Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 23062015111047

  • 160 trang
  • file .pdf
Bài tập toán cao cấp
Tập 2
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.
Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
˜ N THUY
NGUYÊ ’ THANH
BÀI TÂ
.P
´P
TOÁN CAO CÂ
Tâ.p 2
Phép tı́nh vi phân các hàm
´T BA
NHÀ XUÂ ´C GIA HÀ NÔI
’ N DAI HOC QUÔ
. . .
Mu.c lu.c
7 Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 3
7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.1.1 Các bài toán liên quan tó.i di.nh nghı̃a gió.i ha.n . 5
7.1.2 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên các
` gió.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . .
di.nh lý vê 11
7.1.3 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên diê
`u
kiê.n du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên lý
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.1.4 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên diê `u
` n và du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên lý hô.i tu.
kiê.n câ
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 .
Gió i ha.n hàm mô.t biê´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2.1 Các khái niê.m và di.nh lý co. ba’n vê ` gió.i ha.n . . 27
7.3 Hàm liên tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.4 Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm nhiê ` u biê´n . . . . . . . . 51
8 Phép tı́nh vi phân hàm mô.t biê´n 60
8.1 D- a.o hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1.1 D - a.o hàm câ´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1.2 D - a.o hàm câ´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2.1 Vi phân câ´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2 MU
. C LU
.C
8.2.2 Vi phân câ´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.3 Các di.nh lý co. ba’n vê
` hàm kha’ vi. Quy tă´c l’Hospital.
Công thú.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.3.1 Các d i.nh lý co. ba’n vê
` hàm kha’ vi . . . . . . . . 84
.
8.3.2 Khu’ các da.ng vô di.nh. Quy tă´c Lôpitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Công thú.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9 Phép tı́nh vi phân hàm nhiê ` u biê´n 109
9.1 D- a.o hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.1.1 D - a.o hàm riêng câ´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.1.2 D - a.o hàm cu’a hàm ho..p . . . . . . . . . . . . . . 111
9.1.3 Hàm kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.1.4 D - a.o hàm theo hu.ó.ng . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.1.5 D - a.o hàm riêng câ´p cao . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Vi phân cu’a hàm nhiê ` u biê´n . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2.1 Vi phân câ´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.2.2 Áp du.ng vi phân dê’ tı́nh gâ ` n dúng . . . . . . . 126
9.2.3 Các tı́nh châ´t cu’a vi phân . . . . . . . . . . . . 127
9.2.4 Vi phân câ´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2.5 Công thú.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2.6 Vi phân cu’a hàm â’n . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Cu..c tri. cu’a hàm nhiê
` u biê´n . . . . . . . . . . . . . . . 145
.
9.3.1 Cu. c tri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.3.2 Cu..c tri. có diê
` u kiê.n . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3.3 Giá tri. ló.n nhâ´t và bé nhâ´t cu’a hàm . . . . . . 147
Chu.o.ng 7
Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a
hàm sô´
7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ . . . . . . . . . . . . . . 4
7.1.1 Các bài toán liên quan tó.i di.nh nghı̃a gió.i
ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.1.2 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên
` gió.i ha.n . . . . . . . . . . . . 11
các di.nh lý vê
7.1.3 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a
` u kiê.n du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên lý
trên diê
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17
7.1.4 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên
diê ` n và du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên
` u kiê.n câ
lý hô.i tu. Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
7.2 Gió.i ha.n hàm mô.t biê´n . . . . . . . . . . . . 27
7.2.1 ` gió.i ha.n 27
Các khái niê.m và di.nh lý co. ba’n vê
7.3 Hàm liên tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.4 Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm nhiê
` u biê´n . 51
4 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´
7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´
Hàm sô´ xác di.nh trên tâ.p ho..p N du.o..c go.i là dãy sô´ vô ha.n. Dãy sô´
thu.ò.ng du.o..c viê´t du.ó.i da.ng:
a1, a2, . . . , an , . . . (7.1)
hoă.c {an }, trong dó an = f (n), n ∈ N du.o..c go.i là sô´ ha.ng tô’ng quát
cu’a dãy, n là sô´ hiê.u cu’a sô´ ha.ng trong dãy.
