Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 23062015104512
- 11 trang
- file .pdf
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
Kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, vào tuần học thứ 9
Thi cuối kỳ : Tự luận
CHƯƠNG 1
Hình học vi phân
Ứng dụng trong hình học phẳng
1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a) y x3 2 x 2 4 x 3 tại điểm (2;5) .
2
b) y e1 x tại giao điểm của đường cong với đường thẳng y 1 .
1 t
x
c) t3 tại điểm A(2;2) .
y 3 1
2t 3 2t
2 2
d) x 3 y 3 5 tại điểm M (8;1) .
2. Tính độ cong của:
1
a) y x3 tại điểm có hoành độ x .
2
x a (t sin t )
b) (a 0) tại điểm bất kỳ.
y a (1 cos t )
2 2 2
c) x 3 y 3 a 3 tại điểm ( x, y ) bất kỳ (a 0) .
d) r aeb , (a, b 0) tại điểm bất kỳ.
3. Tìm hình bao của họ các đường cong sau:
x
a) y c 2 b) cx 2 c 2 y 1 c) y c 2 ( x c)2 .
c
Ứng dụng
trong
hình học không gian
1. Giả sử p (t ) , q (t ) , (t ) là các hàm khả vi. Chứng minh rằng:
d d p (t ) d q (t )
a)
dt
p(t ) q(t ) dt
dt
.
d dp(t )
b) ( (t ) p (t )) (t ) ' (t ) p(t ) .
dt dt
d d q (t ) d p (t )
c)
dt
p(t )q(t ) p(t )
dt
q(t )
dt
.
1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
d d q (t ) d p (t )
d)
dt
p(t ) q(t ) p(t )
dt
dt
q(t ) .
2. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
x a sin 2 t
a) y b sin t cos t tại điểm ứng với t , (a, b, c 0) .
4
2
z c cos t
et sin t
x
2
b) y 1 tại điểm ứng với t 0 .
t
z e cos t
2
3. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
a) x 2 4 y 2 2 z 2 6 tại điểm (2;2;3) .
b) z 2 x 2 4 y 2 tại điểm (2;1;12) .
c) z ln(2 x y ) tại điểm (1;3;0) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
x 2 y 2 10
a) tại điểm A(1;3;4) .
2 2
y z 25
2 x 2 3 y 2 z 2 47
b) tại điểm B (2;1;6) .
2 2
x 2 y z
CHƯƠNG 2
Tích phân bội
Tích phân kép
1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau
1 1 x 2 1 1 1 y 2
a) dx f ( x, y )dy b) dy f ( x, y )dx
1 1 x 2 0 2 y
2 2x 2 1 y 2
c) dx f ( x, y )dy d) dy f ( x, y )dx
0 2 x x 2 0 sin y
e)
2. Tính các tích phân sau
a) x sin( x y )dxdy với .
D
2
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
2 2
b) x ( y x)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường cong x y
D
và
2
yx .
c) | x y | dxdy với .
D
d) | y x 2 |dxdy , với .
D
e) | y x 2 |3 dxdy , với .
D
f) 2 xydxdy với D giới hạn bởi các đường x y 2 ; x 1; y 0 và y 1 .
D
g) | x | | y | dxdy .
| x|| y| 1
h) ( x y )dxdy với D giới hạn bởi các đường x 2 y 2 1; x y 1 .
D
3. Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của f ( x, y )dxdy trong đó D là
D
miền xác định như sau:
a) .
b) .
c) .
4. Dùng phép đổi biến trong tọa độ cực, hãy tính các tích phân sau
R R 2 x2
2 2
a) dx ln(1 x y ) dy , ( R 0) .
0 0
R Rx x 2
b) dx Rx x 2 y 2 dy , ( R 0) .
0 Rx x 2
c) xydxdy , với
D
1) D là mặt tròn ( x 2) 2 y 2 1
2) D là nửa mặt tròn ( x 2) 2 y 2 1 , y 0 .
2
d) xy dxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường tròn x 2 ( y 1) 2 1 và
D
x y2 4y 0 .
