Luận án tiến sĩ lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1v
- 61 trang
- file .pdf
®¹i häc th¸i nguyªn
tr-êng ®¹i häc s- ph¹m
----------------------------
bïi thÞ huÖ
lý thuyÕt floquet
®èi víi hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Th¸i Nguyªn - 2009
®¹i häc th¸i nguyªn
tr-êng ®¹i häc s- ph¹m
----------------------------
bïi thÞ huÖ
lý thuyÕt floquet
®èi víi hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1
Chuyªn ngµnh: gi¶i tÝch
M· sè : 60.46.01
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS §µo ThÞ Liªn
Th¸i Nguyªn - 2009
MỤC LỤC
Danh mục các ký hiệu dùng trong luận văn
Mục lục Trang
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức cơ sở 3
1.1. Hệ phương trì nh vi phân thường 3
1.1.1. Các khái niệm cơ bản 3
1.1.2. Tính ổn đị nh của hệ phương trì nh vi phân tuyến tí nh 5
1.1.3. Lý thuyết Floquet 7
1.2. Hệ phương trì nh vi phân đại số 9
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản 9
1.2.2. Hệ phương trì nh vi phân đại số tuyến tí nh 12
1.2.3 Hệ phương trì nh vi phân đại số phi tuyến 19
Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số 22
2.1. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số
22
tuyến tí nh
2.1.1. Ma trận cơ bản 24
2.1.2. Biến đổi tương đương tuần hoàn 35
2.2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số
46
phi tuyến tí nh .
Kết luận 55
Tài liệu tham khảo 56
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
L( m
) : L( m
, m
) : là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục trên m
AT : ma trận chuyển vị của ma trận A
im( A) : ảnh của A
ker A : không gian không của A
A : nghịch đảo Moore – Penrose A
det A : đị nh thức của ma trận A
rank A : hạng của ma trận A
ind A : chỉ số của cặp ma trận A
ind ( A, B) : chỉ số của cặp ma trận ( A, B)
diag (m, N ) : ma trận chéo
I r : ma trận đơn vị cấp r
C1N : x C (
, m
) : Px C1 (
, m
) : tập các véc tơ hàm liên tục trong m
xác
đị nh trên
C1 (
, m
) : tập các ma trận hàm khả vi liên tục trong m
và xác định trên
G : A BQ
A1 : A B0Q
B0 : B AP '
Qs : QA11B QG 1B : là phép chiếu chính tắc lên N (t ) dọc S (t )
Ps : I Qs là phép chiếu chí nh tắc lên N (t ) dọc S (t )
Span P(t ) : bao tuyến tí nh của P(t )
S (t ) : z m
: B(t ) z im A(t )
x, y : tính vô hướng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng
hạn mô tả hệ động lực, hệ thống mạng điện, những bài toán điều khiển ,... đòi hỏi
phải giải và xét tính chất nghiệm những hệ phương trình dạng: Ax ' Bx 0 trong
đó A, B L( m ) hoặc A, B L( I , m
), det A 0 gọi là hệ phương trình vi phân đại
số. Một trong những lớp đơn giản nhất của các hệ phương trình đại số là hệ
phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Trường hợp det A 0 ta dễ dàng đưa hệ trên
về hệ x ' A1Bx (những phương trình này được coi là có chỉ số 0), nghĩa là hệ
phương trình vi phân thường được xem là một trường hợp riêng của hệ phương
trình vi phân đại số. Rất nhiều bài toán và kết quả của hệ phương trình thường
được xét đối với hệ phương trình vi phân đại số. Trong luận văn này, chúng tôi
trình bày các kết quả của các tác giả René Lamour-Roswitha Marz and Renate
Winkler, Đào Thị Liên, Phạm Văn Việt về lý thuyết Floquet đối với các hệ
phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, từ đó tác giả đưa ra tiêu chuẩn ổn
định của nghiệm tuần hoàn của hệ phi tuyến. Trong bài báo “How Floquet
Theory Applies to Index 1 Differential Algebraic Equations”, René Lamour-
Roswitha Marz and Renate Winkler, nhiều kết quả chưa được chứng minh hoặc
chỉ chứng minh vắn tắt. Luận văn này đã chi tiết các chứng minh và đưa ra
những ví dụ minh họa cho các kết quả quan trọng trong bài báo. Ngoài mở đầu,
kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ sở
Nội dung chương này là hệ thống các kết quả của lý thuyết Floquet đối với hệ
phương trình vi phân thường và các kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân
đại số.
Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1.
Đây là nội dung chính của luận văn. Ở đây các khái niệm được lấy ví dụ minh
họa, các kết quả được chứng minh chi tiết và có ví dụ áp dụng.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN
Tác giả chân thành cảm ơn TS Đào Thị Liên, trường Đại học Sư phạm -
Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin
được cám ơn Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả hoàn
thành Chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các thày, cô giáo.
Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT
Thượng Lâm-Na Hang-Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành
chương trình học tập. Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE) là hệ phương
trình dạng:
dyi
fi (t , y1, y2 ,..., yn ), (i 1, 2, , n) , (1.1.1)
dt
trong đó t là biến độc lập (thời gian); y1 ,..., yn là các hàm cần tìm, f i là các hàm
xác định trong một bán trụ
T It Dy , It t0 t .
và Dy là một miền mở thuộc n
.
Định nghĩa 1.1.2. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng
dy1
dt a11 (t ) y1 a12 (t ) y2 ... a1n (t ) yn f1 (t )
dy
2 a21 (t ) y1 a22 (t ) y2 ... a2 n (t ) yn f 2 (t )
dt (1.1.2)
............................................................
dy
n an1 (t ) y1 an 2 (t ) y2 ... ann (t ) yn f n (t )
dt
trong đó t là biến độc lập và y1 (t ),..., yn (t ) là các ẩn hàm cần tìm, các hàm aij (t )
và fi (t ) lần lượt được gọi là các hệ số và hệ số tự do của hệ. Chúng được giả
thiết là liên tục trên khoảng I (a, b) nào đó.
Dùng ký hiệu ma trận, có thể viết hệ (1.1.2) dưới dạng thu gọn
dY
A(t )Y F (t ) (1.1.3)
dt
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
trong đó A(t ) (aij (t )) là ma trận hàm cấp n n, f (t ) ( f1 (t ),..., f n (t ))T là vector cột.
Nếu f (t ) 0 , ta gọi hệ trên là hệ tuyến tính thuần nhất, ngược lại, ta gọi hệ trên
là hệ tuyến tính không thuần nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm Z Z (t ) (a t ) của hệ
dY
F (t , Y ) (1.1.4)
dt
y1
trong đó Y colon ( y1,..., yn ) ,
yn
F (t , Y ) colon f1 (t , Y ),..., f n (t , Y )
colon 1 , 2 ,..., n
dY dy dy dy
dt dt dt dt
được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t (hay ngắn gọn là ổn định),
nếu với mọi 0 và t0 (a, ) , tồn tại ( , t0 ) 0 sao cho:
1. Tất cả các nghiệm Y Y (t ) của hệ (1.1.4) (bao gồm cả nghiệm Z (t ) )
thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) Z (t0 ) (1.1.5)
xác định trong khoảng [t0 , ) , tức là Y (t ) DY khi t t0 , ) .