` n lu.u ý các khái niê.m sau dây:
Ta câ
i) Dãy (7.1) du.o..c go.i là bi. chă.n nê´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | ⩽
M; và go.i là không bi. chă.n nê´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M.
ii) Sô´ a du.o..c go.i là gió.i ha.n cu’a dãy (7.1) nê´u:
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n ⩾ N ⇒ |an − a| < ε. (7.2)
iii) Sô´ a không pha’i là gió.i ha.n cu’a dãy (7.1) nê´u:
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n ⩾ N ⇒ |an − a| ⩾ ε. (7.3)
iv) Dãy có gió.i ha.n du.o..c go.i là dãy hô.i tu., trong tru.ò.ng ho..p ngu.o..c
la.i dãy (7.1) go.i là dãy phân kỳ.
v) Dãy (7.1) go.i là dãy vô cùng bé nê´u lim an = 0 và go.i là dãy
n→∞
vô cùng ló.n nê´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A và viê´t
lim an = ∞.
vi) Diê ` n dê’ dãy hô.i tu. là dãy dó pha’i bi. chă.n.
` u kiê.n câ
Chú ý: i) Hê. thú.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng vó.i:
−ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε. (7.4)
7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 5
Hê. thú.c (7.4) chú.ng to’ ră`ng mo.i sô´ ha.ng vó.i chı’ sô´ n > N cu’a dãy
` u nă`m trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng này go.i là ε-lân
hô.i tu. dê
câ.n cu’a diê’m a.
Nhu. vâ.y, nê´u dãy (7.1) hô.i tu. dê´n sô´ a thı̀ mo.i sô´ ha.ng cu’a nó trù.
ra mô.t sô´ hũ.u ha.n sô´ ha.ng dê ` u nă`m trong ε-lân câ.n bâ´t kỳ bé bao
nhiêu tùy ý cu’a diê’m a.
ii) Ta lu.u ý ră`ng dãy sô´ vô cùng ló.n không hô.i tu. và ký hiê.u
lim an = ∞ (−∞) chı’ có nghı̃a là dãy an là vô cùng ló.n và ký hiê.u dó
hoàn toàn không có nghı̃a là dãy có gió.i ha.n.
7.1.1 Các bài toán liên quan tó.i di.nh nghı̃a gió.i
ha.n
Dê’ chú.ng minh lim an = a bă`ng cách su’. du.ng di.nh nghı̃a, ta câ ` n tiê´n
. .
hành theo các bu ó c sau dây:
i) Lâ.p biê’u thú.c |an − a|
ii) Cho.n dãy bn (nê´u diê ` u dó có lo..i) sao cho |an − a| ⩽ bn ∀ n và
vó.i ε du’ bé bâ´t kỳ bâ´t phu.o.ng trı̀nh dô´i vó.i n:
bn < ε (7.5)
có thê’ gia’i mô.t cách dê˜ dàng. Gia’ su’. (7.5) có nghiê.m là n > f (ε),
f (ε) > 0. Khi dó ta có thê’ lâ´y n là [f (ε)], trong dó [f (ε)] là phâ `n
nguyên cu’a f (ε).
CÁC VÍ DU
.
Vı́ du. 1. Gia’ su’. an = n(−1) . Chú.ng minh ră`ng:
n
i) Dãy an không bi. chă.n.
ii) Dãy an không pha’i là vô cùng ló.n.
Gia’i. i) Ta chú.ng minh ră`ng an tho’a mãn di.nh nghı̃a dãy không
bi. chă.n. Thâ.t vâ.y, ∀ M > 0 sô´ ha.ng vó.i sô´ hiê.u n = 2([M] + 1) bă`ng
n và ló.n ho.n M. Diê ` u dó có nghı̃a là dãy an không bi. chă.n.
