Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 23072015192520

Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------
1 – Đạo hàm
2 – Vi phân.
3 – Định lý giá trị trung bình
4 – Công thức Taylor, Maclaurint
I. Đạo hàm
Định nghĩa (đạo hàm)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểmx0 .
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
'
x 0 x
f ' ( x0 ) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0 .
Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm f ( x)  cos x tại điểm x0
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
'
x 0 x
cos( x0  x)  cos x0
 lim
x 0 x
 x  x
sin  x0    sin
  lim  2  2
x 0 x
2
  sin( x0 )
Ví dụ
 2 1
 x sin   , x  0
Tìm f (0) , biết f ( x)   x
'
 x0
 0,
f (0  x)  f (0)
f (0)  lim
'
x 0 x
 x  sin 1/ x   0
2
 lim
x 0 x
  1    0 (bị chặn x vô cùng bé)
 lim  x  sin   
x 0
  x  
Định nghĩa (đạo hàm phải)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểmx0 .
 f ( x0  x)  f ( x0 )
f '( x )  lim
x
0
x 0
f ' ( x0 ) được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 .
Định nghĩa (đạo hàm trái)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểmx0 .
 f ( x0  x)  f ( x0 )
f '( x )  lim
x
0
x 0
f ' ( x0 ) được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x0 .
Định lý
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 , khi và chỉ khi
nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và
hai đạo hàm này bằng nhau.
Định nghĩa (đạo hàm vô cùng)
f ( x0  x)  f ( x0 )
Nếu lim   , thì ta nói hàm
x 0 x
có đạo hàm vô cùng tại điểm x0 .
Ví dụ
 e , x0
1/ x
Tìm f (0 ); f (0 ), biết f ( x)  
'  ' 
 0, x  0
1/ x
 f (0  x )  f (0) e 0
f (0 )  lim
'
 lim  
x 0 x x 0 x
 f (0  x )  f (0) e1/ x
 0
f (0 )  lim
'
 lim 0
x 0 x x 0 x
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,
nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
Ví dụ
Tìm f ' ( x) , biết f ( x)  x 2  3 | x | 2
 x 2  3x  2, x  0  2 x  3, x  0
f ( x)   2  f ( x)  
'
 x  3x  2, x  0 2 x  3, x  0
Tại điểm x = 0: f ' (0 )  3; f ' (0 )  3
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,
suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.
Ví dụ
Tìm f ' (0); f ' (0) , biết f ( x)  sin 2 x
 f (0  x)  f (0) sin 2x
f (0 )  lim
'
 lim 2
x 0 x x 0 x
 f (0  x)  f (0) sin 2x
f (0 )  lim
'
 lim  2
x 0 x x 0 x
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,
nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
Ví dụ
 sin x
 , x0
Tìm f ( x) , biết f ( x)   x
'
 1, x0
 x cos x  sin x
 , x0
f ( x)  
'
x 2
 0, x0
sin x
f (0  x)  f (0) 1
f (0)  lim
'
 lim x
x 0 x x 0 x
sin x  x
 lim 0
 x 
x 0 2
Ví dụ
 1
 arctan , x  0
'  '   x
Tìm f (0 ), f (0 ), biết f ( x)  
  , x0
 2
1 
arctan 
f ' (0 )  lim x 2  
x 0 x
1 
arctan 
f ' (0 )  lim x 2  1
x 0 x
Đạo hàm hàm hợp
1.  a   0
'
2.  
x  '
x  1  
2. u  '
  u 1  u '
3.  e   e  u
u '
3.  e   e
u '
x ' x
4.  sin u   cos  u   u '
'
4.  sin x   cos x
'
5.  cos u     sin u   u '
'
5.  cos x    sin x
'
u'
6.  ln u  
'
1
6.  ln x  
'
x u
u'
7.  tan u  
'
1
7.  tan x  
'
cos 2 x cos 2 u
1 u '
8.  cot x   8.  cot u  
' '
2
sin 2 x sin u
Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic
1
1.  arcsin x   5.  sinh x   cosh x
' '
1 x 2
1 6.  cosh x   sinh x
2.  arccos x  
' '
1  x2
1
3.  arctan x  
1 7.  tanh x  
' '
1  x2 cosh 2 x
1
4.  arccot x  
1
8.  coth x   
' '
1 x 2
sinh 2 x
Công thức tính đạo hàm
Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương,
hàm hợp.
1.  u    u 2.  u  v   u '  v '
' '
'
'
 
'
   '
3.  u  v   u '  v  u  v '
' u u v u v
5.   
 
2
v v
4.  u  v  w   u '  v  w  u  v '  w  u  v  w'
'
Đạo hàm của hàm hợp
f  f (u ), u  u ( x)  f ' ( x)  f ' (u )  u ' ( x)
Đạo hàm của hàm ngược.
Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y).
Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0, thì
hàm
g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và
1
g ( y0 )  '
'
f ( x0 )
1
x ( y)  '
'
y ( x)
Ví dụ
Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm f ( x)  x  x3
f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm f ' ( x)  1  3x 2  0, x
dx 1 1
 ' 
dy y ( x) 1  3x 2
Ví dụ
y
e y
 e
Tìm y ( x) , biết x  sinh y 
'
2
x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm x' ( y )  1/ cosh y  0, y
dy 1 1 1
y ( x) 
'
 '  
dx x ( y ) 1  sinh 2 y 1  x2
Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.
 x  x(t )
Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số: 
 y  y (t )
Giả sử hàm x  x(t ) có hàm ngượct  t ( x)
Khi đó y  y (t )  y(t ( x)) là hàm y theo biến x.
' ' '
dy y (t ) dt y (t ) y (t )
y ( x) 
'
 '  '  y ( x)  '
'
dx x (t )dt x (t ) x (t )
Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số
x  a  cos t , y  b  sin t , t  (0,  / 2).
3 3
x' (t )  3a cos 2 t sin t  0, t  (0,  / 2)
y ' (t )  3b sin 2 t cos t
' 2
y (t ) 3b sin t cos t b
y ( x)  ' 
'
  tan t
x (t ) 3a cos t sin t
2
a
Đạo hàm của hàm ẩn.
Hàm y = y(x) với x  (a, b) cho ẩn bởi phương trình
F ( x, y)  0 nếu F ( x, y( x))  0 với x  (a, b) .
Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi
x là biến, y là hàm theo x.
Ví dụ Tìm y ' ( x), biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ
phương trình e2 x  y  x3  cos y
2 x y

 
2
3 x 2e
e2 x  y 2  y ' ( x)  3x 2  y ' ( x)  sin y y ' ( x)  2 x  y
e  sin y
Ví dụ
x
e
Tìm f ' ( x) , biết f ( x)  ln 3 ; x   (2n  1), n  Z
1  cos x
1 1 x 1
y  ln e  ln(1  cos x)   ln(1  cos x)
x
3 3 3 3
1 1  sin x
y   
'
3 3 1  cos x
1 1 sin x
y   
'
3 3 1  cos x