Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 23062015000635

  • 14 trang
  • file .pdf
Bài tập Xác suất - Thống kê
Chương 1
Biến cố và xác suất của biến cố
Bài tập 1.1. Kiểm tra theo thứ tự một lô hàng gồm N sản phẩm. Các sản phẩm đều
thuộc một trong 2 loại: tốt hoặc xấu. Ký hiệu Ak (k = 1, 2, . . . , N ) là biến cố chỉ sản
phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu. Viết bằng ký hiệu các biến cố sau đây
a. Cả N sản phẩm đều xấu.
b. Có ít nhất một sản phẩm xấu.
c. m sản phẩm đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu.
d. Các sản phẩm theo thứ tự chẵn là xấu, thứ tự lẻ là tốt.
e. Không gian các biến cố sơ cấp có bao nhiêu phần tử.
Bài tập 1.2. Bắn 3 viên đạn vào một bia. Gọi Ai : “Viên đạn thứ i trúng bia” (i = 1, 2, 3).
Hãy biểu diễn các biến cố sau
a. Có đúng 1 viên đạn trúng bia.
b. Có ít nhất 2 viên trúng bia.
c. Cả 3 viên đều không trúng bia.
Bài tập 1.3. Một cuộc khảo sát 1000 người về hoạt động thể dục thấy có 80% số người
thích đi bộ và 60% thích đạp xe và buổi sáng, và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất
một trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người, hỏi xác suất gặp được người
thích đi xe đạp mà không đi bộ là bao nhiêu?
Bài tập 1.4. Người ta thực hiện khảo sát trên một số lượng lớn những người đàn ông
trên 50 tuổi ở một thành phố cho kết quả sau
- Tỷ lệ đàn ông bị bệnh tiểu đường là 0.02.
- Tỷ lệ đàn ông bị bệnh tim là 0.03.
- Tỷ lệ không bị bệnh tim lẫn tiểu đường là 0.96.
Hãy tìm tỷ lệ đàn ông bị cả hai loại bệnh trên.
1
Bài tập 1.5. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng một với 3 người
khách. Tính xác suất để:
a. Tất cả cùng ra ở tầng bốn.
b. Tất cả cùng ra ở một tầng.
c. Mỗi người ra một tầng khác nhau.
Bài tập 1.6. Hai người ném bóng rổ, mỗi người ném 3 quả. Xác suất ném trúng rổ
của họ lần lượt là 0, 7 và 0, 8. Tính xác suất sao cho:
a. Hai người bằng điểm nhau.
b. Người thứ nhất hơn điểm người thứ hai.
Bài tập 1.7. Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu
nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng.
a. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.
b. Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để trong 10 sản
phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt.
Bài tập 1.8. Hộp I đựng 30 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh. Hộp II chứa 10 bi trắng, 6 bi
đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu.
Bài tập 1.9. Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốt và 3 ống thuốc kém chất lượng. Từ hộp
đó, chọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 ống. Tìm xác suất để
a. Cả hai ống thuốc chọn được đều tốt.
b. Chỉ ống thuốc chọn ra trước là tốt.
c. Trong hai ống thuốc chọn được có ít nhất một ống thuốc tốt.
Bài tập 1.10. Một hộp gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng kích thước và
trọng lượng. Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng bi một cho đến khi gặp được
bi đỏ thì dừng lại. Tìm xác suất để
a. Được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ.
b. Không có bi trắng nào được rút ra.
Bài tập 1.11. Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 6% là phế phẩm; một khác
hàng trước khi mua lô hàng chọn cách kiểm tra như sau: chọn ngẫu nhiên lần lượt 4
sản phẩm ra kiểm tra (không hoàn lại). Nếu thấy có bất kỳ phế phẩm nào thì trả lại lô
hàng. Tính xác suất khách hàng chấp nhận mua lô hàng.
Bài tập 1.12. Một hộp gồm 9 quả bóng, mỗi lần chơi người ta lấy ra 3 quả và khi chơi
xong lại bỏ vào hộp. Tìm xác suất để sau ba lần lấy bóng ra chơi các bóng đều được sử
dụng.
