Ôn thi đại học môn toán chuyên đề lượng giác

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
 Chuyeân ñeà 2: LÖÔÏNG GIAÙC
 Vaán ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn
cosx = cos  x =  + k2
 x    k2
sinx = sin  
 x      k2
tanx = tan  x =  + k
cotx = cot  x =  + k (vôùi k  )
2. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc
asin2x + bsinx + c = 0. Ñaët t = sinx,  t  1
acos2x + bcosx + c = 0. Ñaët t = cosx,  t  1
atan2x + btanx + c = 0. Ñaët t = tanx
acot2x + bcotx + c = 0. Ñaët t = cotx
3. Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx, cosx
asinx + bcosx = c (*)
Ñieàu kieän coù nghieäm: a2 + b2  c2
 Caùch 1: Chia hai veá cho a2  b2  0
a b c
(*)  sinx + cosx =
a2  b 2 a2  b 2 a2  b 2
2 2
 a   b 
Do   + =1
2 2 2 2 
 a b   a b 
a b
Neân coù theå ñaët = cos, = sin
2 2
a b 2
a  b2
Khi ñoù:
c c
(*)  sinxcos + sincosx =  sin(x + ) =
a2  b 2 a2  b 2
 Caùch 2: Chia hai veá cho a (giaû söû a  0)
b c
(*)  sinx + cosx =
a a
b sin  c
Ñaët = tan. Khi ñoù: (*)  sinx + cosx =
a cos  a
70
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
c c
 sinx cos + sin cosx = cos  sin(x + ) = cos
a a
 Caùch 3: Ñaët aån soá phuï.
 Xeùt x = (2k + 1) vôùi (k  ) coù laø nghieäm 0
 Xeùt x  (2k + 1) vôùi (k  )
x
Ñaët t = tan
2
2t 1  t2
Khi ñoù: (*)  a 2
+b = c  (b + c)t2 – 2at + c – b = 0
1 t 1  t2
4. Phöông trình ñoái xöùng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
 
Ñaët t = sinx + cosx = 2 cos  x  
 4
Ñieàu kieän  t  2
t2  1
Khi ñoù: t2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx =
2
Thay vaøo phöông trình ta ñöôïc phöông trình ñaïi soá theo t.
 Chuù yù: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0
Ñaët t = sinx – cosx (vôùi t  2 )
5. Phöông trình ñaúng caáp baäc 2 ñoái vôùi sinx, cosx
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0

 Xeùt cosx = 0  x = + k (k  ) coù laø nghieäm khoâng?
2
 Xeùt cosx  0. Chia 2 veá cho cos2x ta thu ñöôïc phöông trình baäc 2 theo tanx.
 Chuù yù: Neáu laø phöông trình ñaúng caáp baäc k ñoái vôùi sinx, cosx thì ta xeùt cosx = 0
vaø xeùt cosx  0 chia 2 veá cuûa phöông trình cho coskx vaø ta thu ñöôïc moät
phöông trình baäc k theo tanx.
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011
1  sin 2x  cos2x
Giaûi phöông trình:  2 sin x.sin 2x .
1  cot 2 x
Giaûi
Ñieàu kieän: sinx  0. Khi ñoù:
1  sin 2x  cos2x
(1)   2 sin x.  2sin x cosx 
1
sin2 x
71
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
 
 sin2 x 1  sin2x  cos2x  2 2 sin2 x.cosx
 1  sin2x  cos2x  2 2 cosx (vì sinx  0)
 2cos2 x  2sin x cosx  2 2 cosx  0
 cosx  0  cosx  sin x  2
 