2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn
Y (t ) Z (t ) khi t0 t (1.1.6)
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm Z Z (t ) (a t ) được gọi là ổn định tiệm
cận khi t , nếu:
1. Nó ổn định theo Lyapunov và
2. Với mọi t0 (a, ) tồn tại (t0 ) 0 sao cho mọi nghiệm Y (t )
(t0 t ) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) Z (t0 ) thì
lim Y (t ) Z (t ) 0 (1.1.7)
t
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.1.2. Tính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính
Xét hệ vi phân tuyến tính (1.1.2), dưới dạng ma trận (1.1.3), trong đó
ma trận A(t ) và véctơ F (t ) liên tục trong khoảng (a, ) .
Giả sử X (t ) xij (t ) (det X (t ) 0) (1.1.8)
là ma trận nghiệm cơ bản (tức là hệ nghiệm cơ bản được viết dưới dạng (n n) -
ma trận) của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
dY
A(t )Y (1.1.9)
dt
tức là ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.1.9):
X (1) (t ) colon x11 (t ),..., xn1 (t ) ;
....................................................
( n)
X (t ) colon x1n (t ),..., xnn (t ) .
Nếu ma trận nghiệm cơ bản X (t ) là chuẩn hóa tại t t0 , tức là X (t0 ) I n , thì
Y (t ) K (t , t0 )Y (t0 ) (1.1.10)
với K (t , t0 ) X (t ) X 1 (t0 )
có dạng
Y (t ) X (t )Y (t0 ) (1.1.11)
Định nghĩa 1.1.5. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) được gọi là ổn định
(hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y Y (t ) của nó tương ứng ổn định
(hoặc không ổn định) theo Lyapunov khi t .
Định nghĩa 1.1.6. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) được gọi là ổn định
tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t .
Định lý 1.1.1. Điều cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định
với số hạng tự do bất kì F (t ) là nghiệm tầm thường
Y0 0 (t0 t , t0 (a, ))
của hệ thuần nhất tương ứng (1.1.9) ổn định.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.1.2. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định tiệm cận khi và chỉ
khi nghiệm tầm thường Y0 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
(1.1.9) ổn định tiệm cận khi t .
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9), trong đó A(t ) liên tục trong
khoảng (a, ) .
Định lý 1.1.3. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) ổn định theo
nghĩa Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y Y (t ) (t0 t ) của hệ đó bị chặn
trên nửa trục t0 t .
Định lý 1.1.4. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) ổn định tiệm cận
khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y Y (t ) của nó dần tới không khi t , tức là
lim Y (t ) 0 (1.1.12)
t
Xét hệ (1.1.9) trong đó A aij là ma trận hằng (n n) .
Định lý 1.1.5. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) với ma trận
hằng A ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng i i ( A) của A đều
có phần thực không dương.
Re i ( A) 0 (i 1, 2,..., n)
và các nghiệm đặc trưng có các phần thực bằng không đều có ước cơ bản đơn.
Định lý 1.1.6. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) với ma trận
hằng A ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng i i ( A)
của A đều có phần thực âm, tức là
Re i ( A) 0 (i 1,..., n)
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.1.3. Lý thuyết Floquet
Xét ODE với hệ số tuần hoàn
x(t ) W (t ) x(t ) 0 , (1.1.13)
trong đó W C ( , L( m )), W (t ) W (t T ) với t , giả sử (1.1.13) có ma trận
nghiệm cơ bản X (t ) , với
X (t ) W (t ) X (t ) 0, X (0) I n .
Định lý 1.1.7. (định lý Floquet [8]). Ma trận nghiệm cơ bản X (t ) của
(1.1.13) có thể viết dưới dạng
X (t ) F (t )etW , 0
(1.1.14)
trong đó F C1 ( , L( m
)) là không suy biến, F (t ) F (t T ) với
t , W0 L( m
).
Định lý 1.1.8. (định lý Lyapunov [9]). (i) Giả sử F C1 ( , L( m )) là
không suy biến và T-tuần hoàn. Khi đó x F (t ) x biến (1.1.13) thành ODE tuyến
tính thuần nhất với một ma trận hệ số T- tuần hoàn, nhân tử đặc trưng của
chúng trùng với nhân tử đặc trưng của (1.1.13).
(ii) Tồn tại F C1 ( , L( m
)) không suy biến, T-tuần hoàn (
F C1 ( , L( m
)) không suy biến, 2T-tuần hoàn) với F (0) I n sao cho phép biến
đổi x F (t ) x biến (1.1.13) thành một hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.1.7. Các giá trị riêng i (i 1, 2,..., n) của ma trận W0 tức là
nghiệm của phương trình det (W0 I ) 0, được gọi là các số mũ đặc trưng của
hệ (1.1.13).
Định nghĩa 1.1.8. Các giá trị riêng i (i 1, 2,..., n) của ma trận X (T ) ,
tức là nghiệm của phương trình
det [ X (T ) I ] 0 (1.1.15)
được gọi là các nhân tử.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.1.9. Với mọi nhân tử tồn tại một nghiệm không tầm thường
(t ) của hệ tuần hoàn (1.1.13), thỏa mãn điều kiện
(t T ) (t ) (1.1.16)
Ngược lại, nếu đối với một nghiệm (t ) không tầm thường nào đó điều
kiện (1.1.16) được thỏa mãn thì số sẽ là nhân tử của hệ đã cho.
Hệ quả. Hệ vi phân tuyến tính tuần hoàn (1.1.13) có nghiệm tuần hoàn
chu kì T khi và chỉ khi có ít nhất một nhân tử của nó bằng 1.
Định lý 1.1.10. Hệ vi phân tuyến tính với ma trận hệ số liên tục và tuần
hoàn là khả qui.
Định lý 1.1.11. 1) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tuần hoàn với ma
trận liên tục là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nhân tử i (i 1, 2,..., n) của nó
nằm trong hình tròn đơn vị đóng 1 và các nhân tử nằm trên đường tròn
1 đều có ước cơ bản đơn.
2) Hệ tuần hoàn ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nhân tử của
nó đều nằm trong hình tròn 1
Định lý 1.1.12. Nếu hệ tuần hoàn thuần nhất tương ứng của (1.1.3) là
(1.1.9) không có nghiệm tầm thường T tuần hoàn, tức là tất cả các nhân tử của
nó khác 1( i 1, i) , thì hệ (1.1.3) có nghiệm tuần hoàn duy nhất với chu kì T .
Định lý 1.1.13. Nếu hệ (1.1.3) có một nghiệm giới nội Y (t ) (t 0) , thì
nó có nghiệm T tuần hoàn.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Phép chiếu P L( m
, m
) (viết gọn là P L( m
) ) là
một (m m) - ma trận sao cho P2 P . Đối với mỗi phép chiếu P ta luôn có hệ
thức sau
imP ker P m
Ngược lại, với mỗi một sự phân tích m
thành tổng trực tiếp của hai không gian
con
m
U V ,
luôn luôn tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho im P U và ker P V .
Khi đó phép chiếu P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V . Rõ ràng rằng
Q I P là phép chiếu lên V dọc theo U .
Phép chiếu Qcan lên ker A dọc theo S được gọi là phép chiếu chính tắc.
Định nghĩa 1.2.2. [5] Cặp ma trận ( A, B) được gọi là chính qui nếu tồn
tại z sao cho det ( z A B) 0 . Trường hợp ngược lại, ta gọi cặp ( A, B) là
không chính qui.
Chú ý. Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui thì det (cA B) 0 với hầu hết
giá trị c .
Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi (m m) -ma trận A , chỉ số của ma trận A là
số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho ker Ak ker Ak 1 và được kí hiệu như sau
ind ( A): min k : ker( Ak ) ker( Ak 1 ) .
Định nghĩa 1.2.4. [5] Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui và
det(c A B) 0 thì ind ((c A B ) 1 A) được gọi là chỉ số của cặp ma trận ( A, B) , ký
hiệu ind ( A, B) : ind ((cA B) 1 A).