2
5. Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v :
1 x
u x y
a) dx f ( x, y )dy , nếu đặt
0 x v x y
b) Áp dụng tính với f ( x, y ) (2 x y ) 2 .
6. Tính các tích phân sau
3
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
dxdy 4 y x 2 y 2 8 y
a) 2 , trong đó D :
D
(x y 2 )2 x y 3 x
1 x2 y2
b) dxdy , trong đó D : x 2 y 2 1 .
D 1 x2 y2
x 2 y 2 12
2 2
xy x y 2 x
c) 2 dxdy , trong đó D : 2
D
x y2 2
x y 2 3 y
x 0, y 0
2 2 x2 y2
d) | 9 x 4 y | dxdy , trong đó D : 1
D
4 9
1 xy 4
e) (4 x 2 2 y 2 )dxdy , trong đó D :
D x y 4 x
Tích phân bội 3
Tính các tích phân bội ba sau
1
1. zdxdydz , trong đó miền V được xác định bởi: 0 x , x y 2x ,
4
V
0 z 1 x2 y 2 .
2. 2 2
( x y )dxdydz , trong đó V xác định bởi: x2 y 2 z 2 1,
V
x y2 z2 0 .
2
3. ( x 2 y 2 ) zdxdydz , trong đó V xác định bởi: x 2 y 2 1 , 1 z 2 .
V
4. z x 2 y 2 dxdydz , trong đó
V
a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x 2 y 2 2 x và các mặt phẳng: y 0 ,
z 0 , z a , (a 0) .
b) V là nửa của hình cầu x 2 y 2 z 2 a 2 , z 0 , (a 0) .
x2 y 2 z2
c) V là nửa của khối elipxôit 1 , z 0 , (a, b 0) .
a2 b2
5. ydxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi mặt nón: y x 2 z 2 và mặt
V
phẳng y h , (h 0) .
4
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
x2 y2 z2
dxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi a b c 1,
2
6. x2 y z 2
a2 b2 c2 2 2 2
V
(a, b, c 0) .
7. ( x 2 y 2 z 2 )dxdydz , trong đó V : 1 x 2 y 2 z 2 4 , x 2 y 2 z 2 .
V
8. x 2 y 2 dxdydz , trong đó V là miền xác định bởi x 2 y 2 z 2 , z 1.
V
dxdydz
9. 2 2 2 2
, trong đó V : x 2 y 2 1 , | z | 1.
D ( x y ( z 2) )
10. x 2 y 2 z 2 dxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi x 2 y 2 z 2 z .
V
Ứng dụng của tích phân bội
1. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường y 2 x , y 2 x , y 4 .
2. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường
y2 x , y 2 2x , x2 y , x2 2 y .
3. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi
y 0 , y 2 4ax , x y 3a , y 0 , (a 0) .
4. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi
2x x 2 y 2 4x , 0 y x .
2
5. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường tròn r 1 ; r cos .
3
6. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường
a) ( x 2 y 2 )2 2a 2 xy , (a 0) .
b) x3 y 3 axy , (a 0) .
c) r a (1 cos ) , (a 0) .
7. Chứng minh rằng diện tích miền D giới hạn bởi x 2 ( x y )2 1 không
đổi .
8. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt
3x y 1 , 3x 2 y 2 , y 0 , 0 z 1 x y .
9. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 4 x 2 y 2 , 2 z 2 x 2 y 2 .
10. Tính thể tích của miền giới hạn bởi 0 z 1 x 2 y 2 , y x , y 3 x .
11. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi mặt cầu x 2 y 2 z 2 4a 2 và mặt trụ
x 2 y 2 2ay 0 , y 0 , (a 0) .
5
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
x2 y2
12. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 0 , z ,
a2 b2
x2 y2 2x
2
2
, (a, b 0) .
a b a
13. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt az x 2 y 2 , z x 2 y 2 ,
(a 0) .
CHƯƠNG 3
Tích phân phụ thuộc tham số
1
yf ( x )
1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I ( y ) dx với f ( x) là hàm số
0
x2 y 2
dương, liên tục trên đoạn [0,1] .
