Luận án tiến sĩ một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến
- 66 trang
- file .pdf
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC
MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ
CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN
CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS . NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI
Thái Nguyên- 2010
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC
MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ
CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên- 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu.................................................................................................................1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................5
1.1. Miền xấp xỉ.....................................................................................5
1.2. Tập đa cực.......................................................................................9
1.3. Hàm cực trị tương đối.....................................................................9
1.4. Độ đo đa điều hoà dưới.................................................................10
1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách.................................................................11
1.6. Tính chất thác triển Hartogs..........................................................14
1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa
chỉnh hình......................................................................................15
Chương 2. Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách
biến.....................................................................................................................17
2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trường hợp
A D , B G ................................................................................17
2.2 Bài toán 1 trong trường hợp A D , B G .............................23
2.3. Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát..........................................36
2.4. Bài toán 2......................................................................................51
2.5. Một số áp dụng............................................................................ 55
Kết luận .............................................................................................................58
Tài liệu tham khảo............................................................................................59
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MỞ ĐẦU
Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh
vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein ...
Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề
trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài
toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Cho X ,Y là hai đa tạp phức, giả sử D ( tương ứng G )
là một tập con mở của X (tương ứng Y ), A (tương ứng B ) là một tập con
của D (tương ứng G ) và Z là không gian giải tích phức. Ta định nghĩa chữ
thập như sau: W : ((D È A ) B ) È (A (G È B )).
Bao chỉnh hình của chữ thậpW là một tập con mở ''tối ưu'' của
được đặc trưng bởi các tính chất sau:
X Y ký hiệu là W
Với mỗi ánh xạ f :W Z thoả mãn
f (a , ) Î C(G È B , Z ) Ç O (G , Z ), a Î A ,
f (,b) Î C(D È A , Z ) Ç O (D , Z ), b Î B ,
thì tồn tại một ánh xạ f Î O (W
,Z ) sao cho với mọi (z,h ) Î W , f (z , w ) dần tới
dần tới (z, h ) .
f (z , h ) khi (z ,w ) Î W
Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký
hiệu sau:
Cho X ,Y , D ,G , A , B và Z vàW như trong bài toán 1.Giả sử M W ,
tập hợp M a : w Î G : (a ,w ) Î M ,a Î A , được gọi là thớ thẳng đứng của M
trên a (tương ứng M b : z Î D : (z ,b) Î M ,b Î B , được gọi là thớ nằm ngang
của M trên b ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Ta nói rằng M có tính chất nào đó trong các thớ trên A (tương ứng B )
nếu tất cả các thớ thẳng đứng M a ,a Î A , (tương ứng tất cả các thớ nằm ngang
M b ,b Î B , ) có tính chất này.
là bao chỉnh hình của W được
Bài toán 2: Với giả thiết ở trên và ký hiệu W
đưa ra trong bài toán 1 .Với mỗi tập con M W đa cực địa phương đóng
tương đối(tương ứng mỏng) trong các thớ trên A và B (có thể M Æ) thì
W
là đa cực địa phương đóng
tồn tại một tập"tối ưu" các điểm kỳ dị M
tương đối (tương ứng là tập giải tích đóng tương đối) được đặc trưng bởi các
tính chất sau. Với mọi ánh xạ f :W Z thoả mãn
f (a , ) Î C((G È B ) \ M a ,Z ) Ç O (G \ M a ,Z ), a Î A,
f (,b) Î C((D È A ) \ M b ,Z ) Ç O (D \ M b ,Z ), bÎ B,
thì tồn tại ánh xạ f Î O (W ,Z ) sao cho với mọi (z,h) Î W \ M , f (z , w ) dần
\M
dần tới (z, h ) .
\M
tới f (z , h ) khi (z ,w ) Î W
Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết hai bài toán trên
trong một số trường hợp cụ thể. Kết quả chủ yếu đầu tiên của chỉnh hình tách
là định lý thác triển Hartogs đối với các hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải
quyết bài toán 1 trong trường hợp X n ,Y m , A D , B G , Z và
D G . Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết
kết quả là W
bài toán 1 trong trường hợp A D , B G , X Y , Z . Các bước
nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là
Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một
số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong
không gian giải tích phức (xem [33]).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Vào năm 2001 Alehyane và Zeriahi đã giải quyết bài toán 1 trong
trường hợp A D , B G và X ,Y là các đa tạp Stein, Z là không gian giải
được cho bởi
tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Bao chỉnh hình W
W
: (z , w ) Î D G ) : w
(z , A , D ) w
(w , B ,G ) < 1 ,
trong đó w (, B ,G ) là các hàm độ đo đa điều hoà dưới.
(, A , D ) và w
Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem
[24, 26]). Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra
một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ
thể là đối với bài toán 2. Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu
này.
Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung
quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp X ,Y là các đa tạp tuỳ ý.
Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các
đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane - Zeriehi. Ngoài ra, tác giả đã vận dụng
một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà
dưới, định lý chữ thập hỗn hợp.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những
chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận
và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập
đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ
chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một
số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý
Rosay trên các đĩa chỉnh hình.
Chƣơng 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến.
Chúng tôi trình bày các định lý là các trường hợp riêng và trường hợp
tổng quát của bài toán 1và bài toán 2.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo
T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất đối với cô.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học
sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em
trong suốt khoá học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình và
Tổ Toán đã hết sức quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên
khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này, ta giả thiết tất cả các đa tạp phức là hữu hạn
chiều và đếm được ở vô cực, tất cả các không gian giải tích phức được thu
gọn, bất khả quy và đếm được ở vô cực. Với một tập con S của không gian
tôpô M , ký hiệu S là bao đóng của S trong M . Với hai không gian giải
tích phức
(tương ứng, hai không gian tôpô) D và Z , O (D ,Z ) ( tương ứng C(D , Z ) ) là
ký hiệu tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ D vào Z .
1.1. Miền xấp xỉ
1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một đa tạp phức và D X là một tập con mở.
(Aa (z ))z D ,a I (I z với
Một hệ các miền xấp xỉ của D là một tập hợp A=
z
mọi z Î D ) các tập con mở của D có các tính chất sau:
(i) Với mọi z Î D , hệ (Aa (z ))a I z tạo nên một cơ sở các lân cận mở
của z (tức là với mỗi lân cận mở U của một điểm z Î D tồn tại a Î I z sao cho
z Î Aa (z ) U ).
(ii) Với mọi z Î D và a Î I z , z Î Aa (z ) .
Aa (z ) thường được gọi là một miền xấp xỉ tại z .
Hơn nữa A được gọi là chính tắc nếu nó thoả mãn (i) và tính chất
sau (mạnh hơn (ii)).
(ii') Với mọi điểm z Î D tồn tại một cơ sở gồm các lân cận mở
(U a )a I z của z trong X sao cho Aa (z ) U a Ç D , a Î I z .