Chú ý. Trong [5] đã chỉ ra rằng chỉ số của cặp ma trận ( A, B) không phụ
thuộc vào việc chọn số c .
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Một số tính chất của cặp ma trận chính qui ( A, B) (xem [5], [11]):
(i) Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui thì cặp ma trận ( A, B sA) cũng
chính qui với mọi s và ind ( A, B) ind ( A, B s A)
(ii) Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui, ind ( A, B) k và
rank ((cA B)1 A)k r thì tồn tại các ma trận S , T L( m ) khả nghịch sao cho
A S diag ( I r , N )T , B S diag (M , I mr )T ,
trong đó N k 0, N l 0 với mọi l k .
(iii) Nếu A(t ), B(t ) C ( J , L( m )) và
(t, ) det ( A(t ) B(t )) ad (t ) d ... a1(t ) a0 (t ) , với ad 0 trên J , thì tồn
tại các ma trận khả nghịch S , T ( J , L( m )) sao cho
I 0 M (t ) 0
S (t ) A(t )T 1 (t ) d , S (t ) B(t )T (t )
1
0 N (t ) 0 I m d
trong đó N (t ) là k -lũy linh tức là N (t ) k 0 trên J và N l (t ) 0 với mọi l k .
Ngoài ra nếu A(t ), B(t ) C i ( J , L( m )) (i 0,1, 2,..., n) và
degdet( A B) rank A : r với mọi t J
thì tồn tại các ma trận khả nghịch S (t ), T (t ) C i ( J , L( m )) sao cho
I 0 M (t ) 0
S (t ) A(t )T 1 (t ) d 1
, S (t ) B(t )T (t ) 0 (xem [11]).
0 0 I m r
Định lý 1.2.1. [5] Giả sử A L( m ) là ma trận suy biến, B L( m ) khi
đó 7 mệnh đề sau tương đương
(i) Cặp ma trận ( A, B) chính qui chỉ số 1;
(ii) Từ x ker A và Bx imA kéo theo x 0 ;
(iii) Cặp ma trận ( A, B) chính qui và degdet ( A B) rank A;
(iv) Cặp ma trận ( A, B AW ) chính qui và ind ( A, B AW ) 1 với mỗi ma
trận W L( m );
(v) Ma trận G : A BQ không suy biến với mỗi phép chiếu Q lên ker A
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(vi) Với S : x : Bx im A ta có hệ thức S ker A m
.
(vii) Nhân vào bên trái với ma trận không suy biến thích hợp E L( m )
A B
sao cho EA 1 , EB 1 , rank A rank A1 ta nhận được một ma trận không
0 B2
A
suy biến 1 L( m ).
B2
Định nghĩa 1.2.5. [5] Ma trận A L( m ) thỏa mãn các tính chất
(i) A y x im( AT ) với y im( A) mà Ax y ,
(ii) A y 0 với y ker( AT ) ,
được gọi là nghịch đảo Moore – Penrose của ma trận A L( m ) .
Định lý 1.2.2. [5] Giả sử A L( m ) , khi đó
(i) A AA A và AA A A ,
(ii) AA là phép chiếu vuông góc lên im ( A) dọc ker( AT ) và A A là phép
chiếu vuông góc lên im ( AT ) dọc ker( A) .
Định lý 1.2.3. [5] Nếu ind ( A) k , rank ( Ak ) r ,
im( Ak ) span(s1 ,..., sr )
ker( Ak ) span(s11 ,..., sm ) và S [ s1 ,..., sm ]
thì A S diag ( M , N ) S 1 , trong đó M là (r r ) - ma trận không suy biến và N là k
-lũy linh.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử các ma trận ( A, B) L( m ) có ind ( A, B) 1 , khi
đó S : x : Bx imA được gọi là không gian liên hợp của cặp ( A, B) .
Mệnh đề. [5] Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui, ind ( A, B) 1 và Q là
phép chiếu lên ker A thì các đẳng thức sau đây là đúng G 1 A I Q, G 1BQ Q
và QG 1B Qcan , trong đó G : A BQ .
Định lý 1.2.4. [5] Giả sử cặp ma trận ( A, B) chính qui chỉ số 1 khi đó
các hệ thức sau thỏa mãn
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
S im((cA B ) 1 A) và Qcan I [(cA B)1 A]D (cA B)1 A
trong đó c sao cho cA B khả nghịch và AD là nghịch đảo Drazin của A .
1.2.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính
Định nghĩa 1.2.7. Phương trình vi phân đại số tuyến tính là phương
trình dạng
A(t ) x ' B (t ) x f (t ), t [0, ) , (1.2.1)
trong đó A(t ), B(t ) C ( , L( m )), f (t ) C ( , m
), rank A(t ) r m với mọi t
,
và N (t ) ker A(t ) có số chiều là m r với mọi t
.
Định nghĩa 1.2.8. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.1) được
gọi là chính qui chỉ số 1 nếu cặp ma trận hệ số ( A, B) chính qui chỉ số 1.
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử N (t ) : ker A(t ) là trơn, nghĩa là tồn tại phép
chiếu Q C1 ( , L m )) lên N (t ), P I Q . Hàm x(t ) C1N được gọi là nghiệm của
phương trình (1.2.1) trên
nếu hệ thức A(t )((P(t ) x(t )) P(t ) x(t )) B(t ) x(t ) q(t )
thỏa mãn với mọi t
.
Hơn nữa đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chính qui chỉ
số 1
A(t ) x B(t ) x 0, t (1.2.2)
thì S (t ) imPcan là không gian nghiệm của (1.2.2), không gian nghiệm của (1.2.2)
có số chiều là r (r rank A(t )) . Nói một cách chính xác, với mỗi x0 S (t0 ) , có
đúng một nghiệm của (1.2.2) đi qua x0 vào thời điểm t 0 .
Nghiệm của phương trình thuần nhất (1.2.2) được xác định bởi
x(t ) Pcan (t )u (t ) , trong đó u(t ) imP(t ) là nghiệm của phương trình
u ( P P A11B0 )u. (1.2.3)
Định nghĩa 1.2.10. Phương trình (1.2.1) được gọi là chuyển được
(transferable) trên nếu N (t ) là trơn và ma trận G(t ) : A(t ) B(t )Q(t ), trong đó
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Q(t ) 1
( , L( m
)) là phép chiếu lên N (t ) , có nghịch đảo bị chặn trên mỗi đoạn
0, T
.
Định nghĩa 1.2.11. Hai phương trình
u ( P P A11B0 )u (1.2.4)
và
u ( P(t ) Pcan (t ) P(t ) G 1 (t ) B(t )) u (t ) (1.2.5)
được gọi là phương trình vi phân thường tương ứng của phương trình vi phân
(1.2.2) dưới phép chiếu P .
Định nghĩa 1.2.12. [12] Phương trình (1.2.1) với các hệ số
A, B C (
, L( m
)) được gọi là phương trình vi phân đại số dạng chuẩn tắc
I 0
Kronecker với chỉ số 1 nếu các ma trận hệ số có dạng A(t ) s và
0 J (t )
W (t ) 0
B(t ) , trong đó, J (t ) là k -lũy linh và ker J (t ) ker J (0) .
0 I m s
Định nghĩa 1.2.13. Một ma trận vuông X (t ) cấp m được gọi là ma
trận nghiệm cơ bản (FSM) của (1.2.2) nếu r véc tơ cột đầu tiên của nó là các
nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2.2) và m r véc tơ cột còn lại của X (t ) là các
véc tơ không.