2. Tính các tích phân sau
1
n
a) x ln x dx , n là số nguyên dương.
0
2
b) ln(1 y sin 2 x )dx , với y 1 .
0
1 y
dx
3. Tìm lim .
y 0
y
1 x2 y2
1
y2 x2
4. Xét tính liên tục của hàm số I ( y ) dx .
0
( x 2 y 2 )2
arctan( x y )
5. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số I ( y ) 2
dx là
1 x
một hàm số liên tục, khả vi đối với biến y . Tính I '( y) rồi suy ra biểu thức của
I ( y) .
6. Tính các tích phân sau
1 b x
x xa e e x
a) dx , (0 a b) . b) dx , ( 0, 0) .
ln x x
0 0
x 2 2
e e x dx
c) dx , ( 0, 0) . d) .
0
x2 0
2
( x y) n 1
6
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
ax sin(bx) sin(cx ) 2
e) e dx , (a, b, c 0) . f) e x cos( yx)dx .
x
0 0
7. Biểu thị sin m x cos n xdx qua hàm B (m, n) , (m, n ; m, n 1) .
0
8. Tính các tích phân sau
2 a
6 4
a) sin x cos xdx . b) x 2 n a 2 x 2 dx , (a 0) , (Gợi ý đặt x a t )
0 0
10 x 2 x 1
c) x e dx . d) 2 2
dx . e) dx .
0 0
(1 x ) 0
1 x3
1
x n 1 1
f) n 2
dx , 2 n . g) dx , (n * ) .
n
0
(1 x ) 0 1 xn
CHƯƠNG 4
Tích phân đường
Tích phân đường loại 1
Tính các tích phân sau:
1. ( x y )ds , C là đường tròn x 2 y 2 2 x .
C
x a (t sin t )
2. y 2ds , C là đường có phương trình (0 t 2 , a 0) .
y a (1 cos t )
C
x a (cos t t sin t )
3. x 2 y 2 ds , C là đường cong (0 t 2 , a 0) .
y a (sin t t cos t )
C
Tính phân đường loại 2
Tính các tích phân sau:
1. ( x 2 2 xy )dx (2 xy y 2 )dy , trong đó AB là cung parabol y x 2 từ
AB
A(1;1) đến B (2;4) .
x a (t sin t )
2. (2 x y )dx xdy , trong đó C là đường cong theo chiều
y a (1 cos t )
C
tăng của t , (0 t 2 , a 0) .
7
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
2 2
3. 2( x y )dx x(4 y 3)dy , trong đó ABCA là đường gấp khúc đi qua
ABCA
A(0;0) , B (1;1) , C (0;2) .
dx dy
4. , trong đó ABCDA là đường gấp khúc đi qua A(1;0) , B (0;1) ,
| x|| y|
ABCDA
C (1;0) , D (0; 1) .
4 x 2 y 2 dx x t sin t
5. dy , trong đó C là đường cong theo chiều tăng
2 y t cos t
C
2
của 0 t .
4
6. Tính tích phân sau
( xy x y)dx ( xy x y)dy
C
bằng hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả,
với C là đường:
a) x 2 y 2 R 2 .
b) x 2 y 2 2 x .
x2 y2
c) 1 , (a, b 0) .
a2 b2
x y
7. x 2 y dy y 2 x dx .
4 4
x2 y 2 2 x
e [(1 cos y)dx ( y sin y)dy] , trong đó OABO là đường gấp khúc
x
8.
OABO
qua O(0;0) , A(1;1) , B (0;2) .
9. ( xy e x sin x x y )dx ( xy e y x sin y )dy .
x2 y 2 2 x
x3
10. 4 2 2
( xy x y cos( xy))dx ( 3 xy x x cos( xy))dy , trong đó C là
C
x a cos t
đường cong (a 0) .
y a sin t
11. Dùng tích phân đường loại 2 tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp
xycloit: x a (t sin t ) ; y a (1 cos t ) và trục Ox, (a 0) .
(3;0)
4 3 2 2 4
12. ( x 4 xy )dx (6 x y 5 y )dy .
