Luận văn;luận văn thạc sĩ;luận án tiến sĩ;tài liệu; khóa luận tốt nghiệp; báo cáo khoa học;đồ án tốt nghiệp;khoán luận 22062015235355
- 15 trang
- file .pdf
1
−íc l−îng
Nh− chóng ta biÕt, c¸c sè ®Æc tr−ng cña dÊu hiÖu H nh− trung b×nh, ph−¬ng sai
... ®−îc sö dông réng r·i trong ph©n tÝch kinh tÕ, x· héi vµ c¸c lÜnh vùc kh¸c.
Nh−ng c¸c sè ®Æc tr−ng nµy th−êng ch−a biÕt, v× vËy ®Æt ra vÊn ®Ò cÇn −íc
l−îng chóng b»ng ph−¬ng ph¸p mÉu.
Sau khi ®· m« h×nh ho¸ dÊu hiÖu H b»ng mét §LNN vµ c¬ cÊu tæng thÓ b»ng
qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña X, ta cã thÓ ph¸t biÓu vÊn ®Ò thùc tÕ nªu trªn d−íi
d¹ng to¸n häc nh− sau:
Cho §LNN X cã thÓ ®· biÕt hoÆc ch−a biÕt qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña X,
nh−ng ch−a biÕt tham sè θ nµo ®ã cña nã.
H·y −íc l−îng θ b»ng ph−¬ng ph¸p mÉu (dùa trªn cë së mét mÉu thèng kª nµo
®ã).
Bµi to¸n nµy lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n cña thèng kª to¸n.
V× θ lµ mét h»ng sè nªn cã thÓ dïng mét sè nµo ®ã ®Ó −íc l−îng θ, −íc l−îng
nh− vËy ®−îc gäi lµ −íc l−îng ®iÓm (nÕu ta ®−a chän sè dïng ®Ó −íc l−îng θ lªn
trôc sè th× nã t−¬ng øng víi mét ®iÓm).
Ngoµi −íc l−îng ®iÓm ng−êi ta cßn dïng ph−¬ng ph¸p −íc l−îng kho¶ng, tøc
lµ chØ ra mét kho¶ng sè (g1 , g2 ) nµo ®ã cã thÓ chøa ®−îc θ.
D−íi ®©y ta sÏ nghiªn cøu c¸c ph−¬ng ph¸p t×m ra mét sè hay mét kho¶ng sè
®Ó −íc l−îng θ. C¸c ph−¬ng ph¸p nµy xuÊt ph¸t tõ c¬ së hîp lý nµo ®ã ®Ó t×m −íc
l−îng cña θ, chø kh«ng ph¶i lµ sù chøng minh chÆt chÏ.
1. C¸c ph−¬ng ph¸p t×m −íc l−îng ®iÓm
1.1. Ph−¬ng ph¸p hµm −íc l−îng
1.1.1. M« t¶ ph−¬ng ph¸p
Gi¶ sö cÇn −íc l−îng tham sè θ cña §LNN X. Tõ X ta lËp mÉu ngÉu nhiªn
kÝch th−íc n : WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ).
Chän thèng kª G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ). Thèng kª G ®−îc gäi lµ hµm −íc l−îng
cña θ.
Mét trong nh÷ng c¸ch chän d¹ng cña hµm f lµ t−¬ng øng thèng kª ®Æc tr−ng
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
2
cña mÉu ngÉu nhiªn víi hµm sè cÇn −íc l−îng cña §LNN. Ph−¬ng ph¸p nµy gäi
lµ ph−¬ng ph¸p momen.
Trong thùc tÕ ng−êi ta th−êng chän hµm −íc l−îng nh− sau:
n
X
1
i) Chän G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ) = X = n Xi nÕu lµ −íc l−îng kú väng
i=1
to¸n.
n
0 1 X
ii) Chän G = S = 2
(Xi − X)2 nÕu lµ −íc l−îng ph−¬ng sai.
n − 1 i=1
Tõ mÉu cô thÓ wX = (x1 , x2 , · · · , xn ), ta tÝnh gi¸ trÞ cña G (ký hiÖu lµ g). Tøc
lµ g = f (x1 , x2 , · · · , xn ). ¦íc l−îng ®iÓm cña θ chÝnh lµ gi¸ trÞ g võa tÝnh ®−îc.
1.1.2. Tiªu chuÈn −íc l−îng
ChÊt l−îng cña −íc l−îng kh«ng thÓ ®¸nh gi¸ qua mét gi¸ trÞ cô thÓ g. Nh− vËy
chØ cã c¸ch so s¸nh trùc tiÕp g vµ θ, mµ θ l¹i ch−a biÕt.
Do vËy chØ cã thÓ ®¸nh gi¸ chÊt l−îng cña −íc l−îng th«ng qua viÖc kh¶o s¸t
xem: viÖc t×m ra gi¸ trÞ g ®−îc tiÕn hµnh nh− thÕ nµo, tøc lµ xÐt b¶n th©n thèng kª
G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ).
Ta thÊy cã v« sè c¸ch chän d¹ng cña hµm f , tøc lµ cã v« sè thèng kª G cã thÓ
dïng lµm hµm −íc l−îng cña θ. V× vËy cÇn ®−a ra c¸c tiªu chuÈn ®Ó ®¸nh gi¸ chÊt
l−îng cña −íc l−îng, ®Ó tõ ®ã lùa chän thèng kª G tèt h¬n.
D−íi ®©y ta sÏ xÐt mét sè tiªu chuÈn ®ã:
a) ¦íc l−îng kh«ng chÖch.
* §Þnh nghÜa: Thèng kª G ®−îc gäi lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña tham sè θ
cña §LNN X nÕu
E(G) = θ
Ng−îc l¹i, nÕu EG 6= θ th× G ®−îc gäi lµ −íc l−îng chÖch cña θ.
* ý nghÜa: Ta thÊy Gθ lµ §LNN biÓu thÞ sai sè cña −íc l−îng. Theo tÝnh chÊt
cña kú väng to¸n, ta cã:
E(G − θ) = EG − Eθ = θ − θ = 0, nÕu G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch.
Nh− vËy −íc l−îng kh«ng chÖch lµ −íc l−îng cã trung b×nh cña sai sè b»ng 0,
tøc lµ c¸c gi¸ trÞ cña G kh«ng bÞ chÖch vÒ mét phÝa (lín h¬n θ hay nhá h¬n θ, nÕu
dïng G ®Ó −íc l−îng θ th× kh«ng m¾c ph¶i sai sè hÖ thèng.
Râ rµng trong hai lo¹i −íc l−îng: chÖch vµ kh«ng chÖch th× ta nªn chän −íc
l−îng kh«ng chÖch.
Chó ý r»ng: G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña θ kh«ng cã nghÜa lµ mäi gi¸ trÞ cña
G ®Òu trïng víi θ mµ chØ cã nghÜa lµ: trung b×nh c¸c gi¸ trÞ cña G b»ng 0. Mét
gi¸ trÞ cña G cã thÓ lÖch rÊt lín so víi θ.
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
3
VÝ dô :
1) Trung b×nh cña mÉu ngÉu nhiªn: X lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña EX = m.
Vµ EX = m.
2) Ph−¬ng sai hiÖu chØnh S 0 2 lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña DX = σ 2 v× ES 0 2 =
σ2.
n−1 2
3) Ph−¬ng sai S 2 lµ −íc l−îng chÖch cña DX = σ 2 v× ES 2 = σ 6= σ 2 .
n
b) ¦íc l−îng v÷ng: Mét hµm −íc l−îng ®−îc coi lµ hîp lý nÕu nh− khi kÝch
th−íc cña mÉu t¨ng lªn kh¸ lín th× gi¸ trÞ cña nã ph¶i gÇn tham sè cÇn −íc l−îng
bao nhiªu còng ®−îc.
* §Þnh nghÜa: Cho mÉu WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ) x©y dùng §LNN X. Hµm −íc
l−îng G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ) cña tham sè θ ®−îc gäi lµ −íc l−îng v÷ng nÕu víi
mäi ε > 0 bÐ tïy ý cho tr−íc ta ®Òu cã:
lim P |f (X1 , X2 , · · · , Xn ) − θ| < ε = 1. (4.2)
n→∞
§iÒu kiÖn ®ñ cña −íc l−îng v÷ng ®−îc ph¸t biÓu d−íi d¹ng ®Þnh lý sau:
* §Þnh lý: NÕu G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña θ vµ lim DG = 0
n→∞
th× G lµ −íc l−îng v÷ng cña θ.
c) ¦íc l−îng hiÖu qu¶.
Gi¶ sö G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña θ. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Tchebychev
cho §LNN G, ta cã
DG
P |G − EG| < ε ≥ 1 − 2 .