Nhiều loại hệ của các miền xấp xỉ khác nhau thường gặp trong giải
tích phức sẽ được mô tả trong phần tiếp theo. Các hệ của các miền xấp xỉ của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
D được sử dụng để giải quyết vấn đề giới hạn tại các điểm trong D của các
ánh xạ xác định trên một số tập con mở của D . Hơn nữa từ định nghĩa 1.1.1
suy ra rằng trong một vài trường hợp đặc biệt họ con (Aa (z ))z D ,a I z không
phụ thuộc vào việc chọn hệ các miền xấp xỉ A . Vì vậy hai hệ chính tắc của
các miền xấp xỉ bất kỳ là tương đương, ta có quy ước như sau:
Với mỗi tập mở D X chúng ta cố định một hệ chính tắc của các
miền xấp xỉ. Khi đó muốn xác định một hệ các miền xấp xỉ A của một tập mở
D X ta chỉ cần chỉ rõ họ con (Aa (z ))z D ,a I z .
Nếu ta cố định một tập con mở D X và một hệ các miền xấp xỉ
(Aa (z ))z D ,a I của D thì với mỗi hàm u : D , định nghĩa
A=
z
(A limsup u )(z ) : sup limsup u (w ) , z Î D
a Iz ,wAa (z ), w z
Từ định nghĩa 1.1.1(i), (A limsup u ) |D trùng với khái niệm hàm
chính quy hoá nửa liên tục trên thông thường của u .
1.1. 2. Một số hệ các miền xấp xỉ
Có rất nhiều hệ các miền xấp xỉ có ứng dụng trong giải tích phức.
Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu một số các hệ đó.
1.1.2.1. Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ
Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ được đưa ra trong định nghĩa 1.1.1
(i)-(ii').
1.1.2.2. Hệ các miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở
Cho E là một đĩa đơn vị mở của . Đặt
z t
Aa (z ) : t Î E : arg < a , z Î E ,0 < a < ,
z 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Trong đó arg : C ( , ] là hàm argument thông thường.
(Aa (z )) là hệ các miền xấp xỉ góc( hoặc Stolz) của E . Trong trường
z E ,0< a <
2
hợp này A -giới hạn cũng được gọi là giới hạn góc.
1.1.2.3. Hệ các miền xấp xỉ góc của các tập con mở "tốt" của các diện
Riemann.
Chúng ta sẽ khái quát việc xây dựng (cho đĩa đơn vị mở) trong
trường hợp tổng quát. Đặc biệt hơn, chúng ta sẽ sử dụng mô hình có tính địa
phương hệ các miền xấp xỉ góc của E .
Cho X là một đa tạp phức của chiều 1( trong các phát biểu khác X là
diện Riemann) và D X là một tập mở, khi đó D được gọi là tốt tại một
điểm z Î D nếu tồn tại một miền Jordan U X sao cho z Î U và U Ç D
là phần trong của một cung Jordan.
Giả sử D được gọi là tốt tại z , điểm này được gọi là kiểu 1 nếu tồn
tại một lân cận V của z sao cho V 0 V Ç D là một miền Jordan. Nếu không
tồn tại lân cận V như vậy thì z được gọi là kiểu 2. Dễ dàng nhận thấy nếu z
là kiểu 2 thì tồn tại một lân cận mở V của z và hai miền Jordan rời nhau
V 1 ,V 2 sao cho V Ç D V 1 ÈV 2 . Hơn nữa D được gọi là tốt trên một tập con
A của D nếu D là tốt tại tất cả các điểm của A .
Sau đây là một ví dụ đơn giản mà có thể minh hoạ cho định nghĩa
trên. Cho G là hình vuông mở trong với các đỉnh là 1 i , 1 i , 1 i ,
1i . Định nghĩa miền
1 1
D : G \ ,
2 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
1 1
Khi đó D là tốt trên G È , , tất cả các điểm của G là
2 2
1 1
kiểu 1 và tất cả các điểm của , là kiểu 2.
2 2
Giả sử D là tốt trên một tập con khác rỗng A của D . Ta định nghĩa
hệ các miền xấp xỉ góc giá trên A : A (Aa (z )) z D ,a I như sau:
z
• Nếu z Î D \ A thì (Aa (z ))a I z trùng với các miền xấp xỉ chính tắc.
• Nếu z Î A thì bằng cách sử dụng ánh xạ bảo giác từ V 0 (tương
ứng V 1 ,V 2 ) tới E khi z là kiểu 1(tương ứng kiểu 2), ta có thể ''chuyển" các
miền xấp xỉ góc tại điểm (z ) Î E : (Aa ((z ))) tới điểm z Î D (xem
0< a <
2
[28]).
Bằng cách sử dụng các ánh xạ bảo giác theo con đường cổ điển ta có
thể chuyển nhiều khái niệm tồn tại trên E (tương ứng E ) tới D (tương ứng
D ).
1.1.2.4. Hệ các miền xấp xỉ nón
Cho D n là một miền và A D . Giả sử với mọi điểm z Î A thì
tồn tại không gian tiếp xúc (thực) Tz của D tại z . Ta định nghĩa hệ các miền
xấp xỉ nón giá trên A : A (Aa (z ))z D ,a I như sau:
z
• Nếu z Î D \ A thì (Aa (z ))a I z trùng với các miền xấp xỉ chính tắc.
• Nếu z Î A thì Aa (z ) : z Î D : z z < a .dist (z , Tz ) ,
trong đó I z : (1, ) và dist (z ,Tz ) là ký hiệu khoảng cách Euclid từ
điểm z tới Tz .
Ta có thể khái quát việc xây dựng hệ các miền xấp xỉ nón giá trên A
trong trường hợp tổng quát:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
X là một đa tạp phức tuỳ ý, D X là một tập mở và A D là một
tập con với tính chất: tại mọi điểm z Î A thì tồn tại không gian tiếp xúc (thực)
Tz của D .
Ta cũng có thể xây dựng các khái niệm các điểm kiểu 1 hoặc các
điểm kiểu 2 trong trường hợp tổng quát bằng cách tương tự như trong phần
1.1.2.3.
1.2. Tập đa cực
Cho X là một đa tạp phức, D X là một tập con mở, ký hiệu
P SH (D ) là tập của tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên D . Khi đó
+ A D được gọi là mỏng trong D nếu mọi điểm a Î D , tồn tại lân
cận liên thông U U a D và một hàm chỉnh hình f trên D không đồng nhất
bằng không sao cho U Ç A f 1 (0) .
+ A D được gọi là đa cực trong D nếu có u Î P SH (D ) sao cho
u không đồng nhất bằng trên mọi thành phần liên thông của D và
A z Î D : u (z ) .