 cosx  0  sin  x    1
 4
 
 x  k  x   k2 (k  Z) (Thoûa ñieàu kieän sinx  0).
2 4
 
Vaäy nghieäm cuûa (1) laø x 
 k  x   k2 (k  Z).
2 4
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011
Giaûi phöông trình: sin2xcosx  sinxcosx  cos2x  sinx  cosx
Giaûi
sin2xcosx  sinxcosx  cos2x  sinx  cosx
 2sinx.cos2x + sinx.cosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx
 sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1
 cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1
 sinx – 1 = 0 hoaëc cosx (2cosx + 1) = 1
 sinx = 1 hoaëc 2cos2x + cosx – 1 = 0
1
 sinx = 1 hoaëc cosx = –1 hoaëc cosx =
2
 
 x  k2 hoaëc x    k2 hoaëc x    k2
2 3
  2
 x  k2 hoaëc x   k (k Z)
2 3 3
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011
sin 2x  2 cosx  sin x  1
Giaûi phöông trình: 0
tan x  3
Giaûi
sin 2x  2 cosx  sin x  1
 0 . Ñieàu kieän: tanx   3 vaø cosx  0.
tan x  3
 sin2x  2cosx  sinx  1  0  2sin x cosx  2cosx  sin x  1  0  
72
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
     
 2cosx sin x  1  sin x  1  0  sin x  1 2cosx  1  0 
sin x  1 (Loaïi vì khi ñoù cosx = 0)

   x    k2 (k Z).
 cosx  1 3
 2

So vôùi ñieàu kieän ta ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình laø x   k2 (k Z).
3
Baøi 4: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011
Giaûi phöông trình: cos4x + 12sin2x – 1 = 0.
Giaûi
2 2
cos4x + 12sin x – 1 = 0  2cos 2x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0
 cos22x – 3cos2x + 2 = 0  cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)
 2x = k2π  x = kπ (k  Z).
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010
 
(1  sin x  cos2x)sin  x  
 4 1
Giaûi phöông trình:  cos x
1  tan x 2
Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0 vaø tanx ≠ – 1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1  sin x  cos2x).(sin x  cosx)
 cosx
1  tan x
(1  sin x  cos2x).(sin x  cosx)
 cosx  cosx
sin x  cosx
 1  sin x  cos2x  1  sin x  cos2x  0
1
 2sin2 x  sin x  1  0  sin x  1(loaï i) hay sin x  
2
 7
x  k2 hay x   k2 (k  Z)
6 6
Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010
Giaûi phöông trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
 cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2x – 1) = 0
 cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0
73
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
 cos2x (cosx + sinx + 2) = 0
 cos2x  0
 
 cosx  sin x  2  0 (vn)
  
 2x =  k (k  )x=  k (k  ).
2 4 2
Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2010
Giaûi phöông trình sin2x  cos2x  3sinx  cosx  1  0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2sin x cos x  1  2sin 2 x  3sin x  cos x  1  0
 cos x(2sin x  1)  2sin 2 x  3sin x  2  0
 cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  2)  0
 (2sin x  1)(cos x  sin x  2)  0
 
 1  x  6  k2
 sin x 
 2  (k  ) .
  x  5  k2
 cos x  sin x  2 (VN)  6
Baøi 8: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010
5x 3x
Giaûi phöông trình 4 cos cos  2(8sin x  1)cosx  5 .
2 2
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2(cos4x  cosx)  16sin x cosx  2cosx  5
 2cos4x  8sin2x  5  2  4sin2 2x  8sin2x  5
3 1
 4sin22x – 8sin2x + 3 = 0  sin 2x  (loaïi ) hay sin 2x 
2 2
 5
 2x   k2 hay 2x   k2
6 6
 5
 x   k hay x   k (k  ) .
12 12
Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009
1  2sin x  cos x
Giaûi phöông trình:  3.
1  2sin x 1  sin x 
74
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giaûi
1
Ñieàu kieän: sinx  1 vaø sinx   (*)
2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 – 2sinx)cosx = 3 1  2sin x 1  sin x 
 cosx  3 sin x  sin2x  3 cos2x
   
