Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 23062015102817
- 17 trang
- file .pdf
LT XSTK -1- Tóm tắt công thức
Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ ñiển
• Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
• A1, A2,…, An xung khắc từng ñôi ⇔ P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
• Ta có
o A, B xung khắc ⇔ P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng ñôi ⇔ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o P ( A) = 1 − P ( A) .
P ( AB ) P ( AB )
• Công thức xác suất có ñiều kiện: P ( A / B ) = , P ( B / A) = .
P( B) P ( A)
• Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
• A1, A2,…, An ñộc lập với nhau ⇔ P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).
• Ta có
o A, B ñộc lập ⇔ P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C ñộc lập với nhau ⇔ P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
• Công thức Bernoulli: B (k ; n; p ) = Cnk p k q n −k , với p=P(A): xác suất ñể biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
• Công thức xác suất ñầy ñủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An ñược gọi là một phép phân
A . A = Φ, ∀i ≠ j; i, j ∈1, n
hoạch của Ω ⇔ i j
A1 + A2 + ... + An = Ω
o Công thức xác suất ñầy ñủ:
n
P( B) = ∑ P ( Ai ).P( B / Ai ) =P( A1 ).P( B / A1 ) + P( A2 ).P( B / A2 ) + ... + P( An ).P( B / An )
i =1
o Công thức Bayes:
P ( Ai ).P ( B / Ai )
P ( Ai / B ) =
P ( B)
với P ( B ) = P ( A1 ).P( B / A1 ) + P( A2 ).P( B / A2 ) + ... + P( An ).P( B / An )
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
• Luật phân phối xác suất
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn với pi = P( X = xi ), i = 1, n.
Ta có:
n
∑ pi = 1 và P{a ≤ f(X) ≤ b}= ∑ pi
i =1 a ≤f(xi )≤b
ðHNH TPHCM -1-
LT XSTK -2- Tóm tắt công thức
• Hàm phân phối xác suất
FX ( x) = P( X ≤ x) = ∑ pi
xi ≤ x
• Mode
ModX = xk ⇔ pk = max{ pi : i = 1, n}
• Median
∑ pi ≤ 0,5
P ( X < xk ) ≤ 0,5 xi < xk
MedX = xk ⇔ ⇔
P ( X > xk ) ≤ 0,5 ∑ pi ≤ 0, 5
xi > xk
• Kỳ vọng
n
EX = ∑ ( xi . pi ) =x1. p1 + x2 . p2 + ... + xn . pn
i =1
n
E (ϕ ( X )) = ∑ (ϕ ( xi ). pi ) =ϕ ( x1 ). p1 + ϕ ( x2 ). p2 + ... + ϕ ( xn ). pn
i =1
• Phương sai
VarX = E ( X 2 ) − ( EX )2
n
với E ( X ) = ∑ ( xi2 . pi ) =x12 . p1 + x22 . p2 + ... + xn2 . pn
2
i =1
b. Biến ngẫu nhiên liên tục.
+∞
• f(x) là hàm mật ñộ xác suất của X ⇒ ∫ f ( x)dx = 1 ,
−∞
b
P{a ≤ X ≤ b} = ∫ f ( x).dx
a
• Hàm phân phối xác suất
x
FX ( x) = P ( X ≤ x) = ∫ f (t )dt
−∞
• Mode
ModX = x0 ⇔ Hàm mật ñộ xác suất f(x) của X ñạt cực ñại tại x0.
• Median
xe
1 1
MedX = xe ⇔ FX ( xe ) = ⇔ ∫ f ( x)dx = .
2 −∞
2
• Kỳ vọng
+∞
EX = ∫ x. f ( x)dx .
−∞
+∞
E (ϕ ( X )) = ∫ ϕ ( x). f ( x)dx
−∞
ðHNH TPHCM -2-
LT XSTK -3- Tóm tắt công thức
• Phương sai
+∞
VarX = E ( X 2 ) − ( EX )2 với EX 2 = ∫ x 2 . f ( x)dx .
−∞
c. Tính chất
• E (C ) = C , Var (C ) = 0 , C là một hằng số.