ε
DG
V× EG = θ nªn bÊt ®¼ng thøc thµnh: P |G − θ| < ε ≥ 1 − 2 . (4.3)
ε
Nh− vËy, nÕu ph−¬ng sai DG cµng nhá th× x¸c xuÊt ®Ó G nhËn gi¸ trÞ gÇn θ
bao nhiªu còng ®−îc, sÏ cµng lín.
Do ®ã ph−¬ng sai cña thèng kª G lµ mét chØ tiªu quan träng ph¶n ¸nh chÊt
l−îng cña hµm −íc l−îng: G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ).
Mét c¸ch hîp lý lµ cÇn chän nh÷ng hµm −íc l−îng kh«ng chÖch vµ ph−¬ng sai
nhá nhÊt.
* §Þnh nghÜa: Thèng kª G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ) lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña
θ vµ ph−¬ng sai DG b»ng cËn d−íi c¸c ph−¬ng sai cña c¸c thèng kª ®−îc x©y
dùng tõ mÉu ngÉu nhiªn WX th× G ®−îc gäi lµ −íc l−îng hiÖu qu¶ cña θ.
§Ó t×m cËn d−íi cña ph−¬ng sai c¸c hµm −íc l−îng ta dùa vµo bÊt ®¼ng thøc
Crame - Rao ®−îc nªu trong ®Þnh lý d−íi ®©y:
* §Þnh lý: Cho mÉu ngÉu nhiªn WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ) ®−îc x©y dùng tõ
§LNN X cã hµm mËt ®é x¸c suÊt f ∗ x, θ) tho¶ m·n mét sè ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
4
(th−êng lµ c¸c ®iÒu kiÖn trong thùc tÕ) vµ G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch bÊt kú cña
θ th×:
1
DG ≥ . (4.4)
∂ ln f (x, θ) 2
nE
∂θ
CÇn l−u ý r»ng kh«ng ph¶i víi mäi tham sè θ ®Òu cã thÓ chän ®−îc hµm −íc
l−îng G ®¶m b¶o ®−îc c¶ tÝnh kh«ng chÖch, tÝnh v÷ng vµ tÝnh hiÖu qu¶.
VÊn ®Ò lµ ë chç cÇn chän hµm −íc l−îng sao cho c¸c kÕt luËn rót ra ®−îc ®ñ
tin cËy cho môc ®Ých nghiªn cøu.
VÝ dô 1:
n
1X
Hµm X = Xi lµ −íc l−îng kh«ng chÖch, v÷ng, hiÖu qu¶ cña EX = µ
n i=1
trong tr−êng hîp X cã ph©n phèi chuÈn N (µ, σ 2 ).
ThËt vËy, ta cã:
1 − (x−µ)
2
f (x, θ) = √ .e 2σ 2
.
σ 2π
√ (x − µ)2
lnf (x, θ) = − ln σ 2π −
2σ 2
∂ ln f (x, θ)
=
∂θ
∂ ln f (x, µ)
=
∂µ
x−µ
= .
σ2
nªn
∂ ln f (x, θ) 2
nE =
∂θ
x − µ 2
= nE
σ2
(x − µ)2
= nE
σ4
nDX
=
σ4
n
= 2.
σ
mµ:
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
5
n
1 X 1 σ2
DX = 2 DXi = 2 nσ 2 = .
n i=1 n n
NghÜa lµ DX b»ng biÓu thøc ë vÕ ph¶i cña bÊt ®¼ng thøc Crame - Rao. VËy X
lµ −íc l−îng hiÖu qu¶ cña µ.
MÆt kh¸c ta cã:
n n
1 X 1X nµ
EX = E Xi = EXi = = µ.
n i=1
n i=1
n
Nh− vËy, X còng lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña µ.
σ2 σ2
Ta ®· biÕt : DX = . Khi n → ∞ th× → 0 nªn bÊt ®¼ng thøc Tchebychev
n n
ta cã:
DX
P (|X − µ| < ε) ≥ 1 − 2 .
ε
Do ®ã P (|X − µ| < ε) → 1 khi n → ∞, nghÜa lµ X lµ −íc l−îng v÷ng cña µ.
VÝ dô 2:
§Ó −íc l−îng x¸c suÊt p cña biÕn cè A nµo ®ã ta thùc hiÖn n phÐp thö lÆp ®éc
lËp vµ lÊy tÇn suÊt xuÊt hiÖn A lµm −íc l−îng ®iÓm cho p. Gäi X lµ §LNN chØ
sè lÇn xuÊt hiÖn A trong n phÐp thö. Khi ®ã X lµ §LNN tu©n theo qui luËt ph©n
phèi nhÞ thøc víi EX = np vµ DX = npq (q = 1 − p).
Ta cã:
X 1 1
EG = E( ) = EX = .np = p
n n n
X
Nh− vËy G = lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña p. MÆt kh¸c theo ®Þnh lý
n
Vernouilli ta cã
X
lim P | − p| < ε) = 1, ∀ε > 0.
n→∞ n
X X
Nªn G = lµ −íc l−îng v÷ng cña p. Ta thõa nhËn G = còng lµ −íc l−îng
n n
hiÖu qu¶ cña p.
1.2. Ph−¬ng ph¸p −íc l−îng hîp lý cùc ®¹i
1.2.1. M« t¶ ph−¬ng ph¸p
Gi¶ sö ®· biÕt qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt d¹ng tæng qu¸t cña §LNN X, ch¼ng
h¹n hµm mËt ®é f (x, θ) (còng cã thÓ xem f (x, θ) lµ c«ng thøc x¸c suÊt nÕu X lµ
§LNN rêi r¹c) cÇn ph¶i −íc l−îng tham sè θ nµo ®ã cña X.
LËp mÉu cô thÓ: wX = (x1 , x2 , · · · , xn ).
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
6
Hµm cña ®èi sè θ :
L(x1 , x2 , · · · , xn , θ) = f (x1 , θ).f (x2 , θ) · · · f (xn , θ)
vµ gäi lµ hµm hîp lý cña tham sè θ.
Gi¸ trÞ cña hµm hîp lý chÝnh lµ x¸c suÊt (hay mËt ®é x¸c suÊt) t¹i ®iÓm wX =
(x1 , x2 , · · · , xn ).
Gi¸ trÞ g = g(x1 , x2 , · · · , xn ) ®−îc gäi lµ −íc l−îng hîp lý cùc ®¹i cña θ, nÕu
øng víi gi¸ trÞ nµy cña θ, hµm hîp lý ®¹t cùc ®¹i.
V× hµm L vµ ln L ®¹t cùc ®¹i t¹i cïng mét gi¸ trÞ cña θ, do vËy cã thÓ t×m gi¸
trÞ cña θ ®Ó ln L ®¹t cùc ®¹i víi c¸c b−íc sau:
B−íc 1: T×m ®¹o hµm bËc nhÊt ln L theo θ.
∂ ln L
B−íc 2: LËp ph−¬ng tr×nh =0
∂θ
Ph−¬ng tr×nh nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hîp lý. Gi¶ sö nã cã nghiÖm θ =
g = g(x1 , x2 , · · · , xn ) lµ −íc l−îng ®iÓm hîp lý cùc ®¹i cÇn t×m cña θ.
VÝ dô 1:
B»ng ph−¬ng ph¸p hîp lý cùc ®¹i, −íc l−îng tham sè p trong qui luËt ph©n phèi
nhÞ thøc.
n
Ta lËp hµm hîp lý: L(x1 , x2 , · · · , xn , p) = Cnxi pxi (1 − p)n−xi .
Q
i=1
Suy ra
n
X
ln Cnxi + xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
ln L =
i=1
n n
∂ ln L 1 X 1 X
= xi + (xi − n)
∂p p i=1 1 − p i=1
n
∂ ln L 1 X x x
= 0 khi p = 2 xi = , do ®ã −íc l−îng hîp lý cùc ®¹i cña p lµ .
∂p n i=1 n n
VÝ dô 2:
B»ng ph−¬ng ph¸p hîp lý cùc ®¹i, −íc l−îng tham sè λ cña qui luËt ph©n phèi
mò cã hµm mËt ®é x¸c suÊt nh− sau:
(
λeλx víi 0 < x < +∞
f (x) =
0 víi x ≤ 0
P
Ta lËp hµm hîp lý: L(x1 , x2 , · · · , xn , λ) = λn e−λ xi .
P ∂ ln L 1 X
Suy ra ln L = m ln λ − λ xi =⇒ = n. − xi .
∂λ σ
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
7
∂ ln L 1
Gi¶i ph−¬ng tr×nh hîp lý: = 0 ta cã λ = ®¹o hµm bËc hai theo
∂λ x
∂ 2 ln L n
λ: = − < 0, ∀λ > 0.