 cos  x    cos  2x  
 3   6
  2
x  k2 hoaë c x    k (k  )
2 18 3
 2
Keát hôïp (*), ta ñöôïc nghieäm: x    k  k  
18 3
Baøi 10: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009
Giaûi phöông trình: sinx + cosxsin2x + 
3 cos3x  2 cos4x  sin3 x 
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 – 2sin2x)sinx + cosxsin2x + 3 cos3x  2cos4x
 sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x  2cos4x
 
 sin3x + 3 cos3x  2 cos4x  cos  3x    cos4x
 6
 
 4x = 3x   k2 hoaë c 4x  3x   k2 (k  )
6 6
  2
Vaäy: x =   k2; x  k k   .
6 42 7
Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009
Giaûi phöông trình: 3 cos5x  2sin3xcos2x  sinx  0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
3 cos5x   sin5x  sin x   sin x  0
3 1  
 cos5x  sin 5x  sin x  sin   5x   sin x
2 2  3 
 
  5x  x  k2 hay  5x    x  k2 (k  )
3 3
   
Vaäy: x =  k hay x    k  k  
18 3 6 2
75
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 12: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009
Giaûi phöông trình (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 + 4sinx + 4sin2x)cosx = 1 + sinx + cosx
 cosx + 4sinxcosx + 4sin2xcosx = 1 + sinx + cosx
 1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1
1
 sinx = 1 hay sin2x =
2
  5
 x    k2 hay x   k hay x   k (vôùi k  ).
2 12 12
Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008
1 1  7 
Giaûi phöông trình:   4sin   x
sin x  3   4 
sin  x  
 2 
Giaûi
 3 
Ta coù: sin  x    cosx
 2 
sin x  0
Ñieàu kieän:   sin2x  0
cos x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
1 1  
  4sin  x  
sin x cosx  4
  cosx  sin x   2 2  sin x  cosx  sin x cosx

  cosx  sin x  1  2 sin 2x  0 
 
 x   4  k
 cos x  sin x  0  tan x  1 
 
     x    k (k  ).
sin 2x   1 sin 2x   2  8
 2  2 
5
x   k
 8
Baøi 14: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008
Giaûi phöông trình: sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin2 x cosx
Giaûi
sin x  3 cos x  sin x.cos x  3 sin2 x.cosx
3 3 2
(1)
76
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Caùch 1: Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sin x(cos2 x  sin2 x)  3 cosx(cos2 x  sin2 x)  0
 
 cos2 x  sin2 x sin x  3 cosx  0 
  k
 cos2x  0 x  4  2
   (k  )
 tan x   3  x     k
 3
  
Nghieäm cuûa phöông trình laø: x   k vaø x    k (k  )
4 2 3
Caùch 2:  cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình (1).
 Chia hai veá cuûa phöông trình (1) cho cos3x ta ñöôïc:
tan3 x  3  tan x  3 tan3 x
 
 x    k
 tan x   3 3
 (tan x  3)(tan2 x  1)  0    k  
 tan x  1  x     k
 4
Baøi 15: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008
Giaûi phöông trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
4sinx.cos2x + sin2x – 1 – 2cosx = 0
 2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = 0
 (sin2x – 1)(2cosx + 1) = 0
1  2 2
 sin 2x  1hay cosx    x   k hayx   k2 hay x    k2 (k  )
2 4 3 3
Baøi 16: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008
Giaûi phöông trình: sin3x  3 cos3x  2sin2x .
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
1 3  
sin3x  cos3x  sin 2x  cos sin3x  sin cos3x  sin 2x
2 2 3 3
 
 sin  3x    sin 2x
 3
77
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
   
3x  3  2x  k2  x  3  k2
   (k  )
3x      2x  k2  x  4  k2
 3  15 5
Baøi 17: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2
 (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0
 
