Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 23062015002802
- 52 trang
- file .pdf
LÝ thuyÕt x¸c suÊt
1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ biÕn cè ngÉu nhiªn
1. Kh«ng gian x¸c suÊt
Tr−íc hÕt chóng ta ®−a vµo kh¸i niÖm mét hä A c¸c tËp con nµo ®ã cña kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬
b¶n Ω ®−îc gäi lµ σ-®¹i sè nÕu:
1. Ω∈A
2. A ∈ A suy ra Ω\A ∈ A
3. NÕu A1 , A2 , ... lµ d1y c¸c tËp hîp thuéc A, khi ®ã i Ai còng thuéc A.
Trong lÝ thuyÕt x¸c xuÊt, tËp c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn lµ mét σ-®¹i sè A. Mét ¸nh x¹ P tõ A vµo tËp c¸c sè thùc
R
P :A→R
tho¶ m1n c¸c tiªn ®Ò sau:
1. Víi mäi A ∈ A 0 ⩽ P (A) ⩽ 1
2. P (Ω) = 1
3. NÕu A1 , A2 , ..., Ai , ... lµ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn ®«i mét xung kh¾c nhau thuéc A, khi ®ã
P Ai = P (Ai )
i i
P (A) ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn A. Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt (Ω, A, P ) ®−îc gäi lµ kh«ng
gian x¸c suÊt.
TÝnh chÊt cña x¸c suÊt
(A) P (∅) = 0.
(B) A ⊂ B ⇒ P (A) ⩽ P (B).
(C) P (A) = 1 − P (A).
(D) P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
(E) P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (BC) − P (AB) − P (AC) + P (ABC).
(F) P (A1 + A2 + ... + An ) ⩽ P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ).
(G) Víi d1y c¸c biÕn cè gi¶m dÇn A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... (hoÆc t¨ng dÇn A1 ⊂ A2 ⊂ ...), khi ®ã
lim P (An ) = P ( lim An ).
n→∞ n→∞
2. øng dông ®Ó tÝnh x¸c suÊt c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn
Kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n gåm n biÕn cè ®ång kh¶ n¨ng
Ω = {ω1 , ω2 , ..., ωn }, P (ω1 ) = P (ω2 ) = ... = P (ωn )
Khi ®ã do P (Ω) = 1, suy ra P (ωi ) = n1 víi mäi i vµ nÕu
m
A = {ωn1 , ωn2 , ..., ωnm } ⇒ P (A) = .
n
1 http://www.ebook.edu.vn
Ta cßn nãi
Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho biÕn cè A
P (A) = .
Sè tr−êng hîp ®ång kh¶ n¨ng
Tr−êng hîp kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n Ω lµ mét miÒn h×nh häc, gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó
biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n thuéc miÒn A tØ lÖ víi ®é ®o cña A, khi ®ã
®é ®o cña A
P (A) = .
®é ®o cña Ω
(§é ®o ë ®©y ®−îc hiÓu nh− lµ ®é dµi, diÖn tÝch hoÆc thÓ tÝch tïy theo Ω ®−îc nh¾c ®Õn lµ miÒn h×nh häc nµo).
Bµi tËp 1
1. Gieo liªn tiÕp mét xóc x¾c, kÝ hiÖu Ak lµ biÕn cè: lÇn gieo thø k lµ lÇn ®Çu tiªn mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.
a. H1y tÝnh P (Ak ).
b. T×m x¸c suÊt ®Ó mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn ë mét lÇn gieo nµo ®ã.
c. H1y t×m x¸c suÊt ®Ó sau mét sè lÎ lÇn gieo, mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.
2. Mét tËp 10 vÐ trong ®ã cã 3 vÐ cã th−ëng. Chän ngÉu nhiªn 5 vÐ, t×m x¸c suÊt ®Ó trong ®ã cã ®óng 2 vÐ cã
th−ëng.
3. Mét hép ®ùng 3 bi ®á, 3 bi tr¾ng, 3 bi xanh. Chän ngÉu nhiªn ra 6 viªn bi, t×m x¸c suÊt ®Ó cã ®ñ 3 mµu
trong sè 6 viªn bi ®−îc chän ra.
4. Chøng minh r»ng
N−n+1
n n−1
CN = CN −k (n ⩽ N)
k=1
5. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ 0, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1
®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 12 . T×m x¸c suÊt ®Ó sau n b−íc, chÊt ®iÓm tíi vÞ trÝ k trªn trôc sè.
6. Bµi to¸n gÆp gì vµ bµi to¸n gieo kim cña Buffon.
3. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn vµ sù ®éc lËp cña c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn
X¸c suÊt cña A víi ®iÒu kiÖn B x¶y ra, kÝ hiÖu
P (AB)
P (A/B) =
P (B)
Tõ ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, suy ra c«ng thøc nh©n x¸c suÊt
P (AB) = P (A/B)P (B)
P (A1 A2 · · · An ) = P (An /A1 A2 · · · An−1 )P (An−1 /A1 A2 · · · An−2 ) · · · P (A2 /A1 )P (A1 )
NhËn xÐt r»ng víi kÝ hiÖu P ∗ (A) = P (A/B) lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn B (B cè
®Þnh), khi ®ã (Ω, A, P ∗ ) còng lµ kh«ng gian x¸c suÊt.
Hai biÕn cè A vµ B ®éc lËp nhau nÕu
P (A/B) = P (A) ⇔ P (AB) = P (A)P (B).
C¸c biÕn cè A1 , A2 , ..., An ®éc lËp, nÕu víi bÊt k× k biÕn cè ®«i mét kh¸c nhau Ai1 , Ai2 , ..., Aik k = 2, 3, ...n
trong d1y c¸c biÕn cè trªn
P (Ai1 Ai2 · · · Aik ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) · · · P (Aik )
Trong øng dông thùc tÕ hÖ c¸c biÕn cè mµ mçi biÕn cè liªn quan tíi mét phÐp thö ngÉu nhiªn trong dMy c¸c
phÐp thö ®−îc tiÕn hµnh ®éc lËp nhau t¹o thµnh hÖ c¸c biÕn cè ®éc lËp.
§Þnh lÝ 1 (®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ) NÕu A1 , A2 , ..., An , ... lµ hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn, A lµ biÕn cè
ngÉu nhiªn bÊt k×, khi ®ã
∞
P (A) = P (A/Ai )P (Ai ).
i=1
2 http://www.ebook.edu.vn
Bµi tËp 2
1. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ x = k, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang
tr¸i 1 ®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 12 . ChÊt ®iÓm dõng l¹i nÕu nã ®¹t tíi c¸c vÞ trÝ hót x = 0 hoÆc x = n. T×m x¸c
suÊt ®Ó mét lóc nµo ®ã nã dÞch chuyÓn tíi tr¹ng th¸i hót x = 0. (XÝch Markov).
2. R¶i ngÉu nhiªn N viªn bi vµo n hép. Víi ®iÒu kiÖn mét hép x¸c ®Þnh tõ tr−íc (vÝ dô hép thø nhÊt) kh«ng
rçng, t×m x¸c suÊt ®Ó hép ®ã cã ®óng K viªn bi (K ≥ 1).
3. Mét x¹ thñ b¾n bia, x¸c suÊt tróng bia cña x¹ thñ b»ng p. T×m x¸c suÊt ®Ó sau n lÇn b¾n liªn tôc, lÇn b¾n
thø n lµ lÇn ®Çu tiªn x¹ thñ b¾n tróng bia.
4. A vµ B ch¬i mét trß ch¬i nh− sau: A gieo xóc x¾c, kÕt qu¶ gi¶ sö mÆt k chÊm xuÊt hiÖn. A gieo tiÕp ®ång
thêi 2 ®ång xu k lÇn. NÕu Ýt nhÊt cã mét lÇn x¶y ra biÕn cè c¶ hai ®ång xu cïng xuÊt hiÖn mÆt ngöa, khi ®ã A
th¾ng cuéc, ng−îc l¹i A bÞ thua. Hái trß ch¬i ®ã cã lîi cho A hay B?
5. A vµ B ch¬i mét trß ch¬i nh− sau: A gieo ®ång thêi 2 xóc x¾c. NÕu tæng b»ng 7 hoÆc 11, A th¾ng cuéc,
nÕu tæng b»ng 2,3 hoÆc 12, A thua cuéc. C¸c tr−êng hîp cßn l¹i, A lÆp l¹i trß ch¬i cho ®Õn khi cã ng−êi th¾ng
ng−êi thua. T×m x¸c suÊt ®Ó A th¾ng. (§S: 23 )
6. Cho n hép, mçi hép chøa ®óng a bi tr¾ng vµ b bi ®á. LÊy ngÉu nhiªn 1 viªn bi tõ hép thø nhÊt vµ bá sang
hép thø hai, sau ®ã lÊy tiÕp 1 viªn bi tõ hép thø hai vµ bá sang hép thø ba,... Cuèi cïng lÊy 1 viªn bi tõ hép
thø n. Gäi A lµ biÕn cè viªn bi lÊy tõ hép thø nhÊt bá sang hép thø hai lµ viªn bi tr¾ng, B lµ biÕn cè viªn bi
lÊy tõ hép thø n lµ viªn bi tr¾ng. KÝ hiÖu pn = P (B/A). Chøng minh r»ng
a b
pn = + (a + b + 1)1−n .
a+b a+b
7. C¸c hép ®−îc ®¸nh sè 0, 1, 2, ..., N vµ hép mang sè k chøa k bi ®á, N − k bi tr¾ng (k = 0, 1, 2, ..., N ).
Chän ngÉu nhiªn mét hép vµ tõ hép nµy chän lÇn l−ît cã hoµn l¹i tõng viªn bi. Gäi An lµ lµ biÕn cè lÇn chän
thø n lÊy ®−îc viªn bi ®á.
a. TÝnh P (A3 /A1 A2 )
b. Gi¶ sö tõ hép ®1 chän ngÉu nhiªn chän lÇn l−ît hai viªn bi kh«ng hoµn l¹i. T×m x¸c suÊt ®Ó c¶ hai bi ®1
chän lµ bi ®á.
4. C«ng thøc Bernoulli
Gi¶ sö x¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A lµ p. Khi ®ã x¸c suÊt ®Ó trong n lÇn tiÕn hµnh phÐp thö ngÉu nhiªn ®éc
lËp nhau cã ®óng k lÇn x¶y ra A b»ng
Pk;n = Cnk pk q n−k (trong ®ã p + q = 1).
Bµi tËp 3
1. T×m x¸c suÊt ®Ó mét gia ®×nh 5 ng−êi con cã ®óng 3 trai, 2 g¸i.
2. BiÕt x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ bãng bµn A th¾ng B ë mçi sÐc lµ p. Hai ®Êu thñ ®Êu víi nhau tèi ®a 5 sÐc, ng−êi
nµo th¾ng tr−íc 3 sÐc lµ ng−êi th¾ng chung cuéc. T×m x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ A th¾ng chung cuéc.
p X¸c suÊt cÇn t×m: P (A) = p3 (1 + 3q + 6q 2 )
0,3 0,16308
0,4 0,31744
§S:
0,5 0,5
0,6 0,68256
0,7 0,83692
2 §¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ ph©n bè x¸c suÊt
1. Kh¸i niÖm c¬ b¶n
Mét ¸nh x¹ X : Ω → R trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A, P ) tháa m1n
{ω : X(ω) < x} ∈ A víi mäi x ∈ R
3 http://www.ebook.edu.vn
®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X. Hµm
F (x) = P (X < x) víi mäi x∈R
®−îc gäi lµ hµm ph©n bè x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X. HiÓn nhiªn
P (a ⩽ X < b) = F (b) − F (a)
NÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m f : R → [0, +∞) sao cho hµm ph©n bè F (x) cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X tho¶
m1n
b
F (b) − F (a) = P (a ⩽ X < b) = f (x) dx víi mäi a < b ∈ R,
a
khi ®ã hµm f ®−îc gäi lµ mËt ®é x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X. §¹i l−îng ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é
®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc. §Æc biÖt
x
F (x) = f (x) dx víi mäi x ∈ R.
−∞
T¹i c¸c ®iÓm hµm mËt ®é liªn tôc F ′ (x) = f (x). Chó ý r»ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c (®¹i l−îng ngÉu
nhiªn mµ miÒn gi¸ trÞ lµ tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc) kh«ng cã hµm mËt ®é, ph©n bè cña nã th−êng ®−îc cho d−íi
d¹ng
pn = P (X = xn ), n = 0, 1, 2, ... trong ®ã pn = 1
n
hoÆc d−íi d¹ng b¶ng
X x1 x2 ... xn ...
trong ®ã n pn = 1.
P p1 p2 ... pn ...
TÝnh chÊt hµm ph©n bè, hµm mËt ®é
1. F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, F (+∞) = limx→+∞ F (x) = 1.
2. Hµm ph©m bè ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc tr¸i trªn R.
+∞
3. −∞ f (x) dx = F (+∞) − F (−∞) = 1.
4. Víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, x¸c suÊt ®Ó X nhËn c¸c gi¸ trÞ trong mét tËp h÷u h¹n hoÆc v« h¹n
®Õm ®−îc lu«n b»ng 0. Suy ra
P (a ⩽ X < b) = P (a < b) = P (a ⩽ X ⩽ b) = F (b) − F (a).
Bµi tËp 4
1. X lµ sè lçi in sai trong mét trang s¸ch gi¸o khoa NXB Gi¸o dôc. Ng−êi ta biÕt r»ng
P (X = 0) = 0.85, P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.05
Nh− vËy X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn c¸c gi¸ trÞ 0, 1, 2 vµ b¶ng ph©n bè cña X th−êng ®−îc viÕt
X 0 1 2
d−íi d¹ng sau
P 0.85 0.1 0.05
Hµm ph©n bè cña X khi ®ã b»ng
0 nÕu x ⩽ 0
0.85 nÕu 0 < x ⩽ 1
F (x) =
0.95
nÕu 1 < x ⩽ 2
1 nÕu 2 < x
2. Gäi X lµ sè lÇn b¾n liªn tôc vµo bia cho ®Õn khi tróng bia, p lµ x¸c suÊt tróng bia cña mçi lÇn b¾n. Gi¶ thiÕt
c¸c lÇn b¾n ®éc lËp nhau, khi ®ã b¶ng ph©n bè cña X
X 1 2 ... n ...
(p + q = 1)
P p qp ... pq n−1 ...
4 http://www.ebook.edu.vn
3. X lµ ®iÓm chän ngÉu nhiªn trªn ®o¹n [a, b] (gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó X thuéc kho¶ng (u, v) ⊂ [a, b] tØ lÖ
víi ®é dµi ®o¹n [u, v]). Khi ®ã X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi hµm mËt ®é
1
b−a
nÕu a < x ⩽ b
f (x) =
0 nÕu x ⩽ a hoÆc x > b
(X ®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [a, b].)
4. NÕu f (x) lµ hµm mËt ®é cña X, khi ®ã hµm mËt ®é cña Y = aX + b b»ng
1 y−b
g(y) = f
|a| a
5. T×m hµm mËt ®é cña ξ 2 , biÕt ξ ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [−1, 1].
2. K× väng, ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
Víi c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã ph©n bè
X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
K× väng cña X, kÝ hiÖu E(X) b»ng
∞
E(X) = x i pi nÕu chuçi héi tô tuyÖt ®èi.
i=1
Tr−êng hîp X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc cã f (x) lµ hµm mËt ®é
+∞
E(X) = xf (x)dx nÕu tÝch ph©n héi tô tuyÖt ®èi.
−∞
Chó ý r»ng k× väng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ
+∞
E(ϕ(X)) = ϕ(x)f (x)dx trong ®ã f (x) lµ hµm mËt ®é cña X.
−∞
Ph−¬ng sai D(X) vµ ®é lÖch tiªu chuÈn σX cña X
D(X) = E(X − EX)2 = EX 2 − (EX)2 , σX = D(X).
HiÓn nhiªn ph−¬ng sai cña h»ng sè b»ng 0 vµ
D(αX) = α2 D(X).
Bµi tËp 5
1. X lµ sè trÎ s¬ sinh trong mét ngµy ë mét bÖnh viÖn nhá. BiÕt ph©n bè cña X
X 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.2 0.1
Khi ®ã trung b×nh sè trÎ em míi sinh trong mét ngµy b»ng
EX = 0 × 0.3 + 1 × 0.4 + 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 1.1
2. Gäi X lµ sè lÇn gieo xóc x¾c liªn tôc cho ®Õn khi mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn. H1y tÝnh sè lÇn gieo trung b×nh.
