Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 23072015194944

Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 – Tích phân xác định.
3 – Tích phân suy rộng.
4 – Ứng dụng của tích phân.
I. Tích phân xác định
Bài toán
Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:
y  f ( x), trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b.
Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S1, S2, …, Sn.
Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, …, Sn bằng các hình chữ nhật
Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần.
Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần.
n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác.
Trên mỗi miền S1, S2, …, Sn lấy tùy ý một điểm
Ta có S  S1  S2  ...  Sn
S  f ( x )  ( x1  x0 )  f ( x )  ( x2  x1 )  ...  f ( x )  ( xn  xn1 )
*
1
*
2
*
n
n
S   f ( xi* )  xi
i 1
 n 
Nếu giới hạn I  lim   f ( xi )  xi  tồn tại không phụ
*
xi 0
 i1 
*
thuộc cách chia S và cách lấy điểm x , thì I i gọi là
tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và
 
n b
S  lim   f ( xi )  xi    f ( x)dx
max( xi )0
 i1  a
Ví dụ
Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:
y  x 2 , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1.
Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái
Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải
8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn
Tính chất
b
1.  dx  b - a
a
b c b
2.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx; a  c  b
a a c
b b b
3.   f ( x)   g ( x) dx    f ( x)dx    g ( x)dx
a a a
4. Nếu  x   a, b  f ( x)  g ( x), thì  f ( x)dx   g ( x)dx
b b
a a
5.  x   a, b f ( x)  0 & x0   a, b  f ( x0 )  0
b
  f ( x)dx  0
a
Tính chất
6.  x   a, b f ( x)  g ( x) & x0   a, b  f ( x0 )  g ( x0 )
b b
 f ( x)dx   g ( x)dx
a a
7. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì | f | khả tích trên [a,b]:
b b
 f ( x)dx   g ( x) dx
a a
8. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì
x b
F ( x)   f (t )dt ; G ( x)   f (t )dt
a x
là những hàm liên tục trên đoạn này.
Tính chất
a
9.  f ( x) leû   f ( x)dx  0
a
a a
10.  f ( x) chaün   f ( x)dx  2 f ( x)dx
a 0
a T
11.  f ( x) tuaàn hoaøn chu kyø T   f ( x)dx  f ( x)dx
a
a 0
2008
Ví dụ Tính I  sin(2008 x  sin x)dx
0
Hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ T  2008 và hàm lẻ:
tuaàn hoaøn T 1004 leû
I   sin(2008 x  sin x)dx  0
1004
Công thức Newton - Leibnitz
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)
b
 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a)
b
a
Công thức Đạo hàm theo cận trên
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)
 ( x) '
 
'
x 
  f (t )dt   f ( x)   f (t )dt   f ( x)   ( x)
'
a   a 