+ A D được gọi là đa cực địa phương trong D nếu với mỗi z Î A
có một lân cận mở V D của z sao cho A ÇV là đa cực trong V .
+ A được gọi là không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương)
nếu nó không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương).
Theo một kết quả cổ điển của Josefson và Bedford (xem [20] và [4])
ta thấy nếu D là một miền Riemann- Stein thì A D là đa cực địa phương
nếu và chỉ nếu nó là đa cực.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
Với một tập A D đặt
hA ,D : supu : u Î P SH (D ),u 1 trong D , A - limsupu 0 trong A,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Định nghĩa 1.3.1. Với một tập A D hàm cực trị tương đối của A đối với
D là hàm w(, A , D ) được xác định bởi
w(z , A , D ) wA (z , A , D ) : (A limsup hA ,D )(z ), z Î D .
Chú ý rằng khi A D định nghĩa trên trùng với định nghĩa cổ điển về
hàm cực trị tương đối của Siciak. Khi D là đa tạp phức 1 chiều và A là hệ
chính tắc thì hàm w(, A , D ) thường được gọi là hàm độ đo điều hoà của A
tương đối với D .
Định nghĩa 1.3.2.
+ Một tập A D là đa chính quy địa phương tại một điểm a Î A
nếu w(a , A ÇU , D ÇU ) 0 với mọi lân cận mở U của a .
+ Tập A được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó là đa chính quy
địa phương tại mọi điểm a Î A .
Ta ký hiệu A là tập hợp sau
(A Ç D ) È a Î A Ç D : A là đa chính quy địa phương tại a .
Nếu A D không đa cực địa phương thì một kết quả cổ điển của
Bedford và Taylor (xem [4], [5]) chỉ ra rằng A là đa chính quy địa phương
và A \ A là đa cực địa phương. Hơn nữa A là địa phương kiểu G ( nghĩa là
với mỗi a Î A có một lân cận mở U D của a thoả mãn A ÇU là giao
đếm được của các tập mở ).
1.4. Độ đo đa điều hoà dƣới
Với một tập A D , đặt A A (A ) P trong đó
P (A )
(A ) (A , A ) : {P D : là đa chính quy địa phương, P A } ,
(, A , D ) được
Hàm độ đo đa điều hoà dưới của A đối với D là hàm w
định nghĩa bởi :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
w , D ), z Î D .
(z , A , D ) : w(z , A
Suy ra w (z , A , D ) 1, z Î D . Hơn nữa
(, A , D ) Î P SH (D ) và 0 w
(A limsup .
w(, A , D ))(z ) 0, z Î A (1.1)
Alehyane và Zeriahi đã đưa ra phản ví dụ chứng tỏ rằng (xem [3])
w , D ) trên D .
(z , A , D ) w(z , A
(, A , D ) với hàm cực trị
Ta sẽ so sánh hàm độ đo đa điều hoà dưới w
tương đối của Siciak w(, A , D ) trong hai trường hợp đặc biệt quan trọng:
A D và A D , trong phần này ta chỉ thảo luận trường hợp A D còn
trường hợp A D sẽ thảo luận ở phần 2.2 và 2.5.
Nếu A là một tập con mở của một đa tạp phức tuỳ ý D , thì dễ thấy
(z , A , D ) w(z , A , D ), z Î D .
w
Nếu A là một tập con (không nhất thiết là mở) của một đa tạp phức
tuỳ ý D thì ta chứng minh được rằng (xem bổ đề 7.1 trong [22])
(z , A , D ) w(z , A , D ), z Î D .
w
Mặt khác nếu D là một tập con mở bị chặn của n thì ta có (xem ví
dụ, bổ đề 3.5.3 trong [13])
w(z , A , D ) w(z , A , D ), z D .
Từ đó dưới giả thiết
(z , A , D ) w(z , A , D ), z Î D
w
chúng ta có thể kết luận ít nhất trong trường hợp A D khái niệm độ đo đa
điều hoà dưới là công cụ tốt với hàm cực trị tương đối Siciak tổng quát đối với
các đa tạp phức trong lý thuyết chỉnh hình tách.
1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách
1.5.1. Chữ thập 2- lá
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Cho X ,Y là hai đa tạp phức, D X và G Y là các tập mở khác
rỗng, cho A D , B G . Hơn nữa D (tương ứngG ) được trang bị một hệ các
miền xấp xỉ A (D ) (Aa (z ))z D ,a I (tương ứng A (G ) (Aa (h))hG ,a I ). Ta định
z h
(tương ứng với
nghĩa chữ thập 2- lá W , phần trong W o và phần chính quyW
A (D ) và A (G ) ) như sau:
W X(A , B ; D ,G ) : ((D È A ) B ) È (A (B È G )),
W o X o (A , B ; D ,G ) : (A G ) È (D B ),
X
W (A , B ; D ,G ) : ((D È A ) B ) È (A (G È B )),
trong đó A và B được định nghĩa trong định nghĩa độ đo đa điều hoà dưới.
Hơn nữa đặt
w(z , w ) : w(z , A , D ) w(w , B ,G ), (z , w ) Î D G ,
w (z , A , D ) w
(z , w ) : w (w , B ,G ), (z , w ) Î D G .
với chữ thập 2-lá W : X(A , B ;D ,G ) định nghĩa
W (A , B ; D ,G ) (z , w ) Î D G : w(z , w ) < 1 ,
: X
: X
W (A
,B
; D ,G ) (z , w ) Î D G : w
(z , w ) < 1 .
1.5.2. Ánh xạ chỉnh hình tách
Cho Z là không gian giải tích phức và M W là một tập con đóng
tương đối trong các thớ trên A và B .
Ta nói rằng một ánh xạ f : W 0 \ M Z là chỉnh hình tách và viết
là f Î OS (W 0 \ M ,Z ) nếu với mỗi a Î A ( tương ứng b Î B ) ánh xạ f (a , ) |G \ Ma
(tương ứng f (,b) | D \ M b ) là chỉnh hình.
Ánh xạ f : W \ M Z là liên tục tách và viết là
f Î Cs (W \ M ,Z ) nếu với mỗi a Î A (tương ứng b Î B ) ánh xạ f (a , ) |(GÈB ) \ Ma
(tương ứng f (,b) |( DÈ A) \ M b ) là liên tục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
Cho W là một tập con mở của D G , một điểm (z , h) Î D G được
A (D ) A (G ) nếu với
gọi là một điểm cuối của W tương ứng với A=
mỗi (a , b ) Î I z I h tồn tại các lân cận mở U của z trong X và V của h trong
Y sao cho
(U Ç Aa (z )) (V Ç Ab (h)) W
Tập tất cả các điểm cuối của W ký hiệu là End( W).
End(W
).
Từ (1.1) ta suy ra nếu A , B
thì W
1.5.3. A - giới hạn
Cho S là một tập con đóng tương đối của W và
\ S Z được gọi là nhận A -
\ S ) . Khi đó một ánh xạ f : W
(z , h) Î End(W
giới hạn l tại (z , h ) và ký hiệu là
(A lim f )(z , h) l ,
nếu với mọi a Î Iz , b Î I h , ta có
lim f (z ,w) l .
\ S (z ,w )(z ,h ), z A (z ),wA ( h )
W
Cho M là một không gian tô pô
+ Một ánh xạ f : M Z được gọi là bị chặn nếu tồn tại một lân
cận mở U của f (M ) trong Z và một phép nhúng chỉnh hình f của U
trong đa đĩa đơn vị của k sao cho (U ) là tập giải tích trong đa đĩa này.
+ f được gọi là bị chặn địa phương dọc theo N M nếu với mỗi
điểm z Î N có một lân cận mở U của z ( trong M ) thoả mãn f |U : U Z bị
chặn.
M . Hiển
+ f được gọi là bị chặn địa phương nếu nó bị chặn với N=
nhiên nếu Z thì các khái niệm bị chặn ở trên trùng với khái niệm bị chặn
thông thường.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
1.6. Tính chất thác triển Hartogs
Xét ánh xạ f : 2 P 1 được cho bởi
[(z w ) 2 : (z w ) 2 ], (z , w ) (0, 0),
f (z , w ) :
[1:1], (z ,w ) (0, 0).
thì f Î Os (X0 ( , ; , ), P1 ) nhưng f không liên tục tại (0,0).
Định nghĩa 1.6.1. Cho số nguyên p 2 , với 0 < r < 1 tập hợp
H p (r ) : (z ¢, z p ) Î E p : ½½ z p ½> 1 r ,
z ¢½½< r hoặc ½
được gọi là lược đồ Hartogs p chiều.
Trong đó E là đĩa đơn vị mở của và z (z 1 ,..., z p 1 ), ½½
z ½½: max z j .
¢ ¢
1 j p 1
Định nghĩa 1.6.2. Không gian giải tích phức Z được gọi là có tính chất thác
triển Hartogs với chiều p nếu mọi ánh xạ f Î O (H p (r ),Z ) đều thác triển tới
ánh xạ f Î O (E p , Z ) . Hơn nữa, Z được gọi là có tính chất thác triển Hartogs
nếu nó có tính chất thác triển Hartogs với mọi chiều p 2 .
Ivashkovich đã chứng minh được nếu Z có tính chất thác triển
Hartogs trong chiều 2 thì nó sẽ đúng với mọi chiều p 2 (xem[12]).
Shiffman (xem [33]) đã chứng minh được một đặc trưng quan trọng
của không gian có tính chất thác triển Hartogs như sau:
Định lý 1.6.3 (Shiffman).
Không gian giải tích phức Z có tính chất thác triển Hartogs nếu và
chỉ nếu với mọi miền D của đa tạp Stein M , mọi ánh xạ f Î O (D ,Z ) đều
thác triển được thành ánh xạ f Î O (D
, Z ) , trong đó D
là bao chỉnh hình
của D .
Alehyane và Zeriahi đã giải quyết được bài toán 1 trong trường hợp
A D , B G và X ,Y là các đa tạp Stein, Z là không gian giải tích phức có
tính chất thác triển Hartogs. Cụ thể ta có định lý sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Định lý 1.6.4 (Alehyane - Zeriahi ).
Cho X ,Y là các đa tạp Stein, và D X ,G Y là các miền,
A D , B G là các tập con không đa cực. Cho Z là không gian giải tích
phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ f :W Z như
trong giả thiết của bài toán 1 thì tồn tại một ánh xạ duy nhất f Î O (W
,Z )
sao cho f f trên W ÇW
.
Định lý 1.6.4 vẫn đúng với chữ thập N- lá ( N 2 ).
Sau đó Gonchar đã chứng minh được một kết quả tổng quát hơn các
kết quả trước đó của bài toán 1, đó là: D và G là các miền Jordan trong ,
A ( tương ứng B ) là một tập con mở của D (tương ứng G ), và Z . Ta
có định lý.
Định lý 1.6.5( Gonchar).
Cho X Y , và D X ,G Y là các miền Jordan, và A ( tương
ứng B ) là một tập mở khác rỗng của D (tương ứng G) . Khi đó với mỗi
hàm f Î C(W , ) thoả mãn giả thiết của bài toán 1 với Z thì tồn tại một
hàm duy nhất f Î C(W
ÈW , ) Ç O (W
, ) sao cho f f trên W . Trong đó
: (z ,w ) Î D G : w(z , A , D ) w(w , B ,G ) < 1,
W
và w(, A , D ) và w(, B ,G ) là các hàm độ đo điều hoà.
1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình.
Lý thuyết Poletsky về các đĩa được phát minh bởi Poletsky (xem
[30,31]) vào cuối những năm 1980. Nguyễn Việt Anh đã đưa ra một cách tiếp
cận mới tới lý thuyết chỉnh hình tách dựa trên lý thuyết Poletsky về các đĩa.
Chúng tôi sẽ trình bày lại một số nội dung trong lý thuyết này.
Ký hiệu E là đĩa đơn vị mở trong . Với một đa tạp phức M , ký
hiệu O (E , M ) là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình f : E M có tính chất
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
thác triển chỉnh hình trong một lân cận cuả E . Ánh xạ f như vậy được gọi là
đĩa chỉnh hình trên M . Hơn nữa, với một tập con A của M , đặt
1, z Î A,
1A,M (z ) :
0, z Î M \ A.
Rosay đã chứng minh được một kết quả đáng chú ý sau
Định lý 1.7.1( Định ký Rosay [32]).
Giả sử u là một hàm nửa liên tục trên trên đa tạp phức M . Khi đó
phiếm hàm Poisson của u định nghĩa bởi
1 2
i
P [u ](z ) : inf u (f ( e )) d : f Î O (E , M ), f (0) z ,
2 0
là đa điều hoà dưới trên M .
Định lý của Rosay mở ra một sự phát triển quan trọng trong lý thuyết
Poletsky về các đĩa. Các trường hợp đặc biệt của định lý đã được xét đến
trong các công trình nghiên cứu của Poletsky, La'ransson-Sigurdsson và
Edigarian.
Bổ đề 1.7.2.
Nếu T là một tập con mở của E , thì
2
1
w(0,T Ç E , E )
2 0
1E \T ,T (ei )d .
Kết quả sau đây là một hệ quả quan trọng của định lý Rosay nêu lên
mối liên hệ giữa phiếm hàm Poisson và độ đo đa điều hoà dưới.
Bổ đề 1.7.3.
Nếu M là một đa tạp phức và A là một tập con mở khác rỗng của
M khi đó
w(z , A , M ) P [1M \ A ,M ](z ), z Î M ..
