Luận văn sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp tổng quát cho hai họ ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

  • 12 trang
  • file .pdf
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HỖN HỢP TỔNG QUÁT CHO HAI HỌ ÁNH XẠ
 -KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Nguyễn Trung Hiếu1, Huỳnh Diễm Ngọc1
1
Trường Đại học Đồng Tháp
Thông tin chung: ABSTRACT
Ngày nhận bài: 25/10/2017
Ngày nhận kết quả bình duyệt: In this paper, we extend some results in Dong, He & Cho (2015) for two
05/12/2017 families of  - nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Then, a generalized
Ngày chấp nhận đăng: 12/2017 hybrid iteration for two families of  - nonexpansive mappings is introduced
Title: and some convergence results of the iteration in Hilbert spaces are established.
Convergence of generalized In addition, an example is provided to illustrate the convergence result of the
hybrid interation for two hybrid iteration for two  - nonexpansive mappings in Hilbert spaces.
families of  -nonexpansive
mappings in Hilbert spaces TÓM TẮT
Keywords:
Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng những kết quả của Dong, He và Cho
maize green forage, planting
space, gray soil (2015) cho hai họ ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert. Từ đó,
chúng tôi giới thiệu một dạng dãy lặp hỗn hợp tổng quát cho hai họ ánh xạ  -
Từ khóa:
không giãn và thiết lập một số kết quả về sự hội tụ của dạng dãy lặp này trong
ánh xạ  -không giãn, dãy
lặp hỗn hợp, không gian không gian Hilbert. Đồng thời, chúng tôi đưa ra ví dụ minh họa sự hội tụ của
Hilbert dãy lặp hỗn hợp cho hai ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert.
1. GIỚI THIỆU không gian Hilbert. Năm 2008, Takahashi,
Trong lý thuyết điểm bất động, vấn đề xấp xỉ Takeuchi và Kubota đã giới thiệu một phương
điểm bất động của ánh xạ không giãn được nhiều pháp khác để xây dựng dãy lặp hỗn hợp kiểu
tác giả quan tâm nghiên cứu. Kỹ thuật cơ bản Mann bằng cách bớt đi tập Qn trong dãy lặp của
trong xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn
Nakajo và Takahashi (2003). Bằng những kỹ
là xây dựng dãy lặp và thiết lập sự hội tụ của dãy
thuật này, nhiều dạng dãy lặp hỗn hợp khác được
lặp đó. Một số dạng dãy lặp cơ bản đã được giới
xây dựng và nhiều kết quả về sự hội tụ (mạnh)
thiệu như dãy lặp Halpern, dãy lặp Mann, dãy lặp
của những dãy lặp hỗn hợp này cho ánh xạ không
Krasnoselskij, dãy lặp Ishikawa,.... và nhiều kết
giãn được thiết lập. Năm 2015, Dong, He và Cho
quả về sự hội tụ (mạnh) cũng như sự hội tụ yếu
đã sử dụng phương pháp CQ để giới thiệu một
