Kiến thức và bài tập chương 4. số phức

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Ôn Tập Chương IV. Số Phức
A. Kiến Thức Cơ Bản
1. Khái niệm số phức:
 Tập Số phức: 
 Số phức: z  a  bi ( a, b   , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2  1 )
 z là số thực  b  0
z là số thuần ảo  a  0
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo
a  a '
 Cho z  a  bi, z '  a ' b 'i z  z '  
b  b '
2. Biểu diễn hình học của số phức : Điểm M  a; b  trong một hệ tọa độ vuông góc của
mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z  a  bi
3. Môđum của số phức :
Mô đun của số phức Z  a  bi được tính bởi công thức Z  a 2  b 2
4. Số phức liên hợp
 Cho số phức Z  a  bi thì số phức Z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của
Z  a  bi
 Z.Z  a 2  b 2
5. Các phép toán số phức.
Cho Z1  a  bi, Z 2  c  di
 Z1  Z 2   a  c    b  d  i
 Z1Z 2   ac  bd    ad  bc  i
Z2  ac  bd   ad  bc 
  2  2 i  z1  0 
Z1 a  b2 a  b2
6. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai nghiệm phức.
 Nếu a là một số thực âm thì căn bậc hai của a là: i a
 Các nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  khi   0 là:
b  i 
x1,2  ..
2a
B. Bài Tập Áp Dụng
Dạng 1: Số phức và các thuộc tính của nó.
Phương Pháp: Vận dụng các khái niệm: Phần thực, phần ảo của số phức, biểu diễn hình
học của số phức, số phức liên hợp , môđun của số phức.
Bài tập 1. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức sau và biểu diễn chúng trong mặt
phẳng phức
2
a) z  3  2i b) z  2  5i c) z  5  i
5
Bài Tập 2. Xác định số phức liên hợp, môđun của các số phức sau:
a) z  3  4i b) z  5  12i c) z  7i
Bài tập 3. Xác định số thực x sao cho các số phức sau là số thuần ảo.
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
a) z   2x  1  x.i
2
b) z   x 2  2x  3  i
3
Bài tập 4. Tìm các số thực x, y sao cho hai số phức z và z ' sau bằng nhau
a) z   x  2y   5i; z '  4   x  3y  i
b) z   2x  3    3y  1 i; z '   2y  1   3x  7  i
Dạng 2: Các phép toán số phức.
Phương pháp: Sử dụng công thức các phép toán số phức.
Bài tập 1. Thực hiện các phép tính sau :
2i
a)  2  i  3  2i  b)  3  i  2  i  c)
4i
Bài tập 2. Thực hiện các phép tính :
2 2
1  2i   1  i  b)
 2  3i  3  i  c)
 5  i 1  2i   5
a) 2 2
 3  2i    2  i  4i  3  2i 
21 9 43 19 24 23
Đs : a)  i b)  i c)  i
34 17 17 17 13 13
Bài tập 3. Tìm số phức z biết
2  3i
a) z  2i b)  4  i  z  2  4i c)  2i  3  z   2  i  z  1
1 i
2 10 4 18 1 1
Đs : a)  i b)  c)   i
13 13 17 17i 2 2
Bài tập 4. Cho số phức z  3  4i . Tìm phần thực phần ảo của các số phức sau :
zi
a) z 2  2z  4 b)
iz  1
Đs : a) Phần thực : 9 Phần ảo : -16
4 1
b)Phần thực : Phẩn ảo :
3 3
Dạng 3: Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai nghiệm phức.
Phương Pháp:
 z  x  yi là căn bậc hai của số phức w  a  bi
x 2  y 2  a
 z2  w    x, y   
2xy  b
 Với phương trình hệ số thực áp dụng công thức nghiệm.
 Với phương trình hệ số phức tính  , chú ý tìm căn bậc hai của  .
Bài tập 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau :
a) z  1  4 3i b) z  4  6 5i c)z  1  2 6i
Bài tập 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) z 2  2z  10  0 b) z3  27  0 c) z 2  3z  3  0
Bài tập 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) iz 2  2 1  i  z  4  0 b) z 2   5  i  z  8  i
Bài tập 4. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm z1  2  3i; z2  3  i
Bài tập 5. Giải các hệ phương trình :
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
z1  z 2  4  i  z1.z 2  5  5i
a)  2 2
b)  2 2
z1  z 2  5  2i  z1  z 2  5  2i
Dạng 4: Tập Hợp Điểm.
Phương Pháp: Số phức z  x  yi được biểu diễn điểm bởi điểm M  x; y  . Tìm tập hợp
điểm M là tìm hệ thức giữa x và y.
Bài tập 1. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi
điều kiện sau.
a) z  z  3  4 b) z  z  1  i  2 c) z  1  1
Bài tập 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau :
a) z  2i là số thực b) z  2  i là số thuần ảo c) z.z  9
Bài tập 3. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi
điều kiện sau :
2 1
a) z  3 z  i b) z 2  z  1 c) z 
z
Dạng 5: Xác định số phức z thỏa mãn điều kiện.
Phương Pháp: Giả sử số phức cần tìm có dạng z  a  bi , biểu diễn giả thiết đề bài theo a,
b từ đó tìm a,b.
Bài tập 1. Tìm số phức z biết
a) z  5 và z là số thuần ảo.
b) z  5 và phần thực bằng hai lần phần ảo của nó.
Bài tập 2. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện :
a) z  20 và z  2  4
b) z 1  i    2  i  z  0
Bài tập 3. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiên :
a) z  5 và z 2  24i là số thuần ảo.
b) z   3  i  z  11  8i
C.ĐỀ THI SỐ PHỨC
I. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
1 . TN_2009
a) Giải phương trình 8z2 – 4z + 1 = 0 trên tập số phức
1 1 1 1
ĐS:  i và  i
4 4 4 4
b) Giải phương trình 2z2 – iz + 1 = 0 trên tập số phức
ĐS: z1 = i và z2 = -i/2
2 . TN_ 2010
a) Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực phần ảo của số phức
z1 – 2z2
b) Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực phần ảo của số phức
z1.z2
ĐS: a) phần thực -3 , phần ảo là 8. b) phần thực bằng 26 và phần ảo bằng 7
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
3 . TN_2011
a) Giải phương trình ( 1 - i )z + ( 2 – i ) = 4 – 5i trên tập số phức
b) Giải phương trình ( z – i )2 + 4 = 0 trêm tập số phức
ĐS: a) z = 3 – i b) z1 = 3i và z2 = -i
4 . TN_2012
25i
1. Tìm các số phức 2 z  z và , biết z  3  4i
z
1  9i
2. Tìm các căn bậc hai của số phức z   5i
1 i
ĐS: 1: 9-4i và -4+3i ; 2: 2i và -2i
5 . TN_2013
1. Cho số phức z thỏa mãn 1  i z  2  4i  0 . Tìm số phức liên hợp của z.
2. Giải phương trình z 2  2  3i z  5  3i  0 trên tập số phức.
ĐS: 1: z  3  i ; 2: z1  1  4i và z 2  1  i
6. TN 2014
2
Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i    z  2i  . Xác định phần thực phần ảo và số phức liên
hợp của z
Đs: Phần thực 4 ; phần ảo 2 . z  4  2i
II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1 . KA_2009
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 .Tính giá trị của biểu
2 2
thức A  z1  z 2
ĐS: 20
2 . KB_2009
Tìm số phức z thỏa mãn : z  ( 2  i )  10 và z . z  25
ĐS: z = 3 + 4i hoặc z = 5
3 . KD_2009
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z  ( 3  4i )  2
ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm ( 3 ; -4 ) , bán kính R = 2
4 . KA_ 2010
a) Tìm phần ảo của số phức z biết : z  ( 2  i ) 2 (1  2 i )
ĐS: a) Phần ảo của số phức z là  2
(1  3 i ) 3
b) Cho số phức z thỏa mãn z  . Tìm môđun của số phức z  iz
1 i
ĐS b) z  iz  8 2
5 . KB_2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
z  i  (1  i ) z
ĐS: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ( 0 ; -1 ) và bán kính R  2
6 . KD_2010
Tài Liệu Ôn Tập Lớp 12 https://sites.google.com/site/letrungkienmath