• E (kX ) = kEX , Var (kX ) = k 2VarX
• E (aX + bY ) = aEX + bEY
• Nếu X, Y ñộc lập thì E ( XY ) = EX .EY , Var (aX + bY ) = a 2VarX + b 2VarY
• σ ( X ) = VarX : ðộ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất
a. Phân phối Chuẩn (Normal Distribution) ( X ~ N (µ; σ2 ))
• X (Ω) = ℝ , EX=ModX=MedX= µ , VarX = σ 2
( x−µ )2
1 − 2
• Hàm mñxs f ( x, µ , σ ) = e 2σ
σ 2π
• Với µ = 0, σ = 1: X ~ N (0,1) (Standard Normal Distribution) có hàm mñxs
x2
1 −2
f ( x) = e (Hàm Gauss)
2π
x t2
b −µ a −µ 1 −2
• P (a ≤ X ≤ b) = ϕ( ) − ϕ( ) với ϕ( x) = ∫ e dt (Hàm Laplace)
σ σ 0
2π
•Cách sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ Máy 570MS Máy 570ES Máy 570 ES Plus
Khởi ñộng gói Thống kê Mode Mode Mode STAT 1-Var Mode STAT 1-Var
SD AC AC
Tính
z x2
1 −2
ϕ( z ) = ∫ e dx Shift 3 2 z ) = Shift 1 7 2 z ) = Shift 1 5 2 z ) =
0
2π
z x2
1 −2 Shift 1 5 1 z ) =
F ( z) = ∫ e dx Shift 3 1 z ) = Shift 1 7 1 z ) =
−∞
2π
Thoát gói Thống kê Mode 1 Mode 1 Mode 1
Lưu ý: F ( z ) = 0, 5 + ϕ( z )
ðHNH TPHCM -3-
LT XSTK -4- Tóm tắt công thức
Excel:
f (x, µ, σ) = NormDist(x, µ, σ, 0)
f (x, 0,1) = NormDist(x, 0,1, 0)
ϕ(x) = P(0 ≤ X ≤ x) = NormDist(x, 0,1,1) − 0.5 = NormSDist(x) − 0.5
P(a ≤ X ≤ b) = NormDist(b, 0,1,1) − NormDist(a, 0,1,1) = NormSDist(b) − NormSDist(a)
ϕ−1 (z) = NormInv(z + 0.5, 0,1) = NormSInv(z + 0.5)
b. Phân phối Poisson (Poisson Distribution) ( X ~ P (λ ))
• X (Ω) = ℕ , EX = VarX = λ . ModX=k ⇔ λ -1 ≤ k ≤ λ
k
−λ λ
• P (X=k)=e , k ∈ℕ
k!
Excel:
P(X = k) = Poisson(k, λ, 0)
P(X ≤ k) = Poisson(k, λ,1)
P(a < X ≤ b) = Poisson(b, λ,1) − Poisson(a, λ,1)
c. Phân phối Nhị thức (Binomial Distribution) ( X ~ B (n; p ))
• X (Ω) = {0..n} , EX=np, VarX=npq, ModX=k ⇔ (n + 1) p − 1 ≤ k ≤ (n + 1) p
• P (X=k)=C kn . p k .q n −k , q = 1− p, 0 ≤ k ≤ n, k ∈ ℕ
• Nếu (n ≥ 30; 0,1 < p < 0, 9; np ≥ 5, nq ≥ 5) thì X ~ B(n; p ) ≈ N (µ; σ2 ) với
µ = n. p, σ = npq
1 k −µ
P (X=k) ≈ f ( ), 0 ≤ k ≤ n, k ∈ ℕ
σ σ
b−µ a −µ
P (a ≤ X σ σ
• Nếu (n ≥ 30, p ≤ 0,1, np < 5) thì X ~ B (n; p ) ≈ P (λ ) với λ = np
λk
P (X=k) ≈ e −λ , k ∈ℕ
k!
• Nếu (n ≥ 30, p ≥ 0,9, nq < 5)
−λ λ n −k
P (X=k) ≈ e , k ∈ ℝ với λ = nq
(n − k )!
Excel:
P(X = k) = BinomDist(k, n, p, 0)
P(X ≤ b) = BinomDist(b, n, p,1)
P(a < X ≤ b) = BinomDist(b, n, p,1) − BinomDist(a, n, p,1)
d. Phân phối Siêu bội (HyperGeometric Distribution) ( X ~ H ( N ; N A ; n))
• X (Ω) = {max{0; n − ( N − N A )}..min{n;N A }}
ðHNH TPHCM -4-
LT XSTK -5- Tóm tắt công thức
N −n N
• EX=np, VarX=npq với p = A , q=1-p.
N −1 N
( N A + 1)(n + 1) + 2 ( N + 1)(n + 1) + 2
• ModX = k ⇔ −1 ≤ k ≤ A .
N +2 N +2
C Nk A C Nn −−kN A
• P (X=k)= , k ∈ X (Ω )
C Nn
N N
• Nếu > 20 thì X ~ H ( N ; N A ; n) ≈ B (n; p ) với p = A .
n N
k k n−k
P (X=k) ≈ Cn . p .q , k ∈ X (Ω), q = 1 − p .
Excel:
P(X = k) = HypGeomDist(k, n, N, N A )
ðHNH TPHCM -5-
LT XSTK -6- Tóm tắt công thức
Sơ ñồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:
HyperGeometric:
X~H(N;NA;n)
C Nk A .CNn −−kN A
P( X = k ) =
C Nn
N>20n
N n ≥ 30
p= A , q=1-p
N p ≤ 0,1
np < 5
Binomial: X~B(n;p) Poisson: X~ P(λ )
với λ = np
λk
P ( X = k ) = C . p .q
k k n−k P( X = k ) = e−λ
n k!