6 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´
ii) Ta chú.ng minh ră`ng an không pha’i là vô cùng ló.n. Thâ.t vâ.y,
ta xét khoa’ng (−2, 2). Hiê’n nhiên mo.i sô´ ha.ng cu’a dãy vó.i sô´ hiê.u le’
` u thuô.c khoa’ng (−2, 2) vı̀ khi n le’ thı̀ ta có:
dê
n
n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).
Nhu. vâ.y trong kho’ng (−2, 2) có vô sô´ sô´ ha.ng cu’a dãy. Tù. dó,
theo di.nh nghı̃a suy ra an không pha’i là vô cùng ló.n. N
Vı́ du. 2. Dùng di.nh nghı̃a gió.i ha.n dãy sô´ dê’ chú.ng minh ră`ng:
(−1)n−1 n
1) lim = 0. 2) lim = 1.
n→∞ n n→∞ n + 1
Gia’i. Dê’ chú.ng minh dãy an có gió.i ha.n là a, ta câ ` n chú.ng minh
ră`ng dô´i vó.i mô˜ i sô´ ε > 0 cho tru.ó.c có thê’ tı̀m du.o..c sô´ N (N phu.
thuô.c ε) sao cho khi n > N thı̀ suy ra |an − a| < ε. Thông thu.ò.ng ta
có thê’ chı’ ra công thú.c tu.ò.ng minh biê’u diê˜ n N qua ε.
1) Ta có:
(−1)n−1 1
|an − 0| = = ·
n n
Gia’ su’. ε là sô´ du.o.ng cho tru.ó.c tùy ý. Khi dó:
1 1
<ε⇔n> ·
n ε
Vı̀ thê´ ta có thê’ lâ´y N là sô´ tu.. nhiên nào dó tho’a mãn diê
` u kiê.n:
1 1
N> ⇒ < ε.
ε N
(Chă’ng ha.n, ta có thê’ lâ´y N = [1/ε], trong dó [1/ε] là phâ
` n nguyên
cu’a 1/ε).
Khi dó ∀ n ⩾ N thı̀:
1 1
|an − 0| = ⩽ < ε.
n N
7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 7
(−1)n
` u dó có nghı̃a là lim
Diê = 0.
n→∞ n
2) Ta lâ´y sô´ ε > 0 bâ´t kỳ và tı̀m sô´ tu.. nhiên N (ε) sao cho ∀ n >
N (ε) thı̀:
n
− 1 < ε.
n+1
Bâ´t dă’ng thú.c
1 1
|an − 1| < ε ⇔ < ε ⇔ − 1.
n+1 ε
1
Do dó ta có thê’ lâ´y sô´ N (ε) là phâ
` n nguyên cu’a − 1, tú.c là:
ε
N (ε) = E((1/ε) − 1).
Khi dó vó.i mo.i n ⩾ N ta có:
n 1 1 n
−1 = ⩽ < ε ⇒ lim = 1. N
n+1 n+1 N +1 n→∞ n + 1
Vı́ du. 3. Chú.ng minh ră`ng các dãy sau dây phân kỳ:
1) an = n, n∈N (7.6)
2) an = (−1)n ,n∈N (7.7)
1
3) an = (−1)n + · (7.8)
n
Gia’i. 1) Gia’ su’. dãy (7.6) hô.i tu. và có gió.i ha.n là a. Ta lâ´y ε = 1.
Khi dó theo di.nh nghı̃a gió.i ha.n tô ` n ta.i sô´ hiê.u N sao cho ∀ n > N thı̀
ta có |an − a| < 1 nghı̃a là |n − a| < 1 ∀ n > N . Tù. dó −1 < n − a < 1
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
Nhu.ng bâ´t dă’ng thú.c n < a + 1, ∀ n > N là vô lý vı̀ tâ.p ho..p các
sô´ tu.. nhiên không bi. chă.n.