2
Bài tập 1.13. Một cái máy có hai thành phần hoạt động độc lập nhau, máy bị hư nếu
một trong hai thành phần bị hư. Biết rằng xác suất thành phần thứ hai bị hư gấp đôi
thành phần thứ nhất và hai thành phần hoạt động độc lập nhau. Nếu xác suất bị hư
của máy là 0.28, tìm xác suất thành phần thứ nhất bị hư.
Bài tập 1.14. Một hộp chứ 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên
một quả cầu từ hộp. Gọi R là biến cố chọn được quả cầu có số chẵn, S là biến cố chọn
được quả cầu có số ≥ 6 và T là biến cố chọn được quả cầu có số ≤ 4. Hãy xét sự độc
lập của các cặp biến cố (R, S), (R, T ) và (S, T ) ?
Bài tập 1.15. Xét không gian biến cố sơ cấp gồm 3 biến cố A, B, C, biết P (A) =
0.6, P (B) = 0.5, P (C) = 0.4, P (A ∪ B) = 1, P (A ∪ C) = 0.7, P (A ∪ C) = 0.7. Tính
P (A ∩ B ∩ C|(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)).
Bài tập 1.16. Xét E1 , E2 , E3 là 3 biến có thỏa P (E1 |E2 ) = P (E2 |E3 ) = P (E3 |E1 ) = p,
P (E1 ∩ E2 ) = P (E1 ∩ E3 ) = P (E2 ∩ E3 ) = r, và P E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = s. Hãy tìm xác suất
có ít nhất một biến cố xảy ra.
Bài tập 1.17. Một người mua sổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ số cho đến
khi nào được vé trúng thưởng thì dừng. Tìm xác suất sao cho người đó mua đến vé thứ
4 thì dừng biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0.01.
Bài tập 1.18. Học kỳ này một sinh viên được thi môn lý thuyết xác suất và thống kê
toán 3 lần. Xác suất để một sinh viên thi đỗ ở lần thứ nhất là 0.5. Nếu thi trượt ở lần
thứ nhất thì xác suất để thi đỗ ở lần thứ 2 là 0.7. Còn nến thi trượt cả 2 lần đầu thì
xác suất thi đỗ ở lần thứ 3 là 0.9. Tìm xác suất để sinh viên trên thi đỗ ở học kỳ này.
Bài tập 1.19. Có hai hộp đựng bóng bowling, mỗi hộp có 5 quả bóng trắng và 5 quả
bóng đen. Chọn ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp 1 rồi bỏ qua hộp 2. Rồi từ hộp 2 chọn
ngẫu nhiên ra một quả bóng bỏ lại hộp 1. Tìm xác suất để hộp 1 vẫn giữ nguyên 5 quả
bóng trắng và 5 quả bóng đen.
Bài tập 1.20. Người ta biết rằng một cặp trẻ sinh đôi có thể là một cặp sinh đôi cùng
trứng hoặc một cặp sinh đôi không cùng trứng. Một cặp sinh đôi cùng trứng những đứa
trẻ bao giờ cũng cùng giới tính; còn sinh đôi khác trứng thì xác suất để chúng cùng giới
tính là 0,5. Giả sử cặp trẻ sinh đôi cùng trứng với xác suất là p. Tìm xác suất để cặp
trẻ sinh đôi cùng giới tính là cặp sinh đôi cùng trứng.
Bài tập 1.21. Có 3 cửa hàng I, II, và III cùng kinh doanh sản phẩm Y. Tỉ lệ sản phẩm
loại A trong 3 cửa hàng I, II, III lần lượt là 70%, 75% và 50%. Một khách hàng chọn
ngẫu nhiên 1 cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm.
a. Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A.
b. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A. Hỏi khả năng người khách hàng
ấy chọn của hàng nào là nhiều nhất.
Bài tập 1.22. 60% số người mới học lái xe có bằng lái xe. Biết rằng trong năm đầu
tiên lái xe, xác suất người không có bằng lái gây tai nạn là 0.08 và xác suất người có
bằng lái gây tai nạn là 0.05. Nếu một người mới lái xe không gây tai nạn trong năm đầu
tiên, xác suất anh ta có bằng lái là bao nhiêu?