n ≥ 30
0,1 < p < 0, 9 1 k −µ
⇒ P( X = k ) ≈ f ( )
np ≥ 5 σ σ
nq ≥ 5
b−µ a − µ với
P ( a ≤ X < b) ≈ ϕ ( ) −ϕ( )
σ σ
µ = np, σ = npq
Normal: X~ N ( µ ; σ 2 ) Standard Normal: Y~ N(0;1)
2
y
( x − µ )2 1 −
f ( x; µ ; σ ) =
1 −
.e 2σ
2
X −µ f ( y) = .e 2
σ 2π ðặt Y = 2π
σ
ðHNH TPHCM -6-
LT XSTK -7- Tóm tắt công thức
II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị ñặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình X 1 + ... + X n x + ... + xn
X= x= 1
n n
Phương sai không hiệu chỉnh
ˆ ( X 1 − X ) + ... + ( X n − X )
2 2
( x1 − x ) + ... + ( xn − x ) 2
2
SX =
2
sx =
ˆ 2
n n
Phương sai hiệu chỉnh ( X − X ) + ... + ( X n − X )
2 2
( x − x ) + ... + ( xn − x ) 2
2
S X2 = 1 sx2 = 1
n −1 n −1
b. ðể dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:
xi x1 x2 … xk
ni n1 n2 … nk
Khi ñó
Các giá trị ñặc trưng Mẫu cụ thể
x n + ... + xk nk
Giá trị trung bình x= 1 1
n
Phương sai không hiệu chỉnh ( x − x ) n1 + ... + ( xk − x ) 2 nk
2
sˆx2 = 1
n
( x1 − x ) n1 + ... + ( xk − x )2 nk
2
Phương sai hiệu chỉnh sx =
2
n −1
c. Phân tổ thống kê
- Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm. Tuy nhiên
thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với
k = 3 2n + 1 , với x là phần nguyên của x.
x − xmin
- Trường hợp phân tổ ñều ta ñược khoảng cách mỗi tổ là h = max .
k
d. Sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính các giá trị ñặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [a; b) hay (a; b] thì ta sử dụng giá
a+b
trị ñại diện cho miền ñó là ñể tính toán.
2
ðHNH TPHCM -7-
LT XSTK -8- Tóm tắt công thức
Tác vụ 570MS 570ES
Bật chế ñộ nhập tần số Không cần Shift Mode ↓ 4 1
Khởi ñộng gói Thống kê Mode Mode SD Mode STAT 1-Var
x1 Shift , n1 M+
⋮ X FREQ
xk Shift , nk M+ x1 = n1 =
Nhập số liệu ⋮ ⋮
Nếu ni = 1 thì chỉ cần xk = nk =
nhấn
xi M+
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác ñịnh:
• Kích thước mẫu (n) Shift 1 3 = Shift 1 5 1 =
• Giá trị trung bình
(x ) Shift 2 1 = Shift 1 5 2 =
• ðộ lệch chuẩn không
hiệu chỉnh ( sˆx ) Shift 2 2 = Shift 1 5 3 =
• ðộ lệch chuẩn hiệu Shift 2 3 = Shift 1 5 4 =
chỉnh ( sx )
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1
2. Khoảng tin cậy.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. ( σ ñã biết)
• Khoảng tin cậy ñối xứng.
1− α σ
ϕ ( zα ) = → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( x − ε ; x + ε)
2 n
2 2 2
• Khoảng tin cậy bên trái.
σ
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ (−∞; x + ε)
n
• Khoảng tin cậy bên phải.
σ
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( x − ε; +∞)
n
Trường hợp 2. ( σ chưa biết, n ≥ 30 )
• Khoảng tin cậy ñối xứng.
1− α s
ϕ ( zα ) = → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( x − ε ; x + ε)
2 n
2 2 2
ðHNH TPHCM -8-
LT XSTK -9- Tóm tắt công thức
• Khoảng tin cậy bên trái.
s
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ (−∞; x + ε)
n
• Khoảng tin cậy bên phải.
s
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( x − ε; +∞)
n
Trường hợp 3. ( σ chưa biết, n<30)
• Khoảng tin cậy ñối xứng.
α s
1− α → → t α ⇒ε=t α . ⇒ ( x − ε ; x + ε)
2 ( n −1; ) ( n −1; ) n
2 2
• Khoảng tin cậy bên trái.
s
1 − α → α → t( n −1;α ) ⇒ ε = t( n −1;α ) . ⇒ (−∞ ; x + ε)
n
• Khoảng tin cậy bên phải.
s
1 − α → α → t( n−1;α ) ⇒ ε = t( n−1;α ) . ⇒ ( x − ε ; + ∞)
n
b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ của tổng thể.
• Khoảng tin cậy ñối xứng.
1− α f (1 − f )
ϕ ( zα ) = → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( f − ε ; f + ε)
2 n
2 2 2
• Khoảng tin cậy bên trái.
f (1 − f )
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ (0; f + ε)
n
• Khoảng tin cậy bên phải.
f (1 − f )
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( f − ε;1)
n
c) Khoảng tin cậy cho phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. ( µ chưa biết)
- Nếu ñề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác ñịnh s2 (bằng máy
tính bỏ túi).
• Khoảng tin cậy 2 phía.
α → χ12 = χ 2 2
α , χ2 = χ
2
α
( n −1;1− ) ( n −1; )
2 2
2 2
(n − 1) s (n − 1) s
⇒( ; )
χ 22 χ12
• Khoảng tin cậy bên trái.
(n − 1) s 2
α → χ12 = χ 2( n−1;1−α ) ⇒ (0; )
χ12
ðHNH TPHCM -9-
LT XSTK - 10 - Tóm tắt công thức
•Khoảng tin cậy bên phải.
2 2 (n − 1) s 2
α → χ 2 = χ ( n −1;α ) ⇒ ( ; +∞)
χ 22
Trường hợp 2. ( µ ñã biết)
k
- Tính (n − 1) s 2 = ∑ ni .( xi − µ)2
i =1
• Khoảng tin cậy 2 phía.
