Lý thuyết và bài tập hình học 10 (đầy đủ)

  • 74 trang
  • file .doc
HÌNH HỌC
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu
(gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là
B
A
(Chú ý: )
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu
Ví dụ: ,....
  
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ
không thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.
+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.
Chú ý:
+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài kí
hiệu là | |,
 Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu bằng thì ta viết = .
= , | |= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
a) Tất các vectơ khác ;
b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau.
Các kí hiệu thường gặp
cùng phương kí hiệu: //
cùng hướng kí hiệu: 
ngược hướng kí hiệu: 
-1-
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},
{D,E}. Do đó có 20 vectơ khác
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ khác . Tìm điểm M sao cho:
cùng phương
Giải 
m
Gọi  là giá của 
a
Nếu cùng phương thì đường thẳng AM// 
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // 
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì cùng phương
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
,…
(hoặc viết ngược lại)
+ Nếu
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh: A
Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD,
E
F
EF= BC=CD EF=CD (1)
cùng hướng (2)
Từ (1),(2)  B D C
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. D M
C
Chứng minh:
Giải
Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành I
K

Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
A N B
của MD = . Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra = 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Giải
Giả sử . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng
góc A BC.
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
-2-
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ . Dựng điểm M sao cho:
a) = ;
b) cùng phương và có độ dài bằng | |.
Giải
Giả sử  là giá của . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// 
(nếu A thuộc  thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:
AM1=AM2=| | 
d
Khi đó ta có:

a) = a A
b) = cùng phương với
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối
xứng của B qua O. Chứng minh: .
Giải
BÀI TẬP §1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương và . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.
Bài 3: Cho ba vectơ cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ và cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng , , .
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với ;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với ;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với ;
d) Tìm các vectơ bằng với , bằng với .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác và cùng phương ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ ;
-3-
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD
  có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ AB ; OB

b) Có độ dài bằng  OB 
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu thì
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MN QP ; NP MQ
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) và cùng hướng, | |>| |;
b) và ngược hướng;
c) và cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh .
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3: nếu ngược hướng và ngược hướng thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:
A
P R
B Q C
Bài 6:
A
B
M
O N
D C
Bài 7: a)
b)
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó
* là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB  A
+ tương tự B
Bài 8: a) ,
O
D C
-4-
b)
Bài 9:
 AB // CD
Chứng minh chiều  : * ABCD là hình bình hành  
 AB CD
 AB // CD
*   AB  DC
 AB CD
Chứng minh chiều  : * AB = DC  AB , DC cùng hướng và AB  DC
* AB và DC cùng hướng  AB // CD (1)
*  AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10:  AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành 
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
 đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) và cùng hướng, | |>| |;
b) và ngược hướng;
c) và cùng phương;
HD: a) và cùng hướng, | |>| | khi C nằm giữa A và B
b) và ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu | |>| | thì theo a); nếu | |< | thì B nằm giữa A và C.
+ Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh .
HD: Ta có
 AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
Từ (1)&(2) AQ
-5-
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : =
3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với
b/ Xác định các vectơ bằng
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ và bằng
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ = . CMR :
a/ I là trung điểm AB và =
b/ = =
4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng = và =
a/ CMR : =
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : =
-6-
§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết
1. Tổng các vectơ
 Định nghĩa: Cho 2 véc tơ và . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng = , = .
Khi đó + =
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ
  . 
 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC
  
 Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
B C
2. Vectơ đối A D
+ Cho vectơ . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng được gọi là vectơ đối của vectơ
, kí hiệu là -  +(- )=
+ Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ có vectơ đối là nghĩa là
=-

+ vectơ đối của là 0 .
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa: - = +(- )
 Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
(hoặc )hay
4. Tính chất : với bất kì ta có:
 
+ Giao hoán : a  b = b  a
   
+ Kết hợp ( a  b ) + c = a  (b + c )
    
+ a +0=0+a =a
    
+ a +( a )= a + a = 0 A
  
+ | a + | ≤ | a |+| |, dấu “=” xảy ra khi a , cùng hướng.
   
+ a  và | | ≥ | a |  | a + |=| || a |
 
+ a = a + = +
   G
+ a + =  a =  , = a
   
+ a ( + )= a   ; a (  )= a  +
Ghi chú: B I C
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB 
D
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC 
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng
b) Chứng minh :
Giải:
a) + Vì nên ta có
= = =
+Vì nên ta có
-7-
= = =
+Vì nên ta có
= = , E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên
Vậy
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Chứng minh:
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:
 đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
a) Chứng minh rằng vectơ đều cùng phương
b) Chứng minh và cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của
ngũ giác đều. Ta có , trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự
, N  d. Vậy và cùng phương
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vuông góc d  AB//EC
 //
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm .
b) Phân tích theo hai vectơ .
Giải
a) =
= = (Vì )
= =
= =
b)
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính
B
Giải
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và =600 nên AC=
và BD=a. Khi đó ta có :
A C
D
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính
Giải
Ta có AC=BD= ;
-8-
Do đó
(vì )
Ta có | |=BD=
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
Chứng minh rằng: (theo 3 cách)
Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
Cách 2: (sử dụng hiệu)
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh:
Giải
VT =
=
= (vì )=VP đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng:
Giải
Ta có nên
VT = =
= =VP đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có:
Giải
VT =
=
=