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC
MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ
CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN
CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS . NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI
Thái Nguyên- 2010
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC
MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ
CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên- 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu.................................................................................................................1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................5
1.1. Miền xấp xỉ.....................................................................................5
1.2. Tập đa cực.......................................................................................9
1.3. Hàm cực trị tương đối.....................................................................9
1.4. Độ đo đa điều hoà dưới.................................................................10
1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách.................................................................11
1.6. Tính chất thác triển Hartogs..........................................................14
1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa
chỉnh hình......................................................................................15
Chương 2. Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách
biến.....................................................................................................................17
2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trường hợp
A D , B G ................................................................................17
2.2 Bài toán 1 trong trường hợp A D , B G .............................23
2.3. Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát..........................................36
2.4. Bài toán 2......................................................................................51
2.5. Một số áp dụng............................................................................ 55
Kết luận .............................................................................................................58
Tài liệu tham khảo............................................................................................59
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MỞ ĐẦU
Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh
vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein ...
Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề
trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài
toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Cho X ,Y là hai đa tạp phức, giả sử D ( tương ứng G )
là một tập con mở của X (tương ứng Y ), A (tương ứng B ) là một tập con
của D (tương ứng G ) và Z là không gian giải tích phức. Ta định nghĩa chữ
thập như sau: W : ((D È A ) B ) È (A (G È B )).
Bao chỉnh hình của chữ thậpW là một tập con mở ''tối ưu'' của
được đặc trưng bởi các tính chất sau:
X Y ký hiệu là W
Với mỗi ánh xạ f :W Z thoả mãn
f (a , ) Î C(G È B , Z ) Ç O (G , Z ), a Î A ,
f (,b) Î C(D È A , Z ) Ç O (D , Z ), b Î B ,
thì tồn tại một ánh xạ f Î O (W
,Z ) sao cho với mọi (z,h ) Î W , f (z , w ) dần tới
dần tới (z, h ) .
f (z , h ) khi (z ,w ) Î W
Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký
hiệu sau:
Cho X ,Y , D ,G , A , B và Z vàW như trong bài toán 1.Giả sử M W ,
tập hợp M a : w Î G : (a ,w ) Î M ,a Î A , được gọi là thớ thẳng đứng của M
trên a (tương ứng M b : z Î D : (z ,b) Î M ,b Î B , được gọi là thớ nằm ngang
của M trên b ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Ta nói rằng M có tính chất nào đó trong các thớ trên A (tương ứng B )
nếu tất cả các thớ thẳng đứng M a ,a Î A , (tương ứng tất cả các thớ nằm ngang
M b ,b Î B , ) có tính chất này.
là bao chỉnh hình của W được
Bài toán 2: Với giả thiết ở trên và ký hiệu W
đưa ra trong bài toán 1 .Với mỗi tập con M W đa cực địa phương đóng
tương đối(tương ứng mỏng) trong các thớ trên A và B (có thể M Æ) thì
W
là đa cực địa phương đóng
tồn tại một tập"tối ưu" các điểm kỳ dị M
tương đối (tương ứng là tập giải tích đóng tương đối) được đặc trưng bởi các
tính chất sau. Với mọi ánh xạ f :W Z thoả mãn
f (a , ) Î C((G È B ) \ M a ,Z ) Ç O (G \ M a ,Z ), a Î A,
f (,b) Î C((D È A ) \ M b ,Z ) Ç O (D \ M b ,Z ), bÎ B,
thì tồn tại ánh xạ f Î O (W ,Z ) sao cho với mọi (z,h) Î W \ M , f (z , w ) dần
\M
dần tới (z, h ) .
\M
tới f (z , h ) khi (z ,w ) Î W
Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết hai bài toán trên
trong một số trường hợp cụ thể. Kết quả chủ yếu đầu tiên của chỉnh hình tách
là định lý thác triển Hartogs đối với các hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải
quyết bài toán 1 trong trường hợp X n ,Y m , A D , B G , Z và
D G . Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết
kết quả là W
bài toán 1 trong trường hợp A D , B G , X Y , Z . Các bước
nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là
Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một
số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong
không gian giải tích phức (xem [33]).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Vào năm 2001 Alehyane và Zeriahi đã giải quyết bài toán 1 trong
trường hợp A D , B G và X ,Y là các đa tạp Stein, Z là không gian giải
được cho bởi
tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Bao chỉnh hình W
W
: (z , w ) Î D G ) : w
(z , A , D ) w
(w , B ,G ) < 1 ,
trong đó w (, B ,G ) là các hàm độ đo đa điều hoà dưới.
(, A , D ) và w
Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem
[24, 26]). Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra
một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ
thể là đối với bài toán 2. Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu
này.
Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung
quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp X ,Y là các đa tạp tuỳ ý.
Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các
đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane - Zeriehi. Ngoài ra, tác giả đã vận dụng
một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà
dưới, định lý chữ thập hỗn hợp.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những
chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận
và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập
đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ
chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một
số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý
Rosay trên các đĩa chỉnh hình.
Chƣơng 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình
tách biến.
Chúng tôi trình bày các định lý là các trường hợp riêng và trường hợp
tổng quát của bài toán 1và bài toán 2.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo
T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất đối với cô.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học
sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em
trong suốt khoá học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình và
Tổ Toán đã hết sức quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên
khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này, ta giả thiết tất cả các đa tạp phức là hữu hạn
chiều và đếm được ở vô cực, tất cả các không gian giải tích phức được thu
gọn, bất khả quy và đếm được ở vô cực. Với một tập con S của không gian
tôpô M , ký hiệu S là bao đóng của S trong M . Với hai không gian giải
tích phức
(tương ứng, hai không gian tôpô) D và Z , O (D ,Z ) ( tương ứng C(D , Z ) ) là
ký hiệu tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ D vào Z .
1.1. Miền xấp xỉ
1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một đa tạp phức và D X là một tập con mở.
(Aa (z ))z D ,a I (I z với
Một hệ các miền xấp xỉ của D là một tập hợp A=
z
mọi z Î D ) các tập con mở của D có các tính chất sau:
(i) Với mọi z Î D , hệ (Aa (z ))a I z tạo nên một cơ sở các lân cận mở
của z (tức là với mỗi lân cận mở U của một điểm z Î D tồn tại a Î I z sao cho
z Î Aa (z ) U ).
(ii) Với mọi z Î D và a Î I z , z Î Aa (z ) .
Aa (z ) thường được gọi là một miền xấp xỉ tại z .
Hơn nữa A được gọi là chính tắc nếu nó thoả mãn (i) và tính chất
sau (mạnh hơn (ii)).
(ii') Với mọi điểm z Î D tồn tại một cơ sở gồm các lân cận mở
(U a )a I z của z trong X sao cho Aa (z ) U a Ç D , a Î I z .
