ( t , xˆ , xˆ ′ ) = δ ( t ) (2.7)
sẽ tồn tại một ước lượng trên [ 0,t ] :
(
xˆ ( t ) − x ( t ) ≤ C xˆ ( 0 ) − x ( 0 ) + max δ (ξ ) + ... + max δ m−1 (ξ )
0≤ξ ≤t 0≤ξ ≤t
) (2.8)
với các giá trị bên phải là đủ nhỏ. C là hằng số không phụ thuộc vào nhiễu δ
mà chỉ phụ thuộc vào hàm số F và khoảng tích phân.
Chỉ số đạo hàm và chỉ số nhiễu là bằng nhau khi hệ DAEs có dạng sau:
Bx′ = F1 ( t , x ) (2.9)
với B là ma trận hằng số. Còn lại nói chung là chúng thỏa mãn liên hệ sau:
Chỉ số đạo hàm ≤ Chỉ số nhiễu ≤ Chỉ số đạo hàm + 1 (2.10)
Nguyễn Hải Nguyên - 18 - Luận văn Thạc sỹ cơ học