3. Mét c«ng viÖc trong x©y dùng dù tÝnh sÏ ®−îc hoµn thµnh trong kho¶ng thêi gian tõ 10 ®Õn 14 ngµy. Gi¶ sö
X lµ sè ngµy c«ng ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc ®ã, ph©n bè cña X ®−îc dù tÝnh nh− sau
X 10 11 12 13 14
⇒ E(X) = 11.9 ngµy, D(X) = 1.29
P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
5 http://www.ebook.edu.vn
Nhµ thÇu −íc l−îng chi phÝ toµn bé cho c«ng tr×nh gåm 85 triÖu tiÒn vËt liÖu x©y dùng vµ tiÒn nh©n c«ng lµ 1.6
triÖu ®ång mét ngµy c«ng. Khi ®ã chi phÝ toµn bé cho c«ng tr×nh b»ng
Y = 85 + 1.5X (triÖu ®ång)
VËy k× väng hay gi¸ trÞ trung b×nh cña toµn bé chi phÝ lµ
E(Y ) = 85 + 1.5E(X) = 85 + 1.5 × 11.9 = 102.85 (triÖu ®ång)
√
D(Y ) = 1.52 × D(X) = 1.52 × 1.29 = 2.9025 ⇒ σY = 2.9025 = 1.7037
4. K× väng vµ ph−¬ng sai cña ph©n bè ®Òu trªn [a, b]
a+b (a − b)2
EX = , DX =
2 12
3. C¸c ph©n bè th−êng gÆp
1. Ph©n bè nhÞ thøc
X 0 1 ... k ... n
P p0 p1 ... pk ... pn
trong ®ã pk = P (X = k) = Cnk pk q n−k , p + q = 1, k = 0, 1, ..., n
NhËn xÐt r»ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè nhÞ thøc cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng
n
X= Xi
i=1
trong ®ã Xi ghi l¹i kÕt qu¶ cña viÖc xuÊt hiÖn hay kh«ng xuÊt hiÖn biÕn cè A trong d1y c¸c phÐp thö ngÉu
nhiªn ®éc lËp (P (A) = p)
1 nÕu A x¶y ra trong phÐp thö thø i
Xi =
0 nÕu A kh«ng x¶y ra trong phÐp thö thø i
2. Ph©n bè Poisson
X 0 1 2 ... k ...
P p0 p1 p2 ... pk ...
trong ®ã
λk
pk = P (X = k) = e−λ , λ > 0, k = 0, 1, 2, ...
k!
3. Ph©n bè h×nh häc
X 1 2 ... n ...
P p qp ... q n−1 p ...
trong ®ã p + q = 1.
4. Ph©n bè mò
X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè mò, nÕu hµm mËt ®é cña X b»ng
λe−λx nÕu x > 0
f (x) = víi λ > 0
0 nÕu x ⩽ 0
5. Ph©n bè chuÈn
X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn, kÝ hiÖu X ∈ N (m, σ 2 ) nÕu hµm mËt ®é cña X b»ng
1 (x−m)2
f (x) = √ e− 2σ2 trong ®ã σ > 0, m ∈ R.
2πσ
6 http://www.ebook.edu.vn
Sö dông ∞ √
−x2 π
I= e dx =
0 2
ta dÔ dµng chøng minh hµm f (x) nãi trªn lµ hµm mËt ®é vµ
EX = m, DX = σ 2 .
NhËn xÐt r»ng X ∈ N(m, σ 2 ) khi vµ chØ khi Z = X−m
σ ∈ N (0, 1). Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu hµm ph©n bè cña
X ∈ N (0, 1) x
1 u2
Φ(x) = √ e− 2 du.
2π −∞
Tra b¶ng ph©n bè chuÈn, ta cã
Quy t¾c 3σ NÕu X ∈ N (m, σ 2 ), khi ®ã
3
X − m
P (m − 3σ ⩽ X ⩽ m + 3σ) = P ( ⩽ 3) = √1 x2
e− 2 dx = 2Φ(3) − 1 = 0, 9973
σ 2π −3
3 §¹i l−îng ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu
1. Hµm ph©n bè vµ hµm mËt ®é chung
XÐt mét cÆp hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (ξ, η). NÕu chóng ta ®ång thêi kh¶o s¸t hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ
vµ η, chóng ta sÏ coi chóng nh− c¸c to¹ ®é cña mét vÐc t¬ ngÉu nhiªn (hay mét ®iÓm ngÉu nhiªn) (ξ, η). C¸c
gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã lµ c¸c ®iÓm (x, y) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy. Gäi tËp E lµ mét miÒn ph¼ng bÊt k×
E ⊂ R2 vµ Pξ,η (E) = P ((ξ, η) ∈ E) lµ x¸c suÊt ®Ó ®iÓm ngÉu nhiªn (ξ, η) ri vµo tËp E. Ng−êi ta gäi Pξ,η (E),
víi mäi E ⊂ R2 lµ ®é ®o x¸c suÊt cña c¸c tËp hîp trªn mÆt ph¼ng sinh bëi vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η).
§Þnh nghÜa 1 Hµm
H(x, y) = P (ξ < x, η < y) = P ({ξ ∈ (−∞, x)} · {η ∈ (−∞, y)})
víi mäi x, y ∈ R lµ hµm ph©n bè chung cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ vµ η (hay cßn gäi lµ hµm ph©n bè
®ång thêi cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η)).
NÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m h(x, y) ≥ 0 sao cho
P ((ξ, η) ∈ E) = h(x, y) dxdy
E
víi mäi miÒn E cña mÆt ph¼ng. Khi ®ã ta nãi h(x, y) lµ hµm mËt ®é cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η) (hay cßn gäi
lµ hµm mËt ®é chung cña ξ vµ η).
§èi víi c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c, thay cho hµm ph©n bè ®ång thêi H(x, y) lµ c¸c x¸c suÊt
P (xi , yj ) = P (ξ = xi ∩ η = yj ) (hoÆc viÕt gän h¬n P (ξ = xi , η = yj ).)
Chóng th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng b¶ng. §Ó minh ho¹, ta xÐt vÝ dô sau.
VÝ dô
§¹i l−îng ngÉu nhiªn X ®o møc ®é hµi lßng cña ng−êi d©n sèng trong mét khu chung c− míi x©y dùng vµ Y
biÓu thÞ sè n¨m ng−êi d©n sèng trong khu chung c− ®ã. Gi¶ sö møc ®é hµi lßng cña ng−êi ë biÓu thÞ qua c¸c
gi¸ trÞ X = 1, X = 2, X = 3 hoÆc X = 4 (gi¸ trÞ X cµng lín t−¬ng øng víi møc hµi lßng cµng cao). §¹i l−îng
ngÉu nhiªn Y nhËn c¸c gi¸ trÞ 1 nÕu ng−êi d©n sèng kh«ng qu¸ 1 n¨m trong khu chung c− ®ã vµ nhËn gi¸ trÞ 2
trong tr−êng hîp ng−îc l¹i.
X 1 2 3 4 Tæng
Y
1 0.04 0.17 0.18 0.1 0.49
2 0.06 0.15 0.2 0.1 0.51
Tæng 0.1 0.32 0.38 0.2 1
7 http://www.ebook.edu.vn
B¶ng ph©n bè trªn cho biÕt, ch¼ng h¹n
P (3, 2) = P (X = 3, Y = 2) = 0.2
lµ x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn mét ng−êi sèng ë khu chung c−, ng−êi ®ã cã møc hµi lßng 3 vµ sèng trªn
1 n¨m trong khu chung c− ®ã. Cét tæng cho ph©n bè cña Y
P (Y = 1) = 0.49, P (Y = 2) = 0.51
Hµng tæng x¸c ®Þnh ph©n bè cña X
P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.32, P (X = 3) = 0.38, P (X = 4) = 0.2
Tr−êng hîp tån t¹i hµm mËt ®é chung, hiÓn nhiªn
P ((X, Y ) ∈ E) = h(x, y) dxdy víi mäi tËp E ⊂ R2 .
E
x y
∂2H
H(x, y) = P (X < x, Y < y) = h(u, v) dudv, = h(x, y)
−∞ −∞ ∂x∂y
x +∞
F (x) = H(x, +∞) = h(u, v) dv du lµ hµm ph©n bè cña X.
−∞ −∞
y +∞
G(y) = H(+∞, y) = h(u, v) du dv lµ hµm ph©n bè cña Y.
−∞ −∞
Hµm mËt ®é cña X, Y t−¬ng øng lµ
∞ ∞
f (x) = h(x, y) dy, g(y) = h(x, y) dx
−∞ −∞
§Þnh nghÜa 2 C¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ vµ η ®−îc gäi lµ ®éc lËp nhau nÕu víi mäi x, y ∈ R
H(x, y) = P (ξ < x, η < y) = P (ξ < x)P (η < y) = F (x)G(y) ⇔ h(x, y) = f (x)g(y)
§Þnh lÝ 2 Gi¶ sö X, Y cã hµm mËt ®é chung h(x, y), khi ®ã
∞ ∞
E (ϕ(X, Y )) = ϕ(x, y)h(x, y) dxdy.
−∞ −∞
§Æc biÖt nÕu X, Y lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau, khi ®ã
E(XY ) = EX · EY, D(X + Y ) = DX + DY.
VÝ dô 1.
Gi¶ sö hµm mËt ®é chung cña X vµ Y
6 2
5 (x + y ) nÕu 0 < x < 1, 0 < y < 1
h(x, y) =
0 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i
∞
Sö dông f (x) = −∞
h(x, y) dy, hµm mËt ®é cña X
6
1 2 6 1
5 0 (x + y ) dy = 5 (x + 3 )
nÕu 0 < x < 1
f (x) =
0 nÕu x ∈
/ (0, 1)
hµm mËt ®é cña Y
6
1
5 0
(x + y2 ) dx = 65 ( 12 + y2 ) nÕu 0 < y < 1
g(y) =
0 nÕu y ∈
/ (0, 1)
8 http://www.ebook.edu.vn
VÝ dô 2.
(X, Y ) ph©n bè ®Òu trªn h×nh trßn t©m (0, 1) b¸n kÝnh b»ng 1. Hµm mËt ®é chung cña X vµ Y
1
π nÕu x2 + (y − 1)2 < 1
h(x, y) =
0 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i
Hµm mËt ®é Y b»ng √
∞ 2 2y−y2
nÕu 0 g(y) = h(x, y) dx = π
−∞ 0 nÕu y∈
/ (0, 2)
1
E(Y ) = 1, D(Y ) =
4
Bµi tËp
1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè chuÈn N(0, 1). H1y t×m hµm mËt ®é
cña Z = |X|signY .
2. Chän ngÉu nhiªn 2 ®iÓm M vµ N trªn ®o¹n [0, 1], 2 ®iÓm M, N ®ã chia ®o¹n [0, 1] thµnh 3 phÇn, gäi c¸c
®é dµi cña 3 ®o¹n th¼ng ®ã t−¬ng øng lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X1 , X2 vµ X3 .
a) H1y t×m c¸c hµm mËt ®é cña X1 , X2 vµ X3 .
b) H1y tÝnh c¸c k× väng E(X1 ), E(X2 ) vµ E(X3 ).
2. Ph©n bè cã ®iÒu kiÖn
Gi¶ sö A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt P (A) > 0 vµ X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tïy ý. Ta cã ®Þnh nghÜa sau
§Þnh nghÜa 3 Ng−êi ta gäi hµm
F (x/A) = P (X < x/A) víi ∀x
lµ hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra. NÕu F (x/A) kh¶ vi, kÝ hiÖu f (x/A) =
F ′ (x/A) vµ x
F (x/A) = P (X < x/A) = f (t/A) dt víi ∀x
−∞
khi ®ã f (x/A) ®−îc gäi lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra (hoÆc nãi t¾t lµ hµm
mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn A).
Ta cã nhËn xÐt r»ng nÕu Ai , i = 1, 2, ... lµ mét hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè. Khi ®ã theo c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy
®ñ, hµm ph©n bè cña X cã thÓ biÓu diÔn theo c¸c hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn:
F (x) = P (X < x) = P (X < x/Ai )P (Ai ) = F (x/Ai )P (Ai )
i i
®¹o hµm c¶ hai vÕ theo x, ta còng cã kÕt qu¶ t−¬ng tù cho hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn
f (x) = f (x/Ai )P (Ai ).
i
Bµi tËp
Mçi ngµy sè ca cÊp cøu tíi mét bÖnh viÖn lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn N tu©n theo luËt Poisson víi tham sè λ.
Ng−êi ta ph©n ra hai lo¹i cÊp cøu: cÊp cøu do tai n¹n giao th«ng (lo¹i A) vµ cÊp cøu v× c¸c lÝ do kh¸c (lo¹i B).
Gi¶ thiÕt r»ng p lµ x¸c suÊt ®Ó mét ca cÊp cøu thuéc lo¹i A, cÊp cøu do tai n¹n giao th«ng. KÝ hiÖu XA lµ ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn biÓu thÞ sè ca cÊp cøu thuéc lo¹i A, XB lµ sè ca cÊp cøu thuéc lo¹i B trong ngµy.
1. Víi k, n lµ hai sè nguyªn, h1y tÝnh P (XA = k/N = n).
2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA ).
9 http://www.ebook.edu.vn
3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng vµ ph−¬ng sai cña XA .
4. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè cña XB .
5. XA vµ XB cã ®éc lËp víi nhau kh«ng?
Gi¶i bµi tËp: N cã ph©n bè Poisson víi tham sè λ.
λn
P (N = n) = e−λ
n!
1. Víi k, n lµ hai sè nguyªn, P (XA = k/N = n) = Cnk pk q n−k .
2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA )
λn
P (N = n, XA = k) = P (XA = k/N = n)P (N = n) = Cnk pk q n−k · e−λ =
n!
1 1
= e−λ λn pk q n−k = e−λ (λp)k (λq)n−k víi n ≥ k.
k!(n − k)! k!(n − k)!
3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng vµ ph−¬ng sai cña XA .
∞
∞
1
P (XA = k) = P (XA = k, N = n) = e−λ (λp)k (λq)n−k =
k!(n − k)!
n=k n=k
∞ ∞
(λp)k (λq)n−k (λp)k (λq)i (λp)k λq (λp)k
= e−λ = e−λ = e−λ · e = e−λp
k! (n − k)! k! i=0 i! k! k!
n=k
4. T−¬ng tù luËt ph©n bè cña XB
(λq)i
P (XB = i) = e−λq
i!
5. XA vµ XB ®éc lËp víi nhau. ThËt vËy xÐt P (XA = k, XB = i), kÝ hiÖu n = k + i, khi ®ã
1
P (XA = k, XB = i) = P (XA = k, N = n) = e−λ (λp)k (λq)n−k =
k!(n − k)!
(λp)k −λq (λq)i
= e−λp ·e = P (XA = k)P (XB = i), víi mäi k, i ≥ 0.
k! i!
Gi¶ thiÕt (X, Y ) lµ vÐc t¬ ngÉu nhiªn cã h(x, y) lµ hµm mËt ®é chung. Khi ®ã Y lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
liªn tôc, hµm mËt ®é cña Y lµ ∞
g(y) = h(x, y) dx.
−∞
Ta ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè {X < x} víi ®iÒu kiÖn Y = y nh− lµ giíi h¹n cña P (X <
x/y ⩽ Y < y + ∆y) khi ∆y dÇn tíi 0. Hµm
F (x/y) = lim P (X < x/y ⩽ Y < y + ∆y)
∆y→0
®−îc gäi lµ hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, tÊt nhiªn víi gi¶ thiÕt tån t¹i giíi h¹n trªn.
Do ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn vµ tÝnh chÊt cña hµm ph©n bè chung
P (X < x, y ⩽ Y < y + ∆y) H(x, y + ∆y) − H(x, y)
P (X < x/y ⩽ Y < y + ∆y) = =
P (y ⩽ Y < y + ∆y) G(y + ∆y) − G(y)
(H(x, y) lµ hµm ph©n bè chung cña X vµ Y , G(y) lµ hµm ph©n bè cña Y ). Chia c¶ tö vµ mÉu cho ∆y, chuyÓn
qua giíi h¹n khi ∆y → 0 ta ®−îc
2
∂ ∂
∂y H(x, y) ∂ ∂x∂y H(x, y) h(x, y)
F (x/y) = ⇒ f (x/y) = F (x/y) = = .
g(y) ∂x g(y) g(y)
f (x/y) ®−îc gäi lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y.
10 http://www.ebook.edu.vn
Chó ý r»ng c¸c hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn còng nh− ph©n bè cã ®iÒu kiÖn ë ®©y chØ ®−îc x¸c ®Þnh t¹i y sao
cho g(y) > 0. T¹i nh÷ng ®iÓm mµ g(y) = 0, hµm mËt ®é f (x/y) ®−îc x¸c ®Þnh tïy ý (®Ó ®¬n gi¶n, t¹i ®ã
ng−êi ta th−êng g¸n cho f (x/y) gi¸ trÞ 0). ViÕt chÝnh x¸c h¬n, mËt ®é cã ®iÒu kiÖn
h(x,y)
g(y) nÕu g(y) > 0
f (x/y) =
0 nÕu g(y) = 0
T−¬ng tù hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Y víi ®iÒu kiÖn X = x
h(x,y)
f (x)
nÕu f (x) > 0
g(y/x) =
0 nÕu f (x) = 0
Suy ra h(x, y) = f (x/y)g(y) = g(y/x)f (x). Tõ ®ã ta nhËn ®−îc c¸c c«ng thøc t−¬ng tù nh− c«ng thøc x¸c
suÊt ®Çy ®ñ
∞ ∞
f (x) = h(x, y) dy = f (x/y)g(y) dy
−∞ −∞
∞ ∞
g(y) = h(x, y) dx = g(y/x)f (x) dx
−∞ −∞
Chó ý r»ng nÕu X, Y lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau khi ®ã c¸c hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn
f (x/y) = f (x) kh«ng phô thuéc vµo y còng nh− g(y/x) = g(y) kh«ng phô thuéc vµo x.