Chú ý. Mọi nghiệm x(t ) của (1.2.2) đều thuộc không gian nghiệm
im Pcan S (t ) có số chiều là r , do đó ta có nhiều nhất r nghiệm độc lập tuyến
tính. Vậy, tập hợp tất cả các nghiệm của (1.2.2) là không gian tuyến tính có số
chiều r . Hơn nữa, trong [5] đã chỉ ra rằng, nếu p j ( j 1,..., r ) là r véc tơ cột độc
lập tuyến tính của im P(0) và các véc tơ u j (t ), x j (t ) được suy ra từ hệ phương trình
trạng thái x(t ) Pcan (t )u (t ) với điều kiện đầu u j (0) p j ( j 1, 2,..., r ) , khi đó các véc
tơ x1 (t ),..., xr (t ) là độc lập tuyến tính và im P (t ) span (u1 (t ),..., ur (t )) ,
S (t ) span ( x1 ( t),..., xr (t )) . Do đó, tập hợp tất cả các nghiệm (1.2.2) là không gian
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
con tuyến tính có số chiều là r . Như vậy mọi ma trận nghiệm cơ bản của (1.2.2)
đều có dạng X (t ) [ x1 (t ),..., xr (t ), 0,..., 0] . Để đơn giản, ta viết ma trận nghiệm cơ
bản một cách ngắn gọn như sau: X r (t ) x1 (t ), , xr (t ) .
Đặc biệt, ma trận nghiệm cơ bản X r (t ) là chuẩn hóa khi t t0 , tức là X r (t0 ) I r .
Chúng ta xét DAEs tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.2.1)
A(t ) x(t ) B(t ) x(t ) 0 , (1.2.6)
trong đó A, B C ( , L( m )) .
Giả sử rằng không gian hạch N (t ) : ker A(t ) là trơn, nghĩa là nó là bao tuyến tính
của những hàm cơ sở khả vi liên tục.
Trong trường hợp A(t ) có hạng không đổi, rõ ràng, tất cả các nghiệm của (1.2.6)
thuộc về không gian con S (t ) : z m
: B(t ) z im A(t ) m
.
Giả sử (1.2.6) có chỉ số 1, nghĩa là S (t ) N (t ) {0} .
Khi đó, có đúng một nghiệm qua mỗi điểm của S (t ) tại thời điểm t (xem [5]). Sử
dụng bất kỳ hàm chiếu Q(t ) thuộc lớp C1 lên N (t ) và P(t ) : I Q(t ) , bài toán giá
trị ban đầu (IVPs) là đúng với điều kiện đầu P (0)( x(0) x 0 ) 0
. (1.2.7)
Bài toán giá trị ban đầu (IVP) (1.2.6), (1.2.7) có nghiệm duy nhất với x 0 m
.
Các nghiệm của DAE (1.2.6) phải thuộc về không gian hàm C1N : x C : Px C1 .
Điều này dễ dàng hiểu được nhờ các đồng nhất thức
A(t ) A(t )P(t ), A(t )Q(t ) 0 , A(t ) x(t ) A(t ) P(t ) x(t ) A(t ) ( Px)(t ) P(t ) x(t ) .
Do tính chính quy của nghiệm, các hệ số A(t ), B(t ) phải trơn.
Tiếp theo, cho x C1N , chúng ta hiểu biểu thức A(t ) x '(t ) là viết tắt của
A(t ) ( Px)(t ) P(t ) x(t ) . (1.2.8)
Cần phải nhấn mạnh rằng, không gian hàm C1N và giá trị của biểu thức (1.2.8) là
độc lập với việc chọn hàm chiếu. Tức là, với hai hàm chiếu P, P thuộc lớp C1 đã
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
cho. Cả P(t ) và P(t ) chiếu dọc theo N (t ) . Nếu x C , P x C 1 thì Px PPx thuộc
về lớp C1 , vì P và Px cũng như vậy. Ngoài ra, chúng ta tính:
A(t ) ( Px)(t ) P(t ) x(t ) A(t ) P (t ) ( Px)(t ) P (t ) x(t )
A(t ) ( PPx)(t ) P(t ) P (t ) x(t ) P (t ) P (t ) x(t )
A(t ) ( PPx)(t ) ( PP )(t ) x(t )
A(t ) ( Px)(t ) P(t ) x(t ) .
Nhờ ma trận nghiệm cơ bản X (t ) của IVP
A(t ) X (t ) B(t ) X (t ) 0
P(0)( X (0) I ) 0
chúng ta có thể viết các nghiệm của (1.2.6), (1.2.7) là : x(t; x 0 ) X (t ) x 0
Chúng ta sử dụng dạng biểu diễn của ma trận cơ bản X của DAE, sử dụng ma
trận cơ bản U của ODE (xem [5])
U [ PPcan P ( A BQ) 1 B ]U 0
. (1.2.9)
U (0) I L( )
m
Ở đây, Pcan (t ) là phép chiếu chính tắc dọc theo N (t ) lên S (t ) . Khi đó
X (t ) Pcan (t )U (t ) P(0) . (1.2.10)
Ta nhấn mạnh rằng X (t ) là độc lập với phép chiếu đặc biệt P được dùng ở
(1.2.9) và (1.2.10). Trong bất kì trường hợp nào, chúng ta có : X (0) Pcan (0) .
Hơn nữa, trong khi U C1 , nói chung phép chiếu chính tắc Pcan (t ) là liên tục
nhưng không thuộc lớp C1 .
Trong phần sau chúng ta biến đổi DAEs tuyến tính với hệ số tuần hoàn về
hệ số hằng số DAEs.
Áp dụng phép biến đổi đại số x F (t ) x, F C1 ( , L( m )) và E, F không suy
biến, DAE (1.2.6) biến thành:
A(t ) x(t ) B(t ) x(t ) 0 , (1.2.11)
với A EAF , B E( BF AF) . (1.2.12)
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Phương trình (1.2.11) gọi là có dạng chuẩn tắc Kronecker nếu:
I W(t)
A(t ) , B(t )
0 I
Hệ thức giữa không gian con riêng và phép chiếu chính tắc có thể mô tả bằng
N (t ) F 1 (t ) N (t ), S (t ) F 1 (t ) S (t ) và P can (t ) F 1 (t ) Pcan (t ) F (t ) . Với dạng chuẩn tắc
z
Kronecker phép chiếu lên S (t ) : 1 : z2 0
z2
dọc theo
z
N (t ) : 1 : z1 0
z2
là Pcan (t ) diag ( I ,0) . Do đó, bắt đầu với hệ chỉ số 1 dạng chuẩn tắc Kronecker và
sử dụng phép biến đổi F thuộc lớp C1 chúng ta thu được DAEs với những phép
chiếu chính tắc khả vi liên tục. Như một hệ quả, coi dạng chuẩn tắc Kronecker
thay cho DAEs với hệ số liên tục, chúng ta áp dụng phép biến đổi đối với một
lớp rộng hơn. Trong phần sau, chúng ta thấy lớp C1N là phù hợp đối với phép biến
đổi F .
Định nghĩa 1.2.14. Hệ phương trình Ax Bx 0 được gọi là chính qui
chỉ số k nếu cặp ma trận A, B là chính qui chỉ số k .
Bổ đề. Khi cặp ma trận A, B là chính qui chỉ số k và
rank (cA B)1 A k r thì tồn tại các ma trận khả nghịch W , T sao cho
I 0 1
A W r T , U là k lũy linh
0 U
B 0 1
B W 1 T ,
0 I m r
Định nghĩa 1.2.15. Giá trị phức được gọi là giá trị riêng hữu hạn
của cặp ma trận A, B nếu det A B 0 .
