Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 23072015195131

Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 – Khai triển Taylor, Maclaurint.
2 – Qui tắc Lôpital.
3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
II. Qui tắc L’Hôpital
Định lý 1
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và f ( x0 )  g ( x0 ) .
2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn f ( x0 ), g ( x0 )  0.
' '
'
f ( x) f ( x)
Khi đó: lim  lim '
x  x0 g ( x ) x  x0 g ( x )
f ( x)  f ( x0 )
f ( x) x  x0 '
f ( x)
lim  lim  lim '
x  x0 g ( x ) x  x0 g ( x )  g ( x0 ) x  x0 g ( x )
x  x0
0
Định lý 2 (Qui tắc L’Hôpital )
0
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
1) Khả vi trong khoảng (a,b).
2) x  (a, b) : g ' ( x)  0.
3) Tồn tại lim f ( x)  lim g ( x)  0
x a x a
'
f ( x)
4) Tồn tại lim ' hữu hạn hay vô hạn.
x a g ( x )
'
f ( x) f ( x) f ( x)
Khi đó tồn tại lim và lim  lim '
x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )

Định lý 2 (Qui tắc L’Hôpital )

Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:
1) Khả vi trong khoảng (a,b).
2) x  (a, b) : g ' ( x)  0.
3) Tồn tại lim f ( x)  lim g ( x)  
x a x a
'
f ( x)
4) Tồn tại lim ' hữu hạn hay vô hạn.
x a g ( x )
'
f ( x) f ( x) f ( x)
Khi đó tồn tại lim và lim  lim '
x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )
II. Qui tắc L’Hôpital
Dạng vô định: 0
f 0
 f g  dạng
 f 0 1/ g 0

g   f 
 f g  dạng
1/ g 
Dạng vô định: 
Thường sử dụng phương pháp: quy đồng, nhân lượng
0 
liên hiệp để đưa về dạng hoặc .
0 
Các dạng lim y  lim u vô định :
x a x a
v
1,, 0
 0 0
Ta biến đổi như sau:
lim v ln u
ln u v
lim y  lim e ln y
 lim e  lim e v ln u
 e x a
x a x a x a x a
Từ đó ta được về dạng 0
Áp dụng phương pháp đã nêu ở trên để tìm giới hạn
tương ứng.
III. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
'
2) Tìm đạo hàm cấp 1: y ( x)
''
3) Tìm đạo hàm cấp hai y ( x)
4) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng.
5) Lập bảng biến thiên.
6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ.
Ví dụ.
Tìm cực trị của hàm y  f ( x) cho bởi p/trình tham số
t 3
t  2t
3 2
x 2 ,y 2
t 1 t 1
t 2 2
(t  3) y '
(t ) (t  1)( t 2
 t  4)
x (t )  2
'
 0  t  0   y ( x)  '
'

(t  1) 2
x (t ) t (t 2  3)
y ' ( x)  0  t  1 . Tồn tại hai điểm tới hạn:
1
x  0 (t  0); x  (t  1)
2
'
y ( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt
cực đại tại x = 0.
'
y ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt
cực tiểu tại x = 1/2.
Ví dụ.
Tìm điểm uốn của hàm y  y ( x) cho bởi p/trình tham số
cos(2t )
x  1  cot(t ), y  ,0  t  
sin t
y (t )  x (t )  x (t )  y (t )
'' ' '' '
y ( x) 
''
 x (t ) 
' 3
3
y ( x)  0  t   t 
''
4 4
3 
y ( x) đổi dấu khi qua t   t 
''
4 4
Vậy hàm có hai điểm uốn:  0,0  và (2,0)
(ứng với hai giá trị của t ở trên)
Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)
Tiệm cận đứng: lim f ( x)    x  x0 là tiệm cận đứng.
x  x0
Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm.
 f ( x)  y  ax  b
 a  xlim
 x
Tiệm cận xiên: 
là tiệm cận xiên
b  lim  f ( x)  ax 
 x 
Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang.
Ví dụ.
arctan 2 x
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y 
x(1  x)
Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1.
arctan 2 x
lim 2 x = 0 không là tiệm cận đứng.
x 0 x (1  x )
arctan 2 x
lim  x = 1 là tiệm cận đứng.
x 1 x (1  x )
arctan 2 x
lim 0 y = 0 là tiệm cận ngang.
x  x (1  x )
Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t):
Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối
xứng qua Ox.
Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối
xứng qua Oy.
Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua
gốc O.
Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t):
 lim x(t )  a
 t t0
Nếu   x  a , thì x  a là tiệm cận đứng
tlim y (t )  
 t0
 lim x(t )  
t t0
Nếu   y  b , thì y  b là tiệm cận ngang
 tlim y (t )  b
 t0
 lim x(t )    y (t )
 lim  a
 t t0 t t0 x (t )
Nếu  và 
tlim y (t )    lim  y (t )  a  x(t )   b
 t0 t t0
thì y  ax  b là tiệm cận xiên.
Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t):
1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t.
2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t.
3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t).
4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t).
5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x
biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn.
Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm y  y ( x) cho bởi p/trình tham số
x  t 2 , y  t 3  3t
x (t )  2t
'
x' (t )  0  t  0
y ' (t )  3t 2  3  0  t  1  t  1
Tiệm cận xiên: không có.
x (t )  2t
'
y ' (t )  3t 2  3
t   3 1 0 1 3 
'
x (t )    0   
 
3 1 3
x(t )
0 1
'
y (t )   0   0  
2 
y (t ) 0 0 0
 2
Ví dụ.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm y  y ( x) cho bởi p/trình tham số
t2 t3
x ,y
4(1  t ) 8(t  1)
t (2  t )
x (t ) 
'
x' (t )  0  t  0  t  2
4(1  t ) 2
t (2t  3)
2
2
y (t ) 
'
 0  t  0t 
8(t  1) 2
3
Điểm đặc biệt:
t (2  t ) t (2t  3)
2
x (t ) 
'
y (t ) 
'
4(1  t ) 2 8(t  1) 2
t  0 1 3/ 2 2 
'
x (t )  0    0 
 
1
x(t ) 9 /8
0  
'
y (t )  0   0  
  
y (t ) 0 1
 27 / 32
2 3
t t
Cách tìm tiệm cận x ,y
4(1  t ) 8(t  1)
t t0
1) Tìm những điểm 0 : x(t ) 
t 
Kiểm tra có phải là tiệm cận đứng bằng công thức.
t t0
2) Tìm những điểm 0 :
t y (t )  
Kiểm tra có phải là tiệm cận ngang bằng công thức.
t t0
3) Tìm những điểm 0 : x(t ) & y (t ) 
t 
Kiểm tra có phải là tiệm cận xiên bằng công thức.
x 1
Kết luận: hàm đã cho có một tiệm cận xiên: y  
2 8