của những dãy lặp này cho ánh xạ không giãn
dãy lặp hỗn hợp mới mà dãy này là tổng quát của
cũng đã được thiết lập. Năm 2003, Nakajo và
nhiều dãy lặp đã có và thiết lập sự hội tụ (mạnh)
Takahashi đã giới thiệu phương pháp hình chiếu
của dãy lặp này cho hai ánh xạ không giãn trong
(phương pháp CQ) để xây dựng một dãy lặp hỗn
không gian Hilbert.
hợp kiểu Mann và thiết lập được sự hội tụ (mạnh)
Gần đây, một số tác giả nghiên cứu mở rộng ánh
của dãy lặp này cho ánh xạ không giãn trong
xạ không giãn và nhiều lớp ánh xạ phi tuyến tổng
47
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
quát đã được giới thiệu. Năm 2008, Kohsaka và đó có kiểu dãy lặp được giới thiệu bởi Dong và cs.
Takahashi đã giới thiệu một lớp ánh xạ tổng quát (2015) chưa được nghiên cứu trên lớp ánh xạ  -
của ánh xạ không giãn và được gọi là ánh xạ không giãn.
nonspreading. Năm 2010, Takahashi đã giới thiệu Trong bài báo này, bằng cách bớt đi tập Qn trong
một mở rộng khác của ánh xạ không giãn và được
dãy lặp của Dong và cs. (2015), chúng tôi giới
gọi là ánh xạ hybrid. Năm 2011, Aoyama và
thiệu một dãy lặp hỗn hợp tổng quát để xấp xỉ
Kohsaka đã giới thiệu một mở rộng của ánh xạ
điểm bất động chung cho hai họ ánh xạ  - không
nonspreading và ánh xạ hybrid, được gọi là ánh xạ
giãn trong không gian Hilbert. Các kết quả này là
 - không giãn. Đồng thời, một số kết quả bước
sự mở rộng của các kết quả chính của Dong và cs.
đầu sự hội tụ cho ánh xạ  - không giãn cũng
(2015). Đồng thời, chúng tôi đưa ra ví dụ minh
được các tác giả thiết lập. Kể từ đó, việc nghiên
họa sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp cho hai ánh xạ
cứu sự hội tụ cho ánh xạ  - không giãn bằng
 - không giãn trong không gian Hilbert.
những dãy lặp khác nhau được một số tác giả
Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm
quan tâm (Kong, Liu & Wu, 2015; Mongkolkeha,
và kết quả được sử dụng trong bài báo.
Cho & Kumam, 2014). Tuy nhiên, nhiều dạng dãy
lặp được xây dựng bằng phương pháp CQ, trong
Định nghĩa 1.1 (Aoyama & Kohsaka, 2011, p.1). Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con khác
rỗng trong H và T : C  C là ánh xạ. Khi đó, T được gọi là ánh xạ không giãn nếu
|| Tx  Ty |||| x  y || với mọi x , y  C .
Định nghĩa 1.2 (Aoyama & Kohsaka, 2011, Definition 2.2). Cho H là không gian Hilbert thực, C là
tập con khác rỗng trong H , số thực   1 và T : C  C là ánh xạ. Khi đó, T được gọi là ánh xạ
 - không giãn nếu
|| Tx  Ty ||2   || Tx  y ||2  || Ty  x ||2 (1  2) || x  y ||2 với mọi x , y  C .
Định nghĩa 1.3 (Zhang, Su & Cheng, 2014, Definition 2.1). Cho H là không gian Hilbert thực, C là