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
tr-êng ®¹i häc s- ph¹m
----------------------------
bïi thÞ huÖ
lý thuyÕt floquet
®èi víi hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Th¸i Nguyªn - 2009
®¹i häc th¸i nguyªn
tr-êng ®¹i häc s- ph¹m
----------------------------
bïi thÞ huÖ
lý thuyÕt floquet
®èi víi hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1
Chuyªn ngµnh: gi¶i tÝch
M· sè : 60.46.01
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS §µo ThÞ Liªn
Th¸i Nguyªn - 2009
MỤC LỤC
Danh mục các ký hiệu dùng trong luận văn
Mục lục Trang
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức cơ sở 3
1.1. Hệ phương trì nh vi phân thường 3
1.1.1. Các khái niệm cơ bản 3
1.1.2. Tính ổn đị nh của hệ phương trì nh vi phân tuyến tí nh 5
1.1.3. Lý thuyết Floquet 7
1.2. Hệ phương trì nh vi phân đại số 9
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản 9
1.2.2. Hệ phương trì nh vi phân đại số tuyến tí nh 12
1.2.3 Hệ phương trì nh vi phân đại số phi tuyến 19
Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số 22
2.1. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số
22
tuyến tí nh
2.1.1. Ma trận cơ bản 24
2.1.2. Biến đổi tương đương tuần hoàn 35
2.2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số
46
phi tuyến tí nh .
Kết luận 55
Tài liệu tham khảo 56
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
L( m
) : L( m
, m
) : là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục trên m
AT : ma trận chuyển vị của ma trận A
im( A) : ảnh của A
ker A : không gian không của A
A : nghịch đảo Moore – Penrose A
det A : đị nh thức của ma trận A
rank A : hạng của ma trận A
ind A : chỉ số của cặp ma trận A
ind ( A, B) : chỉ số của cặp ma trận ( A, B)
diag (m, N ) : ma trận chéo
I r : ma trận đơn vị cấp r
C1N : x C (
, m
) : Px C1 (
, m
) : tập các véc tơ hàm liên tục trong m
xác
đị nh trên
C1 (
, m
) : tập các ma trận hàm khả vi liên tục trong m
và xác định trên
G : A BQ
A1 : A B0Q
B0 : B AP '
Qs : QA11B QG 1B : là phép chiếu chính tắc lên N (t ) dọc S (t )
Ps : I Qs là phép chiếu chí nh tắc lên N (t ) dọc S (t )
Span P(t ) : bao tuyến tí nh của P(t )
S (t ) : z m
: B(t ) z im A(t )
x, y : tính vô hướng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng
hạn mô tả hệ động lực, hệ thống mạng điện, những bài toán điều khiển ,... đòi hỏi
phải giải và xét tính chất nghiệm những hệ phương trình dạng: Ax ' Bx 0 trong
đó A, B L( m ) hoặc A, B L( I , m
), det A 0 gọi là hệ phương trình vi phân đại
số. Một trong những lớp đơn giản nhất của các hệ phương trình đại số là hệ
phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Trường hợp det A 0 ta dễ dàng đưa hệ trên
về hệ x ' A1Bx (những phương trình này được coi là có chỉ số 0), nghĩa là hệ
phương trình vi phân thường được xem là một trường hợp riêng của hệ phương
trình vi phân đại số. Rất nhiều bài toán và kết quả của hệ phương trình thường
được xét đối với hệ phương trình vi phân đại số. Trong luận văn này, chúng tôi
trình bày các kết quả của các tác giả René Lamour-Roswitha Marz and Renate
Winkler, Đào Thị Liên, Phạm Văn Việt về lý thuyết Floquet đối với các hệ
phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, từ đó tác giả đưa ra tiêu chuẩn ổn
định của nghiệm tuần hoàn của hệ phi tuyến. Trong bài báo “How Floquet
Theory Applies to Index 1 Differential Algebraic Equations”, René Lamour-
Roswitha Marz and Renate Winkler, nhiều kết quả chưa được chứng minh hoặc
chỉ chứng minh vắn tắt. Luận văn này đã chi tiết các chứng minh và đưa ra
những ví dụ minh họa cho các kết quả quan trọng trong bài báo. Ngoài mở đầu,
kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ sở
Nội dung chương này là hệ thống các kết quả của lý thuyết Floquet đối với hệ
phương trình vi phân thường và các kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân
đại số.
Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1.
Đây là nội dung chính của luận văn. Ở đây các khái niệm được lấy ví dụ minh
họa, các kết quả được chứng minh chi tiết và có ví dụ áp dụng.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN
Tác giả chân thành cảm ơn TS Đào Thị Liên, trường Đại học Sư phạm -
Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin
được cám ơn Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả hoàn
thành Chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các thày, cô giáo.
Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT
Thượng Lâm-Na Hang-Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành
chương trình học tập. Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE) là hệ phương
trình dạng:
dyi
fi (t , y1, y2 ,..., yn ), (i 1, 2, , n) , (1.1.1)
dt
trong đó t là biến độc lập (thời gian); y1 ,..., yn là các hàm cần tìm, f i là các hàm
xác định trong một bán trụ
T It Dy , It t0 t .
và Dy là một miền mở thuộc n
.
Định nghĩa 1.1.2. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng
dy1
dt a11 (t ) y1 a12 (t ) y2 ... a1n (t ) yn f1 (t )
dy
2 a21 (t ) y1 a22 (t ) y2 ... a2 n (t ) yn f 2 (t )
dt (1.1.2)
............................................................
dy
n an1 (t ) y1 an 2 (t ) y2 ... ann (t ) yn f n (t )
dt
trong đó t là biến độc lập và y1 (t ),..., yn (t ) là các ẩn hàm cần tìm, các hàm aij (t )
và fi (t ) lần lượt được gọi là các hệ số và hệ số tự do của hệ. Chúng được giả
thiết là liên tục trên khoảng I (a, b) nào đó.
Dùng ký hiệu ma trận, có thể viết hệ (1.1.2) dưới dạng thu gọn
dY
A(t )Y F (t ) (1.1.3)
dt
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
trong đó A(t ) (aij (t )) là ma trận hàm cấp n n, f (t ) ( f1 (t ),..., f n (t ))T là vector cột.
Nếu f (t ) 0 , ta gọi hệ trên là hệ tuyến tính thuần nhất, ngược lại, ta gọi hệ trên
là hệ tuyến tính không thuần nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm Z Z (t ) (a t ) của hệ
dY
F (t , Y ) (1.1.4)
dt
y1
trong đó Y colon ( y1,..., yn ) ,
yn
F (t , Y ) colon f1 (t , Y ),..., f n (t , Y )
colon 1 , 2 ,..., n
dY dy dy dy
dt dt dt dt
được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t (hay ngắn gọn là ổn định),
nếu với mọi 0 và t0 (a, ) , tồn tại ( , t0 ) 0 sao cho:
1. Tất cả các nghiệm Y Y (t ) của hệ (1.1.4) (bao gồm cả nghiệm Z (t ) )
thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) Z (t0 ) (1.1.5)
xác định trong khoảng [t0 , ) , tức là Y (t ) DY khi t t0 , ) .
2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn
Y (t ) Z (t ) khi t0 t (1.1.6)
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm Z Z (t ) (a t ) được gọi là ổn định tiệm
cận khi t , nếu:
1. Nó ổn định theo Lyapunov và
2. Với mọi t0 (a, ) tồn tại (t0 ) 0 sao cho mọi nghiệm Y (t )
(t0 t ) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) Z (t0 ) thì
lim Y (t ) Z (t ) 0 (1.1.7)
t
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.1.2. Tính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính
Xét hệ vi phân tuyến tính (1.1.2), dưới dạng ma trận (1.1.3), trong đó
ma trận A(t ) và véctơ F (t ) liên tục trong khoảng (a, ) .