α → χ 22 = χ 2 α , χ12 = χ 2 α
( n; ) ( n;1− )
2 2
(n − 1) s 2 (n − 1) s 2
⇒( ; )
χ 22 χ12
• Khoảng tin cậy bên trái.
(n − 1) s 2
α → χ12 = χ 2( n;1−α ) ⇒ (0; )
χ12
• Khoảng tin cậy bên phải.
(n − 1) s 2
α → χ 22 = χ 2( n;α ) ⇒ ( ; +∞)
χ 22
3. Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê.
a) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. ( σ ñã biết)
• H o : µ = µo , H1 : µ ≠ µo
1− α x − µo
ϕ ( zα ) = → zα , z = . n
2 σ
2 2
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
• H o : µ = µo , H1 : µ < µo
x − µo
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z = . n
σ
- Nếu z < − zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≥ − zα : Chấp nhận Ho.
• H o : µ = µo , H1 : µ > µ o
x − µo
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z = . n
σ
- Nếu z > zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≤ zα : Chấp nhận Ho.
ðHNH TPHCM - 10 -
LT XSTK - 11 - Tóm tắt công thức
Trường hợp 2. ( σ chưa biết, n ≥ 30 )
• H o : µ = µo , H1 : µ ≠ µo
1− α x − µo
ϕ ( zα ) = → zα , z = . n
2 s
2 2
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
• H o : µ = µo , H1 : µ < µo
x − µo
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z = . n
s
- Nếu z < − zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≥ − zα : Chấp nhận Ho.
• H o : µ = µo , H1 : µ > µ o
x − µo
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z = . n
s
- Nếu z > zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≤ zα : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. ( σ chưa biết, n<30)
• H o : µ = µo , H1 : µ ≠ µo
α x − µo
α→ →t α ,t = . n
2 ( n −1; ) s
2
- Nếu t > t α : Bác bỏ Ho.
( n −1; )
2
- Nếu t ≤ t α : Chấp nhận Ho.
( n −1; )
2
• H o : µ = µo , H1 : µ < µo
x − µo
α → t( n−1;α ) , t = . n
s
- Nếu t < −t( n−1;α ) : Bác bỏ Ho.
- Nếu t ≥ −t( n−1;α ) : Chấp nhận Ho.
• H o : µ = µo , H1 : µ > µ o
x − µo
α → t( n−1;α ) , t = . n
s
- Nếu t > t( n −1;α ) : Bác bỏ Ho.
- Nếu t ≤ t( n −1;α) : Chấp nhận Ho.
b) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về tỉ lệ của tổng thể.
ðHNH TPHCM - 11 -
LT XSTK - 12 - Tóm tắt công thức
• H o : p = po , H1 : p ≠ po
1− α k f − po
ϕ ( zα ) = → zα , f = , z = . n
2
2
2
n po (1 − po )
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
• H o : p = po , H1 : p < po
k f − po
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , f = , z = . n
n po (1 − po )
- Nếu z < − zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≥ − zα : Chấp nhận Ho.
• H o : p = po , H1 : p > po
k f − po
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , f = , z = . n
n po (1 − po )
- Nếu z > zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≤ zα : Chấp nhận Ho.
c) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. ( µ chưa biết)
- Nếu ñề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính ñể xác
ñịnh s.
• H o : σ2 = σo2 , H1 : σ2 ≠ σo2
(n − 1) s 2
α → χ12 = χ 2 2
α , χ2 = χ
2
α , χ2 =
( n −1;1− )
2
( n −1; )
2
σo2
χ > χ 2
2 2
- Nếu : Bác bỏ H0.
2 2
χ
< χ 1
- Nếu χ1 ≤ χ ≤ χ 22 : Chấp nhận Ho.
2 2
• H o : σ2 = σo2 , H1 : σ2 < σo2
(n − 1) s 2
α → χ12 = χ 2( n−1;1−α ) , χ 2 =
σo2
- Nếu χ 2 < χ12 : Bác bỏ H0.
- Nếu χ 2 ≥ χ12 : Chấp nhận Ho.
• H o : σ2 = σo2 , H1 : σ2 > σo2
2 2 2 (n − 1) s 2
α → χ 2 = χ ( n−1;α ) , χ =
σo2
ðHNH TPHCM - 12 -
LT XSTK - 13 - Tóm tắt công thức
- Nếu χ 2 > χ 22 : Bác bỏ H0.
- Nếu χ 2 ≤ χ 22 : Chấp nhận Ho.
4. Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh tham số của 2 tổng thể.
a) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh giá trị trung bình của 2 tổng thể.
Trường hợp 1. ( σ1 , σ2 ñã biết)
• H o : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 ≠ µ 2
1− α x −x
ϕ ( zα ) = → zα , z = 1 2
2 σ12 σ22
2 2
+
n1 n2
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
• H o : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 < µ 2
x1 − x2
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z =
σ12 σ22
+
n1 n2
- Nếu z < − zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≥ − zα : Chấp nhận Ho.
• H o : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 > µ 2
x1 − x2
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z =
σ12 σ22
+
n1 n2
- Nếu z > zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≤ zα : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. ( σ1 , σ2 chưa biết, n1, n2 ≥ 30 )
• H o : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 ≠ µ 2
1− α x −x
ϕ ( zα ) = → zα , z = 1 2
2 s12 s22
2 2
+
n1 n2
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
ðHNH TPHCM - 13 -
Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ ñiển
• Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
• A1, A2,…, An xung khắc từng ñôi ⇔ P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
• Ta có
o A, B xung khắc ⇔ P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng ñôi ⇔ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o P ( A) = 1 − P ( A) .
P ( AB ) P ( AB )
• Công thức xác suất có ñiều kiện: P ( A / B ) = , P ( B / A) = .
P( B) P ( A)
• Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
• A1, A2,…, An ñộc lập với nhau ⇔ P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).
• Ta có
o A, B ñộc lập ⇔ P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C ñộc lập với nhau ⇔ P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
• Công thức Bernoulli: B (k ; n; p ) = Cnk p k q n −k , với p=P(A): xác suất ñể biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
• Công thức xác suất ñầy ñủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An ñược gọi là một phép phân
A . A = Φ, ∀i ≠ j; i, j ∈1, n
hoạch của Ω ⇔ i j
A1 + A2 + ... + An = Ω
o Công thức xác suất ñầy ñủ:
n
P( B) = ∑ P ( Ai ).P( B / Ai ) =P( A1 ).P( B / A1 ) + P( A2 ).P( B / A2 ) + ... + P( An ).P( B / An )
i =1
o Công thức Bayes:
P ( Ai ).P ( B / Ai )
P ( Ai / B ) =
P ( B)
với P ( B ) = P ( A1 ).P( B / A1 ) + P( A2 ).P( B / A2 ) + ... + P( An ).P( B / An )
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
• Luật phân phối xác suất
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn với pi = P( X = xi ), i = 1, n.
Ta có:
n
∑ pi = 1 và P{a ≤ f(X) ≤ b}= ∑ pi
i =1 a ≤f(xi )≤b
ðHNH TPHCM -1-
LT XSTK -2- Tóm tắt công thức
• Hàm phân phối xác suất
FX ( x) = P( X ≤ x) = ∑ pi
xi ≤ x
• Mode
ModX = xk ⇔ pk = max{ pi : i = 1, n}
• Median
∑ pi ≤ 0,5
P ( X < xk ) ≤ 0,5 xi < xk
MedX = xk ⇔ ⇔
P ( X > xk ) ≤ 0,5 ∑ pi ≤ 0, 5
xi > xk
• Kỳ vọng
n
EX = ∑ ( xi . pi ) =x1. p1 + x2 . p2 + ... + xn . pn
i =1
n
E (ϕ ( X )) = ∑ (ϕ ( xi ). pi ) =ϕ ( x1 ). p1 + ϕ ( x2 ). p2 + ... + ϕ ( xn ). pn
i =1
• Phương sai
VarX = E ( X 2 ) − ( EX )2
n
với E ( X ) = ∑ ( xi2 . pi ) =x12 . p1 + x22 . p2 + ... + xn2 . pn
2
i =1
b. Biến ngẫu nhiên liên tục.
+∞
• f(x) là hàm mật ñộ xác suất của X ⇒ ∫ f ( x)dx = 1 ,
−∞
b
P{a ≤ X ≤ b} = ∫ f ( x).dx
a
• Hàm phân phối xác suất
x
FX ( x) = P ( X ≤ x) = ∫ f (t )dt
−∞
• Mode
ModX = x0 ⇔ Hàm mật ñộ xác suất f(x) của X ñạt cực ñại tại x0.
• Median
xe
1 1
MedX = xe ⇔ FX ( xe ) = ⇔ ∫ f ( x)dx = .
2 −∞
2
• Kỳ vọng
+∞
EX = ∫ x. f ( x)dx .
−∞
+∞
E (ϕ ( X )) = ∫ ϕ ( x). f ( x)dx
−∞
ðHNH TPHCM -2-
LT XSTK -3- Tóm tắt công thức
• Phương sai
+∞
VarX = E ( X 2 ) − ( EX )2 với EX 2 = ∫ x 2 . f ( x)dx .
−∞
c. Tính chất
• E (C ) = C , Var (C ) = 0 , C là một hằng số.
• E (kX ) = kEX , Var (kX ) = k 2VarX
• E (aX + bY ) = aEX + bEY
• Nếu X, Y ñộc lập thì E ( XY ) = EX .EY , Var (aX + bY ) = a 2VarX + b 2VarY
• σ ( X ) = VarX : ðộ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất
a. Phân phối Chuẩn (Normal Distribution) ( X ~ N (µ; σ2 ))
• X (Ω) = ℝ , EX=ModX=MedX= µ , VarX = σ 2
( x−µ )2
1 − 2
• Hàm mñxs f ( x, µ , σ ) = e 2σ
σ 2π
• Với µ = 0, σ = 1: X ~ N (0,1) (Standard Normal Distribution) có hàm mñxs
x2
1 −2
f ( x) = e (Hàm Gauss)
2π
x t2
b −µ a −µ 1 −2
• P (a ≤ X ≤ b) = ϕ( ) − ϕ( ) với ϕ( x) = ∫ e dt (Hàm Laplace)
σ σ 0
2π
•Cách sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ Máy 570MS Máy 570ES Máy 570 ES Plus
Khởi ñộng gói Thống kê Mode Mode Mode STAT 1-Var Mode STAT 1-Var
SD AC AC
Tính
z x2
1 −2
ϕ( z ) = ∫ e dx Shift 3 2 z ) = Shift 1 7 2 z ) = Shift 1 5 2 z ) =
0
2π
z x2
1 −2 Shift 1 5 1 z ) =
F ( z) = ∫ e dx Shift 3 1 z ) = Shift 1 7 1 z ) =
−∞
2π
Thoát gói Thống kê Mode 1 Mode 1 Mode 1
Lưu ý: F ( z ) = 0, 5 + ϕ( z )
ðHNH TPHCM -3-
LT XSTK -4- Tóm tắt công thức
Excel:
f (x, µ, σ) = NormDist(x, µ, σ, 0)
f (x, 0,1) = NormDist(x, 0,1, 0)
ϕ(x) = P(0 ≤ X ≤ x) = NormDist(x, 0,1,1) − 0.5 = NormSDist(x) − 0.5
P(a ≤ X ≤ b) = NormDist(b, 0,1,1) − NormDist(a, 0,1,1) = NormSDist(b) − NormSDist(a)
ϕ−1 (z) = NormInv(z + 0.5, 0,1) = NormSInv(z + 0.5)
b. Phân phối Poisson (Poisson Distribution) ( X ~ P (λ ))
• X (Ω) = ℕ , EX = VarX = λ . ModX=k ⇔ λ -1 ≤ k ≤ λ
k
−λ λ
• P (X=k)=e , k ∈ℕ
k!