 =
 VT= =VP đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : + = +
5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR : + + = +
6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR :
7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
-9-
CMR : + + + = + + +
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/ + = b/ + =
c/ + + + =
d/ + = + (với M là 1 điểm tùy ý)
9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : + = +
10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý , ,
CMR : + + = + + .
11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính   theo a
12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính   b/ Dựng = . Tính  
13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng = . b/ Tính  .
14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ có độ dài bằng
nhau và = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :  = +
15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/ +   +  =
b/   =  
c/   =  +
16. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/  + = b/  + =
c/  + = d/   =
e/ +  + =
17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính    b/ Dựng =  . Tính  
18. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính   b/ Tính   
19. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính 
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
a) b)
c) . d)
   
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b
     
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
   
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
-10-
  
a)  AO - AD =  MO 
  
b)  AC - AD =  NB 
Bài 5: Cho 7 điểm A; B ; C ; D ; E
; F ; G . Chứng minh rằng :
  
a) AB + CD + EA = CB + ED
     
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
      
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
      
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OA  OB OM , OA  OB ON . Khi nào điểm M nằm trên đường
phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OA  OB  OC  OD  OE O
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’
là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
OA  OB  OC OA'  OB '  OC '
Bài 9: Cho
lụ giác
đều
ABCDEF
 có tâmlà O . CMR :    
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 b) OA + OC + OE = 0
         
c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong  đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
 
a) Chứng minh rằng HB + HC = HD
   
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH '
   
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng :  CA + CB  =  CA - CB 
-11-
  PHÉP NHÂN VECTƠ  VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k  ta có =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:

+ cùng phương a

+ cùng hướng a khi k>0

+ ngược hướng a khi k<0
 
+ | |=| k a |=|k|.| a |

Quy ước: 0 a = ; k =

2) Tính chất: Cho a , bất kì và k,h  , khi đó
 
+ k( a + )= k a +k
 
+ (k+h) a = k a +h
 
+ k(h a )= (kh) a
   
+ 1. a = a ; (1) a = a
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có:
3) Điều kiện để
 hai vectơ cùng phương 

 a , ; a cùng phương ≠   0≠k  : a =k
  
( a , ; cùng phương a ≠   0≠k  : =k a )
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
 cùng phương  0≠k  :
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai a , khác và không cùng phương. Khi đó  bao giờ cũng tìm được hai số m,

n sao cho: = m a +n .
A
Nếu G là trọng tâm
AG= AI; GI= AI
AG=2GI
G
B I C
 CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xác định vectơ k a 
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất
1) Cho và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
Giải 
a
N O M
Vẽ d đi qua O và // với giá của (nếu O  giá của thì d là giá của )
 Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| |, và cùng hướng khi đó .
 Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| |, và ngược hướng nên
-12-
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các
đẳng thức sau:
Giải
A M B
a) , vì  k=
b) k=  c) k= 
 
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a
 
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 , a 2
Giải    
a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a
    
b) (2 a +3 )= (1)( 2 a +3 )= (1) 2 a +(1)3 =(2) a +(3) =2 a 3
c) Tương tự
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
1) Cho  ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và
I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ theo
hai vectơ . A
Giải Ta có
C
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ theo hai
vectơ .
Giải
Ta có


3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
+ A, B, C thẳng hàng  cùng phương  0≠k  :
+ Nếu và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC.
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
Ta có
-13-
Ta có
Từ (1)&(2)  B, I, K thẳng hàng.
2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
, . Chứng minh MN//AC
Giải
. Theo giả thiết
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
 M không thuộc AC MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
M
Giải
A B
D
N
C
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: .
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có
 VT= (đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
.
Giải
5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
+
+ Cho điểm A và . Có duy nhất M sao cho :
+
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết A .
Giải
 A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D. G
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
-14- B I C
D
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: .
HD
A I B
hay IA=2IB , . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho:
Giải
Ta có , trong đó I là trung điểm AB
B
Tương tự , K là trung điểm CD C
I
K
 G là trung điểm IK A
D
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + =
b/ CMR : + + = + +
Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho =2
a/ CMR : +2 =3
b/ CMR : + + =3
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : + =2
b/ CMR : + + + =
c/ CMR : + + + =4 (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho + + +  nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : + + + =
b/ CMR : + + + = + + +
c/ CMR : + =4 (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR : + + =3
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ + + + =
b/ + +2 =3
c/ +2 +4 =
Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho = .
-15-
Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR : = + b/ CMR : = +
Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho =2 , =3 . Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/ = +
b/ = +
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích theo và
b) Tinh theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).
Phân tích theo và
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung
điểm của MN. Phân tích theo và .
Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.
a) Tính
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính theo và
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 +3 = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho =3 ; +3 = và + =
a/ Tính , theo và
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/ . b/ c/ |
d/ e/ |
-16-
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ 
 Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng

1. Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox

i
x' O I x
O gọi là gốc tọa độ; vectơ đơn vị của trục tọa độ.
 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho điểm M nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho . Số m gọi là

tọa độ của m đối với trục (O; i ) (nó cũng là tọa độ của ).

+ Cho vectơ trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho . Số x gọi là tọa độ của

vectơ đối với trục (O; i ).
 Độ dài đại số của vectơ trên trục
 
Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài
đại số của AB đối với trục đã cho.

Kí hiệu: a= . Như vậy AB = i
*Nhận xét:
+ Nếu thì = AB
+ Nếu thì = AB

+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì
= ba
 Tính chất:
+
+ (hệ thức Salơ)
2. Hệ trục tọa độ
 Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oyvuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là

, vectơ đơn vị trên Oy là . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.
 Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ 
    
Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a .
 
Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y)
 
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’)
 
a =b
 
 Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó:
 
1) a  b = (x  x’; y  y’)

2) k a =(kx ; ky) với  k
 
3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’)
    
4) a // b  0  có số k thỏa a =k b  
 Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
-17-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy,
cặp số (x ; y) là tọa độ của M  =(x ; y)
Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
+ M(x ; y)  =(x;y)
x= ; y=
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
 Tọa độ vectơ khi biết tọa độ hai điểm M, N
M)
Cho M(xM ; yvà N(x N ; yN) ta có :
MN = (xM – xN ; yM – yN)
 Tọa độ trung điểm: Nếu P( ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:
xM  x N yM  y N
= ; =
2 2
 Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm
G(xG;yG) được tính theo công thức:
x A  xB  xC
xG = ; yG =
3
1) | | = với = (x;y)
2) | |= với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB
theo tæ soá k 1 thì M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø:
; (nếu k= 1 thì M là trung điểm AB)
4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng
   ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi
-18-
BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Biểu diễn vectơ dưới dạng
a) =(1;1) b) =(5;0) c) =(0;2) d) =(0;0)
2) Xác định tọa độ vectơ , biết:
a) =3 4 b) =2 + c) = 3 d) =
3) Xác định tọa độ của vectơ , biết:
a) = +3 ; với (2;1), (3;4). Tính độ dài của
b) =2 5 ; với (1;2), (2;3)
Đáp án: a) =(11;11), | |=11 b) =(8;19)
4) Cho =(2;4); =(-3;1); =(5;-2). Tìm vectơ:
a) b) .
Đáp án: a) = (30;21) b) =(118;68)
5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3)
a) Xác định tọa độ các vectơ .
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho .
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Đáp án: a) b) M(4;3) c) N(2;0)
6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A; ), trong đó và cùng hướng,
và cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung
điển N của BC và trung điểm M của CD.
Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)
7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc . Chọn
hệ trục tọa độ (A; ), trong đó và cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ
Đáp án: Kẻ BHAD, ta có
BH=3 AB=2 (vì HAB vuông và )
 AH= . Do đó;A(0;0), B( ;3), C(4+ ;0), D=(4;0)
8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và
AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1)
9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D.
Đáp án: D(3;0)
10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)
a) Xác định tọa độ của .Tính AB.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC.
d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’.
Đáp án: a) =(12;5) b) I(7;11/2) c)
11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án: a) b)
-19-
12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các
véc tơ . Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án:
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:
a) b) .
Đáp án:
14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xaùc ñònh t ñeå = .
Đáp án: t=1
15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương
a) = (1;2) và = (3;6) b) =( = -1) và = (-2; ).
c) = (-1;4) và = (3;7) d) = (-1;-3) và =(1;2).
16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương
a) =(2;3), =(4;x) b) =(0;5), =(x;7)
c) =(2;3), =(1;x) d) =( t+1;2) =(3;4-t).
Đáp án: a) x= 6 b) x= 0 c) x= d) t=1; t=2
17) Biểu diễn véctơ theo hai véctơ và
a) = (4;7) ; = (2;1) ; = (-3;4)
b) = (1;3) ; = (1;1) ; = (2;3)
c) = (0;5) ; = (4;3) ; = (2;1).
HD: Tìm các số m, n sao cho = m + n giải hệ
Đáp án: a) = +2 b) =  c) = 2
18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn theo .
Đáp án: =3 +4
19) Cho ba điểm A(1;1), B(1;3), C(2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
HD:
20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm C(7;x) thuộc đường thẳng AB.
Đáp án: A, B, C thẳng hàng x=14
21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD.
Đáp án: ta có  AB và CD song song hoặc trùng nhau
Ta
 không cùng phương  C không thuộc AB  CD//AB
22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C.
Đáp án: C(0;4)
23) Cho A(2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC là
hình bình hành, O là gốc tọa độ.
Đáp án: I(1;3), C(2;6)
24) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
HD: a) Cần chứng minh không cùng phương
b) G(1;4)
-20-