Giả sử X (t ) xij (t ) (det X (t ) 0) (1.1.8)
là ma trận nghiệm cơ bản (tức là hệ nghiệm cơ bản được viết dưới dạng (n n) -
ma trận) của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
dY
A(t )Y (1.1.9)
dt
tức là ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.1.9):
X (1) (t ) colon x11 (t ),..., xn1 (t ) ;
....................................................
( n)
X (t ) colon x1n (t ),..., xnn (t ) .
Nếu ma trận nghiệm cơ bản X (t ) là chuẩn hóa tại t t0 , tức là X (t0 ) I n , thì
Y (t ) K (t , t0 )Y (t0 ) (1.1.10)
với K (t , t0 ) X (t ) X 1 (t0 )
có dạng
Y (t ) X (t )Y (t0 ) (1.1.11)
Định nghĩa 1.1.5. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) được gọi là ổn định
(hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y Y (t ) của nó tương ứng ổn định
(hoặc không ổn định) theo Lyapunov khi t .
Định nghĩa 1.1.6. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) được gọi là ổn định
tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t .
Định lý 1.1.1. Điều cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định
với số hạng tự do bất kì F (t ) là nghiệm tầm thường
Y0 0 (t0 t , t0 (a, ))
của hệ thuần nhất tương ứng (1.1.9) ổn định.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.1.2. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định tiệm cận khi và chỉ
khi nghiệm tầm thường Y0 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
(1.1.9) ổn định tiệm cận khi t .
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9), trong đó A(t ) liên tục trong
khoảng (a, ) .
Định lý 1.1.3. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) ổn định theo
nghĩa Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y Y (t ) (t0 t ) của hệ đó bị chặn
trên nửa trục t0 t .
Định lý 1.1.4. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) ổn định tiệm cận
khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y Y (t ) của nó dần tới không khi t , tức là
lim Y (t ) 0 (1.1.12)
t
Xét hệ (1.1.9) trong đó A aij là ma trận hằng (n n) .
Định lý 1.1.5. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) với ma trận
hằng A ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng i i ( A) của A đều
có phần thực không dương.
Re i ( A) 0 (i 1, 2,..., n)
và các nghiệm đặc trưng có các phần thực bằng không đều có ước cơ bản đơn.
Định lý 1.1.6. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) với ma trận
hằng A ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng i i ( A)
của A đều có phần thực âm, tức là
Re i ( A) 0 (i 1,..., n)
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.1.3. Lý thuyết Floquet
Xét ODE với hệ số tuần hoàn
x(t ) W (t ) x(t ) 0 , (1.1.13)
trong đó W C ( , L( m )), W (t ) W (t T ) với t , giả sử (1.1.13) có ma trận
nghiệm cơ bản X (t ) , với
X (t ) W (t ) X (t ) 0, X (0) I n .
Định lý 1.1.7. (định lý Floquet [8]). Ma trận nghiệm cơ bản X (t ) của
(1.1.13) có thể viết dưới dạng
X (t ) F (t )etW , 0
(1.1.14)
trong đó F C1 ( , L( m
)) là không suy biến, F (t ) F (t T ) với
t , W0 L( m
).
Định lý 1.1.8. (định lý Lyapunov [9]). (i) Giả sử F C1 ( , L( m )) là
không suy biến và T-tuần hoàn. Khi đó x F (t ) x biến (1.1.13) thành ODE tuyến
tính thuần nhất với một ma trận hệ số T- tuần hoàn, nhân tử đặc trưng của
chúng trùng với nhân tử đặc trưng của (1.1.13).
(ii) Tồn tại F C1 ( , L( m
)) không suy biến, T-tuần hoàn (
F C1 ( , L( m
)) không suy biến, 2T-tuần hoàn) với F (0) I n sao cho phép biến
đổi x F (t ) x biến (1.1.13) thành một hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.1.7. Các giá trị riêng i (i 1, 2,..., n) của ma trận W0 tức là
nghiệm của phương trình det (W0 I ) 0, được gọi là các số mũ đặc trưng của
hệ (1.1.13).
Định nghĩa 1.1.8. Các giá trị riêng i (i 1, 2,..., n) của ma trận X (T ) ,
tức là nghiệm của phương trình
det [ X (T ) I ] 0 (1.1.15)
được gọi là các nhân tử.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.1.9. Với mọi nhân tử tồn tại một nghiệm không tầm thường
(t ) của hệ tuần hoàn (1.1.13), thỏa mãn điều kiện
(t T ) (t ) (1.1.16)
Ngược lại, nếu đối với một nghiệm (t ) không tầm thường nào đó điều
kiện (1.1.16) được thỏa mãn thì số sẽ là nhân tử của hệ đã cho.
Hệ quả. Hệ vi phân tuyến tính tuần hoàn (1.1.13) có nghiệm tuần hoàn
chu kì T khi và chỉ khi có ít nhất một nhân tử của nó bằng 1.
Định lý 1.1.10. Hệ vi phân tuyến tính với ma trận hệ số liên tục và tuần
hoàn là khả qui.
Định lý 1.1.11. 1) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tuần hoàn với ma
trận liên tục là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nhân tử i (i 1, 2,..., n) của nó
nằm trong hình tròn đơn vị đóng 1 và các nhân tử nằm trên đường tròn
1 đều có ước cơ bản đơn.
2) Hệ tuần hoàn ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nhân tử của
nó đều nằm trong hình tròn 1
Định lý 1.1.12. Nếu hệ tuần hoàn thuần nhất tương ứng của (1.1.3) là
(1.1.9) không có nghiệm tầm thường T tuần hoàn, tức là tất cả các nhân tử của
nó khác 1( i 1, i) , thì hệ (1.1.3) có nghiệm tuần hoàn duy nhất với chu kì T .
Định lý 1.1.13. Nếu hệ (1.1.3) có một nghiệm giới nội Y (t ) (t 0) , thì
nó có nghiệm T tuần hoàn.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Phép chiếu P L( m
, m
) (viết gọn là P L( m
) ) là
một (m m) - ma trận sao cho P2 P . Đối với mỗi phép chiếu P ta luôn có hệ
thức sau
imP ker P m
Ngược lại, với mỗi một sự phân tích m
thành tổng trực tiếp của hai không gian
con
m
U V ,
luôn luôn tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho im P U và ker P V .
Khi đó phép chiếu P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V . Rõ ràng rằng
Q I P là phép chiếu lên V dọc theo U .
Phép chiếu Qcan lên ker A dọc theo S được gọi là phép chiếu chính tắc.
Định nghĩa 1.2.2. [5] Cặp ma trận ( A, B) được gọi là chính qui nếu tồn
tại z sao cho det ( z A B) 0 . Trường hợp ngược lại, ta gọi cặp ( A, B) là
không chính qui.
Chú ý. Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui thì det (cA B) 0 với hầu hết
giá trị c .
Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi (m m) -ma trận A , chỉ số của ma trận A là
số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho ker Ak ker Ak 1 và được kí hiệu như sau
ind ( A): min k : ker( Ak ) ker( Ak 1 ) .
Định nghĩa 1.2.4. [5] Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui và
det(c A B) 0 thì ind ((c A B ) 1 A) được gọi là chỉ số của cặp ma trận ( A, B) , ký
hiệu ind ( A, B) : ind ((cA B) 1 A).