3
Bài tập 1.23. Tại một trung tâm xét nghiệm, biết rằng kết quả xét nghiệm một người
mắc bệnh chính xác với xác suất là 0.85. Tuy nhiên, sai sót trong kết quả là 0.1 tức là
nếu một người không mắc bệnh đi xét nghiệm mà kết quả kết luận người đó mắc bệnh
với xác suất là 0.1. Biết rằng 1% dân số bị mắc bệnh, hỏi xác suất một người khỏe mạnh
đi xét nghiệm cho kết quả bị bệnh là bao nhiêu?
Bài tập 1.24. Một nhà máy sản xuất một chi tiết của máy vi tính có tỷ lệ sản phẩm
đạt tiêu chuẩn chất lượng là 85%. Trước khi xuất xưởng người ta dùng một thiết bị
kiểm tra để kết luận sản phẩm có đạt yêu cầu chất lượng hay không. Thiết bị này có
khả năng phát hiện đúng sản phẩm đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 9 và phát hiện đúng
sản phẩm không đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 95. Tính xác suất để một sản phẩm
được chọn ngẫu nhiên sau khi kiểm tra:
a. Được kết luận là đạt tiêu chuẩn thì lại không đạt tiêu chuẩn.
b. Được kết luận đúng với thực chất của nó.
c. Được kết luận là đạt tiêu chuẩn.
4
Chương 2
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
xác suất của biến ngẫu nhiên
Bài tập 2.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi bảng
sau
X −2 −1 0 1 2
P 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
a. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).

b. Tính P (−1 ≤ X ≤ 1) và P X ≤ −1 hoặc X = 2 .
c. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X 2 .
Bài tập 2.2. Một nhóm 10 người gồm 4 nam, 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người. Gọi
X là số nữ trong nhóm người được chọn. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính
E(X), V ar(X), mod(X).
Bài tập 2.3. Tung đồng xu 4 lần, nếu sấp thì được được 1 đồng, ngửa thì thua 1 đồng.
Gọi X là số tiền thu được sau 4 lần tung. Tính E(X), V ar(X).
Bài tập 2.4. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối xác suất tương
ứng là
X −1 0 1 2 Y −1 0 1
P 0.2 0.3 0.3 0.2 P 0.3 0.4 0.3
Tìm phân phối xác suất của X 2 , X + Y . Tính kỳ vọng, phương sai của X 2 , X + Y .
5
Bài tập 2.5. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) cho như sau

kx(2 − x) khi 1 < x < 2
f (x) =
0 nơi khác
a. Xác định giá trị của k để f (x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Với k
vừa tìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.
b. Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X.
c. Tìm hàm phân phối G(y) của biến ngẫu nhiên Y = X 3 .
Bài tập 2.6. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
 −x
e khi x > 0
f (x) =
0 khi x ≤ 0
a. Tính P (X ≥ 3).
b. Tìm giá trị của a sao cho P (X ≤ a) = 0, 1.

c. Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X.
Bài tập 2.7. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
( 3
x(2 − x) khi 0 ≤ x ≤ 2
f (x) = 4
0 nơi khác
a. Xác định hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X.
b. Tính E(X), Var (X) và trung vị của biến ngẫu nhiên X.

c. Đặt Y = X, xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên Y .
Bài tập 2.8. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liên tục
X (đơn vị tháng) có hàm mật độ
kx2 (4 − x) khi 0 ≤ x ≤ 4

f (x) =
0 nơi khác
a. Tìm hằng số k.
b. Tìm F (x).
c. Tìm E (X), Var (X) và M od(X).
d. Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi.
6
Bài tập 2.9. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
kx2 e−2x khi x ≥ 0

f (x) =
0 nơi khác
a. Tìm hằng số k.
b. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).
c. Tìm E (X), Var (X) và M od(X).
Bài tập 2.10. Một mẫu gồm có 4 biến ngẫu nhiên X1 , X2 , X3 , X4 . Mỗi biến ngẫu nhiên
Xi , i = 1, . . . , 4 có hàm mật độ như sau
(
2x khi 0 < x < 1
f (x) =
0 nơi khác
Đặt Y = max{X1 , X2 , X3 , X4 } và Z = min{X1 , X2 , X3 , X4 }. Hãy tìm hàm mật độ của
Y và Z.