tập con khác rỗng trong H và Tn : C  C là các ánh xạ thỏa mãn F   F (Tn )  . Khi đó, họ
n 1
{Tn } được gọi là đóng đều nếu với {x n } là dãy trong C sao cho lim x n  x và
n 
lim ||x n  Tn x n ||=0 thì x  F .
n 
Lưu ý rằng mỗi ánh xạ không giãn là một ánh xạ 0 - không giãn. Ví dụ sau chứng tỏ rằng tồn tại ánh xạ là
 - không giãn nhưng không là ánh xạ không giãn.
Ví dụ 1.4. Cho  là không gian định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối, C  [0; 4] là tập con của  và

0 neáu x  4 1
ánh xạ T : C  C được xác định bởi Tx  
 với   [1;2]. Khi đó, T là ánh xạ -

 neáu x  4
 4
không giãn nhưng T không là ánh xạ không giãn. Thật vậy, với x , y  C ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. x  4 và y  4. Ta có
48
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
|| Tx  Ty ||2  0, || Tx  y ||2  (  4)2 , || Ty  x ||2  (  4)2 , || x  y ||2  0.
1 1 1
Khi đó, || Tx  Ty ||2  || Tx  y ||2  || Ty  x ||2 [1  2( )] || x  y ||2 .
4 4 4
Trường hợp 2. x  4 và y  4. Ta có
|| Tx  Ty ||2  0, || Tx  y ||2 | y |2 , || Ty  x ||2 | x |2 , || x  y ||2 | x  y |2 .
1 1 1
Khi đó, || Tx  Ty ||2  || Tx  y ||2  || Ty  x ||2 [1  2( )] || x  y ||2 .
4 4 4
Trường hợp 3. x  4 và y  4. Ta có
|| Tx  Ty ||2   2 , || Tx  y ||2 |   y |2 , || Ty  x ||2  16, || x  y ||2 | 4  y |2 .
1 1 1
Khi đó, || Tx  Ty ||2  || Tx  y ||2  || Ty  x ||2 [1  2( )] || x  y ||2 .
4 4 4
Trường hợp 4. x  4 và y  4. Ta có
|| Tx  Ty ||2   2 , || Tx  y ||2  16, || Ty  x ||2 |   x |2 , || x  y ||2 | x  4 |2 .
1 1 1
Khi đó, || Tx  Ty ||2  || Tx  y ||2  || Ty  x ||2 [1  2( )] || x  y ||2 .
4 4 4
1
Do đó, T là ánh xạ - không giãn.
4
Mặt khác, với x  4 và y  3.5, ta có || Tx  Ty ||   0.5 || x  y || . Do đó, T không là
ánh xạ không giãn.
Kí hiệu F (T )  {x  C : Tx  x } là tập hợp điểm bất động của ánh xạ T : C  C . Khi T là ánh
xạ  - không giãn, tập hợp F (T ) có tính chất sau:
Bổ đề 1.5 (Mongkolkeha, Cho & Kumam, 2014, Lemma 3.1). Cho H là không gian Hilbert thực, C là
tập con lồi, đóng, khác rỗng trong H và T : C  C là ánh xạ  - không giãn, {x n } là dãy trong
C sao cho {x n } hội tụ yếu đến x và lim || x n  Tx n || 0. Khi đó, x  F (T ).
n 
Bổ đề 1.6 (Mongkolkeha & cs., 2014, Lemma 3.2). Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng trong H và T : C  C là ánh xạ  - không giãn sao cho F (T )  . Khi đó,
F (T ) là tập lồi và đóng.
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một số đẳng thức và phép chiếu trong không gian Hilbert thực.
Bổ đề 1.7 (Matinez-Yanes & Xu, 2006, Lemma 1.1). Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó, với
mọi u, v  H và   [0,1], ta có
2 2 2 2 2
(1) ||u  v ||  ||u || ||v || 2 u, v  ||u || ||v || 2 u  v, v .
2 2 2 2
(2) ||u  (1  )v ||  ||u || (1  )||v || (1  )||u  v || .
49
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
Bổ đề 1.8 (Matinez-Yanes & Xu, 2006, p. 2403). Cho H là không gian Hilbert thực và C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng trong H . Khi đó, với mỗi x  H , tồn tại duy nhất phần tử PC x  C sao cho
||x  PC x||  inf{||x  y|| : y  C }. Ta gọi ánh xạ PC là phép chiếu từ H lên C .
Bổ đề 1.9 (Matinez-Yanes & Xu, 2006, Lemma 1.4). Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một
tập con lồi, đóng, khác rỗng trong H . Khi đó, z  PC x nếu và chỉ nếu x  z , z  y  0 với
mọi y  C .
2. NỘI DUNG hai họ ánh xạ  - không giãn trong không gian
Trước hết, bằng cách thay hai ánh xạ không giãn Hilbert.
Định lý 2.1. Cho H là không gian Hilbert thực,
T , S bởi hai họ ánh xạ  - không giãn {Tn },
C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và
{Sn } và bớt tập Qn trong dãy lặp của (Dong & Tn , Sn : C  C là các ánh xạ  - không giãn
cs., 2015, Theorem 4.1), chúng tôi giới thiệu một 
dãy lặp hỗn hợp tổng quát cho hai họ ánh xạ  - sao cho F   (F (T )  F (S ))  . Lấy
n 1
n n
không giãn. Để ý rằng dãy giải lặp này cải tiến so
với dãy lặp của Dong và cs. (2015) về mặt tính x 0  H , C 1  C , x 1  PC x 0 và xét dãy
1
toán vì có ít điều kiện ràng buộc hơn. Định lý sau
thiết lập sự hội tụ của dãy lặp được giới thiệu cho {x n } trong C xác định bởi

yn  n x n  (1  n )Tn x n



z n  n [nyn  (1  n )x n ]  (1  n )Sn yn



C n 1  {z  C n :  || z n  z ||2 (1  ) || yn  z ||2 || x n  z ||2 }


x  PC x 0,

 n 1 n 1
với {n }, {n } và {n }  [0,1], n , n  1   với   (0,1] và   (0,1). Khi đó, {x n } hội
tụ đến PF x 0 .
Chứng minh. Ta chứng minh theo 6 bước sau.
*
Bước 1. Chứng minh C n là tập lồi và đóng với mọi n   .
Trước hết, bằng cách sử dụng Bổ đề 1.7 (1), ta được
C n 1 ={z  C n :  || z n  z ||2 (1  ) || yn  z ||2 || x n  z ||2 }
 {z  C n : (|| z n ||2  || z ||2 2 z n , z )
 (1  )(|| yn ||2  || z ||2 2 yn , z || x n ||2  || z ||2 2 x n , z }
 {z  C n :  || z n ||2 (1   ) || yn ||2  || x n ||2 2 z n  (1  )yn  x n , z  0}.
Tiếp theo, ta chứng minh C n là tập lồi với mọi n    bằng phép chứng minh quy nạp. Với
n  1, ta có C 1  C là tập lồi. Giả sử rằng C n là tập lồi với mọi n    . Ta chứng minh C n 1 là
50
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
tập lồi. Lấy u, v  C n 1. Ta chứng minh tu  (1  t )v  C n 1 với   [0,1]. Thật vậy, do
u, v  C n 1 nên u, v  C n và
 || z n ||2 (1  ) || yn ||2  || x n ||2 2 zn  (1  )yn  x n , u  0,
 || zn ||2 (1  ) || yn ||2  || x n ||2 2 zn  (1  )yn  x n , v  0.
Do C n là tập lồi và u, v  C n nên tu  (1  t )v  C n . Mặt khác, ta cũng có
t( || zn ||2 (1  ) || yn ||2  || x n ||2 2 zn  (1  )yn  x n , u )  0,
(1  t )( || zn ||2 (1  ) || yn ||2  || x n ||2 2 zn  (1  )yn  x n , v )  0. (2.1)
Khi đó, cộng hai vế của hai bất đẳng thức trong (2.1), ta được
 || z n ||2 (1  ) || yn ||2  || x n ||2 2 zn  (1  )yn  x n , tu  (1  t )v  0.
Điều này có nghĩa là u  (1  )v  C n 1 hay C n 1 là tập lồi. Do đó, C n là tập lồi với mọi
n  .
Bây giờ, ta chứng minh C n là tập đóng với mọi n    bằng phép chứng minh quy nạp. Với
n  1, ta có C 1  C là tập đóng. Giả sử rằng C n là tập đóng với n   * . Ta chứng minh C n 1
cũng là tập đóng. Lấy {un(k) 1 }k là dãy trong C n 1 và {un(k) 1 }k hội tụ đến un(0)
1
. Ta chứng minh
un(0)1  C n 1. Do un(k) 1  C n 1 nên un(k) 1  C n và
 || zn ||2 (1  ) || yn ||2  || x n ||2 2 zn  (1  )yn  x n , un(k)1  0. (2.2)
Do C n là tập đóng và {un(k) 1 }k hội tụ đến un(0)
1
nên un(0)
1
 C n . Mặt khác, khi k   trong
2 2 2 (0)
(2.2), ta có  || z n || (1  ) || yn ||  || x n || 2 z n  (1  )yn  x n , un 1  0. Do đó,
un(0)1  C n 1. Vậy C n là tập đóng với mọi n    .
Bước 2. Chứng minh F  C n với mọi n   * .
Với n  1, ta có F  F (T1 )  C  C 1.
Giả sử rằng F  C n với n   * . Ta chứng minh F  C n 1. Thật vậy, với p  F , ta có
p  C n và
|| yn  p || n || x n  p || (1  n ) || Tn x n  p || .
(2.3)
Mặt khác, với mỗi n   * và Tn là ánh xạ  - không giãn nên
51
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
|| Tn x n  p ||2 || Tn x n  Tn p ||2
  || Tn x n  p ||2  || Tn p  x n ||2 (1  2) || x n  p ||2
  || Tn x n  p ||2 (1  ) || x n  p ||2 .
Do đó || Tn x n  p ||2 || x n  p ||2 hay || Tn x n  p |||| x n  p || . Kết hợp với (2.3), ta được
|| yn  p || n || x n  p || (1  n ) || x n  p || = || x n  p || . (2.4)
Ta lại có
|| zn  p || n [n || yn  p || (1  n ) || x n  p || ]  (1  n ) || Snyn  p ||
 n [n || x n  p || (1  n ) || x n  p || ]  (1  n ) || Snyn  p ||
 n || x n  p || (1  n ) || Snyn  p || . (2.5)
Do Sn là ánh xạ  - không giãn nên
|| S n yn  p ||2 || Sn yn  S n p ||2
  || Sn yn  p ||2  || S n p  yn ||2 (1  2) || yn  p ||2
  || S n yn  p ||2 (1  ) || yn  p ||2 .
Do đó || S n yn  p ||2 || yn  p ||2 hay || Sn yn  p |||| yn  p || . Kết hợp (2.4) và (2.5), ta nhận
được
|| zn  p || n || x n  p || (1  n ) || yn  p ||
 n || x n  p || (1  n ) || x n  p ||
|| x n  p || . (2.6)
Kết hợp (2.4) và (2.6) ta được  || z n  p ||2 (1  ) || yn  p ||2 || x n  p ||2 . Suy ra
p  C n 1. Vậy F  C n với mọi n  * .
Bước 3. Chứng minh {x n } hội tụ.

Theo Bổ đề 1.6 và giả thiết F   (F (T )  F (S ))  , ta có F là tập con lồi, đóng và
n 1
n n
khác rỗng của C . Áp dụng Bổ đề 1.8, tồn tại duy nhất phần tử q  F sao cho q  PF x 0 . Với mọi
n  , do x n 1  PC x 0 nên
n 1
||x n 1  x 0 ||  ||z  x 0 || với mọi z  C n 1. (2.7)
Khi đó, do q  F  C n 1 nên từ (2.7) ta có ||x n 1  x 0 ||  ||q  x 0|| hay {||x n  x 0||} bị chặn.
Vì x n  PC x 0 nên
n
52
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
||x n  x 0 ||  ||z  x 0 || với mọi z  C n 1. (2.8)
Do C n 1  C n nên x n 1  PC x 0  C n 1  C n . Do đó, ta được ||x n  x 0||  ||xn 1  x 0||
n 1
hay {||x n  x 0||} là dãy đơn điệu tăng. Kết hợp điều này với {||x n  x 0||} là dãy bị chặn,
ta suy ra tồn tại giới hạn của {||x n  x 0||}. Đặt
lim ||x n  x 0 ||  . (2.9)
n 
Với mọi m  n ta có C m  C n . Vì x n 1  PC x 0 nên theo Bổ đề 1.9, ta có
n 1
z  x n 1, x n 1  x 0  0 với z  C n 1 . Do x m 1  PC x 0  C m 1  C n 1 nên ta có
m 1
x m 1  x n 1, x n 1  x 0  0. Khi đó, theo Bổ đề 1.7 (2), ta có
||x m 1  x n 1||2  ||x m 1  x 0  (x n 1  x 0 )||2
 ||x m 1  x 0||2 ||x n 1  x 0 ||2  2 x m 1  x n 1, x n 1  x 0
 ||x m 1  x 0 ||2 ||x n 1  x 0 ||2 . (2.10)
Từ (2.9) và (2.10) ta có
lim ||x m 1  x n 1||  0. (2.11)
m ,n 
Do đó, {x n } là dãy Cauchy trong C . Mặt khác, do C là tập đóng trong không gian Hilbert thực H nên
C có tính đầy đủ. Khi đó, tồn tại p  C sao cho
lim x n  p. (2.12)
n 
Bước 4. Chứng minh lim || z n  yn || 0, lim || z n  x n || 0 và lim ||yn  x n ||=0.
n  n  n 
Vì x n 1  PC x 0 nên x n 1  C n 1. Do đó
n 1
 || z n  x n 1 ||2 (1  ) || yn  x n 1 ||2 || x n  x n 1 ||2 .
Kết hợp điều này với (2.11) và   (0,1), ta có
lim ||zn  x n 1||=0 và lim ||yn  x n 1||=0. (2.13)
n  n 
Ta lại có || z n  yn |||| z n  x n 1 ||  || x n 1  yn || . Do đó, từ (2.13), ta được
lim || z n  yn || 0. (2.14)
n 
Mặt khác || z n  x n |||| z n  x n 1 ||  || x n 1  x n || . Kết hợp (2.11) và (2.13), ta được
53
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
lim || z n  x n || 0. (2.15)
n 
Ta cũng có || yn  x n |||| yn  x n 1 ||  || x n 1  x n || . Kết hợp (2.11) và (2.13), ta được
lim || yn  x n || 0. (2.16)
n 
Bước 5. Chứng minh p  F .
Ta có yn  n x n  (1  n )Tn x n  (1  n )(Tn x n  x n )  x n và   (0,1]. Điều này
dẫn đến (1  n )(Tn x n  x n )  yn  x n . Suy ra
1 1
|| Tn x n  x n || || yn  x n || || yn  x n || .
1  n 
Áp dụng (2.16), ta được lim || Tn x n  x n || 0. Kết hợp điều này với (2.12) và giả thiết {Tn } là họ
n 