 x    k, x   k2, x  k2 (k  ) .
4 2
Baøi 18: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 2sin22x + sin7x – 1 = sinx.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
sin7x  sinx + 2sin22x  1 = 0  cos4x(2sin3x  1) = 0
 k
 cos4x = 0  x =  k  
8 4
1  2 5 2
 sin3x   x  k hoaëc x  k (k  ) .
2 18 3 18 3
Baøi 19: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007
2
 x x
Giaûi phöông trình:  sin  cos   3 cosx  2
 2 2
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
  1  
1  sin x  3 cosx  2  cos  x     x   k2, x    k2 (k  )
 6 2 2 6
Baøi 20: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI A NAÊM 2007
   1  sin x 
Giaûi phöông trình: 3tan2  x    2  
 2   sin x 
Giaûi
Ñieàu kieän: sinx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2 3 2
3cot 2 x  2  2
 1  0
sin x sin x sin x
78
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
 1
 sin x  1 
   x   k2,  k  
 1 1 2
   voâ nghieä m 
 sin x 3
Baøi 21: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI B NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
sin x
1 + sinx + cosx +  0 (ñieàu kieän: cosx  0)
cos x
 1 
  sin x  cosx  1  0
 cosx 
 3
sin x  cos x  0 x  k
    4 (k  )
 cos x  1 
 x    k2
Baøi 22: CAO ÑAÚNG XAÂY DÖÏNG SOÁ 2 NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: cos4x – sin4x + cos4x = 0.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
cos2x – sin2x + 2cos22x – 1 = 0
 
 cos2x  1  x   k
2
 2cos22x + cos2x – 1 = 0     (k  )
 cos2x  1  x     k
 2  6
Baøi 23: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 2sin3x + 4cos3x = 3sinx.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2sin3x + 4cos3x – 3sinx(sin2x + cos2x) = 0
 sin3x + 3sinxcos2x – 4cos3x = 0 (1)
Deã thaáy cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa (1)
Do ñoù cosx  0, ta chia hai veá cuûa (1) cho cos3x, ta ñöôïc:
(1)  tan3x + 3tanx – 4 = 0  (tanx – 1)(tan2x + tanx + 4) = 0
 tanx = 1 (do tan2x + tanx + 4 > 0 vôùi x)

 x   k (k  )
4
79
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 24: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
Giaûi phöông trình:
 
2 cos6 x  sin6 x  sin x cosx
0
2  2sin x
Giaûi
2
Ñieàu kieän: sin x  (1).
2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
 2(cos6x + sin6x) – sinxcosx = 0
 3  1
 2  1  sin2 2x   sin 2x  0
 4  2

 3sin2 2x  sin2x  4  0  sin2x = 1  x =  k (k  ).
4
5
Do ñieàu kieän (1) neân: x   2m. (m  ).
4
Baøi 25: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
 x
Giaûi phöông trình: cot x  sin x 1  tan x tan   4
 2
Giaûi
Ñieàu kieän: sinx  0, cosx  0, (1)
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
x x
cos x cos  sin xsin
cos x 2 2 4
 sin x
sin x x
cos x cos
2
cosx sin x 1 1
  4  4  sin2x 
sin x cosx sin x cosx 2
 5
 x   k hay x   k (k  ), thoûa maõn (1)
12 12
Baøi 26: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: cos3x + cos2x  cosx  1 = 0.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
 2sin 2x.sin x  2sin2 x  0
 sin x hay sin 2x  sin x  0
 sin x  0 hay 2cosx  1  0
80
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
2
 x = k hay x    k2 (k  )
3
Baøi 27: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
23 2
Giaûi phöông trình: cos3x.cox3x – sin3x.sin3x =
8
Giaûi
3sin x  sin3x
Ta coù coâng thöùc: sin3x = 3sinx – 4sin3x  sin3 x 
4
3cosx  cos3x
vaø cos3x = 4cos3x – 3cosx  cos3 x 
4
Töø ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình
 3cosx  cos3x   3sin x  sin3x  2  3 2
cos3x    sin3x  
 4   4  8
23 2
 cos2 3x  sin2 3x  3(cos3x cosx  sin3xsin x) 
2
23 2 2  
 1  3cos4x   cos4x   x    k (k  )
2 2 16 2
Baøi 28: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: (2sin2x  1)tan22x + 3(2cos2x  1) = 0
Giaûi
Ñieàu kieän cos2x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
cos2xtan22x + 3cos2x = 0  cos2x(tan22x – 3) = 0
 cos2x  0  loaï i   
   tan 2x   3  x    k  k  
2
 tan 2x  3  0 6 2
Baøi 29: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
(sinx + cosx)(1  cosxsinx)  cos2x = 0
 (sinx + cosx)(1  sinx. cosx  (cosx  sinx)) = 0
 (sinx + cosx)(1  cosx)(1 + sinx) = 0
 