∂λ2 λ2
1
V× vËy −íc l−îng hîp lý cùc ®¹i cña λ lµ .
x
2. C¸c ph−¬ng ph¸p t×m −íc l−îng kho¶ng
Ngoµi c¸ch dïng mét con sè ®Ó −íc l−îng tham sè θ, ta cßn cã thÓ dïng mét
2.1. M« t¶ ph−¬ng ph¸p
§Ó −íc l−îng tham sè θ cña §LNN X, tõ X ta lËp mÉu ngÉu nhiªn WX =
(X1 , X2 , · · · , Xn ).
Chän thèng kª G = f (X1 , X2 , · · · , Xn , θ) sao cho qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt
cña G hoµn toµn x¸c ®Þnh mÆc dï ch−a biÕt gi¸ trÞ cña θ. Do ®ã víi x¸c suÊt α1
kh¸ bÐ ta t×m ®−îc ph©n vÞ gα1 cña thèng kª gα1 tho¶ m·n:
P (G < gα1 ) = α1 .
Víi x¸c suÊt α2 mµ α1 + α2 = α kh¸ bÐ (trong thùc tÕ ng−êi ta lÊy α ≤ 0, 05),
ta t×m ph©n vÞ g1−α2 , tøc lµ:
P (G < g1−α2 ) = 1 − α2 .
Suy ra:
P (gα2 ≤ G ≤ g1−α2 ) = P (G < g1−α2 ) − P (G < gα1 )
= 1 − α1 − α2 = 1 − α.
Tõ ®©y gi¶ ra ®−îc θ, tøc lµ ®−a biÓu thøc nµy vÒ d¹ng
P (G1 ≤ θ ≤ G2 ) = 1 − α.
Lóc Êy:
i) Kho¶ng (G1 , G2 ) ®−îc gäi lµ kho¶ng tin cËy cña θ v× G1 , G2 lµ c¸c §LNN
nªn kho¶ng (G1 , G2 ) lµ kho¶ng ngÉu nhiªn.
ii) 1 − α gäi lµ ®é tin cËy cña −íc l−îng. Do α kh¸ bÐ nªn 1 − α kh¸ lín. Th«ng
th−êng trong thùc tÕ ng−êi ta yªu cÇu 1 − α ≥ 95% ®Ó cã thÓ sö dông nguyªn lý
x¸c suÊt lín cho biÕn cè (G1 ≤ θ ≤ G2 ).
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
8
iii) I = G2 − G1 gäi lµ ®é dµi cña KTC. I cã thÓ lµ h»ng sè vµ còng cã thÓ gäi
lµ §LNN.
Do x¸c suÊt 1 − α kh¸ lín, nªn biÕn cè (G1 ≤ θ ≤ G2 ) hÇu nh− ch¾c ch¾n x¶y
ra trong mét phÐp thö. Thùc hiÖn mét phÐp thö ®èi víi mÉu ngÉu nhiªn WX , ta sÏ
thu ®−îc mÉu cô thÓ wX = (x1 , x2 , · · · , xn ). Tõ mÉu cô thÓ nµy ta tÝnh ®−îc gi¸
trÞ cña G1 vµ G2 . Ký hiÖu c¸c gi¸ trÞ ®ã lµ g1 , g2 .
Nh− vËy cã thÓ kÕt luËn. Víi ®é tin cËy 1 − α, qua mÉu cô thÓ wX , θ n»m trong
kho¶ng (g1 , g2 ), tøc lµ: (g1 < θ < g2 ).
Ph−¬ng ph¸p −íc l−îng nµy cã −u ®iÓm lµ: ch¼ng nh÷ng t×m ®−îc kho¶ng (g1 , g2 )
®Ó −íc l−îng θ mµ cßn biÕt ®−îc ®é tin cËy cña −íc l−îng.
Tuy nhiªn nã còng chøa ®ùng kh¶ n¨ng m¾c sai lÇm. X¸c suÊt m¾c sai lÇm lµ
α.
2.2. ¦íc l−îng cho gi¸ trÞ trung b×nh
Gi¶ sö trung b×nh tæng thÓ (còng chÝnh lµ kú väng to¸n cña §LNN gèc X) lµ
m ch−a biÕt, ta cßn −íc l−îng m.
2.2.1. Tr−êng hîp kÝch th−íc mÉu n ≥ 30 (hoÆc n < 30 nh−ng X cã ph©n
phèi chuÈn); DX = σ 2 ®· biÕt:
√
(X − m) n
Chän thèng kª: U =
σ
V× n ≥ 30, nªn ta cã thÓ ¸p dông ®Þnh lý Lindeberg - Levy. Néi dung ®Þnh lý
nµy:
NÕu c¸c §LNN X2 , X2 , · · · , Xn√®éc lËp, cã kú väng to¸n m vµ ph−¬ng sai σ 2
(X − m) n
h÷u h¹n, th× §LNN U = cã ph©n phèi x¸c suÊt xÊp xØ víi ph©n phèi
σ
chuÈn t¾c khi n lín.
Tr−êng hîp n < 30 th× do x ∼ N (µ, σ) nªn U cã ph©n phèi chuÈn t¾c.
Víi x¸c suÊt α1 kh¸ bÐ ta t×m ®−îc ph©n vÞ uα1 : P (U < uα1 ) = α1 .
Víi x¸c suÊt α2 sao cho α1 + α − 2 = α, ta t×m ®−îc ph©n vÞ u1−α2 .
Tøc lµ: P (U < u1−α2 ) = 1 − α2 .
Ta cã:
P (uα1 ≤ U ≤ u1−α2 ) = P (U < u1−α2 ) − P (U < uα1 )
= 1 − (α1 + α2 ) = 1 − α.
√
(X − m) n
Nh− vËy: P uα1 ≤ ≤ uα2 = 1 − α.
σ
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
9
σ σ
Hay P X − uα2 . √ ≤ m ≤ X − uα1 . √ = 1 − α.
n n
Theo tÝnh chÊt cña ph©n vÞ chuÈn t¾c: uα1 = −u1−α1 :
h σ σ i
P X − uα2 . √ ≤ m ≤ X + u1−α1 . √ = 1 − α.
n n
VËy ®é tin cËy 1 − α, kho¶ng tin cËy cña m lµ:
σ σ
X − uα2 . √ ; X + u1−α1 . √ .
n n
σ
®é dµi KTC lµ I = √ u1−α1 − u1−α2 .
n
Cïng ®é tin cËy 1 − α, KTC nµo cã ®é dµi ng¾n h¬n sÏ tèt h¬n.
α σ σ
Chän α1 = α2 = . Suy ra KTC: X − u1− α2 . √ ; X + u1− α2 . √ .
2 n n
σ σ
Ký hiÖu ε = u1− α2 . √ = uγ . √ .
n n
ε ®−îc gäi lµ KTC ®èi xøng cña m, ®é dµi cña KTC lµ I = 2ε.
øng víi ®é tin cËy 1 − α, KTC ®èi xøng cã ®é dµi ng¾n nhÊt.
V× vËy khi cÇn t×m KTC, th«ng th−êng ta chØ cÇn t×m KTC ®èi xøng.
V× ®é tin cËy 1 − α kh¸ lín, nªn ta cã thÓ coi biÕn cè (X − ε < m < X + ε)
hÇu nh− ch¾c ch¾n x¶y ra trong mét phÐp thö.
Thùc hiÖn phÐp thö ®èi víi mÉu ngÉu nhiªn WX , ta thu ®−îc mÉu cô thÓ:
wX = (x1 , x2 , · · · , xn ). Tõ mÉu cô thÓ ®ã ta tÝnh ®−îc
n
1X
x= xi .
n i=1
Víi ®é tin cËy 1 − α cho tr−íc, tra b¶ng ph©n vÞ chuÈn ta sÏ t×m ®−îc gi¸ trÞ
σ
ph©n vÞ chuÈn uγ = u1− α2 . Sau ®ã ta tÝnh ®é chÝnh x¸c ε = uγ . √ .
n
Nh− vËy, víi ®é tin cËy 1 − α, qua mÉu cô thÓ wX , kho¶ng tin cËy cña m lµ:
(x − ε, x + ε).
2.2.2. Tr−êng hîp n ≥ 30, σ 2 ch−a biÕt:
Tr−êng hîp nµy v× kÝch th−íc mÉu lín (n ≥ 30) nªn ta cã thÓ dïng −íc l−îng
cña DX lµ S 0 2 ®Ó thay cho σ 2 ch−a biÕt.
TiÕn hµnh c¸c b−íc t−¬ng tù nh− tr−êng hîp ë môc 2.2.1. ta ®−îc KTC cô thÓ
cña m víi ®é tin cËy 1 − α lµ:
S0
(x − ε, x + ε) víi ε = uγ . √ .
n
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
10
α
(trong ®ã uγ lµ ph©n vÞ chuÈn møc γ = 1 − x¸c ®Þnh b»ng c¸ch tra b¶ng ph©n
2
vÞ chuÈn).