§Þnh lÝ 3 Gi¶ sö ϕ lµ mét song ¸nh
ϕ:D→T D ⊂ R2 , T ⊂ R2
kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm thuéc D. (X, Y ) lµ vÐc t¬ ngÉu nhiªn nhËn c¸c gi¸ trÞ trong D vµ h(x, y) lµ hµm mËt ®é
®ång thêi cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn ®ã. Khi ®ã hµm mËt ®é cña (U, V ) = ϕ(X, Y ) b»ng
g(u, v) = h ϕ−1 (u, v) |J(u, v)|
trong ®ã J(u, v) lµ Jacobien cña ϕ−1 .
∂x
∂x
∂x ∂y ∂x ∂y
KÝ hiÖu (x, y) = ϕ −1
(u, v), khi ®ã Jacobien cña ϕ −1
b»ng J(u, v) = ∂u
∂y
∂v =
∂y −
∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u
NhËn xÐt 1 Gi¶ sö h(x, y) lµ hµm mËt ®é chung cña (X, Y ). C¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn U vµ V ®−îc x¸c ®Þnh
X = a11 U + a12 V
Y = a21 U + a22 V
Khi ®ã mËt ®é chung cña (U, V ) b»ng
g(u, v) = h (a11 u + a12 v, a21 u + a22 v) |det(A)|
a11 a12
trong ®ã A = lµ ma trËn kh«ng suy biÕn.
a21 a22
VÝ dô X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp thuéc N (0, 1). Khi ®ã ξ = X + Y vµ η = X − Y còng
√
®éc lËp vµ cã cïng ph©n bè chuÈn (∈ N (0, ( 2)2 )). ThËt vËy
X = 12 (ξ + η) (u+v)2 (u−v)2
⇒ | det A| = 12 ⇒ g(u, v) = √12π e− 8 · √12π e− 8 · 12
Y = 12 (ξ − η)
Suy ra
1 u2 1 u2
g(u, v) = √ √ e− 2·2 · √ √ e− 2·2
2π 2 2π 2
NhËn xÐt 2
1. NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, khi ®ã hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn
Y = y trïng víi hµm ph©n bè cña X, (kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn Y = y)
F (x/Y = y) = P (X < x/Y = y) = P (X < x) = F (x).
2. Tæng qu¸t h¬n, gi¶ sö ϕ(x, y) lµ mét hµm hai biÕn bÊt k×, X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.
Khi ®ã hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña ϕ(X, Y ) víi ®iÒu kiÖn Y = y trïng víi hµm ph©n bè cña ϕ(X, y)
P (ϕ(X, Y ) < x/Y = y) = P (ϕ(X, y) < x.
11 http://www.ebook.edu.vn
Ch¼ng h¹n ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp X vµ Y , cã thÓ suy ra tõ nhËn xÐt
trªn nh− sau:
XÐt Z = ϕ(X, Y ) = X + Y , hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ hiÖu H(z/y)), theo
nhËn xÐt trªn b»ng hµm ph©n bè cña ϕ(X, y)(= X + y)
H(z/y) = P (X + y < z) = F (z − y)
®¹o hµm hai vÕ theo z ®Ó x¸c ®Þnh hµm mËt ®é, ta ®−îc mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ
hiÖu h(z/y))
h(z/y) = f (z − y).
¸p dông c«ng thøc ”x¸c suÊt ®Çy ®ñ më réng” ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña Z (kÝ hiÖu r(z)), ta ®−îc
∞ ∞
r(z) = h(z/y)g(y) dy = f (z − y)g(y) dy.
−∞ −∞
§©y chÝnh lµ c«ng thøc x¸c ®Þnh hµm mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.
Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã thÓ thiÕt lËp ®−îc c¸c hµm mËt ®é cña XY vµ X/Y , nÕu X, Y ®éc lËp nhau. B¹n
®äc tù chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau:
a. Hµm mËt ®é cña XY b»ng ∞
1 z
s(z) = f ( )g(y) dy
−∞ |y| y
b. Hµm mËt ®é cña X
Y b»ng ∞
t(z) = |y|f (zy))g(y) dy
−∞
Ch¼ng h¹n ta ph¸c qua c¸ch dÉn d¾t ®Õn kÕt qu¶ a. ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña XY . Tr−íc tiªn ta t×m hµm
ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña XY víi ®iÒu kiÖn Y = y (xÐt hai tr−êng hîp y > 0 vµ y < 0). Hµm ph©n bè cã ®iÒu
1
kiÖn ®ã b»ng hµm ph©n bè cña y · X (kh«ng ®iÒu kiÖn), suy ra, hµm mËt ®é cña y · X b»ng |y| f ( zy ), vËy hµm
mËt ®é cña XY ∞
1 z
s(z) = f ( )g(y) dy.
−∞ |y| y
Bµi tËp
1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1). H1y tÝnh hµm mËt
®é cña X + Y .
2. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (a, b) (®Ó ®¬n gi¶n ta gi¶ thiÕt
a, b lµ c¸c sè d−¬ng 0 < a < b). H1y tÝnh hµm mËt ®é cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tÝch XY .
3. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. H1y tÝnh hµm mËt
®é cña |X − Y |.
4. Gäi X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. KÝ hiÖu g(y/x) lµ
hµm mËt ®é cña X + Y víi ®iÒu kiÖn X = x vµ f (x/y) lµ hµm mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn X + Y = y. H1y
x¸c ®Þnh c¸c hµm mËt cã ®iÒu kiÖn g(y/x) vµ f (x/y).
4’. Kh¸c mét chót víi bµi tËp 4, gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, X cã ph©n bè mò víi
tham sè λ, trong khi Y cã ph©n bè mò víi tham sè µ, (µ = λ). KÝ hiÖu g(y/x) lµ hµm mËt ®é cña X + Y víi
®iÒu kiÖn X = x vµ f (x/y) lµ hµm mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn X + Y = y. H1y x¸c ®Þnh c¸c hµm mËt cã
®iÒu kiÖn g(y/x) vµ f (x/y).
5. Gi¶ sö X = (X1 , X2 ) vµ Y = (Y1 , Y2 ) lµ hai ®iÓm chän ngÉu nhiªn (theo ph©n bè ®Òu) ®éc lËp nhau trªn
®−êng trßn ®¬n vÞ:
x2 + y 2 = 1
H1y t×m hµm mËt ®é cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
X X2
Z = 1
Y1 Y2
12 http://www.ebook.edu.vn
3. K× väng cã ®iÒu kiÖn
Gi¶ sö A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt P (A) > 0 vµ X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tïy ý. T−¬ng tù nh− ®Þnh nghÜa
k× väng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, ta cã ®Þnh nghÜa sau
§Þnh nghÜa 4 NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c chØ nhËn c¸c gi¸ trÞ xi , i = 1, 2, ..., khi ®ã
E(X/A) = xi P (X = xi /A)
i
®−îc gäi lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra.
Tr−êng hîp X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x/A) lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn, khi ®ã
∞
E(X/A) = xf (x/A) dx
−∞
®−îc gäi lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra.
NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x) vµ g(x) lµ c¸c hµm mËt ®é cña chóng. Gäi
f (x/y) lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y K× väng cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, ®−îc kÝ
hiÖu E(X/Y = y) lµ tÝch ph©n ∞
E(X/Y = y) = xf (x/y) dx,
−∞
nÕu tÝch ph©n tån t¹i vµ héi tô tuyÖt ®èi.
§Þnh lÝ 4 Gi¶ thiÕt r»ng X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, tån t¹i k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X ®èi
víi Y , khi ®ã
E(X) = E(E(X/Y )).
Chøng minh
KÝ hiÖu h(y) = E(X/Y = y) (ng−êi ta gäi h(y) lµ hµm håi quy cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y)
∞ ∞
E(h(Y )) = h(y)g(y) dy = E(X/Y = y)g(y) dy =
−∞ −∞
∞ ∞ ∞ ∞
= xf (x/y) dx g(y) dy = x f (x/y)g(y)dy dx
−∞ −∞ −∞ −∞
∞
MÆt kh¸c f (x) = −∞
f (x/y)g(y) dy nªn
∞
E(h(Y )) = E(E(X/Y )) = xf (x) dx = E(X) ®.p.c.m.
−∞
4. T−¬ng quan vµ hÖ sè t−¬ng quan
§Þnh nghÜa 5 NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng E(X) vµ E(Y ), khi ®ã
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
®−îc gäi lµ covarian (hay cßn gäi lµ m« men t−¬ng quan) cña X vµ Y .
HiÓn nhiªn nÕu X vµ Y ®éc lËp , khi ®ã
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(X − E(X)) · E(Y − E(Y )) = 0
13 http://www.ebook.edu.vn
Tr−êng hîp X = Y , khi ®ã covarian cov(X, X) = D(X).
M« men t−¬ng quan cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã c¸c tÝnh chÊt sau
i) cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY ) − E(X)E(Y )
ii) cov(αX, Y ) = cov(X, αY ) = αcov(X, Y )
iii) KÝ hiÖu σx = D(X) vµ σy = D(Y ) lµ c¸c ®é lÖch tiªu chuÈn cña X vµ Y . Khi ®ã
|cov(X, Y )| ⩽ σx σy .
ThËt vËy xÐt
E[(Y − tX)2 ] = E(Y 2 − 2tXY + t2 Y 2 ) = E(Y 2 ) − 2E(XY )t + E(Y 2 )t2 ≥ 0 víi mäi t.
§©y lµ tam thøc bËc hai kh«ng ©m víi mäi t, suy ra
[E(XY )]2 ⩽ E(X 2 )E(Y 2 )hay |E(XY )| ⩽ E(X 2 ) E(Y 2 )
¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn víi X − E(X) vµ Y − E(Y ) thay cho X vµ Y
|cov(X, Y )| = |E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]| ⩽ D(X) D(X) = σx σy .
NhËn xÐt r»ng tõ chøng minh trªn suy ra
|cov(X, Y )| = σx σy ⇔ Y lµ mét hµm bËc nhÊt cña X : Y = aX + b.
§Þnh nghÜa 6
cov(X, Y ) E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
̺(X, Y ) = =
σx σy D(X) D(X)
®−îc gäi lµ hÖ sè t−¬ng quan cña X vµ Y .
HiÓn nhiªn hÖ sè t−¬ng quan cã c¸c tÝnh chÊt
i) −1 ⩽ ̺(X, Y ) ⩽ 1. DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi Y = aX + b (hoÆc X = aY + b)
ii) NÕu X vµ Y ®éc lËp, khi ®ã hÖ sè t−¬ng quan ̺(X, Y ) = 0
HÖ sè t−¬ng quan ®o møc ®é phô thuéc tuyÕn tÝnh gi÷a Y vµ X. NÕu |̺(X, Y )| xÊp xØ 1 khi ®ã c¸c ®iÓm
ngÉu nhiªn (X, Y ) gÇn nh− t¹o thµnh mét ®−êng th¼ng trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Khi ̺(X, Y ) = 0 ta nãi X vµ
Y kh«ng t−¬ng quan. Chó ý r»ng nÕu X vµ Y ®éc lËp khi ®ã chóng kh«ng t−¬ng quan, ng−îc l¹i tõ sù kh«ng
t−¬ng quan cña X vµ Y kh«ng suy ra chóng ®éc lËp víi nhau.
§Þnh nghÜa 7 KÝ hiÖu c = cov(X, Y ) lµ m« men t−¬ng quan cña X vµ Y . Khi ®ã ma trËn
D(X) c
C=
c D(Y )
®−îc gäi lµ ma trËn covarian (ma trËn t−¬ng quan) cña X vµ Y .
Duy tr× c¸c kÝ hiÖu σx , σy lµ c¸c ®é lÖch tiªu chuÈn cña X vµ Y , ̺ lµ hÖ sè t−¬ng quan cña X vµ Y . Tõ
®Þnh nghÜa hÖ sè t−¬ng quan suy ra c = ̺σx σy . Khi ®ã ma trËn covarian cã thÓ viÕt d−íi d¹ng
σx2 ̺σx σy
C=
̺σx σy σy2
Do |̺| ⩽ 1 nªn
2
σ ̺σx σy
det(C) = x = (1 − ̺2 )σx2 σx2 ≥ 0
̺σx σy σy2
Ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cho ta biÕt ®é lÖch ®¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ gi¸ trÞ trung b×nh cña ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn ®ã. Ma trËn c¸c hÖ sè t−¬ng quan còng ®ãng vai trß t−¬ng tù nh− ph−¬ng sai khi xÐt ®é dao
®éng cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn.
Gi¶ sö d lµ ®−êng th¼ng ®i qua (EX, EY ) (gi¸ trÞ trung b×nh cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (X, Y )) vµ −
→n (α, β) lµ
vÐc t¬ ®¬n vÞ chØ ph−¬ng cña d. Gäi
Z = α(X − EX) + β(Y − EY )
14 http://www.ebook.edu.vn
lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (X − EX, Y − EY ) lªn ®−êng th¼ng d. Ph−¬ng sai cña Z sÏ ®−îc tÝnh th«ng qua
ma trËn covarian C nh− sau
D(Z) = α2 E(X − EX)2 + β 2 (Y − EY )2 + 2αβE(X − EX)E(Y − EY ) =
= α2 σx2 + β 2 σy2 + 2αβ̺σx σy
NhËn xÐt r»ng ph−¬ng sai cña Z lµ d¹ng toµn ph−¬ng víi ma trËn covarian C lµ ma trËn cña d¹ng toµn ph−¬ng
®ã. Do det(C) ≥ 0, nãi chung C lµ ma trËn b¸n x¸c ®Þnh d−¬ng. NÕu X vµ Y ®éc lËp tuyÕn tÝnh (|̺| < 1),
khi ®ã C lµ ma trËn x¸c ®Þnh d−¬ng thùc sù.
NhËn xÐt 3 Sö dông c¸c phÐp to¸n ®èi víi ma trËn, ta cã thÓ më réng kh¸i niÖm ma trËn covarian cho nhiÒu
®¹i l−îng ngÉu nhiªn
Xi , E(Xi ) = mi , cov(Xi , Xj ) = σij , i, j = 1, 2, ..., n
Khi ®ã ma trËn covarian cña (X1 , X2 , ..., Xn ) lµ
σ11 σ12 ··· σ1n
σ21 σ22 ··· σ2n
C(X) =
··· ···
σn1 σn2 ··· σnn
Gi¶ sö ai , i = 1, 2, ...n lµ c¸c sè thùc bÊt k×. Khi ®ã
n
n 2
D( ai X i ) = E ai (Xi − mi ) =
i=1 i=1
= ai aj σij
i j
T−¬ng tù
n
n
cov( ai X i , b i Xi ) = ai bj σij
i=1 i=1 i j
KÝ hiÖu A,B,X,M lµ c¸c vÐc t¬ cét víi c¸c thµnh phÇn ai , bi , Xi , mi t−¬ng øng. C(X) lµ ma trËn covarian cña
X. Tõ c¸c ®¼ng thøc trªn suy ra
E(AT X) = AT E(X) = AT M
D(AT X) = AT C(X)A
cov(AT X, B T X) = AT C(X)B = B T C(X)A.
4 Hµm ®Æc tr−ng
1. §¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc
Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt ng−êi ta sö dông hµm ®Æc tr−ng nh− lµ mét c«ng cô quan träng ®Ó chøng minh c¸c
®Þnh lÝ giíi h¹n, ®Ó nghiªn cøu c¸c ®Æc tr−ng sè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn nh−: k× väng, ph−¬ng sai... Tr−íc
khi dÉn vµo kh¸i niÖm hµm ®Æc tr−ng, ta cÇn t×m hiÓu mét chót vÒ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc.
Gäi ξ vµ η lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, khi ®ã ζ = ξ + iη ®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc. Nã thùc
chÊt lµ mét hµm víi gi¸ trÞ phøc ®−îc x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n Ω. K× väng vµ
ph−¬ng sai cña ζ ®−îc x¸c ®ônh nh− sau
E(ζ) = E(ξ) + iE(η)
D(ζ) = E(|ζ − E(ζ)|2 )
Hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc ζ1 = ξ1 + iη2 vµ ζ2 = ξ2 + iη2 ®éc lËp nhau nÕu c¸c vÐct¬ ngÉu nhiªn (ξ1 , η1 )
vµ (ξ2 , η2 ) ®éc lËp nhau. Sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc còng lµ sù ®éc lËp cña c¸c ®¹i l−îng
ngÉu nhiªn 2 chiÒu. DÔ dµng chøng minh ®−îc khi ®ã
E(ζ1 ζ2 ) = E(ζ1 ) + E(ζ2 )
D(ζ1 + ζ2 ) = D(ζ1 ) + D(ζ2 )
15 http://www.ebook.edu.vn
KÕt qu¶ nµy còng më réng cho tr−êng hîp nhiÒu h¬n hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.