Chú ý. Trong [5] đã chỉ ra rằng chỉ số của cặp ma trận ( A, B) không phụ
thuộc vào việc chọn số c .
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Một số tính chất của cặp ma trận chính qui ( A, B) (xem [5], [11]):
(i) Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui thì cặp ma trận ( A, B sA) cũng
chính qui với mọi s và ind ( A, B) ind ( A, B s A)
(ii) Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui, ind ( A, B) k và
rank ((cA B)1 A)k r thì tồn tại các ma trận S , T L( m ) khả nghịch sao cho
A S diag ( I r , N )T , B S diag (M , I mr )T ,
trong đó N k 0, N l 0 với mọi l k .
(iii) Nếu A(t ), B(t ) C ( J , L( m )) và
(t, ) det ( A(t ) B(t )) ad (t ) d ... a1(t ) a0 (t ) , với ad 0 trên J , thì tồn
tại các ma trận khả nghịch S , T ( J , L( m )) sao cho
I 0 M (t ) 0
S (t ) A(t )T 1 (t ) d , S (t ) B(t )T (t )
1
0 N (t ) 0 I m d
trong đó N (t ) là k -lũy linh tức là N (t ) k 0 trên J và N l (t ) 0 với mọi l k .
Ngoài ra nếu A(t ), B(t ) C i ( J , L( m )) (i 0,1, 2,..., n) và
degdet( A B) rank A : r với mọi t J
thì tồn tại các ma trận khả nghịch S (t ), T (t ) C i ( J , L( m )) sao cho
I 0 M (t ) 0
S (t ) A(t )T 1 (t ) d 1
, S (t ) B(t )T (t ) 0 (xem [11]).
0 0 I m r
Định lý 1.2.1. [5] Giả sử A L( m ) là ma trận suy biến, B L( m ) khi
đó 7 mệnh đề sau tương đương
(i) Cặp ma trận ( A, B) chính qui chỉ số 1;
(ii) Từ x ker A và Bx imA kéo theo x 0 ;
(iii) Cặp ma trận ( A, B) chính qui và degdet ( A B) rank A;
(iv) Cặp ma trận ( A, B AW ) chính qui và ind ( A, B AW ) 1 với mỗi ma
trận W L( m );
(v) Ma trận G : A BQ không suy biến với mỗi phép chiếu Q lên ker A
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(vi) Với S : x : Bx im A ta có hệ thức S ker A m
.
(vii) Nhân vào bên trái với ma trận không suy biến thích hợp E L( m )
A B
sao cho EA 1 , EB 1 , rank A rank A1 ta nhận được một ma trận không
0 B2
A
suy biến 1 L( m ).
B2
Định nghĩa 1.2.5. [5] Ma trận A L( m ) thỏa mãn các tính chất
(i) A y x im( AT ) với y im( A) mà Ax y ,
(ii) A y 0 với y ker( AT ) ,
được gọi là nghịch đảo Moore – Penrose của ma trận A L( m ) .
Định lý 1.2.2. [5] Giả sử A L( m ) , khi đó
(i) A AA A và AA A A ,
(ii) AA là phép chiếu vuông góc lên im ( A) dọc ker( AT ) và A A là phép
chiếu vuông góc lên im ( AT ) dọc ker( A) .
Định lý 1.2.3. [5] Nếu ind ( A) k , rank ( Ak ) r ,
im( Ak ) span(s1 ,..., sr )
ker( Ak ) span(s11 ,..., sm ) và S [ s1 ,..., sm ]
thì A S diag ( M , N ) S 1 , trong đó M là (r r ) - ma trận không suy biến và N là k
-lũy linh.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử các ma trận ( A, B) L( m ) có ind ( A, B) 1 , khi
đó S : x : Bx imA được gọi là không gian liên hợp của cặp ( A, B) .
Mệnh đề. [5] Nếu cặp ma trận ( A, B) chính qui, ind ( A, B) 1 và Q là
phép chiếu lên ker A thì các đẳng thức sau đây là đúng G 1 A I Q, G 1BQ Q
và QG 1B Qcan , trong đó G : A BQ .
Định lý 1.2.4. [5] Giả sử cặp ma trận ( A, B) chính qui chỉ số 1 khi đó
các hệ thức sau thỏa mãn
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
S im((cA B ) 1 A) và Qcan I [(cA B)1 A]D (cA B)1 A
trong đó c sao cho cA B khả nghịch và AD là nghịch đảo Drazin của A .
1.2.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính
Định nghĩa 1.2.7. Phương trình vi phân đại số tuyến tính là phương
trình dạng
A(t ) x ' B (t ) x f (t ), t [0, ) , (1.2.1)
trong đó A(t ), B(t ) C ( , L( m )), f (t ) C ( , m
), rank A(t ) r m với mọi t
,
và N (t ) ker A(t ) có số chiều là m r với mọi t
.
Định nghĩa 1.2.8. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.1) được
gọi là chính qui chỉ số 1 nếu cặp ma trận hệ số ( A, B) chính qui chỉ số 1.
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử N (t ) : ker A(t ) là trơn, nghĩa là tồn tại phép
chiếu Q C1 ( , L m )) lên N (t ), P I Q . Hàm x(t ) C1N được gọi là nghiệm của
phương trình (1.2.1) trên
nếu hệ thức A(t )((P(t ) x(t )) P(t ) x(t )) B(t ) x(t ) q(t )
thỏa mãn với mọi t
.
Hơn nữa đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chính qui chỉ
số 1
A(t ) x B(t ) x 0, t (1.2.2)
thì S (t ) imPcan là không gian nghiệm của (1.2.2), không gian nghiệm của (1.2.2)
có số chiều là r (r rank A(t )) . Nói một cách chính xác, với mỗi x0 S (t0 ) , có
đúng một nghiệm của (1.2.2) đi qua x0 vào thời điểm t 0 .
Nghiệm của phương trình thuần nhất (1.2.2) được xác định bởi
x(t ) Pcan (t )u (t ) , trong đó u(t ) imP(t ) là nghiệm của phương trình
u ( P P A11B0 )u. (1.2.3)
Định nghĩa 1.2.10. Phương trình (1.2.1) được gọi là chuyển được
(transferable) trên nếu N (t ) là trơn và ma trận G(t ) : A(t ) B(t )Q(t ), trong đó
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Q(t ) 1
( , L( m
)) là phép chiếu lên N (t ) , có nghịch đảo bị chặn trên mỗi đoạn
0, T
.
Định nghĩa 1.2.11. Hai phương trình
u ( P P A11B0 )u (1.2.4)
và
u ( P(t ) Pcan (t ) P(t ) G 1 (t ) B(t )) u (t ) (1.2.5)
được gọi là phương trình vi phân thường tương ứng của phương trình vi phân
(1.2.2) dưới phép chiếu P .
Định nghĩa 1.2.12. [12] Phương trình (1.2.1) với các hệ số
A, B C (
, L( m
)) được gọi là phương trình vi phân đại số dạng chuẩn tắc
I 0
Kronecker với chỉ số 1 nếu các ma trận hệ số có dạng A(t ) s và
0 J (t )
W (t ) 0
B(t ) , trong đó, J (t ) là k -lũy linh và ker J (t ) ker J (0) .
0 I m s
Định nghĩa 1.2.13. Một ma trận vuông X (t ) cấp m được gọi là ma
trận nghiệm cơ bản (FSM) của (1.2.2) nếu r véc tơ cột đầu tiên của nó là các
nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2.2) và m r véc tơ cột còn lại của X (t ) là các
véc tơ không.
Chú ý. Mọi nghiệm x(t ) của (1.2.2) đều thuộc không gian nghiệm
im Pcan S (t ) có số chiều là r , do đó ta có nhiều nhất r nghiệm độc lập tuyến
tính. Vậy, tập hợp tất cả các nghiệm của (1.2.2) là không gian tuyến tính có số
chiều r . Hơn nữa, trong [5] đã chỉ ra rằng, nếu p j ( j 1,..., r ) là r véc tơ cột độc
lập tuyến tính của im P(0) và các véc tơ u j (t ), x j (t ) được suy ra từ hệ phương trình
trạng thái x(t ) Pcan (t )u (t ) với điều kiện đầu u j (0) p j ( j 1, 2,..., r ) , khi đó các véc
tơ x1 (t ),..., xr (t ) là độc lập tuyến tính và im P (t ) span (u1 (t ),..., ur (t )) ,
S (t ) span ( x1 ( t),..., xr (t )) . Do đó, tập hợp tất cả các nghiệm (1.2.2) là không gian
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
con tuyến tính có số chiều là r . Như vậy mọi ma trận nghiệm cơ bản của (1.2.2)
đều có dạng X (t ) [ x1 (t ),..., xr (t ), 0,..., 0] . Để đơn giản, ta viết ma trận nghiệm cơ
bản một cách ngắn gọn như sau: X r (t ) x1 (t ), , xr (t ) .
Đặc biệt, ma trận nghiệm cơ bản X r (t ) là chuẩn hóa khi t t0 , tức là X r (t0 ) I r .
Chúng ta xét DAEs tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.2.1)
A(t ) x(t ) B(t ) x(t ) 0 , (1.2.6)
trong đó A, B C ( , L( m )) .
Giả sử rằng không gian hạch N (t ) : ker A(t ) là trơn, nghĩa là nó là bao tuyến tính
của những hàm cơ sở khả vi liên tục.
Trong trường hợp A(t ) có hạng không đổi, rõ ràng, tất cả các nghiệm của (1.2.6)
thuộc về không gian con S (t ) : z m
: B(t ) z im A(t ) m
.
Giả sử (1.2.6) có chỉ số 1, nghĩa là S (t ) N (t ) {0} .
Khi đó, có đúng một nghiệm qua mỗi điểm của S (t ) tại thời điểm t (xem [5]). Sử
dụng bất kỳ hàm chiếu Q(t ) thuộc lớp C1 lên N (t ) và P(t ) : I Q(t ) , bài toán giá
trị ban đầu (IVPs) là đúng với điều kiện đầu P (0)( x(0) x 0 ) 0
. (1.2.7)
Bài toán giá trị ban đầu (IVP) (1.2.6), (1.2.7) có nghiệm duy nhất với x 0 m
.
Các nghiệm của DAE (1.2.6) phải thuộc về không gian hàm C1N : x C : Px C1 .
Điều này dễ dàng hiểu được nhờ các đồng nhất thức
A(t ) A(t )P(t ), A(t )Q(t ) 0 , A(t ) x(t ) A(t ) P(t ) x(t ) A(t ) ( Px)(t ) P(t ) x(t ) .
Do tính chính quy của nghiệm, các hệ số A(t ), B(t ) phải trơn.
Tiếp theo, cho x C1N , chúng ta hiểu biểu thức A(t ) x '(t ) là viết tắt của
A(t ) ( Px)(t ) P(t ) x(t ) . (1.2.8)
Cần phải nhấn mạnh rằng, không gian hàm C1N và giá trị của biểu thức (1.2.8) là
độc lập với việc chọn hàm chiếu. Tức là, với hai hàm chiếu P, P thuộc lớp C1 đã
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
cho. Cả P(t ) và P(t ) chiếu dọc theo N (t ) . Nếu x C , P x C 1 thì Px PPx thuộc
về lớp C1 , vì P và Px cũng như vậy. Ngoài ra, chúng ta tính:
A(t ) ( Px)(t ) P(t ) x(t ) A(t ) P (t ) ( Px)(t ) P (t ) x(t )
A(t ) ( PPx)(t ) P(t ) P (t ) x(t ) P (t ) P (t ) x(t )
A(t ) ( PPx)(t ) ( PP )(t ) x(t )
A(t ) ( Px)(t ) P(t ) x(t ) .
Nhờ ma trận nghiệm cơ bản X (t ) của IVP
A(t ) X (t ) B(t ) X (t ) 0
P(0)( X (0) I ) 0
chúng ta có thể viết các nghiệm của (1.2.6), (1.2.7) là : x(t; x 0 ) X (t ) x 0
Chúng ta sử dụng dạng biểu diễn của ma trận cơ bản X của DAE, sử dụng ma
trận cơ bản U của ODE (xem [5])
U [ PPcan P ( A BQ) 1 B ]U 0
. (1.2.9)
U (0) I L( )
m
Ở đây, Pcan (t ) là phép chiếu chính tắc dọc theo N (t ) lên S (t ) . Khi đó
X (t ) Pcan (t )U (t ) P(0) . (1.2.10)
Ta nhấn mạnh rằng X (t ) là độc lập với phép chiếu đặc biệt P được dùng ở
(1.2.9) và (1.2.10). Trong bất kì trường hợp nào, chúng ta có : X (0) Pcan (0) .
Hơn nữa, trong khi U C1 , nói chung phép chiếu chính tắc Pcan (t ) là liên tục
nhưng không thuộc lớp C1 .
Trong phần sau chúng ta biến đổi DAEs tuyến tính với hệ số tuần hoàn về
hệ số hằng số DAEs.
Áp dụng phép biến đổi đại số x F (t ) x, F C1 ( , L( m )) và E, F không suy
biến, DAE (1.2.6) biến thành:
A(t ) x(t ) B(t ) x(t ) 0 , (1.2.11)
với A EAF , B E( BF AF) . (1.2.12)
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Phương trình (1.2.11) gọi là có dạng chuẩn tắc Kronecker nếu:
I W(t)
A(t ) , B(t )
0 I
Hệ thức giữa không gian con riêng và phép chiếu chính tắc có thể mô tả bằng
N (t ) F 1 (t ) N (t ), S (t ) F 1 (t ) S (t ) và P can (t ) F 1 (t ) Pcan (t ) F (t ) . Với dạng chuẩn tắc
z
Kronecker phép chiếu lên S (t ) : 1 : z2 0
z2
dọc theo
z
N (t ) : 1 : z1 0
z2
là Pcan (t ) diag ( I ,0) . Do đó, bắt đầu với hệ chỉ số 1 dạng chuẩn tắc Kronecker và
sử dụng phép biến đổi F thuộc lớp C1 chúng ta thu được DAEs với những phép
chiếu chính tắc khả vi liên tục. Như một hệ quả, coi dạng chuẩn tắc Kronecker
thay cho DAEs với hệ số liên tục, chúng ta áp dụng phép biến đổi đối với một
lớp rộng hơn. Trong phần sau, chúng ta thấy lớp C1N là phù hợp đối với phép biến
đổi F .
Định nghĩa 1.2.14. Hệ phương trình Ax Bx 0 được gọi là chính qui
chỉ số k nếu cặp ma trận A, B là chính qui chỉ số k .
Bổ đề. Khi cặp ma trận A, B là chính qui chỉ số k và
rank (cA B)1 A k r thì tồn tại các ma trận khả nghịch W , T sao cho
I 0 1
A W r T , U là k lũy linh
0 U
B 0 1
B W 1 T ,
0 I m r
Định nghĩa 1.2.15. Giá trị phức được gọi là giá trị riêng hữu hạn
của cặp ma trận A, B nếu det A B 0 .
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn