Một số dạng toán chuyên đề về phép biến hình tổng hợp

  • 18 trang
  • file .pdf
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
ÔN TẬP PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1. Biểu thức tọa độ của phép dời hình:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ v( a, b) , các điểm: M  x; y  , M   x; y  ,
M   x; y  , I  x0 ; y0  và đường thẳng  : ax  by  c  0 .
Tên Định nghĩa Biểu thức tọa độ
Phép tịnh tiến  x  x  a
    M   Tv ( M )  
Tv  v0  T  M   M   MM   v

v  y  y  b
§ d (M )  M   by  c
Phép đối    x  a
xứng trục  M 0 M   M 0 M M   §  (M )   (I )
§d  M 0  d  MM    y   ax  c .
 b
Phép đối  x  x
xứng trục M   § Ox ( M )  
 y   y;
§d
 x   x
M   § Oy ( M )  
 y  y.
 x   x
Phép đối M   § O (M )  
   y   y
xứng tâm § I ( M )  M   IM    IM
§I  x  2 x0  x
M   § I ( M )  
 y  2 y0  y
Phép quay  x    y  y0   x0
Q I ,  Q I ,   M   M  M   Q I ;900 ( M )  
   y    x  x0   y0 .
 IM   IM  y
 x 
 M   QO ;  ( M )   k  II 
 IM , IM     y  k x
 y  x tan  / 2  
   0; k   
 x  y tan  / 2  
Phép đồng I M   M
nhất I
F  M   M 
Phép dời hình   M N   MN
F F  N   N  
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
- Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng
nhau.
- Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình.
Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  : ax  by  c  0 , điểm
M  x, y . Gọi M  x, y   §  ( M ) . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
 by  c
 x 
a
M   §  (M )   (I )
 y   ax  c .
 b
Chứng minh:
Gọi M 0  x0 , y0     MM  sao cho MM    .
 ax  by  c
 ax0  by0  c  0 x 
 0
2a
 
 a x0  x   b y0  y  0  y  by  ax  c
 0 2b
Mà M là điểm trên đoạn MM  sao cho M0 là trung điểm.
   by  c

 x  2x0  x  x  a
 
 y  2 y0  y  y   ax  c .
 b
Vậy (I ) được chứng minh.
Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  x, y và số thực 0    900 . Gọi
M  x, y   QO;   M  . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay QO;  :

 y y  x tan
 x  2
M   QO ;  ( M )   k trong đó k  

 II 
 y  k x, x  y tan
2
Chứng minh:
Gọi  là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm M  x, y .
yM y
+ Khi xM  0   có hệ số góc k  tan  Ox;     và  : yM x  xM y  0
xM x
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng

Gọi  : ax  by  0 là đường thẳng thỏa  ,     ,  Ox,   00 ;900 ,  có hệ số
2
 y  
a  tan  Ox,    tan  tan y  x tan
 2  x 2  2
góc k   tan  Ox,     
b  2  1  tan  Ox,   .tan  y  
1  tan x  y tan
2 x 2 2
  0: y   0: y 

M M
 
 / 2
 / 2M M
O O
x x

+ Khi xM  0    Ox : y  0  k  tan  Ox,     tan .
2
Gọi M  x, y   Q O;   M   M   Đ  M  . Áp dụng bổ đề 1, ta có
  by  c  b
 x  a  x  a y  x  y
   k
 y   ax  c  y   a
x  y  kx
 b 
 b
*) Trường hợp suy biến: - Nếu  , Ox   00    Ox : y  0  M  ĐOx  M  .
- Nếu  , Ox   900    Oy : x  0  M  ĐOy  M  .
Vậy (II ) được chứng minh.
2. Một số tính chất của phép dời hình:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự
giữa ba điểm đó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình
Phương pháp chung:
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
- Dùng định nghĩa.
- Dùng các tính chất của phép biến hình.
Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình
Phương pháp chung:
- Dùng định nghĩa.
- Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
- Dùng các tính chất của phép biến hình.
Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình
Phương pháp chung:
- Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh.
- Để dựng điểm M ta làm như sau:
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết
qua một phép dời hình.
Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích
Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép
dời hình.
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh A, B, C , D qua
1) Phép tịnh tiến T
AB
 ; 2) Phép đối xứng trục § AB ;
3) Phép đối xứng tâm § O ; 4) Phép quay Q O ;900 .
 