2. Hµm ®Æc tr−ng vµ c¸c tÝnh chÊt cña hµm ®Æc tr−ng
Hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ ®−îc x¸c ®Þnh trªn R
ϕ(t) = E(eitξ ) = E(cos tξ) + iE(sin tξ)
ξ x1 x2 ... xn ...
Tr−êng hîp ξ lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c
P p1 p2 ... pn ...
khi ®ã
+∞
+∞
+∞
ϕ(t) = pn cos txn + i pn sin txn = pn eitxn .
n=1 n=1 n=1
NÕu ξ lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x) lµ hµm mËt ®é, hµm ®Æc tr−ng cña ξ
+∞ +∞ +∞
ϕ(t) = f (x) cos tx dx + i f (x) sin tx dx = f (x)eitx dx.
−∞ −∞ −∞
Hµm ®Æc tr−ng lu«n lu«n tån t¹i vµ chóng cã c¸c tÝnh chÊt sau
1. Gi¸ trÞ hµm ®Æc tr−ng t¹i t = 0 lu«n b»ng 1, ϕ(0) = 1 vµ |ϕ(t)| ⩽ 1 víi mäi t ∈ R.
ThËt vËy, ϕ(0) = 1 lµ hiÓn nhiªn. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc E 2 (X) ⩽ E(X 2 ) víi bÊt k× X
|ϕ(t)|2 = E 2 (cos tξ) + E 2 (sin tξ) ⩽ E(cos2 tξ) + E(sin2 tξ) = 1.
2. Víi mäi t ∈ R
ϕ(−t) = E(e−itξ ) = E(cos(−t)ξ) + iE(sin(−t)ξ) = ϕ(t).
NÕu ξ cã ph©n bè x¸c suÊt ®èi xøng qua 0 (hay hµm ph©n bè cña ξ vµ −ξ trïng nhau), khi ®ã hµm ®Æc
tr−ng cña ξ nhËn c¸c gi¸ trÞ thùc vµ ϕ(t) lµ hµm ch½n.
3. Víi c¸c sè thùc bÊt k× a vµ b, hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X = aξ + b b»ng
E(itX) = eibt ϕ(at).
4. Hµm ®Æc tr−ng ϕ(t) liªn tôc ®Òu trªn toµn bé R.
Chän ε > 0 tïy ý. KÝ hiÖu Aλ lµ biÕn cè |ξ| > λ sao cho P (Aλ ) = P (|ξ| > λ) < 3ε . Khi ®ã
ϕ(t) = E(eitξ /Aλ )P (Aλ ) + E(eitξ /Aλ )P (Aλ ). Suy ra
ε
|ϕ(t) − E(eitξ /Aλ )P (Aλ )| = |E(eitξ /Aλ )P (Aλ )| ⩽ 1 · |P (Aλ )| ⩽
3
Tõ ®©y ta suy ra
2ε 2ε
|ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| ⩽ E(|eit1 ξ − eit2 ξ |/Aλ )P (Aλ ) + ⩽ E(|(t1 − t2 )ξ|/Aλ ) +
3 3
ε
Do E(|(t1 − t2 )ξ|/Aλ ) ⩽ |t1 − t2 |λ nªn |ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| ⩽ ε nÕu |t1 − t2 | < δ = 3λ .
5. Hµm ®Æc tr−ng cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt quan träng sau ®©y: Gi¶ sö ξ1 , ξ2 , ..., ξn lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
hoµn toµn ®éc lËp, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng cña tæng X = ξ1 + ξ2 + · · · ξn b»ng
n
ϕX (t) = ϕξi (t)
i=1
Do nhËn xÐt sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc còng lµ sù ®éc lËp cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu
nhiªn nhiÒu chiÒu, nªn kÕt qu¶ trªn ®−îc suy ra tõ ®Þnh lÝ k× väng cña tÝch c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc
lËp b»ng tÝch c¸c k× väng.
16 http://www.ebook.edu.vn
6. NÕu tån t¹i c¸c m«ment cÊp k, (k = 1, 2, ..., n) cña ξ, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng ϕξ (t) kh¶ vi cÇp n vµ
(k)
ϕξ (0) = ik E(ξ k ) (k = 1, 2, ..., n).
+∞ +∞
Theo gi¶ thiÕt −∞
f (x)|x| dx tån t¹i vµ h÷u h¹n nªn −∞
xeitx f (x) dx héi tô ®Òu theo t, suy ra
+∞ +∞
′ ′
ϕξ (t) = ixeitx f (x) dx ⇒ ϕξ (0) = i xf (x) dx = iE(ξ)
−∞ −∞
LËp luËn t−¬ng tù víi k = 2, ..., n.
7. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ rÊt m¹nh sau ®©y cña hµm ®Æc tr−ng: C¸c hµm ph©n bè ®−îc x¸c ®Þnh duy nhÊt
+∞
bëi hµm ®Æc tr−ng cña nã. Ngoµi ra nÕu gi¶ thiÕt tÝch ph©n −∞ |ϕ(t)| dt < +∞ khi ®ã hµm mËt ®é
f (x) liªn tôc, vµ
+∞
1
f (x) = ϕ(t)e−itx dt
2π −∞
8. Cho mét d1y c¸c hµm ph©n bè F (x), F1 (x), F1 (x), ... cïng víi c¸c hµm ®Æc tr−ng t−¬ng øng ϕ(t), ϕ1 (t), ϕ2 (t), ...
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó
lim Fn (x) = F (x) t¹i mäi ®iÓm liªn tôc cña F (x)
n→∞
lµ, víi mäi sè thùc t ∈ R
lim ϕn (t) = ϕ(t).
n→∞
Bµi tËp 6
1. Hµm ®Æc tr−ng cña ξk (k = 1, 2, ..., n) ph©n bè theo luËt 0, 1
E(eitξk ) = eit (1 − p) + eit p = 1 + p(eit − 1)
n
Suy ra hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè nhÞ thøc ξ = i=1 ξi (do ξ lµ tæng cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
®éc lËp ξi )
ϕ(t) = E(eitξ ) = (1 + p(eit − 1))n
2. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè Poisson
∞
k ∞
itk −λ λ −λ (λeit )k it
ϕ(t) = e e =e = eλ(e −1)
k! k!
k=0 k=0
3. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè mò
+∞
1
ϕ(t) = λ e−x(λ−it) dx =
0 1 − it
λ
4. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1)
1
1 sin t
ϕ(t) = eitx dx =
2 −1 t
Chó ý r»ng t−¬ng tù nh− hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ víi f (x) lµ hµm mËt ®é, ng−êi ta cßn
®−a vµo mét hµm kh¸c ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau
+∞
G(t) = E(etξ ) = etx f (x) dx
−∞
Kh¸c víi hµm hµm ®Æc tr−ng, hµm G(t) kh«ng ph¶i lu«n lu«n tån t¹i. §èi víi ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (0, 1)
+∞ +∞ +∞
1 x2 1 (x−t)2 t2 1 (x−t)2 t2 t2
G(t) = √ etx e− 2 dx = √ e− 2 + 2 dx = √ e− 2 e 2 dx = e 2
2π −∞ 2π −∞ 2π −∞
Sö dông nã ta cã thÓ tÝnh hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn
17 http://www.ebook.edu.vn
5. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (0, 1)
(it)2 t2
ϕ(t) = G(it) = e 2 = e− 2
6. Sö dông tÝnh chÊt 3. hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (m, σ 2 )
2 t2
ϕ(t) = eimt−σ 2
7. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè χ2n = ξ12 + ξ22 + · · · + ξn2 . §©y lµ tæng cña n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp
cã cïng ph©n bè χ2 víi mét bËc tù do. Ta ®1 biÕt r»ng hµm mËt ®é cña mçi sè h¹ng b»ng
x
√ 1 e− 2 nÕu x > 0,
h(x) = 2πx
0 nÕu x < 0
Hµm ®Æc tr−ng cña χ21 b»ng
∞ ∞
1 x 1 x
ϕξk2 (t) = eitx √e− 2 dx = √ e− 2 (1−2it) dx =
0 2πx 0 2πx
∞
2 − u2 (1−2it) 1
= e 2 du = √
0 π 1 − 2it
VËy hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè χ2n víi n bËc tù do
n
ϕ(t) = (1 − 2it)− 2
Chó ý r»ng tõ tÝnh chÊt 6. cã thÓ tÝnh k× väng, ph−¬ng sai vµ m«ment c¸c cÊp cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
dùa vµo hµm ®Æc trung cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®ã. Ch¼ng h¹n ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ph©n
′′
bè χ2n víi n bËc tù do b»ng: −ϕ (0) − n2 = 2n.
Bµi tËp 1. C¸c hµm nµo lµ hµm ®Æc tr−ng trong sè c¸c hµm sau
1
a) ϕ(t) = 1+t2
−|x|
XÐt hµm mËt ®é f (x) = e 2 . Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè ®ã b»ng ϕ(t) = 1+t
1
2 . NÕu ¸p dông tÝch ph©n
trong tÝnh chÊt 7.
+∞ +∞
e−|x| 1 1 1
= e−itx dt ⇔ e−|u| = eiux dx
2 2π −∞ 1 + t2 −∞ π(1 + x2 )
VËy ϕ(t) = e−|t| lµ hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè Cauchy.
4
b) ϕ(t) = e−t kh«ng lµ hµm ®Æc tr−ng.
′′
Do ϕ (0) = 0 suy ra D(ξ) = 0, v« lÝ.
c) ϕ(t) = sin t kh«ng lµ hµm ®Æc tr−ng.
d) ϕ(t) = cos t lµ hµm ®Æc tr−ng cña ξ víi ph©n bè cña ξ : P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 12 .
e) ϕ(t) = 12 (1 + cos t) lµ hµm ®Æc tr−ng cña ξ víi ph©n bè cña ξ : P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 14 ,
P (ξ = 0) = 12 .
f) T×m hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é f (x) = 1 − |x|, víi |x| ⩽ 1
1 2
2 t
ϕ(t) = eitx (1 − |x|)dx = sin
−1 t 2
Ta còng cã thÓ ®¹t ®−îc kÕt qu¶ trªn b»ng c¸ch chøng minh f (x) = 1 − |x| lµ hµm mËt ®é cña tæng hai
®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [− 12 , 12 ].
18 http://www.ebook.edu.vn
1
Bµi tËp 2. Chøng tá r»ng nÕu ϕ(t) lµ hµm ®Æc tr−ng, khi ®ã 2−ϕ(t) còng lµ hµm ®Æc tr−ng.
Gi¶ sö ξ1 , ξ2 , ... lµ d1y c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cïng cã ϕ(t) lµ hµm ®Æc tr−ng. Gäi ν lµ ®¹i l−îng
ngÉu nhiªn ®éc lËp víi d1y trªn vµ
1
P (ν = n) = (n = 0, 1, ...).
2n+1
XÐt
ξ1 + ξ2 + · · · + ξν nÕu ν > 0,
ξ=
0 nÕu ν = 0
¸p dông ®Þnh lÝ k× väng ®Çy ®ñ
∞
∞
(ϕ(t))n 1
ϕξ (t) = E(eitξ ) = E(eitξ /{ν = n})P (ν = n) = =
n=0 n=0
2n+1 2 − ϕ(t)
Bµi tËp 3. Chøng minh r»ng tæng cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã ph©n bè chuÈn (víi c¸c tham sè tïy
ý) còng lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn.
ThËt vËy hµm ®Æc tr−ng cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã d¹ng hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè
chuÈn
2 t2 2 t2 2 2 t2
ϕ1 (t)ϕ2 (t) = eim1 t−σ1 2 eim2 t−σ2 2 = ei(m1 +m2 )t−(σ1 +σ1 ) 2 .
5 LuËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m
1. C¸c d¹ng héi tô vµ kh¸i niÖm vÒ luËt sè lín
Sù æn ®Þnh dÇn cña tÇn suÊt tíi x¸c suÊt cña biÕn cè A chÝnh lµ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña luËt sè lín. Ng−êi ta
gäi chung c¸c quy luËt kh¼ng ®Þnh sù héi tô tíi h»ng sè C cña trung b×nh céng cña d1y n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
Y1 + Y2 + · · · + Yn
→C khi n → ∞
n
lµ luËt sè lín.
§Þnh nghÜa 8 Cho dMy Yn , n = 1, 2, ... c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn. Ta nãi Yn héi tô theo x¸c suÊt tíi ®¹i
P
l−îng ngÉu nhiªn Y , kÝ hiÖu Yn → Y , nÕu víi bÊt k× ǫ > 0
lim P (|Yn − Y | > ǫ) = 0.
n→∞
h.c.c
Ta nãi dMy c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Xn , n = 1, 2, ... héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi X, kÝ hiÖu Xn → X, nÕu
P ( lim Xn = X) = 1.
n→∞
Ta cã thÓ chøng minh héi tô hÇu ch¾c ch¾n kÐo theo héi tô theo x¸c suÊt. §iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng
®óng. ThËt vËy
∞
∞ ∞
1
{ω : Xn → X} = |Xm − X| <
n=1 m=n
k
k=1
h.c.c
Gi¶ sö Xn → X, suy ra víi mäi ε > 0
∞ ∞ ∞
P {|Xm − X| < ǫ} = lim P {|Xm − X| < ǫ} = 1.
n→∞
n=1 m=n m=n
Do vËy
P
lim P (|Xm − X| < ε) = 1 hay Xn → X.
n→∞
h.c.c
NhËn xÐt r»ng Xn → X t−¬ng ®−¬ng víi
∞
P
lim P {|Xm − X| < ǫ} = 1 víi mäi ε > 0 ⇔ sup |Xm − X| → 0.
n→∞ m≥n
m=n
19 http://www.ebook.edu.vn
§Þnh lÝ 5 (Trªb−sÐp) Gi¶ sö X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng m = E(X) vµ ph−¬ng sai σ 2 = D(X).
Khi ®ã víi mäi ǫ > 0 ta cã:
σ2
P (|X − m| ≥ ǫ) ⩽ 2
ǫ
Chøng minh Víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn kh«ng ©m Y , ta biÕt r»ng P (Y ≥ ǫ) ⩽ E(Y
ǫ
)
. Do ®ã
E(|X − m|2 ) σ2
P (|X − m| ≥ ǫ) = P (|X − m|2 ≥ ǫ2 ) ⩽ 2
= 2.
ǫ ǫ
2. LuËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m
B©y giê ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ sau vÒ luËt sè lín
§Þnh lÝ 6 (LuËt yÕu sè lín) Gi¶ sö X1 , X2 , ... lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng k× väng vµ ph−¬ng
sai
E(Xi ) = m, D(Xi ) = σ 2 , i = 1, 2, ...
Khi ®ã X1 +X2n+...+Xn héi tô theo x¸c suÊt tíi m
X1 + X2 + ... + Xn P
→m
n
Chøng minh Ta cã
X1 + X2 + ... + Xn X1 + X2 + ... + Xn σ2
E = m, D =
n n n
¸p dông ®Þnh lÝ Trªb−sÐp ta ®−îc ®.p.c.m.
X1 + X2 + ... + Xn σ2
P
− m > ǫ ⩽ 2 .
n nǫ
NhËn xÐt r»ng ®Þnh lÝ trªn vÉn ®óng nÕu ta thay gi¶ thiÕt sù ®éc lËp b»ng sù kh«ng t−¬ng quan cña c¸c ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn X1 , X2 , ...
Cuèi cïng ta ph¸t biÓu, kh«ng chøng minh ®Þnh lÝ sau cña Kolgomorov
§Þnh lÝ 7 (LuËt m¹nh sè lín) Gi¶ sö X1 , X2 , ... lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng hµm ph©n bè.
Khi ®ã ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó X1 +X2n+...+Xn héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi µ
X1 + X2 + ... + Xn h.c.c
→ µ
n
lµ tån t¹i k× väng E(Xi ) vµ E(Xi ) = µ.
Sö dông c¸c kÕt qu¶ vÒ hµm ®Æc tr−ng ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ giíi h¹n sau
§Þnh lÝ 8 Cho mét dMy c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cïng ph©n bè X1 , X2 , X3 , ..., Xn , ... víi E(Xk ) =
m, D(Xk ) = σ 2 víi mäi k = 1, 2, ... Khi ®ã
x
X1 + X2 + · · · + Xn − nm 1 u2
lim P √ n→∞ σ n 2π −∞
Chøng minh KÝ hiÖu ϕ(t) lµ hµm ®Æc tr−ng cña Xk − m, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng cña Xσk√−m
n
b»ng ϕ t
√
σ n
. øng
dông tÝnh chÊt 6 cña hµm ®Æc tr−ng vµ khai triÓn Taylo ®Õn cÊp 2
t t2 1
ϕ √ =1− +o
σ n 2n n
! "n
Do tÝnh ®éc lËp cña X1 , X2 , ..., Xn hµm ®Æc tr−ng cña X1 +X2 +···+X
√
σ n
n −nm
b»ng ϕ t
√
σ n
. Suy ra
· $n · $n
t t2 1 t2
lim ϕ √ = lim 1− +o = e− 2 .
n→∞ σ n n→∞ 2n n
20 http://www.ebook.edu.vn
1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ biÕn cè ngÉu nhiªn
1. Kh«ng gian x¸c suÊt
Tr−íc hÕt chóng ta ®−a vµo kh¸i niÖm mét hä A c¸c tËp con nµo ®ã cña kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬
b¶n Ω ®−îc gäi lµ σ-®¹i sè nÕu:
1. Ω∈A
2. A ∈ A suy ra Ω\A ∈ A
3. NÕu A1 , A2 , ... lµ d1y c¸c tËp hîp thuéc A, khi ®ã i Ai còng thuéc A.
Trong lÝ thuyÕt x¸c xuÊt, tËp c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn lµ mét σ-®¹i sè A. Mét ¸nh x¹ P tõ A vµo tËp c¸c sè thùc
R
P :A→R
tho¶ m1n c¸c tiªn ®Ò sau:
1. Víi mäi A ∈ A 0 ⩽ P (A) ⩽ 1
2. P (Ω) = 1
3. NÕu A1 , A2 , ..., Ai , ... lµ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn ®«i mét xung kh¾c nhau thuéc A, khi ®ã
P Ai = P (Ai )
i i
P (A) ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn A. Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt (Ω, A, P ) ®−îc gäi lµ kh«ng
gian x¸c suÊt.
TÝnh chÊt cña x¸c suÊt
(A) P (∅) = 0.
(B) A ⊂ B ⇒ P (A) ⩽ P (B).
(C) P (A) = 1 − P (A).
(D) P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
(E) P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (BC) − P (AB) − P (AC) + P (ABC).
(F) P (A1 + A2 + ... + An ) ⩽ P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ).
(G) Víi d1y c¸c biÕn cè gi¶m dÇn A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... (hoÆc t¨ng dÇn A1 ⊂ A2 ⊂ ...), khi ®ã
lim P (An ) = P ( lim An ).
n→∞ n→∞
2. øng dông ®Ó tÝnh x¸c suÊt c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn
Kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n gåm n biÕn cè ®ång kh¶ n¨ng
Ω = {ω1 , ω2 , ..., ωn }, P (ω1 ) = P (ω2 ) = ... = P (ωn )
Khi ®ã do P (Ω) = 1, suy ra P (ωi ) = n1 víi mäi i vµ nÕu
m
A = {ωn1 , ωn2 , ..., ωnm } ⇒ P (A) = .
n
1 http://www.ebook.edu.vn
Ta cßn nãi
Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho biÕn cè A
P (A) = .
Sè tr−êng hîp ®ång kh¶ n¨ng
Tr−êng hîp kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n Ω lµ mét miÒn h×nh häc, gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó
biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n thuéc miÒn A tØ lÖ víi ®é ®o cña A, khi ®ã
®é ®o cña A
P (A) = .
®é ®o cña Ω
(§é ®o ë ®©y ®−îc hiÓu nh− lµ ®é dµi, diÖn tÝch hoÆc thÓ tÝch tïy theo Ω ®−îc nh¾c ®Õn lµ miÒn h×nh häc nµo).
Bµi tËp 1
1. Gieo liªn tiÕp mét xóc x¾c, kÝ hiÖu Ak lµ biÕn cè: lÇn gieo thø k lµ lÇn ®Çu tiªn mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.
a. H1y tÝnh P (Ak ).
b. T×m x¸c suÊt ®Ó mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn ë mét lÇn gieo nµo ®ã.
c. H1y t×m x¸c suÊt ®Ó sau mét sè lÎ lÇn gieo, mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.
2. Mét tËp 10 vÐ trong ®ã cã 3 vÐ cã th−ëng. Chän ngÉu nhiªn 5 vÐ, t×m x¸c suÊt ®Ó trong ®ã cã ®óng 2 vÐ cã
th−ëng.
3. Mét hép ®ùng 3 bi ®á, 3 bi tr¾ng, 3 bi xanh. Chän ngÉu nhiªn ra 6 viªn bi, t×m x¸c suÊt ®Ó cã ®ñ 3 mµu
trong sè 6 viªn bi ®−îc chän ra.
4. Chøng minh r»ng
N−n+1
n n−1
CN = CN −k (n ⩽ N)
k=1
5. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ 0, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1
®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 12 . T×m x¸c suÊt ®Ó sau n b−íc, chÊt ®iÓm tíi vÞ trÝ k trªn trôc sè.
6. Bµi to¸n gÆp gì vµ bµi to¸n gieo kim cña Buffon.
3. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn vµ sù ®éc lËp cña c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn
X¸c suÊt cña A víi ®iÒu kiÖn B x¶y ra, kÝ hiÖu
P (AB)
P (A/B) =
P (B)
Tõ ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, suy ra c«ng thøc nh©n x¸c suÊt
P (AB) = P (A/B)P (B)
P (A1 A2 · · · An ) = P (An /A1 A2 · · · An−1 )P (An−1 /A1 A2 · · · An−2 ) · · · P (A2 /A1 )P (A1 )
NhËn xÐt r»ng víi kÝ hiÖu P ∗ (A) = P (A/B) lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn B (B cè
®Þnh), khi ®ã (Ω, A, P ∗ ) còng lµ kh«ng gian x¸c suÊt.
Hai biÕn cè A vµ B ®éc lËp nhau nÕu
P (A/B) = P (A) ⇔ P (AB) = P (A)P (B).
C¸c biÕn cè A1 , A2 , ..., An ®éc lËp, nÕu víi bÊt k× k biÕn cè ®«i mét kh¸c nhau Ai1 , Ai2 , ..., Aik k = 2, 3, ...n
trong d1y c¸c biÕn cè trªn
P (Ai1 Ai2 · · · Aik ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) · · · P (Aik )
Trong øng dông thùc tÕ hÖ c¸c biÕn cè mµ mçi biÕn cè liªn quan tíi mét phÐp thö ngÉu nhiªn trong dMy c¸c
phÐp thö ®−îc tiÕn hµnh ®éc lËp nhau t¹o thµnh hÖ c¸c biÕn cè ®éc lËp.
§Þnh lÝ 1 (®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ) NÕu A1 , A2 , ..., An , ... lµ hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn, A lµ biÕn cè
ngÉu nhiªn bÊt k×, khi ®ã
∞
P (A) = P (A/Ai )P (Ai ).
i=1
2 http://www.ebook.edu.vn
Bµi tËp 2
1. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ x = k, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang
tr¸i 1 ®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 12 . ChÊt ®iÓm dõng l¹i nÕu nã ®¹t tíi c¸c vÞ trÝ hót x = 0 hoÆc x = n. T×m x¸c
suÊt ®Ó mét lóc nµo ®ã nã dÞch chuyÓn tíi tr¹ng th¸i hót x = 0. (XÝch Markov).
2. R¶i ngÉu nhiªn N viªn bi vµo n hép. Víi ®iÒu kiÖn mét hép x¸c ®Þnh tõ tr−íc (vÝ dô hép thø nhÊt) kh«ng
rçng, t×m x¸c suÊt ®Ó hép ®ã cã ®óng K viªn bi (K ≥ 1).
3. Mét x¹ thñ b¾n bia, x¸c suÊt tróng bia cña x¹ thñ b»ng p. T×m x¸c suÊt ®Ó sau n lÇn b¾n liªn tôc, lÇn b¾n
thø n lµ lÇn ®Çu tiªn x¹ thñ b¾n tróng bia.
4. A vµ B ch¬i mét trß ch¬i nh− sau: A gieo xóc x¾c, kÕt qu¶ gi¶ sö mÆt k chÊm xuÊt hiÖn. A gieo tiÕp ®ång
thêi 2 ®ång xu k lÇn. NÕu Ýt nhÊt cã mét lÇn x¶y ra biÕn cè c¶ hai ®ång xu cïng xuÊt hiÖn mÆt ngöa, khi ®ã A
th¾ng cuéc, ng−îc l¹i A bÞ thua. Hái trß ch¬i ®ã cã lîi cho A hay B?
5. A vµ B ch¬i mét trß ch¬i nh− sau: A gieo ®ång thêi 2 xóc x¾c. NÕu tæng b»ng 7 hoÆc 11, A th¾ng cuéc,
nÕu tæng b»ng 2,3 hoÆc 12, A thua cuéc. C¸c tr−êng hîp cßn l¹i, A lÆp l¹i trß ch¬i cho ®Õn khi cã ng−êi th¾ng
ng−êi thua. T×m x¸c suÊt ®Ó A th¾ng. (§S: 23 )
6. Cho n hép, mçi hép chøa ®óng a bi tr¾ng vµ b bi ®á. LÊy ngÉu nhiªn 1 viªn bi tõ hép thø nhÊt vµ bá sang
hép thø hai, sau ®ã lÊy tiÕp 1 viªn bi tõ hép thø hai vµ bá sang hép thø ba,... Cuèi cïng lÊy 1 viªn bi tõ hép
thø n. Gäi A lµ biÕn cè viªn bi lÊy tõ hép thø nhÊt bá sang hép thø hai lµ viªn bi tr¾ng, B lµ biÕn cè viªn bi
lÊy tõ hép thø n lµ viªn bi tr¾ng. KÝ hiÖu pn = P (B/A). Chøng minh r»ng
a b
pn = + (a + b + 1)1−n .
a+b a+b
7. C¸c hép ®−îc ®¸nh sè 0, 1, 2, ..., N vµ hép mang sè k chøa k bi ®á, N − k bi tr¾ng (k = 0, 1, 2, ..., N ).
Chän ngÉu nhiªn mét hép vµ tõ hép nµy chän lÇn l−ît cã hoµn l¹i tõng viªn bi. Gäi An lµ lµ biÕn cè lÇn chän
thø n lÊy ®−îc viªn bi ®á.
a. TÝnh P (A3 /A1 A2 )
b. Gi¶ sö tõ hép ®1 chän ngÉu nhiªn chän lÇn l−ît hai viªn bi kh«ng hoµn l¹i. T×m x¸c suÊt ®Ó c¶ hai bi ®1
chän lµ bi ®á.
4. C«ng thøc Bernoulli
Gi¶ sö x¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A lµ p. Khi ®ã x¸c suÊt ®Ó trong n lÇn tiÕn hµnh phÐp thö ngÉu nhiªn ®éc
lËp nhau cã ®óng k lÇn x¶y ra A b»ng
Pk;n = Cnk pk q n−k (trong ®ã p + q = 1).
Bµi tËp 3
1. T×m x¸c suÊt ®Ó mét gia ®×nh 5 ng−êi con cã ®óng 3 trai, 2 g¸i.
2. BiÕt x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ bãng bµn A th¾ng B ë mçi sÐc lµ p. Hai ®Êu thñ ®Êu víi nhau tèi ®a 5 sÐc, ng−êi
nµo th¾ng tr−íc 3 sÐc lµ ng−êi th¾ng chung cuéc. T×m x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ A th¾ng chung cuéc.
p X¸c suÊt cÇn t×m: P (A) = p3 (1 + 3q + 6q 2 )
0,3 0,16308
0,4 0,31744
§S:
0,5 0,5
0,6 0,68256
0,7 0,83692
2 §¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ ph©n bè x¸c suÊt
1. Kh¸i niÖm c¬ b¶n
Mét ¸nh x¹ X : Ω → R trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A, P ) tháa m1n
{ω : X(ω) < x} ∈ A víi mäi x ∈ R
3 http://www.ebook.edu.vn
®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X. Hµm
F (x) = P (X < x) víi mäi x∈R
®−îc gäi lµ hµm ph©n bè x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X. HiÓn nhiªn
P (a ⩽ X < b) = F (b) − F (a)
NÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m f : R → [0, +∞) sao cho hµm ph©n bè F (x) cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X tho¶
m1n
b
F (b) − F (a) = P (a ⩽ X < b) = f (x) dx víi mäi a < b ∈ R,
a
khi ®ã hµm f ®−îc gäi lµ mËt ®é x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X. §¹i l−îng ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é
®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc. §Æc biÖt
x
F (x) = f (x) dx víi mäi x ∈ R.
−∞
T¹i c¸c ®iÓm hµm mËt ®é liªn tôc F ′ (x) = f (x). Chó ý r»ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c (®¹i l−îng ngÉu
nhiªn mµ miÒn gi¸ trÞ lµ tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc) kh«ng cã hµm mËt ®é, ph©n bè cña nã th−êng ®−îc cho d−íi
d¹ng
pn = P (X = xn ), n = 0, 1, 2, ... trong ®ã pn = 1
n
hoÆc d−íi d¹ng b¶ng
X x1 x2 ... xn ...
trong ®ã n pn = 1.
P p1 p2 ... pn ...
TÝnh chÊt hµm ph©n bè, hµm mËt ®é
1. F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, F (+∞) = limx→+∞ F (x) = 1.
2. Hµm ph©m bè ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc tr¸i trªn R.
+∞
3. −∞ f (x) dx = F (+∞) − F (−∞) = 1.
4. Víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, x¸c suÊt ®Ó X nhËn c¸c gi¸ trÞ trong mét tËp h÷u h¹n hoÆc v« h¹n
®Õm ®−îc lu«n b»ng 0. Suy ra
P (a ⩽ X < b) = P (a < b) = P (a ⩽ X ⩽ b) = F (b) − F (a).
Bµi tËp 4
1. X lµ sè lçi in sai trong mét trang s¸ch gi¸o khoa NXB Gi¸o dôc. Ng−êi ta biÕt r»ng
P (X = 0) = 0.85, P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.05
Nh− vËy X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn c¸c gi¸ trÞ 0, 1, 2 vµ b¶ng ph©n bè cña X th−êng ®−îc viÕt
X 0 1 2
d−íi d¹ng sau
P 0.85 0.1 0.05
Hµm ph©n bè cña X khi ®ã b»ng
0 nÕu x ⩽ 0
0.85 nÕu 0 < x ⩽ 1
F (x) =
0.95
nÕu 1 < x ⩽ 2
1 nÕu 2 < x
2. Gäi X lµ sè lÇn b¾n liªn tôc vµo bia cho ®Õn khi tróng bia, p lµ x¸c suÊt tróng bia cña mçi lÇn b¾n. Gi¶ thiÕt
c¸c lÇn b¾n ®éc lËp nhau, khi ®ã b¶ng ph©n bè cña X
X 1 2 ... n ...
(p + q = 1)
P p qp ... pq n−1 ...
4 http://www.ebook.edu.vn
3. X lµ ®iÓm chän ngÉu nhiªn trªn ®o¹n [a, b] (gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó X thuéc kho¶ng (u, v) ⊂ [a, b] tØ lÖ
víi ®é dµi ®o¹n [u, v]). Khi ®ã X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi hµm mËt ®é
1
b−a
nÕu a < x ⩽ b
f (x) =
0 nÕu x ⩽ a hoÆc x > b
(X ®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [a, b].)
4. NÕu f (x) lµ hµm mËt ®é cña X, khi ®ã hµm mËt ®é cña Y = aX + b b»ng
1 y−b
g(y) = f
|a| a
5. T×m hµm mËt ®é cña ξ 2 , biÕt ξ ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [−1, 1].
2. K× väng, ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
Víi c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã ph©n bè
X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
K× väng cña X, kÝ hiÖu E(X) b»ng
∞
E(X) = x i pi nÕu chuçi héi tô tuyÖt ®èi.
i=1
Tr−êng hîp X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc cã f (x) lµ hµm mËt ®é
+∞
E(X) = xf (x)dx nÕu tÝch ph©n héi tô tuyÖt ®èi.
−∞
Chó ý r»ng k× väng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ
+∞
E(ϕ(X)) = ϕ(x)f (x)dx trong ®ã f (x) lµ hµm mËt ®é cña X.
−∞
Ph−¬ng sai D(X) vµ ®é lÖch tiªu chuÈn σX cña X
D(X) = E(X − EX)2 = EX 2 − (EX)2 , σX = D(X).
HiÓn nhiªn ph−¬ng sai cña h»ng sè b»ng 0 vµ
D(αX) = α2 D(X).
Bµi tËp 5
1. X lµ sè trÎ s¬ sinh trong mét ngµy ë mét bÖnh viÖn nhá. BiÕt ph©n bè cña X
X 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.2 0.1
Khi ®ã trung b×nh sè trÎ em míi sinh trong mét ngµy b»ng
EX = 0 × 0.3 + 1 × 0.4 + 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 1.1
2. Gäi X lµ sè lÇn gieo xóc x¾c liªn tôc cho ®Õn khi mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn. H1y tÝnh sè lÇn gieo trung b×nh.
3. Mét c«ng viÖc trong x©y dùng dù tÝnh sÏ ®−îc hoµn thµnh trong kho¶ng thêi gian tõ 10 ®Õn 14 ngµy. Gi¶ sö
X lµ sè ngµy c«ng ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc ®ã, ph©n bè cña X ®−îc dù tÝnh nh− sau
X 10 11 12 13 14
⇒ E(X) = 11.9 ngµy, D(X) = 1.29
P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
5 http://www.ebook.edu.vn
Nhµ thÇu −íc l−îng chi phÝ toµn bé cho c«ng tr×nh gåm 85 triÖu tiÒn vËt liÖu x©y dùng vµ tiÒn nh©n c«ng lµ 1.6
triÖu ®ång mét ngµy c«ng. Khi ®ã chi phÝ toµn bé cho c«ng tr×nh b»ng
Y = 85 + 1.5X (triÖu ®ång)
VËy k× väng hay gi¸ trÞ trung b×nh cña toµn bé chi phÝ lµ
E(Y ) = 85 + 1.5E(X) = 85 + 1.5 × 11.9 = 102.85 (triÖu ®ång)
√
D(Y ) = 1.52 × D(X) = 1.52 × 1.29 = 2.9025 ⇒ σY = 2.9025 = 1.7037
4. K× väng vµ ph−¬ng sai cña ph©n bè ®Òu trªn [a, b]
a+b (a − b)2
EX = , DX =
2 12
3. C¸c ph©n bè th−êng gÆp
1. Ph©n bè nhÞ thøc
X 0 1 ... k ... n
P p0 p1 ... pk ... pn
trong ®ã pk = P (X = k) = Cnk pk q n−k , p + q = 1, k = 0, 1, ..., n
NhËn xÐt r»ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè nhÞ thøc cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng
n
X= Xi
i=1
trong ®ã Xi ghi l¹i kÕt qu¶ cña viÖc xuÊt hiÖn hay kh«ng xuÊt hiÖn biÕn cè A trong d1y c¸c phÐp thö ngÉu
nhiªn ®éc lËp (P (A) = p)
1 nÕu A x¶y ra trong phÐp thö thø i
Xi =
0 nÕu A kh«ng x¶y ra trong phÐp thö thø i
2. Ph©n bè Poisson
X 0 1 2 ... k ...
P p0 p1 p2 ... pk ...
trong ®ã
λk
pk = P (X = k) = e−λ , λ > 0, k = 0, 1, 2, ...
k!
3. Ph©n bè h×nh häc
X 1 2 ... n ...
P p qp ... q n−1 p ...
trong ®ã p + q = 1.
4. Ph©n bè mò
X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè mò, nÕu hµm mËt ®é cña X b»ng
λe−λx nÕu x > 0
f (x) = víi λ > 0
0 nÕu x ⩽ 0
5. Ph©n bè chuÈn
X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn, kÝ hiÖu X ∈ N (m, σ 2 ) nÕu hµm mËt ®é cña X b»ng
1 (x−m)2
f (x) = √ e− 2σ2 trong ®ã σ > 0, m ∈ R.
2πσ
6 http://www.ebook.edu.vn
Sö dông ∞ √
−x2 π
I= e dx =
0 2
ta dÔ dµng chøng minh hµm f (x) nãi trªn lµ hµm mËt ®é vµ
EX = m, DX = σ 2 .
NhËn xÐt r»ng X ∈ N(m, σ 2 ) khi vµ chØ khi Z = X−m
σ ∈ N (0, 1). Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu hµm ph©n bè cña
X ∈ N (0, 1) x
1 u2
Φ(x) = √ e− 2 du.
2π −∞
Tra b¶ng ph©n bè chuÈn, ta cã
Quy t¾c 3σ NÕu X ∈ N (m, σ 2 ), khi ®ã
3
X − m
P (m − 3σ ⩽ X ⩽ m + 3σ) = P ( ⩽ 3) = √1 x2
e− 2 dx = 2Φ(3) − 1 = 0, 9973
σ 2π −3
3 §¹i l−îng ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu
1. Hµm ph©n bè vµ hµm mËt ®é chung
XÐt mét cÆp hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (ξ, η). NÕu chóng ta ®ång thêi kh¶o s¸t hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ
vµ η, chóng ta sÏ coi chóng nh− c¸c to¹ ®é cña mét vÐc t¬ ngÉu nhiªn (hay mét ®iÓm ngÉu nhiªn) (ξ, η). C¸c
gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã lµ c¸c ®iÓm (x, y) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy. Gäi tËp E lµ mét miÒn ph¼ng bÊt k×
E ⊂ R2 vµ Pξ,η (E) = P ((ξ, η) ∈ E) lµ x¸c suÊt ®Ó ®iÓm ngÉu nhiªn (ξ, η) ri vµo tËp E. Ng−êi ta gäi Pξ,η (E),
víi mäi E ⊂ R2 lµ ®é ®o x¸c suÊt cña c¸c tËp hîp trªn mÆt ph¼ng sinh bëi vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η).
§Þnh nghÜa 1 Hµm
H(x, y) = P (ξ < x, η < y) = P ({ξ ∈ (−∞, x)} · {η ∈ (−∞, y)})
víi mäi x, y ∈ R lµ hµm ph©n bè chung cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ vµ η (hay cßn gäi lµ hµm ph©n bè
®ång thêi cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η)).
NÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m h(x, y) ≥ 0 sao cho
P ((ξ, η) ∈ E) = h(x, y) dxdy
E
víi mäi miÒn E cña mÆt ph¼ng. Khi ®ã ta nãi h(x, y) lµ hµm mËt ®é cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η) (hay cßn gäi
lµ hµm mËt ®é chung cña ξ vµ η).
§èi víi c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c, thay cho hµm ph©n bè ®ång thêi H(x, y) lµ c¸c x¸c suÊt
P (xi , yj ) = P (ξ = xi ∩ η = yj ) (hoÆc viÕt gän h¬n P (ξ = xi , η = yj ).)
Chóng th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng b¶ng. §Ó minh ho¹, ta xÐt vÝ dô sau.
VÝ dô
§¹i l−îng ngÉu nhiªn X ®o møc ®é hµi lßng cña ng−êi d©n sèng trong mét khu chung c− míi x©y dùng vµ Y
biÓu thÞ sè n¨m ng−êi d©n sèng trong khu chung c− ®ã. Gi¶ sö møc ®é hµi lßng cña ng−êi ë biÓu thÞ qua c¸c
gi¸ trÞ X = 1, X = 2, X = 3 hoÆc X = 4 (gi¸ trÞ X cµng lín t−¬ng øng víi møc hµi lßng cµng cao). §¹i l−îng
ngÉu nhiªn Y nhËn c¸c gi¸ trÞ 1 nÕu ng−êi d©n sèng kh«ng qu¸ 1 n¨m trong khu chung c− ®ã vµ nhËn gi¸ trÞ 2
trong tr−êng hîp ng−îc l¹i.
X 1 2 3 4 Tæng
Y
1 0.04 0.17 0.18 0.1 0.49
2 0.06 0.15 0.2 0.1 0.51
Tæng 0.1 0.32 0.38 0.2 1
7 http://www.ebook.edu.vn
B¶ng ph©n bè trªn cho biÕt, ch¼ng h¹n
P (3, 2) = P (X = 3, Y = 2) = 0.2
lµ x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn mét ng−êi sèng ë khu chung c−, ng−êi ®ã cã møc hµi lßng 3 vµ sèng trªn
1 n¨m trong khu chung c− ®ã. Cét tæng cho ph©n bè cña Y
P (Y = 1) = 0.49, P (Y = 2) = 0.51
Hµng tæng x¸c ®Þnh ph©n bè cña X
P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.32, P (X = 3) = 0.38, P (X = 4) = 0.2
Tr−êng hîp tån t¹i hµm mËt ®é chung, hiÓn nhiªn
P ((X, Y ) ∈ E) = h(x, y) dxdy víi mäi tËp E ⊂ R2 .
E
x y
∂2H
H(x, y) = P (X < x, Y < y) = h(u, v) dudv, = h(x, y)
−∞ −∞ ∂x∂y
x +∞
F (x) = H(x, +∞) = h(u, v) dv du lµ hµm ph©n bè cña X.
−∞ −∞
y +∞
G(y) = H(+∞, y) = h(u, v) du dv lµ hµm ph©n bè cña Y.
−∞ −∞
Hµm mËt ®é cña X, Y t−¬ng øng lµ
∞ ∞
f (x) = h(x, y) dy, g(y) = h(x, y) dx
−∞ −∞
§Þnh nghÜa 2 C¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ vµ η ®−îc gäi lµ ®éc lËp nhau nÕu víi mäi x, y ∈ R
H(x, y) = P (ξ < x, η < y) = P (ξ < x)P (η < y) = F (x)G(y) ⇔ h(x, y) = f (x)g(y)
§Þnh lÝ 2 Gi¶ sö X, Y cã hµm mËt ®é chung h(x, y), khi ®ã
∞ ∞
E (ϕ(X, Y )) = ϕ(x, y)h(x, y) dxdy.
−∞ −∞
§Æc biÖt nÕu X, Y lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau, khi ®ã
E(XY ) = EX · EY, D(X + Y ) = DX + DY.
VÝ dô 1.
Gi¶ sö hµm mËt ®é chung cña X vµ Y
6 2
5 (x + y ) nÕu 0 < x < 1, 0 < y < 1
h(x, y) =
0 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i
∞
Sö dông f (x) = −∞
h(x, y) dy, hµm mËt ®é cña X
6
1 2 6 1
5 0 (x + y ) dy = 5 (x + 3 )
nÕu 0 < x < 1
f (x) =
0 nÕu x ∈
/ (0, 1)
hµm mËt ®é cña Y
6
1
5 0
(x + y2 ) dx = 65 ( 12 + y2 ) nÕu 0 < y < 1
g(y) =
0 nÕu y ∈
/ (0, 1)
8 http://www.ebook.edu.vn
VÝ dô 2.
(X, Y ) ph©n bè ®Òu trªn h×nh trßn t©m (0, 1) b¸n kÝnh b»ng 1. Hµm mËt ®é chung cña X vµ Y
1
π nÕu x2 + (y − 1)2 < 1
h(x, y) =
0 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i
Hµm mËt ®é Y b»ng √
∞ 2 2y−y2
nÕu 0
−∞ 0 nÕu y∈
/ (0, 2)
1
E(Y ) = 1, D(Y ) =
4
Bµi tËp
1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè chuÈn N(0, 1). H1y t×m hµm mËt ®é
cña Z = |X|signY .
2. Chän ngÉu nhiªn 2 ®iÓm M vµ N trªn ®o¹n [0, 1], 2 ®iÓm M, N ®ã chia ®o¹n [0, 1] thµnh 3 phÇn, gäi c¸c
®é dµi cña 3 ®o¹n th¼ng ®ã t−¬ng øng lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X1 , X2 vµ X3 .
a) H1y t×m c¸c hµm mËt ®é cña X1 , X2 vµ X3 .
b) H1y tÝnh c¸c k× väng E(X1 ), E(X2 ) vµ E(X3 ).
2. Ph©n bè cã ®iÒu kiÖn
Gi¶ sö A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt P (A) > 0 vµ X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tïy ý. Ta cã ®Þnh nghÜa sau
§Þnh nghÜa 3 Ng−êi ta gäi hµm
F (x/A) = P (X < x/A) víi ∀x
lµ hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra. NÕu F (x/A) kh¶ vi, kÝ hiÖu f (x/A) =
F ′ (x/A) vµ x
F (x/A) = P (X < x/A) = f (t/A) dt víi ∀x
−∞
khi ®ã f (x/A) ®−îc gäi lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra (hoÆc nãi t¾t lµ hµm
mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn A).
Ta cã nhËn xÐt r»ng nÕu Ai , i = 1, 2, ... lµ mét hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè. Khi ®ã theo c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy
®ñ, hµm ph©n bè cña X cã thÓ biÓu diÔn theo c¸c hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn:
F (x) = P (X < x) = P (X < x/Ai )P (Ai ) = F (x/Ai )P (Ai )
i i
®¹o hµm c¶ hai vÕ theo x, ta còng cã kÕt qu¶ t−¬ng tù cho hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn
f (x) = f (x/Ai )P (Ai ).
i
Bµi tËp
Mçi ngµy sè ca cÊp cøu tíi mét bÖnh viÖn lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn N tu©n theo luËt Poisson víi tham sè λ.
Ng−êi ta ph©n ra hai lo¹i cÊp cøu: cÊp cøu do tai n¹n giao th«ng (lo¹i A) vµ cÊp cøu v× c¸c lÝ do kh¸c (lo¹i B).
Gi¶ thiÕt r»ng p lµ x¸c suÊt ®Ó mét ca cÊp cøu thuéc lo¹i A, cÊp cøu do tai n¹n giao th«ng. KÝ hiÖu XA lµ ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn biÓu thÞ sè ca cÊp cøu thuéc lo¹i A, XB lµ sè ca cÊp cøu thuéc lo¹i B trong ngµy.
1. Víi k, n lµ hai sè nguyªn, h1y tÝnh P (XA = k/N = n).
2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA ).
9 http://www.ebook.edu.vn
3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng vµ ph−¬ng sai cña XA .
4. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè cña XB .
5. XA vµ XB cã ®éc lËp víi nhau kh«ng?
Gi¶i bµi tËp: N cã ph©n bè Poisson víi tham sè λ.
λn
P (N = n) = e−λ
n!
1. Víi k, n lµ hai sè nguyªn, P (XA = k/N = n) = Cnk pk q n−k .
2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA )
λn
P (N = n, XA = k) = P (XA = k/N = n)P (N = n) = Cnk pk q n−k · e−λ =
n!
1 1
= e−λ λn pk q n−k = e−λ (λp)k (λq)n−k víi n ≥ k.
k!(n − k)! k!(n − k)!
3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng vµ ph−¬ng sai cña XA .
∞
∞
1
P (XA = k) = P (XA = k, N = n) = e−λ (λp)k (λq)n−k =
k!(n − k)!
n=k n=k
∞ ∞
(λp)k (λq)n−k (λp)k (λq)i (λp)k λq (λp)k
= e−λ = e−λ = e−λ · e = e−λp
k! (n − k)! k! i=0 i! k! k!
n=k
4. T−¬ng tù luËt ph©n bè cña XB
(λq)i
P (XB = i) = e−λq
i!
5. XA vµ XB ®éc lËp víi nhau. ThËt vËy xÐt P (XA = k, XB = i), kÝ hiÖu n = k + i, khi ®ã
1
P (XA = k, XB = i) = P (XA = k, N = n) = e−λ (λp)k (λq)n−k =
k!(n − k)!
(λp)k −λq (λq)i
= e−λp ·e = P (XA = k)P (XB = i), víi mäi k, i ≥ 0.
k! i!
Gi¶ thiÕt (X, Y ) lµ vÐc t¬ ngÉu nhiªn cã h(x, y) lµ hµm mËt ®é chung. Khi ®ã Y lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
liªn tôc, hµm mËt ®é cña Y lµ ∞
g(y) = h(x, y) dx.
−∞
Ta ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè {X < x} víi ®iÒu kiÖn Y = y nh− lµ giíi h¹n cña P (X <
x/y ⩽ Y < y + ∆y) khi ∆y dÇn tíi 0. Hµm
F (x/y) = lim P (X < x/y ⩽ Y < y + ∆y)
∆y→0
®−îc gäi lµ hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, tÊt nhiªn víi gi¶ thiÕt tån t¹i giíi h¹n trªn.
Do ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn vµ tÝnh chÊt cña hµm ph©n bè chung
P (X < x, y ⩽ Y < y + ∆y) H(x, y + ∆y) − H(x, y)
P (X < x/y ⩽ Y < y + ∆y) = =
P (y ⩽ Y < y + ∆y) G(y + ∆y) − G(y)
(H(x, y) lµ hµm ph©n bè chung cña X vµ Y , G(y) lµ hµm ph©n bè cña Y ). Chia c¶ tö vµ mÉu cho ∆y, chuyÓn
qua giíi h¹n khi ∆y → 0 ta ®−îc
2
∂ ∂
∂y H(x, y) ∂ ∂x∂y H(x, y) h(x, y)
F (x/y) = ⇒ f (x/y) = F (x/y) = = .
g(y) ∂x g(y) g(y)
f (x/y) ®−îc gäi lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y.
10 http://www.ebook.edu.vn
Chó ý r»ng c¸c hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn còng nh− ph©n bè cã ®iÒu kiÖn ë ®©y chØ ®−îc x¸c ®Þnh t¹i y sao
cho g(y) > 0. T¹i nh÷ng ®iÓm mµ g(y) = 0, hµm mËt ®é f (x/y) ®−îc x¸c ®Þnh tïy ý (®Ó ®¬n gi¶n, t¹i ®ã
ng−êi ta th−êng g¸n cho f (x/y) gi¸ trÞ 0). ViÕt chÝnh x¸c h¬n, mËt ®é cã ®iÒu kiÖn
h(x,y)
g(y) nÕu g(y) > 0
f (x/y) =
0 nÕu g(y) = 0
T−¬ng tù hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Y víi ®iÒu kiÖn X = x
h(x,y)
f (x)
nÕu f (x) > 0
g(y/x) =
0 nÕu f (x) = 0
Suy ra h(x, y) = f (x/y)g(y) = g(y/x)f (x). Tõ ®ã ta nhËn ®−îc c¸c c«ng thøc t−¬ng tù nh− c«ng thøc x¸c
suÊt ®Çy ®ñ
∞ ∞
f (x) = h(x, y) dy = f (x/y)g(y) dy
−∞ −∞
∞ ∞
g(y) = h(x, y) dx = g(y/x)f (x) dx
−∞ −∞
Chó ý r»ng nÕu X, Y lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau khi ®ã c¸c hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn
f (x/y) = f (x) kh«ng phô thuéc vµo y còng nh− g(y/x) = g(y) kh«ng phô thuéc vµo x.