2.2.3. Tr−êng hîp n < 30; σ 2 ch−a biÕt, X tu©n theo qui luËt chuÈn:
√
(X − m) n
Tr−êng hîp nµy ta chän thèng kª T = .
S0
§LNN T ph©n phèi theo qui luËt Student víi n − 1 bËc tù do.
T−¬ng tù phÇn 2.2.1, vµ do tÝnh ®èi xøng cña qui luËt Student; víi ®é tin cËy
1 − α cho tr−íc ta t×m ®−îc KTC cña m trong tr−êng hîp nµy lµ:
S0 S0
X − t1− 2 .
α √ ; X − t1− 2 .
α √ .
n n
Tõ mÉu cô thÓ wX = (x1 , x2 , · · · , xn ) ta tÝnh ®−îc x vµ s0 . Tõ ®ã x¸c ®Þnh ®−îc
KTC cô thÓ cña m theo c«ng thøc:
s0
(x − ε, x + ε) víi ε = tγ . √ .
n
α
Víi tγ lµ ph©n vÞ Student víi n − 1 bËc tù do vµ møc x¸c suÊt γ = 1 − .
2
VÝ dô 1:
§iÒu tra n¨ng suÊt lóa trªn 100 ha trång lóa cña mét vïng, ta thu ®−îc b¶ng sè
liÖu sau:
N¨ng suÊt (ta/ha) 41 44 45 46 48 52 54
DiÖn tÝch t−¬ng øng 10 20 30 15 10 10 5
H·y −íc l−îng n¨ng suÊt lóa trung b×nh cña toµn vïng víi ®é tin cËy 95%.
Gi¶i:
Gäi m lµ n¨ng suÊt lóa trung b×nh cña toµn vïng. Ta cÇn −íc l−îng m víi ®é
tin cËy 95%. Tr−êng hîp nµy kÝch th−íc mÉu n = 100 > 30; σ 2 ch−a biÕt. Nªn
S0
KTC cña m lµ (x − ε, x + ε) víi ε = uγ . √ .
n
§é tin cËy 1−α = 95%, nªn tra b¶ng ph©n vÞ chuÈn ta ®−îc: uγ = u0,975 = 1, 96.
100
Tõ b¶ng sè liÖu tÝnh ®−îc: x = 46, S 2 = 10, 8 =⇒ S 0 2 = .10, 8 = 10, 91.
99
=⇒ S 0 = 3, 3 nªn ε = 0, 65.
VËy KTC lµ (46 − 0, 65; 46 + 0, 65) = (45, 35 ; 46, 65).
VÝ dô 2:
Träng l−îng mét lo¹i s¶n phÈm lµ §LNN tu©n theo qui luËt ph©n phèi chuÈn
víi ®é lÖch tiªu chuÈn lµ 1 gam. C©n thö 25 s¶n phÈm lo¹i nµy ta thu ®−îc kÕt qu¶:
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
11
Träng l−îng 18 19 20 21
Sè s¶n phÈm 3 5 15 2
Víi ®é tin cËy 1 − α = 0, 95, h·y t×m KTC ®èi xøng cña träng l−îng trung b×nh
cña lo¹i s¶n phÈm nãi trªn.
Gi¶i:
Gäi X lµ "träng l−îng s¶n phÈm". Theo gi¶ thiÕt X tu©n theo qui luËt ph©n
phèi chuÈn; σ(X) = 1 cßn EX = µ ch−a biÕt, ta cÇn ph¶i −íc l−îng:
Gäi Xi lµ "träng l−îng s¶n phÈm thø i"; i = 1, 25 ta cã mÉu ngÉu nhiªn:
25
1 X
WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ); X = Xi .
25 i=1
Víi ®é tin cËy 1 − α = 0, 95 th× µ1− α2 = 1, 96. VËy KTC ®èi víi xøng cña µ lµ:
1 1
X − 1, 96. ; X + 1, 96. = (X − 0, 392; X + 0, 392).
25 25
Tõ sè liÖu ®· cho, ta tÝnh ®−îc: x = 19, 46. VËy KTC
(19, 248 ; 20, 032).
VÝ dô 3:
Thèng kª tuæi thä cña 256 bãng ®Ìn do mét nhµ m¸y s¶n xuÊt, ta cã b¶ng thèng
kª d−íi ®©y:
tuæi thä (giê) sè bãng tuæi thä (giê) sè bãng
1000 − 1100 4 1100 − 1200 10
1200 − 1300 16 1300 − 1400 20
1400 − 1500 36 1500 − 1600 48
1600 − 1700 42 1700 − 1800 32
1800 − 1900 26 1900 − 2000 14
2000 − 2100 8
H·y −íc l−îng tuæi thä trung b×nh cña lo¹i bãng ®Ìn nµy víi ®é tin cËy 95, 60%.
Gi¶i:
Gäi X lµ tuæi thä cña lo¹i bãng ®Ìn mµ nhµ m¸y s¶n xuÊt. Ta cÇn t×m KTC
EX = m. Tr−êng hîp nµy kÝch th−íc cña mÉu lµ 256 vµ ch−a biÕt σ 2 , do vËy KTC
S0
cô thÓ cña m lµ: (x − ε, x + ε) víi ε = uγ . √ .
n
Víi ®é tin cËy 95, 6% th× u1− α2 = u0,978 = 2, 014.
Tõ sè liÖu ®· cho ta tÝnh ®−îc: x = 1587, 5 (giê); S 0 = 226, 83.
Tõ ®ã ta cã: ε = 28, 55. VËy KTC cña m lµ (1558, 95 ; 1616, 05).
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
12
2.2.4. ¦íc l−îng kho¶ng cho tû lÖ (x¸c suÊt)
Gi¶ sö tæng thÓ ta ®ang nghiªn cøu gåm N phÇn tö. Trong ®ã cã M phÇn tö cã
tÝnh chÊt A nµo ®ã. p = M N lµ tû lÖ c¸c phÇn tö cã tÝnh chÊt A cña tæng thÓ.
Th«ng th−êng p ch−a biÕt, cÇn −íc l−îng p. §Ó ý r»ng p còng chÝnh lµ x¸c suÊt
®Ó lÊy ®−îc phÇn tö cã tÝnh chÊt A khi lÊy ngÉu nhiªn tõ tæng thÓ ra mét phÇn tö,
nªn bµi to¸n trªn lµ bµi to¸n −íc l−îng tû lÖ tæng thÓ (hay −íc l−îng x¸c suÊt).
Gäi X lµ phÇn tö cã tÝnh chÊt A khi lÊy ngÉu nhiªn mét phÇn tö tõ tæng thÓ. X
lµ §LNN cã qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt nh− sau:
X 0 1
p p q
víi q = 1 − p; EX = p; DX = p(1 − p) = pq.
XÐt mÉu ngÉu nhiªn WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ) ®−îc thµnh lËp tõ §LNN gèc X.
Trong ®ã Xi , i = 1, n lµ sè phÇn tö cã tÝnh chÊt A cã trong lÇn thø i. C¸c §LNN
Xi cã ph©n phèi x¸c suÊt gièng X.
n
1X
XÐt thèng kª: fn = Xi lµ tÇn suÊt cña mÉu ngÉu nhiªn vµ còng chÝnh lµ
n i=1
trung b×nh cña mÉu ngÉu nhiªn..
C¸c §LNN Xi ; i = 1, n cã ph©n phèi x¸c suÊt gièng nh− X nªn ta cã thÓ chøng
pq
minh ®−îc: Efn = p vµ Dfn = .
n
¸p dông ®Þnh lý Lindeberg-Levy ta cã §LNN:
√
(fn − p) n
U= √
pq
cã ph©n phèi xÊp xØ chuÈn t¾c.
Do n kh¸ lín nªn ta cã thÓ thay pq b»ng fn (1 − fn ). Sau ®ã ta ¸p dông ph−¬ng
ph¸p t−¬ng tù nh− ®· tiÕn hµnh ë phÇn 2.2 vµ t×m ®−îc KTC cô thÓ cña p lµ:
r
f (1 − f )
(f − ε, f + ε) víi ε = uγ .
n
Trong ®ã f lµ tû lÖ phÇn tö cã tÝnh chÊt A cña mÉu cô thÓ (còng chÝnh lµ gi¸
α
trÞ cña fn ); uγ lµ ph©n vÞ chuÈn møc γ = 1 − .
2
Ngoµi c¸ch x¸c ®Þnh KTC cña p b»ng c«ng thøc trªn, ta cã thÓ t×m KTC cña p
b»ng c¸ch kh¸c nh− sau:
Tõ KTC cña p:
r r
p(1 − p) p(1 − p)
f − uγ < p < f + uγ .
n n
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
−íc l−îng
Nh− chóng ta biÕt, c¸c sè ®Æc tr−ng cña dÊu hiÖu H nh− trung b×nh, ph−¬ng sai
... ®−îc sö dông réng r·i trong ph©n tÝch kinh tÕ, x· héi vµ c¸c lÜnh vùc kh¸c.
Nh−ng c¸c sè ®Æc tr−ng nµy th−êng ch−a biÕt, v× vËy ®Æt ra vÊn ®Ò cÇn −íc
l−îng chóng b»ng ph−¬ng ph¸p mÉu.
Sau khi ®· m« h×nh ho¸ dÊu hiÖu H b»ng mét §LNN vµ c¬ cÊu tæng thÓ b»ng
qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña X, ta cã thÓ ph¸t biÓu vÊn ®Ò thùc tÕ nªu trªn d−íi
d¹ng to¸n häc nh− sau:
Cho §LNN X cã thÓ ®· biÕt hoÆc ch−a biÕt qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña X,
nh−ng ch−a biÕt tham sè θ nµo ®ã cña nã.
H·y −íc l−îng θ b»ng ph−¬ng ph¸p mÉu (dùa trªn cë së mét mÉu thèng kª nµo
®ã).
Bµi to¸n nµy lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n cña thèng kª to¸n.
V× θ lµ mét h»ng sè nªn cã thÓ dïng mét sè nµo ®ã ®Ó −íc l−îng θ, −íc l−îng
nh− vËy ®−îc gäi lµ −íc l−îng ®iÓm (nÕu ta ®−a chän sè dïng ®Ó −íc l−îng θ lªn
trôc sè th× nã t−¬ng øng víi mét ®iÓm).
Ngoµi −íc l−îng ®iÓm ng−êi ta cßn dïng ph−¬ng ph¸p −íc l−îng kho¶ng, tøc
lµ chØ ra mét kho¶ng sè (g1 , g2 ) nµo ®ã cã thÓ chøa ®−îc θ.
D−íi ®©y ta sÏ nghiªn cøu c¸c ph−¬ng ph¸p t×m ra mét sè hay mét kho¶ng sè
®Ó −íc l−îng θ. C¸c ph−¬ng ph¸p nµy xuÊt ph¸t tõ c¬ së hîp lý nµo ®ã ®Ó t×m −íc
l−îng cña θ, chø kh«ng ph¶i lµ sù chøng minh chÆt chÏ.
1. C¸c ph−¬ng ph¸p t×m −íc l−îng ®iÓm
1.1. Ph−¬ng ph¸p hµm −íc l−îng
1.1.1. M« t¶ ph−¬ng ph¸p
Gi¶ sö cÇn −íc l−îng tham sè θ cña §LNN X. Tõ X ta lËp mÉu ngÉu nhiªn
kÝch th−íc n : WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ).
Chän thèng kª G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ). Thèng kª G ®−îc gäi lµ hµm −íc l−îng
cña θ.
Mét trong nh÷ng c¸ch chän d¹ng cña hµm f lµ t−¬ng øng thèng kª ®Æc tr−ng
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
2
cña mÉu ngÉu nhiªn víi hµm sè cÇn −íc l−îng cña §LNN. Ph−¬ng ph¸p nµy gäi
lµ ph−¬ng ph¸p momen.
Trong thùc tÕ ng−êi ta th−êng chän hµm −íc l−îng nh− sau:
n
X
1
i) Chän G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ) = X = n Xi nÕu lµ −íc l−îng kú väng
i=1
to¸n.
n
0 1 X
ii) Chän G = S = 2
(Xi − X)2 nÕu lµ −íc l−îng ph−¬ng sai.
n − 1 i=1
Tõ mÉu cô thÓ wX = (x1 , x2 , · · · , xn ), ta tÝnh gi¸ trÞ cña G (ký hiÖu lµ g). Tøc
lµ g = f (x1 , x2 , · · · , xn ). ¦íc l−îng ®iÓm cña θ chÝnh lµ gi¸ trÞ g võa tÝnh ®−îc.
1.1.2. Tiªu chuÈn −íc l−îng
ChÊt l−îng cña −íc l−îng kh«ng thÓ ®¸nh gi¸ qua mét gi¸ trÞ cô thÓ g. Nh− vËy
chØ cã c¸ch so s¸nh trùc tiÕp g vµ θ, mµ θ l¹i ch−a biÕt.
Do vËy chØ cã thÓ ®¸nh gi¸ chÊt l−îng cña −íc l−îng th«ng qua viÖc kh¶o s¸t
xem: viÖc t×m ra gi¸ trÞ g ®−îc tiÕn hµnh nh− thÕ nµo, tøc lµ xÐt b¶n th©n thèng kª
G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ).
Ta thÊy cã v« sè c¸ch chän d¹ng cña hµm f , tøc lµ cã v« sè thèng kª G cã thÓ
dïng lµm hµm −íc l−îng cña θ. V× vËy cÇn ®−a ra c¸c tiªu chuÈn ®Ó ®¸nh gi¸ chÊt
l−îng cña −íc l−îng, ®Ó tõ ®ã lùa chän thèng kª G tèt h¬n.
D−íi ®©y ta sÏ xÐt mét sè tiªu chuÈn ®ã:
a) ¦íc l−îng kh«ng chÖch.
* §Þnh nghÜa: Thèng kª G ®−îc gäi lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña tham sè θ
cña §LNN X nÕu
E(G) = θ
Ng−îc l¹i, nÕu EG 6= θ th× G ®−îc gäi lµ −íc l−îng chÖch cña θ.
* ý nghÜa: Ta thÊy Gθ lµ §LNN biÓu thÞ sai sè cña −íc l−îng. Theo tÝnh chÊt
cña kú väng to¸n, ta cã:
E(G − θ) = EG − Eθ = θ − θ = 0, nÕu G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch.
Nh− vËy −íc l−îng kh«ng chÖch lµ −íc l−îng cã trung b×nh cña sai sè b»ng 0,
tøc lµ c¸c gi¸ trÞ cña G kh«ng bÞ chÖch vÒ mét phÝa (lín h¬n θ hay nhá h¬n θ, nÕu
dïng G ®Ó −íc l−îng θ th× kh«ng m¾c ph¶i sai sè hÖ thèng.
Râ rµng trong hai lo¹i −íc l−îng: chÖch vµ kh«ng chÖch th× ta nªn chän −íc
l−îng kh«ng chÖch.
Chó ý r»ng: G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña θ kh«ng cã nghÜa lµ mäi gi¸ trÞ cña
G ®Òu trïng víi θ mµ chØ cã nghÜa lµ: trung b×nh c¸c gi¸ trÞ cña G b»ng 0. Mét
gi¸ trÞ cña G cã thÓ lÖch rÊt lín so víi θ.
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
3
VÝ dô :
1) Trung b×nh cña mÉu ngÉu nhiªn: X lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña EX = m.
Vµ EX = m.
2) Ph−¬ng sai hiÖu chØnh S 0 2 lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña DX = σ 2 v× ES 0 2 =
σ2.
n−1 2
3) Ph−¬ng sai S 2 lµ −íc l−îng chÖch cña DX = σ 2 v× ES 2 = σ 6= σ 2 .
n
b) ¦íc l−îng v÷ng: Mét hµm −íc l−îng ®−îc coi lµ hîp lý nÕu nh− khi kÝch
th−íc cña mÉu t¨ng lªn kh¸ lín th× gi¸ trÞ cña nã ph¶i gÇn tham sè cÇn −íc l−îng
bao nhiªu còng ®−îc.
* §Þnh nghÜa: Cho mÉu WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ) x©y dùng §LNN X. Hµm −íc
l−îng G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ) cña tham sè θ ®−îc gäi lµ −íc l−îng v÷ng nÕu víi
mäi ε > 0 bÐ tïy ý cho tr−íc ta ®Òu cã:
lim P |f (X1 , X2 , · · · , Xn ) − θ| < ε = 1. (4.2)
n→∞
§iÒu kiÖn ®ñ cña −íc l−îng v÷ng ®−îc ph¸t biÓu d−íi d¹ng ®Þnh lý sau:
* §Þnh lý: NÕu G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña θ vµ lim DG = 0
n→∞
th× G lµ −íc l−îng v÷ng cña θ.
c) ¦íc l−îng hiÖu qu¶.
Gi¶ sö G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña θ. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Tchebychev
cho §LNN G, ta cã
DG
P |G − EG| < ε ≥ 1 − 2 .
ε
DG
V× EG = θ nªn bÊt ®¼ng thøc thµnh: P |G − θ| < ε ≥ 1 − 2 . (4.3)
ε
Nh− vËy, nÕu ph−¬ng sai DG cµng nhá th× x¸c xuÊt ®Ó G nhËn gi¸ trÞ gÇn θ
bao nhiªu còng ®−îc, sÏ cµng lín.
Do ®ã ph−¬ng sai cña thèng kª G lµ mét chØ tiªu quan träng ph¶n ¸nh chÊt
l−îng cña hµm −íc l−îng: G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ).
Mét c¸ch hîp lý lµ cÇn chän nh÷ng hµm −íc l−îng kh«ng chÖch vµ ph−¬ng sai
nhá nhÊt.
* §Þnh nghÜa: Thèng kª G = f (X1 , X2 , · · · , Xn ) lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña
θ vµ ph−¬ng sai DG b»ng cËn d−íi c¸c ph−¬ng sai cña c¸c thèng kª ®−îc x©y
dùng tõ mÉu ngÉu nhiªn WX th× G ®−îc gäi lµ −íc l−îng hiÖu qu¶ cña θ.
§Ó t×m cËn d−íi cña ph−¬ng sai c¸c hµm −íc l−îng ta dùa vµo bÊt ®¼ng thøc
Crame - Rao ®−îc nªu trong ®Þnh lý d−íi ®©y:
* §Þnh lý: Cho mÉu ngÉu nhiªn WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ) ®−îc x©y dùng tõ
§LNN X cã hµm mËt ®é x¸c suÊt f ∗ x, θ) tho¶ m·n mét sè ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
4
(th−êng lµ c¸c ®iÒu kiÖn trong thùc tÕ) vµ G lµ −íc l−îng kh«ng chÖch bÊt kú cña
θ th×:
1
DG ≥ . (4.4)
∂ ln f (x, θ) 2
nE
∂θ
CÇn l−u ý r»ng kh«ng ph¶i víi mäi tham sè θ ®Òu cã thÓ chän ®−îc hµm −íc
l−îng G ®¶m b¶o ®−îc c¶ tÝnh kh«ng chÖch, tÝnh v÷ng vµ tÝnh hiÖu qu¶.
VÊn ®Ò lµ ë chç cÇn chän hµm −íc l−îng sao cho c¸c kÕt luËn rót ra ®−îc ®ñ
tin cËy cho môc ®Ých nghiªn cøu.
VÝ dô 1:
n
1X
Hµm X = Xi lµ −íc l−îng kh«ng chÖch, v÷ng, hiÖu qu¶ cña EX = µ
n i=1
trong tr−êng hîp X cã ph©n phèi chuÈn N (µ, σ 2 ).
ThËt vËy, ta cã:
1 − (x−µ)
2
f (x, θ) = √ .e 2σ 2
.
σ 2π
√ (x − µ)2
lnf (x, θ) = − ln σ 2π −
2σ 2
∂ ln f (x, θ)
=
∂θ
∂ ln f (x, µ)
=
∂µ
x−µ
= .
σ2
nªn
∂ ln f (x, θ) 2
nE =
∂θ
x − µ 2
= nE
σ2
(x − µ)2
= nE
σ4
nDX
=
σ4
n
= 2.
σ
mµ:
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
5
n
1 X 1 σ2
DX = 2 DXi = 2 nσ 2 = .
n i=1 n n
NghÜa lµ DX b»ng biÓu thøc ë vÕ ph¶i cña bÊt ®¼ng thøc Crame - Rao. VËy X
lµ −íc l−îng hiÖu qu¶ cña µ.
MÆt kh¸c ta cã:
n n
1 X 1X nµ
EX = E Xi = EXi = = µ.
n i=1
n i=1
n
Nh− vËy, X còng lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña µ.
σ2 σ2
Ta ®· biÕt : DX = . Khi n → ∞ th× → 0 nªn bÊt ®¼ng thøc Tchebychev
n n
ta cã:
DX
P (|X − µ| < ε) ≥ 1 − 2 .
ε
Do ®ã P (|X − µ| < ε) → 1 khi n → ∞, nghÜa lµ X lµ −íc l−îng v÷ng cña µ.
VÝ dô 2:
§Ó −íc l−îng x¸c suÊt p cña biÕn cè A nµo ®ã ta thùc hiÖn n phÐp thö lÆp ®éc
lËp vµ lÊy tÇn suÊt xuÊt hiÖn A lµm −íc l−îng ®iÓm cho p. Gäi X lµ §LNN chØ
sè lÇn xuÊt hiÖn A trong n phÐp thö. Khi ®ã X lµ §LNN tu©n theo qui luËt ph©n
phèi nhÞ thøc víi EX = np vµ DX = npq (q = 1 − p).
Ta cã:
X 1 1
EG = E( ) = EX = .np = p
n n n
X
Nh− vËy G = lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña p. MÆt kh¸c theo ®Þnh lý
n
Vernouilli ta cã
X
lim P | − p| < ε) = 1, ∀ε > 0.
n→∞ n
X X
Nªn G = lµ −íc l−îng v÷ng cña p. Ta thõa nhËn G = còng lµ −íc l−îng
n n
hiÖu qu¶ cña p.
1.2. Ph−¬ng ph¸p −íc l−îng hîp lý cùc ®¹i
1.2.1. M« t¶ ph−¬ng ph¸p
Gi¶ sö ®· biÕt qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt d¹ng tæng qu¸t cña §LNN X, ch¼ng
h¹n hµm mËt ®é f (x, θ) (còng cã thÓ xem f (x, θ) lµ c«ng thøc x¸c suÊt nÕu X lµ
§LNN rêi r¹c) cÇn ph¶i −íc l−îng tham sè θ nµo ®ã cña X.
LËp mÉu cô thÓ: wX = (x1 , x2 , · · · , xn ).
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
6
Hµm cña ®èi sè θ :
L(x1 , x2 , · · · , xn , θ) = f (x1 , θ).f (x2 , θ) · · · f (xn , θ)
vµ gäi lµ hµm hîp lý cña tham sè θ.
Gi¸ trÞ cña hµm hîp lý chÝnh lµ x¸c suÊt (hay mËt ®é x¸c suÊt) t¹i ®iÓm wX =
(x1 , x2 , · · · , xn ).
Gi¸ trÞ g = g(x1 , x2 , · · · , xn ) ®−îc gäi lµ −íc l−îng hîp lý cùc ®¹i cña θ, nÕu
øng víi gi¸ trÞ nµy cña θ, hµm hîp lý ®¹t cùc ®¹i.
V× hµm L vµ ln L ®¹t cùc ®¹i t¹i cïng mét gi¸ trÞ cña θ, do vËy cã thÓ t×m gi¸
trÞ cña θ ®Ó ln L ®¹t cùc ®¹i víi c¸c b−íc sau:
B−íc 1: T×m ®¹o hµm bËc nhÊt ln L theo θ.
∂ ln L
B−íc 2: LËp ph−¬ng tr×nh =0
∂θ
Ph−¬ng tr×nh nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hîp lý. Gi¶ sö nã cã nghiÖm θ =
g = g(x1 , x2 , · · · , xn ) lµ −íc l−îng ®iÓm hîp lý cùc ®¹i cÇn t×m cña θ.
VÝ dô 1:
B»ng ph−¬ng ph¸p hîp lý cùc ®¹i, −íc l−îng tham sè p trong qui luËt ph©n phèi
nhÞ thøc.
n
Ta lËp hµm hîp lý: L(x1 , x2 , · · · , xn , p) = Cnxi pxi (1 − p)n−xi .
Q
i=1
Suy ra
n
X
ln Cnxi + xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
ln L =
i=1
n n
∂ ln L 1 X 1 X
= xi + (xi − n)
∂p p i=1 1 − p i=1
n
∂ ln L 1 X x x
= 0 khi p = 2 xi = , do ®ã −íc l−îng hîp lý cùc ®¹i cña p lµ .
∂p n i=1 n n
VÝ dô 2:
B»ng ph−¬ng ph¸p hîp lý cùc ®¹i, −íc l−îng tham sè λ cña qui luËt ph©n phèi
mò cã hµm mËt ®é x¸c suÊt nh− sau:
(
λeλx víi 0 < x < +∞
f (x) =
0 víi x ≤ 0
P
Ta lËp hµm hîp lý: L(x1 , x2 , · · · , xn , λ) = λn e−λ xi .
P ∂ ln L 1 X
Suy ra ln L = m ln λ − λ xi =⇒ = n. − xi .
∂λ σ
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
7
∂ ln L 1
Gi¶i ph−¬ng tr×nh hîp lý: = 0 ta cã λ = ®¹o hµm bËc hai theo
∂λ x
∂ 2 ln L n
λ: = − < 0, ∀λ > 0.