Hướng dẫn giải
 
  A   B; T  B   B  BB  AB
1) T B’
AB AB
  B
  C   C   CC   AB;
T C’
AB
  A O
  B   B  BB  AB.
T C
AB
D
2) § AB  AB  AB;
  C1
§ AB  C  C1  BC1   BC; D1 B
 
§ AB  D   D1  AD1   AD.
O C
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, HoàngAVăn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400 D
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
3) § O  A  C;§ O  B  D .
OA2  OA
4) Q O ;900  A   A2   C2
   OA; OA2   90
0
OB2  OB B
Q O ;900  B   B2  
   OB; OB2   90
0
B2 D2
A O C
OC2  OC
Q O;900  C   C2  
   OC ; OC2   90
0 D
OD2  OD A2
Q O;900  D   D2  
   OD; OD2   90
0
Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABC D ( như hình vẽ ) có AB  AB . Tìm một
phép dời hình biến hình vuông ABCD thành ABC D .
A
A B B
D C
D C
Hướng dẫn giải
A’ B1
A B’
B

D’ D1
C1
C’
D C  
- Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông ABCD theo v  AA ( như hình vẽ ) ta được
ảnh của nó là hình vuông AB1C1 D1 .
- Thực hiện quay hình vuông AB1C1 D1 tâm A , góc quay    AD1; AD  ta được hình
vuông ABC D .
Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình biến
hình vuông ABCD thành ABC D .
Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau  O1  và  O2  . Tìm tất cả các phép dời hình biến
đường tròn này thành đường tròn kia.
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Hướng dẫn giải
Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia:
- phép tịnh tiến T O
O
, 
1 2
- phép đối xứng tâm ĐO
O
(O là trung điểm của OO
1 2 ), O2
O1
- phép quay I, với I   ,
- phép đối xứng trục Đ .
1  
Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M  ;4  , v   3;5  . Tìm tọa độ điểm
2 
ảnh của M qua các phép dời hình
a) Tv ; b) § Ox ; c) § Oy ; d) § O .
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh
của A qua phép quay tâm O góc quay 900.
Hướng dẫn giải
1/ a) Gọi M  x, y , M1  x1, y1   Tv  M  .
 x1  x  a
Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv  M   M 1   , ta có:
 y1  y  b
 1 5
 x1    3   
 2 2
 y1  4  5  9
 5 
Vậy điểm ảnh của M qua Tv là M 1   ;9  .
 2 
b) Gọi M2  x2 , y2   § Ox  M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOx :
 1
 x2  x  x2 
§ Ox  M   M2    2
 y2   y  y  4
 2
1 
Vậy điểm ảnh của M qua § Ox là M 2  ; 4  .
2 
c) Gọi M3  x3, y3   § Oy  M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOy :
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
 1
 x3   x  x3  
§ Oy  M   M3    2
 y3  y  y3  4
1 
Vậy điểm ảnh của M qua § Oy là M 3  ; 4  .
2 
d) Gọi M4  x4 , y4   § O  M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ĐO :
 1
 x4   x  x4  
§ O  M   M4    2
y
 4   y  y4  4
 1 
Vậy điểm ảnh của M qua § O là M 4   ; 4  .
 2 
2/ Cách 1: Gọi A  Q O;900  A  . Gọi B  3;0  , C  0;4  lần lượt là hình chiếu vuông góc
 
của A lên các trục Ox, Oy.
Phép Q O ;900 biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OBAC  .
 
Ta thấy B  0;3 , C   4;0  . Vậy điểm ảnh của A qua Q O ;900 là A  4;3 .
 
 x    y  y0   x0
Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay M   Q ( M )  
 I ;900   y   x  x0   y0 .
Suy ra Q O;900  A  A  4;3 .
 

Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ v( 2;3) , đường thẳng d có phương trình:
3x  5 y  3  0 . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép Tv .
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M 1;5  , đường tròn (C) có phương trình
x2  y 2  2 x  4 y  4  0 , đường thẳng d có phương trình x  2 y  4  0.
a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục  : x  y  1  0 .
Hướng dẫn giải
1/ Gọi M  x, y   Tv  M  ; d  Tv  d  .
Cách 1:
Chọn M  1;0   d  Tv  M   M   3;3  d  .
Vì d’//d nên d  : 3 x  5 y  C  0 , M   d   C = 24.
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 x  5 y  24  0.
Cách 2:
x '  x  2  x  x ' 2
Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T :  
v
y'  y  3  y  y ' 3
Thay vào phương trình của d ta được: 3 x  5 y  24  0.
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 x  5 y  24  0.
Cách 3:
Lấy M , N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo

vectơ v . Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.
2/ a) Gọi M 1 ,  C1  , d1 lần lượt là ảnh của M ,  C  , d qua phép đối xứng trục ĐOx .
+ Ta có M 1 1; 5  .
+ Đường tròn (C) có tâm I 1; 2  , bán kính R  3 . Đường tròn ảnh ( C1 ) của (C) có tâm là
I ’  ĐOx  I   1;2  và bán kính R  3 .
2 2
Vậy phương trình ( C1 ) là:  x  1   y  2   9.
x '  x x  x '
+ Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOx :  
y'  y y  y'
Thay vào phương trình của d ta được: x’  2 y’  4  0.
Vậy phương trình của d1 là x  2 y  4  0.
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
 by  c
 x 
a
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: M   §  ( M )  
 y  ax  c .
 b
  1.5  1
 x  1  4
Thay tọa độ điểm M và hệ số của đường thẳng  vào ta có 
 y  1.1  1  2
 1
Vậy Đ  M   M 2  4;2  .
 by  c  c  by
 x  a  x  a
Từ biểu thức tọa độ M   §  ( M )   , ta có 
 y   ax  c  y  c  ax
 b  b
+ Pt đường thẳng d2 ảnh của d qua Đ là
c  by c  ax
2  4  0  2 x  y  7  0
a b
Vậy d2 : 2 x  y  7  0.
+ Pt đường tròn  C2  ảnh của (C) qua Đ là
2 2
 c  by   c  ax  2
  1    2   9   x  1  y2  9
 a   b 
2
Vậy  C2  :  x  1  y2  9 .
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A  1; 1 , B  3;1 , C  2;3 . Tìm toạ độ
điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm D  x; y  .
 
Để ABCD là hình bình hành thì BA  CD . Nên T
 ( D)  C .
  BA
Với BA   4; 2 , CD   x  2; y  3 .
 x  2  4  x  2
Do đó:   .
y  3 2 y 1
Vậy D  2;1 .
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là hai
đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông
góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc
cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất.
2) Có ba thành phố A, B, C tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng bằng.
Tìm vị trí I trong ABC sao cho có thể xây dựng một bến xe mà tổng khoảng cách từ I tới
các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất.
Hướng dẫn giải
1) + Giả sử coi con sông rất hẹp: a  b
Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm
vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a.
+ Thực tế: a song song với b

Các đường thẳng a, b cố định  MN cố định.
  A   A’  A’N  AM .
Nên T
MN
Ta có AM  BN  A’N  NB  A’B
Cách dựng:
  A . Nối A’, B có AB  b  N .
- Dựng A  T
MN
- Từ N hạ đường thẳng d  a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.
2) Thực hiện phép Q B;600 : I  J; A  A . Ta có  BI ; BJ   600 ;  BA; BA  600.
 
 BI ; BA   BI ; BA   600   BJ; BA 
A
A
J
I
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
B C
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
 BIA  BJA  AI  AJ
 IA  IB  IC  JA  IJ  IC ngắn nhất khi A, I , J, C thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I
ở giữa J và C. Thì 
BIC  1200 ;    1200 .
AIB  BJA
Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc 1200 .
Cách dựng:
- Dựng ảnh A’ của A qua Q B;600 .
 
- Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều.
Nên I chính là điểm cần dựng.
Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía so với
AC. Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB.
  600 và 
Mặt khác CBA ABA  600 nên I phải nằm trong ABC .
Nên A, I , J, C thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và
IA  IB  IC  JA  IJ  IC ngắn nhất.
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau và đường thẳng d. Hãy dựng một
đường thẳng song với d cắt (O) và (O’) sao cho tổng độ dài các dây cung của chúng định
bởi đoạn thẳng có một độ dài l cho trước.
Hướng dẫn giải
M1
N
M
N
O2  M
O1 v
 O
l O
Giả sử đã dựng được cát tuyến  / /d cắt (O) và (O’) theo 2 dây cung tương ứng là
MN và M’N’ sao cho MN  M N   l cho trước.
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
 
Kéo dài MN về phía N lấy điểm M1 sao cho MM1  l đặt MM1  l .
 
Thực hiện Tl :  O   O1  với OO1  l .
  
Thực hiện Tv :  O    O2  với v  M N  N M1 .
    O2  , MM1  l  M1N  MN  M N   MN
Gọi N1 là giao điểm thứ 2 của  và  O1 
 OO2  d ( d là trung trực của đoạn OO1 ).
Vậy cát tuyến  phải tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn
 O1  và  O2  , song song với d. Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc
l
R  R   R  R ).
2
Bài 3: Cho hai đường thẳng song song a và b. Với một điểm C không nằm trên hai đường
thẳng đó, hãy tìm các điểm A  a, B  b sao cho ABC là tam giác đều.
Hướng dẫn giải
a’ a
A
H H’
A’
b
C
B
B’
Giả sử đã dựng được ABC đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Với phép quay Q C;600 điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua B nên
 
suy ra cách dựng như sau:
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng a  Q C;600  a  bằng cách kẻ CH  a tại H, tìm ảnh H của
 
H qua phép quay này. Vẽ được đường thẳng a qua H và a  CH .
- Gọi B  a  b , lấy điểm A là tạo ảnh của B qua phép quay nói trên, ta có A  a .
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
Rõ ràng ABC là tam giác đều. Với phép quay này bài toán có thêm nghiệm ABC cần
dựng. Hai tam giác này đối xứng nhau qua trục CH.
Bài 4: Cho ABC, trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ.
a) Chứng minh : NC  BQ ; BQ = NC
b) Gọi H là trung điểm của BC . Chứng minh: AH  QN.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: Q A;900  N   B; Q A;900  C   Q  Q A;900  NC   BQ .
     
Vậy : NC  BQ; NC  BQ .
Q
N
A P
M
B H C
b) ĐA  B    B1  ; Q A;900 C; B1  Q; N  . Do đó : CB1  QN .
 
Mà AH là đường trung bình của  CBB1
Nên AH // CB . Vậy : AM  QN.
Bài 5: Qua tâm G của ABC đều kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường
thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, đồng thời tạo với a một góc 600.
Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Ta có : a  CB = {M} ; b  BA = {Q}
Mà : Q G ;1200  a   b (1)
 
Q G ;1200  C   B; Q G ;1200  B   A
   
A
 Q G ;1200  CB   BA (2)
 
Từ (1), (2)  Q G ;1200  M   Q
 
 GM = GQ  GMQ cân N
P
Tương tự:
Q G
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400 B C
M
http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng
GNP cân  MQ // NP và NQ = MP.
Vậy MPNQ là hình thang cân.
Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O).
Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối
xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M3.
Hướng dẫn giải
M2
B
M1
C
O
A
M
D M3
Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố định;
ĐD  M   M 3 .
Do đó quỹ tích điểm M3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D.
Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn
(O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O)
thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC.
Tia BO cắt đường tròn (O) tại D.
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội
Hotline: 0987708400