§Þnh lÝ 3 Gi¶ sö ϕ lµ mét song ¸nh
ϕ:D→T D ⊂ R2 , T ⊂ R2
kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm thuéc D. (X, Y ) lµ vÐc t¬ ngÉu nhiªn nhËn c¸c gi¸ trÞ trong D vµ h(x, y) lµ hµm mËt ®é
®ång thêi cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn ®ã. Khi ®ã hµm mËt ®é cña (U, V ) = ϕ(X, Y ) b»ng
g(u, v) = h ϕ−1 (u, v) |J(u, v)|
trong ®ã J(u, v) lµ Jacobien cña ϕ−1 .
∂x
∂x
∂x ∂y ∂x ∂y
KÝ hiÖu (x, y) = ϕ −1
(u, v), khi ®ã Jacobien cña ϕ −1
b»ng J(u, v) = ∂u
∂y
∂v =
∂y −
∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u
NhËn xÐt 1 Gi¶ sö h(x, y) lµ hµm mËt ®é chung cña (X, Y ). C¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn U vµ V ®−îc x¸c ®Þnh
X = a11 U + a12 V
Y = a21 U + a22 V
Khi ®ã mËt ®é chung cña (U, V ) b»ng
g(u, v) = h (a11 u + a12 v, a21 u + a22 v) |det(A)|
a11 a12
trong ®ã A = lµ ma trËn kh«ng suy biÕn.
a21 a22
VÝ dô X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp thuéc N (0, 1). Khi ®ã ξ = X + Y vµ η = X − Y còng
√
®éc lËp vµ cã cïng ph©n bè chuÈn (∈ N (0, ( 2)2 )). ThËt vËy
X = 12 (ξ + η) (u+v)2 (u−v)2
⇒ | det A| = 12 ⇒ g(u, v) = √12π e− 8 · √12π e− 8 · 12
Y = 12 (ξ − η)
Suy ra
1 u2 1 u2
g(u, v) = √ √ e− 2·2 · √ √ e− 2·2
2π 2 2π 2
NhËn xÐt 2
1. NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, khi ®ã hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn
Y = y trïng víi hµm ph©n bè cña X, (kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn Y = y)
F (x/Y = y) = P (X < x/Y = y) = P (X < x) = F (x).
2. Tæng qu¸t h¬n, gi¶ sö ϕ(x, y) lµ mét hµm hai biÕn bÊt k×, X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.
Khi ®ã hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña ϕ(X, Y ) víi ®iÒu kiÖn Y = y trïng víi hµm ph©n bè cña ϕ(X, y)
P (ϕ(X, Y ) < x/Y = y) = P (ϕ(X, y) < x.
11 http://www.ebook.edu.vn
Ch¼ng h¹n ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp X vµ Y , cã thÓ suy ra tõ nhËn xÐt
trªn nh− sau:
XÐt Z = ϕ(X, Y ) = X + Y , hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ hiÖu H(z/y)), theo
nhËn xÐt trªn b»ng hµm ph©n bè cña ϕ(X, y)(= X + y)
H(z/y) = P (X + y < z) = F (z − y)
®¹o hµm hai vÕ theo z ®Ó x¸c ®Þnh hµm mËt ®é, ta ®−îc mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ
hiÖu h(z/y))
h(z/y) = f (z − y).
¸p dông c«ng thøc ”x¸c suÊt ®Çy ®ñ më réng” ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña Z (kÝ hiÖu r(z)), ta ®−îc
∞ ∞
r(z) = h(z/y)g(y) dy = f (z − y)g(y) dy.
−∞ −∞
§©y chÝnh lµ c«ng thøc x¸c ®Þnh hµm mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.
Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã thÓ thiÕt lËp ®−îc c¸c hµm mËt ®é cña XY vµ X/Y , nÕu X, Y ®éc lËp nhau. B¹n
®äc tù chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau:
a. Hµm mËt ®é cña XY b»ng ∞
1 z
s(z) = f ( )g(y) dy
−∞ |y| y
b. Hµm mËt ®é cña X
Y b»ng ∞
t(z) = |y|f (zy))g(y) dy
−∞
Ch¼ng h¹n ta ph¸c qua c¸ch dÉn d¾t ®Õn kÕt qu¶ a. ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña XY . Tr−íc tiªn ta t×m hµm
ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña XY víi ®iÒu kiÖn Y = y (xÐt hai tr−êng hîp y > 0 vµ y < 0). Hµm ph©n bè cã ®iÒu
1
kiÖn ®ã b»ng hµm ph©n bè cña y · X (kh«ng ®iÒu kiÖn), suy ra, hµm mËt ®é cña y · X b»ng |y| f ( zy ), vËy hµm
mËt ®é cña XY ∞
1 z
s(z) = f ( )g(y) dy.
−∞ |y| y
Bµi tËp
1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1). H1y tÝnh hµm mËt
®é cña X + Y .
2. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (a, b) (®Ó ®¬n gi¶n ta gi¶ thiÕt
a, b lµ c¸c sè d−¬ng 0 < a < b). H1y tÝnh hµm mËt ®é cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tÝch XY .
3. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. H1y tÝnh hµm mËt
®é cña |X − Y |.
4. Gäi X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. KÝ hiÖu g(y/x) lµ
hµm mËt ®é cña X + Y víi ®iÒu kiÖn X = x vµ f (x/y) lµ hµm mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn X + Y = y. H1y
x¸c ®Þnh c¸c hµm mËt cã ®iÒu kiÖn g(y/x) vµ f (x/y).
4’. Kh¸c mét chót víi bµi tËp 4, gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, X cã ph©n bè mò víi
tham sè λ, trong khi Y cã ph©n bè mò víi tham sè µ, (µ = λ). KÝ hiÖu g(y/x) lµ hµm mËt ®é cña X + Y víi
®iÒu kiÖn X = x vµ f (x/y) lµ hµm mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn X + Y = y. H1y x¸c ®Þnh c¸c hµm mËt cã
®iÒu kiÖn g(y/x) vµ f (x/y).
5. Gi¶ sö X = (X1 , X2 ) vµ Y = (Y1 , Y2 ) lµ hai ®iÓm chän ngÉu nhiªn (theo ph©n bè ®Òu) ®éc lËp nhau trªn
®−êng trßn ®¬n vÞ:
x2 + y 2 = 1
H1y t×m hµm mËt ®é cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
X X2
Z = 1
Y1 Y2
12 http://www.ebook.edu.vn
3. K× väng cã ®iÒu kiÖn
Gi¶ sö A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt P (A) > 0 vµ X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tïy ý. T−¬ng tù nh− ®Þnh nghÜa
k× väng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, ta cã ®Þnh nghÜa sau
§Þnh nghÜa 4 NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c chØ nhËn c¸c gi¸ trÞ xi , i = 1, 2, ..., khi ®ã
E(X/A) = xi P (X = xi /A)
i
®−îc gäi lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra.
Tr−êng hîp X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x/A) lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn, khi ®ã
∞
E(X/A) = xf (x/A) dx
−∞
®−îc gäi lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra.
NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x) vµ g(x) lµ c¸c hµm mËt ®é cña chóng. Gäi
f (x/y) lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y K× väng cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, ®−îc kÝ
hiÖu E(X/Y = y) lµ tÝch ph©n ∞
E(X/Y = y) = xf (x/y) dx,
−∞
nÕu tÝch ph©n tån t¹i vµ héi tô tuyÖt ®èi.
§Þnh lÝ 4 Gi¶ thiÕt r»ng X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, tån t¹i k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X ®èi
víi Y , khi ®ã
E(X) = E(E(X/Y )).
Chøng minh
KÝ hiÖu h(y) = E(X/Y = y) (ng−êi ta gäi h(y) lµ hµm håi quy cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y)
∞ ∞
E(h(Y )) = h(y)g(y) dy = E(X/Y = y)g(y) dy =
−∞ −∞
∞ ∞ ∞ ∞
= xf (x/y) dx g(y) dy = x f (x/y)g(y)dy dx
−∞ −∞ −∞ −∞
∞
MÆt kh¸c f (x) = −∞
f (x/y)g(y) dy nªn
∞
E(h(Y )) = E(E(X/Y )) = xf (x) dx = E(X) ®.p.c.m.
−∞
4. T−¬ng quan vµ hÖ sè t−¬ng quan
§Þnh nghÜa 5 NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng E(X) vµ E(Y ), khi ®ã
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
®−îc gäi lµ covarian (hay cßn gäi lµ m« men t−¬ng quan) cña X vµ Y .
HiÓn nhiªn nÕu X vµ Y ®éc lËp , khi ®ã
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(X − E(X)) · E(Y − E(Y )) = 0
13 http://www.ebook.edu.vn
Tr−êng hîp X = Y , khi ®ã covarian cov(X, X) = D(X).
M« men t−¬ng quan cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã c¸c tÝnh chÊt sau
i) cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY ) − E(X)E(Y )
ii) cov(αX, Y ) = cov(X, αY ) = αcov(X, Y )
iii) KÝ hiÖu σx = D(X) vµ σy = D(Y ) lµ c¸c ®é lÖch tiªu chuÈn cña X vµ Y . Khi ®ã
|cov(X, Y )| ⩽ σx σy .
ThËt vËy xÐt
E[(Y − tX)2 ] = E(Y 2 − 2tXY + t2 Y 2 ) = E(Y 2 ) − 2E(XY )t + E(Y 2 )t2 ≥ 0 víi mäi t.
§©y lµ tam thøc bËc hai kh«ng ©m víi mäi t, suy ra
[E(XY )]2 ⩽ E(X 2 )E(Y 2 )hay |E(XY )| ⩽ E(X 2 ) E(Y 2 )
¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn víi X − E(X) vµ Y − E(Y ) thay cho X vµ Y
|cov(X, Y )| = |E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]| ⩽ D(X) D(X) = σx σy .
NhËn xÐt r»ng tõ chøng minh trªn suy ra
|cov(X, Y )| = σx σy ⇔ Y lµ mét hµm bËc nhÊt cña X : Y = aX + b.
§Þnh nghÜa 6
cov(X, Y ) E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
̺(X, Y ) = =
σx σy D(X) D(X)
®−îc gäi lµ hÖ sè t−¬ng quan cña X vµ Y .
HiÓn nhiªn hÖ sè t−¬ng quan cã c¸c tÝnh chÊt
i) −1 ⩽ ̺(X, Y ) ⩽ 1. DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi Y = aX + b (hoÆc X = aY + b)
ii) NÕu X vµ Y ®éc lËp, khi ®ã hÖ sè t−¬ng quan ̺(X, Y ) = 0
HÖ sè t−¬ng quan ®o møc ®é phô thuéc tuyÕn tÝnh gi÷a Y vµ X. NÕu |̺(X, Y )| xÊp xØ 1 khi ®ã c¸c ®iÓm
ngÉu nhiªn (X, Y ) gÇn nh− t¹o thµnh mét ®−êng th¼ng trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Khi ̺(X, Y ) = 0 ta nãi X vµ
Y kh«ng t−¬ng quan. Chó ý r»ng nÕu X vµ Y ®éc lËp khi ®ã chóng kh«ng t−¬ng quan, ng−îc l¹i tõ sù kh«ng
t−¬ng quan cña X vµ Y kh«ng suy ra chóng ®éc lËp víi nhau.
§Þnh nghÜa 7 KÝ hiÖu c = cov(X, Y ) lµ m« men t−¬ng quan cña X vµ Y . Khi ®ã ma trËn
D(X) c
C=
c D(Y )
®−îc gäi lµ ma trËn covarian (ma trËn t−¬ng quan) cña X vµ Y .
Duy tr× c¸c kÝ hiÖu σx , σy lµ c¸c ®é lÖch tiªu chuÈn cña X vµ Y , ̺ lµ hÖ sè t−¬ng quan cña X vµ Y . Tõ
®Þnh nghÜa hÖ sè t−¬ng quan suy ra c = ̺σx σy . Khi ®ã ma trËn covarian cã thÓ viÕt d−íi d¹ng
σx2 ̺σx σy
C=
̺σx σy σy2
Do |̺| ⩽ 1 nªn
2
σ ̺σx σy
det(C) = x = (1 − ̺2 )σx2 σx2 ≥ 0
̺σx σy σy2
Ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cho ta biÕt ®é lÖch ®¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ gi¸ trÞ trung b×nh cña ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn ®ã. Ma trËn c¸c hÖ sè t−¬ng quan còng ®ãng vai trß t−¬ng tù nh− ph−¬ng sai khi xÐt ®é dao
®éng cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn.
Gi¶ sö d lµ ®−êng th¼ng ®i qua (EX, EY ) (gi¸ trÞ trung b×nh cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (X, Y )) vµ −
→n (α, β) lµ
vÐc t¬ ®¬n vÞ chØ ph−¬ng cña d. Gäi
Z = α(X − EX) + β(Y − EY )
14 http://www.ebook.edu.vn
lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (X − EX, Y − EY ) lªn ®−êng th¼ng d. Ph−¬ng sai cña Z sÏ ®−îc tÝnh th«ng qua
ma trËn covarian C nh− sau
D(Z) = α2 E(X − EX)2 + β 2 (Y − EY )2 + 2αβE(X − EX)E(Y − EY ) =
= α2 σx2 + β 2 σy2 + 2αβ̺σx σy
NhËn xÐt r»ng ph−¬ng sai cña Z lµ d¹ng toµn ph−¬ng víi ma trËn covarian C lµ ma trËn cña d¹ng toµn ph−¬ng
®ã. Do det(C) ≥ 0, nãi chung C lµ ma trËn b¸n x¸c ®Þnh d−¬ng. NÕu X vµ Y ®éc lËp tuyÕn tÝnh (|̺| < 1),
khi ®ã C lµ ma trËn x¸c ®Þnh d−¬ng thùc sù.
NhËn xÐt 3 Sö dông c¸c phÐp to¸n ®èi víi ma trËn, ta cã thÓ më réng kh¸i niÖm ma trËn covarian cho nhiÒu
®¹i l−îng ngÉu nhiªn
Xi , E(Xi ) = mi , cov(Xi , Xj ) = σij , i, j = 1, 2, ..., n
Khi ®ã ma trËn covarian cña (X1 , X2 , ..., Xn ) lµ
σ11 σ12 ··· σ1n
σ21 σ22 ··· σ2n
C(X) =
··· ···
σn1 σn2 ··· σnn
Gi¶ sö ai , i = 1, 2, ...n lµ c¸c sè thùc bÊt k×. Khi ®ã
n
n 2
D( ai X i ) = E ai (Xi − mi ) =
i=1 i=1
= ai aj σij
i j
T−¬ng tù
n
n
cov( ai X i , b i Xi ) = ai bj σij
i=1 i=1 i j
KÝ hiÖu A,B,X,M lµ c¸c vÐc t¬ cét víi c¸c thµnh phÇn ai , bi , Xi , mi t−¬ng øng. C(X) lµ ma trËn covarian cña
X. Tõ c¸c ®¼ng thøc trªn suy ra
E(AT X) = AT E(X) = AT M
D(AT X) = AT C(X)A
cov(AT X, B T X) = AT C(X)B = B T C(X)A.
4 Hµm ®Æc tr−ng
1. §¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc
Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt ng−êi ta sö dông hµm ®Æc tr−ng nh− lµ mét c«ng cô quan träng ®Ó chøng minh c¸c
®Þnh lÝ giíi h¹n, ®Ó nghiªn cøu c¸c ®Æc tr−ng sè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn nh−: k× väng, ph−¬ng sai... Tr−íc
khi dÉn vµo kh¸i niÖm hµm ®Æc tr−ng, ta cÇn t×m hiÓu mét chót vÒ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc.
Gäi ξ vµ η lµ hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, khi ®ã ζ = ξ + iη ®−îc gäi lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc. Nã thùc
chÊt lµ mét hµm víi gi¸ trÞ phøc ®−îc x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n Ω. K× väng vµ
ph−¬ng sai cña ζ ®−îc x¸c ®ônh nh− sau
E(ζ) = E(ξ) + iE(η)
D(ζ) = E(|ζ − E(ζ)|2 )
Hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc ζ1 = ξ1 + iη2 vµ ζ2 = ξ2 + iη2 ®éc lËp nhau nÕu c¸c vÐct¬ ngÉu nhiªn (ξ1 , η1 )
vµ (ξ2 , η2 ) ®éc lËp nhau. Sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc còng lµ sù ®éc lËp cña c¸c ®¹i l−îng
ngÉu nhiªn 2 chiÒu. DÔ dµng chøng minh ®−îc khi ®ã
E(ζ1 ζ2 ) = E(ζ1 ) + E(ζ2 )
D(ζ1 + ζ2 ) = D(ζ1 ) + D(ζ2 )
15 http://www.ebook.edu.vn
KÕt qu¶ nµy còng më réng cho tr−êng hîp nhiÒu h¬n hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.