2) Cách 1. Gia’ su’. dãy an hô.i tu. và có gió.i ha.n là a. Ta lâ´y lân
 1 1
câ.n a − , a + cu’a diê’m a. Ta viê´t dãy dã cho du.ó.i da.ng:
2 2
{an } = −1, 1, −1, 1, . . . . (7.9)
8 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´
 1 1
Vı̀ dô. dài cu’a khoa’ng a − , a + là bă`ng 1 nên hai diê’m −1
2 2 
1 1
và +1 không thê’ dô ` ng thò.i thuô.c lân câ.n a − , a + cu’a diê’m a,
2 2
vı̀ khoa’ng  cách giũ.a −1
 và +1 bă`ng 2. Diê ` u dó có nghı̃a là o’. ngoài
1 1
lân câ.n a − , a + có vô sô´ sô´ ha.ng cu’a dãy và vı̀ thê´ (xem chú
2 2
ý o’. trên) sô´ a không thê’ là gió.i ha.n cu’a dãy.
1
Cách 2. Gia’ su’. an → a. Khi dó ∀ ε > 0 (lâ´y ε = ) ta có
2
1
|an − a| < ∀ n ⩾ N.
2
Vı̀ an = ±1 nên
1 1
|1 − a| < , | − 1 − a| <
2 2
1 1
⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| ⩽ |1 − a| + |a + 1| ⩽ + =1
2 2
⇒2 < 1, vô lý.
1
3) Lu.u ý ră`ng vó.i n = 2m ⇒ a2m = 1 + ` vó.i nó
. Sô´ ha.ng kê
2m
có sô´ hiê.u le’ 2m + 1 (hay 2m − 1) và
1 1
a2m+1 = −1 + < 0 (hay a2m−1 = −1 + ⩽ 0).
2m + 1 2m − 1
Tù. dó suy ră`ng
|an − an−1 | > 1.
Nê´u sô´ a nào dó là gió.i ha.n cu’a dãy (an ) thı̀ bă´t dâ
` u tù. sô´ hiê.u nào
1
dó (an ) tho’a mãn bâ´t dă’ng thú.c |an − a| < . Khi dó
2
1 1
|an − an+1 | ⩽ |an − a| + |an+1 − a| < + = 1.
2 2
Nhu.ng hiê.u giũ.a hai sô´ ha.ng kê ` nhau bâ´t kỳ cu’a dãy dã cho luôn luôn
ló.n ho.n 1. Diê ` u mâu thu☠n này chú.ng to’ ră`ng không mô.t sô´ thu..c
nào có thê’ là gió.i ha.n cu’a dãy dã cho. N
7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 9
BÀI TÂ
.P
Hãy su’. du.ng di.nh nghı̃a gió.i ha.n dê’ chú.ng minh ră`ng
2n − 1
1. lim an = 1 nê´u an =
n→∞ 2n + 2
3 3n2 + 1
2. lim an = nêu an = 2´
n→∞ 5 5n − 1
` u tù. sô´ hiê.u N nào thı̀:
Bă´t dâ
|an − 3/5| < 0, 01 (DS. N = 5)
3n + 1
3. lim an = 1 nê´u an = .
n→∞ 3n
cos n
4. lim = 0.
n→∞ n
2n + 5 · 6n
5. lim = 5.
n→∞ 3n + 6n
√3
n2 sin n2
6. lim = 0.
n→∞ n+1
7. Chú.ng minh ră`ng sô´ a = 0 không pha’i là gió.i ha.n cu’a dãy an =
n2 − 2
.
2n2 − 9
8. Chú.ng minh ră`ng
n2 + 2n + 1 + sin n
lim = 1.
n→∞ n2 + n + 1
9. Chú.ng minh ră`ng dãy: an = (−1)n + 1/n phân kỳ.
10. Chú.ng minh ră`ng dãy; an = sin n0 phân kỳ.
11. Tı̀m gió.i ha.n cu’a dãy: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2}, . . .
| {z
n
˜ n. Biê’u diê˜ n an du.ó.i da.ng
Chı’ dâ
2 22 2
an = 0, 22 . . . 2 = + + ··· + n (DS. lim an = 2/9)
10 10 10
10 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´
12. Tı̀m gió.i ha.n cu’a dãy sô´:
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . }3, . . .
| {z
n
˜ n. Biê’u diê˜ n an du.ó.i da.ng
Chı’ dâ
2  3 3 3 
an = + + + ··· + n (DS. 7/30)
10 102 103 10
13. Chú.ng minh ră`ng nê´u dãy an hô.i tu. dê´n a, còn dãy bn dâ
` n dê´n
∞ thı̀ dãy an /bn dâ` n dê´n 0.
14. Chú.ng minh ră`ng
n
i) lim n = 0.
n→∞ 2
n
ii) lim n = 0 (a > 1).
n→∞ a
˜ n. i) Su’. du.ng hê. thú.c:
Chı’ dâ
n(n − 1) n(n − 1) n2
2n = (1 + 1)n = 1 + n + + ··· + 1 > n + > ·
2 2 2
và u.ó.c lu.o..ng |an − 0|.
ii) Tu.o.ng tu.. nhu. i). Su’. du.ng hê. thú.c:
n(n − 1)
an = [1 + (a − 1)]n > (a − 1).
2
15. Chú.ng minh ră`ng
1 1
lim an = 2 nê´u an = 1 + + ··· + n
2 2
Chı’ d☠n. Áp du.ng công thú.c tı́nh tô’ng câ´p sô´ nhân dê’ tı́nh an rô
`i
u.ó.c lu.o..ng |an − 2|.
16. Biê´t ră`ng dãy an có gió.i ha.n, còn dãy bn không có gió.i ha.n. Có
` gió.i ha.n cu’a dãy:
thê’ nói gı̀ vê
i) {an + bn }.
ii) {an bn }.
(DS. i) lim{an + bn } không tô ` n ta.i. Hãy chú.ng minh.
7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 11
ii) Có thê’ gă.p ca’ hai tru.ò.ng ho..p có gió.i ha.n và không có gió.i ha.n,
vı́ du.:
n−1 1
an = , bn = (−1)n ; an = , bn = (−1)n .
n n
7.1.2 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên
` gió.i ha.n
các di.nh lý vê
Dê’ tı́nh gió.i ha.n cu’a dãy sô´, ngu.ò.i ta thu.ò.ng su’. du.ng các di.nh lý và
khái niê.m sau dây:
Gia’ su’. lim an = a, lim bn = b.
i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b.
iii) Nê´u b 6= 0 thı̀ bă´t dâ` u tù. mô.t sô´ hiê.u nào dó dãy an /bn xác
di.nh (nghı̃a là ∃ N : ∀ n ⩾ N ⇒ bn 6= 0) và:
an lim an a
lim = = ·
bn lim bn b
iv) Nê´u lim an = a, lim bn = a và bă´t dâ ` u tù. mô.t sô´ hiê.u nào dó
an ⩽ zn ⩽ bn thı̀ lim zn = a (Nguyên lý bi. chă.n hai phiá).
v) Tı́ch cu’a dãy vô cùng bé vó.i dãy bi. chă.n là dãy vô cùng bé.
1
´ .
vi) Nêu (an ) là dãy vô cùng ló n và an 6= 0 thı̀ dãy là dãy vô
an  1 
cùng bé; ngu.o..c la.i, nê´u αn là dãy vô cùng bé và αn 6= 0 thı̀ dãy
αn
là vô cùng ló.n.
Nhâ.n xét. Dê’ áp du.ng dúng dă´n các di.nh lý trên ta câ ` n lu.u ý mô.t
sô´ nhâ.n xét sau dây:
i) Di.nh lý (iii) vê` gió.i ha.n cu’a thu.o.ng sẽ không áp du.ng du.o..c nê´u
tu’. sô´ và m☠u sô´ không có gió.i ha.n hũ.u ha.n hoă.c m☠u sô´ có gió.i ha.n
bă`ng 0. Trong nhũ.ng tru.ò.ng ho..p dó nên biê´n dô’i so. bô. dãy thu.o.ng,
chă’ng ha.n bă`ng cách chia hoă.c nhân tu’. sô´ và m☠u sô´ vó.i cùng mô.t
biê’u thú.c.
12 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´
ii) Dô´i vó.i di.nh lý (i) và (ii) cũng câ
` n pha’i thâ.n tro.ng khi áp du.ng.
. . .
Trong tru ò ng ho. p này ta câ ` n pha’i biê´n dô’i các biê’u thú.c an ± bn và
an · bn tru.ó.c khi tı́nh gió.i ha.n (xem vı́ du. 1, iii).
iii) Nê´u an = a ≡ const ∀ n thı̀ lim an = a.
n→∞
CÁC VÍ DU
.
Vı́ du. 1. Tı̀m lim an nê´u:
1) an = (1 + 7n+2 )/(3 − 7n )
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2)
Gia’i. Dê’ gia’i các bài toán này ta dùng lý thuyê´t câ´p sô´
1) Nhân tu’. sô´ và m☠u sô´ phân thú.c vó.i 7−n ta có:
1 + 7n+2 7−n + 72
an = =
3 − 7n 3 · 7−n − 1
Do dó
7−n + 72
lim an = lim = −49 vı̀ lim 7−n = 0, n → ∞.
3 · 7−n − 1
2) Tu’. sô´ và m☠u sô´ dê
` u là câ´p sô´ cô.ng nên ta có:
2 + 2n
2 + 4 + 6 + · · · + 2n = · n;
2
1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = (n + 1).
2
Do dó
n
an = ⇒ lim an = 1.
n+1
3) Nhu. ta biê´t:
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + · · · + n2 =
6
7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 13
và do dó:
6n3
lim an = lim
n(n + 1)(2n + 1)
6
= lim = 3. N
(1 + 1/n)(2 + 1/n)
Vı́ du. 2. Tı̀m gió.i ha.n
1 1 1
1+ + + ··· + n
lim 2 4 2
1 1 1
1 + + + ··· + n
3 9 3
Gia’i. Tu’. sô´ và m☠u sô´ dê
` u là câ´p sô´ nhân nên
1 1 2(2n − 1)
1+ + ··· + n = ,
2 2 2n
1 1 3(3n − 1)
1 + + ··· + n =
3 3 2 · 3n
và do dó:
2(2n − 1) 2 · 3n 2n − 1 2 3n
lim an = lim · = 2 lim · lim
2n 3(3n − 1) 2n 3 3n − 1
2 1 2 4
= 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim n
=2·1· ·1= · N
3 1 − (1/3) 3 3
Vı́ du. 3.

1) an = n2 + n − n
√ √
2) an = 3 n + 2 − 3 n

3) an = 3 n2 − n3 + n
Gia’i.
1) Ta biê´n dô’i an bă`ng cách nhân và chia cho da.i lu.o..ng liên ho..p
√ √
( n2 + n − n)( n2 + n + n) n 1
an = √ =√ =p
n2 + n + n n2 + n + n 1 + 1/n + 1
Do dó
1 1
lim an = p = ·
lim ( 1 + 1/n + 1) 2
n→∞
14 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´
2) Biê´n dô’i an tu.o.ng tu.. nhu. 1) ta có:
√3
3 √ 3
n+2 − 3n
an = √ 2 √ √ √ 2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
2
an = √ 2 √ √ √ 2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
Biê’u thú.c m☠u sô´ bă`ng:
 p 2 p 
n2/3 3 1 + 2/n + 3 1 + 2/n + 1 → ∞
khi n → ∞ và do dó lim an = 0.

3) Ta có thê’ viê´t n = n3 và áp du.ng công thú.c:
3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
suy ra
√  √ 2 √ 
3
n2 − n3 + n 3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
an = √3
2 √
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
n2
= √ 3
2 √
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
1
=
[1/n − 1] − [1/n − 1]1/3 + 1
2/3
1
suy ra lim an = ·N
3
Vı́ du. 4. Tı̀m gió.i ha.n cu’a các dãy sau
n n
an = √ , bn = √ ,
2
n +n 2
n +1
1 1 1
cn = √ +√ + ··· + √ ·
n+1 n2 + 2 n2 + n
` u tiên ta chú.ng minh lim an = 1. Thâ.t vâ.y:
Gia’i. Dâ
n 1
lim an = lim p = lim p = 1.
n 1 + 1/n 1 + 1/n
7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 15
Tu.o.ng tu.. lim bn = 1.
Dê’ tı̀m gió.i ha.n cu’a cn ta sẽ áp du.ng Nguyên lý bi. chă.n hai phı́a.
Mô.t mă.t ta có:
1 1 1 n
cn < √ +√ + ··· + √ =√ = bn
n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 2
n +1
nhu.ng mă.t khác:
1 1 1
cn > √ +√ + ··· + √ = an .
n2 + n n2 + n n2 + n
Nhu. vâ.y an < cn < bn và lim an = lim bn = 1. Tù. dó suy ra
n→∞ n→∞
lim cn = 1. N
n→∞
Vı́ du. 5. Chú.ng minh ră`ng dãy (q n ) là: 1) dãy vô cùng ló.n nê´u
|q| > 1; 2) dãy vô cùng bé khi |q| < 1.
Gia’i. 1) Gia’ su’. |q| > 1. Ta lâ´y sô´ A > 0 bâ´t kỳ. Tù. dă’ng thú.c
|q|n > A ta thu du.o..c n > log|q| A. Nê´u ta lâ´y N = [log|q|A] thı̀ ∀ n > N
ta có |q|n > A. Do dó dãy (q n ) là dãy vô cùng ló.n.
h 1 n i−1 1
2) Gia’ su’. |q| < 1, q 6= 0. Khi dó q n = . Vı̀ > 1 nên
q q
 1  h 1  i−1 
n n
dãy là dãy vô cùng ló.n và do dó dãy là vô cùng
q q
bé, tú.c là dãy (q n ) là dãy vô cùng bé khi |q| < 1.
3) Nê´u q = 0 thı̀ q n = 0, |q|n < ε ∀ n và do dó (q n ) là vô cùng bé.
N
BÀI TÂ
.P
Tı̀m gió.i ha.n lim an nê´u
n→∞
2
n −n
1. an = √ . (DS. ∞)
n− n

2. an = n2 (n − n2 + 1). (DS. −∞)
16 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´
1 + 2 + 3 + ··· + n
3. an = √ . (DS. 1/6)
9n4 + 1

n cos n
4. an = . (DS. 0)
n+1
5n sin n
5. an = + . (DS. 5)
n+1 n
n3 3n2
6. an = 2 − . (DS. 1/3)
n + 1 3n + 1
n cos n
7. an = − . (DS. 1)
n + 11 10n
n3 + 1
8. an = 2 (DS. ∞)
n −1
cos n3 3n 1
9. an = − . (DS. − )
n 6n + 1 2
n
(−1)
10. an = √ . (DS. 0)
5 n+1
√ √
n2 + 1 + n
11. an = √ 3
√ . (DS. +∞)
n3 + n − n

12. an = 3 1 − n3 + n. (DS. 0)

n2 + 4n
13. an = √ 3
. (DS. 1)
n3 − 3n2
(n + 3)!
14. an = . (DS. −∞)
2(n + 1)! − (n + 2)!
2 + 4 + · · · + 2n
15. an = − 2. (DS. −1)
n+2
√ 1
16. an = n − 3 n3 − n2 . (DS. )
3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n 1
17. an = √ √ . (DS. − )
n2 + 1 + 4n2 + 1 3
1 1 1
18. an = + + ··· + .
1·2 2·3 n(n + 1)
1 1 1
˜ n. Áp du.ng
Chı’ dâ = − (DS. 1)
n(n + 1) n n+1
7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 17
1 1 1 (−1)n−1 3
19. an = 1 − + − + ··· + . (DS. )
3 9 27 3n−1 4
2n+1 + 3n+1
20. an = . (DS. 3)
2n + 3n
n + (−1)n
21. an = . (DS. 1)
n − (−1)n
 1  1 1 1
22. an = √ √ √ +√ √ + ··· + √ √
n 1+ 3 3+ 5 2n − 1 + 2n + 1
˜ n. Tru.c căn thú.c o’. m☠u sô´ các biê’u thú.c trong dâ´u ngoă. c.
Chı’ dâ
1
(DS. √ )
2
1 1 1
23. an = + + ··· +
1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2)
Chı’ dâ . . .
˜ n. Tru ó c hê´t ta chú ng minh ră`ng
1 1h 1 1 i 1
= − (DS. )
n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 4
1 1 1 1
24. an = + + ··· + . (DS. )
a1a2 a2 a3 an an+1 a1 d
trong dó {an } là câ´p sô´ cô.ng vó.i công sai d 6= 0, an 6= 0.
1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ). (DS. )
2
n+2
˜ n. Bă`ng quy na.p toán ho.c chú.ng to’ ră`ng an =
Chı’ dâ .
2n + 2
7.1.3 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên
` u kiê.n du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên lý
diê
Bolzano-Weierstrass)
Dãy sô´ an du.o..c go.i là:
i) Dãy tăng nê´u an+1 > an ∀ n
ii) Dãy gia’m nê´u an+1 < an ∀ n
Các dãy tăng hoă.c gia’m còn du.o..c go.i là dãy do.n diê.u. Ta lu.u ý
ră`ng dãy do.n diê.u bao giò. cũng bi. chă.n ı́t nhâ´t là mô.t phı́a. Nê´u dãy
18 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´
do.n diê.u tăng thı̀ nó bi. chă.n du.ó.i bo’.i sô´ ha.ng dâ` u tiên cu’a nó, dãy
. . ` u. Ta có di.nh lý sau dây
do n diê.u gia’m thı̀ bi. chă.n trên bo’ i sô´ ha.ng dâ
thu.ò.ng du.o..c su’. du.ng dê’ tı́nh gió.i ha.n cu’a dãy do.n diê.u.
- i.nh lý Bolzano-Weierstrass. Dãy do.n diê.u và bi. chă.n thı̀ hô.i tu..
D
Di.nh lý này khă’ng di.nh vê ` n ta.i cu’a gió.i ha.n mà không chı’
` su.. tô
ra du.o..c phu.o.ng pháp tı̀m gió.i ha.n dó. Tuy vâ.y, trong nhiê ` u tru.ò.ng
ho..p khi biê´t gió.i ha.n cu’a dãy tô
` n ta.i, có thê’ chı’ ra phu.o.ng pháp tı́nh
nó. Viê.c tı́nh toán thu.ò.ng du..a trên dă’ng thú.c dúng vó.i mo.i dãy hô.i
tu.:
lim an+1 = lim an .
n→∞ n→∞
Khi tı́nh gió.i ha.n du..a trên dă’ng thú.c vù.a nêu tiê.n lo..i ho.n ca’ là su’.
du.ng cách cho dãy bă`ng công thú.c truy hô ` i.
CÁC VÍ DU
.
Vı́ du. 1. Chú.nh minh ră`ng dãy:
1 1 1
an = + 2 + ··· + n hô.i tu..
5+1 5 +1 5 +1
Gia’i. Dãy dã cho do.n diê.u tăng. Thâ.t vâ.y vı̀:
1
an+1 = an + nên an+1 > an .
5n+1 + 1
Dãy dã cho bi. chă.n trên. Thâ.t vâ.y:
1 1 1 1 1 1 1
an = + 2 + 3 + ··· + n < + 2 + ··· + n
5+1 5 +1 5 +1 5 +1 5 5 5
1 1
5
− n+1
5 1 1 1
= = 1− n < ·
1 4 5 4
1−
5
Nhu. vâ.y dãy an dã cho do.n diê.u tăng và bi. chă.n trên nên nó hô.i
tu.. N