Bài tập 2.11. An và Bình hai người cùng đi thi. Bài thi trắc nghiệm gồm 5 câu, mỗi
câu có 5 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Do chưa học bài nên An và Bình chọn các đáp
án một cách ngẫu nhiên.
a. Xác suất An làm đúng hết 5 câu là bao nhiêu?
b. Xác suất hai người có số câu làm đúng như nhau là bao nhiêu?
Bài tập 2.12. Trong một hệ thống, xác suất một cái máy bị hư trong một ngày bất kỳ
là 0.2 và độc lập với các ngày khác. Một cái máy chỉ có thể hư một lần trong một ngày.
Hỏi trong 10 ngày, khả năng một cái máy bị hư ít nhất 2 lần là bao nhiêu?
Bài tập 2.13. Mỗi khách uống cafe tại quán cafe Đông Hồ mỗi ngày đều được phát
ngẫu nhiên một vé bốc thăm, xác suất khách hàng trúng thăm là 0.1. Nếu khách hàng
trúng thăm liên tục trong năm ngày (từ thứ hai đến thứ sáu) thì sẽ được nhận 100$. An
uống cafe liên tục tại quán này 4 tuần liên tiếp. Gọi X là số tiền An được thưởng khi
bốc thăm. Tính EX, V arX.
Bài tập 2.14. Một học sinh làm bài thi trắc nghiệm có 10 câu, mỗi câu có 5 đáp án và
chỉ có một đáp án đúng. Học sinh này đánh ngẫu nhiên các câu trong bài làm.
a. Trung bình học sinh này làm đúng được bao nhiêu câu?
b. Xác suất học sinh là đúng ít nhất 2 câu là bao nhiêu?
Bài tập 2.15. Công ty bảo hiểm sử dụng phân phối Poisson với trung bình là 4 cho số
yêu cầu bảo hành hàng tháng của một sản phẩm. Mỗi yêu cầu bảo hành sẽ được công
ty trả 1 khoản bồi thường. Tìm xác suất để số khoản bồi thường ít hơn số yêu cầu bảo
hành trung bình cộng với độ lệch tiêu chuẩn.
7
Bài tập 2.16. Một công ty bảo hiểm có 5 hợp đồng bảo hiểm nhận thọ độc lập nhau
trong một năm. Giá trị mỗi hợp đồng là 100, 000$. Xác suất công ty phải trả tiền bồi
thường cho mỗi hợp đồng trong năm là 0.2. Hãy tìm xác suất mà công ty phải trả nhiều
số tiền bồi thường trung bình tổng cộng cho cả 5 hợp đồng.
Bài tập 2.17. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 300 lần gọi điện thoại
trong 1 giờ. Tìm xác suất để trung tâm này nhận được đúng 2 lần gọi trong 1 phút.
Bài tập 2.18. Xét X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình λ. Hãy
tính giá trị của λ nếu P (X = 1|X ≤ 1) = 0.8.
Bài tập 2.19. Xác suất một người gặp phản ứng khi tiêm huyết thanh là 0,001. Tìm
xác suất sao cho trong 2000 người có
a. Đúng 3 người bị phản ứng.
b. Có nhiều hơn 2 người.
Bài tập 2.20. Chi phí đầu tư cho một cái máy là 3000$. Trung bình một cái máy sử
dụng được 3 năm. Nhà sản xuất cung cấp 2 loại bảo hành. Loại I sẽ trả 3000$ nếu máy
bị hư trong năm đầu tiên, 2000$ nếu máy bị hư trong năm thứ hai và 1000$ nếu máy bị
hư trong năm thứ ba và không chi trả từ năm thứ ba trở đi. Loại II sẽ trả một khoản
tiền là 3000 × e−t $ nếu máy bị hỏng tại năm thứ t (tính từ thời điểm mua). Hãy tính số
tiền bảo hành trung bình mà nhà sản xuất phải trả theo từng loại hợp đồng trên.
Bài tập 2.21. Trọng lượng của con cừu là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với giá trị trung bình là 25 kg và độ lệch tiêu chuẩn là 4 kg. Chọn ngẫu nhiên 1
con cừu. Tính xác xuất để con cừu được chọn có trọng lượng
a. Nặng hơn 30 kg.
b. Nhẹ hơn 18 kg.
c. Lớn hơn 20 kg và bé hơn 27 kg.
Bài tập 2.22. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn với trọng lương trung bình là 50 kg và phương sai 100 kg 2 . Một sản phẩm
được xếp vào loại A nếu có trọng lượng từ 45 kg đến 55 kg. Tính tỉ lệ sản phẩm loại A
của loại sản phẩm trên.
Bài tập 2.23. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy
luật chuẩn với tuổi thọ trung bình là 11 năm và độ lệch tiêu chuẩn là 2 năm.
a. Nếu nhà sản xuất quy định thời gian bảo hành là 10 năm thì tỷ lệ sản phẩm bảo
hành là bao nhiêu?
b. Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm bảo hành là 10% thì phải quy định thời gian bảo hành
là bao nhiêu năm?
Bài tập 2.24. Một người cân nhắc giữa việc mua cổ phiếu của công ty A và công ty
B hoạt động ở hai lĩnh vực độc lập nhau. Biết lãi suất cổ phiếu (tính bằng %) của hai
công ty là các đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với các tham số đặc
trưng như sau
8
Trung bình Độ lệch tiêu chuẩn
Công ty A 12 3.5
Công ty B 11 2.8
a. Nếu người đó muốn đạt lãi suất tối thiểu là 10% thì nên mua cổ phiếu của công
ty nào?
b. Nếu người đó muốn hạn chế rủi ro bằng cách mua cổ phiếu của cả hai công ty thì
nên mua theo tỷ lệ bao nhiêu để mức độ rủi ro về lãi suất là nhỏ nhất?
Bài tập 2.25. Xác suất sinh con trai là 0.51. Khảo sát 1000 ca sinh (mỗi ca sinh 1 con)
trong bệnh viện, xác suất số ca sinh con trai ít hơn con gái là bao nhiêu?
Bài tập 2.26. Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50 kg và độ lệch tiêu chuẩn là 10 kg. Nhưng
sản phẩm có trọng lượng từ 45 kg đến 70 kg được xếp vào loại A. Chọn ngẫu nhiên 100
sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để
a. Có đúng 70 sản phẩm loại A.
b. Có không quá 60 sản phẩm loại A.
c. Có ít nhất 65 sản phẩm loại A.
Bài tập 2.27. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện. Mỗi
kiện 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng chọn
cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2
sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 140 kiện hàng trong
số rất nhiều kiện. Tính xác suất để có
a. 93 kiện được nhận.
b. Từ 90 đến 110 kiện được nhận.
9
Chương 3
Vectơ ngẫu nhiên
Bài tập 3.1. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) có phân phối đồng thời cho ở bảng 3.1.
Xác định phân phối lề của biến ngẫu nhiên X và Y
HH
Y
H 1 2 3 4
X HH
H
1 16/136 3/136 2/136 13/136
2 5/136 10/136 11/136 8/136
3 9/136 6/136 7/136 12/136
4 4/136 15/136 14/136 1/136
Bảng 3.1
Bài tập 3.2. Phân phối xác suất đồng thời của véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) cho
bởi bảng 3.2
HH
Y
H 0 1 2 P (X = x)
X HH
H
-1 ... ... ... 1/2
1 . . . 1/2 . . . 1/2
P (Y = y) 1/6 2/3 1/6 1
Bảng 3.2
a. Hoàn thành bảng phân phối.
b. Xét tính độc lập giữa X và Y .
c. Xác định E(XY ), Var(X + Y ) và Var(X − Y ).
Bài tập 3.3. Phân phối lề của các biến ngẫu nhiên X và Y cho như bảng 3.3 Cho biết
giá trị xác suất đồng thời P (X = x, Y = y) là 0 hoặc 1/14. Xác định phân phối đồng
thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ).
Bài tập 3.4. Cho η là một số thực, xác suất đồng thời P (X = x, Y = y) của véctơ
ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) cho bởi bảng 3.4
10