 x    k x  k2 x    k2,  k  
4 2
Baøi 30: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
81
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Tìm nghieäm treân khoaûng (0; ) cuûa phöông trình:
x  3 
4sin2  3 cos2x  1  2 cos2  x  
2  4 
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
 3 
 2(1  cosx)  3 cos2x  1  1  cos  2x  
 2 
 2 – 2cosx  3 cos2x = 2 – sin2x
 3 cos2x – sin2x = 2cosx
3 1  
 cos2x  sin 2x   cosx  cos  2x    cos(  x)
2 2  6
 5 2
 x  18  k 3
  (k  )
 x   7  k2
 6
5 17 5
Do x  (0; ) neân ta coù nghieäm: x1  , x2  , x3  .
18 18 6
Baøi 31: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
 
Giaûi phöông trình: sin x cos2x  cos2 x tan2 x  1  2sin3 x  0 .
Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0  sinx   1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
 sin2 x 
sin x.cos2x  cos2 x   1  2sin3 x  0
 cos2 x 
 
 
 sin x cos2x  2sin2 x  cos2x  0
 sin x(cos2x  1  cos2x)  cos2x  0
 2sin2 x  sin x  1  0
 
sin x  1 (loaï i)  x  6  k2
  k
sin x  1  x  5  k2
 2  6
Baøi 32: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
  cos2x  1
Giaûi phöông trình: tan   x   3tan2 x 
 2  cos2 x
82
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0 vaø sinx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2sin2 x 1
 cot x  3tan2 x  2
  tan2 x  0  tan3 x  1
cos x tan x

 tan x  1  x   k (k  ) thoûa ñieàu kieän.
4
Baøi 33:
Giaûi phöông trình: 5sinx  2 = 3(1  sinx) tan2x
Giaûi
Ñieàu kieän cosx  0  sinx   1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sin2 x sin2 x
5sin x  2  3 1  sin x  .  3 1  sin x 
cos2 x 1  sin2 x
 (5sinx  2) (1 + sinx) = 3sin2x
 5sinx + 5sin2x  2  2sinx = 3sin2x
 2sin2x + 3sinx  2 = 0
 
 1  x  6  k2
sin x  (thoû a maõ n ñk)
  2   (k  )
  x  5  k2
sinx =  2 (loaï i)  6
Baøi 34:
Giaûi phöông trình (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sin2x  sinx.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
(2cosx  1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx  sinx
 (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx  1)
 (2cosx  1) (sinx + cosx) = 0
 
 1  x =  3  k2
cos x 
  2   (k  )
  x     k
 tan x  1
 4
Baøi 35: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx.
Giaûi
cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình neân ta chia 2 veá cho cos3x
83
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
4tan3x + 4 = 1 + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)
 tan3x – tan2x – 3tanx + 3 = 0  (tanx – 1)(tan2x – 3) = 0
 tan x  1hay tan2 x  3  tan x  1 hay tan x   3
 
 x  k hay x    k  k  
4 3
Baøi 36: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
1 1  
Giaûi phöông trình:   2 2 cos  x  
cosx sin x  4
Giaûi
k
Ñieàu kieän cosxsinx  0  x  (k  )
2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
 
sin x  cosx  2 2 cos  x   cosxsin x
 4
   
  2 cos  x    2 cos  x   sin 2x
 4  4
 
 cos  x    0 hay sin 2x  1
 4
    
 x  4  2  k  x  4  k
    (k  )
2x     k2  x     k
 2  4
Baøi 37:
cos2x 1
Giaûi phöông trình cotx  1 =  sin2 x  sin 2x .
1  tan x 2
Giaûi
 
 x    k
tan x  1  4 
Ñieàu kieän    xk (k  )
sin x,cos x  0 x  k  2

 2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
cosx  sin x

 2
cos x  sin x cosx 2

 sin2 x  cosxsin x
sin x cosx  sin x
84
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
cosx  sin x
   cosx  sin x  cosx  sin x  sin x  cosx 
sin x
 cosx  sin x  0 hay 1  sin x cosx  sin2 x
 tanx = 1 hay1  tan2 x  tanx  tan2x
 
 x   k 
  4  x   k,  k  
4
2 tan2 x  tan x  1  0  voâ nghieä m 
Baøi 38:
2
Giaûi phöông trình: cotx  tanx + 4sin2x =
sin 2x
Giaûi
Ñieàu kieän sin2x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2 cos2x 2
  4sin 2x   2 cos2x  4sin2 2x  2
sin 2x sin 2x
 2cos22x  cos2x  1 = 0
 cos2x  1  loaï i 
1 
   cos2x =   x    k  k  
 cos2x   1 2 3
 2
Baøi 39:
 x  x
Giaûi phöông trình sin2    tan2 x  cos2  0.
2 4 2
Giaûi

Ñieàu kieän: x   k, k 
2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
 
1  cos  x  
 2  tan2 x  1  cos x  0
2 2
sin2 x 1  cosx 1  cosx 
 (1  sin x) 2
 1  cosx  0   1  cosx
cos x 1  sin x
 1  cosx  0 hay1 cosx 1  sin x
 x    k2  nhaä n 
 cos x  1 hay tan x   1   k  
 x     k  nhaä n 
 4
85
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 40: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 3  tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0.
Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sin x  sin x 
3   2sin x   6 cosx  0
cosx  cosx 
 3cos x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos3x = 0
2
 3cos2x(1 + 2cosx) – sin2x(1 + 2cosx) = 0
 1 + 2cosx = 0 hay 3cos2x – sin2x = 0
1 
 cos2x   hay tan2 x  3  x    k  k   hay tan x   3
2 3

 x    k  k  
3
Baøi 41: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 3cos4x  8cos6x + 2cos2x + 3 = 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
3(1 + cos4x) – 2cos2x (4cos4x – 1) = 0
 6cos22x – 2cos2x(2cos2x – 1)(2cos2x + 1) = 0
 6cos22x – 2cos2x(cos2x)(2cos2x + 1) = 0
 2cos2x = 0 hay 3cos2x – cos2x(2cos2x + 1) = 0
 cos2x  0
  4 2
2 cos x  5cos x  3  0
 cos2x  0
 2     k
2x   k x 
  cos x  1  2  4 2 , k
 3  
2
 cos x   loaï i   x  k  x  k
 2
Baøi 42: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
 2  3  cos x  2sin2  x2  4 
Giaûi phöông trình: 1.
2 cos x  1
Giaûi
1
Ñieàu kieän: cos x 
2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
86
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
   
(2  3)cosx  1  cos  x     2 cosx  1   3 cosx  sin x  0
  2 

 tan x  3  x   k; (k  )
3
1 4
Keát hôïp laïi ñieàu kieän cos x  . Ta choïn x   m2, m 
2 3
Baøi 43: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
2 cos 4x
Giaûi phöông trình: cotx = tanx +
sin 2x
Giaûi
Ñieàu kieän sin2x  0  cos2x  1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
cosx sin x 2 cos4x
   cos2x = sin2x + cos4x.
sin x cosx 2sin x.cosx
 cos2x – sin2x – (2cos22x – 1) = 0  2cos22x – cos2x – 1 = 0
1 2 
 cos2x  1 loaï i  hay cos2x    cos  x    k  k  
2 3 3
Baøi 44:
Giaûi phöông trình sin23x  cos24x = sin25x  cos26x.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1  cos6x 1  cos8x 1  cos10x 1  cos12x
  
2 2 2 2
 cos8x + cos6x = cos12x + cos10x
 cos7xcosx = cos11xcosx  cosx = 0 hay cos11x = cos7x
 
 x = 2  k  

 x = k 2
 x  k   (k  )
 2 x  k 

x  k   9
 9
Baøi 45: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
sin4 x  cos4 x 1 1
Giaûi phöông trình:  cot 2x  .
5sin 2x 2 8sin 2x
Giaûi
Ñieàu kieän sin2x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
87
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
1  2sin2 x.cos2 x 1 cos2x 1
 
5sin 2x 2 sin 2x 8sin2x
 9
 cos2x   loaï i 
9 2
 cos2 2x  5cos2x   0  
4  cos2x  1  nhaä n 
 2
1  
cos2x =  cos  x =   k (k  )
2 3 6
Baøi 46: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình tan4 x  1 
 2  sin2 2x  sin3x .
cos4 x
Giaûi
Ñieàu kieän cosx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sin4x + cos4x = (2 – sin22x).sin3x
 1 – 2sin2x.cos2x = (2 – sin22x).sin3x
 (2 – sin22x) = 2(2 – sin22x).sin3x
 2 – sin22x =0( loại) hay 1 = 2sin3x
  2
 x k
1  18 3
 sin3x =  (k  )
2 x  5  k 2
 18 3
Baøi 47: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ - KYÕ THUAÄT COÂNG NGHIEÄP I
   2  3  sin x
Giaûi phöông trình: sin2  x    sin2  x  
 3  3  2
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
    3  sin x
sin2  x    sin2   x  
 3   3  2
 2   2 
1  cos  2x   1  cos   2x 
  3 
  3   3  sin x
2 2 2
 2   2 
 1  sin x  cos  2x    cos   2x   0
 3   3 
 1
 1  sin x  2    cos2x  0
 2
 1 – cos2x – sinx = 0  2sin2x – sinx = 0
88
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
 x  k
sin x  0 
  x    k2
  (k  )
sin x  1  6
 2  5
x   k2
 6
Baøi 48: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ - KYÕ THUAÄT COÂNG NGHIEÄP TP. HCM
Giaûi phöông trình: cos3x.tan5x = sin7x
Giaûi
Ñieàu kieän: cos5x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sin5x. cos3x = sin7x. cos5x
1 1
  sin 2x  sin8x    sin 2x  sin12x 
2 2
 k
x  2
 sin12x = sin8x   (k  )
 x    k
 20 10
Baøi 49: CAO ÑAÚNG COÂNG NGHIEÄP THÖÏC PHAÅM
1 1  
Giaûi phöông trình:   2 sin  x  
cosx sin x  4
Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0; sinx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)
 sinx + cosx = 0 hay 2 = sin2x ( voâ nghieäm)

 tanx = 1  x    k (k  )
4
Baøi 50: CÑSP TW TP. HCM
Giaûi phöông trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2sinxcosx + 1 – 2sin2x + 3sinx – cosx – 2 = 0
 cosx(2sinx – 1) – (2sin2x  3sinx + 1) = 0
 cosx(2sinx – 1) – (sinx -1)(2sinx  1) = 0
 2sinx – 1 = 0 hay cosx – sinx +1 = 0
89