( 2;1)
8
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
Kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, vào tuần học thứ 9
Thi cuối kỳ : Tự luận
CHƯƠNG 1
Hình học vi phân
Ứng dụng trong hình học phẳng
1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a) y x3 2 x 2 4 x 3 tại điểm (2;5) .
2
b) y e1 x tại giao điểm của đường cong với đường thẳng y 1 .
1 t
x
c) t3 tại điểm A(2;2) .
y 3 1
2t 3 2t
2 2
d) x 3 y 3 5 tại điểm M (8;1) .
2. Tính độ cong của:
1
a) y x3 tại điểm có hoành độ x .
2
x a (t sin t )
b) (a 0) tại điểm bất kỳ.
y a (1 cos t )
2 2 2
c) x 3 y 3 a 3 tại điểm ( x, y ) bất kỳ (a 0) .
d) r aeb , (a, b 0) tại điểm bất kỳ.
3. Tìm hình bao của họ các đường cong sau:
x
a) y c 2 b) cx 2 c 2 y 1 c) y c 2 ( x c)2 .
c
Ứng dụng
trong
hình học không gian
1. Giả sử p (t ) , q (t ) , (t ) là các hàm khả vi. Chứng minh rằng:
d d p (t ) d q (t )
a)
dt
p(t ) q(t ) dt
dt
.
d dp(t )
b) ( (t ) p (t )) (t ) ' (t ) p(t ) .
dt dt
d d q (t ) d p (t )
c)
dt
p(t )q(t ) p(t )
dt
q(t )
dt
.
1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
d d q (t ) d p (t )
d)
dt
p(t ) q(t ) p(t )
dt
dt
q(t ) .
2. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
x a sin 2 t
a) y b sin t cos t tại điểm ứng với t , (a, b, c 0) .
4
2
z c cos t
et sin t
x
2
b) y 1 tại điểm ứng với t 0 .
t
z e cos t
2
3. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
a) x 2 4 y 2 2 z 2 6 tại điểm (2;2;3) .
b) z 2 x 2 4 y 2 tại điểm (2;1;12) .
c) z ln(2 x y ) tại điểm (1;3;0) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
x 2 y 2 10
a) tại điểm A(1;3;4) .
2 2
y z 25
2 x 2 3 y 2 z 2 47
b) tại điểm B (2;1;6) .
2 2
x 2 y z
CHƯƠNG 2
Tích phân bội
Tích phân kép
1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau
1 1 x 2 1 1 1 y 2
a) dx f ( x, y )dy b) dy f ( x, y )dx
1 1 x 2 0 2 y
2 2x 2 1 y 2
c) dx f ( x, y )dy d) dy f ( x, y )dx
0 2 x x 2 0 sin y
e)
2. Tính các tích phân sau
a) x sin( x y )dxdy với .
D
2
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
2 2
b) x ( y x)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường cong x y
D
và
2
yx .
c) | x y | dxdy với .
D
d) | y x 2 |dxdy , với .
D
e) | y x 2 |3 dxdy , với .
D
f) 2 xydxdy với D giới hạn bởi các đường x y 2 ; x 1; y 0 và y 1 .
D
g) | x | | y | dxdy .
| x|| y| 1
h) ( x y )dxdy với D giới hạn bởi các đường x 2 y 2 1; x y 1 .
D
3. Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của f ( x, y )dxdy trong đó D là
D
miền xác định như sau:
a) .
b) .
c) .
4. Dùng phép đổi biến trong tọa độ cực, hãy tính các tích phân sau
R R 2 x2
2 2
a) dx ln(1 x y ) dy , ( R 0) .
0 0
R Rx x 2
b) dx Rx x 2 y 2 dy , ( R 0) .
0 Rx x 2
c) xydxdy , với
D
1) D là mặt tròn ( x 2) 2 y 2 1
2) D là nửa mặt tròn ( x 2) 2 y 2 1 , y 0 .
2
d) xy dxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường tròn x 2 ( y 1) 2 1 và
D
x y2 4y 0 .
2
5. Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v :
1 x
u x y
a) dx f ( x, y )dy , nếu đặt
0 x v x y
b) Áp dụng tính với f ( x, y ) (2 x y ) 2 .
6. Tính các tích phân sau
3
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
dxdy 4 y x 2 y 2 8 y
a) 2 , trong đó D :
D
(x y 2 )2 x y 3 x
1 x2 y2
b) dxdy , trong đó D : x 2 y 2 1 .
D 1 x2 y2
x 2 y 2 12
2 2
xy x y 2 x
c) 2 dxdy , trong đó D : 2
D
x y2 2
x y 2 3 y
x 0, y 0
2 2 x2 y2
d) | 9 x 4 y | dxdy , trong đó D : 1
D
4 9
1 xy 4
e) (4 x 2 2 y 2 )dxdy , trong đó D :
D x y 4 x
Tích phân bội 3
Tính các tích phân bội ba sau
1
1. zdxdydz , trong đó miền V được xác định bởi: 0 x , x y 2x ,
4
V
0 z 1 x2 y 2 .
2. 2 2
( x y )dxdydz , trong đó V xác định bởi: x2 y 2 z 2 1,
V
x y2 z2 0 .
2
3. ( x 2 y 2 ) zdxdydz , trong đó V xác định bởi: x 2 y 2 1 , 1 z 2 .
V
4. z x 2 y 2 dxdydz , trong đó
V
a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x 2 y 2 2 x và các mặt phẳng: y 0 ,
z 0 , z a , (a 0) .
b) V là nửa của hình cầu x 2 y 2 z 2 a 2 , z 0 , (a 0) .
x2 y 2 z2
c) V là nửa của khối elipxôit 1 , z 0 , (a, b 0) .
a2 b2
5. ydxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi mặt nón: y x 2 z 2 và mặt
V
phẳng y h , (h 0) .
4
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
x2 y2 z2
dxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi a b c 1,
2
6. x2 y z 2
a2 b2 c2 2 2 2
V
(a, b, c 0) .
7. ( x 2 y 2 z 2 )dxdydz , trong đó V : 1 x 2 y 2 z 2 4 , x 2 y 2 z 2 .
V
8. x 2 y 2 dxdydz , trong đó V là miền xác định bởi x 2 y 2 z 2 , z 1.
V
dxdydz
9. 2 2 2 2
, trong đó V : x 2 y 2 1 , | z | 1.
D ( x y ( z 2) )
10. x 2 y 2 z 2 dxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi x 2 y 2 z 2 z .
V
Ứng dụng của tích phân bội
1. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường y 2 x , y 2 x , y 4 .
2. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường
y2 x , y 2 2x , x2 y , x2 2 y .
3. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi
y 0 , y 2 4ax , x y 3a , y 0 , (a 0) .
4. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi
2x x 2 y 2 4x , 0 y x .
2
5. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường tròn r 1 ; r cos .
3
6. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường
a) ( x 2 y 2 )2 2a 2 xy , (a 0) .
b) x3 y 3 axy , (a 0) .
c) r a (1 cos ) , (a 0) .
7. Chứng minh rằng diện tích miền D giới hạn bởi x 2 ( x y )2 1 không
đổi .
8. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt
3x y 1 , 3x 2 y 2 , y 0 , 0 z 1 x y .
9. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 4 x 2 y 2 , 2 z 2 x 2 y 2 .
10. Tính thể tích của miền giới hạn bởi 0 z 1 x 2 y 2 , y x , y 3 x .
11. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi mặt cầu x 2 y 2 z 2 4a 2 và mặt trụ
x 2 y 2 2ay 0 , y 0 , (a 0) .
5
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
x2 y2
12. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 0 , z ,
a2 b2
x2 y2 2x
2
2
, (a, b 0) .
a b a
13. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt az x 2 y 2 , z x 2 y 2 ,
(a 0) .
CHƯƠNG 3
Tích phân phụ thuộc tham số
1
yf ( x )
1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I ( y ) dx với f ( x) là hàm số
0
x2 y 2
dương, liên tục trên đoạn [0,1] .
2. Tính các tích phân sau
1
n
a) x ln x dx , n là số nguyên dương.
0
2
b) ln(1 y sin 2 x )dx , với y 1 .
0
1 y
dx
3. Tìm lim .
y 0
y
1 x2 y2
1
y2 x2
4. Xét tính liên tục của hàm số I ( y ) dx .
0
( x 2 y 2 )2
arctan( x y )
5. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số I ( y ) 2
dx là
1 x
một hàm số liên tục, khả vi đối với biến y . Tính I '( y) rồi suy ra biểu thức của
I ( y) .
6. Tính các tích phân sau
1 b x
x xa e e x
a) dx , (0 a b) . b) dx , ( 0, 0) .
ln x x
0 0
x 2 2
e e x dx
c) dx , ( 0, 0) . d) .
0
x2 0
2
( x y) n 1
6
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
ax sin(bx) sin(cx ) 2
e) e dx , (a, b, c 0) . f) e x cos( yx)dx .
x
0 0
7. Biểu thị sin m x cos n xdx qua hàm B (m, n) , (m, n ; m, n 1) .
0
8. Tính các tích phân sau
2 a
6 4
a) sin x cos xdx . b) x 2 n a 2 x 2 dx , (a 0) , (Gợi ý đặt x a t )
0 0
10 x 2 x 1
c) x e dx . d) 2 2
dx . e) dx .
0 0
(1 x ) 0
1 x3
1
x n 1 1
f) n 2
dx , 2 n . g) dx , (n * ) .
n
0
(1 x ) 0 1 xn
CHƯƠNG 4
Tích phân đường
Tích phân đường loại 1
Tính các tích phân sau:
1. ( x y )ds , C là đường tròn x 2 y 2 2 x .
C
x a (t sin t )
2. y 2ds , C là đường có phương trình (0 t 2 , a 0) .
y a (1 cos t )
C
x a (cos t t sin t )
3. x 2 y 2 ds , C là đường cong (0 t 2 , a 0) .
y a (sin t t cos t )
C
Tính phân đường loại 2
Tính các tích phân sau:
1. ( x 2 2 xy )dx (2 xy y 2 )dy , trong đó AB là cung parabol y x 2 từ
AB
A(1;1) đến B (2;4) .
x a (t sin t )
2. (2 x y )dx xdy , trong đó C là đường cong theo chiều
y a (1 cos t )
C
tăng của t , (0 t 2 , a 0) .
7
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014
2 2
3. 2( x y )dx x(4 y 3)dy , trong đó ABCA là đường gấp khúc đi qua
ABCA
A(0;0) , B (1;1) , C (0;2) .
dx dy
4. , trong đó ABCDA là đường gấp khúc đi qua A(1;0) , B (0;1) ,
| x|| y|
ABCDA
C (1;0) , D (0; 1) .
4 x 2 y 2 dx x t sin t
5. dy , trong đó C là đường cong theo chiều tăng
2 y t cos t
C
2
của 0 t .
4
6. Tính tích phân sau
( xy x y)dx ( xy x y)dy
C
bằng hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả,
với C là đường:
a) x 2 y 2 R 2 .
b) x 2 y 2 2 x .
x2 y2
c) 1 , (a, b 0) .
a2 b2
x y
7. x 2 y dy y 2 x dx .
4 4
x2 y 2 2 x
e [(1 cos y)dx ( y sin y)dy] , trong đó OABO là đường gấp khúc
x
8.
OABO
qua O(0;0) , A(1;1) , B (0;2) .
9. ( xy e x sin x x y )dx ( xy e y x sin y )dy .
x2 y 2 2 x
x3
10. 4 2 2
( xy x y cos( xy))dx ( 3 xy x x cos( xy))dy , trong đó C là
C
x a cos t
đường cong (a 0) .
y a sin t
11. Dùng tích phân đường loại 2 tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp
xycloit: x a (t sin t ) ; y a (1 cos t ) và trục Ox, (a 0) .
(3;0)
4 3 2 2 4
12. ( x 4 xy )dx (6 x y 5 y )dy .
( 2;1)
8