các ánh xạ đóng đều, ta suy ra p   F (T ).
n 1
n
Tiếp theo, ta cũng có
z n  n [nyn  (1  n )x n ]  (1  n )Snyn
 n [nyn  n z n  (1  n )x n +n z n  z n ]+n z n  (1  n )Snyn
 n [n (yn  z n )  (1  n )(x n  z n )]+n z n  (1  n )Snyn .
Điều này dẫn đến (1  n )(Snyn  zn )  n [n (yn  z )n  (1  n )(xn  zn )]. Suy ra
n
|| Sn yn  z n || || n (yn  z n )  (1  n )(x n  z n ) ||
1  n
1
 ( || yn  z n || (1  n ) || x n  z n ||)
1  n n
1
 (n || yn  z n || (1  n ) || x n  z n ||).

Kết hợp với (2.14) và (2.15), ta được lim || Sn yn  z n || 0. Mặt khác
n 
|| Snyn  yn |||| Snyn  z n ||  || z n  yn || . Do đó
lim || Snyn  yn || 0. (2.17)
n 
Ta lại có || yn  p |||| yn  x n ||  || x n  p || . Áp dụng (2.12) và (2.16), ta được
lim || yn  p || 0 hay lim yn  p. Kết hợp điều này với (2.17) và giả thiết {Sn } là họ các ánh xạ
n  n 
 
đóng đều, ta suy ra p   F (Sn ). Vậy p  F   (F (Tn )  F (Sn )).
n 1 n 1
Bước 6. Chứng minh p  PF x 0 .
54
An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58
Do x n 1  PC x 0 nên theo Bổ đề 1.9, ta có z  x n 1, x n 1  x 0  0 với mọi z  C n 1.
n 1
Với mọi y  F  C n 1, ta có y  x n 1, x n 1  x 0  0. Cho n   ta được
y  p, p  x 0  0. Do đó, áp dụng Bổ đề 1.9, ta có p  PF x 0 . Suy ra {x n } hội tụ đến
p  PF x 0 .
Tiếp theo, bằng cách chọn Sn  S , Tn  T với mọi n   và sử dụng Bổ đề 1.5, từ Định lý 2.1 ta
*
nhận được hệ quả sau là sự mở rộng của (Dong & cs., 2015, Theorem 4.1) từ ánh xạ không giãn sang ánh
xạ  - không giãn.
Hệ quả 2.2. Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và
T , S : C  C là các ánh xạ  - không giãn sao cho F  F (T )  F (S )  . Lấy x 0  H ,
C 1  C , x 1  PC x 0 và xét dãy {x n } trong C xác định bởi
1

yn  n x n  (1  n )Tx n



z n  n [nyn  (1  n )x n ]  (1  n )Syn



C n 1  {z  C n :  || z n  z ||2 (1  ) || yn  z ||2 || x n  z ||2 }


x  PC x 0,

 n 1 n 1
với {n }, {n } và {n }  [0,1], n , n  1   với   (0,1] và   (0,1). Khi đó, {x n } hội
tụ đến PF x 0 .
Vì mỗi ánh xạ không giãn là một ánh xạ 0 - không giãn nên từ Định lý 2.1, ta nhận được kết quả sau.
Hệ quả 2.3. Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và

Tn , Sn : C  C là các ánh xạ không giãn sao cho F   (F (Tn )  F (Sn ))  . Lấy x 0  H ,
n 1
C 1  C , x 1  PC x 0 và xét dãy {x n } trong C xác định bởi
1

yn  n x n  (1  n )Tn x n



z n  n [nyn  (1  n )x n ]  (1  n )Sn yn



C n 1  {z  C n :  || z n  z ||2 (1  ) || yn  z ||2 || x n  z ||2 }


x  PC x 0,

 n 1 n 1
với {n }, {n } và {n }  [0,1], n , n  1   với   (0,1] và   (0,1). Khi đó, {x n } hội
tụ đến PF x 0 .
Nhận xét 2.4. Bằng cách chọn Sn  S , Tn  T với mọi n   , Hệ quả 2.3 ta nhận được (Dong &
*
cs., 2015, Theorem 4.1).
Tiếp theo, chúng tôi xây dựng một ví dụ minh họa cho sự hội tụ của dãy lặp trong Hệ quả 2.2.
Ví dụ 2.5. Cho H  , C  [0; 4], x 0  H . Xét dãy {x n } trong C xác định bởi
55