Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực
- 12 trang
- file .pdf
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Hồ Đình Sinh
I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít
hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng
phương pháp này.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương:
ìx + y + z = 3
ï
í
( )
3
ïî(1 + x )(1 + y )(1 + z ) = 1 + 3 xyz
( )
3
Giải: VT = 1 + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ 1 + 3 3 xyz + 3 3 ( xyz)2 + xyz = 1 + 3 xyz
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
ìï x + 1 + x + 3 + x + 5 = y - 1 + y - 3 + y - 5
í
ïî x + y + x + y = 80
2 2
Giải: ĐK: x ³ -1;y ³ 5
Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường
hợp sau:
Nếu x>y-6 thì VT>VP.
Nếu xSuy ra x=y-6. Từ đây và phương trình thứ hai ta tìm được x,y.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghiệm dương
ì 3x 4y 2z
ï + + =1
íx +1 y +1 z +1
ï89 x 3 y 4 z 2 = 1
î
Giải: Bài toán này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sử dụng phương pháp
bất đẳng thức
Nhận xét: Bậc của x,y,z ở phương trình 2 khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho
xuất hiện bậc giống hệ.
Từ phương trình thứ nhất ta có:
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 1
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
1 2x 4y 2z
= + +
x +1 x +1 y +1 z +1
1 3x 3y 2z
= + +
y +1 x +1 y +1 z +1
1 3x 4y z
= + +
z +1 x +1 y +1 z +1
Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có:
1 x 2 y4 z2
³ 88
x +1 ( x + 1)2 ( y + 1)4 ( z + 1)2
1 x 3 y3 z2
³ 88
y +1 ( x + 1)3 ( y + 1)3 ( z + 1)2
1 x3 y4 z
³ 88
z +1 ( x + 1) 3 ( y + 1)4 ( z + 1)1
Suy ra
1 1 1 x 24 y 32 z16
³ 89 8
(1 + x ) ( y + 1) ( z + 1) ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1)
3 4 2 24 32 16
Þ 89 x 3 y 4 z 2 £ 1
x y z 1 1
Dấu bằng xảy ra Û = = = Ûx=y=z= .
x +1 y +1 z +1 9 8
Ví dụ 4: Giải hệ
ì 4 697
ïx + y =
2
í 81
ï x + y + xy - 3 x - 4 y + 4 = 0
2 2
î
Giải:
Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện có
nghiệm của tam thức bậc 2.
Xét phương trình bậc 2 theo x:
x 2 + x ( y - 3) + y 2 - 4 y + 4 = 0
D x = ( y - 3)2 - 4( y - 2)2
7
Để phương trình có nghiệm thì D x ³ 0 Û 1 £ y £ .
3
4
Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có: 0 £ x £
3
4 2
æ4ö æ7ö 697
Suy ra x + y £ ç ÷ + ç ÷ =
4 2
è3ø è3ø 81
4 7
Þ x = ;y = Tuy nhiên thế vào hệ không thoả mãn dó đó hệ vô nghiệm.
3 3
ìx5 - x 4 + 2x2 y = 2
ï 5
íy - y + 2y z = 2
4 2
Ví dụ 5: Giải hệ
ïz5 - z 4 + 2z2 x = 2
î
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 2
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
Giải:
Ý tưởng của bài toán này là đoán nghiệm của hệ x=y=z=1; Sau đó chứng minh x>1 hay
x<1 hệ vô nghiệm.
+) Nếu x>1
Þ 2 = z5 - z 4 - 2z2 x > z5 - z 4 + 2z2
Þ ( z - 1)( z 4 + 2 z + 2) < 0
2
æ 1ö 3
Do z + 2 z + 2 = ç z 2 - ÷ + ( z + 1)2 + > 0 nên z<1.
4
è 2ø 4
Tương tự, ta có y>1 Þ x<1 suy ra vô lý.
+) Nếu x<1
Tương tự trên ta cũng suy ra được điều vô lý.