Excel:
P(X = k) = Poisson(k, λ, 0)
P(X ≤ k) = Poisson(k, λ,1)
P(a < X ≤ b) = Poisson(b, λ,1) − Poisson(a, λ,1)
c. Phân phối Nhị thức (Binomial Distribution) ( X ~ B (n; p ))
• X (Ω) = {0..n} , EX=np, VarX=npq, ModX=k ⇔ (n + 1) p − 1 ≤ k ≤ (n + 1) p
• P (X=k)=C kn . p k .q n −k , q = 1− p, 0 ≤ k ≤ n, k ∈ ℕ
• Nếu (n ≥ 30; 0,1 < p < 0, 9; np ≥ 5, nq ≥ 5) thì X ~ B(n; p ) ≈ N (µ; σ2 ) với
µ = n. p, σ = npq
1 k −µ
P (X=k) ≈ f ( ), 0 ≤ k ≤ n, k ∈ ℕ
σ σ
b−µ a −µ
P (a ≤ X
• Nếu (n ≥ 30, p ≤ 0,1, np < 5) thì X ~ B (n; p ) ≈ P (λ ) với λ = np
λk
P (X=k) ≈ e −λ , k ∈ℕ
k!
• Nếu (n ≥ 30, p ≥ 0,9, nq < 5)
−λ λ n −k
P (X=k) ≈ e , k ∈ ℝ với λ = nq
(n − k )!
Excel:
P(X = k) = BinomDist(k, n, p, 0)
P(X ≤ b) = BinomDist(b, n, p,1)
P(a < X ≤ b) = BinomDist(b, n, p,1) − BinomDist(a, n, p,1)
d. Phân phối Siêu bội (HyperGeometric Distribution) ( X ~ H ( N ; N A ; n))
• X (Ω) = {max{0; n − ( N − N A )}..min{n;N A }}
ðHNH TPHCM -4-
LT XSTK -5- Tóm tắt công thức
N −n N
• EX=np, VarX=npq với p = A , q=1-p.
N −1 N
( N A + 1)(n + 1) + 2 ( N + 1)(n + 1) + 2
• ModX = k ⇔ −1 ≤ k ≤ A .
N +2 N +2
C Nk A C Nn −−kN A
• P (X=k)= , k ∈ X (Ω )
C Nn
N N
• Nếu > 20 thì X ~ H ( N ; N A ; n) ≈ B (n; p ) với p = A .
n N
k k n−k
P (X=k) ≈ Cn . p .q , k ∈ X (Ω), q = 1 − p .
Excel:
P(X = k) = HypGeomDist(k, n, N, N A )
ðHNH TPHCM -5-
LT XSTK -6- Tóm tắt công thức
Sơ ñồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:
HyperGeometric:
X~H(N;NA;n)
C Nk A .CNn −−kN A
P( X = k ) =
C Nn
N>20n
N n ≥ 30
p= A , q=1-p
N p ≤ 0,1
np < 5
Binomial: X~B(n;p) Poisson: X~ P(λ )
với λ = np
λk
P ( X = k ) = C . p .q
k k n−k P( X = k ) = e−λ
n k!
n ≥ 30
0,1 < p < 0, 9 1 k −µ
⇒ P( X = k ) ≈ f ( )
np ≥ 5 σ σ
nq ≥ 5
b−µ a − µ với
P ( a ≤ X < b) ≈ ϕ ( ) −ϕ( )
σ σ
µ = np, σ = npq
Normal: X~ N ( µ ; σ 2 ) Standard Normal: Y~ N(0;1)
2
y
( x − µ )2 1 −
f ( x; µ ; σ ) =
1 −
.e 2σ
2
X −µ f ( y) = .e 2
σ 2π ðặt Y = 2π
σ
ðHNH TPHCM -6-
LT XSTK -7- Tóm tắt công thức
II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị ñặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình X 1 + ... + X n x + ... + xn
X= x= 1
n n
Phương sai không hiệu chỉnh
ˆ ( X 1 − X ) + ... + ( X n − X )
2 2
( x1 − x ) + ... + ( xn − x ) 2
2
SX =
2
sx =
ˆ 2
n n
Phương sai hiệu chỉnh ( X − X ) + ... + ( X n − X )
2 2
( x − x ) + ... + ( xn − x ) 2
2
S X2 = 1 sx2 = 1
n −1 n −1
b. ðể dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:
xi x1 x2 … xk
ni n1 n2 … nk
Khi ñó
Các giá trị ñặc trưng Mẫu cụ thể
x n + ... + xk nk
Giá trị trung bình x= 1 1
n
Phương sai không hiệu chỉnh ( x − x ) n1 + ... + ( xk − x ) 2 nk
2
sˆx2 = 1
n
( x1 − x ) n1 + ... + ( xk − x )2 nk
2
Phương sai hiệu chỉnh sx =
2
n −1
c. Phân tổ thống kê
- Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm. Tuy nhiên
thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với
k = 3 2n + 1 , với x là phần nguyên của x.