∂λ2 λ2
1
V× vËy −íc l−îng hîp lý cùc ®¹i cña λ lµ .
x
2. C¸c ph−¬ng ph¸p t×m −íc l−îng kho¶ng
Ngoµi c¸ch dïng mét con sè ®Ó −íc l−îng tham sè θ, ta cßn cã thÓ dïng mét
2.1. M« t¶ ph−¬ng ph¸p
§Ó −íc l−îng tham sè θ cña §LNN X, tõ X ta lËp mÉu ngÉu nhiªn WX =
(X1 , X2 , · · · , Xn ).
Chän thèng kª G = f (X1 , X2 , · · · , Xn , θ) sao cho qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt
cña G hoµn toµn x¸c ®Þnh mÆc dï ch−a biÕt gi¸ trÞ cña θ. Do ®ã víi x¸c suÊt α1
kh¸ bÐ ta t×m ®−îc ph©n vÞ gα1 cña thèng kª gα1 tho¶ m·n:
P (G < gα1 ) = α1 .
Víi x¸c suÊt α2 mµ α1 + α2 = α kh¸ bÐ (trong thùc tÕ ng−êi ta lÊy α ≤ 0, 05),
ta t×m ph©n vÞ g1−α2 , tøc lµ:
P (G < g1−α2 ) = 1 − α2 .
Suy ra:
P (gα2 ≤ G ≤ g1−α2 ) = P (G < g1−α2 ) − P (G < gα1 )
= 1 − α1 − α2 = 1 − α.
Tõ ®©y gi¶ ra ®−îc θ, tøc lµ ®−a biÓu thøc nµy vÒ d¹ng
P (G1 ≤ θ ≤ G2 ) = 1 − α.
Lóc Êy:
i) Kho¶ng (G1 , G2 ) ®−îc gäi lµ kho¶ng tin cËy cña θ v× G1 , G2 lµ c¸c §LNN
nªn kho¶ng (G1 , G2 ) lµ kho¶ng ngÉu nhiªn.
ii) 1 − α gäi lµ ®é tin cËy cña −íc l−îng. Do α kh¸ bÐ nªn 1 − α kh¸ lín. Th«ng
th−êng trong thùc tÕ ng−êi ta yªu cÇu 1 − α ≥ 95% ®Ó cã thÓ sö dông nguyªn lý
x¸c suÊt lín cho biÕn cè (G1 ≤ θ ≤ G2 ).
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
8
iii) I = G2 − G1 gäi lµ ®é dµi cña KTC. I cã thÓ lµ h»ng sè vµ còng cã thÓ gäi
lµ §LNN.
Do x¸c suÊt 1 − α kh¸ lín, nªn biÕn cè (G1 ≤ θ ≤ G2 ) hÇu nh− ch¾c ch¾n x¶y
ra trong mét phÐp thö. Thùc hiÖn mét phÐp thö ®èi víi mÉu ngÉu nhiªn WX , ta sÏ
thu ®−îc mÉu cô thÓ wX = (x1 , x2 , · · · , xn ). Tõ mÉu cô thÓ nµy ta tÝnh ®−îc gi¸
trÞ cña G1 vµ G2 . Ký hiÖu c¸c gi¸ trÞ ®ã lµ g1 , g2 .
Nh− vËy cã thÓ kÕt luËn. Víi ®é tin cËy 1 − α, qua mÉu cô thÓ wX , θ n»m trong
kho¶ng (g1 , g2 ), tøc lµ: (g1 < θ < g2 ).
Ph−¬ng ph¸p −íc l−îng nµy cã −u ®iÓm lµ: ch¼ng nh÷ng t×m ®−îc kho¶ng (g1 , g2 )
®Ó −íc l−îng θ mµ cßn biÕt ®−îc ®é tin cËy cña −íc l−îng.
Tuy nhiªn nã còng chøa ®ùng kh¶ n¨ng m¾c sai lÇm. X¸c suÊt m¾c sai lÇm lµ
α.
2.2. ¦íc l−îng cho gi¸ trÞ trung b×nh
Gi¶ sö trung b×nh tæng thÓ (còng chÝnh lµ kú väng to¸n cña §LNN gèc X) lµ
m ch−a biÕt, ta cßn −íc l−îng m.
2.2.1. Tr−êng hîp kÝch th−íc mÉu n ≥ 30 (hoÆc n < 30 nh−ng X cã ph©n
phèi chuÈn); DX = σ 2 ®· biÕt:
√
(X − m) n
Chän thèng kª: U =
σ
V× n ≥ 30, nªn ta cã thÓ ¸p dông ®Þnh lý Lindeberg - Levy. Néi dung ®Þnh lý
nµy:
NÕu c¸c §LNN X2 , X2 , · · · , Xn√®éc lËp, cã kú väng to¸n m vµ ph−¬ng sai σ 2
(X − m) n
h÷u h¹n, th× §LNN U = cã ph©n phèi x¸c suÊt xÊp xØ víi ph©n phèi
σ
chuÈn t¾c khi n lín.
Tr−êng hîp n < 30 th× do x ∼ N (µ, σ) nªn U cã ph©n phèi chuÈn t¾c.
Víi x¸c suÊt α1 kh¸ bÐ ta t×m ®−îc ph©n vÞ uα1 : P (U < uα1 ) = α1 .
Víi x¸c suÊt α2 sao cho α1 + α − 2 = α, ta t×m ®−îc ph©n vÞ u1−α2 .
Tøc lµ: P (U < u1−α2 ) = 1 − α2 .
Ta cã:
P (uα1 ≤ U ≤ u1−α2 ) = P (U < u1−α2 ) − P (U < uα1 )
= 1 − (α1 + α2 ) = 1 − α.
√
(X − m) n
Nh− vËy: P uα1 ≤ ≤ uα2 = 1 − α.
σ
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
9
σ σ
Hay P X − uα2 . √ ≤ m ≤ X − uα1 . √ = 1 − α.
n n
Theo tÝnh chÊt cña ph©n vÞ chuÈn t¾c: uα1 = −u1−α1 :
h σ σ i
P X − uα2 . √ ≤ m ≤ X + u1−α1 . √ = 1 − α.
n n
VËy ®é tin cËy 1 − α, kho¶ng tin cËy cña m lµ:
σ σ
X − uα2 . √ ; X + u1−α1 . √ .
n n
σ
®é dµi KTC lµ I = √ u1−α1 − u1−α2 .
n
Cïng ®é tin cËy 1 − α, KTC nµo cã ®é dµi ng¾n h¬n sÏ tèt h¬n.
α σ σ
Chän α1 = α2 = . Suy ra KTC: X − u1− α2 . √ ; X + u1− α2 . √ .
2 n n
σ σ
Ký hiÖu ε = u1− α2 . √ = uγ . √ .
n n
ε ®−îc gäi lµ KTC ®èi xøng cña m, ®é dµi cña KTC lµ I = 2ε.
øng víi ®é tin cËy 1 − α, KTC ®èi xøng cã ®é dµi ng¾n nhÊt.
V× vËy khi cÇn t×m KTC, th«ng th−êng ta chØ cÇn t×m KTC ®èi xøng.
V× ®é tin cËy 1 − α kh¸ lín, nªn ta cã thÓ coi biÕn cè (X − ε < m < X + ε)
hÇu nh− ch¾c ch¾n x¶y ra trong mét phÐp thö.
Thùc hiÖn phÐp thö ®èi víi mÉu ngÉu nhiªn WX , ta thu ®−îc mÉu cô thÓ:
wX = (x1 , x2 , · · · , xn ). Tõ mÉu cô thÓ ®ã ta tÝnh ®−îc
n
1X
x= xi .
n i=1
Víi ®é tin cËy 1 − α cho tr−íc, tra b¶ng ph©n vÞ chuÈn ta sÏ t×m ®−îc gi¸ trÞ
σ
ph©n vÞ chuÈn uγ = u1− α2 . Sau ®ã ta tÝnh ®é chÝnh x¸c ε = uγ . √ .
n
Nh− vËy, víi ®é tin cËy 1 − α, qua mÉu cô thÓ wX , kho¶ng tin cËy cña m lµ:
(x − ε, x + ε).
2.2.2. Tr−êng hîp n ≥ 30, σ 2 ch−a biÕt:
Tr−êng hîp nµy v× kÝch th−íc mÉu lín (n ≥ 30) nªn ta cã thÓ dïng −íc l−îng
cña DX lµ S 0 2 ®Ó thay cho σ 2 ch−a biÕt.
TiÕn hµnh c¸c b−íc t−¬ng tù nh− tr−êng hîp ë môc 2.2.1. ta ®−îc KTC cô thÓ
cña m víi ®é tin cËy 1 − α lµ:
S0
(x − ε, x + ε) víi ε = uγ . √ .
n
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
10
α
(trong ®ã uγ lµ ph©n vÞ chuÈn møc γ = 1 − x¸c ®Þnh b»ng c¸ch tra b¶ng ph©n
2
vÞ chuÈn).
2.2.3. Tr−êng hîp n < 30; σ 2 ch−a biÕt, X tu©n theo qui luËt chuÈn:
√
(X − m) n
Tr−êng hîp nµy ta chän thèng kª T = .
S0
§LNN T ph©n phèi theo qui luËt Student víi n − 1 bËc tù do.
T−¬ng tù phÇn 2.2.1, vµ do tÝnh ®èi xøng cña qui luËt Student; víi ®é tin cËy
1 − α cho tr−íc ta t×m ®−îc KTC cña m trong tr−êng hîp nµy lµ:
S0 S0
X − t1− 2 .
α √ ; X − t1− 2 .
α √ .
n n
Tõ mÉu cô thÓ wX = (x1 , x2 , · · · , xn ) ta tÝnh ®−îc x vµ s0 . Tõ ®ã x¸c ®Þnh ®−îc
KTC cô thÓ cña m theo c«ng thøc:
s0
(x − ε, x + ε) víi ε = tγ . √ .
n
α
Víi tγ lµ ph©n vÞ Student víi n − 1 bËc tù do vµ møc x¸c suÊt γ = 1 − .
2
VÝ dô 1:
§iÒu tra n¨ng suÊt lóa trªn 100 ha trång lóa cña mét vïng, ta thu ®−îc b¶ng sè
liÖu sau:
N¨ng suÊt (ta/ha) 41 44 45 46 48 52 54
DiÖn tÝch t−¬ng øng 10 20 30 15 10 10 5
H·y −íc l−îng n¨ng suÊt lóa trung b×nh cña toµn vïng víi ®é tin cËy 95%.
Gi¶i:
Gäi m lµ n¨ng suÊt lóa trung b×nh cña toµn vïng. Ta cÇn −íc l−îng m víi ®é
tin cËy 95%. Tr−êng hîp nµy kÝch th−íc mÉu n = 100 > 30; σ 2 ch−a biÕt. Nªn
S0
KTC cña m lµ (x − ε, x + ε) víi ε = uγ . √ .
n
§é tin cËy 1−α = 95%, nªn tra b¶ng ph©n vÞ chuÈn ta ®−îc: uγ = u0,975 = 1, 96.
100
Tõ b¶ng sè liÖu tÝnh ®−îc: x = 46, S 2 = 10, 8 =⇒ S 0 2 = .10, 8 = 10, 91.
99
=⇒ S 0 = 3, 3 nªn ε = 0, 65.
VËy KTC lµ (46 − 0, 65; 46 + 0, 65) = (45, 35 ; 46, 65).
VÝ dô 2:
Träng l−îng mét lo¹i s¶n phÈm lµ §LNN tu©n theo qui luËt ph©n phèi chuÈn
víi ®é lÖch tiªu chuÈn lµ 1 gam. C©n thö 25 s¶n phÈm lo¹i nµy ta thu ®−îc kÕt qu¶:
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
11
Träng l−îng 18 19 20 21
Sè s¶n phÈm 3 5 15 2
Víi ®é tin cËy 1 − α = 0, 95, h·y t×m KTC ®èi xøng cña träng l−îng trung b×nh
cña lo¹i s¶n phÈm nãi trªn.
Gi¶i:
Gäi X lµ "träng l−îng s¶n phÈm". Theo gi¶ thiÕt X tu©n theo qui luËt ph©n
phèi chuÈn; σ(X) = 1 cßn EX = µ ch−a biÕt, ta cÇn ph¶i −íc l−îng:
Gäi Xi lµ "träng l−îng s¶n phÈm thø i"; i = 1, 25 ta cã mÉu ngÉu nhiªn:
25
1 X
WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ); X = Xi .
25 i=1
Víi ®é tin cËy 1 − α = 0, 95 th× µ1− α2 = 1, 96. VËy KTC ®èi víi xøng cña µ lµ:
1 1
X − 1, 96. ; X + 1, 96. = (X − 0, 392; X + 0, 392).
25 25
Tõ sè liÖu ®· cho, ta tÝnh ®−îc: x = 19, 46. VËy KTC
(19, 248 ; 20, 032).
VÝ dô 3:
Thèng kª tuæi thä cña 256 bãng ®Ìn do mét nhµ m¸y s¶n xuÊt, ta cã b¶ng thèng
kª d−íi ®©y:
tuæi thä (giê) sè bãng tuæi thä (giê) sè bãng
1000 − 1100 4 1100 − 1200 10
1200 − 1300 16 1300 − 1400 20
1400 − 1500 36 1500 − 1600 48
1600 − 1700 42 1700 − 1800 32
1800 − 1900 26 1900 − 2000 14
2000 − 2100 8
H·y −íc l−îng tuæi thä trung b×nh cña lo¹i bãng ®Ìn nµy víi ®é tin cËy 95, 60%.
Gi¶i:
Gäi X lµ tuæi thä cña lo¹i bãng ®Ìn mµ nhµ m¸y s¶n xuÊt. Ta cÇn t×m KTC
EX = m. Tr−êng hîp nµy kÝch th−íc cña mÉu lµ 256 vµ ch−a biÕt σ 2 , do vËy KTC
S0
cô thÓ cña m lµ: (x − ε, x + ε) víi ε = uγ . √ .
n
Víi ®é tin cËy 95, 6% th× u1− α2 = u0,978 = 2, 014.
Tõ sè liÖu ®· cho ta tÝnh ®−îc: x = 1587, 5 (giê); S 0 = 226, 83.
Tõ ®ã ta cã: ε = 28, 55. VËy KTC cña m lµ (1558, 95 ; 1616, 05).
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh
12
2.2.4. ¦íc l−îng kho¶ng cho tû lÖ (x¸c suÊt)
Gi¶ sö tæng thÓ ta ®ang nghiªn cøu gåm N phÇn tö. Trong ®ã cã M phÇn tö cã
tÝnh chÊt A nµo ®ã. p = M N lµ tû lÖ c¸c phÇn tö cã tÝnh chÊt A cña tæng thÓ.
Th«ng th−êng p ch−a biÕt, cÇn −íc l−îng p. §Ó ý r»ng p còng chÝnh lµ x¸c suÊt
®Ó lÊy ®−îc phÇn tö cã tÝnh chÊt A khi lÊy ngÉu nhiªn tõ tæng thÓ ra mét phÇn tö,
nªn bµi to¸n trªn lµ bµi to¸n −íc l−îng tû lÖ tæng thÓ (hay −íc l−îng x¸c suÊt).
Gäi X lµ phÇn tö cã tÝnh chÊt A khi lÊy ngÉu nhiªn mét phÇn tö tõ tæng thÓ. X
lµ §LNN cã qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt nh− sau:
X 0 1
p p q
víi q = 1 − p; EX = p; DX = p(1 − p) = pq.
XÐt mÉu ngÉu nhiªn WX = (X1 , X2 , · · · , Xn ) ®−îc thµnh lËp tõ §LNN gèc X.
Trong ®ã Xi , i = 1, n lµ sè phÇn tö cã tÝnh chÊt A cã trong lÇn thø i. C¸c §LNN
Xi cã ph©n phèi x¸c suÊt gièng X.
n
1X
XÐt thèng kª: fn = Xi lµ tÇn suÊt cña mÉu ngÉu nhiªn vµ còng chÝnh lµ
n i=1
trung b×nh cña mÉu ngÉu nhiªn..
C¸c §LNN Xi ; i = 1, n cã ph©n phèi x¸c suÊt gièng nh− X nªn ta cã thÓ chøng
pq
minh ®−îc: Efn = p vµ Dfn = .
n
¸p dông ®Þnh lý Lindeberg-Levy ta cã §LNN:
√
(fn − p) n
U= √
pq
cã ph©n phèi xÊp xØ chuÈn t¾c.
Do n kh¸ lín nªn ta cã thÓ thay pq b»ng fn (1 − fn ). Sau ®ã ta ¸p dông ph−¬ng
ph¸p t−¬ng tù nh− ®· tiÕn hµnh ë phÇn 2.2 vµ t×m ®−îc KTC cô thÓ cña p lµ:
r
f (1 − f )
(f − ε, f + ε) víi ε = uγ .
n
Trong ®ã f lµ tû lÖ phÇn tö cã tÝnh chÊt A cña mÉu cô thÓ (còng chÝnh lµ gi¸
α
trÞ cña fn ); uγ lµ ph©n vÞ chuÈn møc γ = 1 − .
2
Ngoµi c¸ch x¸c ®Þnh KTC cña p b»ng c«ng thøc trªn, ta cã thÓ t×m KTC cña p
b»ng c¸ch kh¸c nh− sau:
Tõ KTC cña p:
r r
p(1 − p) p(1 − p)
f − uγ < p < f + uγ .
n n
Biªn so¹n: GVC.ThS. Phan v¨n Danh