2. Hµm ®Æc tr−ng vµ c¸c tÝnh chÊt cña hµm ®Æc tr−ng
Hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ ®−îc x¸c ®Þnh trªn R
ϕ(t) = E(eitξ ) = E(cos tξ) + iE(sin tξ)
ξ x1 x2 ... xn ...
Tr−êng hîp ξ lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c
P p1 p2 ... pn ...
khi ®ã
+∞
+∞
+∞
ϕ(t) = pn cos txn + i pn sin txn = pn eitxn .
n=1 n=1 n=1
NÕu ξ lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x) lµ hµm mËt ®é, hµm ®Æc tr−ng cña ξ
+∞ +∞ +∞
ϕ(t) = f (x) cos tx dx + i f (x) sin tx dx = f (x)eitx dx.
−∞ −∞ −∞
Hµm ®Æc tr−ng lu«n lu«n tån t¹i vµ chóng cã c¸c tÝnh chÊt sau
1. Gi¸ trÞ hµm ®Æc tr−ng t¹i t = 0 lu«n b»ng 1, ϕ(0) = 1 vµ |ϕ(t)| ⩽ 1 víi mäi t ∈ R.
ThËt vËy, ϕ(0) = 1 lµ hiÓn nhiªn. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc E 2 (X) ⩽ E(X 2 ) víi bÊt k× X
|ϕ(t)|2 = E 2 (cos tξ) + E 2 (sin tξ) ⩽ E(cos2 tξ) + E(sin2 tξ) = 1.
2. Víi mäi t ∈ R
ϕ(−t) = E(e−itξ ) = E(cos(−t)ξ) + iE(sin(−t)ξ) = ϕ(t).
NÕu ξ cã ph©n bè x¸c suÊt ®èi xøng qua 0 (hay hµm ph©n bè cña ξ vµ −ξ trïng nhau), khi ®ã hµm ®Æc
tr−ng cña ξ nhËn c¸c gi¸ trÞ thùc vµ ϕ(t) lµ hµm ch½n.
3. Víi c¸c sè thùc bÊt k× a vµ b, hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X = aξ + b b»ng
E(itX) = eibt ϕ(at).
4. Hµm ®Æc tr−ng ϕ(t) liªn tôc ®Òu trªn toµn bé R.
Chän ε > 0 tïy ý. KÝ hiÖu Aλ lµ biÕn cè |ξ| > λ sao cho P (Aλ ) = P (|ξ| > λ) < 3ε . Khi ®ã
ϕ(t) = E(eitξ /Aλ )P (Aλ ) + E(eitξ /Aλ )P (Aλ ). Suy ra
ε
|ϕ(t) − E(eitξ /Aλ )P (Aλ )| = |E(eitξ /Aλ )P (Aλ )| ⩽ 1 · |P (Aλ )| ⩽
3
Tõ ®©y ta suy ra
2ε 2ε
|ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| ⩽ E(|eit1 ξ − eit2 ξ |/Aλ )P (Aλ ) + ⩽ E(|(t1 − t2 )ξ|/Aλ ) +
3 3
ε
Do E(|(t1 − t2 )ξ|/Aλ ) ⩽ |t1 − t2 |λ nªn |ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| ⩽ ε nÕu |t1 − t2 | < δ = 3λ .
5. Hµm ®Æc tr−ng cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt quan träng sau ®©y: Gi¶ sö ξ1 , ξ2 , ..., ξn lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
hoµn toµn ®éc lËp, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng cña tæng X = ξ1 + ξ2 + · · · ξn b»ng
n
ϕX (t) = ϕξi (t)
i=1
Do nhËn xÐt sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc còng lµ sù ®éc lËp cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu
nhiªn nhiÒu chiÒu, nªn kÕt qu¶ trªn ®−îc suy ra tõ ®Þnh lÝ k× väng cña tÝch c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc
lËp b»ng tÝch c¸c k× väng.
16 http://www.ebook.edu.vn
6. NÕu tån t¹i c¸c m«ment cÊp k, (k = 1, 2, ..., n) cña ξ, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng ϕξ (t) kh¶ vi cÇp n vµ
(k)
ϕξ (0) = ik E(ξ k ) (k = 1, 2, ..., n).
+∞ +∞
Theo gi¶ thiÕt −∞
f (x)|x| dx tån t¹i vµ h÷u h¹n nªn −∞
xeitx f (x) dx héi tô ®Òu theo t, suy ra
+∞ +∞
′ ′
ϕξ (t) = ixeitx f (x) dx ⇒ ϕξ (0) = i xf (x) dx = iE(ξ)
−∞ −∞
LËp luËn t−¬ng tù víi k = 2, ..., n.
7. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ rÊt m¹nh sau ®©y cña hµm ®Æc tr−ng: C¸c hµm ph©n bè ®−îc x¸c ®Þnh duy nhÊt
+∞
bëi hµm ®Æc tr−ng cña nã. Ngoµi ra nÕu gi¶ thiÕt tÝch ph©n −∞ |ϕ(t)| dt < +∞ khi ®ã hµm mËt ®é
f (x) liªn tôc, vµ
+∞
1
f (x) = ϕ(t)e−itx dt
2π −∞
8. Cho mét d1y c¸c hµm ph©n bè F (x), F1 (x), F1 (x), ... cïng víi c¸c hµm ®Æc tr−ng t−¬ng øng ϕ(t), ϕ1 (t), ϕ2 (t), ...
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó
lim Fn (x) = F (x) t¹i mäi ®iÓm liªn tôc cña F (x)
n→∞
lµ, víi mäi sè thùc t ∈ R
lim ϕn (t) = ϕ(t).
n→∞
Bµi tËp 6
1. Hµm ®Æc tr−ng cña ξk (k = 1, 2, ..., n) ph©n bè theo luËt 0, 1
E(eitξk ) = eit (1 − p) + eit p = 1 + p(eit − 1)
n
Suy ra hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè nhÞ thøc ξ = i=1 ξi (do ξ lµ tæng cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
®éc lËp ξi )
ϕ(t) = E(eitξ ) = (1 + p(eit − 1))n
2. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè Poisson
∞
k ∞
itk −λ λ −λ (λeit )k it
ϕ(t) = e e =e = eλ(e −1)
k! k!
k=0 k=0
3. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè mò
+∞
1
ϕ(t) = λ e−x(λ−it) dx =
0 1 − it
λ
4. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1)
1
1 sin t
ϕ(t) = eitx dx =
2 −1 t
Chó ý r»ng t−¬ng tù nh− hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ víi f (x) lµ hµm mËt ®é, ng−êi ta cßn
®−a vµo mét hµm kh¸c ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau
+∞
G(t) = E(etξ ) = etx f (x) dx
−∞
Kh¸c víi hµm hµm ®Æc tr−ng, hµm G(t) kh«ng ph¶i lu«n lu«n tån t¹i. §èi víi ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (0, 1)
+∞ +∞ +∞
1 x2 1 (x−t)2 t2 1 (x−t)2 t2 t2
G(t) = √ etx e− 2 dx = √ e− 2 + 2 dx = √ e− 2 e 2 dx = e 2
2π −∞ 2π −∞ 2π −∞
Sö dông nã ta cã thÓ tÝnh hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn
17 http://www.ebook.edu.vn
5. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (0, 1)
(it)2 t2
ϕ(t) = G(it) = e 2 = e− 2
6. Sö dông tÝnh chÊt 3. hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (m, σ 2 )
2 t2
ϕ(t) = eimt−σ 2
7. Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè χ2n = ξ12 + ξ22 + · · · + ξn2 . §©y lµ tæng cña n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp
cã cïng ph©n bè χ2 víi mét bËc tù do. Ta ®1 biÕt r»ng hµm mËt ®é cña mçi sè h¹ng b»ng
x
√ 1 e− 2 nÕu x > 0,
h(x) = 2πx
0 nÕu x < 0
Hµm ®Æc tr−ng cña χ21 b»ng
∞ ∞
1 x 1 x
ϕξk2 (t) = eitx √e− 2 dx = √ e− 2 (1−2it) dx =
0 2πx 0 2πx
∞
2 − u2 (1−2it) 1
= e 2 du = √
0 π 1 − 2it
VËy hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè χ2n víi n bËc tù do
n
ϕ(t) = (1 − 2it)− 2
Chó ý r»ng tõ tÝnh chÊt 6. cã thÓ tÝnh k× väng, ph−¬ng sai vµ m«ment c¸c cÊp cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
dùa vµo hµm ®Æc trung cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®ã. Ch¼ng h¹n ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ph©n
′′
bè χ2n víi n bËc tù do b»ng: −ϕ (0) − n2 = 2n.
Bµi tËp 1. C¸c hµm nµo lµ hµm ®Æc tr−ng trong sè c¸c hµm sau
1
a) ϕ(t) = 1+t2
−|x|
XÐt hµm mËt ®é f (x) = e 2 . Hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè ®ã b»ng ϕ(t) = 1+t
1
2 . NÕu ¸p dông tÝch ph©n
trong tÝnh chÊt 7.
+∞ +∞
e−|x| 1 1 1
= e−itx dt ⇔ e−|u| = eiux dx
2 2π −∞ 1 + t2 −∞ π(1 + x2 )
VËy ϕ(t) = e−|t| lµ hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè Cauchy.
4
b) ϕ(t) = e−t kh«ng lµ hµm ®Æc tr−ng.
′′
Do ϕ (0) = 0 suy ra D(ξ) = 0, v« lÝ.
c) ϕ(t) = sin t kh«ng lµ hµm ®Æc tr−ng.
d) ϕ(t) = cos t lµ hµm ®Æc tr−ng cña ξ víi ph©n bè cña ξ : P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 12 .
e) ϕ(t) = 12 (1 + cos t) lµ hµm ®Æc tr−ng cña ξ víi ph©n bè cña ξ : P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 14 ,
P (ξ = 0) = 12 .
f) T×m hµm ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é f (x) = 1 − |x|, víi |x| ⩽ 1
1 2
2 t
ϕ(t) = eitx (1 − |x|)dx = sin
−1 t 2
Ta còng cã thÓ ®¹t ®−îc kÕt qu¶ trªn b»ng c¸ch chøng minh f (x) = 1 − |x| lµ hµm mËt ®é cña tæng hai
®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [− 12 , 12 ].
18 http://www.ebook.edu.vn
1
Bµi tËp 2. Chøng tá r»ng nÕu ϕ(t) lµ hµm ®Æc tr−ng, khi ®ã 2−ϕ(t) còng lµ hµm ®Æc tr−ng.
Gi¶ sö ξ1 , ξ2 , ... lµ d1y c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cïng cã ϕ(t) lµ hµm ®Æc tr−ng. Gäi ν lµ ®¹i l−îng
ngÉu nhiªn ®éc lËp víi d1y trªn vµ
1
P (ν = n) = (n = 0, 1, ...).
2n+1
XÐt
ξ1 + ξ2 + · · · + ξν nÕu ν > 0,
ξ=
0 nÕu ν = 0
¸p dông ®Þnh lÝ k× väng ®Çy ®ñ
∞
∞
(ϕ(t))n 1
ϕξ (t) = E(eitξ ) = E(eitξ /{ν = n})P (ν = n) = =
n=0 n=0
2n+1 2 − ϕ(t)
Bµi tËp 3. Chøng minh r»ng tæng cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã ph©n bè chuÈn (víi c¸c tham sè tïy
ý) còng lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn.
ThËt vËy hµm ®Æc tr−ng cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã d¹ng hµm ®Æc tr−ng cña ph©n bè
chuÈn
2 t2 2 t2 2 2 t2
ϕ1 (t)ϕ2 (t) = eim1 t−σ1 2 eim2 t−σ2 2 = ei(m1 +m2 )t−(σ1 +σ1 ) 2 .
5 LuËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m
1. C¸c d¹ng héi tô vµ kh¸i niÖm vÒ luËt sè lín
Sù æn ®Þnh dÇn cña tÇn suÊt tíi x¸c suÊt cña biÕn cè A chÝnh lµ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña luËt sè lín. Ng−êi ta
gäi chung c¸c quy luËt kh¼ng ®Þnh sù héi tô tíi h»ng sè C cña trung b×nh céng cña d1y n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
Y1 + Y2 + · · · + Yn
→C khi n → ∞
n
lµ luËt sè lín.
§Þnh nghÜa 8 Cho dMy Yn , n = 1, 2, ... c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn. Ta nãi Yn héi tô theo x¸c suÊt tíi ®¹i
P
l−îng ngÉu nhiªn Y , kÝ hiÖu Yn → Y , nÕu víi bÊt k× ǫ > 0
lim P (|Yn − Y | > ǫ) = 0.
n→∞
h.c.c
Ta nãi dMy c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Xn , n = 1, 2, ... héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi X, kÝ hiÖu Xn → X, nÕu
P ( lim Xn = X) = 1.
n→∞
Ta cã thÓ chøng minh héi tô hÇu ch¾c ch¾n kÐo theo héi tô theo x¸c suÊt. §iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng
®óng. ThËt vËy
∞
∞ ∞
1
{ω : Xn → X} = |Xm − X| <
n=1 m=n
k
k=1
h.c.c
Gi¶ sö Xn → X, suy ra víi mäi ε > 0
∞ ∞ ∞
P {|Xm − X| < ǫ} = lim P {|Xm − X| < ǫ} = 1.
n→∞
n=1 m=n m=n
Do vËy
P
lim P (|Xm − X| < ε) = 1 hay Xn → X.
n→∞
h.c.c
NhËn xÐt r»ng Xn → X t−¬ng ®−¬ng víi
∞
P
lim P {|Xm − X| < ǫ} = 1 víi mäi ε > 0 ⇔ sup |Xm − X| → 0.
n→∞ m≥n
m=n
19 http://www.ebook.edu.vn
§Þnh lÝ 5 (Trªb−sÐp) Gi¶ sö X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng m = E(X) vµ ph−¬ng sai σ 2 = D(X).
Khi ®ã víi mäi ǫ > 0 ta cã:
σ2
P (|X − m| ≥ ǫ) ⩽ 2
ǫ
Chøng minh Víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn kh«ng ©m Y , ta biÕt r»ng P (Y ≥ ǫ) ⩽ E(Y
ǫ
)
. Do ®ã
E(|X − m|2 ) σ2
P (|X − m| ≥ ǫ) = P (|X − m|2 ≥ ǫ2 ) ⩽ 2
= 2.
ǫ ǫ
2. LuËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m
B©y giê ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ sau vÒ luËt sè lín
§Þnh lÝ 6 (LuËt yÕu sè lín) Gi¶ sö X1 , X2 , ... lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng k× väng vµ ph−¬ng
sai
E(Xi ) = m, D(Xi ) = σ 2 , i = 1, 2, ...
Khi ®ã X1 +X2n+...+Xn héi tô theo x¸c suÊt tíi m
X1 + X2 + ... + Xn P
→m
n
Chøng minh Ta cã
X1 + X2 + ... + Xn X1 + X2 + ... + Xn σ2
E = m, D =
n n n
¸p dông ®Þnh lÝ Trªb−sÐp ta ®−îc ®.p.c.m.
X1 + X2 + ... + Xn σ2
P
− m > ǫ ⩽ 2 .
n nǫ
NhËn xÐt r»ng ®Þnh lÝ trªn vÉn ®óng nÕu ta thay gi¶ thiÕt sù ®éc lËp b»ng sù kh«ng t−¬ng quan cña c¸c ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn X1 , X2 , ...
Cuèi cïng ta ph¸t biÓu, kh«ng chøng minh ®Þnh lÝ sau cña Kolgomorov
§Þnh lÝ 7 (LuËt m¹nh sè lín) Gi¶ sö X1 , X2 , ... lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng hµm ph©n bè.
Khi ®ã ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó X1 +X2n+...+Xn héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi µ
X1 + X2 + ... + Xn h.c.c
→ µ
n
lµ tån t¹i k× väng E(Xi ) vµ E(Xi ) = µ.
Sö dông c¸c kÕt qu¶ vÒ hµm ®Æc tr−ng ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ giíi h¹n sau
§Þnh lÝ 8 Cho mét dMy c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cïng ph©n bè X1 , X2 , X3 , ..., Xn , ... víi E(Xk ) =
m, D(Xk ) = σ 2 víi mäi k = 1, 2, ... Khi ®ã
x
X1 + X2 + · · · + Xn − nm 1 u2
lim P √
Chøng minh KÝ hiÖu ϕ(t) lµ hµm ®Æc tr−ng cña Xk − m, khi ®ã hµm ®Æc tr−ng cña Xσk√−m
n
b»ng ϕ t
√
σ n
. øng
dông tÝnh chÊt 6 cña hµm ®Æc tr−ng vµ khai triÓn Taylo ®Õn cÊp 2
t t2 1
ϕ √ =1− +o
σ n 2n n
! "n
Do tÝnh ®éc lËp cña X1 , X2 , ..., Xn hµm ®Æc tr−ng cña X1 +X2 +···+X
√
σ n
n −nm
b»ng ϕ t
√
σ n
. Suy ra
· $n · $n
t t2 1 t2
lim ϕ √ = lim 1− +o = e− 2 .
n→∞ σ n n→∞ 2n n
20 http://www.ebook.edu.vn