Vậy x=y=z=1 là nghiệm của hệ.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ:
ïì xy + yz + zx = x + y + z ì x 2 + y2 + z2 = 3
2 2 2
a) í 6 b) í
ïî x + y + z = 3 îx + y + z = 3
6 6
Bài 2: Giải hệ
ì x3 y = 9
í ĐS: VN
î3x + y = 6
Bài 3: Giải hệ
ìï xz = y + 2
ĐS: (2;2;2)
í
ïî x + z = 2 y ( x - y + z)
Bài 4: Giải hệ
ìï y3 + x 2 = 64 - x 2 y
í 2 ĐS: (0;2)
ïî( x + 2) = y + 6
3
Bài 5: Giải hệ
ìï x + 1 + x + y = 3
í ĐS: (0;4)
ïî x + ( y - 4) + 5 = 5
2
Bài 6:
ì3 x 3 + y + x 2 = 4
ï
í ĐS: (1;0)
ïî x 2 - 1 + x + y 2 = 1
Bài 7. Giải hệ
ìï x 3 + y 2 = 2
í 2 ĐS: VN
ïî x + xy + y - y = 0
2
Bài 8: Giải hệ
ìï x 2 + y 2 + z 2 = 1
í 2
ïî x + y - 2 xy + 2 yz - 2 xz + 1 = 0
2
HD: Hệ đã cho tương đương với
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 3
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
ìï x 2 + y 2 + z 2 = 1
í
ïî( x - y) - 2 z( x - y) + 1 = 0
2
Từ phương trình thứ nhất ta được: -1 £ z £ 1
Từ phương trình thứ hai : x-y tồn tại Û z 2 - 1 ³ 0 Û z ³ 1
Suy ra z = ±1 .
Bài 9: Giải hệ
ìx 2 = y + 1
ï 2
íy = z +1
ïz 2 = x + 1
î
HD: Đây là hệ mà vai trò của x, y, z như nhau.
Giả sử x ³ y ³ z. Suy ra z 2 - 1 ³ x 2 - 1 ³ y 2 - 1 Û z 2 ³ x 2 ³ y 2 (*)
Xét x £ 0 hoặc z ³ 0 . Từ (*) suy ra x=y=z.
Vậy chỉ có trường hợp x>0 và z<0 . Khi đó z 2 = x + 1 > 1 Þ z < -1 Þ y 2 = z + 1 < 0 vô lý.
1± 5
Vậy hệ có 2 nghiệm là x=y=z= .
2
Bài 10: ( Olympic-tỉnh Gia lai 2009) Giải hệ phương trình
ïì x + y + z + 2 xy - zx - zy = 3
2 2 2
í 2
ïî x + y + yz - zx - 2 xy = -1
2
HD: Phương trình đã cho tương đương với
ìï( x + y )2 - z( x + y) + z 2 - 3 = 0
í
ïî( x - y) - z( x - y) + 1 = 0
2
ĐS: (1;0;2) , (-1;0;2).
II. TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CHUNG
Ví dụ 1: Cho abc>0. Giải hệ phương trình
ì xy = a
ï
í yz = b
ï zx = c
î
Giải: Do abc>0 nên hệ đã cho tương đương với
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 4
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
éì bc
êïz =
êï a
ê ïï ab
êí y =
é ì xy = a êï c
êï ê
ê í yz = b ï
ì xy = a ï ê ï x = ac
ê ê îï b
ï î xyz = abc
í yz = b Ûê Ûê
ê ì xy = a êì
ï( xyz )2 = abc êï bc
î êïz = -
ê í yz = b êï a
êï ê ïï
ëê î xyz = - abc ab
êí y = -
êï c
êï ac
êï x = -
ëêïî b
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
ì x + y + xy = 1
ï
í x + z + xz = 2 (*)
ï y + z + yz = 5
î
HD Giải:
ì( x + 1)( y + 1) = 2
ï
(*) Û í( x + 1)( z + 1) = 3
ï( y + 1)( z + 1) = 6
î
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng.
Ví dụ 3: Giải hệ
ì x 2 + 2 yz = x
ï 2
í y + 2 zx = y (*)
ï z 2 + 2 xy = z
î
HD Giải:
ì x 2 + 2 yz = x ì x 2 + 2 yz = x
ï 2 ï
(*) Û í x - y 2 + 2 yz - 2 xz = x - y Û í( x - y)( x + y - 2 z - 1) = 0
ï x 2 - z 2 + 2 yz - 2 xy = x - z ï( x - z )( x + z - 2 y - 1) = 0
î î
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1:
ì xy = 2 ì xy + x + y = 11 ì xy + x + y = 7 ì xy + xz = 8
ï ï ï ï
a) í yz = 6 b) í yz + y + z = 5 c) í yz + y + z = -3 d) í yz + xy = 9
ï zx = 3 ï zx + z + x = 7 ï xz + x + z = -5 ï xz + zy = -7
î î î î
Bài 2:
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 5
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
ì x ( x + y + z ) = 2 - yz ì xy + y + 2 x + 2 = 4 ì x + xy + y = 1
ï ï ï
a) í y( x + y + z ) = 3 - xy b) í yz + 2 z + 3 y = 6 c) í y + yz + z = 4
ï z( x + y + z ) = 6 - xy ï xz + z + 3x = 5 ï z + zx + x = 9
î î î
Bài 3:
ì x 2 + 2 yz = x ì y 2 - xz = b ìx2 + y + z = 3 ìxyz=x+y+z
ï ï ï ïyzt=y+z + t
ï
a) í y 2 + 2 zx = y b)* í z 2 - xy = b (a,b Î R) c) í y 2 + x + z = 3 d) í
ï z 2 + 2 xy = z ï x 2 - yz = a ïz2 + x + y = 3 ï ztx = z + t + x
î î î ïîtxy = t + x + y
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Đôi khi bài toán sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) nhưng chỉ sau một phép đặt
a=f(x), b=f(y); c=f(z) … thì hệ sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
ì x 2 ( y + z )2 = (3x 2 + x + 1) y 2 z 2
ï 2
í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z
2 2 2 2
ï z 2 ( x + y)2 = (5z 2 + z + 1) x 2 y 2
î
Giải:
Nếu x=0 suy ra được y=z=0 Þ ( x; y; z) = (0;0;0) là nghiệm của hệ.
Với x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ 0 chia cả hai vế cho x 2 y 2 z 2 ta thu được
ìæ y + z ö2 1 1
ïç ÷ = 3+ + 2
ïè yz ø x x
ï 2
ïæ x + z ö 1 1
íç ÷ = 4+ + 2
ïè xz ø y y
ï 2
ïæ x + y ö = 5 + 1 + 1
ïçè xy ÷ø z z2
î
1 1 1
Đặt a = ; b = ; c = Ta nhận được
x y z
ì( a + b )2 = c 2 + c + 5 (1)
ï
ï
í( b + c ) = a + a + 3
2 2
(2)
ï
ïî( a + c ) = b + b + 4
2 2
(3)
Lấy (2)-(3) ta được: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1.
Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 .
Suy ra a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta được 3b2 - b - 4 = 0 .
Từ đây các em có thể giải tiếp.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
ìï x 3 ( 6 + 21y ) = 1
í 3
ïî x ( y - 6) = 21
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 6
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) thì ở đây ta thật khó để thấy được được phương hướng giải.
1
Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . Khi đó dưa về hệ
z
ìï z = 21y + 6
3
í 3
ïî y = 21z + 6
Đây là hệ đối xứng loại 2. Các em hãy giải tiếp.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
ì xy 12
ïx + y = 5
ï
ï yz 18
í =
ïy + z 5
ï xz 36
ï =
î x + z 13
HD: Nghịch đảo 2 vế của từng phương trình sau đó đặt ẩn phụ.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:
ì2 x + x 2 y = y
ï
í2 y + y z = z
2
ï2 z + z 2 x = x
î
Giải: Hệ đã cho tương đương với:
ì2 x = y(1 - x 2 )
ï
í2 y = z(1 - y )
2
ï2 z = x (1 - z 2 )
î
Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không là nghiệm của hệ trên nên hệ đã cho tương đương với
ì 2x
ïy = (1)
ï 1 - x2
ï 2y
íz = (2)
ï 1 - y2
ï 2z
ïx = (3)
î 1 - z2
æ -p pö
Đặt x = tan a ; ç < a < ÷ thì
è 2 2ø
2 tan a
(1) Û y = = tan 2a
1 - tan 2 a
2 tan 2a
(2) Û z = = tan 4a
1 - tan 2 2a
2 tan 4a
(3) Û x = = tan 8a = tan a
1 - tan 2 4a
ka
Þ tan a = tan 8a Û a = (k Î Z )
7
-p p -p ka p -7 7
Vì 2 2 2 7 2 2 2
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 7
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
ì -3p -2p -p p 2p 3p ü
Do k Î Z nên k Î {-3; -2; -1;0;1;2;3} Þ a Î í ; ; ;0; ; ; ý
î 7 7 7 7 7 7 þ
ì x = tan a
ï ì -3p -2p -p p 2p 3p ü
Vậy nghiệm của hệ là : í y = tan 2a , với a là các giá trị í ; ; ;0; ; ; ý .