x − xmin
- Trường hợp phân tổ ñều ta ñược khoảng cách mỗi tổ là h = max .
k
d. Sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính các giá trị ñặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [a; b) hay (a; b] thì ta sử dụng giá
a+b
trị ñại diện cho miền ñó là ñể tính toán.
2
ðHNH TPHCM -7-
LT XSTK -8- Tóm tắt công thức
Tác vụ 570MS 570ES
Bật chế ñộ nhập tần số Không cần Shift Mode ↓ 4 1
Khởi ñộng gói Thống kê Mode Mode SD Mode STAT 1-Var
x1 Shift , n1 M+
⋮ X FREQ
xk Shift , nk M+ x1 = n1 =
Nhập số liệu ⋮ ⋮
Nếu ni = 1 thì chỉ cần xk = nk =
nhấn
xi M+
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác ñịnh:
• Kích thước mẫu (n) Shift 1 3 = Shift 1 5 1 =
• Giá trị trung bình
(x ) Shift 2 1 = Shift 1 5 2 =
• ðộ lệch chuẩn không
hiệu chỉnh ( sˆx ) Shift 2 2 = Shift 1 5 3 =
• ðộ lệch chuẩn hiệu Shift 2 3 = Shift 1 5 4 =
chỉnh ( sx )
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1
2. Khoảng tin cậy.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. ( σ ñã biết)
• Khoảng tin cậy ñối xứng.
1− α σ
ϕ ( zα ) = → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( x − ε ; x + ε)
2 n
2 2 2
• Khoảng tin cậy bên trái.
σ
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ (−∞; x + ε)
n
• Khoảng tin cậy bên phải.
σ
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( x − ε; +∞)
n
Trường hợp 2. ( σ chưa biết, n ≥ 30 )
• Khoảng tin cậy ñối xứng.
1− α s
ϕ ( zα ) = → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( x − ε ; x + ε)
2 n
2 2 2
ðHNH TPHCM -8-
LT XSTK -9- Tóm tắt công thức
• Khoảng tin cậy bên trái.
s
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ (−∞; x + ε)
n
• Khoảng tin cậy bên phải.
s
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( x − ε; +∞)
n
Trường hợp 3. ( σ chưa biết, n<30)
• Khoảng tin cậy ñối xứng.
α s
1− α → → t α ⇒ε=t α . ⇒ ( x − ε ; x + ε)
2 ( n −1; ) ( n −1; ) n
2 2
• Khoảng tin cậy bên trái.
s
1 − α → α → t( n −1;α ) ⇒ ε = t( n −1;α ) . ⇒ (−∞ ; x + ε)
n
• Khoảng tin cậy bên phải.
s
1 − α → α → t( n−1;α ) ⇒ ε = t( n−1;α ) . ⇒ ( x − ε ; + ∞)
n
b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ của tổng thể.
• Khoảng tin cậy ñối xứng.
1− α f (1 − f )
ϕ ( zα ) = → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( f − ε ; f + ε)
2 n
2 2 2
• Khoảng tin cậy bên trái.
f (1 − f )
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ (0; f + ε)
n
• Khoảng tin cậy bên phải.
f (1 − f )
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα ⇒ ε = zα . ⇒ ( f − ε;1)
n
c) Khoảng tin cậy cho phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. ( µ chưa biết)
- Nếu ñề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác ñịnh s2 (bằng máy
tính bỏ túi).
• Khoảng tin cậy 2 phía.
α → χ12 = χ 2 2
α , χ2 = χ
2
α
( n −1;1− ) ( n −1; )
2 2
2 2
(n − 1) s (n − 1) s
⇒( ; )
χ 22 χ12
• Khoảng tin cậy bên trái.
(n − 1) s 2
α → χ12 = χ 2( n−1;1−α ) ⇒ (0; )
χ12
ðHNH TPHCM -9-
LT XSTK - 10 - Tóm tắt công thức
•Khoảng tin cậy bên phải.
2 2 (n − 1) s 2
α → χ 2 = χ ( n −1;α ) ⇒ ( ; +∞)
χ 22
Trường hợp 2. ( µ ñã biết)
k
- Tính (n − 1) s 2 = ∑ ni .( xi − µ)2
i =1
• Khoảng tin cậy 2 phía.
α → χ 22 = χ 2 α , χ12 = χ 2 α
( n; ) ( n;1− )
2 2
(n − 1) s 2 (n − 1) s 2
⇒( ; )
χ 22 χ12
• Khoảng tin cậy bên trái.
(n − 1) s 2
α → χ12 = χ 2( n;1−α ) ⇒ (0; )
χ12
• Khoảng tin cậy bên phải.
(n − 1) s 2
α → χ 22 = χ 2( n;α ) ⇒ ( ; +∞)
χ 22
3. Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê.
a) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. ( σ ñã biết)
• H o : µ = µo , H1 : µ ≠ µo
1− α x − µo
ϕ ( zα ) = → zα , z = . n
2 σ
2 2
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
• H o : µ = µo , H1 : µ < µo
x − µo
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z = . n
σ
- Nếu z < − zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≥ − zα : Chấp nhận Ho.
• H o : µ = µo , H1 : µ > µ o
x − µo
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z = . n
σ
- Nếu z > zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≤ zα : Chấp nhận Ho.
ðHNH TPHCM - 10 -
LT XSTK - 11 - Tóm tắt công thức
Trường hợp 2. ( σ chưa biết, n ≥ 30 )
• H o : µ = µo , H1 : µ ≠ µo
1− α x − µo
ϕ ( zα ) = → zα , z = . n
2 s
2 2
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
• H o : µ = µo , H1 : µ < µo
x − µo
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z = . n
s
- Nếu z < − zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≥ − zα : Chấp nhận Ho.
• H o : µ = µo , H1 : µ > µ o
x − µo
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z = . n
s
- Nếu z > zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≤ zα : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. ( σ chưa biết, n<30)
• H o : µ = µo , H1 : µ ≠ µo
α x − µo
α→ →t α ,t = . n
2 ( n −1; ) s
2
- Nếu t > t α : Bác bỏ Ho.
( n −1; )
2
- Nếu t ≤ t α : Chấp nhận Ho.
( n −1; )
2
• H o : µ = µo , H1 : µ < µo
x − µo
α → t( n−1;α ) , t = . n
s
- Nếu t < −t( n−1;α ) : Bác bỏ Ho.
- Nếu t ≥ −t( n−1;α ) : Chấp nhận Ho.
• H o : µ = µo , H1 : µ > µ o
x − µo
α → t( n−1;α ) , t = . n
s
- Nếu t > t( n −1;α ) : Bác bỏ Ho.
- Nếu t ≤ t( n −1;α) : Chấp nhận Ho.
b) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về tỉ lệ của tổng thể.
ðHNH TPHCM - 11 -
LT XSTK - 12 - Tóm tắt công thức
• H o : p = po , H1 : p ≠ po
1− α k f − po
ϕ ( zα ) = → zα , f = , z = . n
2
2
2
n po (1 − po )
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
• H o : p = po , H1 : p < po
k f − po
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , f = , z = . n
n po (1 − po )
- Nếu z < − zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≥ − zα : Chấp nhận Ho.
• H o : p = po , H1 : p > po
k f − po
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , f = , z = . n
n po (1 − po )
- Nếu z > zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≤ zα : Chấp nhận Ho.
c) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. ( µ chưa biết)
- Nếu ñề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính ñể xác
ñịnh s.
• H o : σ2 = σo2 , H1 : σ2 ≠ σo2
(n − 1) s 2
α → χ12 = χ 2 2
α , χ2 = χ
2
α , χ2 =
( n −1;1− )
2
( n −1; )
2
σo2
χ > χ 2
2 2
- Nếu : Bác bỏ H0.
2 2
χ
< χ 1
- Nếu χ1 ≤ χ ≤ χ 22 : Chấp nhận Ho.
2 2
• H o : σ2 = σo2 , H1 : σ2 < σo2
(n − 1) s 2
α → χ12 = χ 2( n−1;1−α ) , χ 2 =
σo2
- Nếu χ 2 < χ12 : Bác bỏ H0.
- Nếu χ 2 ≥ χ12 : Chấp nhận Ho.
• H o : σ2 = σo2 , H1 : σ2 > σo2
2 2 2 (n − 1) s 2
α → χ 2 = χ ( n−1;α ) , χ =
σo2
ðHNH TPHCM - 12 -
LT XSTK - 13 - Tóm tắt công thức
- Nếu χ 2 > χ 22 : Bác bỏ H0.
- Nếu χ 2 ≤ χ 22 : Chấp nhận Ho.
4. Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh tham số của 2 tổng thể.
a) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh giá trị trung bình của 2 tổng thể.
Trường hợp 1. ( σ1 , σ2 ñã biết)
• H o : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 ≠ µ 2
1− α x −x
ϕ ( zα ) = → zα , z = 1 2
2 σ12 σ22
2 2
+
n1 n2
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
• H o : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 < µ 2
x1 − x2
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z =
σ12 σ22
+
n1 n2
- Nếu z < − zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≥ − zα : Chấp nhận Ho.
• H o : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 > µ 2
x1 − x2
ϕ ( zα ) = 0,5 − α → zα , z =
σ12 σ22
+
n1 n2
- Nếu z > zα : Bác bỏ Ho.
- Nếu z ≤ zα : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. ( σ1 , σ2 chưa biết, n1, n2 ≥ 30 )
• H o : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 ≠ µ 2
1− α x −x
ϕ ( zα ) = → zα , z = 1 2
2 s12 s22
2 2
+
n1 n2
- Nếu z > z α : Bác bỏ Ho.
2
- Nếu z ≤ z α : Chấp nhận Ho.
2
ðHNH TPHCM - 13 -