Nhiều loại hệ của các miền xấp xỉ khác nhau thường gặp trong giải
tích phức sẽ được mô tả trong phần tiếp theo. Các hệ của các miền xấp xỉ của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
D được sử dụng để giải quyết vấn đề giới hạn tại các điểm trong D của các
ánh xạ xác định trên một số tập con mở của D . Hơn nữa từ định nghĩa 1.1.1
suy ra rằng trong một vài trường hợp đặc biệt họ con (Aa (z ))z D ,a I z không
phụ thuộc vào việc chọn hệ các miền xấp xỉ A . Vì vậy hai hệ chính tắc của
các miền xấp xỉ bất kỳ là tương đương, ta có quy ước như sau:
Với mỗi tập mở D X chúng ta cố định một hệ chính tắc của các
miền xấp xỉ. Khi đó muốn xác định một hệ các miền xấp xỉ A của một tập mở
D X ta chỉ cần chỉ rõ họ con (Aa (z ))z D ,a I z .
Nếu ta cố định một tập con mở D X và một hệ các miền xấp xỉ
(Aa (z ))z D ,a I của D thì với mỗi hàm u : D , định nghĩa
A=
z
(A limsup u )(z ) : sup limsup u (w ) , z Î D
a Iz ,wAa (z ), w z
Từ định nghĩa 1.1.1(i), (A limsup u ) |D trùng với khái niệm hàm
chính quy hoá nửa liên tục trên thông thường của u .
1.1. 2. Một số hệ các miền xấp xỉ
Có rất nhiều hệ các miền xấp xỉ có ứng dụng trong giải tích phức.
Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu một số các hệ đó.
1.1.2.1. Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ
Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ được đưa ra trong định nghĩa 1.1.1
(i)-(ii').
1.1.2.2. Hệ các miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở
Cho E là một đĩa đơn vị mở của . Đặt
z t
Aa (z ) : t Î E : arg < a , z Î E ,0 < a < ,
z 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Trong đó arg : C ( , ] là hàm argument thông thường.
(Aa (z )) là hệ các miền xấp xỉ góc( hoặc Stolz) của E . Trong trường
z E ,0< a <
2
hợp này A -giới hạn cũng được gọi là giới hạn góc.
1.1.2.3. Hệ các miền xấp xỉ góc của các tập con mở "tốt" của các diện
Riemann.
Chúng ta sẽ khái quát việc xây dựng (cho đĩa đơn vị mở) trong
trường hợp tổng quát. Đặc biệt hơn, chúng ta sẽ sử dụng mô hình có tính địa
phương hệ các miền xấp xỉ góc của E .
Cho X là một đa tạp phức của chiều 1( trong các phát biểu khác X là
diện Riemann) và D X là một tập mở, khi đó D được gọi là tốt tại một
điểm z Î D nếu tồn tại một miền Jordan U X sao cho z Î U và U Ç D
là phần trong của một cung Jordan.
Giả sử D được gọi là tốt tại z , điểm này được gọi là kiểu 1 nếu tồn
tại một lân cận V của z sao cho V 0 V Ç D là một miền Jordan. Nếu không
tồn tại lân cận V như vậy thì z được gọi là kiểu 2. Dễ dàng nhận thấy nếu z
là kiểu 2 thì tồn tại một lân cận mở V của z và hai miền Jordan rời nhau
V 1 ,V 2 sao cho V Ç D V 1 ÈV 2 . Hơn nữa D được gọi là tốt trên một tập con
A của D nếu D là tốt tại tất cả các điểm của A .
Sau đây là một ví dụ đơn giản mà có thể minh hoạ cho định nghĩa
trên. Cho G là hình vuông mở trong với các đỉnh là 1 i , 1 i , 1 i ,
1i . Định nghĩa miền
1 1
D : G \ ,
2 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
1 1
Khi đó D là tốt trên G È , , tất cả các điểm của G là
2 2
1 1
kiểu 1 và tất cả các điểm của , là kiểu 2.
2 2
Giả sử D là tốt trên một tập con khác rỗng A của D . Ta định nghĩa
hệ các miền xấp xỉ góc giá trên A : A (Aa (z )) z D ,a I như sau:
z
• Nếu z Î D \ A thì (Aa (z ))a I z trùng với các miền xấp xỉ chính tắc.
• Nếu z Î A thì bằng cách sử dụng ánh xạ bảo giác từ V 0 (tương
ứng V 1 ,V 2 ) tới E khi z là kiểu 1(tương ứng kiểu 2), ta có thể ''chuyển" các
miền xấp xỉ góc tại điểm (z ) Î E : (Aa ((z ))) tới điểm z Î D (xem
0< a <
2
[28]).
Bằng cách sử dụng các ánh xạ bảo giác theo con đường cổ điển ta có
thể chuyển nhiều khái niệm tồn tại trên E (tương ứng E ) tới D (tương ứng
D ).
1.1.2.4. Hệ các miền xấp xỉ nón
Cho D n là một miền và A D . Giả sử với mọi điểm z Î A thì
tồn tại không gian tiếp xúc (thực) Tz của D tại z . Ta định nghĩa hệ các miền
xấp xỉ nón giá trên A : A (Aa (z ))z D ,a I như sau:
z
• Nếu z Î D \ A thì (Aa (z ))a I z trùng với các miền xấp xỉ chính tắc.
• Nếu z Î A thì Aa (z ) : z Î D : z z < a .dist (z , Tz ) ,
trong đó I z : (1, ) và dist (z ,Tz ) là ký hiệu khoảng cách Euclid từ
điểm z tới Tz .
Ta có thể khái quát việc xây dựng hệ các miền xấp xỉ nón giá trên A
trong trường hợp tổng quát:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
X là một đa tạp phức tuỳ ý, D X là một tập mở và A D là một
tập con với tính chất: tại mọi điểm z Î A thì tồn tại không gian tiếp xúc (thực)
Tz của D .
Ta cũng có thể xây dựng các khái niệm các điểm kiểu 1 hoặc các
điểm kiểu 2 trong trường hợp tổng quát bằng cách tương tự như trong phần
1.1.2.3.
1.2. Tập đa cực
Cho X là một đa tạp phức, D X là một tập con mở, ký hiệu
P SH (D ) là tập của tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên D . Khi đó
+ A D được gọi là mỏng trong D nếu mọi điểm a Î D , tồn tại lân
cận liên thông U U a D và một hàm chỉnh hình f trên D không đồng nhất
bằng không sao cho U Ç A f 1 (0) .
+ A D được gọi là đa cực trong D nếu có u Î P SH (D ) sao cho
u không đồng nhất bằng trên mọi thành phần liên thông của D và
A z Î D : u (z ) .
+ A D được gọi là đa cực địa phương trong D nếu với mỗi z Î A
có một lân cận mở V D của z sao cho A ÇV là đa cực trong V .