ï z = tan 4a î 7 7 7 7 7 7 þ
î
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
1) Giải và biện luận các hệ phương trình:
ì xyz ì xy
ï y + z - x = a2 ïx + y = a
ï ï
ï xyz ï xz
a) í x + y - z = 2 b) í =a
ï b ïx + z
ï xyz ï yz
ï x + z - y = c2 ïy + z = a
2
î î
Giải các hệ phương trình sau:
ì1 1 1
ï x + yz + xyz = 3
ï ìa + bc + abc = 3 ìa + bc + abc = 3
ï1 1 1 1 1 1 ï ï
2) í + + =3 HD: Đặt a = ; b = ; c = . Hệ íb + ca + abc = 3 Û í(a - b)(1 - c) = 0
ï y zx xyz x y z ïc + ab + abc = 3 ï(a - c)(1 - b) = 0
ï1 1 1
î î
ï + + =3
î z xy xyz
ì 5 xy
ïx + y =1
ï ì5xy = 6( x + y) ì 2 5
ïï x + y + x y + xy + xy = - 4
3 2
ï 5 yz ï
3) í =1 4) í7 yz = 12( y + z) 5) í
ï y + z ï3xz = 4( x + z ) ï x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = - 5
ï 5zx î ïî 4
ï =1
îz + x
ì1 1 ì 2 5
ï x + y = 3 - xy ì1 6 ïï x + y = 2 xy
2
ï ï + =7
6) í 7) í x y 8) í
ï 1 + 1 = 7 - 3x y + 2 ïx - y = 3
2 2
ï x + y = 2 xy
ïî x 2 y 2 î
xy îï y x 2
ì 1 1
ïx + y + x + y = 5 ì2 x 2 + 2 x + y 2 + y = 6 ïì x + y - 3 x + 4 y = 1
2 2
ï
9) í 10) í 11) í
ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 9 î xy( xy + x + y + 1) = 4 ïî3 x - 2 y - 9 x - 8 y = 3
2 2
ïî x 2 y2
ì x
ìx + y
+3
x-y
=4 ì x + x + y + y = 18
2 2 ïx + y + y = 5
ï ï
12) í x - y x+y 13) í 14) í
ï xy = 2 î xy( x + 1)( y + 1) = 72 ï( x + y) x = 6
î ïî y
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 8
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
ì 1 1 ì x
ïx + y + x + y = 4 ï +
y
=
7
+1 ì x ( x + 2)(2 x + y) = 9
ï
15) í 16) í y x xy 17) í 2
ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 4 ï îx + 4x + y = 6
ïî x 2 y2 î x xy + y xy = 78
ì x (3x + 2 y)( x + 1) = 12 ìï y + xy 2 = 6 x 2 ìï1 + x 3 y 3 = 19 x 3
18) í 2 19) í 20) í
îx + 2y + 4x - 8 = 0 ïî1 + x y = 5 x ïî y + xy = -6 x
2 2 2 2 2
ìï8 x 3 y3 + 27 = 18 y 3
21) í 2 (Olympic 2008)
ïî4 x y + 6 x = y
2
ì x + y + x 2 + y2 = 8 ìïx+ y + x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 y3 = 0
22) í 23) í
î x ( x + 1) + y( y + 1) = 12 ïîx y = -2
ì x - 3z - 3z 2 x + z 3 = 0
ï
24) í y - 3x - 3x 2 y + x 3 = 0 (Olympic 2008)
ï z - 3y - 3y2 z + y3 = 0
î
ì 3z - z 3
ï x =
ï 1 - 3z 2
±1 ï 3x - x 3
HD: Đk : x; y; z ¹ . Hệ đã cho tương đương với í y =
3 ï 1 - 3x 2
ï 3y - y3
ïz =
î 1 - 3y2
ì x (4 - y 2 ) = 8 y
ï
25) í y(4 - z 2 ) = 8z (Olympic 2008) . HD: Đặt x=2tan a .
ï z(4 - x 2 ) = 8 x
î
IV. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau;
ì2 x 3 + 2 y 2 + 3 y + 3 = 0
ï 3
í2 y + 2 z + 3z + 3 = 0
2
ï2 z 3 + 2 x 2 + 3 x + 3 = 0
î
Giải: Hệ đã cho tương đương với hệ sau
ì x = f ( y)
ï
í y = f (z)
ïz = f ( x)
î
13 2
Xét hàm số f (t ) = - 2t + 3t + 3
2
Ta có: 2t 2 + 3t + 3 > 0; "t Î R .
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 9
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Hồ Đình Sinh
I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít
hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng
phương pháp này.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương:
ìx + y + z = 3
ï
í
( )
3
ïî(1 + x )(1 + y )(1 + z ) = 1 + 3 xyz
( )
3
Giải: VT = 1 + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ 1 + 3 3 xyz + 3 3 ( xyz)2 + xyz = 1 + 3 xyz
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
ìï x + 1 + x + 3 + x + 5 = y - 1 + y - 3 + y - 5
í
ïî x + y + x + y = 80
2 2
Giải: ĐK: x ³ -1;y ³ 5
Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường
hợp sau:
Nếu x>y-6 thì VT>VP.
Nếu x
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghiệm dương
ì 3x 4y 2z
ï + + =1
íx +1 y +1 z +1
ï89 x 3 y 4 z 2 = 1
î
Giải: Bài toán này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sử dụng phương pháp
bất đẳng thức
Nhận xét: Bậc của x,y,z ở phương trình 2 khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho
xuất hiện bậc giống hệ.
Từ phương trình thứ nhất ta có:
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 1
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
1 2x 4y 2z
= + +
x +1 x +1 y +1 z +1
1 3x 3y 2z
= + +
y +1 x +1 y +1 z +1
1 3x 4y z
= + +
z +1 x +1 y +1 z +1
Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có:
1 x 2 y4 z2
³ 88
x +1 ( x + 1)2 ( y + 1)4 ( z + 1)2
1 x 3 y3 z2
³ 88
y +1 ( x + 1)3 ( y + 1)3 ( z + 1)2
1 x3 y4 z
³ 88
z +1 ( x + 1) 3 ( y + 1)4 ( z + 1)1
Suy ra
1 1 1 x 24 y 32 z16
³ 89 8
(1 + x ) ( y + 1) ( z + 1) ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1)
3 4 2 24 32 16
Þ 89 x 3 y 4 z 2 £ 1
x y z 1 1
Dấu bằng xảy ra Û = = = Ûx=y=z= .
x +1 y +1 z +1 9 8
Ví dụ 4: Giải hệ
ì 4 697
ïx + y =
2
í 81
ï x + y + xy - 3 x - 4 y + 4 = 0
2 2
î
Giải:
Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện có
nghiệm của tam thức bậc 2.
Xét phương trình bậc 2 theo x:
x 2 + x ( y - 3) + y 2 - 4 y + 4 = 0
D x = ( y - 3)2 - 4( y - 2)2
7
Để phương trình có nghiệm thì D x ³ 0 Û 1 £ y £ .
3
4
Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có: 0 £ x £
3
4 2
æ4ö æ7ö 697
Suy ra x + y £ ç ÷ + ç ÷ =
4 2
è3ø è3ø 81
4 7
Þ x = ;y = Tuy nhiên thế vào hệ không thoả mãn dó đó hệ vô nghiệm.
3 3
ìx5 - x 4 + 2x2 y = 2
ï 5
íy - y + 2y z = 2
4 2
Ví dụ 5: Giải hệ
ïz5 - z 4 + 2z2 x = 2
î
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 2
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
Giải:
Ý tưởng của bài toán này là đoán nghiệm của hệ x=y=z=1; Sau đó chứng minh x>1 hay
x<1 hệ vô nghiệm.
+) Nếu x>1
Þ 2 = z5 - z 4 - 2z2 x > z5 - z 4 + 2z2
Þ ( z - 1)( z 4 + 2 z + 2) < 0
2
æ 1ö 3
Do z + 2 z + 2 = ç z 2 - ÷ + ( z + 1)2 + > 0 nên z<1.
4
è 2ø 4
Tương tự, ta có y>1 Þ x<1 suy ra vô lý.
+) Nếu x<1
Tương tự trên ta cũng suy ra được điều vô lý.
Vậy x=y=z=1 là nghiệm của hệ.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ:
ïì xy + yz + zx = x + y + z ì x 2 + y2 + z2 = 3
2 2 2
a) í 6 b) í
ïî x + y + z = 3 îx + y + z = 3
6 6
Bài 2: Giải hệ
ì x3 y = 9
í ĐS: VN
î3x + y = 6
Bài 3: Giải hệ
ìï xz = y + 2
ĐS: (2;2;2)
í
ïî x + z = 2 y ( x - y + z)
Bài 4: Giải hệ
ìï y3 + x 2 = 64 - x 2 y
í 2 ĐS: (0;2)
ïî( x + 2) = y + 6
3
Bài 5: Giải hệ
ìï x + 1 + x + y = 3
í ĐS: (0;4)
ïî x + ( y - 4) + 5 = 5
2
Bài 6:
ì3 x 3 + y + x 2 = 4
ï
í ĐS: (1;0)
ïî x 2 - 1 + x + y 2 = 1
Bài 7. Giải hệ
ìï x 3 + y 2 = 2
í 2 ĐS: VN
ïî x + xy + y - y = 0
2
Bài 8: Giải hệ
ìï x 2 + y 2 + z 2 = 1
í 2
ïî x + y - 2 xy + 2 yz - 2 xz + 1 = 0
2
HD: Hệ đã cho tương đương với
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 3
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
ìï x 2 + y 2 + z 2 = 1
í
ïî( x - y) - 2 z( x - y) + 1 = 0
2
Từ phương trình thứ nhất ta được: -1 £ z £ 1
Từ phương trình thứ hai : x-y tồn tại Û z 2 - 1 ³ 0 Û z ³ 1
Suy ra z = ±1 .
Bài 9: Giải hệ
ìx 2 = y + 1
ï 2
íy = z +1
ïz 2 = x + 1
î
HD: Đây là hệ mà vai trò của x, y, z như nhau.
Giả sử x ³ y ³ z. Suy ra z 2 - 1 ³ x 2 - 1 ³ y 2 - 1 Û z 2 ³ x 2 ³ y 2 (*)
Xét x £ 0 hoặc z ³ 0 . Từ (*) suy ra x=y=z.
Vậy chỉ có trường hợp x>0 và z<0 . Khi đó z 2 = x + 1 > 1 Þ z < -1 Þ y 2 = z + 1 < 0 vô lý.
1± 5
Vậy hệ có 2 nghiệm là x=y=z= .
2
Bài 10: ( Olympic-tỉnh Gia lai 2009) Giải hệ phương trình
ïì x + y + z + 2 xy - zx - zy = 3
2 2 2
í 2
ïî x + y + yz - zx - 2 xy = -1
2
HD: Phương trình đã cho tương đương với
ìï( x + y )2 - z( x + y) + z 2 - 3 = 0
í
ïî( x - y) - z( x - y) + 1 = 0
2
ĐS: (1;0;2) , (-1;0;2).
II. TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CHUNG
Ví dụ 1: Cho abc>0. Giải hệ phương trình
ì xy = a
ï
í yz = b
ï zx = c
î
Giải: Do abc>0 nên hệ đã cho tương đương với
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 4
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
éì bc
êïz =
êï a
ê ïï ab
êí y =
é ì xy = a êï c
êï ê
ê í yz = b ï
ì xy = a ï ê ï x = ac
ê ê îï b
ï î xyz = abc
í yz = b Ûê Ûê
ê ì xy = a êì
ï( xyz )2 = abc êï bc
î êïz = -
ê í yz = b êï a
êï ê ïï
ëê î xyz = - abc ab
êí y = -
êï c
êï ac
êï x = -
ëêïî b
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
ì x + y + xy = 1
ï
í x + z + xz = 2 (*)
ï y + z + yz = 5
î
HD Giải:
ì( x + 1)( y + 1) = 2
ï
(*) Û í( x + 1)( z + 1) = 3
ï( y + 1)( z + 1) = 6
î
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng.
Ví dụ 3: Giải hệ
ì x 2 + 2 yz = x
ï 2
í y + 2 zx = y (*)
ï z 2 + 2 xy = z
î
HD Giải:
ì x 2 + 2 yz = x ì x 2 + 2 yz = x
ï 2 ï
(*) Û í x - y 2 + 2 yz - 2 xz = x - y Û í( x - y)( x + y - 2 z - 1) = 0
ï x 2 - z 2 + 2 yz - 2 xy = x - z ï( x - z )( x + z - 2 y - 1) = 0
î î
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1:
ì xy = 2 ì xy + x + y = 11 ì xy + x + y = 7 ì xy + xz = 8
ï ï ï ï
a) í yz = 6 b) í yz + y + z = 5 c) í yz + y + z = -3 d) í yz + xy = 9
ï zx = 3 ï zx + z + x = 7 ï xz + x + z = -5 ï xz + zy = -7
î î î î
Bài 2:
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 5
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
ì x ( x + y + z ) = 2 - yz ì xy + y + 2 x + 2 = 4 ì x + xy + y = 1
ï ï ï
a) í y( x + y + z ) = 3 - xy b) í yz + 2 z + 3 y = 6 c) í y + yz + z = 4
ï z( x + y + z ) = 6 - xy ï xz + z + 3x = 5 ï z + zx + x = 9
î î î
Bài 3:
ì x 2 + 2 yz = x ì y 2 - xz = b ìx2 + y + z = 3 ìxyz=x+y+z
ï ï ï ïyzt=y+z + t
ï
a) í y 2 + 2 zx = y b)* í z 2 - xy = b (a,b Î R) c) í y 2 + x + z = 3 d) í
ï z 2 + 2 xy = z ï x 2 - yz = a ïz2 + x + y = 3 ï ztx = z + t + x
î î î ïîtxy = t + x + y
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Đôi khi bài toán sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) nhưng chỉ sau một phép đặt
a=f(x), b=f(y); c=f(z) … thì hệ sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
ì x 2 ( y + z )2 = (3x 2 + x + 1) y 2 z 2
ï 2
í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z
2 2 2 2
ï z 2 ( x + y)2 = (5z 2 + z + 1) x 2 y 2
î
Giải:
Nếu x=0 suy ra được y=z=0 Þ ( x; y; z) = (0;0;0) là nghiệm của hệ.
Với x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ 0 chia cả hai vế cho x 2 y 2 z 2 ta thu được
ìæ y + z ö2 1 1
ïç ÷ = 3+ + 2
ïè yz ø x x
ï 2
ïæ x + z ö 1 1
íç ÷ = 4+ + 2
ïè xz ø y y
ï 2
ïæ x + y ö = 5 + 1 + 1
ïçè xy ÷ø z z2
î
1 1 1
Đặt a = ; b = ; c = Ta nhận được
x y z
ì( a + b )2 = c 2 + c + 5 (1)
ï
ï
í( b + c ) = a + a + 3
2 2
(2)
ï
ïî( a + c ) = b + b + 4
2 2
(3)
Lấy (2)-(3) ta được: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1.
Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 .
Suy ra a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta được 3b2 - b - 4 = 0 .
Từ đây các em có thể giải tiếp.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
ìï x 3 ( 6 + 21y ) = 1
í 3
ïî x ( y - 6) = 21
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 6
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) thì ở đây ta thật khó để thấy được được phương hướng giải.
1
Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . Khi đó dưa về hệ
z
ìï z = 21y + 6
3
í 3
ïî y = 21z + 6
Đây là hệ đối xứng loại 2. Các em hãy giải tiếp.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
ì xy 12
ïx + y = 5
ï
ï yz 18
í =
ïy + z 5
ï xz 36
ï =
î x + z 13
HD: Nghịch đảo 2 vế của từng phương trình sau đó đặt ẩn phụ.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:
ì2 x + x 2 y = y
ï
í2 y + y z = z
2
ï2 z + z 2 x = x
î
Giải: Hệ đã cho tương đương với:
ì2 x = y(1 - x 2 )
ï
í2 y = z(1 - y )
2
ï2 z = x (1 - z 2 )
î
Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không là nghiệm của hệ trên nên hệ đã cho tương đương với
ì 2x
ïy = (1)
ï 1 - x2
ï 2y
íz = (2)
ï 1 - y2
ï 2z
ïx = (3)
î 1 - z2
æ -p pö
Đặt x = tan a ; ç < a < ÷ thì
è 2 2ø
2 tan a
(1) Û y = = tan 2a
1 - tan 2 a
2 tan 2a
(2) Û z = = tan 4a
1 - tan 2 2a
2 tan 4a
(3) Û x = = tan 8a = tan a
1 - tan 2 4a
ka
Þ tan a = tan 8a Û a = (k Î Z )
7
-p p -p ka p -7 7
Vì 2 2 2 7 2 2 2
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 7
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
ì -3p -2p -p p 2p 3p ü
Do k Î Z nên k Î {-3; -2; -1;0;1;2;3} Þ a Î í ; ; ;0; ; ; ý
î 7 7 7 7 7 7 þ
ì x = tan a
ï ì -3p -2p -p p 2p 3p ü
Vậy nghiệm của hệ là : í y = tan 2a , với a là các giá trị í ; ; ;0; ; ; ý .
ï z = tan 4a î 7 7 7 7 7 7 þ
î
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
1) Giải và biện luận các hệ phương trình:
ì xyz ì xy
ï y + z - x = a2 ïx + y = a
ï ï
ï xyz ï xz
a) í x + y - z = 2 b) í =a
ï b ïx + z
ï xyz ï yz
ï x + z - y = c2 ïy + z = a
2
î î
Giải các hệ phương trình sau:
ì1 1 1
ï x + yz + xyz = 3
ï ìa + bc + abc = 3 ìa + bc + abc = 3
ï1 1 1 1 1 1 ï ï
2) í + + =3 HD: Đặt a = ; b = ; c = . Hệ íb + ca + abc = 3 Û í(a - b)(1 - c) = 0
ï y zx xyz x y z ïc + ab + abc = 3 ï(a - c)(1 - b) = 0
ï1 1 1
î î
ï + + =3
î z xy xyz
ì 5 xy
ïx + y =1
ï ì5xy = 6( x + y) ì 2 5
ïï x + y + x y + xy + xy = - 4
3 2
ï 5 yz ï
3) í =1 4) í7 yz = 12( y + z) 5) í
ï y + z ï3xz = 4( x + z ) ï x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = - 5
ï 5zx î ïî 4
ï =1
îz + x
ì1 1 ì 2 5
ï x + y = 3 - xy ì1 6 ïï x + y = 2 xy
2
ï ï + =7
6) í 7) í x y 8) í
ï 1 + 1 = 7 - 3x y + 2 ïx - y = 3
2 2
ï x + y = 2 xy
ïî x 2 y 2 î
xy îï y x 2
ì 1 1
ïx + y + x + y = 5 ì2 x 2 + 2 x + y 2 + y = 6 ïì x + y - 3 x + 4 y = 1
2 2
ï
9) í 10) í 11) í
ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 9 î xy( xy + x + y + 1) = 4 ïî3 x - 2 y - 9 x - 8 y = 3
2 2
ïî x 2 y2
ì x
ìx + y
+3
x-y
=4 ì x + x + y + y = 18
2 2 ïx + y + y = 5
ï ï
12) í x - y x+y 13) í 14) í
ï xy = 2 î xy( x + 1)( y + 1) = 72 ï( x + y) x = 6
î ïî y
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 8
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG
ì 1 1 ì x
ïx + y + x + y = 4 ï +
y
=
7
+1 ì x ( x + 2)(2 x + y) = 9
ï
15) í 16) í y x xy 17) í 2
ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 4 ï îx + 4x + y = 6
ïî x 2 y2 î x xy + y xy = 78
ì x (3x + 2 y)( x + 1) = 12 ìï y + xy 2 = 6 x 2 ìï1 + x 3 y 3 = 19 x 3
18) í 2 19) í 20) í
îx + 2y + 4x - 8 = 0 ïî1 + x y = 5 x ïî y + xy = -6 x
2 2 2 2 2
ìï8 x 3 y3 + 27 = 18 y 3
21) í 2 (Olympic 2008)
ïî4 x y + 6 x = y
2
ì x + y + x 2 + y2 = 8 ìïx+ y + x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 y3 = 0
22) í 23) í
î x ( x + 1) + y( y + 1) = 12 ïîx y = -2
ì x - 3z - 3z 2 x + z 3 = 0
ï
24) í y - 3x - 3x 2 y + x 3 = 0 (Olympic 2008)
ï z - 3y - 3y2 z + y3 = 0
î
ì 3z - z 3
ï x =
ï 1 - 3z 2
±1 ï 3x - x 3
HD: Đk : x; y; z ¹ . Hệ đã cho tương đương với í y =
3 ï 1 - 3x 2
ï 3y - y3
ïz =
î 1 - 3y2
ì x (4 - y 2 ) = 8 y
ï
25) í y(4 - z 2 ) = 8z (Olympic 2008) . HD: Đặt x=2tan a .
ï z(4 - x 2 ) = 8 x
î
IV. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau;
ì2 x 3 + 2 y 2 + 3 y + 3 = 0
ï 3
í2 y + 2 z + 3z + 3 = 0
2
ï2 z 3 + 2 x 2 + 3 x + 3 = 0
î
Giải: Hệ đã cho tương đương với hệ sau
ì x = f ( y)
ï
í y = f (z)
ïz = f ( x)
î
13 2
Xét hàm số f (t ) = - 2t + 3t + 3
2
Ta có: 2t 2 + 3t + 3 > 0; "t Î R .
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 9