+ A được gọi là không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương)
nếu nó không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương).
Theo một kết quả cổ điển của Josefson và Bedford (xem [20] và [4])
ta thấy nếu D là một miền Riemann- Stein thì A D là đa cực địa phương
nếu và chỉ nếu nó là đa cực.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
Với một tập A D đặt
hA ,D : supu : u Î P SH (D ),u 1 trong D , A - limsupu 0 trong A,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Định nghĩa 1.3.1. Với một tập A D hàm cực trị tương đối của A đối với
D là hàm w(, A , D ) được xác định bởi
w(z , A , D ) wA (z , A , D ) : (A limsup hA ,D )(z ), z Î D .
Chú ý rằng khi A D định nghĩa trên trùng với định nghĩa cổ điển về
hàm cực trị tương đối của Siciak. Khi D là đa tạp phức 1 chiều và A là hệ
chính tắc thì hàm w(, A , D ) thường được gọi là hàm độ đo điều hoà của A
tương đối với D .
Định nghĩa 1.3.2.
+ Một tập A D là đa chính quy địa phương tại một điểm a Î A
nếu w(a , A ÇU , D ÇU ) 0 với mọi lân cận mở U của a .
+ Tập A được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó là đa chính quy
địa phương tại mọi điểm a Î A .
Ta ký hiệu A là tập hợp sau
(A Ç D ) È a Î A Ç D : A là đa chính quy địa phương tại a .
Nếu A D không đa cực địa phương thì một kết quả cổ điển của
Bedford và Taylor (xem [4], [5]) chỉ ra rằng A là đa chính quy địa phương
và A \ A là đa cực địa phương. Hơn nữa A là địa phương kiểu G ( nghĩa là
với mỗi a Î A có một lân cận mở U D của a thoả mãn A ÇU là giao
đếm được của các tập mở ).
1.4. Độ đo đa điều hoà dƣới
Với một tập A D , đặt A A (A ) P trong đó
P (A )
(A ) (A , A ) : {P D : là đa chính quy địa phương, P A } ,
(, A , D ) được
Hàm độ đo đa điều hoà dưới của A đối với D là hàm w
định nghĩa bởi :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
w , D ), z Î D .
(z , A , D ) : w(z , A
Suy ra w (z , A , D ) 1, z Î D . Hơn nữa
(, A , D ) Î P SH (D ) và 0 w
(A limsup .
w(, A , D ))(z ) 0, z Î A (1.1)
Alehyane và Zeriahi đã đưa ra phản ví dụ chứng tỏ rằng (xem [3])
w , D ) trên D .
(z , A , D ) w(z , A
(, A , D ) với hàm cực trị
Ta sẽ so sánh hàm độ đo đa điều hoà dưới w
tương đối của Siciak w(, A , D ) trong hai trường hợp đặc biệt quan trọng:
A D và A D , trong phần này ta chỉ thảo luận trường hợp A D còn
trường hợp A D sẽ thảo luận ở phần 2.2 và 2.5.
Nếu A là một tập con mở của một đa tạp phức tuỳ ý D , thì dễ thấy
(z , A , D ) w(z , A , D ), z Î D .
w
Nếu A là một tập con (không nhất thiết là mở) của một đa tạp phức
tuỳ ý D thì ta chứng minh được rằng (xem bổ đề 7.1 trong [22])
(z , A , D ) w(z , A , D ), z Î D .
w
Mặt khác nếu D là một tập con mở bị chặn của n thì ta có (xem ví
dụ, bổ đề 3.5.3 trong [13])
w(z , A , D ) w(z , A , D ), z D .
Từ đó dưới giả thiết
(z , A , D ) w(z , A , D ), z Î D
w
chúng ta có thể kết luận ít nhất trong trường hợp A D khái niệm độ đo đa
điều hoà dưới là công cụ tốt với hàm cực trị tương đối Siciak tổng quát đối với
các đa tạp phức trong lý thuyết chỉnh hình tách.
1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách
1.5.1. Chữ thập 2- lá
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Cho X ,Y là hai đa tạp phức, D X và G Y là các tập mở khác
rỗng, cho A D , B G . Hơn nữa D (tương ứngG ) được trang bị một hệ các
miền xấp xỉ A (D ) (Aa (z ))z D ,a I (tương ứng A (G ) (Aa (h))hG ,a I ). Ta định
z h
(tương ứng với
nghĩa chữ thập 2- lá W , phần trong W o và phần chính quyW
A (D ) và A (G ) ) như sau:
W X(A , B ; D ,G ) : ((D È A ) B ) È (A (B È G )),
W o X o (A , B ; D ,G ) : (A G ) È (D B ),
X
W (A , B ; D ,G ) : ((D È A ) B ) È (A (G È B )),
trong đó A và B được định nghĩa trong định nghĩa độ đo đa điều hoà dưới.
Hơn nữa đặt
w(z , w ) : w(z , A , D ) w(w , B ,G ), (z , w ) Î D G ,
w (z , A , D ) w
(z , w ) : w (w , B ,G ), (z , w ) Î D G .
với chữ thập 2-lá W : X(A , B ;D ,G ) định nghĩa
W (A , B ; D ,G ) (z , w ) Î D G : w(z , w ) < 1 ,
: X
: X
W (A
,B
; D ,G ) (z , w ) Î D G : w
(z , w ) < 1 .
1.5.2. Ánh xạ chỉnh hình tách
Cho Z là không gian giải tích phức và M W là một tập con đóng
tương đối trong các thớ trên A và B .
Ta nói rằng một ánh xạ f : W 0 \ M Z là chỉnh hình tách và viết
là f Î OS (W 0 \ M ,Z ) nếu với mỗi a Î A ( tương ứng b Î B ) ánh xạ f (a , ) |G \ Ma
(tương ứng f (,b) | D \ M b ) là chỉnh hình.
Ánh xạ f : W \ M Z là liên tục tách và viết là
f Î Cs (W \ M ,Z ) nếu với mỗi a Î A (tương ứng b Î B ) ánh xạ f (a , ) |(GÈB ) \ Ma
(tương ứng f (,b) |( DÈ A) \ M b ) là liên tục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
Cho W là một tập con mở của D G , một điểm (z , h) Î D G được
A (D ) A (G ) nếu với
gọi là một điểm cuối của W tương ứng với A=
mỗi (a , b ) Î I z I h tồn tại các lân cận mở U của z trong X và V của h trong
Y sao cho
(U Ç Aa (z )) (V Ç Ab (h)) W
Tập tất cả các điểm cuối của W ký hiệu là End( W).
End(W
).
Từ (1.1) ta suy ra nếu A , B
thì W
1.5.3. A - giới hạn
Cho S là một tập con đóng tương đối của W và
\ S Z được gọi là nhận A -
\ S ) . Khi đó một ánh xạ f : W
(z , h) Î End(W
giới hạn l tại (z , h ) và ký hiệu là
(A lim f )(z , h) l ,
nếu với mọi a Î Iz , b Î I h , ta có
lim f (z ,w) l .
\ S (z ,w )(z ,h ), z A (z ),wA ( h )
W
Cho M là một không gian tô pô
+ Một ánh xạ f : M Z được gọi là bị chặn nếu tồn tại một lân
cận mở U của f (M ) trong Z và một phép nhúng chỉnh hình f của U
trong đa đĩa đơn vị của k sao cho (U ) là tập giải tích trong đa đĩa này.
+ f được gọi là bị chặn địa phương dọc theo N M nếu với mỗi
điểm z Î N có một lân cận mở U của z ( trong M ) thoả mãn f |U : U Z bị
chặn.
M . Hiển
+ f được gọi là bị chặn địa phương nếu nó bị chặn với N=
nhiên nếu Z thì các khái niệm bị chặn ở trên trùng với khái niệm bị chặn
thông thường.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
1.6. Tính chất thác triển Hartogs
Xét ánh xạ f : 2 P 1 được cho bởi
[(z w ) 2 : (z w ) 2 ], (z , w ) (0, 0),
f (z , w ) :
[1:1], (z ,w ) (0, 0).
thì f Î Os (X0 ( , ; , ), P1 ) nhưng f không liên tục tại (0,0).
Định nghĩa 1.6.1. Cho số nguyên p 2 , với 0 < r < 1 tập hợp
H p (r ) : (z ¢, z p ) Î E p : ½½ z p ½> 1 r ,
z ¢½½< r hoặc ½
được gọi là lược đồ Hartogs p chiều.
Trong đó E là đĩa đơn vị mở của và z (z 1 ,..., z p 1 ), ½½
z ½½: max z j .
¢ ¢
1 j p 1
Định nghĩa 1.6.2. Không gian giải tích phức Z được gọi là có tính chất thác
triển Hartogs với chiều p nếu mọi ánh xạ f Î O (H p (r ),Z ) đều thác triển tới
ánh xạ f Î O (E p , Z ) . Hơn nữa, Z được gọi là có tính chất thác triển Hartogs
nếu nó có tính chất thác triển Hartogs với mọi chiều p 2 .
Ivashkovich đã chứng minh được nếu Z có tính chất thác triển
Hartogs trong chiều 2 thì nó sẽ đúng với mọi chiều p 2 (xem[12]).
Shiffman (xem [33]) đã chứng minh được một đặc trưng quan trọng
của không gian có tính chất thác triển Hartogs như sau:
Định lý 1.6.3 (Shiffman).
Không gian giải tích phức Z có tính chất thác triển Hartogs nếu và
chỉ nếu với mọi miền D của đa tạp Stein M , mọi ánh xạ f Î O (D ,Z ) đều
thác triển được thành ánh xạ f Î O (D
, Z ) , trong đó D
là bao chỉnh hình
của D .
Alehyane và Zeriahi đã giải quyết được bài toán 1 trong trường hợp
A D , B G và X ,Y là các đa tạp Stein, Z là không gian giải tích phức có
tính chất thác triển Hartogs. Cụ thể ta có định lý sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Định lý 1.6.4 (Alehyane - Zeriahi ).
Cho X ,Y là các đa tạp Stein, và D X ,G Y là các miền,
A D , B G là các tập con không đa cực. Cho Z là không gian giải tích
phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ f :W Z như
trong giả thiết của bài toán 1 thì tồn tại một ánh xạ duy nhất f Î O (W
,Z )
sao cho f f trên W ÇW
.
Định lý 1.6.4 vẫn đúng với chữ thập N- lá ( N 2 ).
Sau đó Gonchar đã chứng minh được một kết quả tổng quát hơn các
kết quả trước đó của bài toán 1, đó là: D và G là các miền Jordan trong ,
A ( tương ứng B ) là một tập con mở của D (tương ứng G ), và Z . Ta
có định lý.
Định lý 1.6.5( Gonchar).
Cho X Y , và D X ,G Y là các miền Jordan, và A ( tương
ứng B ) là một tập mở khác rỗng của D (tương ứng G) . Khi đó với mỗi
hàm f Î C(W , ) thoả mãn giả thiết của bài toán 1 với Z thì tồn tại một
hàm duy nhất f Î C(W
ÈW , ) Ç O (W
, ) sao cho f f trên W . Trong đó
: (z ,w ) Î D G : w(z , A , D ) w(w , B ,G ) < 1,
W
và w(, A , D ) và w(, B ,G ) là các hàm độ đo điều hoà.
1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình.
Lý thuyết Poletsky về các đĩa được phát minh bởi Poletsky (xem
[30,31]) vào cuối những năm 1980. Nguyễn Việt Anh đã đưa ra một cách tiếp
cận mới tới lý thuyết chỉnh hình tách dựa trên lý thuyết Poletsky về các đĩa.
Chúng tôi sẽ trình bày lại một số nội dung trong lý thuyết này.
Ký hiệu E là đĩa đơn vị mở trong . Với một đa tạp phức M , ký
hiệu O (E , M ) là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình f : E M có tính chất
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
thác triển chỉnh hình trong một lân cận cuả E . Ánh xạ f như vậy được gọi là
đĩa chỉnh hình trên M . Hơn nữa, với một tập con A của M , đặt
1, z Î A,
1A,M (z ) :
0, z Î M \ A.
Rosay đã chứng minh được một kết quả đáng chú ý sau
Định lý 1.7.1( Định ký Rosay [32]).
Giả sử u là một hàm nửa liên tục trên trên đa tạp phức M . Khi đó
phiếm hàm Poisson của u định nghĩa bởi
1 2
i
P [u ](z ) : inf u (f ( e )) d : f Î O (E , M ), f (0) z ,
2 0
là đa điều hoà dưới trên M .
Định lý của Rosay mở ra một sự phát triển quan trọng trong lý thuyết
Poletsky về các đĩa. Các trường hợp đặc biệt của định lý đã được xét đến
trong các công trình nghiên cứu của Poletsky, La'ransson-Sigurdsson và
Edigarian.
Bổ đề 1.7.2.
Nếu T là một tập con mở của E , thì
2
1
w(0,T Ç E , E )
2 0
1E \T ,T (ei )d .
Kết quả sau đây là một hệ quả quan trọng của định lý Rosay nêu lên
mối liên hệ giữa phiếm hàm Poisson và độ đo đa điều hoà dưới.
Bổ đề 1.7.3.
Nếu M là một đa tạp phức và A là một tập con mở khác rỗng của
M khi đó
w(z , A , M ) P [1M \ A ,M ](z ), z Î M ..
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn